Apostila Corrente Alternada v4

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Cent r o Feder alde Educao Tecnol gi ca de Sant a Cat ar i na Depar t ament o Acadmi co de El et r ni ca SSSIII NNNAAAIII SSS SSSEEENNNOOOIII DDDAAAIII SSS: TTeennssoo ee CCoorrrreennttee AAlltteerrnnaaddaass Pr of .Fer nando Lui z Rosa Mussoi Quar t a Edi o Fl or i anpol i s Set embr o,2008.SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 2SI NAI S SENOI DAI S:TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Pr of . Fer nando Lui z Rosa MussoiVer so 4.0 16 de set embr o de 2008 ( em r ev i so) NOTA DO AUTOR Estaapostilaummaterialdeapoiodidticoutilizadopeloautornassuasaulasdas disciplinas ministradas na Gerncia Educacional de Eletrnica do Centro Federal de Educao Tecnolgica de Santa Catarina (CEFET/SC). Este material no tem a pretenso de esgotar, tampouco inovar o tratamento do assunto poreleabordado.Temporobjetivofacilitaradinmicadeaula,comexpressivosganhosde tempo,almdedarumaprimeiraorientaoecompreensoaosalunossobreoassunto abordado.Este trabalho foi construdo com base nas referncias bibliogrficas, citadas ao longo do texto,nasnotasdeaulaenaexperinciadoautornaabordagemdoassuntocomosseus alunos. Em se tratando de um material didtico elaborado por um professor de uma Instituio PblicadeEnsino,sopermitidosousoeareproduodotexto,desdequedevidamente citada a fonte. O aluno deve desenvolver o hbito de consultar, estudar e, se possvel, adquirir a BibliografiaReferenciadaoriginal,paramelhoresresultadosnoprocessode aprendizagem. Quaisquercontribuies,correesecrticasconstrutivasaestetrabalhoserobem-vindas pelo autor. Agradeoatodosaquelesquefizeremumbomusodestematerial,emespecial aos meus alunos, razo do meu trabalho. Prof. Fernando Luiz Rosa Mussoi [email protected] SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 3 ndi ce NOTA DO AUTOR .....................................................................................................................................21. TENSO E CORRENTE ALTERNADAS SENOIDAIS ....................................................................62. GERAO DE CORRENTE ALTERNADA ......................................................................................72.1. INDUO ELETROMAGNTICA ...........................................................................................................72.2 - PRINCPIO DE FUNCIONAMENTO DO GERADOR DE CORRENTE ALTERNADA. ...................................92.3 TENSO E FREQNCIA DO GERADOR ............................................................................................ 132.4 - GERADORES DE CORRENTE ALTERNADA ........................................................................................ 163. PARMETROS DA FORMA DE ONDA DA TENSO E DA CORRENTE ALTERNADA SENOIDAL ................................................................................................................................................ 233.1. VALOR DE PICO: ............................................................................................................................... 233.2. PERODO (T): .................................................................................................................................... 243.3. FREQNCIA (F): .............................................................................................................................. 243.4. FREQNCIA ANGULAR OU VELOCIDADE ANGULAR (): ................................................................. 253.5. FUNO MATEMTICA DA TENSO E DA CORRENTE ALTERNADA SENOIDAL. .............................. 273.5.1. Tenso Instantnea: .................................................................................................................. 283.5.2. Corrente Instantnea: ............................................................................................................... 303.6. VALOR MDIO .................................................................................................................................. 313.7. VALOR EFICAZ .................................................................................................................................. 333.8. FATOR DE FORMA ............................................................................................................................. 353.9. FASE INICIAL E DEFASAGEM ANGULAR. .......................................................................................... 363.10. OSCILOSCPIO ................................................................................................................................ 393.11. EXERCCIOS: ................................................................................................................................... 404. NMEROS COMPLEXOS .................................................................................................................. 434.1. PLANO CARTESIANO COMPLEXO ...................................................................................................... 434.2. FORMA RETANGULAR OU CARTESIANA ........................................................................................... 454.3. FORMA POLAR .................................................................................................................................. 464.4. CONVERSO ENTRE FORMAS ............................................................................................................ 484.4.1. Converso de Retangular para Polar ....................................................................................... 484.4.2. Converso de Polar para Retangular ....................................................................................... 494.5. OPERAES MATEMTICAS COM NMEROS COMPLEXOS ................................................................ 504.5.1. Conjugado Complexo ................................................................................................................ 504.5.2. Recproco ou Inverso de um nmero complexo......................................................................... 514.5.3. Adio e Subtrao de nmeros complexos .............................................................................. 514.5.4. Multiplicao de nmeros complexos ....................................................................................... 514.5.5. Diviso de nmeros complexos ................................................................................................. 524.5.6. Potenciao de nmeros complexos .......................................................................................... 534.6. EXERCCIOS ...................................................................................................................................... 535. REPRESENTAO FASORIAL DE SINAIS SENOIDAIS ............................................................ 555.1 INTRODUO ..................................................................................................................................... 555.2. FASOR ............................................................................................................................................... 575.3. REPRESENTAO FASORIAL COM NMEROS COMPLEXOS .............................................................. 625.4. OPERAES MATEMTICAS COM FASORES E DIAGRAMAS FASORIAIS ........................................... 655.5. TABELA RESUMO .............................................................................................................................. 685.6. EXERCCIOS: ..................................................................................................................................... 696. RELAES ENTRE TENSO E CORRENTE ALTERNADAS NOS ELEMENTOS PASSIVOS DE CIRCUITOS ................................................................................................................... 726.1. RESISTOR EM CORRENTE ALTERNADA ............................................................................................. 726.1.1. Exerccios: ................................................................................................................................. 77SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 46.2. CAPACITOR EM CORRENTE ALTERNADA .......................................................................................... 776.2.1. Reatncia Capacitiva Xc: .......................................................................................................... 826.2.2. Lei de Ohm para o Capacitor em Corrente Alternada .............................................................. 846.2.3. Resposta em freqncia para o Capacitor ................................................................................ 866.2.4. Modelo do Capacitor Real ........................................................................................................ 876.2.5. Exerccios: ................................................................................................................................. 876.3. INDUTOR EM CORRENTE ALTERNADA .............................................................................................. 886.3.1. Reatncia Indutiva XL: .............................................................................................................. 926.3.2. Lei de Ohm para o Indutor em corrente alternada ................................................................... 946.3.3. Resposta em freqncia para o Indutor .................................................................................... 976.3.4. Modelo do Indutor Real ............................................................................................................ 976.3.3. Exerccios: ................................................................................................................................. 986.4. IMPEDNCIA ..................................................................................................................................... 986.4.1. Diagrama de Impedncias e Tringulo de Impedncias ......................................................... 1036.4.2. Associao de Impedncias: ................................................................................................... 1066.4.3. Tabelas-resumo ....................................................................................................................... 1086.4.4. Exerccios ................................................................................................................................ 1106.5. ADMITNCIA................................................................................................................................... 1106.5.1. Associaes de Admitncias .................................................................................................... 1116.5.2. Diagrama de Admitncias ....................................................................................................... 1126.6. ANLISE DE CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA ..................................................................... 1136.6.1. Anlise de Circuitos RC .......................................................................................................... 1136.6.2. Anlise de Circuitos RL ........................................................................................................... 1166.6.3. Anlise de Circuitos RLC ........................................................................................................ 1186.6.4. Exerccios: ............................................................................................................................... 1237. POTNCIA E ENERGIA ELTRICA EM CORRENTE ALTERNADA.................................... 1257.1. POTNCIA INSTANTNEA ............................................................................................................... 1257.2. POTNCIA MDIA OU POTNCIA ATIVA ......................................................................................... 1287.3. ESTUDO DA POTNCIA NO RESISTOR, NO INDUTOR E NO CAPACITOR. .......................................... 1307.3.1. Potncia no Resistor ................................................................................................................ 1307.3.2 - Potncia no Indutor Ideal ...................................................................................................... 1327.3.3. Potncia no Capacitor Ideal ................................................................................................... 1367.3.4. Potencia na Impedncia de um circuito misto ........................................................................ 1397.4. POTNCIA APARENTE E TRINGULO DE POTNCIAS ...................................................................... 1417.4.1. Tringulo de Potncias ........................................................................................................... 1437.5. FATOR DE POTNCIA E ENERGIA .................................................................................................... 1447.5.1. Energia Eltrica ...................................................................................................................... 1457.6 POTNCIA COMPLEXA .................................................................................................................. 1467.7. RELAES ENTRE P E Q E OS ELEMENTOS PASSIVOS R, L E C. ....................................................... 1477.8. CORREO DO FATOR DE POTNCIA: ............................................................................................. 1527.9. EXERCCIOS .................................................................................................................................... 1548. EXERCCIOS E PROBLEMAS PROPOSTOS ............................................................................... 157REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS: ................................................................................................. 172ANEXOS .................................................................................................................................................. 173A.1. RELAES TRIGONOMTRICAS ............................................................................................ 174A.2. DERIVADA ...................................................................................................................................... 175A.3. MEDIO DA DEFASAGEM USANDO OSCILOSCPIO ..................................................................... 177A.4. ESPECTRO DE FREQNCIAS .......................................................................................................... 178A.5. SRIES DE FOURIER ........................................................................................................................ 179A.6. TEOREMA DA MXIMA TRANSFERNCIA DE POTNCIA ................................................................ 184A.6.1. Transferncia de Potncia em Circuitos de Corrente Contnua ............................................. 184A.6.2. Transferncia de Potncia em Circuitos de Corrente Alternada ............................................ 184SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 5A.6.3. Exerccios Propostos: ............................................................................................................. 185A.8. FATOR DE DESLOCAMENTO E TAXA DE DISTORO HARMNICA ............................................... 186A9. INFORMAES RELEVANTES .......................................................................................................... 187 SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 61. TENSO E CORRENTE ALTERNADAS SENOI DAI S Umaformadeondadeumsinaldetensooucorrentealternadaaquelaondea intensidadeeapolaridadealteram-seaolongodotempo.Emgeralsosinaisperidicos como as formas de onda apresentadas na figura 1.1 + - + - + - ttt Figura 1.1 formas de onda alternadas e peridicas UmaCorrenteAlternada(ICA)aquelaqueinverte,periodicamente,osentidono qualestcirculando.Elatambmvariaaintensidadecontinuamentenotempo.UmaTenso Alternada (VCA) aquela que inverte, periodicamente, a polaridade da tenso. J Tenso ou Corrente Alternada Senoidal aquela cuja forma de onda representada por uma senide. Dizemos que um sinal senoidal. A forma de onda peridica mais importante e de maior interesse a alternada senoidal de tenso e de corrente, porque a energia gerada nas usinas das concessionrias e a maioria dos equipamentos usam tenso e corrente alternadas senoidais. A maior parte da energia eltrica consumida gerada e distribuda na forma de tenso ecorrentealternadasparaosconsumidoresquesoasresidncias,ocomrcioe, principalmente, as indstrias. Aprincipalrazopelaqualaenergiaeltricageradaedistribudaemgrandeescala ser em tenso e corrente alternadas que ela apresenta uma facilidade tanto na gerao como natransformaodosnveisdetenso(elevaooureduo).Paratransportaraenergiaa longas distncias necessrio elevar a tenso a nveis que chegam a 750kV, para reduzir as perdasnotransporte(principalmenteporEfeitoJoule).Noscentrosdeconsumoatenso novamente reduzida e distribuda aos consumidores. Osmotoresdecorrentealternadasoconstrutivamentemenoscomplexosqueos motores de corrente contnua. Isto uma grande vantagem pois, reduz custos e cuidados com a manuteno. Por isso so os mais baratos e os mais usados nos equipamentos. Outraimportanterazoacaractersticatpicadecomportamentodoscircuitos eltricoseseuselementospassivos(R,LeC)quandosubmetidosasinaissenoidais.O tratamentomatemticopermitequeosmesmosteoremasdeanlisedecircuitosdecorrente contnua (CC) possam ser aplicados anlise de circuitos com sinais alternados senoidais. Alm disso, os sinais senoidais de tenso e de corrente so muito estudados porque so,emmuitoscasos,abaseparavriosoutrossinais.Istoquerdizerquemuitossinais podem ser analisados pela combinao de mais de um sinal senoidal. Oobjetivodestaapostilaapresentaroprocessodegeraodacorrentealternada senoidaleespecificarassuascaractersticas,parmetroseterminologias,bemcomo processosmatemticosparaanlisedocomportamentodoselementospassivos(resistor, capacitor e indutor) em circuitos de corrente alternada senoidal. SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 72. GERAO DE CORRENTE ALTERNADA NoestudodoEletromagnetismojforamvistososprincpiosdaInduo Eletromagntica.Paraentenderaproduodeumaonda(sinal)senoidaldevemosconhecer bem os princpios das tenses e correntes induzidas: 2.1. INDUO ELETROMAGNTICA Quandoaregioondeumcircuitoeltricoseencontraapresentaumavariaode fluxomagntico,surgenessecircuito,umacorrenteeltrica.Estefenmenochamadode induo eletromagntica. Estacorrenteinduzidacircuilanocircuitodevidoumadiferenadepotencial (tenso), chamada de fora eletromotriz induzida (FEM), ou simplesmente, tenso induzida. Ainduoeletromagnticaregidaporduasleis:LeideLenzeLeideFaraday,j estudadas. ALeideFaradaydizqueaFem(tenso)induzidamdiaemumcircuitoigualao resultado da diviso da variao do fluxo magntico numa bobina com N espiras pelo intervalo de tempo em que ocorre, com sinal trocado. Ou seja, quanto mais o fluxo variar num intervalo de tempo, tanto maior ser a tenso induzida. tNe = onde: e fora eletromotriz induzida (tenso induzida) [V] /t taxa de variao do fluxo magntico no tempo [Wb/s] N nmero de espiras. ALeideLenzdizqueosentidodacorrenteinduzidatalqueoriginaumfluxo magntico induzido, que se ope variao do fluxo magntico indutor. c) m se afastandoN SCorrente IN Sb) m se aproximandoN SCorrente IN S N Sa) m parado no induz correnteCorrente Nula ( I = 0 ) Figura 2.1.1 Induo Eletromagntica Porexemplo,nafigura2.1.1aaproximaodoimprovocaumaumentodofluxo magnticopertodabobina.Conseqentementecomeaacircular,nabobina,umacorrente que cria um campo magntico com polaridade inversa ao do im. O campo criado tenta impedir a aproximao do im, tenta parar o im, para manter o fluxo magntico constante (variao de SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 8fluxo nula). Quando o m se afasta, o efeito contrrio e a corrente induzida tem o seu sentido alternado. Umcondutorsemovimentandonumcampomagnticotambmproduzvariaode fluxo magntico e sofre, consequentemente, induo magntica de corrente. Htrscondiesfundamentaisquedevemexistirantesqueumatensopossaser produzida por magnetismo. Deve haver um CONDUTOR no qual a tenso ser induzida. Deve haver um CAMPO MAGNTICO na vizinhana do condutor. Deve haver movimento relativo entre o campo e o condutor. Deacordocomestascondies,quandoocondutor(oucondutores)seMOVER atravsdeumcampomagnticodemaneiraqueaslinhasdecampooatravesse,eltrons DENTRODOCONDUTORseroestimuladosemumadireoououtra.Assim,umafora eletromotriz, ou tenso eltrica, induzida (criada). Sabemos que: = sen A Bonde: - fluxo magntico [Wb] B intensidade do campo magntico [T] A rea do condutor [m2] - ngulo de incidncia da linhas de campo no condutor [o ou rad] Ou seja, o fluxo magntico depende da intensidade do campo magntico, da rea do condutor atingida pelas linhas do campo magntico e do ngulo em que estas linhas atingem o condutor. Osentidodacorrenteinduzidanumcondutoremmovimentodentrodeumcampo magntico pode ser dado pela Regra da Mo Direita (Regra de Fleming), como indica a figura 2.1.2. Figura 2.1.2 Determinao do sentido da corrente induzida com o uso da Regra da Mo Direita [2]. Asfiguras2.1.3e2.1.4indicamalgumassituaesdeinduodecorrentenumcondutoreo seu sentido, em funo da polaridade magntica e do sentido do movimento do condutor. SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 9 N S N S N S Corrente Induzida Nula (a) Corrente Induzida Mxima (b) Corrente Induzida (c) Figura 2.1.3 Movimento de um condutor dentro de um campo magntico. A amplitude da corrente induzida depende do ngulo no qual o condutor corta as linhas de fluxo [2]. N S N S S N (a)(b)(c) Figura 2.1.4 Mudar a direo do movimento ou a polaridade do campo muda o sentido da corrente induzida [2]. 2.2 - PRINCPIO DE FUNCIONAMENTO DO GERADOR DE CORRENTE ALTERNADA. Um gerador de corrente alternada funciona com base na induo de fora eletromotriz numcondutoremmovimentodentrodeumcampomagntico.Paraentenderoseu funcionamentoconsidere-seoesquemadafigura2.2.1,ondeumaespiragiradentrodeum campo magntico, gerando uma tenso (FEM) e uma corrente induzidas. SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 10 NS Eixo Espira Terminais da Espira B a b Sentido de rotao Figura 2.2.1 Gerador de Corrente Alternada Elementar: espira girando num campo magntico Afigura2.2.2(a)ilustra,passoapasso,ainduodeumacorrentenaespirado gerador de corrente alternada elementar da figura 2.2.1. Em t1 os condutores a e b esto se movimentando paralelamente ao fluxo magntico (com sentidos opostos). Como nenhuma linha de fluxo cortada =0O=180O, nenhuma tenso ou corrente induzida. No instante t2, o movimento dos condutores j corta as linhas de fluxomagntico em umdeterminadonguloeumatensoinduzidaeestaproporcionaumacorrenteinduzida com o sentido indicado, dado pela regra da mo direita. Noinstantet3omovimentodoscondutorescortaaslinhasdefluxo perpendicularmente(ngulode90o)eavariaodofluxomxima.Atensoinduzida mxima e, portanto, h o pico de corrente induzida. Emt4,omovimentodoscondutorescortaaslinhasdefluxomagnticoemum determinadonguloeumatensomenorinduzida.Comoongulocomplementara2a tenso induzida igual a do instante t2. Em t5 os condutores a e b esto novamente se movimentando paralelamente ao fluxo magntico (com sentidos opostos) e nenhuma tenso ou corrente induzida. Nesteponto,aprimeirameiavoltadaespiraproduziuaformadeondadecorrente induzida apresentada na figura 2.2.2(b). O eixo vertical indica a intensidade da corrente (ou da tenso) induzida em cada instante. O eixo horizontal indica os instantes de tempo ou o ngulo do movimento da espira no campo magntico. Como: = sen A Bcom a variao do ngulo devido ao movimento de giro da espira no campo magntico, o fluxo temumavariaosenoidale,portanto,comoatensoinduzidadependedavariaodo fluxo, ela assumir um comportamento tambm senoidal. Como a tenso e a corrente induzidas dependem da variao do fluxo e este varia de acordocomosenodongulodeincidnciadaslinhasnocondutordaespira(=B.A.sen) devido ao movimento giratrio da espira, a forma de onda resultante peridica a cada volta (cclica) e tem a forma senoidal. SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 11 NS = 0o = 0 e = 0 Instante t1 NS 0o 0 e 0Instante t2 NS = 90o = mx emx Instante t3 NS 0o 0 e 0Instante t4 NS = 0o = 0 e = 0 Instante t5 abbbbbaaaaNNNSSS(a) t1 t2 t3 t4t50o 90o180o v(V) i (A) t (s)(b) Figura 2.2.2 Gerao de Corrente: (a) primeira meia volta da espira [1]; (b) forma de onda do sinal gerado. A figura 2.2.3 representa a segunda meia volta da espira. Nota-se que, do instante t5 para t6 a direo na qual o condutor corta o fluxo invertida. Portanto, a polaridade da tenso induzida invertida e, conseqentemente, o sentido da corrente alternado, formando, a partir da, o semiciclo negativo da forma de onda, pelo mesmo processo anterior. A figura 2.2.4 indica a forma de onda senoidal produzida pelo giro de 360o (2. rad) de umcondutordeumaespiraemumcampomagntico.Oeixoverticalindicaaamplitudeda tenso (FEM) induzida. O eixo horizontal pode representar o tempo que a forma de onda leva para completar um ciclo inteiro (perodo). Cada instante de tempo est relacionado com a posio angular do condutornocampomagntico.Quandooeixohorizontalindicardiretamenteaposio angular em graus, chamamos de ngulo eltrico. A vantagem de se indicar o eixo horizontal emgrausemvezdeunidadesdetempoqueosgrauseltricosindependemdavelocidade com que a espira gira no campo magntico (e conseqentemente da freqncia e do perodo). SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 12SN S = 0o = 0 e = 0Instantet5N S 0o 0 e 0Instantet6N S = 90o = mx e = mxInstantet7N S 0o 0 e 0Instantet8N S = 0o = 0 e = 0Instantet9abaaaabbbbNNNSS(a) 180o 270o360ot5 t6t7t8t9 v(V) i (A)t (s)(b) Figura 2.2.3 Gerao de Corrente: (a) segunda meia volta da espira [1]; (b) forma de onda do sinal gerado. Acorrentealternadaresultantedoprocessodeinduomagntica,nogerador estudado,temaformasenoidal,isto,acorrentevarianotempoperiodicamentetantoem intensidade como em sentido, a cada 360o, como indica a figura 2.2.5. O mesmo ocorre para a FEM induzida: uma tenso que varia periodicamente, em intensidade e polaridade. A amplitude da tenso e da corrente induzidas nas bobinas depende: do nmero de espiras das bobinas rotativas; da velocidade na qual as bobinas se movimentam; da densidade do fluxo do campo magntico. SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 13 x x xxxN S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 4 6 7 8 10 12 1 Tenso Induzida + - B Tempo Figura 2.2.4 Gerando uma onda senoidal atravs do movimento de rotao de um condutor dentro de um campo magntico [2]. i (A)t (s)0o 90o 180o 270o360otempo para umarotao (360o)PerodoMximo(pico +)Mnimo(pico -) Figura 2.2.5 - Grfico da corrente produzida pelo gerador. 2.3 TENSO E FREQNCIA DO GERADOR Observando as figuras 2.2.2 e 2.2.3 podemos concluir que o fluxo magntico na espira varia de um mximo positivo (+) em t3, a ummximo negativo (-) em t7, passando por zero durantemeiavoltadaespiranocampomagntico.Assim,aamplitudedevariaodofluxo magntico na espira em meia volta dado por: = + = 2 ) (max max Essavariaoocorreduranteumdadointervalodetempot.Considerandoa quantidade de rotaes por minuto (rpm), temos a relao: SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 14t rotao 60s (1min)n rotaes assim: n30t = No gerador das figuras 2.2.2 e 2.2.3 temos apenas dois plos magnticos produzindo um = 2 em meia volta. Se tivermos um nmero p de plos teremos: = psendo a fora eletromotriz induzida proporcional ao nmero de espiras tN e =substituindo n30pN e =assim 30n pN e =onde: e fora eletromotriz (tenso) mdia induzida [V]; - fluxo magntico por plo [Wb]; p nmero de plos; n velocidade [rpm]; N nmero de espiras O gerador de dois plos da figura 2.2.2 e 2.2.3 completa um ciclo a cada rotao. Em cada segundo teremos n/60 rotaes. Assim: 2 plosn/60 rotaes por segundo p plosf rotaes por segundo equacionando, temos: 120p nf=onde: f freqncia da tenso induzida em ciclos por segundo, Hertz [Hz]; p nmero de plos; n rotao em rpm. Substituindo esta equao na anterior, temos para a tenso induzida: N f 4 e =SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 15Afigura2.3.1mostradoisgeradorescomocampomagnticogirantenorotorea armadurafixanoestator.Oprimeiroapresenta8ploseosegundo2plos.Comoambos giramamesmavelocidade,ogeradordemaisplosproduzumsinaldemaiorfreqnciado queooutro.Assim,paraumadadafreqnciadesejada(como60Hz,porexemplo),um gerador de mais plos pode girar a uma velocidade menor. Gerador de 8 plosGerador de 2 plos Geradores de 8 e de 2 plos girando a mesma velocidade Figura 2.3.1 Nmero de plos magnticos influencia a freqncia da tenso gerada. Noscircuitoseltricos,fontedetensoalternadasenoidalefontedecorrente alternadasenoidalsorepresentadascomomostraafigura2.4.2.Naconvenoadotada,a polaridade da tenso e o sentido da corrente indicado se referem ao semiciclo positivo. ~ v(t) ~i(t) + - + - + Figura 2.4.2 smbolo e conveno para polaridade de fontes de tenso e de corrente alternadas senoidais. SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 162.4 - GERADORES DE CORRENTE ALTERNADA Afigura2.4.1apresentaaspartesessenciaisdeumgeradordecorrentealternada elementar. chamado de elementar porque possui apenas uma espira. Figura 2.4.1 Gerador CA. A espira em movimento conectada carga atravs de anis coletores e escovas [2]. Umgeradorrealconsistedemuitasespirasemsrieeemparaleloformando conjuntosdebobinas.Oconjuntodasbobinasnumgeradorchamadoenrolamento,que montadoemtornodeumncleodeaosilcio(materialferromagntico)equeconstituia chamada armadura, onde induzida a fora eletromotriz (tenso). Ocampomagnticoproduzidonogeradordafigura2.4.1criadoporumm permanente.Nosgeradorescomerciais,ocampomagnticocriadoporumeletrom alimentado por uma fonte de corrente contnua. Orotorapartequegira.Oestatorapartequepermaneceestacionria.Nos geradores de corrente alternada a armadura pode estar no rotor ou no estator Nosgeradoresdecorrentealternadadegrandepotncia,encontradosnasusinas,a armadurafixanoestatoreocampomagnticoquegiraemtornodelas,comomostraa figura 2.4.2 e tambm a figura 2.3.1. Como h um movimento relativo entre elas, h a induo eletromagntica. Figura 2.4.2 Gerador de Corrente Alternada de Plos Girantes e Armadura Estacionria. SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 17NogeradorCAdearmaduragiratriaosinalCAgeradolevadocargaatravsde aniscoletoreseescovasdeslizantes,comomostraafigura2.4.1.Aarmaduragiratria encontradasomenteemalternadoresdebaixapotnciadevidolimitaodecorrentenos anis coletores e escovas. OgeradorCAdecampogiratriotemoenrolamentodearmaduraestacionrioeo enrolamento de campo girante no rotor (o campo magntico criado por bobinas eletroms). Avantagemdaarmaduraestacionriaqueatensogeradapodeserconectadacarga diretamente,semnecessidadedeaniscoletoreseescovas.Issopossibilitageraode grandesnveisdetensoedecorrente(altapotncia),poisosaniseescovasspermitem operao em baixas tenses e correntes. O estator consiste de um ncleo de ferro laminado com os enrolamentos da armadura embutidos neste ncleo, como mostrado na Figura 2.4.3. O ncleo a armadura do estator. Ncleo Laminado Armadura do Estator Enrolamentos da armadura Figura 2.4.3 Armadura do Estator de um gerador de corrente alternada. Todososgeradores,grandesoupequenos,decorrentealternadaoudecorrente contnua,requeremumafontedepotnciamecnicaparagirarseusrotores.Estafontede energia mecnica chamada de fonte primria. Fontesprimriassodivididasemduasclasses:parageradordealtavelocidadee baixa velocidade. Turbinas a Vapor e a Gs so fontes primrias de alta velocidade, enquanto mquinas de combusto interna (como motores a exploso), turbinas hidrulicas em quedas de gua e turbinas elicas (hlices) so consideradas fontes primrias de baixa velocidade. O tipo de fonte primria tem um papel importante no projeto de alternadores, j que a velocidadenaqualorotordevegirardeterminacertascaractersticasdeconstruodo alternador e operao.Em usinas hidreltricas a energia eltrica gerada pela passagem da gua atravs de uma turbina, solidamente acoplada ao eixo do gerador. As figuras 2.4.4 e 2.4.5 mostram uma turbina hidrulica acionando um gerador. SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 18Aquantidadedeenergiaproduzidaproporcionalaofluxodeguaealturada quedadgua,isto,donveldaguaedaalturadoreservatrio(barragem).Noprojetode hidreltricas,deve-selevaremcontaohistricohidrolgico,ouseja,aquantidadedechuvas emcadaestaodoano,paraqueausinagarantaoperaoadequadaoanointeiro.As turbinas dos geradores das usinas hidreltricas giram em velocidades relativamente baixas, na ordem de 100 a 300 rpm. Como exemplo, a Usina Hidreltrica de Itaipu, no rio Paran, na fronteira do Brasil com oParaguai,possui20turbinascomgeradorescujapotncia700MWcada.Metadedeles gera na freqncia brasileira de 60 Hz, girando a 92,3 rpm e a outra metade gera na frequencia paraguaia de 50 Hz, girando a 90,9 rpm. UmsegundoexemploaUsinaHidreltricadeIt,norioUruguais,nadivisaentre SantaCatarinaeRioGrandedoSul,compostapor5turbinascomgeradoresde290MW, gerando em 60 Hz e girando a 128,57 rpm. Figura 2.4.4 Turbina hidrulica acionando mecanicamente o gerador. Alternadores so avaliados de acordo com a tenso para a qual eles so projetados e pelamximacorrentequesocapazesdefornecer.Oprodutodatensoalternadapela correntealternadadeprojetodogeradorforneceacapacidadedepotnciagerada,cuja unidade o Volt-Ampre. Acorrentemximaquepodeserfornecidaporumalternadordependedamxima perdadecalorqueelepodesuportarnaarmadura.Estaperdadecalor(queumapotncia eltricaperdida,principalmenteporEfeitoJoule)ageaquecendooscondutorese,se excessiva, destri o seu isolamento, podendo causar m operao ou curto-circuito. Sistemas de refrigerao so incorporados em grandes geradores para limitar o aquecimento. SINAIS SENProf. Ferna especfidecorrnormalmcaracte armaduacionadacionad NOIDAIS: TENSOando L. R. MussQuandouico. A velocrente,eomenteestarsticas. Afigura ra estaciondasporvapdas por turbO E CORRENTE Asoi Figura 2.4.5 umalternadcidade paraoutrascarampadaem 2.4.6mostnria. O primporougs.binas hidruALTERNADAS Turbina hidrdorsaida a a qual pactersticas umaplacatradoistipmeiro ade.Asegundulicas e motrulica acionan fbrica,esprojetado padeoperaadeespeciposderotoequado pardaparatuores de expCEndo mecanicastejdeara girar, a osocificaespaorespara ra turbinas durbinasde ploso. EFET/SC - Gernamente o geraestinadopatenso queconhecidasaraqueougeradores de alta velobaixaveloncia Educacion ador. raumtrabe produzir.Estainfousuriocondeplos ocidade comocidadecom al de Eletrnica19 balhomuito, os limitesormaonheasuasgirantesemo aquelasmoaquelasa 9o s s e s s SINAIS SENProf. FernaFigura fsseis na fornaconduzifazendotermoel NOIDAIS: TENSOando L. R. MussRove(>Se2.4.6 Dois tAsturbina(carvomialha, que aidosturbo-ogirare trica. O E CORRENTE Asoi otor de altaelocidade 1200rpm)o Transvetipos de rotoreasdasusinneral,gs quece a gbinas.EsseacionandoALTERNADASa ersal: Lines: (a) para turnastermoeouleocogua que viraevaporsupoogeradoAnColeRotor Salienbaixa v(0); - argumento (ngulo) do vetor desde o eixo horizontal, medido no sentido anti-horrio. Observao:Osmbolousadoparaindicaroargumentodeumnmerocomplexonaforma polar e l-se:com ngulo de ou com argumento de. Os ngulos do argumento so sempre obtidos a partir do eixo das abscissas x e deve ser adotada a seguinte conveno: ngulos positivos (+) so medidos no sentido anti-horrio a partir do eixo horizontal x. ngulos negativos (-) so medidos no sentido horrio a partir do eixo horizontal x. Exemplo 4.3.1: representar os nmeros complexos no plano. a) C = 5 30o ver figura 4.3.1. C = 530ox, Rey, Im = 30oz = 5 Figura 4.3.1 soluo do exemplo 4.3.1(a) b) C = 5 -30over figura 4.3.2. C = 5-30ox, Rey, Im = 30oz = 5 Figura 4.3.2 soluo do exemplo 4.3.1(b) c) C = -5 30o = 5 210o ver figura 4.3.3. C = 5210ox, Rey, Im = +210oz = 5 Figura 4.3.3 soluo do exemplo 4.3.1(c) SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 48Observao: Um sinal negativo no mdulo indica uma direo oposta, ou seja: ( )o180 z z C = = 4.4. CONVERSO ENTRE FORMAS Pelafigura4.1.3podemosobservarqueasformasretangularepolarestoassociadas atravsdasrelaestrigonomtricasdotringuloretnguloformadopelovetorzesuasprojees ortogonais x e y, como est grifado na figura. A forma retangular composta pelas projees ortogonais real (x) e imaginria (y), ou seja, os catetos adjacente e oposto ao ngulo do tringulo retngulo xyz, respectivamente. 4.4.1. Converso de Retangular para Polar Para transformar um nmero complexo da forma retangular para a forma polar, desejamos obter a hipotenusa z e o ngulo a partir dos catetos adjacente x e oposto y do tringulo retngulo xyz. Atravs das relaes trigonomtricas, temos: 2 2 2y x z + =assim, a hipotenusa do tringulo retngulo xyz o mdulo da forma polar e pode ser dado por: 2 2y x z + =sabemos que, xytg = ento o argumento da forma polar pode ser dado pelo ngulo: = xytg1 conclumos que um nmero complexo na forma polar : + = =xytg y x z C1 2 2 Exemplo 4.4.1: converter os nmeros complexos da forma retangular para a forma polar: a) C = 60 + j80 100 80 60 z2 2= + =o 113 , 536080tg = = o13 , 53 100 C = b) C = 5 j5 SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 492 5 50 ) 5 ( 5 z2 2= = + =o 14555tg = = o45 2 5 C =c) C = -5 + j7 ( ) 6 , 8 7 5 z2 2= + =o 146 , 5457tg = = C = 8,6125,54o Observao: Se o nmero complexo deve aparecer no segundo, terceiro ou quarto quadrantes, devemos convert-loparaestesquadrantesedeterminaronguloapropriadoaserassociadocomoseu mdulo. Noexemplo4.4.1(c)onmero5+j7apareceno2oquadranteeportantoongulode54,46o deve ser associado a este quadrante ou seja 180o+(-54,46o) = 125,54o. 4.4.2. Converso de Polar para Retangular Paratransformarmosumnmerocomplexodaformapolarparaaformaretangular, desejamos obter o cateto adjacente x e o cateto oposto y a partir da hipotenusa z e do ngulo do tringulo retngulo xyz indicado na figura 4.1.3. Atravs das relaes trigonomtricas, temos: zxcos = assim, o cateto adjacente que representa o nmero real x, pode ser dado por; = cos z xe zysen = assim, o cateto oposto que representa o nmero imaginrio y, pode ser dado por; = sen z yconclumos que um nmero complexo na forma retangular : ( ) + = + = sen z j cos z jy x C Exemplo 4.4.2: converter os nmeros complexos da forma polar para a forma retangular: a) C = 20045o 42 , 141 45 cos 200 xo = =42 , 141 45 sen 200 yo = =C = 141,42 + j141,42 SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 50 b) C = 30-240o 15 240 cos 30 xo = =98 , 25 240 sen 30 yo = =C = -15 + j25,98 4.5. OPERAES MATEMTICAS COM NMEROS COMPLEXOS Parapodermosoperaralgebricamentenmeroscomplexos,devemoslembrardealgumas relaes. Sabemos que, para um nmero imaginrio: 1 j =fazendo: ( ) 1 1 j22 = =ento: 1 j2 =e ainda: j1jjjjjj1j12 == = =ento: jj1 = 4.5.1. Conjugado Complexo Oconjugadodeumnmerocomplexo,representadoporC*,podeserdeterminado simplesmente pela mudana do sinal da parte imaginria na forma retangular ou do sinal do ngulo na forma polar. Seja: = + = z jy x Cento o conjugado C* dado por: = = z jy x C* Exemplo 4.5.1: determine o conjugado dos nmeros complexos: a) C = 5 + j7 C* = 5 j7 b) C = 100-30o C* =100+30o SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 514.5.2. Recproco ou Inverso de um nmero complexo O recproco ou o inverso de um nmero complexo, representado por C-1 dado por: =+= =z0 1jy x1C1Co1 Essa diviso de nmeros complexos ser estudada no item 4.5.5. 4.5.3. Adio e Subtrao de nmeros complexos A adio (soma) ou subtrao algbricas de nmeros complexos deve ser feita sempre na formaretangular.Nosesomamousesubtraemnmeroscomplexosnaformapolar.Uma transformao deve ser feita antes desta operao algbrica.Soma e Subtrao algbrica de nmeros complexos so feitas na forma retangular. A regra para soma ou subtrao de nmeros complexos na forma retangular : Somam-se ou subtraem-se algebricamente as partes reais e as partes imaginrias, separadamente. Assim: ) y y ( j ) x x ( ) jy x ( ) jy x ( C C2 1 2 1 2 2 1 1 2 1+ + + = + + + = +) y y ( j ) x x ( ) jy x ( ) jy x ( C C2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 + = + + = Exemplo 4.5.2: efetuar as operaes algbricas com nmeros complexos, sendo C1 = 3 + j4 e C2 = 5 + j6: a) C3 = C1 + C2: C3 = C1 + C2 = (3 + j4) + (5 + j6) = (3 + 5) + (j4 + j6) = 8 + j10 b) C3 = C1 - C2: C3 = C1 - C2 = (3 + j4) - (5 + j6) = (3 - 5) + (j4 - j6) = -2 j2 c) C3 = C1 + C2*: C3 = C1 + C2* = (3 + j4) + (5 - j6) = (3 + 5) + (j4 - j6) = 8 j2 4.5.4. Multiplicao de nmeros complexos A multiplicao de nmeros complexos deve ser feita na forma polar. No recomendvel a multiplicao na forma retangular, embora possa ser realizada. Multiplicao de nmeros complexos feita na forma polar. Consideremosdoisnmeroscomplexosnaformapolar 1 1 1z C = e 2 2 2z C = . Efetuemos a multiplicao: ( ) ( )2 2 1 1 2 1z z C C = Na forma trigonomtrica: ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = + + = 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1jsen cos jsen cos z z jsen cos z jsen cos z C C( ) = + + + =2 122 1 2 1 2 1 2 1sen sen j cos jsen sen cos j cos cos z z( ) ( ) [ ] = + + =2 1 2 1 2 1 2 1 2 1cos sen sen cos j sen sen cos cos z zDas identidades trigonomtricas conhecidas, temos: SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 52( )2 1 2 1 2 1cos sen sen cos cos + = ( )2 1 2 1 2 1sen cos sen sen cos + = + Substituindo: ( ) ( ) [ ]2 1 2 1 2 1 2 1jsen cos z z C C + + + = ( )2 1 2 1 2 1z z C C + = Portanto, a regra para multiplicao de nmeros complexos na forma polar : Multiplicam-se os mdulos e somam-se algebricamente os ngulos. Assim: ( )2 1 2 1 2 2 1 1 2 1z z z z C C + = = Exemplo 4.5.3: efetuar as operaes algbricas com nmeros complexos, sendo C1 = 1045o e C2 = 2030o. a)C3 = C1 x C2: C3 = C1 x C2 = 1045o x 2030o = 10x20 (45o+30o) = 200 75o b)C3 = C1* x C2: C3 = C1* x C2 = 10-45o x 2030o = 10x20 (-45o+30o) = 200 -15o Tambmpodemosmultiplicarnmeroscomplexosnaformaretangularutilizando-sea propriedade distributiva. Assim: = + + + = + + = ) y y ( j ) x y ( j ) y x ( j ) x x ( ) jy x ( ) jy x ( C C2 122 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 ) y x y x ( j y y x x C C1 2 2 1 2 1 2 1 2 1+ + = Propriedade:oprodutodeumnmerocomplexopeloseuconjugadoumnmeroreal.Seja C=x+jy. Assim: 2 2 2 2 2 *y ) 1 ( x y j jxy jxy x ) jy x ( ) jy x ( C C = + = + = 2 2 *y x C C + = O mesmo raciocnio vlido para a forma polar. 4.5.5. Diviso de nmeros complexos A diviso de nmeros complexos deve ser feita na forma polar. Diviso de nmeros complexos feita na forma polar. A regra para diviso de nmeros complexos na forma polar : Dividem-se os mdulos e subtraem-se algebricamente os ngulos. Assim: ( )2 1212 21 121zzzzCC = = ) y x y x ( j y y x x ) y y )( 1 ( ) x y ( j ) y x ( j ) x x (1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1+ + = + + + =SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 53Exemplo 4.5.4: efetuar as operaes algbricas com nmeros complexos, sendo C1 = 1045o e C2 = 2030o. a)C3 = C1 / C2: C3 = C1 / C2 = 1045o / 2030o = 10/20 (45o-30o) = 0,5 15o b)C3 = C2 / C1*: C3 = C2 / C1* = 2030o / 10-45o = 20/10 (30o-(-45o)) = 2 75o 4.5.6. Potenciao de nmeros complexos Consideremos o complexo = z C . Dado o nmero natural no nulo n, temos: [ ] + + + = = ... z ... z z C ... C C Cnn ( ) = n z Cn n Esta equao conhecida como Frmula de Moivre. Exemplo 4.5.5: Efetue as operaes: a)( ) ( ) ( )o o 33o90 8 30 3 2 30 2 C = = =b)( ) ( ) ( ) ( ) 24 j 7 16 1 24 j 9 16 j 24 j 9 4 j 4 j 3 2 3 4 j 3 C2 2 2 2+ = + + = + + = + + = + =4.6. EXERCCIOS 4.6.1.Represente os nmeros complexos num mesmo plano cartesiano e obtenha a forma polar: a)C1=5+j2 b)C2=4-j3 c)C3=-j4 d)C4=-1-j1 e)C5=2 f)C6=-7-j7 g)16 3 4 C7 =4.6.2.Representeosnmeroscomplexosnummesmoplanocartesianoeobtenhaaforma retangular: a)C1=530o b)C2=2180o c)C3=445o d)C4=3-60o e)C5=6-150o f)C6=2,590o 4.6.3.Determineoargumentoeomdulodosnmeroscomplexosaseguireosrepresente geometricamente no plano cartesiano: a)C=j4 b)3 2 j 2 C + =SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 544.6.4.Faa as operaes algbricas com os nmeros complexos: a)(6+j5)+(2-j)= b)(6-j)+(4+j2)= c)(2,5+j3,5)-(2,5-j4,5) d)(4-j).(2+j3)= e)(1+j).(2-j).(3+j2)= f)(5+j2)2= g)(2+j).(j)-1= 4.6.5.Calcule a e b, para que (4+j5)-(-1+j3)=a+jb 4.6.6.Determine o conjugado de: a)C=(3+j)-(2+j5)= b)C=(1-j).(3+j).(-1)= 4.6.7.Determine o CC, tal que: 2C+3C*=4-j 4.6.8.Dados os complexos C1=3+j4 e C2=6-j8, determine: a)|C1.C2|= b)|C1-C2|= c)|C1/C2|= d)|(2C1+C2)/(C1+C2)|= 4.6.9.Seja o1135 2 C = , o260 4 C = , o330 1 C =e C4=3-j4, calcule: a)(C1.C2)/C3= b)C1+C2-C3= c)(C1.C3*)-C2= d)C2/C4= e)C1-C4*= f)(3C1.C2).(C3.4C4)/(2C2-C3)= 4.6.10.Prove matematicamente (literal - sem nmeros) que o produto de um nmero complexo na forma polar pelo seu conjugado um nmero real igual ao mdulo ao quadrado. 4.6.11.Prove matematicamente (literal sem nmeros) que( )2 1212 21 121zzzzCC = = . 4.6.12.Calcule: a)j4= b)j5= c)(1+j)8= d)(1+j3)5= e)(1-j)-2= SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 555. REPRESENTAO FASORI AL DE SI NAI S SENOI DAI S Neste captulo ser apresentada uma prtica ferramenta grfica e matemtica que permitir efacilitarasoperaesalgbricasnecessriasaplicaodosmtodosdeclculoeanlisede circuitoseltricosqueoperemcomsinaissenoidaisdetensoedecorrentedemesma freqncia. Este mtodo faz uso de um vetor radial girante denominado Fasor. 5.1 INTRODUO J sabemos que podemos representar sinais de tenso e de corrente alternadas senoidais atravs das seguintes expresses matemticas trigonomtricas no chamado domnio do tempo ou domnio temporal, pois so funo do tempo: Tenso instantnea:v(t) = Vp . sen (w.t V) Corrente instantnea:i(t) = Ip . sen (w.t I) Estasexpressestrigonomtricasparatensesecorrentes,nodomniodotempo,no permitemmtodosprticosparaaanlisedecircuitoseltricos,poisnosofceisdeserem algebricamente operadas. Exemplo5.1.1:Sabemosquepotnciaeltricaoprodutodatensopelacorrente.Obtenhaa equaodapotnciaeltricainstantneamultiplicandoatensoinstantneav(t)=10sen(100t)pela corrente instantnea i(t)=2sen(100t-60o): Resolvendo, temos: ) 60 t 100 ( sen ) t 100 ( sen 20 ) 60 t 100 ( sen 2 ) t 100 ( sen 10 ) t ( i ) t ( v ) t ( po o+ = + = =A questo : como multiplicar os dois senos de ngulos diferentes? Arespostaestnousodaschamadasidentidadestrigonomtricas.Algumasdelasesto apresentadas no anexo A1. Para o produto de senos temos: ( ) ( ) [ ] + = cos cos21sen senAssim,aplicando-seestaidentidadetrigonomtricaeconvertendo60opararadianos(/3), temos: + + + = + =3100 100 cos3100 100 cos2120 ) 60 100 ( ) 100 ( 20 ) ( t t t t t sen t sen t po + =+ =+ =3200 cos 10 53200 cos 5 , 0 103200 cos3cos220) ( t t t t pPodemosconcluirqueumasimplesmultiplicaodedoissinaisparaadeterminaoda potncia num circuito no uma operao to simples e evidente. Exemplo 5.1.2: Sabemos que numa malha de um circuito eltrico devemos somar as tenses. Some osdoissinaisdetensonaformatrigonomtricaeobtenhaasformasdeonda,sendo v1(t)=10sen(100t)) e v2(t)=15sen(100t+60o). Uma soluo pouco prtica e trabalhosa para somarmos algebricamente tenses senoidais e obtermos a forma de onda resultante, seria fazer esta operao de soma ponto a ponto das curvas senoidais, ao longo do eixo das abscissas, como mostra a figura 5.1.1. A tabela 5.1.1 apresenta os valoresparacadanguloobtidosparaastensesv1,v2easomav1+v2.Outrasoluoseria operarmosasequaesbuscandoalgumaidentidadetrigonomtrica.Deambasasformas, conclumos que esta tarefa no simples, nem rpida e nem evidente. SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 56) 60 t 100 ( sen 15 ) t 100 ( sen 10 ) t ( v ) t ( vo2 1+ + = + Figura 5.1.1 soma de senides ponto a ponto Tabela 5.1.1 valores calculador para o grfico da figura 5.1.1. ngulo (o)v1 (V)v2 (V)v1+v2 (V) 0012,990412,9904 3051520 608,6602512,990421,6506 90107,517,5 1208,660251,8E-158,66025 1505-7,5-2,5 1801,2E-15-12,9904 -12,9904 210-5-15-20 240-8,66025 -12,9904 -21,6506 270-10-7,5-17,5 300-8,66025 -3,7E-15-8,66025 330-57,52,5 360-2,5E-1512,990412,9904 Precisamos,portanto,encontrarumaferramentaquenosfaciliteasoperaesalgbricas com sinais senoidais de tenses e correntes para que possamos fazer uma anlise rpida e correta de circuitos eltricos. No estudo do captulo 3, pudemos perceber que os parmetros mais importantes dos sinais de tenso e de corrente alternadas so: Valor de Pico:Vp e Ip Valor Eficaz:Vef e Ief Velocidade Angular: Freqncia:f Perodo:T Fase Inicial: -25-20-15-10-505101520250 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360tenso (V)grausv1 v2 v1+v2SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 57SabemosquetodoosistemaeltricodoBrasiloperaaumamesmafreqncia(60Hz).O que diferencia em algumas regies so as tenses (110; 127; 220; 227V, por exemplo). Da mesma forma, no mtodo que ser apresentado, se todas as fontes de tenso e de corrente de um circuito possurem a mesma freqncia angular poderemos omitir na representao da tenso v e da corrente i. Seja, por exemplo, o circuito da figura 5.1.2, com trs fontes de tenso alternadas operando com mesmas freqncias angulares =200rad/s, onde: v1(t) = 10.sen(200.t + 0o) v2(t) = 5,0.sen(200.t + 45o) v3(t) = 20.sen(200.t + 90o) Todas as trs fontes apresentam a mesma freqncia angular = 200 rad/s. Desta forma, no diferencia as tenses e pode ser omitida na representao de v1, v2 e v3. A diferenciao entre estas tenses dever ser feita, ento, em funo da tenso de pico Vp (ou da tenso eficaz Vef) e do ngulo de fase inicial de cada fonte. Serapresentadonestecaptulo,ummtodopararepresentaodesinaissenoidais,de mesma freqncia, que permita facilidade nas operaes algbricas necessrias anlise e clculo decircuitosdecorrentealternada.EssemtodochamadoRepresentaoFasorialdeSinais Senoidais. v1(t) v2(t)v3(t) Figura 5.1.2: circuito com trs fontes de tenso operando mesma freqncia [1] 5.2. FASOR DoestudodaFsica,sabemosqueumpontosedeslocandoemummovimentocircular uniforme(movimentoharmnico)podeserrepresentadoatravsdesuasprojeesnumplano cartesiano formando uma senide, como mostra a figura 5.2.1. A recproca tambm verdadeira, ou seja,umasenidepodeserrepresentadapelasprojeesdeseuspontoscomoumpontogirando em um movimento circular uniforme. Um movimento harmnico giratrio pode ser descrito por uma senide e vice-versa. SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 58C =t (o, rad) 90o C 0o 30o 60o 90o 120o 150o 180o 210o 240o 270o 300o 330o VP 0o 30o 60o 90o 120o 150o 180o 210o 240o 270o 300o 330o 360o +VP -VP v(t) Figura 5.2.1: Projees de valores instantneos de um sinal senoidal [3] Cada ponto de uma senide pode ser representado por um vetor de mdulo constante numa posio diferente, como indicado na figura 5.2.1. A medida que a senide descrita o vetor assume posies diferentes. Quando a senide completa um ciclo, o vetor descreveu um giro completo e se encontra na mesma posio inicial novamente. Este vetor, portanto, um vetor girante. Se o ciclo da senide foi descrito num dado intervalo de tempo (perodo T), o vetor deu uma volta completa no mesmoperododasenide.Assim,podemosconcluirqueparaumadadafreqnciafdosinal senoidal, o movimento harmnico (giratrio) do vetor possui a mesma freqncia e, portanto o vetor gira no sentido anti-horrio com a mesma freqncia ou velocidade angular da senide. Analisando a figura 5.2.1 podemos observar que o ponto C, em qualquer posio angular do seu movimento giratrio, forma um vetor radial girante cujo mdulo constante e igual ao valor de pico (amplitude) da senide. Ento: Uma senide pode ser descrita por um vetor radial girante com mdulo igual sua amplitude (valor de pico) e mesma freqncia angular Acadaciclocompletadodasenide,ovetorradialgirantevoltasuaposioinicial.Se observarmosaprojeodovalordasenidenoinstanteinicialt=0ounaposioangularinicial =t=0o,ovetorradialgiranteestposicionadoaumdeterminadonguloemrelaoaoeixox.Aps um perodo T (360o) o valor estar na mesma posio de partida. Podemos observar que este ngulo corresponde ao ngulo de fase inicial da senide. A cada perodo ou ciclo completado o vetor radial girante est sempre na mesma posio angular inicial . Se o ciclo da senide iniciar adiantado, o ngulo de fase inicial 0 positivo. Se o ciclo da senide iniciar atrasado, o ngulo de fase inicial 0 negativo, conforme ilustra a figura 5.2.2. SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 59(a) - VP v(t) t V0 V0 VP (b) - VP v(t) t V0 V0 VP Figura 5.2.2: ngulo inicial do vetor radial girante: (a) adiantado, positivo; (b) atrasado, negativo [3] Considerando que este vetor radial: gira mesma freqncia angular constante da senide de origem; possui mesma freqncia f e perodo que a senide de origem; a cada volta se encontra na mesma posio inicial correspondente ao ngulo de fase inicial da senide de origem possui um mdulo constante e igual ao valor de pico Vp da senide de origem; Entoessevetorgirantepossuiosmesmosparmetrosquedescrevemasenidee considerando uma dada freqncia, para defini-lo basta o seu mdulo e o seu ngulo de fase inicial. A este vetor radial girante chamamos de Fasor. Fasor um vetor radial girante com freqncia , com mdulo igual ao valor de pico VP e com ngulo de fase inicial , que representa uma senide de iguais parmetros. Assim, os sinais senoidais de tenso e corrente tambm podem ser representados atravs de vetores girantes, chamados Fasor Tenso e Fasor Corrente, como indica a figura 5.2.2. Umfasorpodeserentendidocomoumvetorpresoemumadassuasextremidadese girando,comoosponteirosdeumrelgio,umavelocidadeangulardadaemradianospor segundo. Se a extremidade presa do vetor girante for a origem de um plano cartesiano x-y pode-se traar as projees x e y de cada instante do deslocamento de sua extremidade livre (ponta da seta) nesteplano,comomostraafigura5.2.1.Aprojeodofasornoeixoyumafunosenoque representaaamplitudeinstantneadasenideresultante,comoilustraafigura5.2.3.Aamplitude mxima (valor de pico) corresponder ao mdulo do fasor. Assim, a projeo y pode ser dada pela funo senoidal: y = v(t) = Vp . sen w.touy = v() = Vp . sen e os valores instantneos (amplitudes) podem ser calculados da seguinte forma: SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 60 = 0ov() = Vp . sen 0o = 0 = 30ov() = Vp . sen 30o = 0,5.Vp = 60ov() = Vp . sen 60o = 0,866.Vp = 90ov() = Vp . sen 90o = 1.Vp = 120ov() = Vp . sen 120o = 0,866.Vp = 150ov() = Vp . sen 150o = 0,5.Vp = 180ov() = Vp . sen 180o = 0 = 210ov() = Vp . sen 210o = -0,5.Vp = 240ov() = Vp . sen 240o = -0,866.Vp = 270ov() = Vp . sen 270o = -1.Vp = 300ov() = Vp . sen 300o = -0,866.Vp = 330ov() = Vp . sen 330o = -0,5.Vp = 380ov() = Vp . sen 380o = 0 C x y t v(t) Vp Projeo yfuno senoidal v(t) Fasorvetor girante 0 Figura 5.2.3: Diagrama Fasorial e as projees do fasor de um sinal senoidal. Os fasores so representados graficamente atravs de diagramas fasoriais, como mostra a figura 5.2.3. Se o diagrama fasorial representar apenas a posio do fasor no instante inicial, o seu mdulocorrespondeaosegmentoOCnafigura5.2.3erepresentaovalordepicodasenide.O ngulodessefasorcorrespondeaongulodefaseinicialdasenide.Aprojeosobreoeixoy representaaamplitudedasenidenoinstanteinicialt=0.Portanto,afunoqueestefasor representa : v() = Vp . sen ( ) ou em funo do tempo: v(t) = Vp . sen (.t ) Exemplo 5.2.1: Representar graficamente os sinais senoidais atravs do diagrama fasorial e de sua projeo senoidal: v(t) = 10.sen(100t + 0o) V i(t) = 5.sen(100t + 45o) A Soluo: O fasor V correspondente ao sinal senoidal v(t) deve ser posicionado sobre o eixo x, pois o seungulodefaseinicial=0o,edevetermduloiguala10unidadesdaescalaadotada,como mostra a figura 5.2.4. O fasor I correspondente ao sinal senoidal i(t) deve ser posicionado a +45o a partir do eixo x e deve ter mdulo de 5 unidades da escala adotada, como mostra a figura 5.2.4. SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 61 x eixo real y eixo imaginrio 10 545o fasor Vfasor I 0 Figura 5.2.4: diagrama fasorial para os exemplos 5.2.1 e 5.2.2. Observao:UmdiagramafasorialpodeconterumouvriosFasores(vriossinaissenoidais) desde que sejam todos de mesma freqncia. Exemplo5.2.2:Dodiagramafasorialdafigura5.2.4,obteradefasagementreossinaissenoidais correspondentes aos fasores V e I: Soluo:ofasorcorrenteIestadiantadode45odofasortenso,pois=45o-0o=45o.Tambm podemos dizer que a tenso est atrasada de 45o da corrente. Exemplo5.2.3:Umfasordetensodemdulo10descreveumarotaocompletaem0,02s partindo da posio inicial -30o. Determine: a)o diagrama fasorial para o instante inicial e obtenha o comportamento senoidal desse sinal; b)o ngulo em que a tenso 10V. c)a freqncia angular e a expresso matemtica para as variaes instantneas desse sinal; d)o valor da tenso no instante t=0s; Soluo:ofasortemmdulode10Vepartede-30o(ou/6rad).Suarepresentaogrficafica comoapresentadanafigura5.2.5(a).Comoafaseinicialde=-30oasenidecomeaoseu semiciclo positivo no ngulo =+30o.Ovalor depico positivo (10V) ocorrer em 90o+=120o eassim por diante, comomostra o grfico da figura 5.2.5(b). Como a rotao completada aps 0,02s, a freqncia angular pode ser determinada por: s / rad 16 , 31402 , 02T2f 2 === = A funo instantnea para este sinal dada por: )6t 16 , 314 ( sen 10 ) t ( sen V ) t ( vP = + =No instante t=0s a funo senoidal assume o valor: ( ) 5 5 , 0 10 )6( 10 )60 16 , 314 ( 10 )616 , 314 ( 10 ) ( = = = = = sen sen t sen t vTambm podemos obter o valor inicial de v(t) para t=0 atravs da projeo do fasor sobre o eixo vertical (y) do diagrama fasorial: 5 ) 5 , 0 ( 10 ) 30 ( 10 ) 0 ( ) 0 ( = = = =osen y vSINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 62 t(o) 390o210o +10 -10 0 10 -30o 120o 30o -5 (a) (b) v(0)=-5 v(t) y Figura 5.2.5: soluo do exemplo 5.2.3. (a) diagrama fasorial e (b) forma de onda5.3. REPRESENTAO FASORIAL COM NMEROS COMPLEXOS Comovimos,ummtodomaisprticoeeficientepararepresentaogrficadesinais senoidaisfazusodeumvetorradialgirantedenominadoFasor.Paraqueestesfasorespermitam facilidadenasoperaesalgbricasdossinaisqueelesrepresentam,comonaaplicaodos mtodosdeanlisedecircuitoeltricosdecorrentealternada,necessriaumaferramenta matemtica para representar tais fasores. Esta ferramenta faz uso dos nmeros complexos e de sua lgebra. Como estudado no captulo 4, um nmero complexo representado na forma retangular (ou forma cartesiana) um nmero composto por uma parte real e uma parte imaginria: C = x + jy Um nmero complexo representado na forma polar composto por um mdulo de um vetor radial e um ngulo (ou argumento). C = z onde: x nmero real y nmero imaginrio j operador imaginrio ( j = 1) z mdulo - ngulo ou argumento. Um fasor um vetor radial traado desde a origem cujo mdulo (comprimento) constante ecorrespondeaovalordepicodosinalsenoidalecujonguloformadocomoeixodasabscissas corresponde fase inicial do sinal senoidal no instante inicial t = 0. Seestefasor,queumvetorradial,fortraadonumplanocartesianocomplexo,como mostrado na figura 5.3.1, podemos perceber que ele forma um tringulo retngulo com o eixo real x e podemos represent-lo matematicamente atravs de nmeros complexos, tanto na forma polar como na forma retangular. SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 63 x eixo real y eixo imaginrio x 0 y z cateto oposto cateto adjacente hipotenusa Figura 5.3.1 representao de um fasor no plano cartesiano complexo. Portanto, uma funo senoidal no domnio do tempo dada por: ) t sen( V ) t ( vp =pode, ento ser passada para o chamado domnio fasorial e transformada num fasor representado atravs de um nmero complexo na forma polar, tal que o mdulo corresponde a um valor fixo que identifiqueasenidecomoovalordepicoouovaloreficaz(queproporcionalaovalorepicoe constante) e o argumento corresponde ao ngulo de fase inicial: =pV V& ou =2VVp& =efV V& onde: V&- fasor representado por um nmero complexo; Vp valor de pico (amplitude) do sinal senoidal de origem; - ngulo de fase inicial do sinal senoidal de origem. Um fasor um nmero complexo na forma polar. Importante:comoovaloreficaz(rms),emvezdovalordepico,usadomaisfreqentementena especificao e anlise de dispositivos e circuitos eltricos de corrente alternada e que, para sinais senoidais vlida e constante a relao: 2 V Vef p = , arepresentaofasorialdesinaissenoidaisdetensoecorrentepodeusarovaloreficazcomo mdulo do fasor, permanecendo o mesmo ngulo de fase para o argumento. Assim: Fasor Tenso: v efV V =& onde: V& - fasor tenso (Volts); Vef tenso eficaz (Volts); v ngulo de fase inicial do sinal senoidal de tenso (graus ou radianos) SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 64A aplicao desse raciocnio tambm vlido para sinais senoidais de corrente, ento: Fasor Corrente: i efI I =& onde: I& - fasor corrente (Ampres); Vef corrente eficaz (Ampres); i ngulo de fase inicial do sinal senoidal de corrente (graus ou radianos) Comoumfasorumnmerocomplexo,tambmpodemosrepresent-lonaforma retangular, usando as projees x e y, como mostra a figura 5.3.1. A converso de um fasor na forma polar para a forma retangular e vice-versa atravs dos procedimentos apresentados no captulo 4. Exemplo5.3.1:Nafigura5.2.4,considerando-seoeixoxcomoeixorealeoeixoycomoeixo imaginrio,representarosfasoresatravsdenmeroscomplexos,naformapolarenaforma retangular. Soluo: para a tenso V o seu valor de pico 10 e o seu ngulo 0o, ento o fasor tenso na forma polar : o o0 07 , 7 0210V = =& V eparaacorrenteIoseuvalordepico5eoseungulo+45o,entoofasorcorrentenaforma polar: o o45 54 , 3 4525I + = + =& A paraobtermosaformaretangulardevemosobterasprojeesdosfasoresnoseixosxey.Assim para o fasor V: 07 , 72100 cos210xo= = =0 0 sen210yo= =ento: 0 j 07 , 7 V + =& V e para o fasor I: 5 , 2 45 cos25xo= =5 , 2 45 sen25yo= =ento 5 , 2 j 5 , 2 I + =&A Exemplo 5.3.2: transforme para o domnio fasorial os sinais senoidais: a)) t 377 sen( 311 ) t ( v = V o0 220 V =&V b)) 30 t sen( 2 10 ) t ( io+ = A o30 10 I =&A SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 65c)) 15 t cos( 50 ) t ( vo = mV o75250V =&mV Exemplo 5.3.3: transforme para o domnio do tempo os seguintes fasores: a) o60 110 I =&A) 60 t sen( 2 110 ) t ( io+ = A b)o45 20 V =&V) 45 t sen( 2 20 ) t ( vo = V 5.4. OPERAES MATEMTICAS COM FASORES E DIAGRAMAS FASORIAIS Arepresentaofasorialimportantenaanlisedecircuitoseltricospoispermiterealizar facilmente diversas operaes matemticas entre tenses, correntes e potncias, sem usar a funo do domnio do tempo (expresses trigonomtricas) ou a representao grfica da onda. Arepresentaotrigonomtricapermitealgumasoperaesmatemticasusando equaes chamadas identidades trigonomtricas, mas dificultam os clculos. Considerandoquesinaissenoidaisdetensoedecorrentepodemserrepresentados atravs de fasores e estes, por sua vez, podem ser representados por nmeros complexos, podemos oper-losatravsdalgebraaplicvelaosnmeroscomplexos.Feitoissopodemosconverter novamenteofasorresultanteparaodomniodotempoeencontrarmosnovamenteumafuno senoidal. A figura 5.4.1 representa esse procedimento. Fasores podem ser operados atravs da lgebra dos nmeros complexos. Domnio do Tempo Funo Instantnea v(t) = VP.sen(t ) i(t) = IP.sen(t ) Domnio Fasorial FASOR i efv efI IV V = =&& Operao Algbrica de Nmeros Complexos Formas de Onda Domnio do Tempo Funo Instantnea v(t) = VP.sen(t ) i(t) = IP.sen(t ) Formas de Onda Domnio Fasorial FASOR i efv efI IV V = =&& Figura 5.4.1 seqncia para operaes algbricas de sinais senoidais usando fasores. Observao:Nanotaofasorialafunosenosemprearefernciaeafreqnciano representada, portanto: A lgebra fasorial para sinais senoidais aplicvel somente para sinais de mesma freqncia. Arepresentaofasorialatravsdenmeroscomplexosnaformaretangularenaformapolar, permite todas as operaes matemticas mais direta e facilmente e segue as mesmas regras para operaes com nmeros complexos estudadas em matemtica. Observao: possvel transformar nmeros complexos da forma de polar para a forma retangular evice-versa.Porexemplo,podemostransformarumfasortensonaformapolarparaaforma retangular e vice-versa, como demonstrado na figura 5.4.2. SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 66

2 2efy x V + =&

xyarctg = FORMA RETANGULARFORMA POLAR x = Vef.cosy = Vef.sen jy x V + =& =efV V& Figura 5.4.2 transformao de polar em retangular e vice versa. Odiagramafasorialpermitesomenteoperaesgrficasdeadioesubtrao.Elas podemserrealizadaspelomesmoprocessousadoparasomaesubtraodevetoresatravsdo Mtodo do Paralelogramo. Assim como para os vetores, podemos efetuar a soma de dois fasores de forma grfica ou analtica, como mostra a figura 5.4.3: X Y Z Figura 5.4.3 soma de fasores pelo mtodo do paralelogramo Analiticamente, efetuamos a soma atravs da aplicao da equao trigonomtrica: cos 22 2 + + = Y X Y X ZO ngulo do fasor resultante pode ser dado por: +=costan1Y Xsen Y Exemplo5.4.1:someesubtraiaossinaissenoidais) 45 t 377 sen( 2 20 ) t ( vo1+ = e ) 30 t 377 sen( 2 40 ) t ( vo2 = : Soluo: transformando em fasores, temos: o145 20 V =&V e o230 40 V =&V. Comodevemossomaresubtrairossinais,devemosoperarestesnmeroscomplexosnaforma retangular. Assim, transformando para a forma retangular: 14 , 14 j 14 , 14 V1+ =&V e20 j 64 , 34 V2 =&V. Fazendo a operao de soma temos: ( ) ( ) ( ) ( ) 86 , 5 78 , 48 20 14 , 14 64 , 34 14 , 14 20 64 , 34 14 , 14 14 , 142 1j j j j V V = + + = + + = +& &V Fazendo a operao de subtrao temos: ( ) ( ) ( ) ( ) 14 , 34 5 , 20 20 14 , 14 64 , 34 14 , 14 20 64 , 34 14 , 14 14 , 142 1j j j j V V + = + + = + = & &V Transformando os resultados das operaes para a forma polar, obtemos os fasores: o2 185 , 6 13 , 49 V V = + & &V o2 1120 82 , 39 V V = & &V SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 67Reescrevendo os sinais senoidais no domnio do tempo, temos: ) 85 , 6 t 377 sen( 2 13 , 49 ) t ( v ) t ( vo2 1 = + V ) 120 t 377 sen( 2 82 , 39 ) t ( v ) t ( vo2 1+ = V Apartirdossinaissenoidaisnodomniodotempo,asformasdeondapodemsertraadas,como indica a figura 5.4.4. Podemospercebercomoalgebrafasorialfacilitaasoperaescomossinaissenoidais que, na forma trigonomtrica, apresentam maior complexidade. Figura 5.4.4 grfico para o exemplo 5.4.1. Exemplo 5.4.2: Some os fasores do exemplo 5.4.1 aplicando as equaes trigonomtricas. 13 , 49 75 cos 40 20 2 40 20 cos V V 2 V V Vo 2 22 12221 R= + + = + + =( )( )ooosenV Vsen V15 , 2375 cos 20 4075 20tancostan11 21 1= += + = este ngulo o ngulo entre a resultante e o vetor V1, ento deve ser corrigido para obtermos o ngulo a partir do eixo x: o o o85 , 6 15 , 23 30 = + = ento a resultante : oR85 , 6 13 , 49 V =& A figura 5.4.5 mostra a soma grfica dos fasores do exemplo 5.4.2. -80-60-40-200204060800 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360tenso (V)grausv1 v2 v1+v2 v1-v2SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 68 20 40 49,13 +45o -30o -6,85oV1 V2 V1+V2+23,15o Figura 5.4.5 Soma grfica dos fasores do exemplo 5.4.2. 5.5. TABELA RESUMO Deacordocomoqueestudamos,podemosconcluirquehquatromaneirasde representarmosumsinalsenoidal:atravsdogrficodaformadeonda,dodiagramafasorial,da expresso matemtica trigonomtrica e dos fasores. Aformadeondaarepresentaomaisvisual,mostrandoavariaoperidicadosinal atravsdosgrficosemfunodotempoouemfunodongulo.Oosciloscpiooinstrumento utilizado para visualizarmos a forma de onda de um sinal eltrico de tenso. Odiagramafasorialumaformagrficasimplificadaderepresentarmososinalsenoidal, permitindo fazermos operaes grficas de soma e subtrao entre vrios sinais de tenso ou entre sinais de corrente. A expresso matemtica na forma trigonomtrica representa a funo de forma completa, mostrando todos os detalhes do sinal e permite a determinao dos seus valores instantneos. A representao de sinais senoidais atravs dos fasores utiliza os nmeros complexos e a forma mais simplificada da funo, contendo apenas a amplitude e o ngulo de fase inicial do sinal. Essa representao permite facilmente operaes de soma, subtrao, multiplicao e diviso entre vrios sinais eltricos. Atabela5.5.1apresentaumresumodasrepresentaesmatemticasparaossinais senoidais de tenso e corrente. SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 69Tabela 5.5.1 Representaes Matemticas de Sinais Senoidais Tenso (V)Corrente (A) Valor Instantneo Domnio do Tempo Forma Trigonomtrica ) t sen( V ) t ( vv p = ) t sen( I ) t ( ii p =Fasor Domnio Fasorial Forma Polar v efV V =& i efI I =& Fasor Domnio Fasorial Forma Retangular (Cartesiana) v ef v efsen V j cos V V + =&i ef i efsen I j cos I I + =&Valor Eficaz (Mdio Quadrtico, RMS) 2VVpef=2IIpef=5.6. EXERCCIOS: 5.6.1.Determine os fasores para os seguintes sinais senoidais e os represente atravs do diagrama fasorial: a)( )o130 t 120 sen 15 ) t ( v + =b) =32t 100 sen 115 2 ) t ( v2 c)( ) t 377 sen 311 ) t ( v1 =5.6.2.Dados os grficos e funes abaixo [1]: a)determineoperodo,freqncia,velocidadeangular,faseinicial,valordepico,picoapico, valor eficaz e valor mdio; b)tome um sinal como referncia e verifique as defasagens em cada grupo de sinais; c)representeossinaisatravsdefasores(formapolareretangular)eelaboreodiagrama fasorial para cada conjunto de sinais de tenso e corrente; I)v1(t) = 8,0sen(500t + 25o)V; v2(t) = 4,5sen(500t)V; i1(t) = 1,0sen(500t - 135o)A II)i1(t)=10sen(400t+60o)A;i2(t)=8,0sen(400t-45o)A;v1(t)=12sen(400t-45o)V; i3(t)=7,0sen(400t)A. III)v1(t)=5,0sen(400t)V; v2(t)=2,0sen(400t-90o)V; i1(t)=2,5sen(400t-30o)A; v3(t)=3,5sen(400t+180o) IV)SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 70 V) VI) -60-40-2002040600 5 10 15 20 25 30tenso (V), corrente (A)tempo (s)v1 v2 i1-160-120-80-40040801201600 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016 0,018 0,02 0,022 0,024 0,026 0,028 0,03tenso (V), corrente (A)tempo (s)v1 v2 i1-10-8-6-4-202468100 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360tenso (V), corrente (A)ngulo (graus)v1 v2 i1SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 715.6.3.Considere os fasores de mesma freqncia o10 100 V =&, o230 50 V =& e o145 10 I =&. a)Faa a soma e a subtrao algbrica das tenses, na forma fasorial; b)Faa, algebricamente, o produto de cada tenso pela corrente c)Faa a soma e a subtrao das tenses graficamente, atravs do diagrama temporal (formas de onda) e atravs do diagrama fasorial; 5.6.4.Considerando o diagrama fasorial abaixo: a)Escreva as expresses matemticas no domnio do tempo (instantneas); b)Trace as curvas senoidais; c)Determine a defasagem e a freqncia dos sinais. 0 10 /4 =120 -7/12 7 Figura 5.6.4 diagrama fasorial para o problema 5.6.4. SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 726.RELAESENTRETENSOECORRENTEALTERNADASNOS ELEMENTOS PASSI VOS DE CI RCUI TOS Doestudodafsica,sabemosqueumadadacausanoproduzumefeitosemuma oposio, ou seja, a relao entre causa e efeito uma oposio. Matematicamente: EfeitoCausaOposio =Noscircuitoseltricosacausapodeserentendidacomoatensoeoefeitoo estabelecimento de uma corrente eltrica. A resistncia eltrica , portanto, uma oposio. Nestecaptuloseroestudadasasrelaesexistentesentreastenseseascorrentes alternadas senoidais nos Resistores, nos Capacitores e nos Indutores e sua forma de representao matemtica,almdecomoafreqnciadossinaissenoidaisafetaascaractersticasde comportamentodesseselementos.Essecomportamentodeterminadopelacaractersticade oposio desses componentes quando submetidos a sinais de tenso e corrente senoidais. A forma deonda senoidal tem particular importncia pois associa naturalmente fenmenos matemticos e fsicos relacionados aos circuitos eltricos: Aondasenoidalanicaformadeondaalternadacujaformanoafetadapelas caractersticas de respostas dos elementos resistivos, indutivos e capacitivos. Em outras palavras, se a tenso aplicada a um resistor, indutor ou capacitor for senoidal, a corrente resultante em cada um tambm ter caractersticas senoidais (e vice-versa). Se uma outra forma de onda for aplicada, a resposta ter forma de onda diferente daquela aplicada. Anotaofasorialapresentada,juntamentecomasrelaesentretensoecorrentenos elementospassivos,permitirusarparacircuitoscomsinaissenoidaisdetensoecorrente,os mesmos teoremas e conceitos adotados na anlise de circuitos em corrente contnua. A essa anlise chamamosdeRespostaSenoidaldosElementosPassivosemregimepermanente.Regime permanentesignificaqueconsideramospassadooefeitotransitriodoscircuitos,ouseja,sem alterao de sua condio operacional. 6.1. RESISTOR EM CORRENTE ALTERNADAJ foi estudado que um resistor oferece uma oposio passagem da corrente eltrica em um circuito, devido sua resistncia eltrica. Em um circuito eltrico, como mostra a figura 6.1.1, a relaoentrecausaeefeitoaresistnciaeltricaeexpressapelarelaoentretensoe corrente num resistor , chamada de Lei de Ohm. I R +- V Figura 6.1.1 tenso e corrente em um resistor. Assim: IVR =onde: R - resistncia do resistor (); SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 73V - tenso nos terminais do resistor (V); I - corrente que atravessa o resistor (A); Sejaocircuitodafigura6.1.2,noqualumafontedetensoalternadasenoidal v(t)=Vp.sen(.t+V)alimentaumresistorR.Comoatensov(t)funodotempo,acorrente tambm ser funo do tempo, i(t). Figura 6.1.2 circuito resistivo alimentado por uma tenso senoidal. Pela Lei de Ohm, a relao entre causa e efeito dada por: ) t ( i) t ( vR =Sabemosquearesistnciaeltricaumacaractersticadosmateriais.Noschamados Materiaishmicosaresistnciaconstantecomrelaotensoecorrenteaplicadas.Paraos nossos estudos, consideraremos a resistncia uma constante. Assim: ) t ( senRVR) t ( sen VR) t ( v) t ( ivp v pR + = + = =Como tambm vlida a relao: RVIpp =Ento: ) t ( sen I ) t ( iV p R + =Observa-sequeanicadiferenaexistenteentreasfunessenoidaisv(t)ei(t)ovalor depico.Nohdiferenanosngulosdefasesdasduasfunes.Istoocorreporquenum resistor a corrente sempre diretamente proporcional tenso, ou seja: tenso zero, corrente zero; tenso dobra, corrente dobra e assim por diante. Assim: V I = Assim: ) t ( sen I ) t ( iI p R + =~ v(t )i (t )RSINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 74 =t (o, rad) 0o 30o 60o 90o /2 120o 150o 180o 210o 240o 270o 300o 330o 360o +VP -VP v(t) i(t) +IP -IP 3/4 2 +VP +IP -IP -VP Figura 6.1.3 Corrente em fase com a tenso em um circuito resistivo. Se traarmos as funes tenso vR(t) e corrente iR(t) no resistor, como mostra o grfico da figura6.1.3,podemosconcluirqueumresistor,quandosubmetidoaumatensoalternada, produzumacorrenteeltricacomamesmaformadeonda,mesmafreqnciaemesmo ngulo de fase da tenso, porm, com valor de pico (amplitude) que depende dos valores da tenso aplicada e da resistncia, conforme a Lei de Ohm. Portanto, em um circuito resistivo puro de corrente alternada (CA) a variao na corrente ocorre em fase com a variao da tenso aplicada. Nos terminais de um resistor, a corrente est sempre em fase com a tenso: V = I No domnio fasorial a relao entre a tenso e a corrente determinada por: RRIVR&&=Onde: IR

- fasor tenso aplicada ao resistor [V]; IR

- fasor corrente no resistor [A]; R resistncia eltrica do resistor []. Resolvendo para a corrente: RVIRR&&=Como R um nmero real: ) 0 (RV0 RVIoVf ReoV f ReR = =& SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 75Sabemos que o valor eficaz de um sinal CA corresponde a uma tenso contnua de mesmo valor sobre uma resistncia. Ento: RVIf Ref Re=Assim: V f Re RI I =& Podemos,concluirque ongulodacorrentenoresistoromesmodatenso:v=i. Reescrevendo: I f Re RI I =& Exemplo 6.1.1: A um resistor de 6 aplicada uma tenso de senoidal de 12Vef , 60Hz e ngulo de fase inicial zero. a)Determine a expresso trigonomtrica e o fasor para a tenso; b)Determine a expresso trigonomtrica e o fasor para a corrente; c)Trace as formas de onda para v(t) e i(t); d)Trace o diagrama fasorial para a tenso e corrente. Como a freqncia 60Hz, ento a freqncia angular determinada por: 377 60 2 f 2 = = = rad/s Assim, podemos determinar a expresso da tenso instantnea: ) t 377 ( sen 97 , 16 ) 0 t 377 ( sen 2 12 ) t ( v = + =V E o fasor tenso: o0 12 V =& V O fasor corrente determinado pela relao: oo0 260 12RVI == =&& A A corrente instantnea : ) t 377 ( sen 83 , 2 ) 0 t 377 ( sen 2 2 ) t ( i = + =A Com as duas formas trigonomtricas para a tenso v(t) e corrente i(t), podemos atribuir valores paraavariveltempo(t)etraarasformasdeondacomauxliodeumsoftwaredeplanilha eletrnica, como mostra a figura 6.1.4. Podemos perceber que a tenso e a corrente esto em fase, como era esperado. A figura 6.1.5 apresenta o diagrama fasorial para a tenso e corrente no resistor. Mais uma vez percebemos que a tenso e a corrente esto em fase num circuito resistivo. SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 76 Figura 6.1.4 Formas de onda de tenso e corrente em fase para o exemplo 6.1.1. o0 2 I =& o0 12 V =& Figura 6.1.5 Diagrama fasorial para o exemplo 6.1.1: tenso e corrente em fase no resistor. Observao:Estamosconsiderandonesteestudo,resistnciashmicasconstantes,apesarde sabermos que a resistncia pode variar com a tenso aplicada (no hmica) e com a temperatura. Estamosconsiderandotambmquearesistnciadeumresistorindependenteda freqnciaaplicada.Naverdadeumresistorrealapresentaumacertacapacitnciaparasitae indutnciadoscondutoresquesosensveisfreqnciadosinalaeleaplicado.Geralmenteos nveisdecapacitnciaeindutnciasotopequenosqueseuefeitorealnosignificanteata faixaoperacionaldemegahertz(MHz).Nestafaixa,acurvaderesistnciaversusfreqnciapara alguns resistores de filme de carbono apresentada na figura 6.1.6. Podemos notar que os valores de resistncia diminuem com o aumento da freqncia e este comportamento mais sensvel para resistores de maior valor de resistncia nominal. Estecomportamentosedevescomponentesdecapacitnciaeindutnciaintrnsecasao resistor real e que so sensveis freqncia, como ser estudado nos itens posteriores. Nestetrabalhocontinuaremosconsiderandoaresistnciaumaconstanteetambm independentedafreqnciadosinalaplicadoparasimplificaodasanlises.Porm,oleitordeve ter em mente que estas consideraes devem ser analisadas em circuitos de alta freqncia. -20-15-10-5051015200 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360tenso (V), corrente (A)grausv(t)x1 i(t)SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 77R (% do valor nominal) f (escala logartmica) Figura 6.1.6 Comportamento da resistncia com a freqncia [fonte: Boylestad]. 6.1.1. Exerccios: Dados os circuitos da figura 6.1.5, determine: a.O fasor tenso da fonte; b.a corrente fornecida pela fonte na forma trigonomtrica e fasorial; c.a tenso e a corrente em cada resistor (forma trigonomtrica e fasorial) d.formasdeondadatensoecorrentedafonteeemcadaresistoremfunodotemponum mesmo grfico e.diagrama fasorial completo. Dados: v1(t) = 220.sen(377.t+90o);v2(t) = 100.sen(1000.t+0o);v3(t) = 100.sen(1000.t-60o) R1=20;R2=30 I)II)III)Figura 6.1.5 circuitos para o exerccio 6.1.1. 6.2. CAPACITOR EM CORRENTE ALTERNADA Nos circuitos eltricos, o capacitor um elemento capaz de armazenar energia eltrica. Sua constituiofsicacompostaporduasplacascondutorasmetlicas,separadasporummaterial isolante chamado dieltrico.Seucomportamentoeltricoconsisteemumacorrenteeltrica(cargaseltricas)entrando emumadasplacasdocapacitor,obrigandoasadadeigualcorrentedaoutraplacaporrepulso eletrosttica.Decorridoalgumtempotem-secargasarmazenadasemambasasplacas.Este acmulodecargascorrespondeumaenergiaarmazenadanaformadecampoeltricoexistente entreasplacasdocapacitor.Estas cargasarmazenadasproduzemumcampoeltricodetalforma que se estabelece uma diferena de potencial ddp (tenso) entre as placas do capacitor. SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 78Umcapacitorsadmitecorrenteemseusterminaisenquantoestiversendocarregadoou descarregado.Quantomaiscargahouvernocapacitormaiorserocampoeltricocriadoemaior ser a diferena de potencial (tenso) existente entre as placas. A relao entre a quantidade de carga armazenada e a tenso admitida entre as placas de um capacitor uma constante chamada Capacitncia. Ou seja: VQC =[Farad] Podemoscomprovarmatematicamente,doestudodoscapacitores,queaenergia armazenada no capacitor dada por: 2V C21En = [Joule] Deacordocomoestudodocarregamentoedescarregamento5docapacitor,feito anteriormente e observando a figura 6.2.1, conclumos que: Emregimepermanente,umcapacitorcarregadocomporta-secomoumcircuitoabertoem tensocontnuaconstante,maspermiteaconduodecorrentenocircuitoparatenso varivel; Acorrenteadmitidadiretamenteproporcionalvariaodetensonotempo,sendoa capacitncia C, a constante de proporcionalidade, pois: dvdQC =fazendo: dvdt) t ( idvdtdtdQdtdtdvdQC = = =isolando i(t), a corrente no capacitor em funo do tempo dada por: dtdvC ) t ( iCC =A tenso nos terminais de um capacitor no pode sofrer variaes instantneas bruscas. Se ocorresse uma variao instantnea (dt0) a corrente tenderia a um valor infinito [iC(t)], o que no possvel fisicamente. Por esse motivo dizemos que o capacitor se ope variao de tenso; A tenso acumulada nos terminais do capacitor dada por: = dt iC1vC C Acorrentenocapacitorpodevariarinstantaneamente,comopodemosobservarnafigura 6.2.1(c); S existe corrente no ramo do capacitor, enquanto existir variao de tenso sobre ele (pois se V0, ento ic(t)0). Quando a corrente mxima, a tenso nula e quando a tenso mxima a corrente nula.

5Esteestudoapresentadonarefernciabibliogrfica:MUSSOI,F.L.R.Capacitores.Florianpolis: CEFET/SC, 2003. Disponvel em: www.cefetsc.edu.br/mussoi SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 79t=t1 t=t3 IC + + IC (a) (b) (c) Figura 6.2.1 Transitrio CC de carga e descarga do capacitor: (a) circuito para anlise do carregamento; (b) circuito para anlise da descarga; (c) curva da Corrente e da Tenso no capacitor em funo do tempo para carga e descarga. Consideremosocircuitodafigura6.2.2ondeumcapacitorestconectadoaumafontede tenso alternada. ~ v(t) CAUSA + + - - i(t)EFEITOvC(t)OPOSIO Capacitor Figura 6.2.2 capacitor alimentado por uma tenso alternada senoidal Na figura 6.2.3, observando a curva da tenso alternada senoidal aplicada sobre o capacitor vemosqueosmomentosdemaiorvariaodatenso(Vcmx.)ocorremquandoseuvalorest prximodezeroe,portanto,nestesinstantesteremososmaioresvaloresdecorrentenoramodo capacitor.Poroutrolado,nosinstantesemqueatensoestprximadeseuvalormximoasua variao muito pequena (Vc 0) o que implica em valor de corrente baixo (IC0).VC(V)t (s) t (s)IC(A)t1t2t3t4t1t2t3t4Vmx+Imx-ImxSINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 80 =t (o, rad) 0o 30o 60o 90o /2 120o 150o 210o 240o 270o 300o 330o 360o +VP -VP vC(t) iC(t) -IP 3/4 2 +VP +IP -VP -30o -90o -60o -/2o =+90o vC(t) iC(t) 180o Figura 6.2.3 - Corrente e Tenso Senoidais num Capacitor Ideal: corrente adiantada de 90o da tenso. Combasenesseraciocnio,seaplicarmosumatensosenoidalaumcapacitor,como mostraafigura6.2.2,verificaremosquequandoatensoforcrescente,acorrenteassumeseus valoresmximos.Quandoatensoformxima,acorrentenula.Apartirdessasobservaes podemosconcluirqueacorrenteresultantenocapacitortambmsenoidaleapresentauma defasagem de 90o com relao tenso, como indica a figura 6.2.3. Portanto: Nos terminais de um capacitor num circuito CA, a corrente sempre estar adiantada de 90o em relao tenso. Destaforma,arepresentaomatemticadatensoedacorrentenocapacitor,naforma trigonomtrica e fasorial a seguinte: vc(t) = Vp . sen (.t + 0o)ou oef c0 V V =& ic(t) = Ip . sen (.t + 90o)ou oef c90 I I =& Sejaocircuitodafigura6.2.2,vamosdeterminaracorrentenocircuitoparaumadada tensonoelementocapacitivo.Paracircuitoscapacitivos,atensonosterminaisdocapacitor limitadapelataxanaqualasplacasdocapacitorpodemsercarregadasoudescarregadas.Em outras palavras, uma variao instantnea na tenso sobre o capacitor impedida pelo fato que h um requisito de tempo para carreg-lo (ou descarreg-lo). Assim: CQV =diferenciando: CdQdv =como dtdQiC= , desenvolvendo e substituindo, temos: = -90o SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 81CdtiCdtdtdQdtdtCdQCdQdvC = = = =isolando iC: dtdvC iC =Como capacitncia uma medida da taxa com que um capacitor armazena carga nas suas placas, para uma dada variao na tenso sobre o capacitor, quanto maior o valor da capacitncia, maior ser a corrente capacitiva resultante. Aequaoacimaindicaqueparaumadadacapacitncia,quantomaiorataxade variao da tenso sobre o capacitor, maior a corrente capacitiva. Se a tenso no varia, no h correnteemseusterminais.Umaumentonafreqnciacorrespondeaumaumentonataxade variaodatensonocapacitoreaumaumentonasuacorrente.Acorrentenocapacitor, portanto,diretamenteproporcionalfreqncia (maisespecificamente,velocidadeangular)e capacitncia do capacitor. Pelafigura6.2.2podemosverificarqueumaumentonacorrentedocircuito(efeito)deve corresponderaumadiminuionaoposioeiCproporcionalfreqnciaangulare capacitnciaC,aoposiodeumcapacitor,portanto,inversamenteproporcionalfreqncia angular (2f) e capacitncia C. Como: dtdvC iC =Considerando V=0o, a tenso senoidal aplicada aos terminais do capacitor : ) t ( sen V ) t ( vP C =diferenciando a equao: t cos Vdt) t sen V ( ddtdvppC = =portanto: t cos V CdtdvC ipCC = =t cos V C ip C =fazendo p pV C I =e como( ) ) 90 t sen( t coso+ = , temos: ) 90 t sen( I ) t ( iop C+ =PodemosnotarqueovalordepicodacorrenteiCdiretamenteproporcionaleC, comoprevisto.TraandoogrficoparavCeiC,verificamosquenumcapacitoracorrenteest adiantadade90odatenso,comomostraafigura6.2.3.Seumngulodefaseforincludona expresso senoidal para vC, temos: ) t sen( V ) t ( vv p C =ento: ) 90 t ( sen V C ) t ( iov p C+ =SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 82ou ) t ( sen I ) t ( iI p C + =onde oV I90 + = 6.2.1. Reatncia Capacitiva Xc: Aoposioestabelecidaporumcapacitoremumcircuitoalternadosenoidalpodeser encontrada aplicando-se a equao: OposioCausaEfeito =assim, EfeitoCausaOposio =Comoacausaatensoaplicadaaocapacitoreoefeitoacorrenteresultantenos terminais do capacitor, substituindo os valores: ( )( )I pV pCCt sen It sen Vv it vOposio + + = =) () ( No domnio fasorial: ( ) ( )( )oV VoV pV pI pV pIpVpI efV efC V CVIVIVIVOposio 9019022 =+ ==== ( )CoXC jjC COposio = = = = 1 1901A essa oposio (reao) oferecida pelo capacitor chamamos de Reatncia Capacitiva, XC. Assim: C jXC =1 =Cj XC1 Podemosobservarqueareatnciacapacitiva,naverdade,expressaporumnmero imaginrio negativo.A oposio estabelecida por um capacitor em um circuito alternado senoidal inversamente proporcionalaoprodutodafreqnciaangular(2f)pelacapacitnciaC.Omdulodareatncia capacitiva pode ser calculado por: CXC=1 C fXC = 21 SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. MussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica 83onde: |Xc| - mdulo da Reatncia Capacitiva () C - capacitncia (F) f - freqncia do sinal (Hz) - freqnc