2 Ano Matematica

MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015

1

APOSTILA 2015

MATEMTICA

PROFESSOR: DENYS YOSHIDA


2

Sumrio

1.Sequncias.................................................................................................................................4

1.1 Sequncias numricas............................................................................................................

2. Progresso Aritmtica...............................................................................................................6

2.1 Classificao de uma P.A........................................................................................................6

2.2 Termo geral de uma P.A.........................................................................................................6

2.3 Propriedades de uma P.A.......................................................................................................7

2.4 Soma dos n primeiros termos de uma P.A...........................................................................10

3.Progresso Geomtrica............................................................................................................13

3.1 Frmula do termo geral.........................................................................................................13

3.2 Propriedades principais.........................................................................................................14

3.3 Soma dos n primeiros termos de uma P.G ..........................................................................16

3.4 Soma dos n primeiros termos de uma P.G infinita................................................................16

4. Matrizes...................................................................................................................................19

4.1 Representao genrica de uma matriz................................................................................19

4.2 Lei de formao de uma matriz.............................................................................................20

4.3 Tipos de matrizes..................................................................................................................20

4.4 Operaes com matrizes.......................................................................................................25

4.5 Matriz inversa........................................................................................................................32

5. Determinantes.........................................................................................................................34

5.1 Determinante de ordem 2x2..................................................................................................34


3

5.2 Regra de Sarrus....................................................................................................................34

5.3 Teorema de Laplace..............................................................................................................36

6. Sistemas Lineares...................................................................................................................42

6.1 Equaes lineares.................................................................................................................42

6.2 Sistemas lineares..................................................................................................................42

6.3 Mtodo do escalonamento....................................................................................................43

6.4 Matrizes associadas a um sistema linear..............................................................................43

6.5 Regra de Cramer...................................................................................................................44

7. Trigonometria na circunferncia..............................................................................................53

7.1 Arcos e ngulos.....................................................................................................................53

7.2 Medidas de arcos e ngulos..................................................................................................54

7.3 Converso entre graus e radianos........................................................................................54

7.4 Comprimento da circunferncia.............................................................................................55

7.5 Congruncia de arcos...........................................................................................................55

7.6 Razes trigonomtricas.........................................................................................................59

7.7 Funes trigonomtricas.......................................................................................................61

7.8 Outras razes trigonomtricas..............................................................................................67

7.9 Relaes trigonomtricas......................................................................................................69

Exerccios de vestibulares...........................................................................................................73

Referncias bibliogrficas.........................................................................................................106


4

1. Sequncias

Em nossas aulas estudaremos as sequncias, na qual seus elementos esto dispostos em

uma determinada ordem pr-estabelecida.

1.1 Sequncias numricas

Os elementos de uma sequncia numrica devem ser apresentados entre parnteses,

conforme os exemplos abaixo:

(2, 4, 6, 8, 10, 12,... ) uma sequncia de nmeros pares positivos.

(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...) uma sequncia de nmeros naturais.

(10, 20, 30, 40, 50...) uma sequncia de nmeros mltiplos de 10.

(10, 15, 20, 30,35,40) uma sequncia de nmeros mltiplos de 5, maiores que cinco e

menores que 45.

Existem dois tipos de sequncias, as sequncias finitas e as sequncias infinitas:

Sequncia finita uma sequncia numrica na que tem um ltimo elemento, ou seja, tem fim,

como por exemplo, a sequncia dos nmeros mltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 45.

Sequncia infinita uma sequncia que no possui um ltimo termo, ou seja, seus elementos

seguem ao infinito, por exemplo: a sequncia dos nmeros naturais.

Denominamos o primeiro termo de uma sequncia numrica por a1, o segundo termo por a2, o

terceiro por a3 e assim segue. O ltimo elemento de uma sequncia finita representado por

an. A letra n determina o nmero de elementos da sequncia.

(a1, a2, a3, a4, ... , an, ... ) sequncia infinita.

(a1, a2, a3, a4, ... , an) sequncia finita.

Os elementos de uma sequncia numrica so determinados por uma lei matemtica. Por

exemplo:

Determine os cinco primeiros elementos de uma sequncia tal que an = 2n + 1, n N*.

a1 = 2.(1) + 1 = 2 + 1 = 3

a2 = 2.(2) + 1 = 4 + 1 = 5

a3 = 2.(3) + 1 = 6 + 1 = 7

a4 = 2.(4) + 1 = 8 + 1 = 9


5

a5 = 2.(5) + 1 = 10 + 1 = 11

Portanto, a sequncia ser: (3,5,7,9,11).

Exerccios sobre sequncias numricas

1- Escreva os cinco primeiros termos das sequncias cujos termos gerais esto expressos a

seguir:

a) 2na n

b) 2 1na n

c) 1

nan

2- Escreva os quatro primeiros termos da sequencia na nn .)1( .

3- Calcule o 15 termo da sequncia cujo termo geral : 3 1na n .

4- Calcule o 20 termo da sequncia cujo termo geral : 2 1na n .

5- Obtenha o dcimo quarto termo da sequncia em que n

nA 102 .

6- Determine o quarto termo da sequncia, em que 15.2 nnA .

7- Determine os sete primeiros termos de uma sequncia tal que 10 1nna .

8- Determine o 5 termo da sequncia 1)2( nna .

9- Qual a posio do termo de valor 20 na sequncia dada por 2 6na n ?


6

10- Qual a soma dos quatro primeiros termos da sequncia dada por 13 .( 1)nna n ?

2. Progresso Aritmtica

Denominamos Progresso Aritmtica (ou PA) qualquer sequncia numrica cujo termo

seguinte, igual ao anterior somado com um valor constante, denominado razo.

Por exemplo: (2, 5, 8, 11, 14, 17,...) uma PA de razo 3.

2.1 Classificao de uma P.A:

Uma progresso aritmtica dita crescente se um termo qualquer for maior que seu anterior,

ou seja: an > an-1.

Uma progresso aritmtica dita decrescente se um termo qualquer for menor que seu

anterior, ou seja: an < an-1.

Outra forma de determinar se a PA crescente ou decrescente a partir da sua razo, se r > 0

a PA crescente, se r < 0 a PA decrescente.

2.2 Termo Geral de uma PA

Considere a PA genrica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razo r.

Conforme a definio, um termo a2 = a1 + 1.r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

___________________________

an = an-1 + r = an = a1 + (n 1) . r

Denominamos a expresso: an = a1 + (n 1). r como o termo geral da PA.

Onde an o termo de ordem n (n-simo termo), r a razo e a1 o primeiro termo da

Progresso Aritmtica.

Clculo da Razo de uma PA:

Para saber a razo de uma PA qualquer (a1, a2, a3, ... , an, ...), podemos utilizar uma das

expresses utilizadas para determinar o termo geral da PA:


7

an = an-1 + r r = an - an-1

Dessa maneira podemos deduzir que a razo obtida a partir da diferena entre quaisquer

termos consecutivos, como por exemplo:

r = an an-1 = an-1 an-2 = = a3 a2 = a2 a1

Exemplos:

Qual o centsimo termo da PA (1, 5, 9, 13, 17,...)?

Primeiro termo: a1= 1

Razo: r = a2 a1 =5 1 = 4

Como queremos o centsimo termo, n = 100

Para calcular o centsimo termo, utilizaremos a expresso que nos d o Termo Geral da PA.

an= a1 + (n 1) . r a100 = 1 + (100 - 1). 4 = 1 + 99.4 = 1 + 396 = 397.

Portanto 397 o centsimo termo da PA.

Qual o nmero de termos da PA: (100, 98, 96,..., 22)?

Como queremos saber o nmero de termos da PA, sabemos que esse nmero dado por n,

ento essa a incgnita que queremos encontrar.

Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22

Substituindo na frmula do termo geral, temos:

22 = 100 + (n - 1). (- 2)

22 - 100 = - 2n + 2

22 - 100 - 2 = - 2n

- 80 = - 2n

n= 40

Portanto, a PA possui 40 termos.

2.3 Propriedades de uma P.A

P1. Cada termo de uma PA pode ser dado pela mdia aritmtica entre seu anterior e seu

posterior.

Exemplo:


8

1. PA: (m, n, r); pela propriedade acima, temos: .

2. Na PA ( 2,x,12) calcule o valor de x.

Pela propriedade anterior, temos:

P2. A soma dos termos equidistantes dos extremos de uma PA constante.

1. Exemplo:

PA: (a, b, c, d, e, f), pela propriedade, temos: a+f = b+ e = c + d

2. Qual o segundo termo da PA (3,t,15,21,27)

Pela propriedade anterior, temos:

t+21 = 3+27

t+21 = 30

t = 30 21

t = 9

Exerccios sobre Progresso Aritmtica

11- Escreva:

a) Uma P.A de oito termos em que 1 6a e 4r .

b) Uma P.A de sete termos em que 1 4a e 2r .

c) Uma P.A de quatro termos em que 1 2a a e ar .

12- Calcule o nmero real x de modo que a sequncia (x+1, 3x-1, 2x+3,...) seja uma P.A.

13- Encontre o termo geral das seguintes Progresses Aritmticas:

a) (2, 7,...)

b) (1, 9,...)

c) (-1, 3,...)

d) ,...)5,3(


9

e)

,...

4

11,

3

7

14- Qual o dcimo quarto termo da P.A(4,10,...)?

15- Qual o quadragsimo nmero natural mpar?

16- Qual o nono termo da P.A ,...)4,2,( mamaa ?

17- Calcule trs nmeros em P.A tais que sua soma seja 6 e seu produto 24.

18- Escreva uma P.A de trs termos, de modo que a sua soma seja igual a -3 e seu produto

seja igual a 8.

19- Obtenha trs nmeros em P.A de modo que sua soma seja 12 e seu produto 48.

20- Um estacionamento no centro de So Paulo cobra R$ 20,00 pela primeira hora de

estacionamento. A partir da segunda, h um decrscimo dos preos segundo uma

progresso aritmtica. O preo da segunda hora R$ 18,00 e o preo da quarta hora R$

12,00. Assim, se um automvel ficar estacionado 6 horas nesse estacionamento, qual valor

dever ser pago pelo proprietrio do carro estacionado?

21- Numa P.A de razo 5, o primeiro termo igual a 4. Qual a posio do termo igual a 44.

22- Considere a P.A(100, 93, 86,...). Determine a posio do termo de valor 37.

23- Quantos termos tem a P.A(4,7,10,...,157)?

24- Quantos termos tem a P.A(-1,2,...,86)?

25- Interpole cinco meios aritmticos entre 6 e 30.


10

26- Interpole oito meios aritmticos entre 26 e -1.

27- Insira cinco meios aritmticos entre -5 e 13.

28- Insira quatro meios aritmticos entre 0 e 2.

29- Quantos mltiplos de 4 existem entre 15 e 200?

30- Quantos nmeros mpares h entre 18 e 272?

31- Um corpo, em queda livre, percorre 4,9m durante o 1 segundo. Depois disso, em cada

segundo percorre sempre 9,8m a mais do que no segundo anterior. Quantos metros o

corpo percorrer em 8 segundos?

32- Quantos so os mltiplos de 6 compreendidos entre 100 e 1000?

33- Determine quantos mltiplos de 3 existem entre 1 e 100.

34- Quantos mltiplos de 5 existem entre 100 e 1500?

35- Quantos mltiplos de 6 maiores que 17 e menores que 972 existem?

2.4 Soma dos n primeiros termos de uma PA

Seja a PA genrica (a1, a2, a3,..., an-1, an).

A soma dos n primeiros termos Sn = a1 + a2 + a3 + ... + a n-1 + an, pode ser deduzida a partir da

propriedade P2:

Temos:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + a n-1 + an


11

Aplicando a propriedade P2:

Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1)

Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parnteses possuem o mesmo

valor (so iguais soma dos termos extremos a1 + an), de onde conclumos inevitavelmente

que:

2. Sn = (a1 + an). n, onde n o nmero de termos da PA.

Da ento vem finalmente que:

Exemplo: Calcular a soma dos dez primeiros termos da P.A(4,7,10,...).

31

3.94

).1(

10

10

1

A

A

rnAAn

175

2

10).314(

2

).(

10

1

S

S

naaS

n

nn

Exerccios sobre soma dos termos de uma P.A

36- Calcule a soma dos trinta primeiros nmeros mpares positivos.

37- Calcule a soma dos vinte primeiros termos da P.A(7,4,...).

38- Calcule a soma dos cem primeiros nmeros naturais pares.

39- Determine a soma dos 25 primeiros termos da P.A (-7,-9,-11,...).


12

40- Obtenha a soma dos dez primeiros termos da P.A em que o primeiro termo 2

1 e a razo

.2

3

41- Obtenha a soma dos vinte primeiros termos de uma P.A, sabendo que 21 A e 3r .

42- Calcule a soma dos mltiplos positivos de 4 formados por dois algarismos.

43- Calcule a soma dos mltiplos de 5 compreendidos entre 16 e 91.

44- Obtenha a soma dos mltiplos de 3 entre 13 e 100.

45- Calcule a soma dos nmeros mpares compreendidos entre 100 e 258.

46- Calcule a soma dos nmeros pares compreendidos entre 200 e 357.

47- Determine a soma dos nmeros pares positivos, menores que 101.

48- Qual a soma de todos os nmeros pares positivos de 2 a 450?

49- Determine a expresso que fornece a soma dos n primeiros nmeros mpares positivos.

50- (FGV-SP) Epaminondas corre sempre 500 metros a mais do que no dia anterior. Sabendo-

se que ao final de 15 dias ele correu um total de 67500 metros, quantos metros ele

percorreu no final do 3 dia?


13

3. Progresso Geomtrica

Entenderemos por progresso geomtrica -PG - como qualquer sequncia de nmeros reais

ou complexos, onde cada termo a partir do segundo igual ao anterior, multiplicado por uma

constante denominada razo.

Exemplos:

(1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razo 2

(5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razo 1

(100,50,25, ... ) PG de razo 1/2

(2,-6,18,-54,162, ...) PG de razo -3

3.1 Frmula do termo geral

Seja a PG genrica: (a1, a2, a3, a4, ... , a n, ... ) , onde a1 o primeiro termo, e an o n-simo

termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razo da PG, da definio podemos escrever:

a2 = a1 . q

a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2

a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q

3

................................................

................................................

Infere-se (deduz-se) que: an = a1 . qn-1

, que denominada frmula do termo geral da PG.

Genericamente, poderemos escrever: aj = ak . qj-k

Exemplos:

a) Dada a PG (2, 4, 8,...), pede-se calcular o dcimo termo.

Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o dcimo termo ou seja a10, vem pela

frmula:

a10 = a1 . q9 = 2 . 2

9 = 2. 512 = 1024

b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente igual a 20 e o oitavo termo igual a

320. Qual a razo desta PG?

Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a8 = a4. q8-4

. Da vem: 320 = 20. q4

Ento q4 =16 e portanto q = 2.

Nota: Uma PG genrica de 3 termos, pode ser expressa como:

(x/q, x, xq), onde q a razo da PG.


14

3.2 Propriedades principais

P1 - em toda PG, um termo a mdia geomtrica dos termos imediatamente anterior e

posterior.

Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G)

Temos ento: B2 = A . C; C

2 = B. D; D

2 = C. E; E

2 = D. F etc.

P2 - o produto dos termos equidistantes dos extremos de uma PG constante.

Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G)

Temos ento: A . G = B. F = C. E = D. D = D2

Exerccios sobre P.G

51- Escreva:

a) Uma P.G de cinco termos em que 31 A e 3q .

b) Uma P.G de cinco termos em que 51 A e 2q .

52- Determine x de modo que a sequncia (x+6, 2-x, 2-4x,...) seja uma P.G.

53- A medida do lado, o permetro e a rea de um quadrado formam, nessa ordem, uma P.G.

Quanto mede o lado desse quadrado?

54- Encontre trs nmeros em P.G, sendo 26 a sua soma e 216 o seu produto.

55- Trs nmeros reais formam uma P.G de soma 13 e produto 27. Determine esses nmeros.

56- Encontre o termo geral da P.G(1, 5,...).

57- Calcule:

a) O quinto termo da P.G

,...

3

4,4,12 .

b) O dcimo termo da P.G (8,-16,32,...).

58- Determine o oitavo termo da P.G ( ,...)16

1,

32

1,

64

1.


15

59- Insira seis meios geomtricos entre 3 e 384.

60- Insira sete meios geomtricos entre 3 e 768.

61- Insira cinco meios geomtricos entre 4 e 256.

62- Insira trs meios geomtricos entre 9 e .9

1

63- Determine o primeiro termo de uma P.G em que 312507 A e 5q .

64- Quantos termos existem na P.G(3, 6,..., 1536)?

65- Quantos termos existem na P.G(3, 6,..., 3072)?

66- Em uma P.G cujo 1 termo 2 e a razo -3, qual a posio do termo -486?

67- Calcule a razo de uma P.G, sabendo que 4055 A , 51 A e que a P.G possui 5

termos.

68- Numa P.G, dados 21 A , 5q e 1250nA , calcule n .

69- Quantos termos possui a P.G onde 61 A , 384nA e

2q.

70- Em uma colnia de bactrias, uma bactria divide-se em duas a cada hora. Determinar o

nmero de bactrias originadas de uma s bactria dessa colnia depois de 15 horas.


16

3.3 Soma dos n primeiros termos de uma PG

Seja a PG (a1, a2, a3, a4,..., an,...). Para o clculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos

considerar o que segue:

Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an

Multiplicando ambos os membros pela razo q vem:

Sn . q = a1. q + a2. q + .... + an-1. q + an. q.

Logo, conforme a definio de PG podemos reescrever a expresso acima como:

Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an. q

Observe que a2 + a3 + ... + an igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem:

Sn. q = Sn - a1 + an. q

Da, simplificando convenientemente, chegaremos seguinte frmula da soma:

Se substituirmos a n = a1. qn-1

, obteremos uma nova apresentao para a frmula da soma, ou

seja:

Exemplo:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1, 2, 4, 8,...)

Temos:

Observe que neste caso a1 = 1.

3.4 Soma dos termos de uma PG infinita

Considere uma PG ILIMITADA (infinitos termos) e decrescente. Nestas condies, podemos

considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na frmula anterior, encontraremos:


17

Exerccios sobre soma dos termos de uma P.G

71- Calcule a soma dos 20 primeiros termos da P.G(-5, -5, -5,-5,...).

72- Obtenha a soma dos dez primeiros termos da P.G .,...2

1,

,2

1,

2

1

73- Determine a soma dos termos da P.G (-8, -16, -32, -64, -128, -256, -512).

74- Considere a P.G(7, 14, 28, 56,...). Calcule a soma dos oito primeiros termos dessa P.G.

75- Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.G(3, 6, 12,...).

76- Calcule a soma dos oito primeiros termos da P.G(2, 4, 8,...).

77- Calcule a soma dos sete primeiros termos da P.G(1, 3, 9,...).

78- Calcule a soma dos dez primeiros termos da P.G(-3, -6, -12,...).

79- Determine a soma dos dez primeiros termos da P.G(1000, 100, 10,...).

80- Calcule a soma dos vinte primeiros termos da P.G(2, 6, 18,...).

81- Quantos termos tem a P.G finita (1, 3, 9,..., x), se a soma de todos os seus termos 1093?

82- Calcule a soma dos 9 primeiros termos da P.G( ...)2,2,2,2 3210 .

83- Calcule a soma dos 5 primeiros termos da P.G( ...)3,3,3,3 3210 .


18

84- Calcule a soma 108642 222221 .

85- Determine a soma de cada P.G infinita:

a)

,...

18

1,

6

1,

2

1

b)

,...

3

1,1,3

c) ,...25,50,100

d)

,...

4,

2,

222 aaa

86- Calcule a soma dos infinitos termos da P.G(32, 8, 2,...).

87- A soma dos termos da P.G ,...)5,5,5,5( 32 aaa 3. Determine o valor de a.

88- Escreva a frao geratriz das seguintes dzimas:

a) 0,555...

b) 0,121212...

c) 3,44....

d) -2,66...

89- Determine a frao geratriz da dzima peridica 1,49494949....

90- Qual a geratriz da dzima peridica 2,718181818...


19

4. Matrizes

As matrizes so estruturas matemticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas,

utilizadas na organizao de dados e informaes. Na lgebra, as matrizes so responsveis

pela soluo de sistemas lineares. Chamamos ordem de uma matriz a relao entre linhas e

colunas, uma matriz que tenha n linhas e m colunas uma matriz da ordem n x m, para obter

o nmero de elementos de uma matriz, basta multiplicar m.n. Observe os exemplos de

matrizes abaixo:

, matriz de ordem 3 x 1. (3 linhas e 1 coluna), o nmero de elementos dessa matriz 3 x

1 = 3

1 2

3 4

5 6

, matriz de ordem 3 x 2. (3 linhas e 2 colunas), o nmero de elementos dessa matriz

3 x 2 = 6

1 2

3 4

, matriz quadrada de ordem 2 x 2. O nmero de elementos dessa matriz 2 x 2 = 4

4.1 Representao genrica de uma matriz

Seja A uma matriz qualquer de ordem m x n, podemos representar A por:

Ou tambm, , onde i {1, ,m} o ndice de linha e j {1, , n}

o ndice de coluna.

Quanto aos elementos de cada matriz l-se:

a11: A um, um.

a12: A um, dois.

1

2

3


20

A21: A dois, um.

amn: A m, n.

4.2 Lei de formao de uma matriz

Chamamos lei de formao de uma matriz, a sentena matemtica que determina quais sero

cada um dos elementos da mesma, definida da maneira: (aij)m x n | Lei de Formao

Por exemplo: temos que: (aij)2x3= 2j i, uma matriz 2x3 onde cada elemento obtido atravs

da lei 2j i, vamos resolver a lei para cada elemento da matriz:

(a11)= 2(1) 1 = 2 1 = 1

(a12)= 2(2) 1 = 4 1 = 3

(a13)= 2(3) 1 = 6 1 = 5

(a21)= 2(1) 2 = 2 2 = 0

(a22)= 2(2) 2 = 4 2 = 2

(a23)= 2(3) 2 = 6 2 = 4

Logo a matriz 11 12 13

21 22 23

1 3 5

0 2 4

a a aA

a a a

4.3 Tipos de matrizes

Matriz linha: Qualquer matriz com uma nica linha. Esse tipo de matriz pode tem sempre

ordem 1 x m.

Por exemplo, a matriz A =[1, 2, 3, 4], do tipo 1 x 4.

Matriz coluna: Qualquer matriz com uma nica coluna. Esse tipo de matriz pode tem sempre

ordem 1 x m.


21

Por exemplo, a matriz

1

2

3

B

do tipo 3 x 1.

Matriz quadrada: Chamamos matriz quadrada de ordem n a toda matriz que tem o mesmo

nmero de linhas e colunas. Por exemplo, a matriz 3 8

2 12C

do tipo 2 x 2, isto ,

quadrada de ordem 2.

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundria. A principal

formada pelos elementos aij tais que i = j. Na secundria, temos i + j = n + 1.

Veja:

Observe a matriz a seguir:

a11 = -1 elemento da diagonal principal, pis i = j = 1

a31= 5 elemento da diagonal secundria, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1 = 3 + 1)

Matriz nula: matriz em que todos os elementos so nulos; representada por 0m x n.

Por exemplo, .

Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que no esto na diagonal

principal so nulos. Por exemplo:


22

Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal so

iguais a 1 e os demais so nulos; representada por In, sendo n a ordem da matriz. Por

exemplo:

Assim, para uma matriz identidade .

Matriz transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas

por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:

Desse modo, se a matriz A do tipo m x n, At do tipo n x m.

Note que a 1 linha de A corresponde 1 coluna de At e a 2 linha de A corresponde 2

coluna de At.

Exerccios sobre construo e definio de matrizes

91- Dada a matriz:


23

a- Qual a sua ordem?

b- Quantos elementos ela possui?

c- D o valor dos seguintes elementos: 31122111 ,,, aaaa .

d- Calcule o valor de 33222113 aaaa .

e- Ela uma matriz quadrada? Justifique

92- D o tipo de cada matriz:

a) 81

b)

5,04

97

c)

653

684

791

d)

6867

5698

7735

43,051

93- Construa a matriz A= 22)( xija , sendo jiaij .

94- Construa a matriz A= 23)( xija , sendo jiaij 2 .

520

11142

418

A


24

95- Construa a matriz A= 32)( xija , sendo 222 jiaij .

96- Construa a matriz 32)( xijcC , com 2 jicij .

97- Determine a matriz A= 22)( xija tal que:

a) ija 0, se ji e ija 1, se ji .

b) 2iaij , se ji e

2jaij , se ji .

98- Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal

secundria da matriz 33)( xijaA em que jiaij 2 .

99- Quantos elementos tem uma matriz quadrada de ordem 6?

100- D a matriz transposta de:

a)

6

3

1

A

b)

3

17

50B

c)

101128

6483

1802

73,05,11

C


25

4.4 Operaes com Matrizes

Igualdade de matrizes

Sejam A e B duas matrizes reais, temos que A e B sero iguais se forem do mesmo tipo e se

os elementos correspondentes forem iguais. Logo teremos:

Exemplo: determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais

1 2 1 4,

2 5 8 5

xA B

y

,

Soluo:

2 4 2

2 8 10

x x

y y

Adio de matrizes

Assim como nos nmeros, equaes e funes que vimos at agora, podemos realizar

algumas operaes com matrizes e a soma uma delas, podemos somar duas matrizes desde

que elas sejam de um mesmo tipo. Sejam A e B duas matrizes de ordem m x n, chamamos

matriz soma (A+B) a matriz obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B.

Sejam as A e B as matrizes abaixo, vamos definir A + B:

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

e a a a b b b

A Ba a a b b b

11 12 13 11 12 13 11 11 12 12 13 13

21 22 23 21 22 23 21 21 22 22 23 23

a a a b b b a b a b a bA B

a a a b b b a b a b a b


26

Exemplo: Determine a matriz A+B, sendo A e B:

2 4 9 3 5 9 e

8 1 2 6 2 2A B

Soluo:

2 4 9 3 5 9 2 3 4 5 9 ( 9) =

8 1 2 6 2 2 8 ( 6) 1 2 2 ( 2)A B

=

5 1 0

2 1 -4A B

Propriedades da adio

Sendo A, B, C e O (matriz nula) so matrizes de mesmo tipo, valem as propriedades:

- Comutativa: A+B = B+A

- Associativa: A+(B+C) = (A+B)+C

- Elemento neutro: A+O = O+A = A

Subtrao de matrizes

Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz diferena (A-B) a matriz obtida

subtraindo-se os elementos correspondentes de A e B.

Sejam as A e B as matrizes abaixo, vamos definir A - B:

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

e a a a b b b

A Ba a a b b b


27

11 12 13 11 12 13 11 11 12 12 13 13

21 22 23 21 22 23 21 21 22 22 23 23

a a a b b b a b a b a bA B

a a a b b b a b a b a b

Exemplo: Determine a matriz A+B, sendo A e B:

2 4 9 3 5 9 e

8 1 2 6 2 2A B

Soluo:

2 4 9 3 5 9 2 3 4 5 9 ( 9) =

8 1 2 6 2 2 8 ( 6) 1 2 2 ( 2)A B

=

1 9 18

14 3 0A B

Multiplicao de uma Matriz por um nmero escalar

Seja k um nmero escalar real qualquer, definimos que a multiplicao de k por uma matriz A

ser dada pela multiplicao de cada elemento de A pelo nmero real k, assim:

11 12 13 11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23 21 22 23

. . .. .

. . .

a a a a a a k a k a k aA k A k

a a a a a a k a k a k a

Exemplo: seja A, a matriz dada abaixo, calcule 3.A:

1 1

4 10A

Soluo:

1 1 3.( 1) 3.1 3 33. 3.

4 10 3.( 4) 3.10 12 30A

Matriz oposta


28

Chama-se matriz oposta de A a matriz A, cuja soma com A resulta na matriz nula. A matriz

oposta a multiplicao de uma matriz A por (-1), Ento:

11 12 13 11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23 21 22 23

( 1). ( 1).a a a a a a a a a

A A Aa a a a a a a a a

Exemplo:

1. Obtenha A, dada a matriz

1 1

3 9A

, Ento:

1 1 1 1( 1) ( 1)

3 9 3 9A A

Observe que, sempre que tivermos uma matriz oposta A+(-A) = O (Matriz Nula)

Soluo

Temos acima que:

1 1 1 1

e -3 9 3 9

A A

, Ento:

1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 0 0( ) (Matriz Nula)

3 9 3 9 3 ( 3) 9 9 0 0A A O

Multiplicao de matrizes

Sendo A uma matriz do tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp, define-se produto da matriz A

pela matriz B a matriz C, do tipo mxp, tal que cada elemento de C (cij) satisfaz:

Em outras palavras, cada elemento de C calculado multiplicando-se ordenadamente os

elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B e , a

seguir, somando-se os produtos obtidos. Veja abaixo:


29

O produto entre duas matrizes A e B definido se , e somente se, o nmero de colunas da

matriz A for igual ao numero de linhas da matriz B. Assim:

O elemento neutro da multiplicao de matrizes a matriz identidade (I).

Exerccios sobre operaes com matrizes

101- Calcule os valores de x e y nas seguintes igualdades:

a)

26

11

166

31

y

x

b)

01

1123

01

58 2 yx


30

c)

y

x

36

1002

816

2 2

102- Dada a matriz

210

432

011

A

, obtenha a matriz X tal que a matriz X seja a soma da

matriz A com a sua transposta.

103- Considere as seguintes matrizes:

32)( xijaA , definida por jiaij e 32)( xijbB , definida por jibij . Determine o

elemento 23C da matriz BAC .

104- Dada a matriz

500

121

432

A , determine 3IAT .

105- Sendo 31)( xijaA tal que jiaij 2 e 31)( xijbB tal que 1 jibij , calcule

BA .

106- Se

41

72A e

06

23B , determine a matriz X em cada caso:

a) BXA

b) ABX

c) ABX 2

d) BXA 32

107- Dadas as matrizes

32

10A e

11

02B , calcule ABC 3 . Calcule o produto

dos elementos da diagonal principal dessa matriz.


31

108- Dadas as matrizes: A

12

46 e

53

21B determine:

a) AB 2

b) BA 32

c) TT BA 2

d) BA.

e) AB.

f) 2A

g) 2B

109- Dada a matriz

20

01A , determine AA .3

2 .

110- Dada a matriz

100

001

012

A , calcule 2A .

111- (UFRJ) Seja

10

11A . Determine o valor de

3A .


41

14M ,

14

41N e

51

32P , calcule

PNM ).( .

113- So dadas as matrizes

13

12A e

01

43B .

a) Calcule BA. .

b) Calcule ..AB

c) Calcule 2A .


32

4.5 Matriz Inversa

Considere que A uma matriz quadrada de ordem n. Chamamos A de uma matriz inversvel se

existir uma matriz B, tal que:

nA B B A I

Nessas condies dizemos que B inversa de A, e indicamos por A-1

.

Exemplos:

Determine a Inversa de A, dado:

1 2

4 2A

Temos que A-1

, uma matriz quadrada de ordem 2, com elementos ainda desconhecidos,

portanto:

1a b

Ac d

, tal que 1

2A A I , ento:

11 2 1 0 2 2 1 0

4 2 0 1 4 2 4 2 0 1

a b a c b dA A

c d a c b d

Para identificarmos a, b, c e d precisamos resolver, baseados no conceito de igualdade de

matrizes:

2 6 1 1 2,

5 0 5 5

a ca c

a c

2 6 0 1 1,

5 1 5 10

b db d

b d

Portanto 1

1 1

5 5

2 1

5 10

A

Exerccios sobre matriz inversa

114- Calcule a matriz inversa de:


33

a)

52

83B

b)

31

20D

115- Dada a matriz

11

32A , determine a matriz X tal que: X TAA 1 .

116- So dadas as matrizes

57

23A e

11

11B . Calcule 1. ABA .

117- Calcule 21)( AA , sendo

43

21A .

118- Dada a matriz

23

35A , determine o valor de AA 21 .

119- Calcule a matriz inversa de

21

11B . Prove que a multiplicao da matriz B pela

sua inversa igual matriz identidade.


11

12A e

12

01M :

a) Determine 1M .

b) Determine o trao da matriz MAM ..1 , sabendo que o trao de uma matriz a soma dos

elementos da diagonal principal.


34

5. Determinantes

Uma das partes mais interessantes do estudo de matrizes so os Determinantes, esses so a

associao de uma matriz quadrada com um nmero real, atravs dos determinantes podemos

definir se uma matriz tem ou no matriz inversa, de forma que caso o determinante de uma

matriz A seja igual a 0 (zero) a matriz A no inversvel.

Para representao do determinante temos a insero de uma nova simbologia. O

determinante de uma matriz A, ser dado como abaixo:

Seja a b

Ac d

uma matriz, seu determinante ser representado por deta b

Ac d

.

5.1 Determinante de ordem 2 x 2

Seja A uma matriz quadrada de ordem 2, o valor do determinante ser dado por:

deta b a b

A A a d b cc d c d

5.2 Regra de Sarrus

Para obter o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3, podemos utilizar a regra de

Sarrus, para definirmos a regra de Sarrus vamos primeiro s definies de Diagonal Principal e

Diagonal Secundria. Na figura abaixo temos as duas diagonais destacadas, de maneira que:

Diagonal principal: a11, a22 e a33.

Diagonal secundria: a13, a22, a31.

Para aplicao prtica da regra de sarrus, devemos repetir as duas primeiras colunas do

determinante e traar a partir delas trs diagonais principais e trs diagonais secundrias.


35

O determinante ser calculado por meio da diferena entre a soma do produto das trs

diagonais principais e a soma do produto das trs diagonais secundrias. Conforme abaixo:

Somatrio da Diagonal principal

(a11 . a22 . a33) + (a12 . a23 . a31) + (a13 . a21 . a32)

Somatrio da Diagonal secundria

(a13 . a22 . a31) + (a11 . a23 . a32) + (a12 . a21 . a33)

Clculo do Determinante

D = {(a11 . a22 . a33) + (a12 . a23 . a31) + (a13 . a21 . a32)} {(a13 . a22 . a31) + (a11 . a23 . a32) + (a12 .

a21 . a33)}

Exemplo:

1. Calcule o determinante de

1 1 2

2 3 0

2 3 4

A

utilizando a regra de Sarrus:

1 1 2 1 1 2 1 1

( ) 2 3 0 2 3 0 2 3

2 3 4 2 3 4 2 3

Det A

Somatria das diagonais principais:

[1.( 3).4] (1.0.2) (2.2.3) 12 0 12 0p

Somatria das diagonais secundrias:

(1.2.3) (1.0.3) [2.( 3).( 2)] 6 0 12 18s

Regra de Sarrus:

Det(A) = p s =0 18= -18


36

5.3 Teorema de Laplace

O teorema de Laplace consiste num mtodo de calcular o determinante de matrizes quadradas

de ordem n 2 utilizando o cofator.

Lembrando que o cofator do elemento aij de uma matriz quadrada o nmero:

Para calcular o determinante de uma matriz M quadrada de ordem n 2 utilizando o Teorema

de Laplace, devemos proceder da seguinte forma:

1. Escolha qualquer fila (linha ou coluna) da matriz M.

2. Multiplique cada elemento da fila pelo seu respectivo cofator.

3. O teorema de Laplace diz que o determinante da matriz M ser a soma dos produtos dos

elementos da fila pelos seus respectivos cofatores.

Como j dispomos de mtodos prticos para o clculo do determinante de matrizes quadradas

de ordem 2 e 3, interessante aplicar o Teorema de Laplace para matrizes de ordem maior ou

igual a 4.

Para melhor explicao do mtodo vamos a um exemplo numrico de sua aplicao.

Exemplo

1. Calcule o determinante da matriz abaixo utilizando o dispositivo prtico de Sarrus e o

Teorema de Laplace.

Soluo

Devemos escolher qualquer linha ou coluna da matriz M. Nesse caso, escolheremos a linha 2.


37

Agora, multiplicaremos cada elemento da linha pelo seu respectivo cofator:

Logo, o determinante ser a soma desses produtos, ou seja:

D = 6 + 3 +( 1) = 4.

Observe que nesse caso o dispositivo prtico de Sarrus torna o clculo do determinante bem

mais simples que o Teorema de Laplace, como foi dito anteriormente.

Exerccios sobre determinantes

121- Calcule o valor do determinante das seguintes matrizes:

a) 2A

b)

41

23B

c)

16

34C

d)

32

46D

e)

236

1

2

1

E


38

f)

23

32F

122- Calcule o determinante da matriz 22)( xijaA tal que jiaij 23 .

123- Se

20

11A , encontre o valor do determinante de AA .22 .

124- (Vunesp-SP) Dadas as matrizes

42

31A e

13

21B , calcular o determinante da

matriz BA. .

125- Resolva as equaes:

a) 075

2

xx

b) 1213

22

x

c) 38

2

43

122 xxx

d) x

x

x 0

2

4

43

126- Utilizando a Regra de Sarrus calcule o determinante das seguintes matrizes:

a)

432

314

523

A


39

b)

524

132

030

B

c)

552

287

402

C

127- Calcule o determinante das matrizes:

a) 33)( xijAA tal que jiAij 32 .

b) 33)( xijBB tal que jiBij 23 .

c) 33)( xijCC tal que jiCij .

128- Se 33)( xijAA tal que jiaij , calcule o valor de

Adet e

tAdet.

129- Determine o valor de x para que:

a) 0

321

412

31

x

b) 3

025

112

312

x

c) 0

213

42

142

x


40

130- Para que valores de x o determinante

101

00

10

x

x

positivo?

131- Dada a matriz

321

401

132

A , determine:

a) )( 12acof

b) )( 31acof

c) )( 22acof

d) )( 13acof

e) )( 23acof

f) )( 33acof

132- Dada a matriz

662

542

301

A , determine a soma dos cofatores dos elementos da

2 linha.

133- (UFSC) Dada a matriz

2244

0731

0085

0010

A

, calcule o determinante dessa matriz.

134- Utilizando o Teorema de Laplace calcule o determinante das seguintes matrizes:

a)

87

43A

b)

35

41B


41

c)

401

312

001

C

d)

1012

3121

1312

1010

D

e)

1010

2101

4312

0101

E

135- Resolva as equaes:

a) 0

1011

1021

10

15112

xx

b) 0

5070

436

33

00402

x

xxx


42

6. Sistemas Lineares

6.1 Equaes lineares

Chamamos equaes lineares a toda equao da forma:

a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b de maneira que a1, a2, a3,... , an so nmeros reais, que so

chamados coeficientes das incgnitas x1, x2, x3,... , xn, e b um nmero real chamado termo

independente (quando b=0, a equao recebe o nome de linear homognea).

Seja k o grau das incgnitas, a equao denominada linear, se e somente se, k = 1.

Exemplos

1. So equaes lineares

a) x + y = 3

b) 2x y = 0

c) y +3x = 7

2. No so equaes lineares

a) x - 4x = - 2

b) 2x y = 7

c) x + y = 1

6.2 Sistemas lineares

Um conjunto de equaes lineares da forma:

denominado um sistema linear de m equaes e n incgnitas.

Um sistema linear tem n solues, representadas pela n-upla de nmeros reais (r1, r2,

r3,..., rn) que , simultaneamente, soluo de todas as equaes do sistema.


43

Um sistema linear pode ser classificado quanto ao nmero de solues da seguinte forma:

Sistema linear possvel: quando admite soluo.

Sistema linear impossvel: quando no admite soluo.

Um sistema linear possvel pode ser classificado em:

Determinado: quando admite uma nica soluo.

Indeterminado: quando admite infinitas solues.

6.3 Mtodo do escalonamento

Um sistema linear dito escalonado quando est disposto nas seguintes formas:

10

43

yx

yx

700

150

22

zyx

zyx

zyx

O processo de resoluo de um sistema linear que envolve a eliminao de incgnitas

denominado mtodo do escalonamento.

Exemplo: Escalone e resolva o seguinte sistema linear:

95

824

yx

yx.

Primeiro multiplicamos a segunda equao por -4 para eliminamos a incgnita x:

295

4422

95

36820244

y

yx

y

yx

yyxx

Como j achamos o valor de y, basta substituir esse valor na outra equao:

12 xy

6.4 Matrizes associadas a um sistema linear


44

Podemos associar determinadas matrizes a um sistema linear, sendo essas de dois tipos, a

matriz incompleta e a matriz completa.

Matriz incompleta

Seja o sistema linear abaixo:

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d

a x b y c z d

a x b y c z d

Podemos associar ao sistema dado uma matriz A, chamada incompleta, quando formada

apenas pelos coeficientes das incgnitas, conforme abaixo:

1 1 1

2 2 2

3 3 3

a b c

A a b c

a b c

Matriz completa

Seja o mesmo sistema linear utilizado acima, podemos associar ao sistema dado uma matriz B,

chamada matriz completa, de maneira que basta adicionar uma ultima coluna matriz A, com

os termos independentes de cada equao.

1 1 1

2 2 2

3 3 3

a b c

A a b c

a b c

6.5 Regra de Cramer

Consideremos um sistema linear de n equaes e n incgnitas:

11 1 12 2 13 3 1n n 1

21 1 22 2 23 3 2n n 2

31 1 32 2 33 3 3n n 3

n1 1 n2 2 n3 3 n

a x a x a x ... a x b



a x a x a x ... a

n n nx b


45

Como vimos esse sistema linear pode ser associado a uma matriz incompleta A, de maneira

que cada um de seus coeficientes seja um elemento da matriz, seja a matriz A, existe um

determinante D, tal que:

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

n

n

n

n n n nn

a a a a

a a a a

D a a a a

a a a a

Seja Dxi o determinante da matriz que se obtm do sistema

dado, substituindo a coluna dos coeficientes da incgnita

xi ( i = 1, 2, 3, ... , n), pelos termos independentes b1, b2, ...

, bn, assim sendo:

Segundo a regra de Cramer:

Os valores das incgnitas de um sistema linear de n

equaes e n incgnitas so dados por fraes cujo

denominador o determinante D dos coeficientes das

incgnitas e o numerador o determinante D xi, ou seja:

iiDx

xD

Exemplos

Para resolver um sistema linear pelo mtodo de escalonamento, precisamos ter conhecimentos

de algumas propriedades fundamentais dos sistemas lineares, pertinentes equivalncia de

dois ou mais sistemas lineares.

1. A permutao entre as linhas de um sistema linear no alteram o sistema em si, uma vez

que sua soluo permanece a mesma.

Exemplo

Os sistemas de equaes lineares

x 3y 7

5x 2y 1 e

5x 2y 1

x 3y 7

So sistemas lineares equivalentes, fica bvio que a dupla ordenada (1, 2) satisfaz a

ambos.

1 12 13 1

2 22 23 2

1 3 32 33 3

2 3

11 1 13 1

21 2 23 2

2 31 3 33 3

1 3

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33

n

n

n

n n n nn

n

n

n

n n n nn

n

b a a a

b a a a

Dx b a a a

b a a a

a b a a

a b a a

Dx a b a a

a b a a

a a a b

a a a b

Dx a a a

3

1 2 3n n n n

b

a a a b


46

2. Podemos multiplicar a um sistema linear qualquer valor k, e podemos garantir que seu

resultado no ser alterado.

Exemplo

Os sistemas de equaes lineares

x 3y 7

5x 2y 1 e

x 3y 7

10x 4y 2

O segundo sistema tem a segunda linha sendo o dobro do sistema anterior, no entanto,

afirmamos que esses sistemas lineares so equivalentes, a dupla ordenada (1, 2)

satisfaz a ambos.

3. Um sistema de equaes lineares no se altera, quando substitumos uma equao

qualquer por outra obtida a partir da adio membro a membro desta equao, com outra

na qual foi aplicada a transformao T2.

Exemplo:

Os sistemas

15x 3y 22

5x 2y 32

e

15x 3y 22

9y -74

So obviamente, pois a segunda equao foi substituda pela adio da primeira

equao, com a segunda multiplicada por ( -3 ).

Seja o sistema de equaes lineares:

x + 3y - 2z = 3 (e1)

2x - y + z = 12 (e2)

4x + 3y - 5z = 6 (e3)

SOLUO:

1 - Aplicando a transformao T1, permutando as posies das equaes 1 e 2, vem:

2x - y + z = 12

x + 3y - 2z = 3

4x + 3y - 5z = 6

2 - Multiplicando ambos os membros da equao 2, por (- 2) - uso da transformaoT2 -


47

somando o resultado obtido com a equao 1 e substituindo a equao 2 pelo resultado obtido

- uso da transformao T3 - vem:

2x - y + z = 12

7y - 2z = 6

4x + 3y - 5z = 6

3 - Multiplicando ambos os membros da equao 1 por (-2), somando o resultado obtido com a

equao 3 e substituindo a equao 3 pela nova equao obtida, vem:

2x - y + z = 12

-7y + 5z = 6

5y - 7z =-18

4 - Multiplicando a segunda equao acima por 5 e a terceira por 7, vem:

2x - y + z = 12

-35y+25z = 30

35y -49z =-126

5 - Somando a segunda equao acima com a terceira, e substituindo a terceira pelo resultado

obtido, vem:

2x - y + z = 12

-35y+25z = 30

-24z = -96

6 - Do sistema acima, tiramos imediatamente que:

96z= 4

24, ou seja, z = 4.

Como conhecemos agora o valor de z, fica fcil achar os valores das outras incgnitas:

Teremos:

- 35y + 25(4) = 30 y = 2.

Analogamente, substituindo os valores conhecidos de y e z na primeira equao acima, fica:

2x - 2 + 4 = 12 x = 5.

Portanto, x = 5, y = 2 e z = 4, constitui a soluo do sistema dado. Podemos ento escrever

que o conjunto soluo S do sistema dado, o conjunto unitrio formado por um terno


48

ordenado (5,2,4) :

S = { (5, 2, 4) }

Verificao:

Substituindo os valores de x, y e z no sistema original, teremos:

5 + 3(2) - 2(4) = 3

2(5) - (2) + (4) = 12

4(5) + 3(2) - 5(4) = 6

o que comprova que o terno ordenado (5,4,3) soluo do sistema dado.

Exerccios sobre sistemas Lineares

136- Dada a equao 534 yx , determine a soluo em que 5y .

137- Verifique se (3,-4,5) soluo da equao 45 zyx .

138- Determine o valor de k para que (-1, 0,1) seja soluo da equao 53 zykx .

139- Ache duas solues da equao: 02

1 yx .

140- Calcule a, de modo que (-1, a+1, 2) no seja soluo da equao 042 zyx .

141- Verifique se cada um dos pares ordenados soluo para este sistema:

02

022

0

zyx

zyx

zyx

a) (0,0,0)


49

b) (0, 1, -1)

c) (1,1,1)

142- Quais as matrizes incompletas e completas dos sistemas abaixo?

a)

253

0

12

cba

ca

cba

b)

542

13

02

2

tzyx

tzy

tyx

tzyx

143- Represente o sistema

523

2

yx

yx na sua forma matricial e, depois, resolva-o.

144- Resolva os sistemas a seguir utilizando a Regra de Cramer:

a)

652

443

yx

yx

b)

25

72

yx

yx

c)

1

323

yx

yx


50

d)

3233

932

22

zyx

zyx

zyx

e)

5

023

1

zyx

yx

zyx

f)

42

032

632

zyx

zyx

zyx

145- Escalone, e resolva se possvel, os sistemas:

a)

623

2

yx

yx

b)

25

72

yx

yx

c)

1

323

yx

yx

d)

423

26

yx

yx

146- (Fuvest-SP)

186

2354

1432

z

zy

zyx

, o valor de x igual a:


51

a) 27

b) 3

c) 0

d) -2

e) 1

147- A soluo do sistema

733

822

542

zyx

zyx

zyx

:

a) (-1, -2,2)

b) (-1, 2, -2)

c) (1,-2,-2)

d) (1, 2, -2)

e) (1,-2,2)

148- (FUVEST-SP) Dado o sistema linear abaixo:

1

83

74

zy

yx

zx

Calcule o valor de zyx .

149- A soma de dois nmeros inteiros 10 e a diferena entre eles 2. Quais so esses

nmeros?

150- (Faap-SP) Ache dois nmeros reais cuja soma 9 e cuja diferena 29.


52

151- Certa escola de ensino mdio tem 107 alunos nas 1 e 2 sries, 74 nas 2 e 3 sries e

91 nas 1 e 3 sries. Qual o total de alunos dessa escola?

152- (UEL-PR) Numa loja, os artigos A e B, juntos, custam R$ 70,00, dois artigos A mais um C

custam R$ 105,00 e a diferena de preo entre os artigos B e C, nessa ordem, R$ 5,00.

Qual o preo do artigo C?

153- Classifique os sistemas em impossvel, possvel e determinado ou possvel e

indeterminado:

a)

523

45

yx

yx

b)

9333

02

6

zyx

zyx

zyx

154- Determine o valor de a para que o sistema

93

155

ayx

yx seja possvel e determinado.

155- Determine o valor de k de modo que o sistema

kyx

yx

63

12 seja impossvel.


53

7. Trigonometria na circunferncia

Considere o ponto de origem do plano, e a partir dele uma medida denominada raio que mede

uma unidade, sendo assim com o movimento de rotao do raio pela origem temos a

circunferncia trigonomtrica.

7.1 Arcos e ngulos

Considere a circunferncia de centro O sobre a qual tomamos dois pontos distintos, A e B.

Ento, tomando um terceiro ponto M, distinto dos anteriores. A circunferncia fica dividida em

duas partes, cada uma das quais um arco de circunferncia:

Arco de circunferncia AMB, e

Arco de circunferncia AM'B.

A partir de agora consideraremos apenas os arcos orientados do ciclo trigonomtrico com

origem no ponto A=(1,0) , que so chamados arcos trigonomtricos. O ponto A=(1,0)

chamado origem dos arcos.

Os eixos x e y do sistema cartesiano dividem a circunferncia trigonomtrica em quatro

quadrantes, que so partes iguais, com angulao 90 cada uma. Assim, na figura acima, I Q

representa o primeiro quadrante, II Q o segundo quadrante e assim por diante.


54

7.2 Medidas de arcos e ngulos

Existem maneiras diferentes de se medir ngulos e arcos, nesse curso utilizaremos as mais

usuais, graus e radianos.

Grau

Graus a forma como usualmente medimos ngulos, esses tem medida igual a 1/360 da

circunferncia que contm o arco. Assim sendo uma circunferncia tem medida 360o

Radiano

O radiano (notao: rad) definido como a medida de um ngulo central subtendido por um

arco cujo comprimento igual ao raio da circunferncia que contm o arco. A circunferncia

toda contm 2 raios, o que significa que seu comprimento igual a 2r e que a medida dela

(correspondente ao arco de uma volta) de 2 rad.

7.3 Converso entre graus e radianos

Podemos relacionar determinados valores inicialmente em graus para radianos e vice-versa,

para isso utilizaremos procedimentos matemticos simples, sim a partir de uma regra de trs

simples podemos converter de graus para radianos e de radianos para graus, observe.

Para todos os efeitos, temos que 2 r tem o mesmo valor que 360o, assim sendo, temos

facilmente que: r = 180o, utilizaremos essa notao e nossas converses. Observe o

exemplo:

Exemplo

1. Converta 45o em radianos:

Soluo:

Considerando que as 180o equivale a rad, sabemos que 45

o tem um valor x rad

correspondente em radianos, assim sendo, podemos dizer:

180 1804

45 445

o

ox

x xx

Ento temos que 45o equivalem a

4 rad.

2. Converta

3 radianos em graus

Soluo:


55

Da mesma forma temos que r = 180o, ento podemos relacionar as medidas de

3

para x graus.

180180 3 180 180

. 601 3

3 3

o

xx xx

Ento, temos que

3 radianos equivalem a 60

o.

7.4 Comprimento da circunferncia

O clculo do comprimento da circunferncia (permetro) foi obtido da seguinte forma: como

todas as circunferncias so semelhantes entre si, ou seja, todas pertencem ao mesmo centro

foi concludo que a razo entre os comprimentos de qualquer circunferncia pelo seu

respectivo dimetro ser sempre uma mesma constante.

E essa constante foi provada pelo matemtico grego Arquimedes de Siracura que seria

aproximadamente 3,14, e como esse valor no era exato foi estipulado que poderia ser

representado pela letra do alfabeto grego , facilitando os clculos.

Sendo C o comprimento da circunferncia, temos: rC ..2 , onde r o raio da

circunferncia.

7.5 Congruncia de arcos

Dois arcos so considerados cngruos (ou congruentes) quando tm a mesma posio no

crculo trigonomtrico, diferindo-se apenas no nmero de voltas inteiras.

Ento, se um arco mede rad, a expresso geral dos arcos cngruos a ele dada por +

2k em que k Z. Na figura abaixo exibimos vrios arcos cngruos ao arco de 60 ou de /3

rad.

Como por exemplo, temos um arco de 60 (ou /3 rad)


56

E abaixo, seus cngruos:

Para identificar os valores representantes na primeira volta de um ngulo cngruo, basta

subtrair o valor de 360 quantas vezes forem necessrias, at que 0 360o

.

Exemplo

1. Encontre o representante cngruo de 1200.

Soluo:

Reduzindo uma volta: 1200 - 360 = 840

Como 840 > 360, podemos continuar reduzindo.

Reduzindo mais uma volta, temos: 840 - 360 = 480.

Repetindo o procedimento, temos: 480 - 360 = 120.

Como 0 120 360o o , temos que o representante cngruo a 1200 na primeira

volta do ciclo trigonomtrico 120.

Exerccios sobre trigonometria na circunferncia

156- Converta em radianos:


57

a) 30

b) 60

c) 120

d) 210

e) 225

f) 300

g) 315

h) 330

157- Converta em graus:

a) rad3

4

b) rad8

c) rad6

7

d) rad12

e) rad4

7

158- Expresse:

a) 12 para radianos

b) 75 para radianos

c) 5

para graus

d) 12

5 para graus

159- Um atleta percorre um tero de uma pista circular, correndo sobre a linha de uma

circunferncia. Determine a medida do arco percorrido em graus e radianos.


58

160- Calcule o comprimento das seguintes circunferncias:

a) Raio igual a 10 cm

b) Raio igual a 7,5cm

c) Dimetro igual a 18 cm

d) Dimetro igual a 21 cm

161- Ronycleisson d 8 voltas em torno de uma pista circular de dimetro 28 m. Qual a

distncia percorrida por Ronycleisson?

162- A bicicleta um veiculo com duas rodas presas a um quadro movido pelo esforo de um

ciclista por meio de pedais. Em alguns lugares ela bastante utilizada no dia a dia por ser

um meio de transporte barato, ecolgico e saudvel.

a) Se as rodas de uma bicicleta tiverem 60 cm de dimetro, qual a distncia, em metros,

que ela percorrer dando uma volta inteira?

b) Se a roda dianteira der 1600 voltas, quantos quilmetros a bicicleta percorrer?

163- Determine a que quadrante pertencem os seguintes arcos:

a) 1300

b) 440

c) -1640

d) 4

21

e) 7

8

f) 6

37

164- Quantas voltas completas d e em que quadrante pra um mvel que, partindo da

origem dos arcos, percorre, na circunferncia trigonomtrica, um arco de:


59

a) 1810?

b) 2350?

c) -1200?

d) rad8

17?

165- (UFGD-MS) Um dispositivo mecnico pode girar no sentido horrio e anti-horrio, e um

contador registra o ngulo, em graus, que mede o quanto o dispositivo girou em relao ao

ponto de partida. Se o contador marca um ngulo de 5000 negativos, o ngulo positivo

correspondente :

a) 32

b) 320

c) 13

d) 40

e) 328

7.6 Razes trigonomtricas

Conhecemos as definies de seno, cosseno e tangente para o tringulo retngulo, agora

iremos ampliar esses conceitos rea onde eles foram originalmente concebidos, o circulo

trigonomtrico, ou a circunferncia de raio unitrio.

Seno

No plano cartesiano consideremos uma circunferncia trigonomtrica, de centro em (0,0) e raio

unitrio. Seja M=(x',y') um ponto desta circunferncia, localizado no primeiro quadrante que

determina um arco AM correspondente ao ngulo central a. Chamamos de seno do ngulo a,

medida da projeo ortogonal de AM no eixo y, indicamos por sen(a).


60

O sinal dos senos ser positivo no primeiro e segundo quadrante, e negativo no terceiro e

quarto:

Cosseno

Considerando o mesmo sistema anterior, chamamos de cosseno do ngulo a, medida da

projeo ortogonal de AM no eixo x, indicamos por cos (a).

O sinal dos cossenos ser positivo no primeiro e quarto quadrante, e negativo no segundo e

terceiro:


61

Tangente

Seja a reta t tangente circunferncia trigonomtrica no ponto A=(1,0). Tal reta perpendicular

ao eixo OX. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferncia intersecta a reta

tangente t no ponto T=(1,t'). A ordenada deste ponto T, definida como a tangente do arco AM

correspondente ao ngulo a.

Quando o arco apresentado no segundo ou terceiro quadrantes, podemos represent-los no

primeiro ou quarto quadrante, dessa maneira, por exemplo, caso queiramos indicar a tangente

de um ngulo a no segundo quadrante, basta ver tg (a + 180), sendo que esses valores de

tangente so equivalentes. Assim como os valores de um ngulo a no terceiro quadrante, so

equivalentes aos valores da tangente no primeiro quadrante, nesse caso basta ver a tg (a -

180). Com isso podemos deduzir que o sinal da tangente ser positivo no primeiro e terceiro

quadrante, e negativo no segundo e quarto.

7.1 Funes trigonomtricas

Podemos associar nossos conhecimentos adquiridos recentemente com funes, no caso das

funes trigonomtricas, essas tm um grupo especfico de funes, as funes

trigonomtricas, que estudaremos de agora em diante.

Funo seno


62

Definio

Denominamos funo seno a funo f: , que a cada nmero real x, associa o seno desse

nmero: f: , f(x) = sen x

Domnio de f(x) = sen x; D(sen x) = .

Imagem de f(x) = sen x; Im (sen x) = [-1,1], pois o raio no crculo trigonomtrico mede 1.

Sinal da Funo

Assim como j vimos, referente ao sinal dos senos, o valor de sen(x) ser positivo no primeiro e

segundo quadrante, e negativo no terceiro e quarto, assim como em seus valores cngruos.

Grfico

Chamamos ao grfico da funo seno de senide, para sua construo podemos utilizar o

meio de construo atravs de pontos notveis e tabela.

Funo cosseno

Definio

Denominamos funo cosseno a funo f: , que a cada nmero real x, associa o cosseno

desse nmero: f: , f(x) = cos x.

Domnio de f(x) = cos x; D(cos x) =

Imagem de f(x) = cos x; Im (cos x) = [-1,1].

Sinal da Funo


63

O sinal de f(x) = Cos (x) ser positivo no primeiro e quarto quadrante, e negativo no segundo e

terceiro quadrantes.

Grfico

Chamamos ao grfico da funo cosseno de cossenide, para sua construo podemos utilizar

o meio de construo atravs de pontos notveis e tabela.

Funo tangente

Definio

Denominamos funo tangente a funo f: , que a cada nmero x associa a tangente

desse nmero: f: , f(x) = tg x.

Domnio de f(x) = tg x; D(tg x) = / x

Imagem de f(x) = tg x; Im (tg x) = .

Sinal da Funo

O sinal da funo tg (x) ser positivo no primeiro e terceiro quadrante, e negativo no segundo e

quarto.

Grfico


64

Chamamos o grfico da funo tangente de Tangentide, tambm podendo ser construdo

ponto a ponto.

Exerccios sobre seno, cosseno e tangente

166- Determine o valor do seno e do cosseno dos seguintes arcos:

a) 3

2

b) 240

c) 300

d) 135

e) 225

f) 150

g) 6

h) 2

7

i) 21

j) 2

29

167- Calcule o nmero

3

4cos

3

23

4

3

2cos

sen

sen

A .


65

168- Calcule o nmero

4

3

4

3cos

4

5cos

4

7

sen

sen

B

.

169- Calcule o valor da expresso xsen

xxsenA

3

8cos42

, para

2

x .

170- Calcule o valor de 2460cos330 sen .

171- (FEI-SP) Qual o valor da expresso )31.(cos2

7

seny ?

172- Determine o valor da expresso:

2

3

2

1510cos

sensenA .

173- O fenmeno da mar em determinado ponto da costa brasileira pode ser obtido pela

expresso:

4

5.

6cos.2

2

21)(

ttP , em que t o tempo decorrido aps o inicio da

operao )0( t , e P(t) a profundidade da gua no instante t. Qual a profundidade

aproximada da gua no inicio da operao?

174- Determine o valor de:

a) 900tg

b) 1500tg

c) 11tg

d) 150tg

e) 240tg

f) 300tg

g) 3

16tg


66

175- Ache o valor de 4

3510cos

tg .

176- Que nmero maior: 70tg ou 760tg ? Justifique sua resposta.

177- Simplifique a expresso:

24

.3 tgtgA .

178- Determine o valor numrico da expresso: 2

60

)15(

3cos)30(

xtg

xtg

xxsen, para

60x .

179- Construa a partir de senxy os grficos das funes indicadas abaixo. Escreva o

domnio e determine o conjunto imagem:

a) senxxf 2)(

b) senxxf 1)(

c) senxxf 1)(

d) senxxf )(

180- Construa o grfico da funo dada por 2

)(x

senxf , destacando o domnio, o conjunto

imagem e o perodo.

181- Construa a partir de xxf cos)( os grficos das funes indicadas abaixo. Escreva o

domnio e determine o conjunto imagem:

a) xxf cos1)(

b) xxf cos1)(

c) xxf cos)(

d) xxf cos2)(


67

182- Determine o perodo de cada uma das seguintes funes:

a) xseny 6

b) 3

xseny

c) xy 8cos

d) xy 6cos1

7.8 Outras razes trigonomtricas

Secante

Podemos calcular a secante de um arco atravs da relao: x

xcos

1sec .

Cossecante

Podemos calcular a cossecante de um arco atravs da relao senx

x1

seccos . .

Cotangente

Podemos calcular a cotangente de um arco atravs da relao tgx

gx1

cot .

Exerccios sobre outras razes trigonomtricas

183- Determine o valor da tangente e da cotangente dos seguintes arcos:

a) 0

b) 30


68

c) 3

d) 2

e) 2

f) 2

3

g) 4

7

h) 4

5

184- Determine o valor da secante e da cossecante dos seguintes arcos:

a) 0

b) 30

c) 45

d) 4

17

e) 120

f) 2

3

g) 150

h)

185- Calcule a cotangente, a secante e a cossecante dos seguintes arcos:

a) 4

b) 150

c) 270

d) 2

5

186- Calcule:


69

a) 45sec60sec

b) 45sec.230sec.3

c) 2

3seccos

4seccos.2

187- Obtenha o valor de:

a) )180(sec8)60(sec 3

b) 2

30seccos.360seccos3

7.9 Relaes trigonomtricas

Dentro da trigonometria, h algumas relaes que so fundamentais em problemas do

cotidiano. Veremos algumas dessas relaes:

No crculo trigonomtrico, o eixo horizontal representado pelo seno e o eixo vertical, pelo

cosseno. Ao determinarmos um ponto qualquer sobre a extremidade do crculo, temos sua

projeo no eixo dos senos e dos cossenos. Ao traarmos um segmento de reta do eixo das

origens do crculo at o ponto determinado, formamos um ngulo , como mostram os

esquemas a seguir:

Com base no tringulo retngulo formado, vamos aplicar os fundamentos do Teorema de

Pitgoras:


70

Logo temos 1cos22 sen .

H algumas outras relaes fundamentais que j conhecemos:

x

senxtgx

cos

senx

xgx

coscot

xx

cos

1sec

senxx

1seccos

H duas relaes trigonomtricas derivadas da relao fundamental que so importantes em

problemas do nosso cotidiano:

xtgx 22 1sec e xgx 22 cot1seccos .

Exemplo: Sabendo que 5

3senx e Qx 2 , calcular:

a) xcos

b) tgx

c) xsec

a)

5

4cos

25

16cos

25

91cos

1cos25

9

1cos5

3

1cos

2

2

2

2

2

22

x

x

x

x

x

xxsen


71

b) 4

3

5

45

3

cos

x

senxtgx

c) 4

5

5

4

1

cos

1sec

x

x

Exerccios sobre relaes fundamentais

188- Sabendo que 5

3senx e que Qx 1 , calcule:

a) xcos

b) tgx

c) gxcot

d) xsec

e) xseccos

189- Dado 5

4cos x e Qx 4 determine:

a) senx

b) tgx

c) gxcot

d) xsec

e) xseccos

190- Calcule o valor de tgx e xsec , sendo 2

1senx e Qx 3 .


72

191- Sabendo que 2

3cos x e Qx 2 , calcule:

a) xsec

b) gxcot

192- Dado 4sec x calcule o valor de xcos .

193- Sabendo que 2seccos x calcule o valor de senx .


73

Questes de Vestibulares

Questo 1

(Cefet-SP) Considerando que a seqncia numrica (95, 79, 63, ..., x) tem soma dos

termos igual a 2 425, x igual a:

a) 113

b) 225

c) 289

d) 321

e) 385

Questo 2

(ESPM-SP) A soma de todos os nmeros naturais de 2 algarismos distintos igual a:

a) 4 905

b) 4 540

c) 4 410

d) 4 210

e) 4 090

Questo 3


74

(ESPM-SP) De 1995 a 2004, a populao de uma cidade vem aumentando anualmente em

progresso aritmtica. Em 2004 constatou-se que o nmero de habitantes era 8% maior que no

ano anterior. Pode-se concluir que, de 1995 a 2004, a populao dessa cidade aumentou em:

a) 80%

b) 100%

c) 160%

d) 180%

e) 200%

Questo 4

(ESPM-SP) Se os nmeros inteiros estritamente positivos forem escritos obedecendo

seqncia abaixo, o nmero 300 estar na:

a) 15. linha e 13. coluna.

b) 13. linha e 17. coluna.

c) 11. linha e 18. coluna.

d) 14. linha e 15. coluna.

e) 13. linha e 16. coluna.


75

Questo 5

(Fatec-SP) Sendo n o oitavo elemento da seqncia (1, 2, 6, 24, 120, ...), correto afirmar que:

a) 0 < n < 12 000

b) 12 000 < n < 24 000

c) 24 000 < n < 36 000

d) 36 000 < n < 48 000

e) 48 000 < n < 60 000

Questo 6

(FGV-RJ) Considere a seqncia cujo termo geral an = (1)n (2 + 3n), onde n = 1, 2, 3, .

a) Escreva os seis primeiros termos dessa seqncia.

b) Calcule a soma dos 2 007 primeiros termos dessa seqncia.

Questo 7

(FGV-SP) A figura indica infinitos tringulos issceles, cujas bases medem, em centmetros, 8,

4, 2, 1, ... .


76

Sabendo que a soma da rea dos infinitos tringulos hachurados na figura igual a 51, pode-

se afirmar que a rea do retngulo de lados h e d igual a:

a) 68

b) 102

c) 136

d) 153

e) 192

Questo 8

(Fuvest-SP)

a) Quantos mltiplos de 9 h entre 100 e 1 000?

b) Quantos mltiplos de 9 ou 15 h entre 100 e 1 000?

Questo 9

(Fuvest-SP) Em uma progresso aritmtica a1, a2, ..., an, ... a soma dos n primeiros termos

dada por Sn = bn2 + n, sendo b um nmero real. Sabendo-se que a3 = 7, determine:


77

a) o valor de b e a razo da progresso aritmtica;

b) o 20.o termo da progresso;

c) a soma dos 20 primeiros termos da progresso.

Questo 10

(Fuvest-SP) Sabe-se sobre a progresso geomtrica a1, a2, a3, ... que

a1 > 0 e a6 = 9 . Alm disso, a progresso geomtrica a1, a5, a9, ... tem razo igual a 9.

Nessas condies, o produto a2 a7 vale:

a) 27

b) 3

c)

d) 3

e) 27

Questo 11

(Fuvest-SP) Trs nmeros positivos, cuja soma 30, esto em progresso aritmtica.

Somando-se, respectivamente, 4, 4 e 9 aos primeiro, segundo e terceiro termos dessa

progresso aritmtica, obtemos trs nmeros em progresso geomtrica. Ento, um dos

termos da progresso aritmtica :

a) 9

b) 11


78

c) 12

d) 13

e) 15

Questo 12

(Fuvest-SP) Uma progresso aritmtica e uma progresso geomtrica tm, ambas, o primeiro

termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos so estritamente positivos e coincidem.

Sabe-se ainda que o segundo termo da progresso aritmtica excede o segundo termo da

progresso geomtrica em 2. Ento, o terceiro termo das progresses :

a) 10

b) 12

c) 14

d) 16

e) 18

Questo 13

(PUC-MG) De 1996 a 2005, a populao de certa cidade aumentou anualmente em progresso

aritmtica. Em 2005, constatou-se que o nmero de habitantes dessa cidade era 5% maior do

que no ano anterior. Com base nessas informaes, pode-se concluir que, de 1996 a 2005, a

populao dessa cidade aumentou em:

a) 45%

b) 60%

c) 75%

d) 90%


79

Questo 14

(PUC-MG) O tempo destinado propaganda eleitoral gratuita dividido entre trs coligaes

partidrias em partes diretamente proporcionais aos termos da progresso aritmtica: t, t + 6,

t2. Nessas condies, de cada hora de propaganda eleitoral gratuita, a coligao partidria

qual couber a maior parte do tempo t, medido em minutos, ficar com:

a) 26 min

b) 28 min

c) 30 min

d) 32 min

Questo 15

(UEL-PR) A mdia aritmtica dos nmeros a e b (a + b)/2 e a mdia geomtrica de a e b

ab. Dois nmeros tm mdia aritmtica 4,1 e mdia geomtrica 4. A alternativa correta que

apresenta o maior deles :

a) 1

b) 4

c) 2

d) 8,2

e) 5


80

Questo 16

(UFMT-MT) Admita que a populao humana mundial cresa, em progresso geomtrica, 1%

ao ano, e a produo de alimentos para essa populao cresa, em progresso aritmtica,

tambm 1% ao ano. Admita ainda que a quantidade de alimentos produzidos em 2007 seja

suficiente, sem sobras, para toda essa populao. Mantidos esses percentuais de crescimento,

quando a populao humana dobrar, que percentual mximo dessa populao poder ser

alimentado?

Considere:

log2 = 0,3

log1,01 = 0,004

a) 87,5%

b) 50%

c) 100%

d) 77,5%

e) 90%

Questo 17

(Unesp-SP) Em 05 de junho de 2004, foi inaugurada uma pizzaria que s abre aos sbados.

No dia da inaugurao, a pizzaria recebeu 40 fregueses. A partir da, o nmero de fregueses

que passaram a freqentar a pizzaria cresceu em progresso aritmtica de razo 6, at que

atingiu a cota mxima de 136 pessoas, a qual tem se mantido. O nmero de sbados que se

passaram, excluindo-se o sbado de inaugurao, para que a cota mxima de fregueses fosse

atingida pela primeira vez, foi:

a) 15

b) 16

c) 17

d) 18


81

e) 26

Questo 18

(Unicamp-SP) A Anatel determina que as emissoras de rdio FM utilizem as freqncias de

87,9 a 107,9 MHz, e que haja uma diferena de 0,2 MHz entre as emissoras com freqncias

vizinhas. A cada emissora, identificada por sua freqncia, associado um canal, que um

nmero natural que comea em 200. Desta forma, emissora cuja freqncia de 87,9 MHz

corresponde o canal 200; seguinte, cuja freqncia de 88,1 MHz, corresponde o canal 201,

e assim por diante. Pergunta-se:

a) Quantas emissoras FM podem funcionar (na mesma regio), respeitando-se o intervalo de

freqncias permitido pela Anatel? Qual o nmero do canal com maior freqncia?

b) Os canais 200 e 285 so reservados para uso exclusivo das rdios comunitrias. Qual a

freqncia do canal 285, supondo que todas as freqncias possveis so utilizadas?

Questo 19

Sabendo que o primeiro termo de uma PG positivo, o quarto termo 192 e o segundo termo

12, calcule o primeiro e o stimo termo.

Questo 20


82

Uma empresa deve instalar telefones de emergncia a cada 42 quilmetros, ao longo da

rodovia de 2 184 km, que liga Macei ao Rio de Janeiro. Considere que o primeiro desses

telefones instalado no quilmetro 42, e o ltimo, no quilmetro 2 142. Assim, a quantidade de

telefones instalados igual a:

a) 50

b) 51

c) 52

d) 53

Questo 21

(ESPM-SP) Considere o determinante D = e o determinante D que se obtm

substituindo-se cada elemento de D pela soma dos outros trs. Se D = D, podemos afirmar

que:

a) x = 4 ou x = 6

b) x = 2 ou x = 4

c) x = 6 ou x = 4

d) x = 1 ou x = 5

e) x = 4 ou x = 2

Questo 22

(FGV-SP) A e B so matrizes e At a matriz transposta de A.

Se e , ento a matriz At B ser nula para:


83

a) x + y = 3

b) x y = 2

c) = 4

d) x y2 = 1

e) = 8

Questo 23

(FGV-SP) A uma matriz quadrada de ordem 2 e det (A) = 7. Nessas condies, det (3A) e det

(A1

) valem respectivamente:

a) 7 e 7

b) 21 e 1/7

c) 21 e 7

d) 63 e 7

e) 63 e 1/7

Questo 24

(FGV-SP) Considere as matrizes e .

Se o determinante da matriz A igual a 2, ento o determinante da matriz B igual a:


84

Questo 25

(FGV-SP) O sistema linear admite soluo no trivial, se:

a) = 2

b) 2

c) = 2

d) 2

e) R, sendo R o conjunto dos nmeros reais

Questo 26

(FGV-SP) O sistema linear abaixo:


85

a) impossvel

b) admite apenas uma soluo

c) admite apenas duas solues

d) admite apenas trs solues

e) admite infinitas solues

Questo 27

(FGV-SP) Se o sistema linear

for resolvido pela regra de Cramer, o valor de x ser dado por uma frao cujo denominador

vale:

a) 41

b) 179

c) 179

d) 9

e) 9

Questo 28


86

(Fuvest-SP) Diz-se que a matriz quadrada A tem posto 1 se uma de suas linhas no nula e

as outras so mltiplas dessa linha. Determine os valores de a, b e c para os quais a matriz

3x3.

tem posto 1.

Questo 29

(Fuvest-SP) O sistema , onde c 0 admite uma soluo (x, y) com x = 1.

Ento, o valor de c :

a) 3

b) 2

c) 1

d) 1

e) 2

Questo 30


87

(Fuvest-SP) Se as matrizes A = e B = so tais que AB = BA, pode-se afirmar

que:

a) A inversvel

b) detA = 0

c) b = 0

d) c = 0

e) a = d = 1

Questo 31

(ITA-SP) Considere as afirmaes dadas a seguir, em que A uma matriz quadrada n x n, n

2:

I. O determinante de A nulo se, e somente se, A possui uma linha ou uma coluna nula.

II. Se A = (aij) tal que aij = 0 para i > j, com i, j = 1, 2, ..., n, ento detA = a11a22...ann.

III. Se B for obtida de A, multiplicando-se a primeira coluna por + 1 e a segunda por

1, mantendo-se inalteradas as demais colunas, ento detB = detA.

Ento, podemos afirmar que (so) verdadeira(s):

a) apenas II

b) apenas III

c) apenas I e II

d) apenas II e III

e) todas

Questo 32


88

(ITA-SP) Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo de 3 sanduches, 7 xcaras de caf e 1

pedao de torta totalizou R$ 31,50. Em outra mesa, o consumo de 4 sanduches, 10 xcaras de

caf e 1 pedao de torta totalizou R$ 42,00. Ento, o consumo de 1 sanduche, 1 xcara de

caf e 1 pedao de torta totaliza o valor de:

a) R$ 17,50

b) R$ 16,50

c) R$ 12,50

d) R$ 10,50

e) R$ 9,50

Questo 33

(ITA-SP) O sistema linear no admite soluo se, e somente se, o nmero real b

for igual a:

a) 1

b) 0

c) 1

d) 2

e) 2

Questo 34


89

(ITA-SP) Seja x R e a matriz A = . Assinale a opo correta.

a) x R, A possui inversa.

b) Apenas para x > 0, A possui inversa.

c) So apenas dois os valores de x para os quais A possui inversa.

d) No existe valor de x para o qual A possui inversa.

e) Para x = log25, A no possui inversa.

Questo 35

(PUC-RS) Sendo A = , B = e C = A x B, o elemento c33 da matriz C

:

a) 9

b) 0

c) 4

d) 8

e) 12

Questo 36


90

(UEM-PR) Considere o sistema de equaes lineares .

Se z = a, em que a um nmero real qualquer, pode-se afirmar que:

a) x = 1.

b) y = a 3.

c) x = a 3.

d) x + y = a + 4.

e) z = x y.

Questo 37

(UFG-GO) Deseja-se pintar duas fileiras de cinco quadrados num muro retangular de 5 metros

de comprimento por 2,2 metros de altura, conforme a figura abaixo.

Os lados dos quadrados sero paralelos s laterais do muro e as distncias entre os

quadrados e entre cada quadrado e a borda do muro sero todas iguais. Nessas condies, a

medida do lado de cada quadrado, em metros, ser:

a) 0,52

b) 0,60

c) 0,64

d) 0,72

e) 0,80


91

Questo 38

(UFSCar-SP) Seja A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 3 tal que com

p inteiro positivo. Em tais condies, correto afirmar que, necessariamente

2 Ano Matematica

Documents

Transcript of 2 Ano Matematica