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Superfícies

GET 003 – Geometria Analítica e Álgebra Linear

Prof. Kátia Dionísio de Oliveira - FAMAT / UFU

Maio - 2012

SUMÁRIO

Superfícies:

• Quadráticas

• Cônicas

• Cilíndricas

• Esféricas

• De Rotação

Introdução

sr

0

α As retas s e r são concorrentes no eixo 0 e não

perpendiculares. Se a reta s e o ângulo α são

mantidos constantes, e a giramos a reta r 360 então

temos:

Geratriz da Superfície

Eixo da Superfície

Superfície Cônica Infinita

Seções Cônicas

Circunferência

“Quando o plano π secciona em posição

oblíquo ao eixo s da superfície, pegando

apenas uma das extremidades”

“Quando o plano π que secciona a

superfície é perpendicular ao seu eixo (s)”

Elipse

Seções Cônicas

Parábola

“Quando o plano π secciona em sentido

paralelo ao eixo r da superfície”

“Quando o plano π secciona em sentido

paralelo à geratriz s da superfície”

Hipérbole

Superfícies Quadráticas: Introdução

Nesta parte da matéria estudaremos as superfícies que podem ser

representadas por equações do tipo:

2 2 2 2 2 2 0

, , , , 0

ax by cz dxy exz fyz mx ny pz q I

a b c d e ou f

e representam uma superfície quadrática. Por sua vez se esta superfície

for seccionada por um plano π, já vimos que a curva de interseção

formará uma cônica. E a interseção da superfície com um plano é

denominada de traço na superfície no plano.


Exemplo: se temos um plano e a coordenada z é 0, então a cônica

formada é representada pela seguinte equação:

“Por outro lado se as coordenadas forem alteradas por movimentos de

rotação ou translação da superfície, a equação I pode ser reescrita da

seguinte maneira”:

2 2 2 0

, , , , 0 0

ax by dxy mx ny q

a b d m n plano x z


“O objetivo é esboçar um gráfico a partir do conhecimento das equações

quadráticas:

Quadráticas Centradas

Quadráticas Não Centradas

2 2

2 2

2 2

0

0 ( )

0

Ax By Rz

Ax Ry Cz III

Rx By CzQuadráticas Não Centradas

2 2 2 ( )Ax By Cz D II Quadrática Centrada

Superfícies Quadráticas Centradas: Introdução

2 2 2 ( )Ax By Cz D II “Se nenhum dos coeficientes da equação

II for 0, então a equação ao lado poderá

ser reescrita da seguinte maneira:”

2 2 2

2 2 21 ( )

x y zIV

a b cForma Canônica ou Padrão

de Superfície Quadrática

“Neste caso, somente existem apenas três tipos de combinações de sinais

nesta equação o que permitem concluir apenas existência de três

superfícies. Por outro lado, se todos os coeficientes fossem negativos, não

haveria lugar geométrico”.

Superfícies Quadráticas Centradas: Elipsóide

2 2 2

2 2 21 ( )

x y zV

a b c

Equação representativa de

uma Elipsóide

,a b e c são os semi eixos

2 2

2 21 , 0

x yz

a b

Se o traço no plano x0y, então a elipse

formada é representada pela equação:

Se o traço no plano x0z e y0z , então a elipse

formada é representada pelas equações

respectivamente:

2 2 2 2

2 2 2 21 , 0 1 , 0

x z y zy x

a c b c

Elipsóide de Revolução

2 2 2

2 2 21 ( )

x y zV

a b c

Equações da Elipsóide de Revolução

2 2

2 2

, :

1

se a c então

y z

b c

2 2

2 2

, :

1

se a b então

x z

a c

Exemplo: se temos uma elipsóide representada pela seguinte equação:


2 2 2

14 16 4

x y z

Então a elipsóide de revolução é

representada pela equação:

2 2

1 , 016 4

y zx

em torno do eixo y.


2 2

1 , 04 4

x zy

O traço do plano x0z é a circunferência representada pela equação:

2 2 2 2

, :Se a b c então

x y z a

Então o lugar geométrico

representa uma superfície esférica

de centro (0, 0, 0) raio a

Se o centro da elipsóide é

representado pela coordenada (h, k, l)

e seus eixos forem paralelos ao eixo

das coordenadas, então:

2 2 2

2 2 21

x h y k z l

a b c

2 2 2 2x h y k z l a

Superfícies Quadráticas Centradas:

Hiperbolóide de uma Folha

2 2 2

2 2 21 ( )

x y zVI

a b c


uma Hiperbolóide de 1 Folha

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c


Hiperbolóide de uma Folha

2 2

2 21 , 0

x yz

a b

Se o traço no plano x0y, é a elipse

representada pela equação:

2 2

2 21 , 0

x zy

a c

Se o traço no plano x0z, e y0z são as hipérboles representadas pelas

respectivas equações:

2 2

2 21 , 0

y zx

b c

Hiperbolóide de Revolução


2 2 2

2 2 21 ( )

x y zVI

a b c

2 2

2 2, : 1 , 0

x yse a b então z

a b

2 2 2: , 0ou x y a z


Hiperbolóide de duas Folhas

2 2 2

2 2 21 ( )

x y zVII

a b c


uma Hiperbolóide de 2 Folhas

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c


Hiperbolóide de duas Folhas

2 2

2 21 , 0

y xz

b a

Se o traço no plano x0y e y0z, é a elipse representada pelas respectivas

equações:

2 2

2 21 , 0

y zx

b c

Hiperbolóide de Duas Folhas de Revolução


2 2 2

2 2 2, : 1 ,

x y zse a c então y k

a b c

2 2 2

2 2 21 ( )

x y zVII

a b c

2 2 2

2 2 2: 1,

x z kou y k

a c b

Superfícies Quadráticas Não Centradas: Introdução

“Se nenhum dos coeficientes da

equação III for 0, então a equação

ao lado poderá ser reescrita da

seguinte maneira:”

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2; ; ( )

x y x z y zcz by ax VIII

a b a c b c

“Neste caso, somente existem apenas 2 tipos de combinações de sinais

nesta equação o que permitem concluir apenas existência de dois

superfícies”.

2 2

2 2

2 2

0

0 ( )

0

Ax By Rz

Ax Ry Cz III

Rx By Cz

Superfícies Quadráticas Não Centradas:

Parabolóide Elíptica

“Se na equação anterior dois coeficientes tiverem sinais iguais então a

equação abaixo:”

2 2

2 2

x ycz

a b


uma Parabolóide Elíptica

2

2, 0

xcz y

a

2

2, 0

ycz x

b

Se o traço do plano x0y é a origem (0, 0, 0) e

os traços nos planos x0z e y0y são as

parábolas representadas pelas equações

abaixo, respectivamente:


Parabolóide Elíptica e Hiperbólico

Se na equação , a=b, então a parabolóide é de

revolução e pode ser gerado pela rotação da parábola representada

pela equação abaixo:

2 2

2 2

x ycz

a b

2

2, 0

ycz x

b2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2; ; ( )

x y x z y zcz by ax VIII

a b a c b c

Se na equação

Tiverem sinais contrários então caracteriza-se uma equação

PARABOLÓIDE HIPERBÓLICA 2 2

2 2

x ycz

a b


Parabolóide Hiperbólico

2 2 2 2

2 2 2 2

z x z yby ax

c a c b

As equações abaixo representam 0y e 0x, respectivamente as

parábolas representadas pelas equações abaixo, respectivamente:

Exercícios (2,0 pontos em dupla)

2 2 24 25 100x y z

1) Faça um esboço do gráfico da seguinte equação e dê nome a

superfície:

2 2 24 25 100x y z


superfície:

2 23 12 16y z x


superfície:

2 23 12 16y x z


superfície:

Superfícies Cilíndricas

Definição: Dado um subconjunto S

contido em tal que reúne retas paralelas

a uma reta W não situada no plano da

curva. Este subconjunto pode ser

considerado uma superfície cilíndrica se

existir uma curva C pela qual as retas

paralelas de S passem. Neste contexto,

C é diretriz de S , cujas retas paralelas

são chamadas de geratrizes da

superfície cilíndrica.

¡ 3,WS

C


Exemplo: Um cilindro quadrático pode ser definido como um conjunto

de pontos do espaço, cujas coordenadas satisfaçam a seguinte equação:

( , ) 0f x y

em que a equação acima representa uma cônica no plano XY. Por outro

lado se fixarmos, um sistema de coordenadas e supondo que:

( , , ) 0:

( , , ) 0

, , 0

f x y zC é definido por

g x y z

v m n p é um vetor diretor da reta W


Então, se somente se de modo

que:

P S Q C eÎ l Î ¡

PQ v

W

Logo:

x X m

y Y n

z Z p

( , , ) , ,x X y Y z Z m n p


( , , ) 0:

( , , ) 0

f x y zC é definido por

g x y z

Se pudéssemos eliminar λ, chegaríamos a um equação do tipo:

( , , ) 0

( , , ) 0

f X m Y n Z p

g X m Y n Z p

Como:

( , , ) 0

( , , ) 0

f x y z

g x y z

Ou seja, existe um valor de λ que satisfaz o sistema descrito anteriormente

Exercícios (3,0 pontos em dupla)

2 2 2 4:

0

x y zC

z

1) Ache uma equação da superfície cilíndrica de diretriz :

cujas as geratrizes são paralelas à reta W:

1

2

x

y

z

2 2 2 1x y z

2) Ache uma equação da superfície cilíndrica de geratrizes paralelas ao

vetor e circunscrita à superfície esférica:2, 1,1v

3) Verifique que uma relação do tipo F(x,y) = 0 é equação de uma

superfície cilíndrica S de diretriz:

( , ) 0:

0

F x yC

z

e geratrizes paralelas a Oz. Represente

no plano Oxy os pontos (x, y, 0) tais que

F(x,y) = 0 e trace as retas que passam

por eles e são paralelas a Oz. A

superfície S é a reunião dessas retas.

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