7-Corrente Alternada

8/6/2019 7-Corrente Alternada

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7. Circuitos de Corrente Alternada (AC)

7.1. Fontes de AC e Fasores

7.2. Resistncias num Circuito AC

7.3. Indutores num Circuito AC

7.4. Condensadores num Circuito AC7.5. O Circuito RLC em Srie

7.6. Ressonncia num Circuito RLC em Srie


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2

Descrevemos os princpios bsicos dos circuitos AC simples.

Anlise de circuitos em srie simples com resistncias (R), condensadores(C), e indutores (L), isoladamente ou em combinao, alimentados por uma

fonte de voltagem sinusoidal.

Vamos usar o facto de R, C e L terem respostas lineares: a corrente alternadainstantnea (AC) em cada um deles proporcional voltagem alternada

instantnea no componente.

Quando a voltagem (V) alternada aplicada for sinusoidal, a corrente em cada

componente tambm ser sinusoidal, mas no necessariamente em fase com a

voltagem aplicada.

Quando a corrente numabobina (indutor) se altera com o tempo, h uma fem

(fora electro-motriz) induzida na bobina, conforme a Lei de Faraday.

A fem auto-induzida numa bobina define-se pela expresso:

dtdiL= OndeL a indutncia da bobina


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A Indutncia uma medida de oposio dum componente do

circuito (neste caso a bobina) variao da corrente.

1 1V s

H =SI henry (H)

A indutncia de qualquer bobina (solenide, bobina toroidal) dada pelaexpresso

I

NL m

=

Indutor (bobina)

Onde I a corrente, m o fluxo magntico atravs da bobina, eNo nmerototal de espiras.

A indutncia de um componente de um circuito depende da geometria docomponente.


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7.1. Fontes de AC e Fasores

Circuito de corrente alternada (AC): uma combinao de componentes (R,L,C) e

um gerador que proporciona AC.

Pela rotao duma espira num campo magntico com velocidade angular ()constante, induz-se uma voltagem alternada (fem) sinusoidal na espira.

Esta voltagem instantnea dada por:

Vm: voltagem de pico do gerador de AC ou amplitude da voltagem.

A frequncia angular:

f: frequncia linear da fonte, T: perodo (f Hz (ciclos por segundo);

rad/s)Em Portugal, na rede elctrica f=50 Hz

tsenVm =

Tf 22 ==


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Objectivo primordial do captulo - exemplo: Suponha que tem um gerador

de AC ligado a um circuito com componentes R, L e C em srie; se a Vme a fdo gerador forem dadas, e os valores de R, L e C tambm, achar a

corrente resultante, caracterizada pela amplitude e pela fase.

A fim de simplificar esta anlise temos que construir graficamente um

diagrama de fasores: as grandezas oscilatrias (corrente, voltagem) sorepresentadas por vectores giratrios (no sentido anti-horrio) no plano

complexo, os fasores.

O comprimento do fasor representa a amplitude (valor mximo) dagrandeza;

A projeco do fasor no eixo real representa o valor instantneo da

grandeza.


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7.2. Resistncias num Circuito AC

A soma algbrica instantnea da elevao do potencial,e do abaixamento do potencial, na malha do circuito

deve ser nula (Lei das malhas de Kirchhoff)

~= Vm.sen(.t)

vR

1i=0 -R= 0 = R= Vm.sen tR: queda instantnea de voltagem naresiatncia (R).

tsenItsenR

V

Ri m

mR

=== 2A corrente instantnea:

R

VI mm = corrente de pico

1 2e R= Im R sen t


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iR e R variam, ambos de uma forma sinusoidal (com sen t) e atingem os valoresmximos (picos) num mesmo instante as duas grandezas esto em fase.

Im

Vm

t

vR

iR iR

R Vm

Im

t

Diagrama de fasores. As projeces

deIm e Vm (fasores) no eixo verticalrepresentam os valores instantneos

de iRe R.Grfico da voltagem e da

corrente em funo do tempo

! O valor mdio da corrente sobre um ciclo nulo: a corrente mantm-se

num sentido (+) durante o mesmo intervalo de tempo que se mantm no

sentido oposto (-) O sentido da corrente no tem efeito sobre o

comportamento do R no circuito.


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Efeito trmico

Qualitativamente: as colises entre os electres de conduo de corrente e ostomos fixos da resistncia (R) provocam um aumento da sua temperatura, que

depende do valor da corrente, mas independente da direco da corrente.

Quantitativamente: taxa de converso da energia elctrica em calor numa R a sua potncia instantnea ; i: corrente instantnea na R.

P i2 no faz diferena se a corrente for contnua (DC) ou alternada (AC),ou seja se o sinal (+) ou (-) for associado a i.

! O efeito trmicoprovocada por uma corrente alternada com Im no o mesmo

que o provocado por uma corrente contnua com o mesmo valor, dado que acorrente alternada somente tem o Imax durante um pequeno instante de tempo

durante um ciclo.

P = i2R


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Importante num circuito AC o valor mdio da corrente ou corrente

mdia quadrtica (rms).

A corrente mdia quadrtica (ou eficaz) a raiz quadrada da mdia dos

quadrados da corrente.

O quadrado da corrente varia com sen2 t, e pode-se mostrar que o valor

mdio de i2 I2m/2

I2rms

i2

t

I2m

22

0,7072

2

mrms m

mrms

II

II

= =

=

Exemplo: Uma corrente AC com Im = 2 A libertar o mesmo calor numa

R do que uma corrente DC de 0,7072 = 1,414 A


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Apotncia mdia dissipada num R com uma corrente AC :

rms

rms

VR

I=RIP rmsmed

2=

0,7072m

rms mVV V= =A voltagem mdia quadrtica (ou eficaz):

! Quando se fala em medir a voltagem alternada de 220V duma tomada

elctrica, fala-se na realidade duma Vrms de 220V Vm = 311,1 V

! Usaremos valores rms ao discutir as correntes e voltagens alternadas.

! Os ampermetros e voltmetros de AC so projectados para ler os valores rmsSe forem usados os valores rms, muitas equaes tero a mesma forma que as

equaes nos circuitos DC


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Irms(Ief)Vrms(Vef)Valor mdio quadrtico (ou eficaz)

ImVmValor mximo (pico)

iValor instantneo

CorrenteVoltagem

Exerccio 7.1


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7.3. Indutores num Circuito AC

L: queda instantnea de voltagem no indutor (bobina).

~= Vmsen(.t)

L

Lei das malhas: i=0 + L = 0 ,

0m mdi di

L V sen t L V sen t dt dt

+ = = 1

A integrao d a corrente em funo do tempo:

cosm mLV V

i sen t dt t

L L

= =

dado que: cos

2

t sen t

=

=2

tsen

L

Vi mL 2

Comparando com a corrente est fora de fase com a voltagem

1


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13

Comparando com a corrente est fora de fase com a voltagem,

com um atraso de /2 rad, ou 90

1

Vm

Im v

L

iL

t

iL

vLVm

.t

Im

L atinge Vm (pico) num instante queest um quarto do perodo deoscilao antes de iL atingirIm

Quando a aplicada forsinusoidal, iL segue a L comum atraso de 90

! L di/dt L maior quando i estiver a variar com maior rapidez. i(t)

uma curva sinusoidal di/dt (declive) mximo quando a curva i(t)passar

pelo zero L atinge Vm quando iL = 0


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15

tsenXItsenV LmmL ==Com e 31

Pode ser visto como a Lei de Ohm dum circuito

indutivo. XL tem a unidade SI de resistncia

(impedncia) o Ohm ().

A impedncia dum indutor aumenta com a frequncia. Nas frequncias

mais elevadas ivaria mais rapidamente, o que provoca um aumento da fem

induzida associada a uma certa Im.

Exerccio 7.2


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7.4. Condensadores num Circuito AC

~

v = Vmsen(.t)

vC

C

Lei das malhas: i=0 - c = 0

= c = Vm sen t c: queda instantnea de voltagem no condensador.

( )( )c m

Q tv Q t CV sen t

C= = 1

Uma vez que i = dQ/dt a derivao de d a corrente instantnea1

cos sin 2C m mdQ

i CV t CV t dt

= = = +

dado que: cos2

t sen t

= +

Vemos que a corrente no est em fase com a voltagem aos terminais do

condensador.


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17

12 2C m mC

i CV sen t V sen t = + = + iC est com uma diferena de fase de 90 em antecipao C.

2

Vm

Im

vC

iC

t

ImIC

C Vmt

Quando a fem aplicada for sinusoidal, a

corrente num condensador est avanada

de 90 relativamente voltagem no C.

iC atinge Im (pico) um quarto de ciclo

mais cedo que o instante em que a Catinge Vm

CXC

1=Impedncia capacitiva Exerccio 7.3


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7.5. Circuitos RLC em Srie

i = Im.sen(t - ); o ngulo de fase entre a corrente e a voltagemaplicada.

Objectivo: determinar e Im. Teremos que construir e analisar o diagramade fasores do circuito.! Todos os componentes esto em srie no circuito a corrente alternada

(i) sempre a mesma (mesma amplitude e mesma fase) em todos os

pontos do circuito. a voltagem em cada componente ter amplitudee fase diferente.

vR

t

vL

t

vC

t

R L

= Vm.sen t

C

R C

~

L

i


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VL

Im

90

VC

Im90

VR Im

1

Resistncia Indutor Condensador

Voltagem em fase / avano de 90 / atraso de 90 com a corrente

As quedas instantneas de voltagem:R= ImRsen (t-) = VRsen (t-)

L = ImXL sen (t+/2-) = VL cos (t-)

C = ImXC sen (t -/2-) = -VC cos (t-)

VR = ImR; VL = ImXL; VC = ImXC so as voltagens de pico (mximos) aos

terminais de cada componente.

( ) = tsenIi m


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! A voltagem instantnea nos trs componentes obedece a:

= R+ L + C

mais simples efectuar a soma usando o diagrama de fasoresA corrente em cada componente a mesma,I(t) pela combinao dostrs fasores :1

2

Im VR

VL

VC

Vm

VL-VCVm

VR

2

Soma vectorial dasvoltagens


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! A soma vectorial das amplitudes das voltagens VR, VL, VC igual a um fasorcujo comprimento o pico da voltagem aplicada, Vm, e que faz um ngulo como fasor da corrente Im.

Pelo tringulo na Figura:

( ) ( ) ( )2222 CmLmmCLRm XIXIRIVVVV +=+=

( )22

CLmm XXRIV += ; XL = L; XC = 1/ CA

( )22CL

mm

XXR

VI

+=

( )22 CL XXR + SI: OhmZA impedncia (Z) do circuito RLC :

Vm = Im Z Generalizao da Lei de Ohm para ACA

;m rmsV V

Z Z= =


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22

;m rms

Z ZI I

= =

! A corrente no circuito depende da R, L, C e Se eliminamos o factor comum Im de cada fasor da Figura

tringulo de impedncia.

2

Z

R

R

XX CL =tanXL XC

( ) = tsenIi m

Quando XL > XC (frequncias altas) > 0, a isegue a aplicada. Se XL < XC < 0, iprecede a aplicada. Quando XL = XC = 0, Z = Re Im = Vm/R

A frequncia a que se verifica esta condio a frequncia de

ressonncia.


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Negativo se XC > XL

Positivo se XC < XL

Positivo, entre 0 e 90

Negativo, entre 90 e 0

+90XL

-90XC

0R

ngulo de Fase, Impedncia, ZComponentes do Circuito

R CL

L

R

C

CR 22CXR +

LR22 LXR +

( )22 CL XXR +

Exerccio 7.5

7 6 Potncia num Circuito AC


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7.6. Potncia num Circuito AC

No circuito RLC podemos exprimir a potncia instantnea, P, como:

P = i = Imsen(t )Vmsen (t)= ImVmsen(t)sen(t )

1

! Funo complicada do tempo sem muita utilidade prtica.

Interessa, em geral: a potncia mdia em um ou mais ciclos

sen(

t -

) = sen(

t)cos(

) sen(

)cos(

t) 1

P = ImVmsen2(t)cos() ImVmsen(t)cos(t)sen()

Toma-se a mdia de P sobre o tempo durante um ou mais ciclos (Im

, Vm

,

e constantes).

Mdia de sen2(t).cos() cos()

Mdia de sen(t).cos(t).sen() 0

.sen(2t)

;m mV I

V I= =


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;2 2

rms rmsV I= =

A potncia mdia ou

potncia activa eficaz:

Pmed = Im.Vm.cos

= Irms.Vrms.cos VL-VC

VR

Vm

A queda mxima de voltagem naresistncia : VR= Vmcos = Im.R

factor de potncia

cos = Im R/Vm

212cos

2 2m m m

md rms rms m

m

I V I R P I V I R

V

= = =

RIP rmsmd 2=


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Preact = Irms.Vrms.sen()

! A potncia mdia proporcionada pelo gerador dissipada como calor na R.(como em DC)

!No h perda de potncia num indutor ideal ou num condensador ideal.

(Ex.: o C carregado e descarregado duas vezes durante cada ciclo hfornecimento de carga ao C durante dois quartos do ciclo, e h o retorno

da carga fonte de voltagem, durante os outros dois quartos. Apotncia mdia proporcionada pela fonte nula. Logo um C num circuito

de AC no dissipa energia.) (Analogamente para o indutor)

A potncia que se transmite entre a fonte e o circuito que no dissipada:Potncia reactiva:


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Pmd = Pact = Irms.Vrms.cos Puramente resistivo = 0, cos = 1

Potncia mxima(mx. amplitude)

Pmax = Irms.Vrms

t

P = v.i

iv

Potnciamdia}

Exerccio 7.8

7.7. Ressonncia num Circuito RLC em Srie.


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7.7. Ressonncia num Circuito RLC em Srie.

Um circuito RLC est em ressonncia quando a corrente tem o seu valorde pico (ver pag. 22).

Em geral ( )22 CL

rmsrms

rmsXXR

V

Z

V

I +==

! Z = Z () Irms = Irms()

A corrente atinge o seu valor mximo quando XL = XC Z = RA frequncia 0 a que isso ocorre a frequncia de ressonncia docircuito:

LC10 =

CLXX CL

00 1

==

0 tambm corresponde frequncia natural de oscilao do circuito LC.

Nesta frequncia a corrente est em fase com a voltagem instantnea


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aplicada.

R = 10

(mA)R = 3.5

R = 5

Irms1.2

0.2 9 w0 12

, Mrad/s

L = 5 HC = 2 nF

Vmq= 5 mV

R0 = 107 rad/s

Curvas mais estreitas e altas quandoR diminui.

Irms , R 0 (teoria!!) Os sistemas mecnicos tambm

exibem ressonncias: sistemamassa-mola.

Actuando na 0, a amplitude das

oscilaes aumenta com o tempo.

Os circuitos reais tm sempreuma certa resistnciaque limita o valor da corrente.

A potncia mdia em funo da frequncia:


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30

A potncia mdia em funo da frequncia:

( )222

2

22

CL

rmsrmsrmsmd

XXRRVR

ZVRIP

+===

LC

120 =

CXC

1=

LXL =

( )220222222

+=

LR

RVP rmsmd

R

VP rmsmd

2

=Quando = 0 a Pmd mxima,

R = 10

R = 3.5

Pmd, w

7

1

9 0 11 , Mrad/s

A largura da curva descritapor um factor de qualidade: Q0

= 00Q


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31

a largura da curva medida entre dois valores de para os quaisPmd tem metade do valor mximo da P=

L

R

R

LQ 00

=

XL(0)

Grandeza adimensional

! Q0 elevado, estreito; Q0baixo, corresponde a uma faixa de frequncias

mais ampla.! 10 < Q0 < 100 (aprox.) nos circuitos electrnicos.

Aplicaes: Aparelho de rdio

- C 0 (sintonizao)

- 0 do circuito = onda de rdio recebida aumenta I no circuito.

- Sinal amplificado alimenta o alto-falante

- Q0 elevado a fim de serem eliminados os sinais indesejveis.

Anexo1: Representao Complexa das grandezas AC


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p p g

Uma corrente ou tenso alternadas podem ser representadas por um

nmero complexo.

Aproveitando a identidade

ei = cos + i sen ; com i2 = -1

Regra para a representao:

Uma voltagem alternada V0.cos(t+) deve ser representada pelo nmerocomplexo V0.ei

.eit, isto , o nmero cuja parte real V0.cos() e cuja

parte imaginria V0.sen() que roda no plano complexo com a velocidade

angular. Portanto, a voltagem em funo do tempo dada pela parte real

do produto V0.ei(t+).


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Y

X

V0

Voltagem em funodo tempo.

Representaocomplexa

V0.cos(t+) V

0.ei = x + iy

Multiplique por eit e tome a parte real

V = Re[V0.ei(eit)] = V0.cos(t+)


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( ) ZV

IXXR

VI mm

CL

mm =

+= ,

22

( )22 CL XXRZ +=

R

XX CL = arctan

ieZZ = iXRZ +=;

LieLZi

L

== 2

CiC

ie

C

Zi

C

11 2 =

==

CLR ZZZZ ++=

( )22 CLR ZZZZ ++=

=

Z

ZIm

Re

arctan

RZR =

Acetatos preparados por:- S. Lanceros-Mndez (contedo e figuras)

- J. A. Mendes (layout)Anexo 2: Circuito em Paralelo


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-C. Tavares (comentrios adicionais)

I = IC+ IR + IL = V.(YC+ YR + YL)

CiYCiZVYZ

V

I CCCCC ==== ;

1

;

RYRZVY

R

VI RRRR

1;; ====

I = V.YT

CiYCiZVY

Z

VI LLL

L

L

1;; ====

RL

i

CiRLiCiYYYY LRCT111

+=++=++=

RY

LCTR

1;

1==ressonncia:

!Y, admitnciaImpedncia, Z = 1/Y ;

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