3 Ano Matematica

MATEMÁTICA - 3º ANO – ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015

1

APOSTILA 2015

MATEMÁTICA

PROFESSOR: DENYS YOSHIDA


2

Sumário

1.Análise combinatória..................................................................................................................4

1.1 Princípio Fundamental da Contagem......................................................................................4

1.2 Fatorial.....................................................................................................................................6

1.3 Permutações simples..............................................................................................................9

1.4 Permutações com elementos repetidos................................................................................11

1.5 Arranjo simples......................................................................................................................13

1.6 Combinações simples...........................................................................................................15

1.7 Números Binomiais...............................................................................................................17

1.8 Triângulo de Pascal...............................................................................................................18

1.9 Binômio de Newton...............................................................................................................20

2. Estudo da probabilidade..........................................................................................................23

2.1 Experimentos aleatórios........................................................................................................23

2.2 Espaço amostral....................................................................................................................23

2.3 Evento...................................................................................................................................23

2.4 Probabilidade........................................................................................................................25

3.Geometria Analítica..................................................................................................................28

3.1 Distância entre dois pontos...................................................................................................28

3.2 Ponto médio de segmento.....................................................................................................30

3.3Condição de alinhamento de três pontos distintos ................................................................32

3.4 Coeficiente angular de reta...................................................................................................34

3.5 Equação geral da reta...........................................................................................................35

3.6 Equação reduzida da reta.....................................................................................................36

3.7 Posições relativas entre duas retas.......................................................................................37

3.8 Estudo da circunferência.......................................................................................................40

3.9 Equação reduzida da circunferência.....................................................................................40


3

4. Números complexos................................................................................................................43

4.1 Unidade imaginária................................................................................................................43

4.2 Definição................................................................................................................................44

4.3 Operações com complexos...................................................................................................46

4.4 Inverso de um número complexo..........................................................................................50

4.5 Potências de i........................................................................................................................50

4.6 Representação geométrica dos números complexos...........................................................55

4.7 Módulo de um complexo.......................................................................................................56

4.8 Argumento de um complexo..................................................................................................56

4.9 Forma trigonométrica de um complexo.................................................................................57

5. Polinômios...............................................................................................................................62

5.1 Definição................................................................................................................................62

5.2 Polinômio nulo.......................................................................................................................63

5.3 Valor numérico de um polinômio...........................................................................................64

5.4 Operações com polinômios...................................................................................................66

5.5 Teoremas sobre divisão de polinômios.................................................................................69

5.6 Dispositivo de Briot-Ruffini....................................................................................................70

Exercícios de vestibulares...........................................................................................................75

Referências bibliográficas.........................................................................................................102


4

1. Análise Combinatória

A partir da necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos jogos de azar foi

desenvolvida a Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de

contagem. Os estudos sobre Análise Combinatória foram iniciados pelo matemático italiano

Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois estudada pelos franceses

Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). A Análise Combinatória visa

desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de

um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.

1.1 Princípio fundamental da contagem

Princípio Fundamental da Contagem também é conhecido como Regra do Produto, um

princípio combinatório que indica quantas vezes e as diferentes formas que um evento pode

ocorrer.

O evento é formado por duas etapas caracterizadas como sucessivas e independentes:

O primeiro estágio pode ocorrer de m modos distintos, o segundo estágio pode ocorrer de n

modos distintos.

Desse modo, podemos dizer que o número de formas diferente que pode ocorrer em um

evento é igual ao produto m. n.

Exemplo

1. Felipe possui 4 calças sociais e 6 camisas, de quantas maneiras distintas poderá associá-

las?

m. n = 4 . 6 = 24

Felipe pode associar suas roupas de 24 formas diferentes

Exercícios sobre Principio Fundamental da Contagem

1- Uma determinada viagem pode ser feita de carro, ônibus ou avião. De quantos modos

pode-se escolher o meio de transporte se não for usado na volta o mesmo meio de

transporte usado na ida?

2- Genoveva convidou sete meninas e dez rapazes para sua festa de aniversário. Contando

com ela, quantos casais podem ser formados?

3- De quantas maneiras diferentes os assentos de um carro poderão ser ocupados se houver

cinco pessoas que sabem dirigir e supondo que caibam um motorista e quatro

passageiros?


5

4- Em uma prova classificatória para as olimpíadas, 10 atletas disputam os 800 metros. Sabe-

se que apenas os quatro primeiros serão classificados para as finais. Quantos resultados

possíveis existem para os quatro primeiros lugares?

5- Dispondo de seis cores, de quantas formas distintas podemos pintar uma bandeira com 3

listras verticais de cores diferentes?

6- Uma churrascaria oferece 30 tipos de salada, dez tipos de carne e cinco tipos de

sobremesa. Asclépio resolveu optar por um tipo de salada, um tipo de carne e um tipo de

sobremesa. Quantas opções ele tem para montar seu prato?

7- Uma comissão de uma câmara de vereadores será composta por 1 presidente, 1 secretário

e 1 relator. Considerando que essa câmara possui 18 vereadores, de quantos modos pode

ser formada essa comissão?

8- Um cofre de segurança possui um disco com as 26 letras do alfabeto e dois outros

numerados de 1 a 9. o segredo do cofre consiste em 4 letras distintas, em uma

determinada ordem, e 2 números distintos, também em ordem. Considerando que as letras

devem sempre anteceder os números, quantos segredos diferentes podem ter o cofre?

9- Considere os algarismos 2,4 e 6.

a) Quantos são os números de três algarismos que podemos formar com esses algarismos?

b) Quantos são os números de três algarismos distintos que podemos formar com esses

algarismos?

10- Quantos números naturais de quatro algarismos distintos existem?

11- Quantos são os números de quatro algarismos formados somente por algarismos ímpares?

12- Quantos números naturais ímpares de 4 algarismos distintos podemos formar com os

algarismos de 0 a 9?


6

13- As placas de automóveis são formadas por 3 letras e 4 algarismos. Quantas placas

podemos formar, utilizando apenas as vogais e os algarismos pares?

14- (Cespe-DF) O lanche vespertino dos empregados de uma empresa consiste de uma xícara

de café, um biscoito e um sanduíche. O café é servido com açúcar ou sem açúcar. Há três

tipos de sanduíche e quatro tipos de biscoito. Considerando que um empregado faça um

lanche completo usando apenas uma de cada opção oferecida, o número possível de

maneiras diferentes de ele compor o seu lanche é:

a) Menor que 13

b) Maior que 13 e menor que 17

c) Maior que 17 e menor que 20

d) Maior que 20 e menor que 23

e) Maior que 23

15- (MACK-SP) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de 4 algarismos

distintos. Entre eles, são divisíveis por 5:

a) 20 números

b) 30 números

c) 60 números

d) 120 números

e) 180 números

1.2 Fatorial de um número

Denominamos fatorial o produto dos números naturais começando em n e decrescendo até 1,

um fatorial é apresentado da forma n!, onde:

n! = n·(n-1)·(n-2)...(3)·(2)·(1)

Nota: Por definição tanto 0!, quanto 1! são iguais a 1.

Exemplo

1. Calcule 6!

Temos que 6! lê-se 6 fatorial e pela definição:

6! = 6. 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720

Escrevendo um fatorial a partir de outro fatorial menor


7

Conforme vimos acima, sabemos que 6! = 6. 5 . 4 . 3 . 2 . 1, porém podemos escrevê-lo em

função de fatoriais menores, tais como 5!, 4!, 3! e 2!:

6! = 6. 5!

6! = 6. 5 . 4!

6! = 6. 5 . 4 . 3!

6! = 6. 5 . 4 . 3 . 2!

Podemos generalizar a idéia, escrevendo:

n! = n . (n - 1)! = n . (n - 1) . (n - 2)! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1!

Esse procedimento pode ser bastante utilizado para simplificação de expressões ou cálculo de

fatoriais.

Exemplo:

1. Simplifique as expressões abaixo:

a) 6! 6.5.4.3!

6.5.4 1203! 3!

b) ( 2)! ( 2)! 1 1

! .( 1).( 2)! ( 1) ²

n n

n n n n n n n n

Exercícios sobre fatorial

16- Calcule o valor dos números fatoriais:

a) 0!

b) 1!

c) 7!

d) 2! + 3!

e) 3! – 2!

f) 2! . 3!

g) 4! . 2!

h) 0! . 5!


8

i) )!510(

17- Simplifique as expressões:

a) !11

!14

b) !11

!9

c) !6!2

!8

d) !28

!30!29

e) !38

!39!40

f) )!1(

!

n

n

g) )!3(

)!2(

n

n

h) !

)!3(

n

n

i) )!8(

)!10(

n

n

j) )!1(

)!1(

n

n


9

k) )!2(

)!22(

n

n

18- Resolva as seguintes equações fatoriais:

a) 72)!1(

)!1(

x

x 3/ xNx

b) 2)!2(

!

n

n Nn

c) 2)!4(

)!3(8

x

x Nx

19- (PUC-SP) Se 720)!6( n , então n é igual a:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

20- Resolva a equação )!1.(15)!1( xx tal que Nx .

1.3 Permutações simples

Considere A como um conjunto com n elementos. Os arranjos simples n a n dos elementos de

A, são denominados permutações simples de n elementos.

De acordo com a definição, as permutações têm os mesmos elementos. São os n elementos

de A. As duas permutações diferem entre si somente pela ordem de seus elementos.

.

Cálculo do número de permutações simples

O número total de permutações simples de n elementos indicado por Pn, e fazendo k = n na

fórmula An , k = n (n – 1) (n – 2) . ... . (n – k + 1), temos:


10

Pn = A n,n = n·(n-1)·(n-2)...(3)·(2)·(1) = n! Portanto:

Pn = n!

Anagramas

Um tipo de exercício no qual se é muito comum o uso de permutação simples é o anagrama,

que consiste em investigar de quantas formas distintas um conjunto poderá ser arranjado.

Exemplo:

1. Quantos números de quatro algarismos podem ser escritos utilizando os números: 2, 3,

4,5?

Observe que o total de números a serem permutados são 4, portanto n=4, e pela definição:

P4=4! = 4.3.2.1 = 24

Os números 2, 3, 4,5 podem dar origem a 24 números distintos de quatro algarismos.

2. Quantos anagramas possui a palavra TECIDO?

A palavra TECIDO possui 6 letras, então n=6, portando pela definição:

P4=6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

A palavra TECIDO possui 720 anagramas.

Anagramas com elementos fixos

É um anagrama como os já vistos, porém, um ou mais dos elementos que compõem o conjunto

investigado pode estar fixo, de maneira que não permutará com os demais.

Exemplo

1. Quantos são os anagramas da palavra TECIDO, que começam com C?

Perceba que nesse caso só nos interessam os anagramas começados em C, de maneira que

essa letra é fixa, e a permutação deve ocorrer somente entre as letras: T, E, I, D, O, então

iremos permutar apenas as letras restantes, que são 5, portanto n=5.

P5= 5! = 120

Existem 120 permutações da palavra TECIDO que começam com C.


11

1.4 Permutações com elementos repetidos

De um modo geral, se estamos permutando n elementos dos quais um elemento se repete

vezes, teremos: !

!

nPn .

Exemplo: Determine o número de anagramas da palavra CASA:

122

24

!2

!4P .

Exercícios sobre permutações simples e permutações com elementos

repetidos

21- Calcule:

a) 4P

b) 5P

c) 7P

d) 9P

e) 2

5P

22- Considere a palavra LUCIANE:

a) Quantos são os anagramas dessa palavra?

b) Quantos anagramas começam por L?

c) Quantos começam com L e terminam em E?

d) Quantos começam por vogal?

e) Quantos apresentam as letras ANE juntas e nessa ordem?

f) Quantos apresentam as letras ANE juntas?

23- Quantos anagramas da palavra VESTIBULAR:


12

a) Têm juntas as letras V, E, S, T, nessa ordem?

b) Têm juntas todas as vogais?

24- Quantos anagramas da palavra BIGODE têm as consoantes e as vogais dispostas

alternadamente?

25- Com a palavra ADEUS, podemos formar:

a) Quantos anagramas?

b) Quantos anagramas que se iniciam com a letra A?

c) Quantos anagramas que se iniciam com vogal?

26- Qual é o número de anagramas da palavra BRASIL começados por A e terminados por R?

27- Quantos anagramas da palavra FUVEST possuem as vogais juntas?

28- Forme números obtidos pela permutação dos algarismos 2, 3, 4, 8 e 9 e disponha-os em

ordem crescente. Que lugar ocupa o número 43892?

29- Dispostos em ordem crescente todos os números formados pelos algarismos 1, 3, 5, 7 e 9,

sem repetição, que posição ocupa o número 79531?

30- (Unifesp) As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas em ordem

alfabética, como se fossem palavras de cinco letras em um dicionário. A 73ª palavra nessa

lista é:

a) PROVA

b) VAPOR

c) RAPOV

d) ROVAP

e) RAOPV

31- Quantos são os anagramas da palavra:

a) NATA


13

b) CLARA

c) ARARA

d) BALADA

e) DEZESSEIS

f) URUGUAI

g) MATEMÁTICA

h) ARGENTINA

32- Quantos são os anagramas da palavra AMORA que começam por A?

33- A partir da palavra CARAGUATATUBA determine quantos anagramas:

a) podemos formar;

b) começam por vogal

34- De quantos modos podemos separar 10 alunos de uma classe em dois grupos: um de 6

alunos e o outro de 4?

35- Quantos números de 8 algarismos podem ser formados usando os algarismos 1,1,1,3,3,7,7

e 8?

1.5 Arranjo simples

Chamam-se arranjos simples todos os agrupamentos simples de p elementos que podemos

formar com n elementos distintos, sendo np . Cada um desses agrupamentos se diferencia

de outro pela ordem ou natureza de seus elementos.

A notação para o número de arranjos simples de n elementos tomados p a p é: pnA , .

Exemplo:

Uma escola possui 18 professores. Entre eles, serão escolhidos: um diretor, um vice-diretor e

um coordenador pedagógico. Quantas são as possibilidades de escolha?

4896!15

!18

)!318(

!183,18

A

Exercícios sobre Arranjo simples

36- Calcule:


14

a) 3,4A

b) 4,4A

c) 2,5A

d) 4,8A

e) 3,10A

f) 3,12A

g)

5,6

2,4

A

A

h) 13,7

2,9

A

A

37- Resolva as equações:

a) 22, nA

b) 122, nA

c) 302, nA

d) 83,

4,

n

n

A

A

38- Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os elementos do conjunto

}5,4,3,2,1{E ?

39- Uma empresa possui 16 funcionários administrativos, entre os quais serão escolhidos 3,

que disputarão para os cargos de diretor, vice-diretor e tesoureiro. De quantas maneiras

pode ser feita a escolha?

40- Considere a palavra MAIO:

a) Quantos anagramas podemos formar com as letras dessa palavra?

b) Quantos anagramas começados pela letra M podemos formar?

41- Júlio deseja pintar a palavra LIVRE em um cartaz de publicidade, usando uma cor em

cada letra. De quantos modos isso pode ser feito, se ele dispõe de 8 cores de tinta?


15

42- Para estimular o uso da bicicleta, o prefeito de uma cidade resolveu premiar os primeiros

colocados de uma corrida de bicicletas ao redor da cidade com uma casa, um carro e uma

bicicleta. De quantas maneiras distintas 20 concorrentes poderão ganhar esses prêmios?

43- Duas pessoas entram num ônibus que tem 7 lugares vagos. De quantas maneiras

diferentes as 2 pessoas podem ocupar esses lugares?

44- Num grande prêmio de Fórmula 1, participarão 20 pilotos e somente os 6 primeiros

marcam pontos. Quantas são as possibilidades de classificação nos 6 primeiros lugares?

45- Uma sala tem 30 lugares. De quantas maneiras 25 alunos podem sentar-se nessa sala?

1.6 Combinações Simples

Denominamos combinação simples aos agrupamentos formados com os elementos de um

conjunto que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Nesses casos a ordem

dos elementos não é importante.

Considere A como um conjunto com n elementos p um natural menor ou igual a n. Os

agrupamentos de p elementos distintos cada um, que diferem entre si apenas pela natureza de

seus elementos são denominados combinações simples p a p, dos n elementos de A. para

esse cálculo utilizamos a expressão:

n,p

n!

=

p!(n-p)!C

Exemplo

1. Quantas combinações de 3 letras elementos poderemos formar com os elementos de A

= {a, b, c, d}?

Temos um conjunto A com 4 elementos, ou seja n = 4, e precisamos de uma

combinação desses elementos de 3 a 3, ou seja p = 3, logo, aplicando a expressão:

4,3

4! 4! 4.3!= = = =4

3!(4-3)! 3!1! 3!C

Ou seja, podemos criar 4 combinações dos elementos de A, combinados 3 a 3.


16

Nota: Fica evidente que esse problema pode ser resolvido manualmente, porém, para

um conjunto com mais elementos o trabalho é relativamente árduo.

Exercícios sobre combinações simples

46- Calcule:

a) 3,5C

b) 4,8C

c) 3,9C

d) 5,7C

47- Em uma classe de 20 alunos, o professor deseja organizar grupos de 5 para trabalhar no

laboratório. Quantos grupos distintos podemos formar?

48- Em um curso de língua estrangeira estudam trinta alunos. O coordenador do curso quer

formar um grupo de três alunos para realizar um intercâmbio em outro país. Quantas

possíveis equipes podem ser formadas?

49- Quantos subconjuntos de 4 elementos possui um conjunto de 8 elementos?

50- (IME-SP) Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de salada, contendo 6 espécies

diferentes, podem ser feitas?

51- Um baralho comum possui 52 cartas. De quantas formas distintas um jogador pode receber

5 cartas?


17

52- De quantas maneiras é possível escalar um time de futebol de salão dispondo de 8

jogadores?

53- Resolva a equação: 32, xC .

54- Numa sala temos 5 rapazes e 6 moças. Quantos grupos de 2 rapazes e 3 moças podemos

formar?

55- Em uma seleção de futebol, existem 8 jogadores de ataque, 6 de meio-campo, 6

defensores e 3 goleiros. Quantos times diferentes podem ser formados utilizando-se 1

goleiro, 4 defensores, 3 meio-campistas e 3 atacantes?

1.7 Números Binomiais

Para compreender melhor o conceito de números binomiais é necessário relembrar situações

que envolvem produtos notáveis. A partir da expressão

(x + y)n iremos calcular as expressões seguintes, com n ≤ 3.

1)( 0 yx

(x + y)¹ = x + y

(x + y)² = x² + 2xy + y²

(x + y)³ = x³ +3x²y + 3xy² + y³

Com base no desenvolvimento das expressões onde n ≤ 3, podemos estabelecer uma relação

para cálculos quando n > 3. Observe:

1)( 4 yx = (x + y)(x + y)³ = (x + y)*( x³ +3x²y + 3xy² + y³)

4x + 3x³y + 3x²y² + xy³ + xy³ + 3x²y² + 3xy³ + y4

4x + 3x³y + 6x²y² + 2xy³ + y4

Podemos verificar que com n > 3, os cálculos começam a ficar mais complexos e trabalhosos.

Podemos definir os coeficientes binomiais através da expressão:


18

n n!

=

p p!(n-p)!

Casos Particulares

1. Quando p = 0:

n n! n! = = = 1,

0 0!(n-0)! n!

2. Quando p = 1:

n n! n(n-1)! = = = n,

1 1!(n-1)! (n-1)!

3. Quando p = n:

n n! n! = = = 1,

n n!(n-n)! n!(0)!

1.8 Triângulo de Pascal

O triângulo de Pascal é uma tabela na qual podemos dispor os coeficientes binomiais, onde

coeficientes de mesmo numerador agrupam-se em uma mesma linha, enquanto coeficientes de

mesmo denominador agrupam-se em uma mesma coluna:

0

0

1 1

0 1

2 2 2

0 1 2

3 3 3 3

0 1 2 3

4 4 4 4 4

0 1 2 3 4

.......................................

k k k k k

.

0 1 2 3 4

k

......

k


19

Calculando os valores dos coeficientes acima, temos uma outra representação do triângulo de

Pascal:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Exercícios sobre números binomiais

56- Calcule os seguintes números binomiais:

a)

3

4

b)

18

20

c)

2

9

d)

7

10

e)

9

12

f)

1

30

g)

n

n 1


20

57- Calcule E, sendo .

58- Calcule o valor de x nas equações:

a)

3

99

x

b)

1

12

12

12

xx

59- Ache o conjunto solução da equação:

212

3

n

60- Simplifique a expressão:

4

5

x

x

1.9 Binômio de Newton

Denomina-se Binômio de Newton, a todo binômio da forma (a + b)n , sendo n um número

natural.

Exemplo:

1. B = (3x - 2y)4 ( onde a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binômio] ).


21

Teorema do Binômio de Newton

Sendo x e y dois números reais e n um número natural, temos:

nn 0 n-1 1 n-2 2 1 n-1 0 nn n n n n

= . . + . . + . . +...+ . . + . .

0 1 2 n-1 n(a+b) a b a b a b a b a b

Ou utilizando o símbolo somatório:

n

nn-k k

k=0

n

= . .

k(a+b) a b

Exemplo:

1. Desenvolva (2x + 3)3 através do teorema binomial:

Aplicando a expressão acima, temos:

4 4 3 2 1 00 1 2 3 4

4 4 3 2

4 4 4 4 4= . . + . . + . . + . . . .

0 1 2 3 0

= + + +

(3x+2) 3x 3x 3x 3x 3x1 1 1 1 1

(3x+2) 81x 216x 216x 96x 16

Exercícios sobre Binômio de Newton

61- Desenvolva os binômios:

a) 4)12( x

b) 5)3( yx

c) 7)4( a

d) 4)3( x

62- Determine 551

.

63- Calcule, utilizando a fórmula do binômio de Newton:

a) 324


22

b) 431

64- Determine o termo pedido no desenvolvimento dos binômios abaixo:

a) O quarto termo de 7)14( x

b) O sétimo termo de 10)1( x

c) O quinto termo de 82( )x y

65- Determine a soma dos coeficientes no desenvolvimento de 9)( yx .


23

2. Estudo da probabilidade

2.1 Experimentos aleatórios

Ao lançarmos uma moeda perfeita podemos obter cara ou coroa, mas o resultado será sempre

imprevisível; ao lançarmos um dado não viciado, teremos também um resultado imprevisível,

mas sabemos que sairá um dos pontos: 1,2,3,4,5 ou 6. A esses experimentos imprevisíveis e

que se conhecem todos os resultados possíveis chamamos experimentos aleatórios.

São exemplos de experimentos ou fenômenos aleatórios:

lançar uma moeda e observar a face de cima;

lançar um dado e observar a face de cima;

observar as peças defeituosas de um lote fabricado por uma maquina em determinado

tempo;

selecionar uma carta de um baralho;

retirar bolas coloridas de uma urna.

2.2 Espaço amostral

Chama-se espaço amostral o conjunto U formado por todos os resultados possíveis de um

experimento aleatório.

São exemplos de espaço amostral:

no lançamento de uma moeda: },{ coroacaraU ;

no lançamento de um dado: }6,5,4,3,2,1{U ;

no lote de dez peças, ocorrência de peças defeituosas: }10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0{U ;

no nascimento de uma criança: },{ meninameninoU

2.3 Evento

Chama-se evento qualquer subconjunto do espaço amostral. Quando o evento é o próprio

espaço amostral, ele é denominado evento certo. Vejamos alguns exemplos:


24

no lançamento de uma moeda: },{ coroacaraU . Evento A lançar uma moeda e obter

cara: }{caraA ;

no lançamento de um dado: }6,5,4,3,2,1{U . Evento B lançar um dado e obter um

número ímpar: }5,3,1{B .

Exercícios sobre espaço amostral e evento

66- Dois dados, um vermelho e outro branco, são lançados, e observamos os números da face

de cima. Dê o espaço amostral desse experimento.

67- Considere o espaço amostral do exercício anterior e descreva os eventos:

a) A: ocorrer 6 no dado vermelho;

b) B: ocorrerem números cuja soma é 10;

c) C: ocorrerem números iguais nos dois dados.

68- Numa urna há seis bolas numeradas de 0 a 5:

a) Dê o espaço amostral deste experimento: retirar uma bola da urna e observar seu número.

b) Descreva o evento A: a bola retirada é um número par.

c) Descreva o evento B: a bola retirada é maior que 2.

d) Descreva o evento C: a bola retirada é maior que 2.

69- Um casal quer três filhos, mas não ao mesmo tempo. Determine:

a) O espaço amostral: sexo dos filhos.

b) O evento A: o casal tem dois filhos e uma filha.

c) O evento B: o casal não tem três filhos do sexo masculino.


25

70- No lançamento simultâneo de dois dados, descreva os eventos e determine o número de

seus elementos:

a) A: a soma dos pontos é 7.

b) B: os dois números são pares.

c) C: a soma dos dois números é menor que 4.

2.4 Probabilidade

Um espaço amostral é equiprovável se cada um de seus elementos têm a mesma

probabilidade de ocorrer. Por exemplo, no lançamento de um dado não viciado, o espaço

amostral é equiprovável; se o dado for viciado e tiver uma das faces com uma possibilidade

maior de aparecer, dizemos que o experimento é não equiprovável.

Para um fenômeno aleatório com o espaço amostral finito e equiprovável, a probabilidade de

ocorrer um evento A é dada por:

)(

)()(

Un

AnAP , onde:

P(A) é a probabilidade de ocorrer o evento A;

n(A) é o número de elementos do evento A;

n(U) é o número de elementos do espaço amostral U.

Exemplo: No lançamento de um dado não viciado, qual a probabilidade de obtermos quatro

pontos?

}6,5,4,3,2,1{U e }4{A

6)( Un e 1)( An . Logo:

%67,16...1666,06

1

)(

)()(

Un

AnAP

Logo a probabilidade de obtermos quatro pontos é de aproximadamente 16,67%.


26

Exercícios sobre probabilidade

71- No lançamento de uma moeda honesta, qual a probabilidade de aparecer cara?

72- Num baralho de 52 cartas, tira-se ao acaso uma carta. Qual a probabilidade de que a carta

retirada seja uma carta de paus?

73- No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter:

a) um número qualquer;

b) um número primo;

c) um numero divisível por 2;

d) um numero menor que 5;

e) um número maior que 6.

74- Uma caixa contém 30 bolas de madeira e todas com o mesmo tamanho, sendo 18 azuis e

12 amarelas. Retirando-se uma bola qualquer dessa urna, qual a probabilidade de ela ser

azul? E a probabilidade de ser amarela?

75- Considere o experimento “jogar duas moedas para cima”.

a) Represente o espaço amostra, que é equiprovável.

b) Qual a probabilidade de obter duas caras?

c) Qual a probabilidade de obter somente uma coroa (em qualquer ordem)?

76- Genoveva possui uma gaveta com três pares de meias brancas, dois pares de meias

pretas, quatro pares azuis e três pares coloridos. Escolhendo ao acaso um desses pares,

encontre a probabilidade de esse par ser azul.

77- (UEPB) No lançamento simultâneo de dois dados honestos, um amarelo e outro branco,

qual é a probabilidade de não sair soma 5?


27

78- Num grupo de 50 pessoas, 16 têm o grupo sanguíneo A; 21 o grupo B; 11 o grupo AB e o

restante o grupo O. Calcule a probabilidade de que uma pessoa selecionada ao acaso

tenha grupo sanguíneo O.

79- (PUC-SP) Serão sorteados 4 prêmios iguais entre os 20 melhores alunos de um colégio,

dentre os quais estão Tales e Euler. Se cada aluno pode receber apenas um prêmio, a

probabilidade de que Tales ou Euler façam parte do grupo sorteado é:

a) 95

3

b) 19

1

c) 19

3

d) 19

7

e) 95

38

80- Um baralho é formado por 52 cartas. Retira-se uma carta e obtém-se um 4 de ouros. Qual

é a probabilidade de retirar uma segunda carta sem reposição da primeira e obter-se outro

4 de qualquer naipe?


28

3. Geometria Analítica

A Geometria Analítica foi concebida por René Descartes. Aliando a Álgebra à Geometria, ela

possibilita o estudo das figuras geométricas, associando-as a um sistema de coordenadas.

Desse modo, as figuras podem ser representadas de pares ordenados, equações ou

inequações. Neste número do Aprovar iremos estudar o ponto e a reta.

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

Dado um plano a dois eixos x e y perpendiculares em O. O par de eixos x (Ox), eixo das

abscissas, e y (Oy), eixo das ordenadas, chama-se sistema cartesiano ortogonal, onde o

plano é o plano cartesiano e o ponto O é a origem do sistema.

3.1 Distância entre dois pontos

Dados dois pontos, A e B, onde A = (x1, y1) e B= (x2, y2), é concebível que estejam a uma

distância, podemos calcular essa distância por meio da expressão:

2

12

2

12 )()(),( yyxxBAd

Exemplo

1. Calcule a distância entre os pontos A (3, 2) e B (1, - 2).

Aplicando a fórmula, temos:

52),(

20),(

164),(

)4()2(),(

)22()31(),(

)()(),(

22

22

2

12

2

12

BAd

BAd

BAd

BAd

BAd

yyxxBAd


29

A distância entre A e B é 2 5

Exercícios sobre distância entre dois pontos

81- Calcule a distância entre os pontos a seguir:

a) )5,2(A e )1,3(B

b) )0,4(P e )5,1( Q

c)

1,

2

1R e )1,5( S

d) )8,0( T e )0,7(V

82- Calcule a distância do ponto )4,3(A à origem do sistema cartesiano.

83- Obtenha o valor de m sabendo que a distância entre os pares de pontos seguintes é d:

a) )2,1(),,6( BmA e 13d

b) )2,(),2,1( mBA e 5d

84- Calcule o perímetro do triângulo de vértices A, B e C em cada caso:

a) )0,3(A , )4,0(B e )0,0(C

b) )3,1(A , )2,1( B e )0,5(C

c) )1,6( A , )2,4(B e )1,3( C

85- Classifique cada triângulo ABC como isósceles, equilátero ou escaleno:

a) )1,3(A , )6,1(B e )3,2(C

b) )3,2(A , )2,1(B e )3,2(C

c) )0,2(A , )0,2(B e )32,0(C

86- Mostre que o triângulo de vértices A (3,1), B(8,1) e C(3,7) é retângulo.


30

3.2 Ponto médio de um segmento

Sejam os pontos A, B, há um ponto M, ao qual chamamos ponto médio de AB, pois divide AB

ao meio, temos que XM e YM do ponto médio M são obtidos por meio da média aritmética das

abscissas e ordenadas, respectivamente, dos pontos dos quais M é ponto médio. O cálculo do

ponto M é dado por:

A B A Bx +x y +y

M= ,

2 2

Graficamente, temos:

Exemplo:

1. Qual o ponto médio do seguimento delimitado por A (3, 2) e B (1, - 2)?

Observando os pontos A e B, temos: xA=3, xB=1, yA=2 e yB=-2,

aplicando a fórmula do ponto médio:

A B A Bx +x y +y 3+1 2+(-2) 4 0M= , , , (2,0)

2 2 2 2 2 2

Exercícios sobre ponto médio de segmento

87- Determine o ponto médio do segmento AB nos seguintes casos:

a) )6,4(A e )10,8(B

b)

6,

3

5A e

1,

3

2B

c) )4,0(A e

0,

4

3B

d) ),2( bbA e )5,6( bbB


31

88- Qual a distância da origem do sistema cartesiano ao ponto médio do segmento de

extremos (-2, -7) e (-4,1)?

89- Dados os pontos A(4,2), B(6,-5) e C(10,-3), calcule a medida da mediana MA do triângulo

ABC.

90- Calcule os comprimentos das medianas de um triângulo cujos vértices são os pontos

A(0,0), B(4,-6) e C(-1,-3).

91- Sabendo que A(-1,6) e que o ponto médio do segmento AB é M(3,5), determine as

coordenadas do ponto B.

92- Uma das extremidades de um segmento AB é o ponto A(3,2). Sendo M(-1,3) o ponto

médio desse segmento, determine as coordenadas da outra extremidade do segmento.

93- (UFES) As coordenadas do ponto médio de um segmento AB são (-1,2). Sabendo-se que

as coordenadas do ponto A são (2,5), então as coordenadas de B são:

a) (4,1)

b) (-4,1)

c) (4,-1)

d) (-1,-4)

e) N.D.A

94- Determine as coordenadas do baricentro do triângulo ABC nos seguintes casos:

a) )3,1(A , )1,2(B e )7,0(C

b) )4,3(A , )3,1(B e )2,0(C

c)

2

1,8A , )3,2(B e )6,4( C

95- O baricentro de um triângulo é o par de coordenadas (4,2) e dois de seus vértices são (1,5)

e (2,8). Determine o terceiro vértice.


32

3.3 Condição de alinhamento de três pontos distintos

Considere três pontos distintos do plano cartesiano A(xa, ya), B(xb, yb) e C(xc, yc). Esses pontos

estão alinhados se o determinante de suas coordenadas for igual a zero. Ou seja:

Então, basta resolvermos o determinante verificar se três pontos estão ou não alinhados.

Exemplo

1. Vamos verificar se os pontos P(2,1), Q(0,-3) e R(-2,-7) estão alinhados.

Resolução:

Vamos construir a matriz através das coordenadas dos pontos P, Q e R e aplicar Sarrus.

2.(–3).1 + 1.1.(–2) + 1.(–7).0 – [1.(–3).( –2) + 1.0.1 + 2.(–7).1] = 0

– 6 – 2 – 0 – [6 + 0 – 14] = 0

– 8 – 6 +14 = 0

–14 + 14 = 0

0 = 0

Como a igualdade é válida, os pontos estão alinhados.

Exercícios sobre condição de alinhamento de três pontos distintos

96- Verifique se estão alinhados os pontos A, B e C nos seguintes casos:

a) A(3,4), B(1,2) e C(0,3)

b) A(3,-1), B(-2,-6) e C(8,4)

c) A(3,7), B(1,2) e C(0,0)

97- Determine o valor de x para que os pontos A, B e C sejam colineares:

a) A(x,2), B(3,1) e C(-4,2)


33

b) A(1,-4), B(-3,5) e C(4x,3)

c) A(1,2), B(x,0) e C(3,4)

98- Determine x de modo que os pontos )3,1(A , )1,(xB e )5,3(C sejam os vértices de um

triângulo.

99- Determine o valor de x para que os pontos )3,2( A , )7,(xB e )1,(xC sejam:

a) colineares

b) os vértices de um triângulo

100- (PUC-MG) Determine t, sabendo que os pontos

tA ,

2

1,

0,

3

2B e )6,1(C são

colineares.

101- Calcule a área S do triângulo de vértices A, B e C em cada um dos casos:

a) A(1,1), B(3,4) e C(0,4)

b) A(-1,2), B(-4,1) e C(3,0)

c) A(-1,-2), B(-5,-2) e C(-8,1)

102- Determine o valor de x para que o triângulo de vértices A(x,-2), B(1,6) e C(3,3) tenha

área igual a 6 u.a.

103- Determine o valor de y para que o triângulo de vértices A(4,3), B(5,y) e C(6,-3) tenha

área igual a 2 u.a.

104- Determine a ordenada y de um dos vértices do triângulo ABC cuja área vale 8 unidades

de área e os vértices são (1,y), B(2,0) e C(3,4).

105- (EEM-SP) os pontos )4,5(),1,1( BA e ),0( yC são vértices de um triângulo. Ache os

valores de y de modo que a área do triângulo ABC seja numericamente igual a 2

7.


34

3.4 Coeficiente Angular de uma Reta

Chamamos de coeficiente angular (m) de uma reta r não perpendicular ao eixo das abscissas,

a um número real m que é calculado pela tangente de um ângulo entre a reta e o eixo das

abcissas.

m tg

Caso não seja fornecido o valor do ângulo , podemos utilizar outra expressão para o cálculo

do coeficiente angular, de modo que sejam A(xA,yB) e B(xA, yB) pontos pertencentes à reta S,

conforme a figura

,

O coeficiente angular m, será dado por:

B A

B A

y y

m

x x

Exemplo:

1. Determine o coeficiente angular da reta que passa por A(3 , 0) e B (8,4)

Solução:

4 0 41

8 4 4m


35

3.5 Equação geral da reta

Podemos representar toda e qualquer reta por uma equação do tipo:

0ax by c

Sendo que a, b, c são constantes e com 0 ou b 0a .

Exemplos:

São equações da reta

a) 2x + 3y - 4 = 0

b) -x + 2y- 8 = 0

c) x + 2y = 0

d) –x + 6 = 0

e) 3y - 4 = 0

3.6 Equação reduzida da reta

Chamamos equação reduzida da reta, a equação é obtida quando isolamos a variável y. Sendo

essa do tipo:

a cy x

b b

.

Nessa forma é mais fácil destacar o coeficiente linear n da reta, coeficiente esse que lida com a

translação da reta no eixo das ordenadas, pode e é calculado por c

b.

Note que, da definição de coeficiente angular, temos: a

m tg mb

E da definição de coeficiente linear, temos c

nb

.

Assim sendo, podemos escrever a equação reduzida da reta como:

y mx n

3.7 Posições relativas entre duas retas

Considere duas retas r e s no plano cartesiano, a posição dessas retas com relação uma à

outra podem ser classificadas como coincidentes, paralelas, concorrentes, conforme abaixo:


36

Retas Coincidentes

Duas ou mais retas são consideradas coincidentes, se uma reta estiver sobreposta à outra, ou

seja, todos os pontos de r pertencem a s e vice-versa:

r = s (Coincidentes)

r e s são coincidentes

Duas retas coincidentes têm a mesma expressão, ou seja:

r e s são coincidentes se 1 1

1 2 1 2

2 2

: e

:

r y a x ba a b b

s y a x b

Retas Paralelas

Duas ou mais retas são consideradas paralelas se possuem a mesma inclinação e nenhum

ponto em comum, conforme figura:

r

s

r e s são paralelas

Duas retas paralelas tem o mesmo coeficiente angular, ou seja:

r e s são paralelas: 1 1

1 2

2 2

:

:

r y a x ba a

s y a x b

Retas Concorrentes

Duas ou mais retas são concorrentes quando se interceptam uma com as outras. A intersecção

de duas retas sempre é um ponto.

r

s

r e s são concorrentes

Para duas retas serem concorrentes o valor do coeficiente angular de ambas deve ser

diferente.


37

r e s são concorrentes, se: 1 1

1 2

2 2

:

:

r y a x ba a

s y a x b

.

Retas Perpendiculares

Retas perpendiculares são um caso particular de retas concorrentes, duas retas são

perpendiculares se tem intersecção e formam um ângulo de 90º.

r

s

r e s são concorrentes

Para duas retas serem concorrentes o valor de seus coeficientes angulares devem ser o

inverso uma da outra, ou seja:

r e s são perpendiculares, se: 1 1

1 2 1 2

2 2 2 1

: 1 1 e

:

r y a x ba a a a

s y a x b a a

.

Exercícios sobre equações da reta

106- Calcule o coeficiente angular do segmento AB em cada caso:

a) A(2,3) e B(3,4)

b) A(4,-1) e B(5,1)

c) A(3,2) e B(4,2)

d) A(-3,-4) e B(-2,-2)

e) A(-1,2) e B(-3,4)

f) A(2,5) e B(-2,-1)

g) A(-1,4) e B(3,2)

107- Usando o coeficiente angular e a condição de alinhamento de três pontos distintos,

verifique se os pontos A, B e C dados são colineares:


38

a) A(0,1), B(2,3) e C(4,1)

b) A(2,3), B(0,5) e C(3,-2)

c) A(6,4), B(3,2) e C(-9,-6)

108- Determine a equação fundamental da reta que passa pelos pontos A e B:

a) A(3,4) e B(-1,1)

b) A(-2,-1) e B(5,-2)

c) A(6,0) e B(0,4)

109- Qual a equação da reta que passa pelo ponto A (6,-9) e tem coeficiente angular 2

1?

110- Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos:

a) A(2,2) e B(4,3)

b) R(-3,2) e S(-1, -1)

c)

2,

3

4A e

5

1,3B

111- (Fuvest-SP) Dados os pontos A(2,3) e B(8,5), determine a equação geral da reta que

passa pelos pontos A e B.

112- Verifique se o ponto A (2,2) pertence à reta de equação 2x+3y-10=0.

113- Verifique se os pontos P(2,1) e Q(1,4) pertencem à reta (r) = 2x+y-5=0.

114- Qual o valor de n para que o ponto Q(3,n) pertença à reta s, cuja equação é

075 yx ?

115- O ponto A(a, a+3) pertence á reta de equação 5x-y-5=0. Determine as coordenadas do

ponto A.

116- Dados os pontos A(-2,1), B(0,-3) e C(2,5), ache a equação das retas suportes desse

triângulo ABC.


39

117- (UFSCar-SP) No plano cartesiano, seja r uma reta de equação 022 yax .

Sabendo que P(1,-1) é um ponto de r, determine:

a) O valor de a

b) O coeficiente angular de r

118- Determine as coordenadas do ponto de intersecção das retas r e s, em cada caso:

a) 012: yxr e 0423: yxs

b) 0832: yxr e 01342: yxs

c) 032: yxr e 072: yxs

119- Obtenha a equação reduzida de cada uma das retas a seguir:

a) 032 yx

b) 0196 yx

c) 123

yx

120- Escreva a equação reduzida da reta que tem coeficiente angular m = 2 e que cruza o

eixo y no ponto (0,-3).

121- Determine o coeficiente angular da reta que tem como equação 743 yx .

122- Determine a equação segmentaria das retas que passam pelos pontos A e B:

a) A(3,0) e B(0,1)

b) A(3,0) e B(0,2)

c) A(-4,0) e B(0,2)

d) A(5,0) e B(0,-3)


40

123- Encontre os pontos A e B de intersecção da reta de equação 0623 yx com os

eixos coordenados.

124- Determine a posição relativa das retas r e s nos seguintes casos:

a) 0232)( yxr e 0864)( yxs

b) 0423)( yxr e 0123)( yxs

c) 0223)( yxr e 0332)( yxs

3.8 Circunferência

Chamamos circunferência a um conjunto de pontos equidistantes a um ponto C. O ponto C é

denominado centro da circunferência e o segmento de reta que liga um ponto qualquer dela ao

centro é chamado raio da circunferência. Assim, r é a medida desse segmento.

3.9 Equação reduzida da circunferência


41

Podemos inscrever circunferências no eixo cartesiano, conforme a figura acima. Seja uma

circunferência com centro no ponto Q (a, b) e raio r; temos que o ponto P (x, y) é pertencente à

circunferência se, e somente se, sua distância ao centro da circunferência for igual ao valor do

raio r, então:

2 2 2 2 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( )d A B r x a y b r x a y b r

Então, uma circunferência com centro no ponto Q (a, b) e raio r tem equação:

2 2 2

( - ) ( - )x a y b r (Equação reduzida da circunferência).

Podemos verificar que, caso o centro da circunferência seja a origem do plano cartesiano, com

a = b = 0, teremos, a partir da equação reduzida da circunferência:

2 2 2( 0) ( 0)x y r , Então:

2 2 2

x y r

Exemplos:

1. Determine a equação reduzida da circunferência com raio 2 e centro

Q (2,1):

Solução

Utilizando a equação reduzida, e substituindo as informações acima, temos que:

2

2 2 2 2( 2) ( 1) 2 ( 2) ( 1) 2x y x y

2. Determine a equação reduzida da circunferência com raio 2 e centro na origem do plano

cartesiano

Solução

Note que o centro da circunferência é na origem do plano cartesiano Q(0, 0), então:

2 2 2 2 23 9x y x y

Exercícios sobre equação reduzida da circunferência

125- Determine a equação reduzida da circunferência que tem raio r e centro C, em cada

caso:


42

a) C(3,3) e 3r

b) C(1,1) e 1r

c) C(-3, -2) e 1r

d) C(0,0) e 3r

e)

3

2,

3

1C e 1r

126- Calcule o raio e o centro das circunferências com as seguintes equações reduzidas:

a) 25)2()2( 22 yx

b) 9)1()3( 22 yx

c) 9)2()1( 22 yx

d) 1622 yx

127- Determine o ponto em que a circunferência 25)4()2(:)( 22 yx intercepta o

eixo Ox.

128- Determine o ponto em que a circunferência 4)2()2(:)( 22 yx intercepta o

eixo Oy.

129- Determine as coordenadas do centro e o raio das seguintes circunferências:

a) 8)6()5( 22 yx

b) 25)4( 22 yx


43

4. Números Complexos

Em geral os conjuntos numéricos surgem da necessidade de se trabalhar com certas

operações que são restritas aos conjuntos numéricos conhecidos, vamos relembrar como se

desenvolveram os conjuntos numéricos que conhecemos:

No início era conhecido o conjunto dos números naturais, que surgiu a partir da

necessidade básica de contar objetos concretos;

A necessidade de subtração entre quaisquer dois números fez com que surgissem os

números inteiros;

Com a limitação do conjunto dos inteiros para a divisão, surgiu o conjunto dos números

racionais;

Os números irracionais surgiram após a descoberta dos números incomensuráveis, que

são tão grandes ou tão pequenos que se tornam impossíveis medir;

O conjunto que engloba os números naturais, inteiros, racionais e irracionais é chamado de

conjunto dos números reais.

Surgimento dos números complexos

Meado do século XVI partir da necessidade de resolução de uma expressão matemática, o

matemático Cardano deparou-se com o termo , então após anos de estudos, foi

necessário que o matemático Bombelli conseguisse a façanha de resolver a equação, para isso

foi necessário desfazer-se da proibição sobre raízes de números negativos, Bombelli concluiu

que, havendo uma unidade i, podemos dizer que , e obteve o resultado da expressão

matemática. Vale a pena ressaltar que os números complexos nem sempre tiveram aceitação

da comunidade matemática, sendo obtida no século XVIII, mais de dois séculos após sua

descoberta.

4.1 Unidade Imaginária

A essa altura de nossos estudos conhecemos as principais operações que podem ser

realizadas com pares ordenados, então vamos considerar o produto entre dois pares

ordenados, sabemos que:

(a, b). (c, d) = (ac – bd, ad – bc), então vamos considerar o produto:

(0,1).(0,1) = (0.0 – 1.1 , 0.1 – 1.0) = (-1, 0)

Se chamarmos o par ordenado (0,1) da unidade imaginária, podemos representá-lo por i,

teremos que:

i.i = (-1) ou i²=(-1)


44

Então, a partir da definição da unidade imaginária, podemos facilmente chegar à mesma

conclusão que Bombelli .

4.2 Definição

Denominamos conjunto dos números complexos, o conjunto representado por ℂ , o conjunto de

pares ordenados, z = (x, y) onde x pertence a ℝ e y pertence a ℝ.

Considere o par ordenado (x, y), temos:

( , ) ( ,0) (0, )

( , ) ( ,0) ( 0 0 1, 1 1 0)

( , ) ( ,0) ( ,0) (0,1)

x y x y

x y x y y

x y x y

Sabemos que, ( ,0) , ( ,0) e (0,1)x x y y i

Então sendo assim, temos que:

( , ) ou x y x y i z x y i

Sendo z = x + y.i a forma algébrica de representar um número complexo, de maneira que x é

chamada de parte real e y (que sempre acompanha o i) é chamada de parte imaginária,

indicadas por:

Re( ) e Im( )x z y z

Se x =0 chamamos o número de imaginário puro, se y=0, temos que z é um número real.

Exemplos:

1. Sejam os números complexos abaixo, indique sua parte real e sua parte imaginária:

a) (2, 1) 2 i

Solução:

Re(z) = 2 e Im(z) = 1

b) 3 6z i

Solução:

Re(z) = -3 e Im(z) = 6

2. Determine o valor de a e b, para que z seja um número imaginário puro:

z = 3a + (a+2b-3)i

Solução:


45

Para que seja um imaginário puro, a parte real deverá ser zero, então:

3 0 0a a

Também para que seja um número imaginário puro, temos que a parte imaginária precisa ser

diferente de 0, sou seja Im( ) 0z

Se Im( ) 5 2 3z a b , precisamos que resolver a inequação:

5 2 3 0

5.(0) 2 3 0(Como sabemos a = 0)

2 3 0

3

2

a b

b

b

b

Então, z é um número imaginário puro para qualquer 3

2b

.

Exercícios sobre números complexos

130- Determine o valor de m e n para que o complexo inmz )162()1( 22 seja um

imaginário puro.

131- Determine os números reais x e y, tais que o número complexo iyxz )16()6( 2

seja:

a) Um número real

b) Um número imaginário puro

c) O real 0z

132- Dados os complexos a seguir, determine:

a) O valor de m e n para que inmmz )12( seja imaginário puro.

b) O valor de a e b para que ibaz )72()54( seja real.

c) O valor de x e y para que iyxz )3()42( seja o real 0z .

133- Quais os valores complexos de x que tornam verdadeira a igualdade 0544 2 xx ?


46

134- Resolva as equações a seguir dentro do conjunto dos complexos:

a) 092 z

b) 0362 z

c) 01212 z

d) 0152 z

e) 01342 zz

f) 034 2 zz

g) 0125 2 zz

h) 012 zz

i) 032 2 zz

j) 0364 z

135- Sabendo que as expressões xx 2 e 5x são iguais, determine os valores de x, no

universo dos números complexos.

136- Dê 5 exemplos de números:

a) complexos

b) reais

c) complexos que não são reais

4.4 Operações com complexos

Igualdade entre números complexos

Dois números complexos serão iguais se, e somente se, tiverem partes imaginárias iguais e

partes reais iguais simultaneamente. Ou seja:

Dado os números complexos z1 = a + bi e z2 = d + ei, z1 e z2, serão iguais se, somente se, a = d

e bi = ei.

Exemplos:

1. Encontre o valor de a e b para que (a+2b) + (-a+b)i = 5 + i.

Solução:

Da definição de igualdade temos:


47

o sistema2 5 1

1 2

resolvendoa b a

a b b

Como os demais conjuntos numéricos que estudamos até o momento, os números complexos

permitem operações matemáticas, operações essas que iremos estudar a seguir.

Considere dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di. Vamos estudar como se dá cada

uma das operações elementares para os elementos desse conjunto.

Adição

z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Assim como na igualdade, para somarem-se números complexos basta distinguir entre parte

real e parte imaginária, ou seja, somar parte real com parte real e parte imaginária com parte

imaginária.

Exemplo:

1. Dados os números complexos z1 = 1 + 2i, z2 = 3 + i e z3 = 2 – 3i, calcule:

a) z1 + z2

Solução

(1 + 2i) + (3 + i) = (1 + 3) + (2 + 1)i = 4 + 3i

b) z2 + z3

Solução:

(3 + i) + (2 – 3i) = (3 + 2) + (1 – 3)i = 5 –2i

Subtração

Da mesma maneira realizamos a subtração entre números complexos, observe:

z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i

Exemplo:

1. Dados os números complexos z1 = 1 + 2i, z2 = 3 + i e z3 = 2 – 3i calcule:

a) z1 - z2

Solução

(1 + 2i) - (3 + i) = (1 - 3) + (2 - 1)i = -2 + i

b) z2 - z3


48

Solução:

(3 + i) - (2 – 3i) = (3 - 2) + [1 –(– 3)]i = 1 –4i

Multiplicação

Considere z1 e z2, para realizarmos a multiplicação z1. z2, temos:

z1 .z2 = (a + bi).(c + di) = a.c + a.di + c.di + b.di²

Como i2 = – 1.

Temos: z1 .z2 = ac + adi + cdi - bd

Agrupando os termos da parte real e parte imaginária, obtemos:

z1 .z2 = (ac –bd) +(ad + bc)i

Exemplo:

1. Dados os números complexos z1 = 1 + 2i, z2 = 3 + i e z3 = 2 – 3i calcule:

a) z1 . z2

Solução

(1 + 2i). (3 + i) = (1.3 – 2.1)+(1.1 + 2.3)i = 1 + 3i

b) z2 . z3

Solução:

(3 + i). (2 – 3i) = [3 . 2 – 1(-3)] + [3.(– 3)+1.2]i = 9 –11i

Conjugado de um número

Para realizar a divisão entre números complexos, primeiramente precisamos conhecer o

conceito de conjugado, o conjugado de um número complexo z é representado por z de forma

que:

z = a + bi

z = a - bi

Ou seja, praticamente, basta copiar a parte real do número complexo e acrescentar o oposto

de sua parte imaginária.

Exemplo

1. Dê o conjugado dos números complexos abaixo:


49

a) z = 1+2i

Solução:

z = 1 - 2i

b) z = 2 - 5i

Solução:

2- (-5) 2 5z i i

Divisão

Agora que já definimos o conjugado de um número complexo, vamos ao procedimento de

divisão, dados z1 e z2, temos:

1

2

.z a bi c di

z c di c di

Ou seja, basta multiplicar e simultaneamente dividir o numerador pelo conjugado do

denominador. Com esse procedimento, fazemos com que o denominador seja um número real

puro, observe:

2

1

2 2 2

2

2 2 2 2

( ).( )

( 1) ( ) ( ) ( )

( 1)

z a bi c di ac adi bci bdi

z c di c di c cdi cdi d i

ac bd ad bc i ac bd ad bc i

c d c d

1. Dados os números complexos z1 = 2 + 2i, z2 = 3 - i calcule 1

2

z

z

Solução:

2

1

2 2

2

(2.3 1. ) 2.( 1) (1.3)2 1 3 (6 1) ( 2 3) 5.

3 3 3 9 1 8

i iz i i i i

z i i i

Simplificação

A simplificação de um número complexo, é utilizada no caso de termos uma divisão com um

número complexo no denominador, nesse caso, utilizaremos o mesmo artifício utilizado na

divisão, também com o objetivo de eliminar quaisquer termos com parte imaginária do

denominador:

2 2

1 1 a bi a bi

a bi a bi a bi a b


50

4.4 Inverso de um número complexo

Dado o número complexo z = x+yi, chamamos 1 1

z a bi

o inverso de z, como vimos acima

é necessário simplificar quando temos um termo com parte imaginário no denominador, assim

sendo, aplicando a simplificação:

2 2

1 1 1 a bi a bi

z a bi a bi a bi a b

Exemplo

1. Encontre o inverso de z = 2 + 1, se necessário simplifique.

1 1

2z i

é o inverso de z, como o denominador tem parte imaginária, precisamos simplificar:

2 2

1 1 1 2 2 2

2 2 2 2 1 5

i i i

z i i i

.

4.5 Potências de i

Como os demais conjuntos, os números complexos poderão ser apresentados em forma de

potência, caso a potência seja aplicada à parte real, o procedimento é exatamente o mesmo

que utilizamos nos números reais, agora quando a parte imaginária é elevada a uma potência,

podemos seguir uma regra prática:

i0 = 1

i1 = i

i2 = – 1

i3 = i

2 . i = (–1) . i = –i

i4 = i

2 . i

2 = (–1) . (– 1) = 1

i5 = i

4. i = 1 . i = i

i6 = i

5 . i = i . i = i

2 = –1

i7 = i

6 . i = (–1) . i = – i

i8 = i

4 . i

4 = 1 . 1 = 1

i9 = i

8. i = 1 . i = i

i10

=(i2)5 = (–1)

5 = –1

Perceba que a partir da potência i4 o resultado se repete de 4 em 4 potências, para

calcularmos in (onde n>3 é um número inteiro qualquer), podemos dividir o expoente n por 4, e


51

verificar a existência de um resto r, podemos verificar que : i n = i

r

Exemplo:

1. Calcule o valor das potências abaixo:

a) i43

Solução

Conforme o procedimento prático das potências em ℂ , temos:

4310

4 com resto 3, assim sendo i

43 = i

3= - i

b) i1001

Solução

Conforme o procedimento prático das potências em ℂ , temos:

1001250

4 com resto 1, assim sendo i

43 = i

1= i

Exercícios sobre operações com números complexos

137- Dados iz 311 e iz 22 calcule:

a) 21 zz

b) 21 zz

c) 12 zz

d) 21 32 zz

e) 21 25 zz

f) 21.zz

g) 12 .zz

h) 2

1z

i) 2

2z

j) )).(( 2121 zzzz

138- Calcule o valor do número 22 )5()5( iiz .


52

139- Efetue as operações:

a) 22 )1.()1( ii

b) iii .)1.()1( 22

140- Resolva:

a) 2)43( i

b) 3)2( i

c) 4)1( i

141- (Unic-MT) Para que o número )3).(3( xiixz seja real, devemos ter Rx tal

que:

a) 0x

b) 3

1x

c) 9x

d) 3x

e) N.D.A

142- Escreva o conjugado de cada um dos complexos:

a) 13 iz

b) 3 iz

c) iz 24

d) iz2

7

e) 14z

f) iz 32

143- Efetue as divisões:

a) i

iz

1

24


53

b) i

iz

35

c) i

iz

1

1

d) 52

34

i

iz

144- Determine o conjugado do número i

iz

23

32

.

145- Calcule o conjugado de cada um dos números complexos:

a) i

z1

b) i

z

1

2

c) i

iz

2

3

146- Determine o inverso dos números:

a) iz

b) iz 3

c) iz 24

d) 2

iz

e) 3

54 iz

147- (Unimep-SP) O número complexo 1

3

m

i tem a parte imaginária nula. O valor do número

real m é:

a) -3

b) 3

c) 0

d) 1


54

e) -1

148- (UFBA) Sendo iz 2 , calcule o inverso de 2z .

149- (UFPel-Rs) Dado o número complexo iz 21 , escreva, na forma algébrica, o

complexo 1z .

150- Dadas as funções 12)( 2 xxxf e xxxg 2)( , calcule )1(

)2(

ig

if

.

151- (FEI-SP) Calcule a forma algébrica do número complexo

3

1

1

i

iz .

152- Calcule as potências de i:

a) 68i

b) 54i

c) 145i

d) 327i

e) 401i

f) 578i

153- Ache o valor de 180123 ii .

154- Determine o número z tal que:

a) 1

3618

4175

ii

iiiz

b) 3028

10423

2

2

ii

iiiz

c) 15385

12427

734

32

iii

iiiz


55

155- (Fafi/BH-MG) A fração 301316

351723

iii

iiii

corresponde ao número complexo:

a) i1

b) i1

c) i1

d) i1

e) i2

4.6 Representação geométrica dos números complexos

Também podemos representar os números complexos de forma geométrica, através de pares

ordenados no Plano Cartesiano ou Plano de Argand Gauss.

Consideremos um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy e um ponto P de

coordenadas (a, b) num Plano Cartesiano ou Plano de Argand Gauss. Sabendo que c = (a, b) =

a + bi, concluímos que há uma relação biunívoca entre os pontos do plano e os números

complexos.

Ponto P: imagem geométrica de ℂ ou o afixo de ℂ .

Eixo das abscissas Ox: eixo real, uma vez que seus pontos são os afixos dos números reais.

Eixo das ordenadas Oy: eixo imaginário, uma vez que seus pontos são os afixos dos números

imaginários puros.

Exemplo:

1. Escreva z = 2 - i na forma de par ordenado, e localize-o no plano Argand- Gauss.


56

Resolução:

Como vimos basta que consideremos a parte real como o correspondente a Ox e a

parte imaginária como correspondente a Ou, assim sendo:

z = 2 - i = (2, - 1)

Para sua localização no plano Argand Gauss, identificarmos o ponto

(2, - 1) e marcar no plano.

4.7 Módulo de um complexo

O módulo ρ simboliza a distância entre os pontos P e O, pois conforme o teorema de Pitágoras

temos:

2 2 2 2 2

OP OPd a b d a b

Exemplo

1. Encontre o módulo de z = 3 – 4i

Solução

2 23 ( 4) 9 14 25 5

4.8 Argumento de um complexo

O argumento θ simboliza a medida do ângulo constituído por Oa e Op , que é determinado

no sentido anti-horário partindo do semieixo Oa . Sendo assim, da trigonometria, temos:


57

cos e a b

sen

,

Representando o complexo c na forma algébrica fazemos uma referência ao ponto P dado

pelas suas coordenadas polares.

z= a + bi ⇔ P(a, b)

Exemplo

1. Determine o argumento de z = (1, -1)

Solução:

Da trigonometria, temos que:

cos arccosa a

,e arcb b

sen sen

2 21 ( 1) 2

1 2arccos arccos

22 e

1 2arc arccos

22sen

Pela trigonometria, temos que o único ângulo que satisfaz simultaneamente essas

duas conduções é 7

4

.

4.9 Forma trigonométrica de um complexo


58

Representando o complexo c na forma trigonométrica fazemos uma referencia ao ponto P dado

pelas coordenadas polares.

ℂ = ρ (cos θ + i . sen θ) ⇔ P(ρ, θ)

Exemplo

1. Escreva o complexo z = (1, -1) na forma trigonométrica

Solução:

Do exemplo anterior, temos que 7

4

e

2 21 ( 1) 2 .

Assim sendo:

ℂ = ρ (cos θ + i . sen θ) = 7 7

2(cos )4 4

isen

Nota: Para converter da forma trigonométrica para a forma algébrica basta desenvolver os

termos da expressão.

7 72(cos )

4 4isen

=

2 2 2 22 2

2 2 2 2i i

2 2

2 2 2 21

2 2 2 2i i i

Exercícios sobre representação gráfica de um número complexo

156- Escreva na forma de par ordenado os complexos:

a) iz 52

b) iz 94

c) )3).(3( iiz

d) i

iz

2

25

e) i

iz

2

24

f) 2)24( iz

g) 2)43( iz


59

157- Localize no plano de Argand-Gauss os afixos de z:

a) )2,0(z

b) 42iz

c) 31iz

d) 60iz

e) 17

2030

i

iiz

158- Determine o módulo dos seguintes complexos:

a) iz 34

b) iz 52

c) iz 22

d) iz 3

e) )3,0(z

f) )25).(23( iiz

g) i

iz

23

24

159- Determine o argumento do número complexo z nos seguintes casos:

a) )1,1(z

b) iz 3

c) iz 3

d) iz 44

e) iz 6

f) 12z

g) iz 10


60

160- (UERN) Se i

iz

1

)1( 2

, o argumento de z é:

a) 4

3

b) 4

c) 4

d) 2

e) 4

3

161- Sendo iz 4 e iw 23 , calcule:

a) z

b) w

c) wz.

162- Escreva na forma trigonométrica o número complexo z, dado em cada item:

a) )2,2( z

b) iz2

1

2

3

c) iz 3

d) iz 31

e) iz 33

f) iz 4

163- Represente na forma trigonométrica os complexos a seguir:

a) i

z

1

1


61

b) 2)632( iz

164- Escreva na forma algébrica os números complexos z:

a)

6.

6cos.4

seniz

b)

4.

4cos.2

seniz

c)

3.

3cos.6

seniz

d) seniz .cos.4

e) º0.º0cos seniz

165- Determine e represente graficamente as raízes cubicas de:

a) 8i

b) 27


62

5. Polinômios

5.1 Definição

Denominamos polinômios a expressões matemáticas do tipo:

p(x)=an xn+a(n-1) x

(n-1)+...+a2 x

2+a1 x+a0

Os polinômios são formados através de coeficientes (an, an–1, an–2,..., a2, a1, a0) pertencentes ao

conjunto dos números reais ligados à variável x. São classificados quanto ao grau de maior

valor da variável x, observe:

p(x) = a1x + a0 →Polinômio de grau 1

p(x) a2 x2+a1 x+a0 → Polinômio de grau 2

p(x) = a3 x3 + a2 x

2+a1 x+a0 → Polinômio de grau 3

___________________________________________

p(x) = an xn+a(n-1) x

(n-1)+...+a2 x

2+a1 x+a0 → Polinômio de grau n

Exemplos

1. Classifique os polinômios abaixo quanto a seu grau

a) p(x) = 2x+5x4+x

2-8

Solução:

O maior grau é 4, portanto p(x) é um polinômio de grau 4.

b) p(x) = x6 - 3x

4 – x + 40

Solução:

O maior grau é 6, portanto p(x) é um polinômio de grau 6.

c) p(x) = x - 1

Solução:

O maior grau é 1, portanto p(x) é um polinômio de grau 1, aos quais também

chamamos de monômios.

Podemos calcular o valor da expressão polinomial para qualquer valor real, basta substituir o

valor da incógnita x.

Exemplo

2. Calcule os valores das expressões polinomiais abaixo

a) p(x) = 2x2+x-1, para x = 1


63

Solução

Basta substituir x por 1, então teremos:

p(1) = 2(1)2+(1) – 1 = 2 + 1 – 1 = 2

b) p(x) = x4– x

3 + x

2– x + 1, para x = 2

Solução

Exatamente como o anterior

p(2) = 24–2

3 + 2

2– 2 + 1 = 16 – 8 + 4 – 2 + 1 = 11

5.2 Polinômio Nulo

Um polinômio é dito nulo se, e somente se, todos seus coeficientes forem iguais à zero.

Indicamos por ( ) 0p x

Exemplo:

1. Seja 2( ) ( 2) (2 4) ( 5)p x m x n x t ,determine m, n e t, para que ( ) 0p x

.

Solução

Como já vimos os coeficientes devem ser zero, para que, ( ) 0p x

então:

2 0 2

2 4 0 2

5 0 5

m m

n n

t t

Identidade polinomial

Dois polinômios p1(x) e p2(x) são idênticos, se e somente se, seus coeficientes forem

ordenadamente iguais, assim sendo, indicamos 1 2( ) ( )p x p x .

1. Seja 2( ) ( 2) (2 4) ( 5)p x m x n x t ,determine m, n e t, para que

( ) ( )p x f x dado que ( ) 2 12f x x .

Solução

Vamos ordenar e igualar os coeficientes, então:


64

2 0 2

2 4 2 1

5 12 7

m m

n n

t t

5.3 Valor numérico de um polinômio

O valor numérico de um polinômio P(x), para x = a, é o número que se obtém substituindo x por

a e efetuando todas as operações indicadas pela expressão que define o polinômio. Se P(a) =

0, o número a é denominado raiz ou zero de P(x).

Exercícios sobre polinômios

166- Determine o grau dos polinômios a seguir:

a) 123)( 3 xxxp

b) xxp )(

c) 427 332)( xxxxp

167- Discuta o grau dos polinômios em função de Rk :

a) 1)3()62()( 3 xkxkxp

b) 3)2()4()( 22 xkxkxp

168- Dado o polinômio 33)( 25 xxxp , calcule:

a) )1(p

b) )1(p

c)

2

1p

169- Dados os polinômios 1)( 23 xxxxA e 23)( 2 xxxB , calcule:

a) )1()0( BA


65

b) )1(2

1

BA

170- Dado o polinômio 32)( 23 xxxxP , calcule

2

1

)1(.2)2(

P

PP.

171- Dado o polinômio 22)( 2 kxxxp , determine k, sabendo que 6)2( p .

172- Sendo 12)( 2 xxxp , calcule:

a) )(iP

b) )1( iP

c) )2( iP

173- Determine k para que 3x seja raiz do polinômio 12)( 23 xxkxxp .

174- Sendo 12)( 2 xxxP , calcule o valor de )()1( xPxP .

175- Mostre que 1 e 3 são raízes do polinômio 33)( 23 xxxxp .

176- Mostre que o número 2 é raiz da equação: 863 23 xxx .

177- Quais dos seguintes números: 2,1,0,1,2 são raízes da equação: 0223 xxx ?

178- Classifique em verdadeiro ou falso:

a) A expressão 85)( 2 xxxP define uma função polinomial.

b) -1 é raiz de 133)( 23 xxxxp

179- Determine a, b e c para que os seguintes polinômios sejam nulos:


66

a) )9()2()2()( 23 cxbxaxp

b) )16()36()5()( 423 cxbxaxp

180- Determine a e b, sabendo que os números 2 e -2 são raízes do polinômio

baxxxxp 23 2)( .

5.4 Operações com polinômios

As operações de adição, subtração ou multiplicação de polinômios são análogas às que já

realizamos com as equações, na álgebra, por exemplo, o que tem um aprofundamento em

nosso curso atual é a divisão de polinômios, para realizarmos as operações iremos operar com

dois polinômios genéricos

( 1) 2

1 ( 1) 2 1 0

( 1) 2

2 ( 1) 2 1 0

... e

...

n n

n n

n n

n n

p x a x a x a x a x a

p x b x b x b x b x b

.

Adição

Basta realizar a soma, agrupando seus coeficientes, considere a soma polinomial p1(x) +

p2(x), teremos:

1 2

( 1) 2 ( 1) 2

( 1) 2 1 0 ( 1) 2 1 0

( 1) 2

( 1) ( 1) 2 2 1 1 0 0

+

... + ...

( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )

n n n n

n n n n

n n

n n n n

p x p x

a x a x a x a x a b x b x b x b x b

a b x a b x a b x a b x a b

Subtração

Assim como na adição, basta subtrair, agrupando seus coeficientes, considere a soma

polinomial p1(x) - p2(x) teremos:

1 2

( 1) 2 ( 1) 2

( 1) 2 1 0 ( 1) 2 1 0

( 1) 2

( 1) ( 1) 2 2 1 1 0 0

-

( ... ) - ( ... )

( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )

n n n n

n n n n

n n

n n n n

p x p x

a x a x a x a x a b x b x b x b x b

a b x a b x a b x a b x a b

Multiplicação

A multiplicação entre dois polinômios pode ser realizada, destacando se membro a membro de

um polinômio e multiplicando por todo o segundo polinômio, conforme se segue:


67

1 2

( 1) 2 ( 1)

( 1) 2 1 0 ( 1) 1 0

( 1) 2

2 ( 1) 2 2 2 1 2 0 2

( ... ) . ( ... )

...

n n n n

n n n n

n n

n n

p x p x

a x a x a x a x a b x b x b x b

a x p x a x p x a x p x a x p x a p x

Observação: para multiplicar cada um dos termos pelo segundo polinômio, basta aplicar a

distributiva no formato: ( )a b c ab ac .

Exemplos

1. Dado f(x) = 2x3 – x² +5x – 6 e g(x) = x

4 + 3x

2 – x + 1, calcule:

a) f(x)+ g(x)

f(x)+ g(x) = (2x3 – x² +5x – 6)+( x

4 + 3x

2 – x + 1) =

f(x)+ g(x) = (0+1) x4 + (2+0) x

3+[(-1)+1] x

2+(5-1)x + [(-6)+1] =

f(x)+ g(x) = x4

+ 2 x3 +4x – 5

b) f(x) – g(x)

f(x) – g(x) = (2x3 – x² +5x – 6) – ( x

4 + 3x

2 – x + 1) =

f(x) – g(x) = (0-1) x4 + (2-0) x

3+[(-1)-1] x

2+[5-(-1)]x + [(-6)-1] =

f(x) – g(x)) = -x4 + 2 x

3 – 2 x

2 +6x – 7

c) 2.f(x)

2.f(x) = 2.(2x3 – x² +5x – 6) = (2.2x

3 – 2.x² +2.5x – 2.6)

2.f(x) = 4x3 – 2x² +10x – 12

d) f(x).g(x)

f(x).g(x) = (2x3 – x² +5x – 6).( x

4 + 3x

2 – x + 1) =

(2x3)(x

4+3x

2–x+1)–(x²)(x

4+3x

2–x+1)+5x(x

4+3x

2–x+1)–6(x

4+3x

2–x+1)=

(2x7+6x

5–2x

4+2x

3)–(x

6+3x

4–x

3+x

2)+(5x

5+15x

3–5x

2+5x)–(6x

4+18x

2–6x+6.

A partir daqui basta agrupar os termos e realizar as somas e subtrações deixamos

essas operações a cargo dos leitores.

Divisão de Polinômios

Sejam dois polinômios: f(x) denominado dividendo e g(x) denominado divisor, com g(x) ≠ 0.

Dividir f(x) por g(x0 é determinar outros dois polinômios q(x) (quociente) e r(x) (resto) tais que :

( ) ( ) ( ) ( )f x g x q x r x


68

O grau de r < grau de g ou ( ) 0r x

Podemos representar a divisão com uma chave, conforme abaixo:

( ) ( )

( ) ( )

f x g x

r x q x

Verifique passo a passo com o exemplo a seguir:

Exemplo

1. Sejam os polinômios f(x) = x3 + 3x

2 – 4x +1 e g(x) = x

2 – x + 1, calcule f(x): g(x).

Solução:

Deve-se escolher o primeiro termo do quociente, que deve ser multiplicado pelos

termos do divisor.

Segundo passo é passar o inverso do resultado para subtrair do polinômio.

Então se repete o primeiro passo, ou seja, escolher o termo conveniente para

multiplicar pelo primeiro termo do divisor para que fique igual ao primeiro termo do

polinômio que foi resultado da primeira operação.

Repetir o mesmo processo do segundo passo.


69

Assim temos que q(x) = x + 4 e que r(x) = – x -3.

5.5 Teoremas sobre divisão de polinômios

Começaremos nossos estudos sobre divisão de polinômios com um caso particular, a divisão

de um polinômio p(x) por um binômio do tipo x-a ,onde:

aℂ , estudaremos essa divisão a partir de alguns métodos, conforme veremos.

O teorema do resto

O resto da divisão de um polinômio p(x) pelo binômio (x-a) é igual a P(a).

O quociente da divisão de p(x) por (x-a) é um polinômio q(x) de grau inferior de uma unidade

ao do polinômio p(x) e o resto r(x) é um número constante r, assim podemos escrever:

p(x) = ( x -a ) . q(x) + r

Para x = a temos:

p(a) = (a -a ) .q(a) + r

Logo: p(a) = r

Exemplo:

1. Determine o resto da divisão de f(x) = x3 + 3x

2 – 4x +1 por g(x) = x + 1

Resolução

Vemos que a raiz do divisor é:

0 1 1x x

Então pelo teorema do resto, afirmamos que r = f(-1),

r = f(-1) = (-1)3 + 3(-1)

2 – 4(-1) +1 = -1+3+4+1 = 7

O teorema de D’Alembert

Analisando o teorema do resto, o matemático francês D’Alembert provou, levando em

consideração o teorema citado acima, que todo polinômio p(x) quando dividido por um binômio

do tipo x – a, resultará em uma divisão exata, ou seja, terá resto igual a zero se, e somente se,

a constante a for raiz do polinômio p(x).

Exemplo:

http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2007/10/divisao-polinomios2.jpg


70

1. Verificar se P(x) = x3 – 2x

2 + 1 é divisível por:

a) x + 1

Solução:

Para P(x) ser divisível por x + 1 é necessário que P(–1) = 0. Então:

P(–1) = (–1)3 – 2(–1)

2 + 1 = –1 – 2 + 1 = -2

Logo, P(x) não é divisível por x + 1.

b) x – 1

Solução

Para P(x) ser divisível por x – 1 é suficiente que P(1) = 0. Então:

P(1) = (1)3 – 2(1)

2 + 1 = 1 – 2 + 1 = 0

Logo, P(x) é divisível por x – 1.

5.6 Dispositivo de Briot- Ruffini

Os matemáticos e Charles August Briot e Paolo Ruffini criaram um dispositivo prático para

realizar a divisão de um polinômio por um monômio do tipo x-a, dispositivo este que recebeu

seus nomes: dispositivo de Briot-Ruffini.

Esse algoritmo é utilizado para dividirmos polinômios por um binômio do tipo (x -a). Para

divisão utilizando o dispositivo usaremos apenas os coeficientes do polinômio e o termo

constante (a).

Chamemos de p(x) o polinômio a ser dividido (dividendo); e h(x) o divisor no qual h(x)=x-a.

Com isso, a estrutura do dispositivo é a seguinte:

Para melhor compreendermos como este dispositivo funciona, utilizá-lo-emos em um exemplo,

e explicaremos passo a passo seu processo.

Exemplo:

1. Efetue a divisão de p(x) por h(x), na qual:


71

Solução

Agora multiplique esse termo repetido pelo divisor, o resultado será somado ao próximo termo

do dividendo p(x).

Repita o processo agora para o novo elemento, multiplique esse número pelo divisor e some-o

ao próximo termo.

Obtemos o resto 0 e um quociente da seguinte forma:

Para verificarmos se a divisão foi feita de forma correta, podemos utilizar o algoritmo da divisão

que diz o seguinte:


72

Dessa forma, temos:

Logo, a divisão foi feita corretamente, pois ao verificar os termos da divisão no algoritmo da

divisão constatamos que a igualdade é verdadeira.

Exercícios sobre operações com polinômios

181- Dados os polinômios 12)( 234 xxxxp , 13)( 5 xxq e 14)( 2 xxt ,

obtenha:

a) )()( xqxp

b) )().( xtxq

c) )()( xtxq

d) )(.3)(.2 xqxp

e) )(.4)(.2 xtxq

f) )()().( xqxpxt

g) 2))(( xq

h) )(.16))(( 2 xpxt

i) )())(( 2 xpxq

j) 2))(( xp

182- Verifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa:

a) Se o grau do polinômio p é 5, então o grau do polinômio 2p é 10.

b) Se o grau do polinômio p é 7 e do polinômio q é 1, então o grau do polinômio qp. é 7.

183- Dado 23 2)( xxxp . O valor de 2)(xp é igual a:


73

a) 456 45 xxx

b) 456 44 xxx

c) 456 24 xxx

d) 456 42 xxx

e) 456 44 xxx

184- Qual o polinômio que subtraído de 542)( 23 xxxxA dá o polinômio

13)( 2 xxxB ?

185- Efetue a divisão de p(x) por d(x) em cada item:

a) 562)( 23 xxxxp e 12)( 2 xxxd

b) 475)( 23 xxxxp e 1)( xxd

c) xxxxxp 4425)( 345 e xxxd 2)(

d) 133)( 23 xxxxp e 12)( 2 xxxd

186- Verifique se o polinômio 22)( 345 xxxxxP é divisível por 1x .

187- A divisão do polinômio )(xP por xx 32 resulta no quociente 2x e resto 5.

Determine o polinômio )(xP .

188- Calcule o valor de t sabendo que o resto da divisão de 524)( 23 txxxxp por

2x é 1.

189- Determine o resto r(x) das divisões de p(x) por d(x) em cada caso a seguir:

a) 132)( 34 xxxp e 12)( xxd

b) 2345 2)( xxxxxp e 3)( xxd

c) 65)( 2 xxxp e 3)( xxd

d) 3456 22)( xxxxxp e 1)( xxd


74

190- Determine o quociente q(x) e o resto r(x) das divisões de p(x) por d(x):

a) 123)( 23 xxxxp e 1)( xxd

b) 34)( 45 xxxp e 2)( xxd

c) 135)( 2 xxxp e 1)( xxd

d) 1)( 5 xxp e 1)( xxd


75

Questões de vestibulares

Questão 1

(Cefet-SP) Em uma classe com 20 alunos, sendo 15 homens e 5 mulheres, um professos

propôs as seguintes regras para divisão dos alunos em duplas:

– as mulheres não podem fazer duplas entre si;

– Paulo e Carlos não podem fazer dupla juntos;

– Henrique e Pedro têm de fazer dupla juntos.

O número de maneiras diferentes de formar as duplas na sala, atendendo a todas as regras do

professor, é igual a:

a) 142

b) 168

c) 226

d) 284

e) 312

Questão 2

(Enem-MEC) A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos no qual cada caráter e um

conjunto de 6 pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca em

relação aos demais.

Por exemplo, a letra A é representada por:

• ·

· ·

· ·

O número total de caracteres que podem ser representados no sistema Braile é:

a) 12

b) 31


76

c) 36

d) 63

e) 720

Questão 3

(Enem-MEC) Estima-se que haja, no Acre, 209 espécies de mamíferos distribuídas conforme a

tabela abaixo:

Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três dessas espécies de mamíferos – uma do

grupo Cetáceos, outra do grupo Primatas e a terceira do grupo Roedores. O número de

conjuntos distintos que podem ser formados com essas espécies para esse estudo é igual a:

a) 1 320

b) 2 090

c) 5 845

d) 6 600

e) 7 245


77

Questão 4

(ESPM-SP) De 101! + 2 até 101! + 101 existem:

a) 100 números naturais compostos

b) 100 números naturais primos

c) 98 números naturais primos e 2 compostos

d) 98 números naturais compostos e 2 primos

e) 50 números naturais compostos e 50 primos

Questão 5

(ESPM-SP) Numa festa de aniversário estavam presentes apenas meninos e meninas. Ao

final, todos se despediram da seguinte forma: as crianças do mesmo sexo trocaram abraços

entre si e as crianças de sexos diferentes se despediram com apertos de mãos. Sabendo-se

que foram dados, no total, 102 abraços e 108 apertos de mãos e que nenhum par de crianças

se cumprimentou mais de uma vez, podemos concluir que o número de crianças que estavam

nessa festa é igual a:

a) 34

b) 15

c) 30

d) 24

e) 21

Questão 6


78

(ESPM-SP) Um grupo de pessoas é formado por 5 crianças e 4 adultos, dos quais 3 possuem

habilitação para dirigir automóvel. De quantos modos distintos pode-se efetuar a lotação de um

carro de 5 lugares (2 na frente e 3 atrás) para uma viagem, sabendo-se que criança não pode

viajar no banco da frente?

a) 540

b) 630

c) 720

d) 1 260

e) 1 890

Questão 7

(FGV-SP)

a) Uma senha de um banco é constituída de 3 letras escolhidas entre as 26 do alfabeto,

seguidas de 3 algarismos, escolhidos entre os 10 algarismos de 0 a 9. Quantas senhas podem

ser formadas usando-se 3 vogais e 3 algarismos pares?

b) Um professor precisa elaborar uma prova de Matemática com 5 questões, sendo uma de

Trigonometria, duas de Álgebra e duas de Geometria. Ele dispõe de 3 questões de

Trigonometria, 6 de Álgebra e 5 de Geometria. De quantas formas a prova pode ser elaborada,

não se levando em conta a ordem das questões?

Questão 8

(FGV-SP) De quantas formas podemos permutar as letras da palavra ELOGIAR, de modo que

as letras A e R fiquem juntas em qualquer ordem?

a) 360


79

b) 720

c) 1 080

d) 1 440

e) 1 800

Questão 9

(FGV-SP) O número de permutações da palavra ECONOMIA que não começam nem terminam

com a letra O é:

a) 9 400

b) 9 600

c) 9 800

d) 10 200

e) 10 800

Questão 10

(Fuvest-SP) Com as 6 letras da palavra FUVEST podem ser formadas 6! = 720 “palavras”

(anagramas) de 6 letras distintas cada uma. Se essas “palavras” forem colocadas em ordem

alfabética, como num dicionário, a 250.ª “palavra” começa com:

a) EV

b) FU

c) FV

d) SE

e) SF


80

Questão 11

(Fuvest-SP) Participam de um torneio de voleibol 20 times distribuídos em 4 chaves, de 5 times

cada.

Na 1.ª fase do torneio, os times jogam entre si uma única vez (um único turno), todos contra

todos em cada chave, sendo que os 2 melhores de cada chave passam para a 2.ª fase.

Na 2.ª fase, os jogos são eliminatórios; depois de cada partida, apenas o vencedor permanece

no torneio. Logo, o número de jogos necessários até que se apure o campeão do torneio é:

a) 39

b) 41

c) 43

d) 45

e) 47

Questão 12

(ESPM-SP) A média aritmética dos coeficientes numéricos do desenvolvimento do binômio (x +

y)31

é igual a:

a) 88

b) 414

c) 414

d) 87

e) 225

Questão 13


81

(ITA-SP) Determine o coeficiente de x4 no desenvolvimento de (1 + x + x²)

9.

Questão 14

(ITA-SP) O termo independente de x no desenvolvimento do binômio

é:

Questão 15

(ITA-SP) A respeito das combinações an= e bn = , temos que, para cada n = 1,

2, 3..., a diferença an – bn é igual a:


82

Questão 16

(ITA-SP) Considere uma prova com 10 questões de múltipla escolha, cada questão com 5

alternativas. Sabendo que cada questão admite uma única alternativa correta, então o número

de formas possíveis para que um candidato acerte somente 7 das 10 questões é:

a) 44 · 30

b) 43 · 60

c) 53 · 60

d) ·43

e)

Questão 17

(Unesp-SP) Considere todos os números formados por 6 algarismos distintos obtidos


83

permutando-se, de todas as formas possíveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

a) Determine quantos números é possível formar (no total) e quantos números se iniciam com o

algarismo 1.

b) Escrevendo-se esses números em ordem crescente, determine qual posição ocupa o

número 512 346 e que número ocupa a 242.ª posição.

Questão 18

(Unesp-SP) O número de maneiras que 3 pessoas podem sentar-se em fileira de 6 cadeiras

vazias de modo que, entre duas pessoas próximas (seguidas), sempre tenha exatamente uma

cadeira vazia, é:

a) 3

b) 6

c) 9

d) 12

e) 15

Questão 19

(Unesp-SP) Uma grande firma oferecerá aos seus funcionários 10 minicursos diferentes, dos

quais só 4 serão de informática. Para obter um certificado de participação, o funcionário deverá

cursar 4 minicursos diferentes, sendo que exatamente 2 deles deverão ser de informática.

Determine de quantas maneiras distintas um funcionário terá a liberdade de escolher:

a) Os minicursos que não são de informática.

b) Os 4 minicursos de modo a obter um certificado.


84

Questão 20

(ESPM-SP) A equação da reta r do plano cartesiano abaixo é:

a) 13x – 14y + 52 = 0

b) 12x – 13y + 48 = 0

c) 7x – 8y + 28 = 0

d) 9x – 11y + 36 = 0

e) 6x – 7y + 24 = 0

Questão 21

(FGV-SP - adaptado) Na figura abaixo, os ângulos são retos; o

ângulo mede 45°, e as medidas dos segmentos são, respectivamente, 2 cm

e 5 cm.


85

Escreva a equação da reta t, suporte do segmento .

Questão 22

(FGV-SP)

a) No plano cartesiano, considere a circunferência de equação x² + y² – 4x = 0 e o ponto

P(3, ). Verificar se P é interior, exterior ou pertencente à circunferência.

b) Dada a circunferência de equação x² + y² = 9 e o ponto P(3, 5), obtenha as equações das

retas tangentes à circunferência, passando por P.

Questão 23

(FGV-SP)

a) Os lados do triângulo ABC da figura abaixo são: AB = 28 cm, AC = 21 cm e BC = 35 cm.

Uma paralela ao lado intercepta os lados e nos pontos D e E, respectivamente.


86

Determine a medida dos lados BD, DE e EC do trapézio BDEC, sabendo que o seu perímetro é

74 cm.

b) Escreva a equação da reta que passa pelo ponto A(2, 5) e que corta a reta r dada por suas

equações paramétricas: x = t + 1 e y = t – 2, num ponto B, tal que AB = 3 .

Questão 24

(FGV-SP) Uma função f(x) é tal que f(2) = 0,4 e f(3) = –0,6. Admitindo que para x entre 2 e 3 o

gráfico seja um segmento de reta, podemos afirmar que o valor de k, tal que f(k) = 0, é:

a) 2,40

b) 2,35

c) 2,45

d) 2,50

e) 2,55

Questão 25

(Fuvest-SP) A hipotenusa de um retângulo está contida na reta r: y –5x – 13, e um de seus

catetos está contido na reta s: y – x – 1. Se o vértice onde está o ângulo reto é um ponto da

forma (k, 5) sobre a reta s, determine:


87

a) todos os vértices do triângulo;

b) a área do triângulo.

Questão 26

(Fuvest-SP)

a) A reta r passa pela origem do plano cartesiano e tem coeficiente angular m > 0. A

circunferência C passa pelos pontos (1, 0) e (3, 0) e tem centro no eixo x. Para qual valor de m

a reta r é tangente a C?

b) Suponha agora que o valor de m seja menor que aquele determinado no item anterior.

Calcule a área do triângulo determinado pelo centro de C e pelos pontos de interseção de r

com C.

Questão 27

(Fuvest-SP) Os pontos A = (0, 0) e B = (3, 0) são vértices consecutivos de um paralelogramo

ABCD situado no primeiro quadrante. O lado AD é perpendicular à reta y = 2x e o ponto D

pertence à circunferência de centro na origem e raio . Então, as coordenadas de C são:

a) (6, 2)

b) (6, 1)

c) (5, 3)

d) (5, 2)

e) (5, 1)

Questão 28


88

(Fuvest-SP) Sejam A = (0, 0), B = (8, 0) e C = (–1, 3) os vértices de um triângulo e D = (u, v)

um ponto do segmento . Sejam E o ponto de interseção de com a reta que passa por

D e é paralela ao eixo dos y e F o ponto de interseção de com a reta que passa por D e é

paralela ao eixo dos x.

a) Determine, em função de u, a área do quadrilátero AEDF.

b) Determine o valor de u para o qual a área do quadrilátero AEDF é máxima.

Questão 29

(Fuvest-SP) Uma reta de coeficiente angular m > 0 passa pelo ponto (2, 0) e é tangente à

circunferência inscrita no quadrado de vértices (1, 1), (5, 1), (5, 5) e (1, 5). Então:


89

Questão 30

(PUC-PR) A área do triângulo cujos vértices são os três pontos de interseção da circunferência

x2 + y

2 – 2x + 2y = 0, com os eixos coordenados, é, em unidades de área:

a) 2

b) 4

c) 6

d) 1

e) 3

Questão 31

(UEL-PR) Os pontos A = (6, 2), B = (–2, 6) e C = (2, 6) são representados no plano cartesiano

no qual O é a origem. Considere as afirmativas a seguir:


90

A alternativa que contém todas as afirmativas corretas é:

a) I e II

b) II e III

c) III e IV

d) II, III e IV

Questão 32

A distância entre os pontos (2a+1,3) e (-1, -2a) é √85. Calcule a.

Questão 33

Calcule a área do triângulo de vértices: A (-2,1), B(1,5) e C(4,1) exclusivamente através de

fórmulas e cálculos analíticos. A seguir, desenhe o triângulo num plano cartesiano e verifique

se poderia ter calculado essa área de outra forma.

Qual das duas maneiras é a mais fácil? Você acha que é sempre assim?


91

Questão 34

Calcule x para que a distância entre os pontos (–2, –1) e (4, x) seja 10.

Questão 35

Um triângulo tem como vértices os pontos: A(1,-1), B(1,5) e C(9,-1). Calcule a medida da

mediana relativa ao lado BC.

Questão 36

Verifique algebricamente se os pontos (–2,1), (4,5) e (1,3) estão alinhados. Depois, desenhe-os

e confirme o resultado.

Questão 37

Sabendo que os pontos: A (-5, -4), B(1,0) e C(4,a) são colineares, determine a.

Questão 38

Dados os vértices: A(1,1); B(4,3) e C(3,-2), classifique o triângulo ABC segundo os lados e

ângulos.


92

Questão 39

O valor de x, para que os pontos A (-1,1), B (1,7) e C (x,10) estejam alinhados é:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

Questão 40

Resolva a equação x2+x+1=0 no universo dos números complexos.

Questão 41

Encontre z tal que (3 + 2i)z = (5 – i)

Questão 42

Mostre que os números 3+i e 3-i são raízes da equação z2-6z+10=0.


93

Questão 43

Determine o valor de para que o número complexo seja imaginário puro.

Questão 44

(Unesp-SP) Se z = (2 + i) · (1 + i) · i, então z, o conjugado de z, será dado por:

a) –3 – i

b) 1 – 3i

c) 3 – i

d) –3 + i

e) 3 + i

Questão 45

(UPM-SP) Se i2 = –1, então (1 + i)·(1 + i)

2·(1 + i)

3·(1 + i)

4 é igual a:

a) 2 i

b) 4 i

c) 8 i

d) 16 i

e) 32 i


94

Questão 46

(UPM-SP) Sendo i² = –1, o número complexo com x não nulo e – < x < ,

tem módulo igual a:

Questão 47

Calcule (1 + i)20

.

Questão 48

(ITA-SP) Seja z C com . Então, a expressão assume valor:


95

a) maior que 1, para todo w com > 1.

b) menor que 1, para todo w com < 1.

c) maior que 1, para todo w com w ≠ z.

d) igual a 1, independente de w com w ≠ z.

e) crescente para crescente com .

Questão 49

(UEM-PR) Dado um número complexo z e um número natural n ω 2, chama-se raiz enésima de

z ( ) qualquer número complexo ω tal que ωn = z. Entre os itens a seguir, assinale aquele

cujo número complexo ω é uma raiz sexta de z = −64.

a) ω = −2

b) ω não existe, pois não existe raiz par de número real negativo.

c) ω = 3i

d) ω = − + i

e) ω = 1+ i

Questão 50

(UFC-CE) O valor do número complexo é:

a) 1

b) i

c) –i


96

d) –1

e) 220

Questão 51

(ESPM-SP) O resto da divisão do polinômio x10

pelo polinômio x² – 3x + 2 é:

a) x – 1

b) 1 023

c) 1

d) 1 022x – 1 023

e) 1 023x – 1 022

Questão 52

(Fatec-SP) Se x = 2 é uma das raízes da equação x3 – 4x

2 + mx – 4 = 0, m R, então as suas

outras raízes são números:

a) negativos.

b) inteiros.

c) racionais não inteiros.

d) irracionais.

e) não reais.

Questão 53


97

(FGV-SP) A equação x3 – 3x

2 + 4x + 28 = 0 admite –2 como raiz. As outras raízes satisfazem a

equação:

a) x2 – 4x + 14 = 0

b) x2 – 5x + 14 = 0

c) x2 – 6x + 14 = 0

d) x2 – 7x + 14 = 0

e) x2 – 8x + 14 = 0

Questão 54

(FGV-SP) Dividindo o polinômio P(x) por x2 + x – 1 obtém-se quociente igual a x – 5 e resto

igual a 13x + 5. O valor de P(1) é:

a) 12

b) 13

c) 15

d) 16

e) 14

Questão 55

(FGV-SP) Podemos afirmar que a equação x6 – 5x

5 + 10x

3 – 3x

2 – 5x + 2 = 0 admite:

a) duas raízes duplas e duas raízes simples.

b) duas raízes duplas e uma raiz tripla.

c) uma raiz simples, uma raiz dupla e uma raiz tripla.

d) uma raiz tripla e três raízes simples.

e) duas raízes triplas.


98

Questão 56

(Fuvest-SP) A soma dos valores de m para os quais x = 1 é raiz da equação x2 + (1 + 5m –

3m2)x + (m

2 + 1) = 0 é igual a:

Questão 57

Usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, calcule o quociente e o resto da divisão de:

a) P(x)= 3x2– 2x + 2 por H(x)=x+1

b) P(x) = 3x4 – x

2 +2x – 3 por H(x)=x-2

Questão 58


99

Verifique se x = 2 é raiz do polinômio p(x) = x6 – x

5 – x

4 – 2x

3 – 3x

2 + x + 3.

Questão 59

Sabendo que x = – 1 é raiz do polinômio p(x) = x3 + mx

2 – 5x – 6, calcule m.

Questão 60

Se i e 1+ i são raízes da equação X5 - 4X

4 + 7X

3 - 8x

2 + 6x -4 = 0 encontre as outras raízes.

Questão 61

(ITA-SP) O número complexo 2 + i é raiz do polinômio f(x) = x4 + x

3 + px

2 + x + q, com p, q

R. Então, a alternativa que mais se aproxima da soma das raízes reais de f é:

a) 4

b) –4

c) 6

d) 5

e) –5

Questão 62


100

(ITA-SP) O polinômio p(x) = x3 + kx

2 + 6x + 5 é divisível por x + 5. Então, a soma das raízes da

equação p(x + 1) = 0 é:

a) –6

b) –7

c) 6

d) –9

e) –3

Questão 63

(ITA-SP) Seja p um polinômio com coeficientes reais, de grau 7, que admite 1– i como raiz de

multiplicidade 2. Sabe-se que a soma e o produto de todas as raízes de p são,

respectivamente, 10 e –40. Sendo afirmado que três raízes de p são reais e distintas e formam

uma progressão aritmética, então, tais raízes são:

c) –4, 2, 8

d) –2, 3, 8

e) –1, 2, 5

Questão 64

(PUC-RS) Sabe-se que a equação x4 + x

3 – 4x

2 + x + 1 = 0 admite raízes inteiras. Se m é a


101

maior das raízes não inteiras dessa equação, então o valor de m + é:

a) –6

b) –3

c) 0

d)

e) 2

Questão 65

(UFSC-SC) As dimensões, em metros, de um paralelepípedo retângulo são dadas pelas raízes

do polinômio . Determine, em metros cúbicos, o volume desse

paralelepípedo.


102

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

NICOLAU, Antonio. Matemática de olho no mundo do trabalho. São Paulo: Scipione,

2004.

RUY, José. Matemática Fundamental: Uma nova abordagem. São Paulo: FTD, 2002.

BARRETO, Benigno. Matemática: Aula por aula. São Paulo FTD, 2000.

3 Ano Matematica

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