7130APOSTILAMatematica_Financeira_-_CAIXA_-_Professor_Roberto.pdf

2012

Professor

Roberto Bayestorff

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MATEMTICA FINANCEIRA

CAIXA

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MATEMTICA FINANCEIRA

Juros simples Conceitos bsicos

A Matemtica Financeira uma ferramenta til na anlise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemticos para simplificar a operao financeira a um Fluxo de Caixa.

Capital O Capital o valor aplicado atravs de alguma operao financeira. Tambm conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em ingls usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).

Juros Juros representam a remunerao do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo calculado a partir do saldo no incio de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambm.

O juro a remunerao pelo emprstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e est disposta a pagar um preo por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar at possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste nterim estiver disposta a emprestar esta quantia a algum, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinncia na proporo do tempo e risco, que a operao envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponvel no mercado para emprstimos definem qual dever ser a remunerao, mais conhecida como taxa de juros.

Quando usamos juros simples e juros compostos? A maioria das operaes envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Esto includas: compras a mdio e longo prazo, compras com carto de crdito, emprstimos bancrios, as aplicaes financeiras usuais como Caderneta de Poupana e aplicaes em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: o caso das operaes de curtssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

Taxa de juros

A taxa de juros indica qual remunerao ser paga ao dinheiro emprestado, para um determinado perodo. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificao do perodo de tempo a que se refere:

8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).

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Outra forma de apresentao da taxa de juros a unitria, que igual a taxa percentual dividida por 100, sem o smbolo %:

0,15 a.m. - (a.m. significa ao ms). 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

24.3 Clculo dos juros simples e do montante

Juros a remunerao paga pela aplicao de um capital.

Montante , por definio, a soma do capital com os juros.

Chamamos de regime de juros simples aquele onde se admite que os juros so diretamente proporcionais ao tempo e a taxa da operao indicada. Neste regime, s o capital rende juros.

J = C . i . t M = C + J 100

Pra que possamos usar as frmulas acima, devemos nos lembrar que a taxa e o tempo sempre devem ser expressos na mesma unidade de tempo.

Assim, se temos a taxa expressa ao ms, por exemplo, devemos exprimir o tempo em meses, tambm, e vice-versa.

Taxas proporcionais

Dizemos que duas taxas so proporcionais quando seus valores formam uma proporo direta com os respectivos tempos, considerados numa mesma unidade. Desta forma, 60% a. e 5 a.m. so taxas proporcionais. Pois 60 % = 5 % aplicando o princpio fundamental das propores e considerando 12 o ano = 12 meses, teremos uma identidade Taxas equivalentes Dizemos que duas taxas so equivalentes quando produzem os mesmos juros, desde que sejam aplicadas ao mesmo capital e ao mesmo perodo de tempo. Convm lembrar que no regime de juros simples as taxas equivalentes sempre sero proporcionais. Prazo mdio Dado um conjunto com duas ou mais aplicaes a juros simples, cada qual com seus prprios valores de capital, taxa e tempo, dizemos que prazo mdio um prazo nico tal que, substituindo os prazos de cada uma das aplicaes dadas, produzir o mesmo total de juros das aplicaes originais. Ex. Trs capitais de R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 e R$ 3.000,00 foram aplicados s taxas de juros simples de 2%, 3% e 4% ao ms durante 3 meses, 2 meses e 1 ms, respectivamente. Qual o prazo mdio para estas trs aplicaes ?

PRAZOS (meses)

CAPITAIS (R$) TAXAS (%) PRODUTOS PESOS

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www.CARREIRAPUBLICA.com.br (48) 4141-3220 4141-3222 4

3 1000 2 3 . 1000 . 2 = 6000 1000 . 2 = 2000 2 2000 3 2 . 2000 . 3 = 12000 2000 . 3 = 6000 1 3000 4 1 . 3000 . 4 = 12000 3000 . 4 = 12000

Prazo mdio = 6000 + 12000 + 12000 = 1,5 m 2000 + 6000 + 12000 Isso implica que, se trocssemos todos os prazos pelo prazo mdio, o juro total obtido pelas trs aplicaes continuaria o mesmo. Taxa mdia Taxa mdia uma nica taxa tal que, substituindo as taxas de cada uma das aplicaes dadas, produzir o mesmo juro total das aplicaes originais.

Utilizando os dados do exemplo anterior, temos:

TAXAS (%) CAPITAIS (R$) PRAZOS

(MESES) PRODUTOS PESOS

3 1000 2 3 . 1000 . 2 = 6000 1000 . 2 = 2000 2 2000 3 2 . 2000 . 3 = 12000 2000 . 3 = 6000 1 3000 4 1 . 3000 . 4 = 12000 3000 . 4 = 12000

Prazo mdio = 6000 + 12000 + 12000 = 1,5% a.m. 2000 + 6000 + 12000 Exerccios 1 - Calcule os juros anuais de R$ 6.000 a 6 % a. a. R. R$ 360,00 2 - Calcule o juro mensal de R$ 40.000,00 taxa de 24 % a. a. R. R$ 800,00 3 - Qual a taxa anual que um capital de R$ 1.440,00 rende R$ 33,00 de juros em 2 meses e 15 dias ? R. 11 % a. a. 4 - Para que taxa um capital produz 1/5 do seu valor em 2 anos ? R. 10% a. a. 5 - Calcule o tempo para que uma quantia depositada a 12% a.a. triplique. R. 16 a e 8 m 6 Dois capitais so aplicados a 4% a. a. durante 8 meses e 3% a. a. durante 9 meses, respectivamente, rendendo

juros iguais. Calcule esses capitais sabendo que a diferena entre eles de R$ 125,00 R. R$ 675,00 e R$ 800,00 7 - Depositei certa importncia a 5% a. a. . No fim do primeiro ano, somei os juros ao capital e depositei a soma a 6%

a. a., recebendo no fim do ano o juro de R$ 1.260,00. Que quantia foi inicialmente depositada ? R. R$ 20.000,00 8 - Um capital de R$ 100,00 rendeu juros de R$ 10,80 em 90 dias. Quanto renderia em 12 meses, a uma taxa mensal

0,1% maior do que a primeira ? (Banco do Brasil) a) R$ 26,40 b) R$ 42,00 *c) R$ 44,40 d) R$ 55,20 e) R$ 79,20 9 - Se aplicarmos determinada quantia durante 8 meses, seu montante ser de R$ 63.000,00. Caso a aplicao

durasse 13 meses, seu montante seria de R$ 74.250,00. Qual a taxa mensal empregada ? (Banco do Brasil) a) 4% *b) 5% c) 6% d) 7% e) 8%


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10 - Um capital foi aplicado durante 5 meses taxa de 8% a. m. . Seu montante foi retirado e aplicado a 10% a. m. durante 3 meses. Qual a taxa nica, na forma unitria, que poderia ser aplicado esse capital, durante o prazo total para que no final desse prazo o montante fosse o mesmo? a) 0,105 *b) 0,1025 c) 0,10 d) 0,0092 e) 0,087

11 - Uma pessoa coloca 2/3 dos seus haveres a 6% a. a. e o resto a 5% a. a., recebendo um juro anual de R$ 340,00.

Calcule o capital aplicado. R. R$ 6.000,00 12 - Um investidor aplicou 1/4 do seu capital a 36% a. a.; 2/3 do mesmo a 48% a. a. e o restante a 60% a.a. Aps 1 ano

e 8 meses recebeu R$ 618.930,00 de juros. O capital inicial era: ( Fiscal de Tributos SC ) a) R$ 897.000,00 b) R$ 742.716,00 c) 742.776,50 *d) 807.300,00 e) 807.300,50

13 - Eu tinha certo capital para investir. Apliquei 2/3 dele a 9% a. m. durante 1 trimestre; 1/5 dele a 8% a.m. durante dois

bimestres e o restante 10% a. m. durante um certo prazo. Que prazo foi esse se o juro total obtido foi igual a 30% do capital que eu tinha para investir ? ( C.E.F. ) a) 6 m b) 5 m 3 d c) 4,5 m * d) 4 m 6 d e) 4 m2 d

14 - Arno, Carlos, Dcio e Evaldo investiram um total de R$ 23.540,00 durante 1 ano, 1 ms e 10 dias, taxa de 54% a.

a. . Ao receberem os juros, Carlos recebeu R$ 1.240,00 a mais que Arno; Dcio recebeu R$ 620,00 a menos que Carlos e Evaldo, R$ 440,0 a menos que Dcio. Assinale a alternativa correta: ( Fiscal de Tributos SC ) a) Arno investiu R$ 7.101,00 b) Arno investiu R$ 5.035,00 *c) Arno investiu R$ 5.335,00 d) Arno investiu R$ 3.021,00 e) Arno investiu R$ 7.335,00

15 - Um capital colocada, parte a 4% a. a. e parte a 5,5% a. a., d um juro anual de R$ 2.475,00. Se a parte colocada a

4% a. a. fosse colocada a 5,5% a. a. e vice-versa, o juro seria de R$ 2.370,00. Calcule o capital total investido. R. R$ 51.000,00

16 - Um capital aplicado a juros simples no dia 10 de fevereiro ao dia 24 de abril, do corrente ano, a uma taxa de 24 %

ao ano. Nessas condies calcule o juro simples exato ao fim do perodo, como percentagem do capital inicial, desprezando as casas decimais superiores segunda. (Auditor de Tributos Municipais Fortaleza -CE)

a) 4,70 % b) 4,75 % *c) 4,80 % d) 4,88 % e) 4,93 % 17 - Se no houvesse inflao e se a capitalizao dos rendimentos da caderneta de poupana fosse simples, a taxa de

juros seria ento de 5 % ao ms. Admitindo isso, o tempo t, em anos, necessrio para que um depsito em caderneta de poupana, aplicado taxa mensal de 0,5 %, produza juros simples iguais a 150 % de seu valor, satisfaz condio (Ministrio Publico da Unio )

a) t < 10 b) 10 = t < 20 c) t = 20 *d) 20 < t < 30 e) t = 30 18 - Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% a.m.). O valor total dos pagamentos a serem

efetuados, juros mais principal, $ 1.400,00. As condies contratuais prevem que o pagamento deste financiamento ser efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de setenta por cento do total dos pagamentos, ser paga ao final do quarto ms, e a segunda parcela, no valor de trinta por cento do total dos pagamentos, ser paga no final do dcimo primeiro ms. O valor que mais se aproxima do valor financiado :

a) $ 816,55 * b) $ 900,00 c) $ 945,00 d) $ 970,00 e) $ 995,00 19 - Uma firma deseja alterar as datas e valores de um financiamento contratado. Este financiamento foi contratado h 30 dias, a uma taxa de juros simples de 2% ao ms. A instituio financeira no cobra custas nem taxas para fazer estas alteraes. A taxa de juros no sofrer alteraes.Condies pactuadas inicialmente: Pagamento de duas prestaes iguais e sucessivas de $ 11.924,00, a serem pagas em 60 e 90 dias. Condies desejadas: O pagamento em trs prestaes iguais - a primeira no final do10 ms; a segunda ao final do 30 ms; a terceira ao final do 70 ms. Caso sejam aprovadas as alteraes, o valor que mais se aproxima do valor unitrio de cada uma das novas prestaes :

a) $ 8.200,00 b) $ 9.333,33 c) $ 10.752,31 * d) $ 11.200,00 e) $ 12.933,60


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19 - Uma pessoa deposita uma determinada importncia numa instituio financeira. No final de trs meses, ao encerrar sua conta, verificou que o valor inicialmente depositado, acrescido dos juros creditados, totalizava R$ 11.500,00. Esse valor , ento, integralmente depositado, em outra instituio financeira por um prazo de cinco meses. No final desse perodo o montante acumulado na segunda instituio financeira totalizava R$ 14.375,00. Sabendo-se que ambas as instituies remuneram seus depsitos a juros simples e a uma mesma taxa, determinar o valor do depsito inicial na primeira instituio e a taxa de juro das duas instituies.R.: 5% e 10.000

20 Um investidor aplicou 5/6 do seu capital a juros simples comerciais, de 36 % a. a. , durante 4 meses e o restante do

capital tambm aplicou a juros simples comerciais, taxa de 72 % a. a., durante 8 meses. Qual o valor do capital inicial total se a soma dos montantes recebidos das duas aplicaes totalizou R$ 212.400,00 ? ( AFTN )

a) R$ 160.000,00 b) R$ 192.000,00 c) R$ 168.000,00 *d) R$ 180.000,00 e) R$ 200.000,00 21 - Se 6/8 de uma quantia produzem 3/8 desta mesma quantia de juro simples, em 4 anos, qual a taxa unitria

aplicada ? a) 0,12 b) 0,15 * c) 0,125 d) 0,128 e)N.R.A.

22 - Trs capitais so colocados a juro simples, o primeiro a 25% aa, durante 4 anos; o segundo a 24% a.a, durante 42 meses e o terceiro a 20% aa durante 2 anos e 4 meses, perfazendo um rendimento total de R$ 27.591,80 . Sabendo que o segundo capital o dobro do primeiro e que o terceiro o triplo do segundo, calcule o valor do terceiro capital. R. R$ 30.210,00

23 - H cinco meses passados, um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado taxa de 7% ao ms. Se aplicarmos hoje um

capital de R$ 1.800,00 taxa de 10% ao ms, daqui a quantos meses os dois capitais tero produzido juros iguais ? R.: 7

24 - Um capital aplicado do dia 5 de maio ao dia 25 de novembro do mesmo ano, a uma taxa de juros simples

ordinrio de 36% ao ano, produzindo um montante de R$ 4.800,00. Nessas condies, calcule o capital aplicado, desprezando os centavos. (AFTN 98)

a) R$ 4.067,00 b) R$ 4.000,00 c) R$ 3.996,00 *d)R$ 3.986,00 e) R$ 3.941,00 25 - A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente

ano. Calcule os juros obtidos, taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos.(AFTN 98) *a) R$ 720,00 b) R$ 725,00 c) R$ 705,00 d) R$ 715,00 e) R$ 735,00

27- Os capitais de R$3.000,00, R$5.000,00 e R$ 8.000,00 foram aplicados todos no mesmo prazo, a taxas de juros simples de 6% ao ms, 4% ao ms e 3,25% ao ms, respectivamente. Calcule a taxa mdia de aplicao desses capi-tais. (AFTN 2002) a) 4,83% a.m. b) 3,206% a.m. c) 4,4167% a.m. * d) 4% a.m. e) 4,859% a.m. 28 - Durante o ms de abril, um capital de R$ 20.000,00 foi colocado no open market (sistema de juros simples) pelo prazo de 24 dias, tendo produzido um montante de R$ 24.800,00. A taxa anual de juros simples a que esse capital esteve aplicado foi de: (TCI PI/2000) a) 30% b) 80% c) 120% *d) 360% e) 720% 29 - Um aplicador investiu R$ 12.000,00 numa instituio financeira, no perodo de 6 meses, taxa de juros simples de 24 % ao ano. O montante recebido foi de (Ass. Adm. BRDES 2001) a) R$ 12.640,00 *b) R$ 13.440,00 c) R$ 16.800,00 d) R$ 25.440,00 e) R$ 29.280,00 30 - Uma pessoa aplicou o valor de R$ 3.000,00 no mercado financeiro e, aps 12 dias, recebeu juros de R$ 72,00. A taxa de juros simples dessa aplicao foi de: (Ass. Adm BRDES 2001 ) a) 0,06% ao ms. b) 0,06% ao dia. c) 0,6% ao ms. d) 0,6% ao dia. *e) 6 % ao ms.

31 - Os capitais de R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00 foram aplicados mesma taxa de juros simples mensal durante 4, 3 e 2 meses respectivamente. Obtenha o prazo mdio de aplicao desses capitais. (AFTN 98) a) Dois meses e meio b) Trs meses e dez dias * c) Dois meses e vinte e um dias d) Trs meses e nove dias e) Trs meses


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32- (AFPS-2002) Uma pessoa fsica recebeu um emprstimo de um banco comercial no valor de R$ 10.000,00 por um prazo de trs meses para pagar de volta este valor acrescido de 15% de juros ao fim do prazo. Todavia, a pessoa s pode usar em proveito prprio 75% do emprstimo, porque, por fora do contrato, usou o restante para fazer uma aplicao no prprio banco que rendeu R$ 150,00 ao fim dos trs meses. Indique qual foi a taxa efetiva de juros paga pela pessoa fsica sobre a parte do emprstimo que utilizou em proveito prprio. a) 12% ao trimestre b) 14% ao trimestre c) 15% ao trimestre d) 16% ao trimestre e) 18% ao trimestre X Desconto simples Desconto o abatimento que uma dvida sofre quando ela paga antes do vencimento. O documento que atesta uma dvida chamado genericamente de ttulo de crdito. So exemplos de ttulos de crdito as notas promissrias, duplicatas e as letras de cmbio. Valor nominal o valor do ttulo de crdito, ou seja, o seu valor de face. Valor atual o valor pelo qual o ttulo acabou de ser negociado. De outra forma, o valor pago. Quando tomamos como referncia o valor nominal, temos o desconto comercial ou por fora. Caso a referncia seja o valor lquido, temos o desconto racional ou por dentro. Quando no se menciona o tipo de desconto, adota-se o comercial.

Temos, ento

D = V . i . t d = V . i . t 100 100 + i t

\

Onde D = desconto comercial d = desconto racional i = taxa t = tempo

Exerccios

1 - A que taxa anual uma letra de R$ 250,00, paga 25 dias do vencimento, foi descontada se o desconto obtido foi de R$ 5,00 ? R. 28,8 % a.a.

2 - Calcule o valor atual de uma letra de R$ 17.400,00 descontada a 6 7/8 % a.a. , 1 ano 2 meses e 4 dias antes do vencimento. R. R$ 15.991,09


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3 - Calcule o desconto racional de uma letra de R$ 250.000, a 6% a. a., que paga a 7 de agosto, sendo a sua data de vencimento no dia 18 de outubro mesmo ano.

4 - Um ttulo de R$ 182.700,00 descontado a 9% a. a., 60 dias antes do vencimento. Calcule a diferena entre os descontos comercial e racional. R. R$ 40,50

5 - Calcule o tempo que foi antecipado o pagamento de um ttulo de R$ 25.600,00, a uma taxa de 6% a. a., sendo que foi pago R$ 23.722,70. R. 1a 2m 20 d

6 - Uma duplicata de R$ 180.900,00, a 6% a. a., foi paga um ms antes do vencimento. Calcule o desconto racional. R. R$ 900,00

7 - Calcule a diferena entre os descontos comercial e racional, a 8% a. a., sobre um ttulo de R$ 12.000,00 pago 50 dias antes do vencimento. R. R$ 1,46

8 - Uma letra sofre um desconto racional a 9% a. a. , de R$ 3.600,00, com vencimento para 60 dias. Calcule o desconto comercial. R. R$ 3.654,00

9 - Uma letra de R$ 1.200,00, com vencimento para 15 de agosto, foi paga em 6 de julho, com desconto comercial de 9 % a. a. Calcule o valor pago. R. R $ 1.187,33

10 - Voc desconta em um banco uma letra de R$ 90.000,00, 40 dias antes do vencimento, a 3 % a. a. e paga ao banco 1 1/8% sobre o valor nominal de comisses. Qual o valor lquido produzido pelo ttulo ?

11 - Uma Nota Promissria no valor de R$ 5.300,00 foi comprada, numa financeira, por R$ 5.000,00. Se a taxa de juros simples exigida pelo comprador foi de 18% ao ano, sob o critrio do desconto racional, ento o vencimento dessa Nota Promissria era de (Ass. Adm BRDES 2001)

a) 2 meses. b) 2 anos. c) 3 meses. d) 3 anos. e) 4 meses.

12 -Uma empresa devedora, em um banco, de dois ttulos de crdito, um no valor de R$ 1.000,00 vencvel em 2 meses e outro no valor de R$ 3.000,00 vencvel em 6 meses. O banco, cuja taxa de juros de 12 % ao ano, aceita a liquidao da dvida em um pagamento nico vencvel em 8 meses. Adotando o critrio do desconto comercial simples, o valor desse pagamento (Ass. Adm BRDES 2001)


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a) R$ 3.680,60 b) R$ 3.800,00 c) R$ 4.130,43 d) R$ 4.500,80

e) R$ 5.000,00

13 - a promissria de R$240.000,00 descontada em um banco 60 dias antes do vencimento pelo desconto comercial simples, aplicando-se uma determinada taxa de desconto. Se a operao resulta em uma taxa linear efetiva de desconto de 12,5% ao ms, a taxa mensal de desconto comercial simples praticada pelo banco de (TCI RJ 1999)

a) 15,0 % b) 10,0 % c) 9,5 % d) 8,5 % e) 6,5 %

14 - O desconto comercial simples de um ttulo quatro meses antes do seu vencimento de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao ms, obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples. (AFTN 1998)

a) R$ 400,00 b) R$ 600,00 c) R$ 800,00 d) R$ 700,00 e) R$ 500,00

15 - O desconto racional simples de uma nota promissria, cinco meses antes do vencimento, de R$800,00, a uma taxa de 4% ao ms. Calcule o desconto comercial simples correspondente, isto , considerando o mesmo ttulo, a mesma taxa e o mesmo prazo.(AFTN 2002)

a) R$ 960,00 b) R$ 666,67 c) R$ 973,32 d) R$ 640,00 e) R$ 800,00

16 - Uma empresa descontou em um banco uma duplicata de R$2 000,00 dois

meses e meio antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de

4%am. A taxa efetiva de juros da operao no perodo foi: (ICMS 2000)

a) 10% b) 10,44% c) 10,77% d) 11,11% e) N.R.A.

17- (AFPS-2002) Um ttulo no valor nominal de R$ 10.900,00 deve sofrer

um desconto comercial simples de R$ 981,00 trs meses antes do seu

vencimento. Todavia uma negociao levou a troca do desconto comercial por

um desconto racional simples.

Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de desconto mensal.

a) R$ 890,00 b) R$ 900,00 c) R$ 924,96 d) R$ 981,00 e) R$ 1.090,00


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JUROS COMPOSTOS

Chamamos de regime de juros compostos aquele onde os juros de cada perodo so calculados sobre o montante do perodo anterior. n S = P ( 1 + i ) S = Montante P = Principal (Capital) i = Taxa (unitria) n = N de perodos Taxa nominal e taxa efetiva Podemos definir taxa de juros como sendo a relao entre os juros cobrveis ou pagveis no fim de um perodo anual, mensal, etc.) e a soma monetria devida no incio do perodo. Sendo i a taxa de juros por perodo de capitalizao e havendo n perodos de capitalizao por ano, a taxa de juros dita nominal quando o perodo de capitalizao no coincide com a unidade de tempo expressa pela taxa. Por exemplo, a taxa de 12 % a.a. com capitalizao mensal, uma taxa nominal. As taxas nominais so muito usadas como meio de exprimirmos a taxa de juros de uma forma mais simples para o entendimento. Se a taxa for de 1 % a.m. com capitalizao mensal, temos uma taxa efetiva. Temos, nesse caso, que o perodo de capitalizao coincide com a unidade de tempo da taxa. Exemplos de taxa nominal: 24 % a.a., com capitalizao trimestral. 30 % a.m., com capitalizao diria Exemplos de taxa efetiva: 2 % a.m., com capitalizao mensal 12 % a.a., com capitalizao anual. 26.2 Taxas equivalentes Sempre que utilizamos as frmulas, devemos utilizar taxas efetivas. Contudo, as taxas nem sempre se apresentam de maneira que se possa aplicar diretamente nas frmulas para o clculo. Assim sendo, temos que achar uma taxa equivalente.

A relao de equivalncia entre as taxas dada abaixo

2 3 4 6 12 360

( 1 + i a) = ( 1 + i s) = ( 1 + i q) = ( 1 + i t) = ( 1 + i b) = ( 1 + i m) = ( 1 + id) ia = taxa anual is = taxa semestral iq = taxa quadrimestral it = taxa trimestral ib = taxa bimestral im = taxa mensal id = taxa diria

Exerccios 1 ) Calcule o montante produzido por um capital de UM$ 1.000,00 aplicado a 2 % a.m. capitalizado mensalmente, durante 10 meses. R.: UM$ 1.218,99 2) Calcule o montante produzido por um capital de UM $ 5.000,00 aplicado a 36 % a.a., capitalizado mensalmente,

durante um semestre. R.: UM $ 5.970,26


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3) No final de 2 anos, uma pessoa dever efetuar um pagamento de UM $ 200.000,00 referente ao valor de um emprstimo contrado hoje, mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa de 4% a.m., capitalizados mensalmente. Calcule o valor do emprstimo. R.: UM $ 78.024,29

4) Um capital de UM $ 300.000,00 foi aplicado a 3 % a.m., capitalizado mensalmente, produzindo um montante de UM $

427.728,26. Qual o tempo em que esteve aplicado? R.: 1 ano 5 ) Um capital de UM $ 100.000,00 foi aplicado a 5 % a.m., capitalizado mensalmente, produzindo um montante de UM $ 322.509,44. Qual o tempo em que esteve aplicado? R.: 2 anos 6 ) O montante de UM $ 296.048,85 foi obtido atravs da aplicao de um capital de UM $ 200.000,00 durante 10 meses. Qual foi a taxa mensal de aplicao ? R.: 4 % a.m. 7 ) Um capital de UM $ 100.000,00 aplicado durante 1 ano produziu um montante de UM $ 179.585,93. A que taxa mensal esteve aplicado ? R.: 5 % a.m. 8) Calcule o montante obtido atravs da aplicao UM $ 4.000,00, a juros compostos de 6,3 % a. a., ao final de 4 anos. 9) Calcule o montante obtido, pela aplicao de UM $ 1.000.000,00, aplicado a 1,8 % a. m. , capitalizados

mensalmente, durante 2 anos. 10) Calcule o montante produzido pela aplicao de um capital de UM $ 5.000,00 durante 2 anos, a uma taxa de 2,5 %

a.b., capitalizados bimestralmente. 11) Calcule o montante obtido atravs da aplicao de UM $ 2.000,00, a 5% a.a. , a juros compostos, durante 5 a 8 m. 12) Calcule o capital aplicado a 5 % a. a., a juros compostos, sendo que o montante obtido no fim de 4 a 2 m 20 d foi de

UM $ 4.000,00. 13) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 3.000,00, a juros compostos semestralmente a 6% a.a., durante

12 anos. R. R$ 6.098,37 14) Qual a taxa anual equivalente a 2,956 % semestrais? 15) Calcule as taxas semestrais equivalente e proporcional a 6 % a. a. 16) Coloquei a metade de certo capital a 5 % a. a., capitalizados semestralmente, durante 4 anos.Emprestei a outra metade a juros simples durante o mesmo perodo a 6 % a. a.. Podemos afirmar que:

a) O melhor negcio foi o emprstimo a juros compostos. b) O emprstimo a juros simples rendeu 10 % a mais que o feito a juros compostos. c) O melhor negcio foi no emprstimo a juros simples.* d) O emprstimo a juros compostos gerou 50 % dos juros obtidos pela aplicao do total do capital.

17) No trmino de 9 anos, retirei um montante de R$ 270.000,00 resultante da aplicao de R$ 150.000,00 Calcule a taxa. 18) Uma pessoa aplicou um capital de R$ 20.000,00 durante 4 anos taxa nominal de 14% ao ano capitalizada semestralmente. Ao trmino desse perodo, somente os juros ganhos, foram reaplicados por 15 meses taxa nominal de 12% ao trimestre capitalizada mensalmente. Qual o rendimento dessa ltima aplicao? (TCI RJ 1999) a) R$ 10.308,29 b) R$ 11.504,53 c) R$ 12.718,97 d ) R$ 12.856,78 e) R$ 13.082,56 19) Dois capitais foram aplicados pelo prazo fixo de 2 anos. O primeiro taxa nominal de 20% ao ano capitalizada semestralmente e o segundo, a 16% ao semestre capitalizada trimestralmente. Sabendo-se que ao trmino do prazo os juros ganhos pelos dois capitais totalizaram R$ 2.042,14, e que o primeiro capital R$ 1.000,00 maior do que o segundo, o valor de cada capital ,respectivamente, (TCI RJ 1999) a) R$ 2.000,00 e R$ 1.000,00 b) R$ 2.180,00 e R$ 1.180,00


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c) R$ 2.200,00 e R$ 1.200,00 d) R$ 2.240,00 e R$ 1.240,00 e) R$ 2.280,00 e R$ 1.280,00 20) Um capital foi aplicado por dois anos a juros efetivos compostos de 2% ao ano. No trmino desse prazo, um tero dos juros ganhos foram reaplicados taxa efetiva composta de 5% ao ano, obtendo-se uma remunerao de R$ 6.368,25 ao fim de 3 anos. Qual o valor do capital inicialmente aplicado? (TCI- 1999) a) R$ 2.000.000,00 b) R$ 2.900.000,00 c) R$ 3.000.000,00 d) R$ 3.100.000,00 e) R$ 3.120.000,00 21) Indique qual a taxa de juros anual equivalente taxa de juros nominal de 8% ao ano com capitalizao semestral. (AFTN 1998) a) 8,20% b) 8,16% c) 8,10% d) 8,05% e) 8,00% 22) O capital de R$ 1.000,00 aplicado do dia 10 de junho ao dia 25 do ms seguinte, a uma taxa de juros compostos de 21% ao ms. Usando a conveno linear, calcule os juros obtidos, aproximando o resultado em real. (AFTN 1998) a) R$ 331,00 b) R$ 340,00 c) R$ 343,00 d) R$ 342,00 e) R$ 337,00 23) Indique a taxa de juros anual equivalente taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalizao mensal. (AFTN 2002) a) 12,3600% b) 12,6825% c) 12,4864% d) 12,662% e) 12,5508% 24) Um capital aplicado a juros compostos durante seis meses e dez dias, a uma taxa de juros de 6% ao ms. Qual o valor que mais se aproxima dos juros obtidos como porcentagem do capital inicial, usando a conveno linear? (AFTN 2002) a) 46,11% b) 48,00% c) 41,85% d) 44,69% e) 50,36% 25) Um investidor aplicou R$ 10.000,00 em uma instituio de crdito que paga 10 % ao ms, no regime de capitalizao composta. Se o juro recebido foi de R$ 3.310,00, o perodo em que o capital esteve aplicado foi de (Ass. Adm. BRDES 2001) 2 meses. b) 3 meses. c) 4 meses e) 5 meses. e) 6 meses. 26) Uma pessoa deseja comprar um imvel. Para isso ela deposita a quantia de R$ 16.850,00 numa aplicao financeira, taxa de juros compostos de 20 % ao ano capitalizados semestralmente. Em 6 anos, essa pessoa ter o montante, desconsiderando-se os centavos, de (Ass. Adm. BRDES 2001) R$ 29.841,00 b) R$ 45.000,00 c) R$ 50.297,00 d) R$ 52.882,52 e) R$ 55.000,00 27) 02. Aps a data de seu vencimento, uma dvida submetida a juros compostos com taxa mensal de 8%, alm de ser acrescida de uma multa contratual correspondente a 2% da dvida original. Sabendo-se que log102 = 0,30 e log103 = 0,48 e utilizando-se para todo o perodo o sistema de capitalizao composta, determine o tempo mnimo necessrio, em meses, para que o valor a ser quitado seja 190% maior do que a dvida original. (C.E.F.) a) 24 b) 23,5 c) 13 d) 11,5 X e) 10 28) A taxa efetiva anual de 50%, no sistema de juros compostos, equivale a uma taxa nominal de i % ao semestre, capitalizada bimestralmente. O nmero de divisores inteiros positivos de i (C.E.F.) a) 4 X b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 29- (AFPS-2002) Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado taxa de juros compostos de 10% ao semestre por um prazo de quinze meses, usando a conveno linear para clculo do montante. a) 22,5% b) 24%


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c) 25% d) 26,906% e) 27,05% X 30 - (AFPS-2002) Calcule o montante obtido ao fim de dezoito meses por um capital unitrio aplicado a uma taxa de juros nominal de 36% ao ano com capitalizao mensal. a) 1,54 b) 1,7024 X c) 2,7024 d) 54% e) 70,24%

FLUXO DE CAIXA

Fluxo de caixa um objeto matemtico que pode ser representado graficamente com o objetivo de facilitar o estudo e os efeitos da anlise de uma certa aplicao, que pode ser um investimento, emprstimo, financiamento, etc.

Normalmente, um fluxo de caixa contm Entradas e Sadas de capital, indicadas em uma linha de tempo com incio no instante t=0.

Um tpico exemplo o grfico:

Fluxo de Caixa da pessoa Eo

0 1 2 3 ... n-1 n

S1 S2 S3 ... Sn-1 Sn

que representa um emprstimo bancrio realizado por uma pessoa de forma que ela restituir este emprstimo em n parcelas iguais nos meses seguintes. Observamos que Eo o valor que entrou no caixa da pessoa (o caixa ficou positivo) e S1, S2, ..., Sn sero os valores das parcelas que sairo do caixa da pessoa (negativas).

No Fluxo de Caixa do banco, as setas tm os sentidos mudados em relao ao sentidos das setas do Fluxo de Caixa da Pessoa. Assim:

Fluxo de Caixa do banco E1 E2 E3 ... En-1 En

0 1 2 3 ... n-1 n


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So

O fato de cada seta indicar para cima (positivo) ou para baixo (negativo), assumido por conveno, e o Fluxo de Caixa depender de quem recebe ou paga o Capital num certo instante, sendo que:

1. t=0 indica o dia atual;

2. Ek indica a Entrada de capital num momento k;

3. Sk indica a Sada de capital num momento k.

Observao: Neste trabalho, o ponto principal a construo de Fluxos de Caixa na forma grfica e pouca ateno dada resoluo dos problemas. Caso voc tenha algum Fluxo de Caixa interessante que valha a pena ser tratado, envie a sua sugesto.

Exemplos importantes

Na sequncia, iremos apresentar uma coleo de situaes e construiremos os Fluxos de Caixa das mesmas (do ponto de vista da pessoa).

Tais situaes so muito comuns nas operaes financeiras.

1. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagar R$11.000,00 daqui h um ms.

Fluxo de Caixa 01 10.000

0 1

11.000

2. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagar em duas parcelas iguais e seguidas de R$6.000,00 a partir do prximo ms.


0 1 2

6.000 6.000

3. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagar R$ 5.500,00 em 30 dias e R$6.500,00 em 60 dias.


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0 1 2

5.500 6.500

4. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagar R$ 1.000,00 em 15 parcelas iguais a partir do ms seguinte.


0 1 2 ... 14 15

1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

5. Uma pessoa comprou um carro por R$16.000,00 hoje e pagar em 24 parcelas de R$ 876,54 a partir do ms seguinte.


0 1 2 ... 23 24

876,54 876,54 876,54 876,54 876,54

6. Uma pessoa comprou um carro por R$16.000,00 hoje e pagar o mesmo em 24 parcelas de R$ 840,00 a partir de hoje.


0 1 2 ... 23


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840,00 840,00 840,00 840,00 840,00

7. Uma pessoa comprou um carro por R$12.000,00 hoje e pagar em 20 parcelas variveis que comeam com R$ 500,00 e vo aumentando R$100,00 a cada ms, sendo a primeira parcela paga a partir do ms seguinte.


0 1 2 ... 19 20

500 600 ... 2.300 2.400

8. Uma pessoa comprou um carro por R$12.000,00 hoje e pagar em 20 parcelas variveis que comeam com R$ 500,00 e vo aumentando R$100,00 a cada ms, sendo a primeira parcela paga j no momento inicial.


0 1 2 ... 18 19

500 600 700 ... 2.300 2.400

SRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS

Fator de acumulao de capital Se R, de valor constante, aplicado no fim de cada perodo, por n perodos, o total acumulado no fim de n perodos ser, obviamente, a soma das acumulaes correspondentes a essas aplicaes.

Desta forma temos

n n S = R ( 1 + i ) 1 onde ( 1 + i ) chamado de Fator de Acumulao de i i Capital FRS FRS - Dado o R, achar o S Fator de formao de capital


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Se quisermos R, dado S temos

R = S i onde i chamado de Fator de Formao de n n Capital FSR ( 1 + i ) 1 ( 1 + i ) 1 FSR Dado o S, achar o R Fator de recuperao de capital Se desejarmos saber qual o valor de R ( valor de pagamento de uma srie uniforme) que deve ser retirado no final de cada um de n perodos temos n n R = P i ( 1 + i ) onde i ( 1 + i ) chamado de Fator de Recuperao n n de Capital ( 1 + i ) - 1 (1 + 1) 1 FPR Dado P, achar o R Fator de valor atual Se desejarmos encontrar o valor presente P equivalente a uma srie de pagamentos uniformes e iguais a R temos n n P = R ( 1 + i ) - 1 onde 1 + i ) - 1 chamado de Fator de Valor Atual n n FRP Dado o R, achar o P i ( 1 + i ) i ( 1 + i ) Exerccios 1 ) Um emprstimo de R$ 30.000,00 concedido por uma instituio financeira para ser liquidado em 12 prestaes iguais, mensais e consecutivas. Sabendo-se que a taxa de juros de 3% a.m., capitalizado mensalmente, calcular o valor das prestaes. R. R$ 3013,80 2 ) Determinar a que taxa foi firmada uma operao de emprstimo de R$ 100.000,00 para ser quitado em 12 prestaes mensais, iguais e consecutivas de R$ 12.270,87 cada uma. 3 ) Uma pessoa depositou, anualmente, R$ 500,00, num Fundo de Renda Fixa , em nome do filho, que paga juros de 6% a.a. O primeiro depsito foi feito no dia em que o filho completou 1 ano, e o ltimo, por ocasio do 18 aniversrio. O dinheiro ficou depositado at o dia em que o filho completou 21 anos, ocasio em que o montante foi sacado. Calcule o valor do saque. R. R$ 18.404,56 4 ) Calcule o valor atual do fluxo de caixa abaixo, com uma taxa de desconto de 3% a.m. R. R$ 7.667,60 R = 1000 R = 1000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n


__________________________________________________________________________________________________________________________


5 ) Calcule o valor atual do fluxo de caixa abaixo, com uma taxa de desconto de 5% a.m. R. R$ 11.267,67 R = 2000 R = 1000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 6 ) Calcule o valor atual do fluxo de caixa abaixo, com uma taxa de desconto de 4% a.m. R. R$ 13.384,65 R = 2000 3000 R = 1000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7) Uma determinada instituio realiza operaes financeiras com uma taxa efetiva de 3% a.m. O financiamento pode ser pago de duas maneiras: a) Em prestaes mensais iguais R. R$ 1.004,6 b) Em prestaes trimestrais iguais. R. R$ 3.105,2

Determinar o valor dessas prestaes para um financiamento de R$ 10.000,00. 8 ) Um indivduo deseja vender um terreno de sua propriedade por R$ 400.000,00 vista, porm concorda em financiar 50% do valor em um ano, taxa de 1% a.m., atravs de um dos seguintes planos: a) Doze prestaes mensais de R$ 10.000,00 e mais duas parcelas semestrais iguais, a serem determinadas. R. R$ 47.799,66 b) Duas parcelas semestrais de R$ 80.000,00, mais doze prestaes mensais iguais, a serem determinadas. Calcular os valores desconhecidos em ambos os planos.

9) Mrcio e Daniela ficaram noivos e pretendem casar dentro de 20 meses. Como acham mais aconselhvel adquirir vista todos os mveis necessrios, pretendem fazer aplicaes mensais, cujo montante dever ser sacado 3 meses antes do casamento para a devida compra. Sabendo-se que: a) Essa aplicao rende 3% a.m. b) O montante desejado de R$ 80.000,00 ( valor que os mesmos estimam para os mveis daqui a 17 meses). c) O casal aplicou, hoje, R$ 10.000,00. Qual ser o valor de cada uma das 17 prestaes mensais, iguais e consecutivas, necessrias para totalizar um montante de R$ 80.000,00 no final de 17 meses? 10) A aplicao de R$ 3.700,00 por ms gerou, no final de 14 meses, um montante de R$ 51.700,00. Determinar a taxa de rendimento da operao. 11) Quantas prestaes mensais, iguais e consecutivas de R$ 4.500,00 deverei aplicar para ter um montante de R$ 100.000,00, taxa de 2% a.m.? O montante poder ser atingido atravs de uma srie uniforme? A tabela abaixo contm nmeros elevados a potncias especficas que podero ser usados para facilitar seus clculos na resoluo desta prova. Alguns resultados podem apresentar diferenas de + ou - 0,01, posto que valores em moeda corrente devem ter apenas 2 casas decimais. (Use essa tabela para as questes 12 16 Questes do concurso para AFTN)

2 3 4 5 6 7 8 9

(1,04) = 1,0816 (1,04) = 1,1248 (1,04) = 1,1698 (1,04) = 1,2166 (1,04) = 1,2653 (1,04) = 1,3159 (1,04) = 1,3685 (1,04) = 1,4233 10

(1,04) = 1,4802


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2 3 4 5 6 7 8 9

(1,09) = 1,1881 (1,09) = 1,2950 (1,09) = 1,4115 (1,09) = 1,5386 ( 1,09) = 1,6771 (1,09) = 1,8280 (1,09) = 1,9925 (1,09) = 2,1718 10

(1,09) = 2,3673 2 3 4 5 6 7 8 9 (1,10) = 1,2100 (1,10) = 1,3310 (1,10) = 1,4641 (1,10) = 1,6105 (1,10) = 1,7715 (1,10) = 1,9487 (1,10) = 2,1435 (1,10) = 2,3579 10

(1,10) = 2,5937 2 3 4 5 6 7 8 9

(1,20)= 1,4400 (1,20) = 1,7280 (1,20) = 2,0736 (1,20) = 2,4883 (1,20) = 2,9859 (1,20) = 3,5831 (1,20) = 4,2998 (1,20) = 5,1597 10

(1,20) = 6,1917

12) Uma pessoa paga uma entrada no valor de $ 23,60 na compra de um equipamento e paga mais 4 prestaes mensais, iguais e sucessivas no valor de $ 14,64 cada uma. A instituio financiadora cobra uma taxa de juros de 120% a.a., capitalizados mensalmente (juros compostos). Com base nestas informaes podemos afirmar que o valor que mais se aproxima do valor vista do equipamento adquirido : a) $ 70,00 b) $ 76,83 c) $ 86,42 d) $ 88,00 e) $ 95,23 13) Uma pessoa tomou um emprstimo taxa de 4% a.m., com juros capitalizados mensalmente.este emprstimo deve ser pago em duas parcelas mensais e iguais de $ 1.000,00, daqui a 13 e 14 meses, respectivamente. O valor que mais se aproxima do valor de um nico pagamento no dcimo quinto ms, que substitui estes dois pagamentos : a) $ 2.012,00 b) $ 2.121,00 c) $ 2.333,33 d) $ 2.484,84 e) $ 2.516,16 14) Um emprstimo de $ 20.900,00 foi realizado com uma taxa de juros de 36% ao ano, capitalizados trimestralmente, e

dever ser liquidado atravs de 2 prestaes trimestrais, iguais e consecutivas ( primeiro vencimento ao final do primeiro trimestre, segundo vencimento no final do segundo trimestre). O valor que mais se aproxima do valor unitrio de cada prestao :

a) $ 10.350,00 b) $ 10.800,00 c) $ 11.881,00 d) $ 12.433,33 e) $ 12.600,00 15) Uma empresa obteve um financiamento de $ 10.000,00 taxa de 120% ao ano capitalizados mensalmente (juros

compostos) A empresa pagou $ 6.000,00 ao final do primeiro ms e $ 3.000, ao final do segundo ms. O valor que dever ser pago no final do terceiro ms para liquidar o financiamento (juros + principal) :

a) $ 3.250,00 b) $ 3.100,00 c) $ 3.050,00 d) $ 2.975,00 e) $ 2.750,00 16) Uma empresa contraiu um emprstimo no regime de juros compostos, taxa de 2,5 % a.m. , para ser liquidado em

dois pagamentos. O primeiro pagamento ser de R$ 400.000,00 e dever ocorrer no final do sexto ms. O segundo pagamento ser de R$ 800.000,00 e dever ocorrer no final do dcimo ms. Esse emprstimo poderia, entretanto, ser liquidado em um nico pagamento de R$ 1.404.667,20. Determinar em que ms deveria ser efetuado esse pagamento, para que a taxa de 2,5 % a. m. fosse mantida.

17) Uma pessoa deseja fazer uma aplicao financeira, a juros compostos de 2% ao ms, de forma que possa retirar de

R$ 10.000,00 no final do sexto ms e R$ 20.000,00 no final do dcimo segundo ms. Qual o valor da aplicao que permite a retirada desses valores nos meses indicados. R. R$ 24.649,61

18) Uma empresa tem uma dvida com um Banco de Investimentos que dever ser liquidada em dois pagamentos, sendo

o primeiro de R$ 150.000,00 no final do dcimo segundo ms e o segundo de R$ 250.000,00 no final do dcimo oitavo ms Sabendo-se que nesses dois valores j foram computados juros compostos a uma taxa de 4% ao ms, determinar:

a) o valor que deve ser pago ao banco para a quitao imediata da dvida; b) os valores de dois pagamentos iguais, no final do nono e do dcimo oitavo meses, que poderiam ser aceitos pelo

Banco como uma reformulao da dvida, mesma taxa de juros. 19) Uma empresa contraiu um emprstimo no regime de juros compostos, taxa de 2,5% ao ms, para ser liquidado em

dois pagamentos. O primeiro pagamento ser de Cr$ 400.000,00 e dever ocorrer no final do sexto ms. O segundo pagamento ser de Cr$ 800.000,00 e dever ocorrer no final do dcimo ms. Esse emprstimo poderia, entretanto, ser liquidado com um nico pagamento de Cr$ 1.404.677,20. Determinar em que ms deveria ser efetuado esse pagamento, para que a taxa de 2,5% ao ms fosse mantida.

20) Um Banco de Investimento deseja realizar um emprstimo para uma determinada empresa, que dever liquid-lo no

final do nono ms pelo valor de R$ 1.304.773,18. Determinar o valor que deve ser abatido no ato da contrao, uma


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vez que a empresa deseja limitar esse pagamento final em R$ 1.200.000,00, sabendo que o banco opera no regime de juros compostos, taxa de 5% ao ms.

21) Uma pessoa deseja obter um emprstimo para adquirir um automvel, cujo valor, a vista, de R$ 300.000,00. Para

diminuir o valor das prestaes poder dar uma entrada de R$ 100.000,00 por ocasio da compra. Determinar o valor das 24 prestaes mensais, iguais e sucessivas, para a parte financiada, sabendo-se que a Agncia de Automvel cobra uma taxa de 60% ao ano, capitalizados mensalmente.

22) Uma pessoa dispe mensalmente de R$ 15.000,00, para pagar as doze prestaes mensais, iguais e sucessivas, relativas a um financiamento de um bem, cujo valor vista, de R$ 200.000. Calcular o valor que deve ser dado de entrada, para que o financiamento seja contratado a uma taxa de 36 % ao ano, capitalizados mensalmente.

23) Uma pessoa pretende ter disponvel um capital de R$ 15.000,00 para a compra de um carro, ao final de 10 meses. Para tanto ela far 11 depsitos mensais em uma conta que rende 2% de juros ao ms. Dessas 11 aplicaes mensais, 10 sero de mesmo valor e consecutivas, sendo a primeira realizada no final do primeiro ms e as demais no final de cada ms subseqente. Porm uma das 11 aplicaes igual a R$ 2.000,00 ser realizada no final do oitavo ms rendendo juros durante 2 meses. Considerando que o fator de formao de capital (FFC) para 10 meses e taxa de juros de 2% ao ms : FFC(2%,10) = 0,09133, quanto dever ser o valor de cada uma das 10 aplicaes mensais para que a pessoa tenha disponveis os R$ 15.000,00 ao final do dcimo ms? (Analista de projetos BRDES 2001)

a) R$ 1.179,91 b) R$ 1.190,30 c) R$ 1.291,92 d) R$ 1.300,00 e) R$ 1.369,95 24) Uma pessoa deve pagar 3 prestaes de R$ 3.500,00 cada uma, a vencer daqui a 1 ms, 2 meses e 3 meses, respectivamente. Se resolvesse pagar a dvida por meio de um nico pagamento daqui a 60 dias, qual seria o valor desse pagamento, considerando-se uma taxa de juros efetiva composta de 5% ao ms? (TCI RJ ) a) R$ 9.890,00 b) R$ 10.240,60 c) R$ 10.500,00 d) R$ 11.080,70 e) R$ 11.500,40 25) Em uma financeira foi concedido um crdito direto no valor de R$ 8.662,30 que dever ser pago em 10 prestaes mensais consecutivas de R$ 1.000,00 cada. Qual foi a taxa mensal de juros cobrada ? (TCI RJ 1999) a) 2,3 % b) 2,5 % c) 2,6 % d) 2,7 % e) 2,9 % 26) Um eletrodomstico ser pago por meio de uma entrada e 12 prestaes mensais iguais e consecutivas. Se cada prestao for igual a 10% do valor vista, sendo a primeira paga ao trmino de um perodo de 4 meses, considerando-se uma taxa de juros efetiva composta de 4% ao ms, qual o percentual sobre o valor vista que dever ser pago como entrada? (TCI RJ 1999) a) 11,8765 % b) 15,2314 % c) 16,2340% d) 16,5670 % e) 19,3456%

27) Um financiamento ser pago em 15 prestaes mensais consecutivas, com incio ao trmino de um perodo de 6 meses. As primeiras cinco prestaes sero de R$ 12.000,00, as cinco seguintes de R$ 14.000,00, e as cinco ltimas de R$ 17.000,00. Se esse esquema de pagamentos for trocado por outro em que o muturio pague 15 prestaes mensais iguais, tambm com incio aps um perodo de 6 meses, o valor unitrio dessas prestaes, considerando-se uma taxa de juros efetiva composta de 3% ao ms, ser igual a ( TCI RJ ) a) R$ 12.718,97b) R$ 13.182,56 c) R$ 14.089,11 d) R$ 15.308,29 e) R$ 17.856,78 28) Calcular a soma dos valores atuais, no momento zero, das quantias que compem o seguinte fluxo de valores: um desembolso de R$ 2.000,00 em zero, uma despesa no momento um de R$ 3.000,00 e nove receitas iguais de R$ 1.000,00 do momento dois ao dez, considerando que o intervalo de tempo decorrido entre momentos consecutivos o ms e que a taxa de juros compostos de 3% ao ms. Usar ainda a conveno de despesa negativa e receita positiva, e desprezar os centavos. (AFRF) a) R$ 2.646,00 b) R$ 0,00 c) R$ 2.511,00 d) R$ 3.617,00 e) R$ 2.873,00

29) Uma compra no valor de R$ 10.000,00 deve ser paga com uma entrada de 20% e o saldo devedor financiado em

doze prestaes mensais iguais, vencendo a primeira prestao ao fim de um ms, a uma taxa de 4% ao ms.

Considerando que este sistema de amortizao corresponde a uma anuidade ou renda certa, em que o valor atual da

anuidade corresponde ao saldo devedor e que os termos da anuidade correspondem s prestaes, calcule a prestao

mensal, desprezando os centavos. (AFRF) a) R$ 900,00 b) R$ 986,00 c) R$ 923,00 d) R$ 852,00 e) R$ 1.065,00


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30) Um indivduo faz um contrato com um banco para aplicar mensalmente R$1.000,00 do primeiro ao quarto ms, R$2.000,00 mensalmente do quinto ao oitavo ms, R$3.000,00 mensalmente do nono ao dcimo segundo ms. Con-siderando que as aplicaes so feitas ao fim de cada ms, calcule o montante ao fim dos doze meses, considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao ms (despreze os centavos). (AFRF) a) R$ 21.708,00 b) R$ 29.760,00 c) R$ 35.520,00 d) R$ 22.663,00e) R$ 26.116,00

31) Uma pessoa faz uma compra financiada em doze prestaes mensais e iguais de R$210,00. Obtenha o valor financiado, desprezando os centavos, a uma taxa de juros compostos de 4% ao ms, considerando que o financiamento equivale a uma anuidade e que a primeira prestao vence um ms depois de efetuada a compra. (AFRF) a) R$ 3.155,00 b) R$ 2.048,00 c) R$ 1.970,00 d) R$ 2.530,00 e) R$ 2.423,00 32) Uma loja vende um aparelho de televiso por R$500,00 vista ou ento a prazo com 20% de entrada mais uma parcela de R$440,00 dois meses aps a compra. A taxa mensal de juros compostos do financiamento, na forma decimal, dada por: (ICMS-MS) 33) Um investimento consiste na realizao de 12 depsitos mensais de R$ 100,00, sendo o primeiro deles feito um ms aps o incio da transao. O montante ser resgatado um ms depois do ltimo depsito. Se a taxa de remunerao do investimento de 2% ao ms, no regime de juros compostos, o valor do resgate, em reais, ser: (C.E.F.) a) 1 200,00 b) 1 224,00 c) 1 241,21 d) 1 368,03 X e) 2 128,81 34 - Jlio fez uma compra de R$ 600,00, sujeita taxa de juros de 2% ao ms sobre o saldo devedor. No ato da compra, fez o pagamento de um sinal no valor de R$ 150,00. Fez ainda pagamentos de R$ 159,00 e R$ 206,00, respectivamente, 30 e 60 dias depois de contrada a dvida. Se quiser quitar a dvida 90 dias depois da compra, quanto dever pagar, em reais? (C.E.F.) a) 110,00 b) 108,00 c) 106,00 d) 104,00 e) 102,00 X 35- (AFPS-2002) Um consumidor compra um bem de consumo durvel no valor de R$ 15.000,00 financiado totalmente em dezoito prestaes mensais de R$ 1.184,90, vencendo a primeira prestao ao fim do primeiro ms. Junto com o pagamento da dcima segunda prestao o consumidor acerta com o financiador o refinanciamento do saldo devedor em doze prestaes mensais mesma taxa de juros, vencendo a primeira prestao ao fim do primeiro ms seguinte. Calcule o valor mais prximo da nova prestao mensal. a) R$ 504,00 b) R$ 561,00 c) R$ 625,00 d) R$ 662,00 X e) R$ 796,00 36- (AFPS-2002) Obtenha o valor mais prximo da quantia que deve ser depositada ao fim de cada ms, considerando uma taxa de rendimento de 2% ao ms, juros compostos, com o objetivo de se obter R$ 50.000,00 ao fim de dez meses. a) R$ 5.825,00 b) R$ 5.000,00 c) R$ 4.782,00 d) R$ 4.566,00 X e) R$ 3.727,00


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SISTEMAS DE AMORTIZAES

Introduo amortizao

Amortizao um processo de extino de uma dvida atravs de pagamentos peridicos, que so realizados em funo de um planejamento, de modo que cada prestao corresponde soma do reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que

Juros so sempre calculados sobre o saldo devedor!

Os principais sistemas de amortizao so:

1. Sistema de Pagamento nico: Um nico pagamento no final.

2. Sistema de Pagamentos variveis: Vrios pagamentos diferenciados.

3. Sistema Americano: Pagamento no final com juros calculados perodo a perodo.

4. Sistema de Amortizao Constante (SAC): A amortizao da dvida constante e igual em cada perodo.

5. Sistema Price ou Francs (PRICE): Os pagamentos (prestaes) so iguais.

6. Sistema de Amortizao Misto (SAM): Os pagamentos so as mdias dos sistemas SAC e Price.

7. Sistema Alemo: Os juros so pagos antecipadamente com prestaes iguais, exceto o primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operao.

Em todos os sistemas de amortizao, cada pagamento a soma do valor amortizado com os juros do saldo devedor, isto :

Pagamento = Amortizao + Juros

Em todas as nossas anlises, utilizaremos um financiamento hipottico de R$300.000,00 que ser pago ao final de 5 meses taxa mensal de 4%.

Na sequncia, ser essencial o uso de tabelas consolidadas com os dados de cada problema e com informaes essenciais sobre o sistema de amortizao. Em todas as anlises, utilizaremos a mesma tabela bsica que est indicada abaixo, com os elementos indicados:


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Sistema de Amortizao

n Juros Amortizao do Saldo devedor

Pagamento Saldo devedor

0 300.000,00

1

2

3

4

5 0

Totais 300.000,00

Sistema de Pagamento nico

O devedor paga o Montante=Capital + Juros compostos da dvida em um nico pagamento ao final de n=5 perodos. O Montante pode ser calculado pela frmula:

S = P (1+i)n

Uso comum: Letras de cmbio, Ttulos descontados em bancos, Certificados a prazo fixo com renda final.

Sistema de Pagamento nico



0 0 0 0 300.000,00

1 12.000,00 312.000,00

2 12.480,00 324.480,00

3 12.979,20 337.459,20

4 13.498,37 350.957,57

5 14.038,30 300.000,00 364.995,87 0

Totais 64.995,87 300.000,00 364.995,87

Sistema de Pagamentos Variveis

O devedor paga o periodicamente valores variveis de acordo com a sua condio e de acordo com a combinao realizada inicialmente, sendo que os juros do Saldo devedor so pagos sempre ao final de cada perodo.

Uso comum: Cartes de crdito.

Combinao: O devedor pagar a dvida da seguinte forma:

No final do 1o. ms: R$ 30.000,00 + juros






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Sistema de Pagamentos Variveis



0 0 0 0 300.000,00

1 12.000,00 30.000,00 42.000,00 270.000,00

2 10.800,00 45.000,00 55.800,00 225.000,00

3 9.000,00 60.000,00 69.000,00 165.000,00

4 6.600,00 75.000,00 81.600,00 90.000,00

5 3.600,00 90.000,00 93.600,00 0

Totais 42.000,00 300.000,00 342.000,00

O devedor paga o Principal em um nico pagamento no final e no final de cada perodo, realiza o pagamento dos juros do Saldo devedor do perodo. No final dos 5 perodos, o devedor paga tambm os juros do 5o. perodo.

Sistema Americano



0 0 0 0 300.000,00

1 12.000,00 12.000,00 300.000,00

2 12.000,00 12.000,00 300.000,00

3 12.000,00 12.000,00 300.000,00

4 12.000,00 12.000,00 300.000,00

5 12.000,00 300.000,00 312.000,00 0

Totais 60.000,00 300.000,00 360.000,00

Sistema de Amortizao Constante (SAC)

O devedor paga o Principal em n=5 pagamentos sendo que as amortizaes so sempre constantes e iguais.

Uso comum: Sistema Financeiro da Habitao

Sistema de Amortizao Constante (SAC)



0 0 0 0 300.000,00

1 12.000,00 60.000,00 72.000,00 240.000,00

2 9.600,00 60.000,00 69.600,00 180.000,00

3 7.200,00 60.000,00 67.200,00 120.000,00

4 4.800,00 60.000,00 64.800,00 60.000,00

5 2.400,00 60.000,00 62.400,00 0

Totais 36.000,00 300.000,00 336.000,00 Sistema Price (ou Sistema Francs)


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Sistema Price (ou Sistema Francs)



0 0 0 0 300.000,00

1 12.000,00 55.388,13 67.388,13 244.611,87

2 9.784,47 57.603,66 67.388,13 187.008,21

3 7.480,32 59.907,81 67.388,13 127.100,40

4 5.084,01 62.304,12 67.388,13 64.796,28

5 2.591,85 64.796,28 67.388,13 0

Totais 36.940,65 300.000,00 336.940,65

Todas as prestaes (pagamentos) so iguais.

Uso comum: Financiamentos em geral de bens de consumo.

Clculo: O clculo da prestao R o produto do valor financiado P=300.000,00 pelo coeficiente dado pela frmula

n n R = P i( 1 + i ) onde i(1 + i ) chamado de Fator de Recuperao n n Capital ( 1 + i ) - 1 ( 1 + i ) - 1 FPR Dado o P, achar o R

Sistema de Amortizao Misto (SAM)

Cada prestao (pagamento) a mdia aritmtica das prestaes respectivas no Sistemas Price e no Sistema de Amortizao Constante (SAC).

Uso: Financiamentos do Sistema Financeiro da Habitao.

Clculo: PSAM = (PPrice + PSAC) 2

n PSAC PPrice PSAM

1 72.000,00 67.388,13 69.694,06

2 69.600,00 67.388,13 68.494,07

3 67.200,00 67.388,13 67.294,07

4 64.800,00 67.388,13 66.094,07

5 62.400,00 67.388,13 64.894,07


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Sistema de Amortizao Misto (SAM)



0 0 0 0 300.000,00

1 12.000,00 57.694,06 69.694,06 242.305,94

2 9.692,24 58.801,83 68.494,07 183.504,11

3 7.340,16 59.953,91 67.294,07 123.550,20

4 4.942,01 61.152,06 66.094,17 62.398,14

5 2.495,93 62.398,14 64.894,07 0

Totais 36.470,34 300.000,00 336.470,94

Sistema Alemo

O sistema Alemo consiste em liquidar uma dvida onde os juros so pagos antecipadamente com prestaes iguais, exceto o primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operao financeira. necessrio conhecer o valor de cada pagamento P e os valores das amortizaes Ak, k=1,2,3,...,n. Uso comum: Alguns financiamentos.

Frmulas necessrias: Para k=1,2,...,n.

A prestao mensal do financiamento, pode ser calculada com as frmulas acima.

P = (300.0000,04)[1-(1-0,04)5]=64.995,80 A1 = 64.995,80 (1-0,04)

4 = 55.203,96 A2 = 55.203,96 (1-0,04) = 57.504,13 A3 = 57.504,13 (1-0,04) = 59.900,13 A4 = 59.900,13 (1-0,04) = 62.395,97 A5 = 62.395,97 (1-0,04) = 64.995,80

Sistema Alemo



0 12.000,00 0 12.000,00 300.000,00

1 9.791,84 55.203,96 64.995,80 244.796,04

2 7.491,68 57.504,13 64.995,80 187.291,91

3 5.095,67 59.900,13 64.995,80 127.391,78

4 2.599,83 62.395,97 64.995,80 64.995,80

5 64.995,80 64.995,80 0

Totais 36.979,02 300.000,00 336.979,02


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Estudaremos trs sistemas de amortizaes normalmente usado em concursos pblicos. PRICE - SAC - SAM No pagamento de um financiamento atravs de prestaes, observamos que cada uma delas composta de duas partes: Amortizao do principal (saldo devedor) e juros. Assim, podemos escrever que Prestao = Amortizao + Juros Essa composio vale para os trs sistemas a serem abordados. SISTEMA PRICE Essa modalidade de pagamento comumente conhecida como Price. Sua utilizao bastante difundida, cabendo ressaltar as aplicaes em :

- Financiamentos imobilirios (Sistemas de Habitao) - Crdito direto ao consumidor, por exemplo, financiamento de eletrodomsticos, automveis, etc.

Podemos representar o sistema de acordo com o grfico abaixo Por este sistema o muturio obriga-se a devolver o principal mais os juros em prestaes iguais entre si. A dvida fica completamente saldada na ltima prestao.

Para o clculo das prestaes, utilizamos a frmula de rendas certas, ou seja

n R = P i ( 1 + i ) n ( 1 + i ) - 1 Os juros sempre so calculados sobre o saldo devedor. Para melhor organizao dos dados, recomendvel construirmos uma tabela com as seguintes caractersticas:

N de perodos Saldo Devedor Prestao Amortizao Juros

n SD R A J

29.2.1 Conveno J = parcela de juros referentes ao perodo de ordem t (1, 2, 3, ...n)

Amortizao

Juros

Perodos

Prestao


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t A = parcela de amortizao referente ao perodo de ordem t (1, 2, 3, ...n) t P = saldo devedor referente ao perodo de ordem t (1, 2, 3, ...n-1) t RELAES TEIS 1 - Valor da prestao: R = P . FRC ( i, n ) 0 2 - Valor do saldo devedor de ordem t : P = R . FVA ( i, n - t ) t 3 - Valor do saldo devedor de ordem t - 1 : P = R . FVA ( i, n - t + 1 ) t - 1 4 - Valor da parcela de juros de ordem t : j = i . P = i . R . FVA ( i, n - t + 1 ) t t - 1 5 - Valor da primeira parcela de amortizao : A = R - i . P 1 0 t - 1 6 - Valor da parcela de amortizao de ordem t : A = A ( 1 + i ) t 1 7 - Valor das amortizaes acumuladas at o perodo de ordem t ( a partir da primeira ) t A = R { FVA ( i, n ) - FVA ( i, n - t )} h = 1 h 8 - Valor das amortizaes acumuladas entre os perodos de ordem t e t + k t + k A = R { FVA ( i, n - t ) - FVA ( i, n - t - k ) } h = t + 1 h 9 - Valor dos juros acumulados at o perodo de ordem t ( a partir da primeira ) t t j = R . t - A = R . { FVA ( i, n ) - FVA ( i, n - t )} h = 1 h h = 1 h t J = R { t - FVA ( i, n ) + FVA ( i, n - t )} h = 1 h 10- Valor dos juros acumulados entre os perodos de ordem t e t + k t + k J = R { k - FVA ( i, n - t ) + FVA ( i, n - t - k )} h = t + 1 h


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n n FVA = ( 1 + i ) 1 FRC = i ( 1 + i ) . n n i ( 1 + i ) ( 1 + i ) 1 Fator de Valor Atual Fator de Recuperao de Capital Exerccios 1 ) Uma pessoa compra um imvel por R$ 200.000,00 e resolve pag-lo atravs do sistema Price de amortizao em 1 ano. Sabendo-se que a financeira cobra 2 % a.m., calcular: a) O valor da prestao b) Os juros da primeira prestao c) O valor da primeira amortizao 2 ) Montar a planilha financeira para um financiamento de R$ 1.000,00, a 36 % a.a. nominais, com prazo de 4 meses, amortizvel em 4 prestaes mensais. . 3) Calcular os valores das parcelas de juros e amortizao referentes a um emprstimo de R$ 8.530,20, taxa de 2 % a.m., para ser liquidado em 10 prestaes iguais. 4) Com os dados do problema anterior, calcular o saldo devedor no final do 6 perodo ( aps o pagamento da 6 prestao ) a) Qual o valor da parcela de juros correspondente a 4 prestao ? b) Calcular o valor da parcela de amortizao correspondente a 5 prestao. c) Calcule o valor das amortizaes acumuladas at o 4 ms, ou seja, a soma das parcelas correspondentes s quatro primeiras prestaes. 5) Seja um financiamento com as seguintes caractersticas: Prazo: 8 meses Taxa: 3 % ao ms Principal: R$ 1.000,00 Pagamento: mensais iguais.

Pede-se:

a) O valor da prestao mensal R. R$ 142,60 b) Desdobrar cada prestao em amortizao e juros Construir a tabela c) O principal remanescente logo aps o 3 pagamento R. R$ 652,43 6) O fator de recuperao do capital (FRC) para uma taxa de juros de 1% ao ms e um perodo de 12 meses FRC(1%,12) = 0,08885. Assim, quais so os valores da prestao e dos juros includos na segunda prestao, referentes ao pagamento de um emprstimo de R$ 12.000,00 tomado taxa de juros de 1% ao ms para ser liquidado em 12 prestaes mensais iguais e sucessivas, calculadas pela tabela Price ou Sistema Francs de Amortizao? (Anal. Projetos BRDES/2001) a) R$ 1.000,00 e R$ 120,00 b) R$ 1.066,20 e R$ 60,00 c) R$ 1.066,20 e R$ 110,54


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d) R$ 1.066,20 e R$ 946,20 R$ 1.120,00 e R$ 11,20 SISTEMA DE AMORTIZAO CONSTANTE Este sistema foi popularizado pelo Sistema Financeiro de Habitao (SFH), que o adotou nos financiamentos de compra da casa prpria. Atualmente ele muito utilizado para financiamentos de longo prazo. Dada a equao Prestao = Amortizao + Juros, no caso do SAC, a parcela de amortizao ser sempre constante. A parcela de juros decresce linearmente. De uma forma grfica, teramos Juros Prestao Amortizao 0 n Tempo Trata-se de um sistema simples pois todo ele linear e se comporta como uma Progresso Aritmtica. Para facilitar e visualizar o clculo, utilizamos a tabela como mostrado a seguir.

N de perodos Saldo Devedor Prestao Amortizao Juros

n SD R A J

Inicialmente, calcula-se o valor da parcela de amortizao, dividindo-se o Principal pelo nmero de perodos. Como as amortizaes so constantes, o seu valor obtido dividindo o principal P pelo nmero de prestaes n. Temos, ento que A = P , onde A = Amortizao, P = Principal a ser amortizado e n = Nmero de n n = nmero de perodos A seguir, calcula-se a parcela de juros correspondentes a cada prestao. Os juros so sempre calculados sobre o saldo devedor. Assim os juros da primeira prestao ser igual ao produto do Principal pela taxa aplicada, considerando-se um perodo de tempo. Logo J = i.P Prestao = Amortizao + Juros A primeira prestao igual a : p = P + iP 1 n A segunda prestao igual a : p = P + [ i( P - A )] A = amortizao 2 n O saldo devedor diminui linearmente e se obtm subtraindo do principal o valor da amortizao vezes o nmero de prestaes pagas: SD = P - A.k onde k o nmero de prestaes pagas k


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Relaes teis Desenvolvendo-se perodo por perodo, chega-se ao quadro abaixo Perodo Prestao Amortizao Juros Saldo devedor k P A J SD k k k k 0 -- --- --- P 1 P + iP P/n iP P - P n n 2 P + iP -iP P/n iP - iP P - 2P n n n n k P + iP - (k - 1)iP P/n iP - (k - 1)iP P - kP n n n n n P + iP - (n - 1) iP P/n iP - (n-1)iP P - nP = 0 n n n n Exerccios 1 - Considere um plano de pagamentos com base no SAC, correspondente a um emprstimo de R$ 100.000,00, taxa de 3% ao ms, a ser liquidado em 10 prestaes mensais. Elaborar o plano de pagamentos ( Construa a tabela) 2 Um apartamento vendido por R$ 1.500.000,00, sendo R$ 300.000,00 de entrada e o restante em 60 prestaes mensais, taxa de 2,5% a. m. pelo SAC. Calcular: a) O valor da 1 e da ltima prestao. R$ 50.000,00 e R$ 20.500,00 b) O valor do decrscimo mensal das prestaes. R$ 500,00 c) O valor das parcelas de juros referentes 37 e 38 prestao.

R$ 12.000,00 e R$ 11.500,00 d) O somatrio da 41 at a 50 prestao (ambos os limites includos) R$ 915.000,00 e) O total de juros a ser pago at a liquidao do dbito. R$ 915.000,00 3 Uma sociedade de crdito imobilirio concede um emprstimo de 2.700 UPC, cobrando uma taxa de 1% a. m.. Sabemos que o valor da 1 prestao 42 UPC e que o sistema de amortizao o SAC, determinar o nmero de prestaes mensais e o somatrio do valor das prestaes do plano. 180 e 5.143,5 UPC

4 - Uma pessoa contratou um financiamento de R$ 6.000,00 que ser amortizado por meio de 6 prestaes mensais postecipadas (termos vencidos) segundo o Sistema de Amortizaes Constantes - SAC. Considerando uma taxa de juros efetiva composta de 5% ao ms, a soma dos valores das prestaes dos trs primeiros meses ser de (TCI RJ/99)

a) R$ 3.440,00 b) R$ 3.450,00 c) R$ 3.460,00 d) R$ 3.490,00 e) R$ 3.750,00

5 - Com relao ao Sistema de Amortizao Constante (SAC) e ao Sistema Price (SP), podemos afirmar que: (ICMS MS/2000)

a) No SAC as prestaes so constantes ao longo do tempo b) No SP as amortizaes so constantes ao longo do tempo c) No SAC os juros so crescentes ao longo do tempo d) No SP as amortizaes so crescentes ao longo do tempo


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6 - Um emprstimo de R$ 300,00 ser pago em 6 prestaes mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias aps o emprstimo, com juros de 4% ao ms sobre o saldo devedor, pelo Sistema de Amortizao Constante (SAC). O valor, em reais, da quarta prestao ser (C.E.F.) a) 50,00 b) 52,00 c) 54,00 d) 56,00 X e) 58,00 7- (AFPS-2002) Um financiamento habitacional no valor de R$ 120.000,00 vai ser pago por prestaes mensais calculadas pelo sistema de amortizaes constantes, a uma taxa de juros nominal de 12% ao ano, durante dez anos. Calcule a dcima prestao mensal do financiamento. a) R$ 2.200,00 b) R$ 2.120,00 c) RS 2.110,00 X d) R$ 2.100,00 e) R$ 2.000,00 SISTEMA DE AMORTIZAO MISTO SAM Este modelo foi criado pelo BNH em maio de 1979, e constitui-se num misto entre o Price e o SAC. O SAM um plano de pagamentos compostos por prestaes cujos valores so resultantes da mdia aritmtica dos valores das prestaes dos planos do Price e do SAC, correspondentes aos respectivos prazos; os valores das parcelas de amortizao e juros resultam da mesma regra. Como os dois planos j foram discutidos anteriormente, passaremos formulao das parcelas correspondentes. Assim, temos Prestao = Amortizao + Juros R M = (R P + R S)/2 A M = (A P + A S )/2 J M = (J P + J S )/2 EXERCCIOS 1 - Seja um financiamento de R$ 12.000,00 a ser liquidado em 12 prestaes mensais, iniciando o pagamento ao final do 1 ms, sujeito a uma taxa de juros de 2% a.m., capitalizada mensalmente. Calcular:

a) O valor da 10 prestao. 1.097,36 b) Calcular o valor da parcela de amortizao correspondente 4 prestao. 974,74 c) Determinar a parcela de juros referente 6 prestao. 143,44 2 - Sabendo-se que o valor da 1 prestao de um plano de pagamentos calculado de acordo com o SAM de R$ 41.982,51, que o valor da amortizao constante, de acordo com o SAC, de R$ 11.904,76, que a taxa de juros de 3,5% a.m. e que o emprstimo dever ser liquidado em prestaes mensais durante 7 anos, pede-se determinar, com base no SAM, os seguintes valores:

a) O valor da 13 prestao. 39.482,50 b) O valor acumulado das prestaes compreendidas entre a 57 (exclusive) e a 73 (inclusive)

456.719,47


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EQUIVALNCIA DE FLUXOS DE CAIXA

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