2007_09_24_Apostila_Logica_Pacher

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Teoria e Exerccios

Raciocnio Lgico

Prof. Pacher

Data de impresso: 13/09/2007

Tcnico Judicrio

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Prof. Pacher Raciocnio Lgico

Atualizada 13/09/2007 Neste curso os melhores alunos esto sendo preparados pelos melhores Professores

1

LGICA

1. PROPOSIO

CONCEITO DE PROPOSIO Uma proposio toda a orao que pode ser classificada como verdadeira ou falsa, no ambas.

Por exemplo: 2 um nmero primo.

Resposta: uma proposio verdadeira Bueno Aires a capital do Brasil.

Resposta: uma proposio falsa. 1.1. LEIS DO PENSAMENTO Na estrutura correta do pensamento, necessrio obedecer as seguintes leis: I) Princpio da identidade. Se qualquer proposio verdadeira, ento ela verdadeira. II) Princpio da no-contradio. Nenhuma proposio pode ser verdadeira e falsa. III) Princpio do terceiro excludo. Uma proposio ou verdadeira ou falsa. 1.2. CARACTERSTICA DE UMA PROPOSIO I) uma orao, com sujeito e predicado.

II)

uma orao declarativa. Todos gostam de matemtica. 2+3=5 Os gansos so brancos. O quadrado tem duas diagonais. Hoje sbado.

III)

No so proposies, as oraes, exclamativas, interrogativas e imperativas.

Psiu! Que preguia! Quanto falta para as onze horas? Eu vou s se

Desa. Independncia ou morte!

IV) Tem uma e somente um dos valores lgicos, ou verdadeira (V), ou falsa (F), no ambas

2. NMERO DE LINHA DE UMA TABELA VERDADE

O nmero de linhas de uma tabela verdade calculado pela potncia 2n, onde a base 2 uma constante que indica os dois valores lgicos verdadeiro (V) e falso (F) e, o expoente n igual ao nmero de proposies simples que esto envolvidas no caso em anlise.

Segue a seqncia, passo a passo, para a construo de uma tabela verdade organizada. I) Organize as letras que identificam as proposies simples na ordem crescente do alfabeto, p.ex., em p, q, r, s, ..., a distribuio ficar assim: na 1 coluna p, na 2 coluna q, na 3 coluna r, na 4 coluna s, e assim por diante.Se a identificao das proposies feita por p1, p2, p3, ...e pn, a distribuio obedecer ordem crescente do ndice, assim: 1 coluna para p1, 2 coluna para p2, 3 coluna para p3, ..., n-sina coluna para pn. II) Cada coluna ser preenchida primeiro por agrupamentos de valores lgicos V e em seguida por agrupamento de valores lgicos F , e assim por diante alternadamente at preenche totalmente a coluna. O nmero de valores lgicos para cada agrupamento, obtido pela potncia 2n-c, onde n o nmero de proposies simples usadas e c igual ao nmero que expressa a ordem da coluna. Veja exemplos nos itens que seguem. A distribuio dos valores lgicos verdadeiro (V) e falso (F), nas linhas de uma tabela verdade, obedece certa ordem que facilita a montagem, fica organizada e possibilita boa comunicao.

2.1. SE FOR UMA PROPOSIO SIMPLES p

I) Clculo do nmero de linhas. p uma proposio simples, logo, n = 1, substituindo em 2n, a tabela ter 21 = 2 linhas. II) Clculo do agrupamento para a primeira coluna. Coluna um, c = 1, substituindo em 2 n-c, teremos nesta coluna, 2 1-1 = 2 0 = 1 valor lgico por agrupamento [V] e [F], distribudos na coluna um, alternadamente.

p V

F

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2

2.2. SE FOR DUAS PROPOSIES SIMPLES p e q

I) Clculo do nmero de linhas. p e q so duas proposies simples, logo, n = 2. Substituindo em 2n, a tabela ter 22 = 4 linhas. II) Clculo do agrupamento para a primeira coluna. Coluna um, c = 1, substituindo em 2n-c, teremos nesta coluna, 22-1 = 21 =2 valores lgicos de mesma natureza por agrupamento [VV] e [FF], distribudos na coluna um, alternadamente. III) Clculo do agrupamento para a segunda coluna. Coluna dois, c = 2, substituindo em 2n-c, teremos nesta coluna, 22-2 = 20 =1 valor lgico em cada agrupamento [V] e [F], distribudos alternadamente na coluna dois.

p q V V

V F

F V

F F

2.3. SE FOR TRS PROPOSIES SIMPLES p , q e r

I) Clculo do nmero de linhas. p , q e r so trs proposies simples, logo, n=3. Substituindo em 2n, a tabela ter 23 = 8 linhas. II) Clculo do agrupamento para a primeira coluna. Coluna um, c=1, substituindo em 2n-c, teremos nesta coluna, 23-1 = 22 =4 valores lgicos de mesma natureza por agrupamento [VVVV] e [FFFF], distribudos alternadamente na coluna um. III) Clculo do agrupamento para a segunda coluna. Coluna um, c=2, substituindo em 2n-c, teremos nesta coluna, 23-2 = 21 = 2 valores lgicos de mesma natureza por agrupamento [VV] e [FF], distribudos alternadamente na coluna dois. IV) Clculo do agrupamento para a terceira coluna. Coluna dois, c = 3, substituindo em 2n-c, teremos nesta coluna, 23-3 = 20 = 1 valor lgico em cada agrupamento [V] e [F], distribudos alternadamente na coluna trs.

Por exemplo: A tabela que segue mostra o clculo para determinao do nmero de linhas, com at 4 proposies simples:

TESTES RESOLVIDOS

01. (CESPE-BB) Na lista de frases apresentadas a seguir, h exatamente trs proposies. A frase dentro destas aspas uma mentira.

A expresso X + Y positiva. O valor de 4 +3=7. Pel marcou dez gols para a seleo brasileira. O que isto?

RESOLUO A frase dentro destas aspas uma mentira.

uma sentena aberta. Nada podemos afirmar, no conhecemos o contedo da frase. No uma proposio. A expresso X + Y positiva.

uma sentena aberta. Nada podemos afirmar, no conhecemos os valores de X e de Y. No uma proposio.

p q r V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Proposies. Nmero n de proposies simples. Nmero de linhas de linhas da tabela, 2n.

n 2n 01. p 1 2 = 2 02. p, q 2 2 = 4 03. p, q, r 3 2 = 8 04. p, q, r, s 4 24 =16

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3

O valor de 4 +3=7.

uma proposio. Pode ser julgada em verdadeira ou falsa.

Pel marcou dez gols para a seleo brasileira.

uma proposio. Pode ser julgada em verdadeira ou falsa.

O que isto?

Numa interrogao no possvel julgar como verdadeira ou falsa. No uma proposio. H somente duas proposies.

Resposta: A afirmativa do enunciado est ERRADA

02. (FCC-ICMS-SP) Das cinco frases abaixo, quatro delas tm uma mesma caracterstica lgica em comum, enquanto uma delas no tem essa caracterstica. I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocnio lgico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia. A frase que no possui essa caracterstica comum a a) I. b) II. c) III. d)) IV. e) V. RESOLUO E COMENTRIOS Vamos agora analisar as oraes apresentadas no enunciado.

I) Que belo dia! uma sentena que no podemos atribuir qualquer um dos valores lgicos V ou F . II) Um excelente livro de lgica. uma sentena que no podemos atribuir qualquer um dos valores lgicos V ou F . III) O jogo terminou empatado? uma sentena que no podemos atribuir qualquer um dos valores lgicos V ou F . IV) Existe vida em outros planetas do universo. uma sentena que PODEMOS atribuir qualquer um dos valores lgicos V ou F . V) Escreva uma poesia. uma sentena que no podemos atribuir quaisquer um dos valores lgicos V ou F . Resposta: alternativa D

EXERCCIOS E TESTES

01. (FCC-ICMS-SP) Das cinco frases abaixo, quatro delas tm uma mesma caracterstica lgica em comum, enquanto uma delas no tem essa caracterstica. I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocnio lgico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia. A frase que no possui essa caracterstica comum a a) I. b) II. c) III. d))IV. e) V.

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02. Sabe-se que uma proposio composta pode ser formada por duas ou mais proposies simples. Determine o nmero de linhas da tabela verdade para uma proposio composta com trs proposies simples.

03. Sabe-se que uma proposio composta pode ser formada por duas ou mais proposies simples. Determine o nmero de linhas da tabela verdade para uma proposio composta com dez proposies simples.

04. Sabe-se que uma proposio composta pode ser formada por duas ou mais proposies simples. Determine o nmero de linhas da tabela verdade para uma proposio composta com n proposies simples.

05. Uma tabela-verdade completa formada por 16 linhas. A proposio composta P referente tabela-verdade mencionada tem x proposies simples. Determine o nmero x de proposies simples de P .

06. (CESPE-BB) Na lista de frases apresentadas a seguir, h exatamente trs proposies. A frase dentro destas aspas uma mentira.

A expresso X + Y positiva. O valor de 4 +3=7. Pel marcou dez gols para a seleo brasileira. O que isto?

07.(CESPE-BB) H duas proposies no seguinte conjunto de sentenas: (I) O BB foi criado em 1980. (II) Faa seu trabalho corretamente. (III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.

RESPOSTAS 01 D 02 8 03 1024 04 2n 05 4 06 Errada 07 Correta

3. NEGAO ( ) ou ( )

Toda a proposio declarativa pode ser negada. O smbolo de negao ou . 3.1. SIMBOLICAMENTE A negao de p representada por p; ( l-se: no p). 3.2. TABELA

p p V F F V

3.3. E MAIS Se p uma proposio declarativa, ento, podemos ter:

I) p verdadeira (V), somente se,

p falsa (F). II) p falsa (F), somente se, p verdadeira (V). III) Dupla negao: p =

p. (l-se: no, no p)

3.4. RESUMINDO A proposio p tem sempre o valor lgico oposto de p.

3.5. OS SMBOLOS DA LINGUAGEM DO CLCULO PROPOSICIONAL

VARIVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minsculas p,q,r,s,.... para indicar as proposies (frmulas atmicas) . Por exemplo: p: Bueno Aires a capital do Brasil., ser negada por: Bueno Aires NO a capital do Brasil.: p N.B.: Se p uma proposio verdadeira, p ser uma proposio falsa, e vice-versa.

SMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ] , parnteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de prioridades para os operadores lgicos. Por exemplo:

p: Bueno Aires NO a capital do Brasil, a negao, ser negada por: NO verdade que, Bueno Aires NO a capital do Brasil:

(

p). Temos que,

(

p) = p, logo, dizer que, NO verdade que, Bueno Aires NO a capital do Brasil.: ( p), o mesmo que dizer: p: Bueno Aires a capital do Brasil.

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3.6. VARIAES NO ESTILO DE LINGUAGEM

3.7. AFIRMAO E NEGAO NOS CONJUNTOS DOS NMEROS REAIS Sejam: x , y R

Afirmao Negao

e vice - versa

Negao Afirmao

1 x = y x y 2 x y x y 3 x y x y 4 x y x y 5 x y x y

Por exemplo: Da figura a seguir, Temos: p: x < 3 (parte do intervalo I ), ser negada por: p: x 3 ( parte do intervalo II ). A afirmao o complemento da negao e, vice versa.

Por exemplo: Da figura a seguir, Temos: p: x 3 (parte do intervalo I ), ser negada por: p: x > 3 (parte do intervalo II ). A afirmao o complemento da negao e, vice versa.

EXERCCIOS E TESTES

Negue as proposies abaixo:

01. p: 7 3

02. p: 2 primo

03. p: A lua um satlite da terra.

Negue as proposies, representando-as simbolicamente:

04. p: Pedro no foi festa.

05. q: No fato que as baleias sejam peixes. 06. r: No se d que haja prisioneiros. 07. s: No verdade que 2+2=5

NEGAO DE p

Algumas expresses usuais na linguagem corrente No p

No se d que p No fato que p

No verdade que p

p ou

p No se tem p

3 x um

nmero real

x 3 x >3

Intervalo I

Intervalo II

3

x um

nmero real

x 3 x 3

Intervalo I

Intervalo II

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Negar as afirmaes:

08. 3x .

09. 5x

10. 0x

11. 3 7x

RESPOSTAS 01 ~p: 7 = 3 07 ~ s 02 ~p: 2 no primo. 08 x < 3 03 ~p: A lua no um satlite da terra. 09 x = 5 04 ~ p 10 0x

05 ~ q 11 x-3 = 7 06 ~ r

4. CONJUNO p q

Duas proposies quaisquer p e q, podem ser combinadas pelo conectivo e formando uma proposio composta. A esta operao chamaremos de conjuno. 4.1. SIMBOLICAMENTE A conjuno de p e q representada por: p q ou p q; (l-se: p e q). 4.2. TABELA

p q p q

V V V V F F F V F F F F

4.3. RESUMINDO A conjuno p q verdadeiro se p e q so ambas verdadeiras

4.4.OS SMBOLOS DA LINGUAGEM DO CLCULO PROPOSICIONAL

VARIVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minsculas p,q,r,s,.... para indicar as proposies (frmulas atmicas) .

SMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ] , parnteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de prioridades para os operadores lgicos.

Exemplos: 2 um nmero primo: p Bueno Aires a capital do Brasil: q 2 um nmero primo e Bueno Aires a capital do Brasil. : p q ( p e q so chamados conjuntivos) 4.4. VARIAES NO ESTILO DE LINGUAGEM

CONJUNO entre p e q

Algumas expresses usuais na linguagem corrente p e q p e ento q p embora q p mas q p assim como q p e tambm q p apesar de que tambm q p em adio, q no s p, mas, ainda, q

p q ou p q

no apenas p, como tambm q

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5. DISJUNO p q (INCLUSIVA OU NO EXCLUSIVA) ou simplesmente DISJUNO

Duas proposies quaisquer p e q, podem ser combinadas pelo conectivo ou com o sentido de e/ou, formando uma proposio composta. A esta operao chamaremos de disjuno. 5.1. SIMBOLICAMENTE A disjuno representada por p q (l-se: p ou q). 5.2. TABELA

p q p q

V V V V F V F V V F F F

5.3. RESUMINDO A disjuno verdadeira se pelo menos uma das proposies p ou q for verdadeira.



SMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ] , parnteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de prioridades para os operadores lgicos. Exemplos: 2 um nmero primo: p Bueno Aires a capital do Brasil: q 2 um nmero primo ou Bueno Aires a capital do Brasil: p q ( p e q so chamados disjuntos) 5.5. VARIAES NO ESTILO DE LINGUAGEM

DISJUNO INCLUSIVA entre p e q

Algumas expresses usuais na linguagem corrente p ou q

p ou q ou ambos

p q p e/ou q

6. DISJUNO EXCLUSIVA p

q

Duas proposies quaisquer p e q, podem ser combinadas pelo conectivo ou com o sentido de ou, mas no ambos , formando uma proposio composta. A esta operao chamaremos de disjuno exclusiva. 6.1. SIMBOLICAMENTE A disjuno exclusiva representada por p q (l-se: ou p ou q, mas no ambos). 6.2.E MAIS p q uma disjuno excludente. Pode ser representada pela conjuno e disjuno inclusiva, assim: (p q)

(p q). 6.3. TABELA

p q p q

V V F V F V F V V F F F

6.4. RESUMINDO A disjuno exclusiva verdadeira se, somente se, uma das proposies p ou q for verdadeira, mas no ambas.

6.5. OS SMBOLOS DA LINGUAGEM DO CLCULO PROPOSICIONAL


SMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ] , parnteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de prioridades para os operadores lgicos. Exemplos: 2 um nmero primo: p Bueno Aires a capital do Brasil: q Ou 2 um nmero primo, ou Bueno Aires a capital do Brasil: p q ( p e q so chamados disjuntivos)

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6.6. VARIAES NO ESTILO DE LINGUAGEM DISJUNO EXCLUSIVA entre p e q

Algumas expresses usuais na linguagem corrente p ou q exclusivo

p ou q, mas no ambos

p q ou p ou q, mas no simultaneamente

TESTE RESOLVIDO

01. (CESPE-BB) A proposio funcional Existem nmeros que so divisveis por 2 e por 3 verdadeira para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}. RESOLUO Existem nmeros que so divisveis por 2 e por 3

p q p q 2 3 2 e 3 2 3 2 3 V V V V F F F V F F F F

No conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}, no h valor algum que seja divisvel por 2 e 3, logo pelo seu mmc(2, 3) = 6. Resposta: A afirmativa do enunciado est ERRADA

EXERCCIOS E TESTES

01. Construa a tabela-verdade para a proposio: ( p

q ) ( p q ).

02. Construa a tabela-verdade para a proposio: p ( p q ) .

03. Construa a tabela-verdade para a proposio: p (p q).


q ) ( p q )

05.Construa a tabela-verdade para a proposio: ( p

q ) ( p

q )

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06. Construa a tabela-verdade para a proposio: q

q.


q )

08. Construa a tabela-verdade para a proposio: ( p r ) ( q r ).

09. Classificar em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposies compostas:

a) 3 > 1 e 4 > 2 d) 12

< 34

ou 5 11

b) 3 > 1 ou 3 = 1 e) 11 1 e 5 72 27( )

c) 3 (5 + 2 ) = 3 . 5 + 3 . 2 e 3 7

Ajuda: Na operao trao vertical 3 7 , l-se: 3 divide 7, que o mesmo que 7 3. 10. (CESPE-BB) A proposio funcional Existem nmeros que so divisveis por 2 e por 3 verdadeira para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}.

11. (UFRJ-ANA) Considere a tabela-verdade abaixo, onde as colunas representam os valores lgicos para as frmulas A, B e A B, sendo que o smbolo denota o conector ou, V denota verdadeira e F denota falsa.

A B A B V V V F F V F F

Os valores lgicos que completam a ltima coluna da tabela, de cima para baixo, so: a) V, F, V, V; b) V, F, F, V; c) F, V, F, V; d) V, V, V, F; e) F, F, V, V.

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Uma proposio uma afirmao que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas no como ambas. As proposies so usualmente simbolizadas por letras maisculas do alfabeto, como, por exemplo, P, Q, R etc. Se a conexo de duas proposies feita pela preposio e , simbolizada usualmente por , ento obtm-se a forma P Q, lida como P e Q e avaliada como V se P e Q forem V, caso contrrio, F. Se a conexo for feita pela preposio ou , simbolizada usualmente por , ento obtm-se a forma P Q, lida como P ou Q e avaliada como F se P e Q forem F, caso contrrio, V. A negao de uma proposio simbolizada por P, e avaliada como V, se P for F, e como F, se P for V. Um argumento uma seqncia de proposies P1, P2, ..., Pn, chamadas premissas, e uma proposio Q, chamada concluso. Um argumento vlido, se Q V sempre que P1, P2, ..., Pn forem V, caso contrrio, no argumento vlido. A partir desses conceitos, julgue os prximos itens. 12.(CESPE-BB) A proposio simblica (P Q) R possui, no mximo, 4 avaliaes V.

RESPOSTAS 01 02 03 04 05 06 07 08 09

F V V V V F F V a) V F F V V V F V F b) V F V F V F V F c) F F V F V V V F d) V

V e) F

F

F

F 10 11 12 Errada D Errada

7. CONDICIONAL p q OU p

q

Duas proposies quaisquer p e q, podem ser combinadas pelo operador se. . . , ento. . . formando uma proposio composta. A esta operao chamaremos de condicional.

7.1. SIMBOLICAMENTE O condicional entre p e q representada por: p q ou p q , (l-se: se p, ento q). 7.2. TABELA

p q p q

V V V V F F F V V F F V

7.3. RESUMINDO O condicional p q falso sempre que ocorre VF nesta ordem; ou seja valor p = V e depois valor q = F.



SMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ] , parnteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de prioridades para os operadores lgicos. Exemplos: 2 um nmero primo: p Bueno Aires a capital do Brasil: q 2 um nmero primo, ento Bueno Aires a capital do Brasil. : p q ( p o antecedente e q o conseqente)

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7.5. VARIAES NO ESTILO DE LINGUAGEM IMPLICAO entre p e q

Algumas expresses usuais na linguagem corrente se p, ento q

se p, isto significa que q tendo-se p, ento q

sempre que p, q p, sempre que se tenha q

p implica q p s se q

p somente se q p apenas se q

p, se q p condio suficiente para q

q condio necessria para p uma condio necessria para p q

p q

uma condio suficiente para q p

7.5.1. ATENO PARA AS CONDICIONAIS CONDICIONAL Se....., ento....... ou

ou

Do dicionrio: Suficiente que satisfaz; que bastante. Do dicionrio: Necessrio indispensvel; inevitvel; que de absoluta necessidade. CONDIO NECESSRIA Por exemplo, estar no Brasil uma condio necessria para estar em Curitiba, porque todas as pessoas que esto em Curitiba esto em Brasil.

C

B o mesmo que, estar em B condio necessria para estar em C ou ainda uma condio suficiente para estar em C estar em B .

CONDIO SUFICIENTE Por exemplo, estar em Curitiba uma condio suficiente para estar no Brasil, porque todas as pessoas que esto em Curitiba esto em Brasil.

C

B o mesmo que, estar em C condio suficiente para estar em B ou ainda uma condio necessria para estar em B estar em C .

B

r

a

s

i

l

C u r i t i b a

uma condio suficiente

para C B

C e B mantm as posies

C B

uma condio necessria

para B C

C e B troca de posies

C B

B condio necessria

para C

C e B trocam de posies

C B

B

r

a

s

i

l

C u r i t i b a

C condio suficiente

para B

C e B mantm as posies

C B

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8. BICONDICIONAL p q

Duas proposies quaisquer p e q, podem ser combinados pela bi-implicao ou implicao recproca . . . se e somente se . . . formando uma proposio composta. A esta operao chamaremos de BICONDICIONAL.

8.1. SIMBOLICAMENTE A bicondicional entre p e q e representado por p q (l-se: p se e somente se q). 8.2 TABELA

p q p q

V V V V F F F V F F F V

8.3. RESUMINDO A bicondicional p q verdadeiro sempre que; valor p = valor q = V ou valor p = valor q = F



SMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ] , parnteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de prioridades para os operadores lgicos. Exemplos: 2 um nmero primo: p Bueno Aires a capital do Brasil: q 2 um nmero primo se e somente se a neve branca. : p q

8.5. VARIAES NO ESTILO DE LINGUAGEM BICONDICIONAL entre p e q

Algumas expresses usuais na linguagem corrente p se e somente se q p se e s se q se p, ento q e reciprocamente se p, ento q; e se q, ento p p equivalente a q p condio necessria e suficiente para q

p q

p condio suficiente para q e q condio necessria para p

TESTE RESOLVIDO

01. (FCC-ICMS-SP) Considere a proposio Paula estuda, mas no passa no concurso . Nessa proposio, o conectivo lgico a) disjuno inclusiva. b))conjuno. c) disjuno exclusiva. d) condicional. e) bicondicional. RESOLUO E COMENTRIOS

Paula estuda , mas no passa no concurso. Paula estuda , e no passa no concurso. Paula estuda ,

no passa no concurso. O conectivo usado da conjuno. Resposta: Alternativa B.

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EXERCCIOS E TESTES

01. Construa a tabela-verdade para a proposio: q p.

02. Construa a tabela-verdade para a proposio: p

q.

03. Construa a tabela-verdade para a proposio: p q .


q ) ( p q ).

05. Construa a tabela-verdade para a proposio: [ p (q r) ] ( p r ).

06. Construa a tabela-verdade para a proposio: ( p q ) ( p q ) .

07. Construa a tabela-verdade para a proposio: [ p (p q) ] p

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08. Construa a tabela-verdade para a proposio: ( p q ) ( p q )


q ) ( p

q )

10. Construa a tabela-verdade para a proposio: p [ p ( q

q )


q ) ( p q )

12. Construa a tabela-verdade para a proposio: ( p q ) [ ( p r ) ( q r ) ]

13. Considerando a correspondncia. p: faz frio q: chove Traduzir da linguagem simblica para a linguagem corrente. a) q p b) p

q c) p q d) p q e) p q 14. Considerando a correspondncia. p: faz frio q: chove Traduzir da linguagem corrente para a linguagem simblica. a) Se chove, ento faz frio. b) Uma condio necessria para que faa frio que chova. c) Uma condio suficiente para que faa frio que chova. d) Chover condio necessria para que faa frio. e) Se Pedro bom aluno, ser aprovado.

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15. Simbolize: a) Se Pedro bom aluno, ento ele ser aprovado e conseguir um bom emprego. b) Pedro bom aluno se, e somente se for aprovado. c) Ela esta com febre ou com calor d) Flvio ir somente se Ana for. 16. Classificar em verdadeira ou falsa cada uma das proposies abaixo. a) 2 1 = 1 5 + 7 = 3 . 4 b) 22 = 4 ( - 2)2 = 4 c) 5 + 7 . 1 = 13 3 . 3 = 9 d) mdc ( 3, 6 ) = 1 4 nmero primo e) 2 8 mmc ( 2, 8 ) = 2 f) 6 2 6 2 0 g) 3

5

27

3 . 7 = 2 . 5

17. dado o esquema abreviado seguinte: P - ganho um carro Q - ganho uma moto R - posso dirigir S - estou saudvel T - sou reprovado no exame

Pede-se traduzir as sentenas seguintes: a) ( P Q ) ( R ( S

T) ). b) P Q c) R Q d) S R 18. Para os prximos exerccios, considerar o esquema: J o homem justo T o homem temperado (moderado) B o homem bom. M o homem mau. V o homem viciado (corrupto) D o homem doentio (mentalmente) Pode-se traduzir: a) B D b) J T c) (M

V) 19. Determinar o valor-verdade de cada qual dos seguintes compostos: a) 2 + 2 = 5 e 3 + 4 = 10 b) O dobro de 3 6 ou o triplo de 4 10. c) Se 2 + 2 = 4, ento 3 + 3 = 9. d) Se 3 + 3 = 6, ento 5 + 5 = 10 e) 3 + 3 = 6 e o triplo de 5 15, f) 3 + 5 igual a 12 ou 3 + 5 diferente de 12. (Agente da Polcia Federal CESPE) Texto para os prximos trs itens. Considere que as letras P, Q, R e T representem proposies e que os smbolos , ,

e

sejam operadores lgicos que constroem novas proposies e significam no, e, ou e ento, respectivamente. Na lgica proposicional, cada proposio assume um nico valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informaes apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.

20. Se as proposies P e Q so ambas verdadeiras, ento a proposio ( P)

( Q) tambm verdadeira. 21. Se a proposio T verdadeira e a proposio R falsa, ento a proposio R

( T) falsa. 22. Se as proposies P e Q so verdadeiras e a proposio R falsa, ento a proposio (P

R)

( Q) verdadeira.

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(CESPE -Agente da Polcia Federal) Texto para os prximos cinco testes. Considere que as letras P, Q, R e T representem proposies e que os smbolos , ,

e sejam operadores lgicos que constroem novas proposies e significam no, e, ou e ento, respectivamente. Na lgica proposicional, cada proposio assume um nico valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informaes apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir. Considere as sentenas abaixo. i. Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. ii. Fumar no deve ser proibido e fumar faz bem sade. iii. Se fumar no faz bem sade, deve ser proibido. iv. Se fumar no faz bem sade e no verdade que muitos europeus fumam, ento fumar deve ser proibido. v. Tanto falso que fumar no faz bem sade como falso que fumar deve ser proibido; conseqentemente, muitos europeus fumam. Considere tambm que P, Q, R e T representem as sentenas listadas na tabela a seguir.

P: Fumar deve ser proibido. Q: Fumar deve ser encorajado. R: Fumar no faz bem sade. T: Muitos europeus fumam.

Com base nas informaes acima e considerando a notao introduzida no texto, julgue os itens seguintes.

23. A sentena I pode ser corretamente representada por P

( T). 24. A sentena II pode ser corretamente representada por ( P)

( R). 25. A sentena III pode ser corretamente representada por R

P.

26. A sentena IV pode ser corretamente representada por (R

( T))

P.

27. A sentena V pode ser corretamente representada por T

(( R)

( P)). (CESPE- TCU) Suponha que P representa a proposio Hoje choveu, Q represente a proposio Jos foi praia e R represente a proposio Maria foi ao comrcio. Com base nessas informaes e no texto, julgue os prximos quatro itens a seguir:

28. A sentena Hoje no choveu ento Maria no foi ao comrcio e Jos no foi praia pode ser corretamente representada por P (R

Q) 29. A sentena Hoje choveu e Jos no foi praia pode ser corretamente representada por P

Q

30. Se a proposio Hoje no choveu for valorada como F e a proposio Jos foi praia for valorada como V, ento a sentena representada por P Q falsa.

31. O nmero de valoraes possveis para (Q

R)

P inferior a 9.

32. (FCC-ICMS-SP) Considere a proposio Paula estuda, mas no passa no concurso . Nessa proposio, o conectivo lgico a) disjuno inclusiva. b))conjuno. c) disjuno exclusiva. d) condicional. e) bicondicional. 33. (FCC-ICMS-SP) Na tabela-verdade abaixo, p e q so proposies.

A proposio composta que substitui corretamente o ponto de interrogao a) q p b) q p c)) (p q) d) p q e) (p q)

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O fluxograma abaixo contm uma seqncia finita de instrues a serem executadas na ordem em que so apresentadas, comeando-se da posio designada por incio e seguindo-se as setas. Dentro das formas retangulares, a seta para a esquerda indica que o valor escrito ou obtido direita atribudo varivel esquerda. A expresso no losango avaliada e, quando resultar verdadeira, prossegue-se na direo indicada por V, e, quando for falsa, prossegue-se na direo indicada por F. Se P e Q representam proposies que podem ter valoraes V ou F, ento as expresses P, P Q, P Q e P Q, que so lidas no P , P implica Q , P ou Q e P e Q , respectivamente, tambm so proposies e podem ter valoraes V ou F conforme as valoraes dadas a P e a Q.

A partir do texto e do fluxograma precedente, em que A, B, X e Y so proposies quaisquer, siga as instrues do fluxograma e julgue os itens a seguir. 34. (CESPE-B Braslia) A valorao atribuda a X ser igual valorao de A B.

35. (CESPE-B Braslia) A proposio (A B) tem as mesmas valoraes V e F que a proposio (A) (B). 36. (CESPE-B Braslia) Se as valoraes iniciais de A e de B fossem, respectivamente, F e F, ento a valorao de Y seria tambm F.

RESPOSTAS 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

V V F F V V V V V F F V V V V F V F V V V F F F V F V F V V V V V V F V F V F F V V V V V V F V

V V

V V

V F

V

V

13 a) Se faz frio, ento chove. 14 a) q p

b) Se faz frio, ento no chove. b) p q

c) Faz frio se e somente se chove. c) q p

d) Faz frio ou chove. d) p q

e) Faz frio e chove. e) B A 15 a) B ( A E ) 16 a) V

b) B A b) V

c) F C c) V

d) F A d) V

e) F

f) F

g) V 17 a) Se (ganho uma moto ou um carro), ento (posso

dirigir se e s se, (estou saudvel e no sou reprovado no exame ))

18 a) Se o homem no bom, doentio.

b) Ganho um carro ou uma moto b) O homem justo ou temperado.

c) Se posso dirigir, ganho a moto. c) No se d, a um tempo, que o homem seja mau e no viciado.

d) Se estou saudvel, posso dirigir.

incio

fim

A V B F

A F

B V

X A B

Y A B

F

V

(A B)

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18

19 a) F 20 Errada

b) V

c) V

d) V

e) V

f) V 21 Errada 22 Correta 23 Errada 24 Correta 25 Correta 26 Correta 27 Errada 28 Correta 29 Correta 30 Errada 31 Correta 32 B 33 C 34 C 35 E 36 C

9. NEGAES SUAS RESPECTIVAS EQUIVALNCIAS

9.1. NEGAO DE UMA PROPOSIO CONJUNTIVA ( p q ) AS DUAS PROPOSIES ABAIXO SO EQUIVALENTES

Seja a proposio AFIRMATIVA

Sua proposio NEGATIVA :

Procedimentos para obter a proposio NEGATIVA equivalente.

Proposio NEGATIVA equivalente

p q ( p q ) 1) Negue a primeira: p 2) Negue a segunda: q 3) Troque e por ou

p q

9.2. NEGAO DE UMA PROPOSIO DISJUNTIVA ( p q ) AS DUAS PROPOSIES ABAIXO SO EQUIVALENTES





p q ( p q ) 1) Negue a primeira: p 2) Negue a segunda: q 3) Troque ou por e

p q

9.3. NEGAO DE UMA PROPOSIO CONDICIONAL ( p q ) AS DUAS PROPOSIES ABAIXO SO EQUIVALENTES





p q ( p q ) 1) Mantenha a primeira: p 2) Negue a segunda: q 3) Troque por e

p q

9.4. NEGAO DE UMA PROPOSIO BICONDICIONAL ( p q ) AS DUAS PROPOSIES ABAIXO SO EQUIVALENTES





p q ( p q ) Equivalncia usada para a bicondicional. Importante! (p

q) (q

p)

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TESTE RESOLVIDO

01. (UFPR-TCE) A negao da sentena se voc estudou lgica ento voc acertar esta questo : a) se voc no acertar esta questo ento voc no estudou lgica. b) voc no estudou lgica e acertar esta questo. c) se voc estudou lgica ento no acertar esta questo. d) voc estudou lgica e no acertar esta questo. e) voc no estudou lgica e no acertar esta questo. RESOLUO I) Simbolizar a proposio dada.

Se voc estudou lgica ento voc acertar esta questo

p

q

II) Pode-se verificar pela tabela verdade. A alternativa que tenha a tabela verdade de valores lgicos contrrios a da proposio do enunciado a correta.

p q (p q) (p q)

III) Pode-se tambm, usando a propriedade para a negao de (p q) que segue.

(p q)

p q

voc estudou lgica e no acertar esta questo

Resposta: Alternativa D

EXERCCIOS E TESTES

01. Simplificar as proposies. a) ( p q ) b) ( p q ) c) ( p

q ) d) ( p

q ) e) ( p q ) f) ( p

q ) 02. (UFPR-TCE) A negao da sentena se voc estudou lgica, ento voc acertar esta questo : a) se voc no acertar esta questo, ento voc no estudou lgica. b) voc no estudou lgica e acertar esta questo. c) se voc estudou lgica, ento no acertar esta questo. d) voc estudou lgica e no acertar esta questo. e) voc no estudou lgica e no acertar esta questo. 03. (ESAF-AFC) Dizer que no verdade que, Pedro pobre e Alberto alto, logicamente equivalente a dizer que verdade que: a) Pedro no pobre ou Alberto no alto. b) Pedro no pobre e Alberto no alto. c) Pedro pobre ou Alberto no alto. d) se Pedro no pobre, ento Alberto alto. e) se Pedro no pobre, ento Alberto no alto. 04. (ESAF -FISCAL TRABALHO) A negao da afirmao condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" : a) se no estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) no est chovendo e eu levo o guarda-chuva c) no est chovendo e eu no levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu no levo o guarda-chuva e) est chovendo e eu no levo o guarda-chuva

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05. (GESTOR FAZENDRIO MG-ESAF) Considere a afirmao P: P: A ou B

Onde A e B, por sua vez, so as seguintes afirmaes: A: Carlos dentista

B: Se Enio economista, ento Juca arquiteto . Ora, sabe-se que a afirmao P falsa. Logo: a) Carlos no dentista; Enio no economista; Juca no arquiteto. b) Carlos no dentista; Enio economista; Juca no arquiteto. c) Carlos no dentista; Enio economista; Juca arquiteto. d) Carlos dentista; Enio no economista; Juca no arquiteto. e) Carlos dentista; Enio economista; Juca no arquiteto. 06. (MED-ABC) A negao de O gato mia e o rato chia : a) O gato no mia e o rato no chia. b) O gato mia ou o rato chia c) O gato no mia ou o rato no chia. d) O gato e o rato no chiam nem miam. e) O gato chia e o rato mia. 07. (UF-BA) A negao de Hoje segunda-feira e amanh no chover : a) Hoje segunda-feira e amanh chover. b) Hoje no segunda-feira ou amanh chover. c) Hoje no segunda-feira, ento, amanh chover. d) Hoje no segunda-feira nem amanh chover. e) Hoje segunda-feira ou amanh no chover. 08. (FISCAL DO TRABALHO-ESAF) A negao da afirmao condicional Se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva :

a) Se no estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva. b) No est chovendo e eu levo o guarda-chuva. c) No est chovendo, e eu no levo o guarda-chuva. d) Se estiver chovendo, eu no levo o guarda-chuva. e) Est chovendo e eu no levo o guarda-chuva. 09. Escreva a negao da proposio: No verdade que Maria no estudou e foi aprovada

10. Escreva a negao da proposio: Se Maria foi aprovada, ento, estudou

11. (EPPG) Considere a sentena "Se a dvida interna for contida, ento no haver inflao". A negao dessa sentena configura-se como: a) impossvel a dvida interna estar contida e haver inflao. b) possvel a dvida interna estar contida e haver inflao. c) possvel a dvida interna no estar contida e haver inflao. d) possvel a dvida interna no estar contida e no haver inflao. e) impossvel a dvida interna no estar contida e no haver inflao. 12. (GEFAZ/MG) A afirmao No verdade que, se Pedro est em Roma, ento Paulo est em Paris logicamente equivalente afirmao: a) verdade que Pedro est em Roma e Paulo est em Paris . b) No verdade que Pedro est em Roma ou Paulo no est em Paris . c) No verdade que Pedro no est em Roma ou Paulo no est em Paris . d) No verdade que Pedro no est em Roma ou Paulo est em Paris . e) verdade que Pedro est em Roma ou Paulo est em Paris .

RESPOSTAS 01 a) p

q 02 D

b) p

q

c) p q

d) p q

e) (p

q)v(q

p)

f) p q 03 A 04 E 05 B 06 C 07 B 08 E 09 Maria no estudou ou no foi aprovada. 10 Maria no estudou e foi aprovada.

11 B 12 D

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10. TAUTOLOGIA

Considere uma proposio composta que na tabela-verdade tem valores lgicos verdadeiros (V), em todas as linhas da coluna resposta C3. A este comportamento da proposio denominamos de tautologia.

10.1. TABELA C1 C2 C3 Comentrio p p p p V F V F V V

A coluna C3 formada por valores lgicos verdadeiros (V), logo uma Tautologia.

11. CONTRADIO ou CONTRA-TAUTOLOGIA

Considere uma proposio composta que na tabela-verdade tem valores lgicos falsos (F), em todas as linhas da coluna resposta C3. A este comportamento da proposio denominamos de Contradio.

11.1. TABELA C1 C2 C3 Comentrio p p p

p V F F F V F

A coluna C3 formada por valores lgicos falsos ( F), logo uma Contradio.

12. CONTINGNCIA

Considere uma proposio composta que na tabela-verdade tem valores lgicos verdadeiros (V) e falsos (F) na coluna resposta C3. A este comportamento da proposio denominamos de Contingncia.

12.1. TABELA C1 C2 C3 Comentrio p p p

p V F F F V V

A coluna C3 formada por valores lgicos verdadeiros (V) e falsos (F), logo uma

Contingncia.

TESTES RESOLVIDOS

01. (FCC-ICMS-SP) Considere as afirmaes abaixo. I. O nmero de linhas de uma tabela-verdade sempre um nmero par. II. A proposio )63(8)10(10 falsa. III. Se p e q so proposies, ento a proposio (p q) (

q) uma tautologia. verdade o que se afirma APENAS em a) I. b) II. c) III. d) I e II. e)) I e III. RESOLUO I) CORRETA Anlise do item I Para quaisquer valores naturais positivos de n, obteremos sempre um nmero par de linhas, veja a simulao na tabela que segue.

Proposies. Nmero n de proposies simples.

Nmero de linhas de linhas da tabela,2n.

01. p 1 2 = 2 02. p, q 2 2 = 4 03. p, q, r 3 2 = 8

04. p, q, r, s 4 24 =16

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II) INCORRETA Anlise do item II. Atribuindo o valor V para verdadeira ou F para falso, nas expresses aritmticas, e considerando o operador lgico que envolve as expresses, podemos, fazendo o uso da tabela de valores lgicos da bicondicional, verificar se a proposio verdadeira ou falsa. Veja:

)10(10

6)3-(8

Falsa

Falsa = Verdadeira

No enunciado item II, julgado como proposio falsa, logo, incorreta. III) CORRETA Analise do item III. Construindo a tabela verdade para a proposio dada, ser tautologia se a coluna resposta tiver todos os valores lgicos verdadeiros V . Vamos ver:

Col 1 Col 2 Col 3 Col 4 Col 5 L 1 p q qp

q

L 2 V V V V F L 3 V F F V V L 4 F V V V F L 5 F F V V V

De fato, todos os valores lgicos da coluna 4 so verdadeiros, caracterizando uma TAUTOLOGIA.

Resposta: Apenas I e III so verdadeiras. Alternativa E.

02. (FCC-ICMS-SP) Seja a sentena aberta A: ( p p) (_______) sentena B: Se o espao (_______) for ocupado por uma ( I ) , a sentena A ser uma ( II ) . A sentena B se tornar verdadeira se I e II forem substitudos, respectivamente, por a) tautologia e contingncia. b)) contingncia e contingncia. c) contradio e tautologia. d) contingncia e contradio. e) tautologia e contradio. RESOLUO I) Fazendo ( p q )

TAUTOLOGIA

Resposta p p ( p q )

TAUTOLOGIA V F V V V F V V V V

A proposio A bicondicional com uma tautologia, resulta numa tautologia.

II) Fazendo ( p q )

CONTRADIO


CONTRADIO V F V F F F V V F F

A proposio A bicondicional com uma contradio, resulta numa contradio.

III) Fazendo ( p q )

CONTINGNCIA


CONTINGNCIA V F V V V F V V F F

A proposio A bicondicional com uma contingncia, resulta numa contingncia. Resposta

p p ( p q )

CONTINGNCIA V F V F F F V V V V A proposio A bicondicional com uma contingncia , resulta numa contingncia.

Resposta: Alternativa B.

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EXERCCIOS E TESTES

01. Verificar-se ( p

q ) ( p q ) contradio.

02. Verificar-se a proposio [ p (q r ] ( p r ) tautologia.

03. Demonstrar que a preposio ( p q ) [ ( p q ) ] contingncia.

04. Verificar se a proposio a seguir uma tautologia, contradio ou uma contingncia.[ p (p q) ] p

05. Verificar se a proposio a seguir uma tautologia, contradio ou uma contingncia.( p q ) ( p q )

06. Verificar se a proposio a seguir uma tautologia, contradio ou uma contingncia.( p

q ) ( p

q )

07. Verificar se a proposio a seguir uma tautologia, contradio ou uma contingncia.p [ p

( q

q )

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08. Verificar se a proposio a seguir uma tautologia, contradio ou uma contingncia.( p

q ) ( p q )

09. Verificar se a proposio a seguir uma tautologia, contradio ou uma contingncia.( p q ) [ ( p r ) ( q r ) ]

10. Verificar se a proposio a seguir uma tautologia, contradio ou uma contingncia. ( p q ) ( q r )

11. Verificar se a proposio a seguir uma tautologia, contradio ou uma contingncia.[ ( p q ) ( q r ) ] ( p r )

12. Verificar se a proposio a seguir uma tautologia, contradio ou uma contingncia. { ( p q ) [ ( p q ) r ) }

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13. Verificar se a proposio a seguir uma tautologia, contradio ou uma contingncia.[ ( p q) ( r s ) ]

14. (FCC-TRT-9R) Considere a seguinte proposio: "na eleio para a prefeitura, o candidato A ser eleito ou no ser eleito . Do ponto de vista lgico, a afirmao da proposio caracteriza: a) um silogismo. b) uma tautologia. c) uma equivalncia. d) uma contingncia. e) uma contradio. 15. (ESAF-FISCAL TRABALHO) Um exemplo de tautologia : a) se Joo alto, ento Joo alto ou Guilherme gordo b) se Joo alto, ento Joo alto e Guilherme gordo c) se Joo alto ou Guilherme gordo, ento Guilherme gordo d) se Joo alto ou Guilherme gordo, ento Joo alto e Guilherme gordo e) se Joo alto ou no alto, ento Guilherme gordo 16.(CESPE-DPF-DGP) Denomina-se contradio uma proposio que sempre falsa. Uma forma de argumentao lgica considerada vlida embasada na regra da contradio, ou seja, no caso de uma proposio R verdadeira (ou R verdadeira), caso se obtenha uma contradio, ento conclui-se que R verdadeira (ou R verdadeira). Considerando essas informaes e o texto de referncia, e sabendo que duas proposies so equivalentes quando possuem as mesmas valoraes, julgue o item que segue.

De acordo com a regra da contradio, P Q verdadeira quando ao supor P Q verdadeira, obtm-se uma contradio.

17. (FCC-ICMS-SP) Considere as afirmaes abaixo. I. O nmero de linhas de uma tabela-verdade sempre um nmero par. II. A proposio )63(8)10(10 falsa. III. Se p e q so proposies, ento a proposio (p q) (

q) uma tautologia. verdade o que se afirma APENAS em a) I. b) II. c) III. d) I e II. e))I e III.

RESPOSTAS 01 Sim 02 Sim 03 Sim 04 Tautologia 05 Tautologia 06 Tautologia 07 Contingncia 08 Contradio 09 Contingncia 10 Contingncia 11 Contingncia 12 Contradio 13 Contingncia 14 B 15 A 16 Correta 17 E

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13. RELAO DE IMPLICAO

Sejam duas proposies declarativas p e q, diz-se que p implica q simbolicamente p q, quando em toda a tabela verdade de p e q, NO ocorre VF, ou seja, v (p)=V e v(q)=F.

13.1. SIMBOLICAMENTE Quando p implica q , representamos assim: p q

13.2. E MAIS p implica q

quando o valor do condicional p q verdadeiro.

14. RELAES ENTRE IMPLICAES

14.1. Relao Implicao RECPROCA

p q Troque de lugar p com q e q com p, para obter a recproca. q p

Duas implicaes recprocas NO so logicamente equivalentes. Pode ocorrer que uma seja verdadeira (V) e a outra (F). 14.2. Relao Implicao INVERSA

p q Negue a primeira, negue a segunda (ou seja, troque de sinal) e mantenha o posicionamento de p e q, para obter a inversa. p

q

Duas implicaes inversas NO so logicamente equivalentes. Pode ocorrer que uma seja verdadeira (V) e a outra (F). 14.3. Relao Implicao CONTRAPOSITIVA

p q Troque de lugar p com q e q com p, negue as duas (ou seja, troque de sinal), para obter a contrapositiva. q

p

Duas implicaes contra-positivas so logicamente equivalentes. Sempre que uma seja verdadeira (V), a outra tambm verdadeira (V). 14.4. TABELAS RESUMO

Sejam p e q proposies simples, as condicionais importantes esto representadas na tabela. C1 C4 C3 C2

condicional inversa recproca contrapositiva

p q p q p

q q p q

p

V V V V V V

V F F V V F

F V V F F V

F F

V V

V V

EXERCCIOS E TESTES

01.Seja a proposio p: 2 1

e q: Brasil est na Amrica do Sul , h implicao entre as proposies?

02.A proposio p: 7 dias tem a semana implica a proposio q: a lua um satlite .

03.H implicao entre as proposies p e q. p: 4 = 2 e

3,14

q: 1m=100 cm e 1h = 360 seg.

04. Determine a proposio contrapositiva de p

q . a) q

p b) p q c) p p d) q q

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05. Determine a proposio recproca de q

p . a) p

q b) p q c) q p d) p q e) p

q

06. Determine a proposio inversa de p

q . a) p q b) p

q c) p q d) p

q e) q p

07. A proposio contrapositiva da proposio contrapositiva de p

q . a) q p b) p q c) p q d) p

q e) p

q

08. A proposio contrapositiva da proposio recproca de p

q . a) p

q b) p q c) p q d) q p e) p

q

09. A proposio contrapositiva da proposio inversa de p

q .

a) p q b) q

p c) p

q d) p q e) q p

10. A proposio contrapositiva da proposio recproca de x=7 x

2 . a) x 2 x 7 b) x = 7 x 2 c) x 7 x < 2 d) x 7 x 2 e)x 7 x = 2

11. Seja a proposio, Se ela mulher motorista, ento, ela desacreditada , escreva a recproca desta proposio . 12. Seja a proposio, Se ela mulher motorista, ento, ela desacreditada , escreva a inversa desta proposio . 13. Seja a proposio, Se ela fosse rica, ento, ela seria feliz , escreva a contrapositiva desta proposio .

RESPOSTAS 01 Sim, no ocorreu VF 02 Sim, no ocorreu VF 03 No, ocorreu VF 04 a) q

p 05 b) q p 06 b) p

q 07 b) p q 08 e) p

q 09 a)

q

p 10 d) x 7 x 2 11 Se ela desacreditada, ento ela mulher

motorista. 12 Se ela no mulher motorista, ento ela no

desacreditada. 13 Se ela no feliz, ento no rica.

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15. RELAO DE EQUIVALNCIA

OU

Considere duas proposies declarativas p e q. Diz-se que p equivalente a q simbolicamente p

q, quando p e q tm tabelas verdades iguais, ou seja, quando valor de (p) = valor de (q), observadas em todas as linhas da tabela. Ou pode ser dito simplesmente assim:

Dizemos que duas proposies so logicamente equivalentes (ou simplesmente que so equivalentes) quando so compostas pelas mesmas proposies simples e os resultados de suas tabelas-verdade so idnticos.

15.1. SIMBOLICAMENTE Quando p equivalente a q , representamos assim: p q .

15.2. E MAIS

p equivalente a q quando o valor da bicondicional p q verdadeira

15.3. EQUIVALNCIAS BSICAS IMPORTANTES:

01. p p = p

Por exemplo: Pedro inocente e inocente = Pedro inocente

02. p p = p

Por exemplo: Fernanda foi ao teatro ou ao teatro = Fernanda foi ao teatro

03. p q = q p

Por exemplo: O Ronaldinho forte e veloz = O Ronaldinho veloz e forte

04. p q = q p

Por exemplo: O cu branco ou azul = O cu azul ou branco

05. p ( p

q ) = p

Por exemplo: Sheila linda e, Sheila linda ou Bruna alta = Sheila linda.

06. p ( p

q ) = p

Por exemplo: Sheila linda ou, Sheila linda e Bruna alta = Sheila linda.

07. p

q = q

p

Por exemplo: Como se e somente se vivo = Vivo se e somente se como

08. p

q = (p q) (q p)

Por exemplo: Como se e somente se vivo = Se como ento vivo, e se vivo ento como

15.4. EQUIVALNCIAS DA CONDICIONAL:

Duas equivalncias que seguem so de fundamental importncia. Estas equivalncias podem ser verificadas, ou seja, demonstradas, por meio da comparao entre as tabelas-verdade.

09. Se p, ento q = Se no q, ento no p.

p q = ~q ~p

Por exemplo: Se chove, ento me molho. = Se no me molho, ento no chove.

10. Se p, ento q = No p ou q.

p q = ~p q

Por exemplo: Se estudo, ento passo no concurso. = No estudo ou passo no concurso.

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15.5. QUADRO RESUMO DAS EQUIVALNCIAS ACIMA 01 p p = p

02 p p = p

03 p q = q p

04 p q = q p

05 p ( p

q ) = p

06 p ( p

q ) = p

07 p

q = q

p

08 p

q = (p q) (q p)

09 p q = ~q ~p

10 p q = ~p q

TESTES RESOLVIDOS

01. (FCC-ICMS-SP) Na tabela-verdade abaixo, p e q so proposies.

A proposio composta que substitui corretamente o ponto de interrogao a) q p b) q p c)) (p q) d) p q e) (p q) RESOLUO I) Operando entre si as proposies simples p com q, foi fornecida no enunciado a coluna resposta indicada por ? ( coluna 3) . ? ( coluna 3 ) indica que nesta posio da tabela deve estar uma das proposies compostas oferecidas nas alternativas ( das colunas 4, 5, 6, e 7). Operando uma a uma as proposies das alternativas, deve-se indicar como resposta a coluna equivalente indicada por ? .

A l t e r n a t i v a s T a b e l a d a d a n o e n u n c i a d o a) b) c) d) e)

Col 1 Col 2 Col 3 Col 4 Col 5 Col 6 Col 7 Col 8 L 1 p q ? qp

qp

q)(p

qp

q)(p

L 2 V V F V V F V F L 3 V F V F F V F F L 4 F V F F V F F F L 5 F F F F V F V V

S o e q u i v a l e n t e s

Veja acima, a coluna 3 equivalente a coluna 6, ambas tem a mesma valorao, na ordem linha a linha. Resposta: Alternativa C

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02. (FCC-ICMS-SP) Numa proposio composta s, aparecem as proposies simples p, q e r. Sua Tabela-Verdade

Usando a conjuno ( ), a disjuno ( ) e a negao ( ), pode-se construir sentenas equivalentes a s. Uma dessas sentenas a) ( p q r) (p q r) b) (p q r) ( p q r) c) (p q r) (p q r) d) (p q r) ( p q r) e) (p q r) ( p q r) RESOLUO Para me deter somente resoluo e comentrios, vou direto a alternativa correta ( letra A ). Sabemos que num teste, como fiz, devemos procurar pela alternativa correta, que em muitos casos nos leva a testar as alternativas at encontrar a desejada.

p p q r r s ( p

q

r )

( p

q

r ) V F V V F V ( V ) V ( V ) V F V F V V ( V ) V ( V ) V F F V F F ( F ) F ( V ) V F F F V V ( V ) V ( V ) F V V V F V ( V ) V ( V ) F V V F V V ( V ) V ( V ) F V F V F F ( V ) F ( F ) F V F F V V ( V ) V ( V )

S o e q u i v a l e n t e s

Resposta: Alternativa A

EXERCCIOS E TESTES

01. (ANALISTA AMBIENTAL - MINISTRIO DO MEIO AMBIENTE CESPE) Julgue o item seguinte: ~(P ~Q) logicamente equivalente (Q ~P). 02. Julgar cada uma das seguintes proposies, so ou no equivalentes:

a) p

q

p

b) [ ( p q ) ] p q

c) ( p

q ) ( p

q ) p

q

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d) q p

p

q

e) ( p

q ) ( p q ) p q

f) ( p q )

p p q

g) ( p q ) ( p r ) p q

h) ( p q ) r ( p

r )

q

i) ( p q ) r ( p

r )

q

03. (FCC-ICMS-SP) Na tabela-verdade abaixo, p e q so proposies.

A proposio composta que substitui corretamente o ponto de interrogao a) q p b) q p c)) (p q) d) p q e) (p q)

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04. Verificar atravs de tabelas- verdade, as seguintes equivalncias:

a) p ( p q ) p

b) ( p q ) ( p r ) p ( q r ) 05. (NC.UFPR) Considere as afirmativas seguintes, relacionadas sentena "se h vida, ento h gua". I. "Se h gua, ento h vida" uma sentena logicamente equivalente sentena dada. II. "Se no h gua, ento no h vida" uma sentena logicamente equivalente sentena dada. III. "H vida e no h gua" negao lgica da sentena dada. Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa II verdadeira. b) Somente as afirmativas II e III so verdadeiras. c) Somente as afirmativas I e II so verdadeiras. d) Somente as afirmativas I e III so verdadeiras. e) As afirmativas I, II e III so verdadeiras. 06. (ESAF-MPOG) Dizer que Andr artista ou Bernardo no engenheiro logicamente equivalente a dizer que: a) Andr artista se e somente se Bernardo no engenheiro. b) Se Andr artista, ento Bernardo no engenheiro. c) Se Andr no artista, ento Bernardo engenheiro d) Se Bernardo engenheiro, ento Andr artista. e) Andr no artista e Bernardo engenheiro 07. (FISCAL TRABALHO) Dizer que "Pedro no pedreiro ou Paulo paulista" , do ponto de vista lgico, o mesmo que dizer que: a) se Pedro pedreiro, ento Paulo paulista b) se Paulo paulista, ento Pedro pedreiro c) se Pedro no pedreiro, ento Paulo paulista d) se Pedro pedreiro, ento Paulo no paulista e) se Pedro no pedreiro, ento Paulo no paulista 08. (ESAF-SERPRO) Uma sentena logicamente equivalente a Pedro economista, ento Lusa solteira : a) Pedro economista ou Lusa solteira. b) Pedro economista ou Lusa no solteira. c) Se Lusa solteira,Pedro economista; d) Se Pedro no economista, ento Lusa no solteira; e) Se Lusa no solteira, ento Pedro no economista. 09. (ESAF-MPU) Uma sentena logicamente equivalente a: Se Pedro economista, ento Luza solteira : a) Pedro economista ou Luza solteira. b) Pedro economista ou Luza no solteira. c) Se Luza solteira, Pedro economista. d) Se Pedro no economista ento Luza no solteira. e) Se Luza no solteira ento Pedro no economista. 10. (FCC-ICMS-SP) Se Rodrigo mentiu, ento ele culpado. Logo, a) Se Rodrigo no culpado, ento ele no mentiu. b) Rodrigo culpado. c) Se Rodrigo no mentiu, ento ele culpado. d) Rodrigo mentiu. e) Se Rodrigo culpado, ento ele mentiu. 11. (FCC-ICMS-SP) Se voc se esforar, ento ir vencer. Assim sendo, a) Seu esforo condio suficiente para vencer. b) Seu esforo condio necessria para vencer. c) Se voc no se esforar, ento no ir vencer. d) Voc vencer s se esforar. e) Mesmo que voc se esforce, voc no vencer. 12. (CESPE -SERPRO) Julgue o item seguinte: A tabela de verdade de P Q igual tabela de verdade de (P

Q)

P.

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(CESPE-DPF/DGP) Texto para os prximos dois itens. Sejam P e Q variveis proposicionais que podem ter valoraes, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variveis, podem ser obtidas novas proposies, tais como: a proposio condicional, denotada por P Q, que ser F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjuno de P e Q, denotada por P w Q, que ser F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situaes; a conjuno de P e Q, denotada por P v Q, que ser V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, ser F; e a negao de P, denotada por P, que ser F se P for V e ser V se P for F. Uma tabela de valoraes para uma dada proposio um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposio. A partir das informaes do texto acima, julgue os itens subseqentes.

13. (CESPE-DPF/DGP) As tabelas de valoraes das proposies P Q e Q P so iguais.

14. (CESPE-DPF/DGP) As proposies (P Q) S e (P S) (Q S) possuem tabelas de valoraes iguais.

15. (FCC-ICMS-SP) Se p e q so proposies, ento a proposio p ( q) equivalente a a) (p q) b) (p q) c) q

p d) (q

p) e) (p q) 16. (FCC-ICMS-SP) Das proposies abaixo, a nica que logicamente equivalente a p q a)) ~ q ~ p b) ~ q p c) ~ p ~ q d) q ~ p e) ~ (q p)

17. (FCC-ICMS-SP) Dentre as alternativas abaixo, assinale a correta. a) As proposies (p q) e ( p q) no so logicamente equivalentes. b) A negao da proposio Ele faz caminhada se, e somente se, o tempo est bom , a proposio Ele no faz

caminhada se, e somente se, o tempo no est bom . c) A proposio [ p (p q)] logicamente falsa. d) A proposio Se est quente, ele usa camiseta , logicamente equivalente proposio No est quente e ele usa

camiseta . e) A proposio Se a Terra quadrada, ento a Lua triangular falsa. 18. (FCC-ICMS-SP) Numa proposio composta s, aparecem as proposies simples p, q e r. Sua Tabela-Verdade

Usando a conjuno ( ), a disjuno ( ) e a negao ( ), pode-se construir sentenas equivalentes a s. Uma dessas sentenas a) ( p q r) (p q r) b) (p q r) ( p q r) c) (p q r) (p q r) d) (p q r) ( p q r) e) (p q r) ( p q r) 19. (FCC) Dizer que a afirmao todos os economistas so mdicos falsa, do ponto de vista lgico, equivale a dizer que a seguinte afirmao verdadeira: a) pelo menos um economista no mdico b) nenhum economista mdico c) nenhum mdico economista d) pelo menos um mdico no economista e) todos os no mdicos so no economistas

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20. (UFPR-TCE) Das alternativas abaixo, assinale aquela que apresenta uma afirmao que logicamente equivalente seguinte afirmao: Se eu penso no futuro, ento eu invisto parte do dinheiro que recebo . a) Eu penso no futuro e invisto parte do dinheiro que recebo. b) Eu no penso no futuro ou invisto parte do dinheiro que recebo. c) Eu penso no futuro e no invisto parte do dinheiro que recebo. d) Eu penso no futuro ou no invisto parte do dinheiro que recebo. e) Eu penso no futuro ou invisto parte do dinheiro que recebo.

21.(UFRJ-ANA) Sabendo-se que o smbolo denota negao e que o smbolo denota o conector lgico ou, a frmula A B, que lida se A ento B , pode ser reescrita como: a) A B b) A B c) A B d) A B e) (A B) 22. (ESAF-AFC-STN) Se Marcos no estuda, Joo no passeia. Logo: a) Marcos estudar condio necessria para Joo no passear. b) Marcos estudar condio suficiente para Joo passear. c) Marcos no estudar condio necessria para Joo no passear. d) Marcos no estudar condio suficiente para Joo passear. e) Marcos estudar condio necessria para Joo passear.

RESPOSTAS 01 Errada 02 a) F b) V c) V d) V e) V

f) V g) V h) F i) F 03 C

04 a) V b) V 05 B 06 D 07 A 08 E 09 E 10 A 11 A 12 Correta 13 Errada 14 Errada 15 B 16 A 17 C 18 A 19 A 20 B 21 B 22 E

16. ARGUMENTO

16.1. Argumento Argumento o raciocnio pelo qual se tira uma concluso.

16.2. Da lgica

16.3. Argumento a coleo (n+1) proposies; uma delas ser a concluso do argumento; as n outras sero a premissas. I) Premissas ou antecedente - a parte motora ou movente do raciocnio e que por isso o precede. II) Concluso ou conseqente - a parte movida ou causada [isto , aquela que provm do antecedente]. Trata-se, com efeito, do desfecho e objetivo de todo raciocnio. Expresses usuais na linguagem corrente que pode identificar as premissas de um argumento ou expresses para serem usadas nas premissas:

porque pois

em vista que tendo em conta que

Expresses usuais na linguagem corrente que pode identificar uma concluso ou expresses para serem usadas na concluso:

da logo

portanto por seguinte segue-se que

16.4. . FORMA MAIS FREQENTE PARA REPRESENTAR UM ARGUMENTO I) Com maior freqncia, as premissas aparecem em primeiro lugar e a concluso aparece no final. Um argumento de premissas P1, P2, P3, ... , Pn e de concluso Q, indicado na forma simblica, por:

P1, P2,

P3, . . . Pn

Q

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II) Quando as premissas e a concluso organizadas em coluna, um trao separa, as premissas acima do trao e a concluso abaixo do trao. Um argumento de premissas P1, P2, P3, ... , Pn e de concluso Q, indicado na padronizada, por:

P1 P2 P3

Pn

Q

16.5. CLCULO PROPOSICIONAL (ou CLCULO SENTENCIAL) um sistema pelo qual so analisar proposies simples (atmicas) combinadas pelos pelos operadores.

Operadores

16.6. PROPRIEDADES

No possvel ter a concluso falsa se as premissas forem verdadeiras.

A validade de um argumento depende da relao existente entre as premissas e a concluso.

Um argumento no vlido denominado de sofisma (ou falcia).

Quando um argumento vlido, conjuno entre as premissas em condicional com a concluso uma tautologia. Formato possvel de premissas e concluso As premissas como tambm a concluso, podem ser proposies simples ou compostas.

17. VALIDADE DE UM ARGUMENTO Diz-se que um argumento vlido se, e somente se, a concluso for verdadeira, sempre que as premissas forem verdadeiras.

O argumento P1, P2, P3. , Pn Q vlido se e somente se Q verdadeiro e P1, P2, P3, ... , Pn forem tambm verdadeiras

17.1. MTODO 1 VERIFICAO DE UM ARGUMENTO

Para a verificao se um argumento vlido ou no, usando a tabela verdade, siga a orientao na a seguir. Esse mtodo indicado para argumentos com no mximo duas proposies simples. LINHA 1 Constri-se a tabela verdade, uma coluna para cada premissa e uma para a concluso LINHA 2 Preenchida corretamente com os valores lgicos, em todas as colunas e linhas. LINHA 3 Identifique a(s) linha(s) cujos valores lgicos das premissas (P1, P2, P3 ...Pn) forem todas verdadeiras. Se

nesta(s) mesma(s) linha(s) a concluso tambm for verdadeira, dizemos que o argumento vlido.

LINHA 4

Outra forma que pode ser usada para fazer a verificao da validade ou no. Considerando o proposio, P1

P2

P3

...

Pn)

Q for uma tautologia, dizemos que o argumento vlido. Caso contrrio no vlido, diz-se que um sofisma ou uma falcia.

P1, P2, P3, ..., Pn Q vlido, se e somente se.

P1

P2

P3

P5 P1 P2 P3 ... Pn (P1 P2 P3 ... Pn) Q V V V V V V V

.

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17.2. MTODO 2 VERIFICAO DE UM ARGUMENTO

indicado quando a construo da tabela verdade for muito trabalhosa.

COLUNA 1 COLUNA 2 COLUNA 3 COLUNA 4 COLUNA 5

Mtodo indicado quando:

Seja o argumento

Imponha para que todas as premissas sejam verdadeiras

Procedimento final Quando a concluso est na posio de alternativa

Premissa P1

Atribua P1=verdadeira

Premissa P2


Premissa P3


Premissa P4


Quando o argumento formado por uma premissa que uma proposio simples.

p.ex.: p ou sua negao p.

Ou, quando uma premissa esteja na forma de uma proposio com o conectivo conjuno [e= ].

p.ex.: p q, p q , p q, p q.

concluso Q

Q=no atribua nenhum valor

Obtenha o valor lgico de cada proposio simples (p, q, r, s, ...) que formam as premissas.

Substitua estes valores lgicos na(s) proposio(es) simples (p, q, r, s, ...) que formam a concluso.

Se o resultado for uma verdade, ento o argumento vlido. Caso contrrio falso.

Execute os passos da coluna anterior (coluna 4) nas alternativas, at obter uma que seja verdadeira.

Essa ser a alternativa correta.

17.3. MTODO 3 VERIFICAO DE ARGUMENTOS

indicado quando a construo da tabela verdade for muito trabalhosa.

COLUNA 1 COLUNA 2 COLUNA 3 COLUNA 4 COLUNA 5

Mtodo indicado quando:

Seja o argumento

Imponha para que todas as premissas sejam verdadeiras e a concluso falsa

Procedimento final Quando a concluso est na posio de alternativa

Premissa P1


Premissa P2


Premissa P3


Premissa P4


Quando a concluso est representada por uma proposio simples. p.ex.: p ou sua negao p.

Ou, quando a concluso est na forma de uma disjuno [ou= ]. p.ex.: p q, p q,

p q, p q.

Ou, quando a concluso est na forma condicional [se...ento..= ]. p.ex.: p q,

p q, p q, p q.

concluso Q

Atribua

Q = falsa

Obtenha o valor lgico de cada proposio simples (p, q, r, s, ...) que formam a concluso. Fazendo uso desse valores

lgicos obtidos no passo anterior, obtenha o valor lgico de cada proposio simples faltantes (p, q, r, s, ...) que formam as premissas.

Se para todas as proposies simples, foi obtido um nico valor lgico, falso ou verdadeiro, e que verifica o que foi imposto na coluna 3, ento, o argumento invlido. Cuidado! Os valores lgicos atribudos s premissas e concluso (veja coluna 3), torna o argumento invlido.

Execute os passos da coluna anterior (coluna 4) nas alternativas, at obter uma que seja verdadeira, ou seja, que no verifica o que foi imposto. Essa ser a alternativa correta.

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TESTES RESOLVIDOS

ENUNCIADO PRINCIPAL

(CESPE-BB) Na lgica sentencial, denomina-se proposio uma frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas no, como ambas. Assim, frases como Como est o tempo hoje? e Esta frase falsa no so proposies porque a primeira pergunta e a segunda no pode ser nem V nem F. As proposies so representadas simbolicamente por letras maisculas do alfabeto

A, B, C etc. Uma proposio da forma A ou B F se A e B forem F, caso contrrio V; e uma proposio da forma Se A ento B F se A for V e B for F, caso contrrio V. Um raciocnio lgico considerado correto formado por uma seqncia de proposies tais que a ltima proposio verdadeira sempre que as proposies anteriores na seqncia forem verdadeiras. Considerando as informaes contidas no texto acima, julgue os itens subseqentes.

01. (CESPE-BB) correto o raciocnio lgico dado pela seqncia de proposies seguintes: Se Antnio for bonito ou Maria for alta, ento Jos ser aprovado no concurso. Maria alta. Portanto Jos ser aprovado no concurso.

RESOLUO Se Antnio for bonito ou Maria for alta, ento Jos ser aprovado no concurso. Maria alta. Portanto, Jos ser aprovado no concurso.

Legenda: A: Antnio for bonito M: Maria for alta J: Jos ser aprovado no concurso

Argumento organizado em coluna

Se A ou M, J. M_________ Portanto J.

Argumento organizado em coluna usando a simbologia.

J__________M

JMA

Argumento C1 C2 C3 C4 C5 C6 A M J JMA

M J V V V V V V V V F F V F V F V V F V V F F F F F F V V V V V F V F F V F F F V V F V F F F V F F

Na coluna C4 posio da primeira premissa. Na coluna C5 posio da segunda premissa. Na coluna C6 posio da concluso.

Um argumento vlido sempre que nas linhas em que as premissas so todas verdadeiras, a concluso tambm verdadeira. Observando a tabela acima, 1 e 5 linhas , temos que os valores lgicos das premissas so todas verdadeiras e, nessas mesmas linhas o argumento tambm verdadeiro, portanto, o argumento vlido. Resposta: A afirmativa do enunciado est CORRETA

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02. (CESPE-BB) correto o raciocnio lgico dado pela seqncia de proposies seguintes: Se Clia tiver um bom currculo, ento ela conseguir um emprego. Ela conseguiu um emprego. Portanto, Clia tem um bom currculo.

RESOLUO Se Clia tiver um bom currculo, ento ela conseguir um emprego. Ela conseguiu um emprego. Portanto, Clia tem um bom currculo.

Legenda: C: Clia tiver um bom currculo E: ela conseguir um emprego

Argumento organizado em coluna

Se C, ento E. E_________ Portanto C.

Argumento organizado em coluna usando a simbologia.

C_____E

EC

Argumento C1 C2 C3 C4 C5 C E EC

E C V V V V V V F F F V F V V V F F F V F F

Na coluna C3 posio da primeira premissa. Na coluna C4 posio da segunda premissa. Na coluna C5 posio da concluso.

Um argumento vlido sempre que nas linhas em que as premissas so todas verdadeiras, a concluso tambm verdadeira. Observando a tabela acima, 1 linha , temos que os valores lgicos das premissas e da concluso so todas verdadeiras. No entanto, na 3 linha as premissas so todas verdadeiras e a concluso falsa. Portanto, o argumento invlido.

Resposta: A afirmativa do enunciado est ERRADA

03.(UFPR-TCE) Se navegar preciso, ento viver no preciso; se navegar no preciso, ento criar no preciso. Mas Fernando Pessoa disse que criar preciso, logo: a) viver preciso e criar preciso. b) navegar preciso e viver no preciso. c) criar preciso e navegar no preciso. d) navegar preciso e viver preciso. e) navegar no preciso e viver no preciso.

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RESOLUO E COMENTRIOS

Premissas na linguagem corrente e respectivas legendas Simbilizado

P1 SE navegar preciso ENTO viver no preciso

p

q p

q P2 SE navegar no preciso ENTO criar no preciso

p

r p

r P3 criar preciso

r r

.

P3 r

=

V

Imponha para que a premissa seja verdadeira. Logo r = F

.

P2 p

r = V Imponha para que a premissa seja verdadeira ?

F = V Como r=F, p =F para manter premissa verdadeira F

F = V Resultado, p =F ento p=V .

P1 p

q = V Imponha para que a premissa seja verdadeira V

V = V De P2, obtemos p=V e

p =F. Para manter premissa verdadeira devemos fazer q=V, logo q=F

IV) Com os valores obtidos acima, o quadro da legenda fica:

p: navegar preciso V p: navegar no preciso F q: viver no preciso V q: viver preciso F r: criar no preciso F

r: criar preciso V

V) Resposta b) navegar preciso e viver no preciso. Verdadeiro e Verdadeiro =Verdadeiro navegar preciso e viver no preciso =V

Resposta: alternativa B

04. (UFPR-TCE) Considere as seguintes premissas: Calvino escreveu o visconde partido ao meio ou Malraux escreveu a morte do leo . Se Saramago escreveu ensaio sobre a cegueira ento Rimbaud escreveu a batalha . Se Malraux escreveu a morte do leo ento Rimbaud no escreveu a batalha . Saramago escreveu ensaio sobre a cegueira . Conclui-se que: a) Calvino escreveu O visconde partido ao meio e Malraux escreveu A morte do leo . b) Malraux no escreveu A morte do leo e Rimbaud no escreveu A batalha . c) Rimbaud escreveu A batalha e Calvino no escreveu O visconde partido ao meio . d) Calvino no escreveu O visconde partido ao meio ou Saramago no escreveu Ensaio sobre a cegueira . e) Saramago escreveu Ensaio sobre a cegueira ou Malraux escreveu A morte do leo . RESOLUO E COMENTRIOS

Premissas na linguagem corrente e respectivas legendas Simbilizado

P1

Calvino escreveu o visconde partido ao meio

OU Malraux escreveu a morte do leo

p

q p

q P2 SE Saramago escreveu ensaio

sobre a cegueira

ENTO Rimbaud escreveu a batalha

r

s r

s P3 SE Malraux escreveu a morte do leo

ENTO Rimbaud no escreveu a batalha

q

s q

s P4

Saramago escreveu ensaio sobre a cegueira

r

r

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I) P4 r

= V Imponha para que a premissa seja verdadeira V

= V Resultado, r = V , ento r

P2 r

s = V Imponha para que a premissa seja verdadeira V

? = V Como (r= V ), s = V para manter premissa verdadeira V

V = V Resultado, s =V ento s = F

P3 q

s = V Imponha para que a premissa seja verdadeira

?

F

Como ( s = F), q = F para manter premissa verdadeira F

F = V Resultado, q =F ento q = V

P1 p

q = V Imponha para que a premissa seja verdadeira ?

F

Como q = F), p = V para manter premissa verdadeira V

F = V Resultado, p =V ento p = F

IV) Com os valores obtidos acima, o quadro da legenda fica: p Calvino escreveu o visconde partido ao meio

V p Calvino no escreveu o visconde partido ao meio

F q Malraux escreveu a morte do leo

F q Malraux no escreveu a morte do leo

V r Saramago escreveu ensaio sobre a cegueira

V r Saramago no escreveu ensaio sobre a cegueira

F s Rimbaud escreveu a batalha

V s Rimbaud no escreveu a batalha

F

V) Resposta E. Saramago escreveu Ensaio sobre a cegueira ou Malraux escreveu A morte do leo . Verdadeiro OU Falso =V Saramago escreveu Ensaio sobre a cegueira

OU Malraux escreveu A morte do leo =V

Resposta: Alternativa E

05. (FCC-ICMS-SP) Considere os argumentos abaixo: Argumento \premissas Concluso

I a, a b b II a, a b b III b, a b a IV b, a b a

Indicando-se os argumentos legtimos por L e os ilegtimos por I, obtm-se, na ordem dada, a)) L , I, L , I. b) I, L , I, L . c) I, I, I, I. d) L , L , I, L . e) L , L , L , L . RESOLUO E COMENTRIOS

I) Primeiro argumento Premissas Concluso

TABELA 1 P1 P2 C

a b a a b b Linha 1 V V V V V Premissas V e concluso V

Linha 2 V F V F F Linha 3 F V F V V Linha 4 F F F V F

Se em todas as linhas que as premissas so verdadeiras V (observe linha 1, tabela 1), a concluso tambm verdadeira, ento podemos afirmar que o argumento vlido, legtimo.

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II) Segundo argumento Premissas Concluso

TABELA 2 P1 P2 C

a b a a b b Linha 1 V V F V F Linha 2 V F F F V Linha 3 F V V V F Premissas V e concluso F

Linha 4 F F V V V Premissas V e concluso V

Se em todas as linhas que as premissas so verdadeiras V (observe linha 3 e linha 4, tabela 2), a concluso no verdadeira nas mesmas linhas (linha 3, furou ), ento podemos afirmar que o argumento invlido, ilegtimo. III) Terceiro argumento

Premissas Concluso

TABELA 3 P1 P2 C

a b b a b a Linha 1 V V F V F Linha 2 V F V F V Linha 3 F V F V F Linha 4 F F V V V Premissas V e concluso V

Se em todas as linhas que as premissas so verdadeiras V (observe linha 4, tabela 3), a concluso tambm verdadeira, ento podemos afirmar que o argumento vlido, legtimo.

IV) Quarto argumento Premissas Concluso

TABELA 4 P1 P2 C

a b b a b a Linha 1 V V V V V Premissas V e concluso V

Linha 2 V F F F V Linha 3 F V V V F Premissas V e concluso F

Linha 4 F F F V F

Se em todas as linhas que as premissas so verdadeiras V (observe linha 1 e linha 3, tabela 4), a concluso no verdadeira nas mesmas linhas (linha 3, furou ), ento podemos afirmar que o argumento invlido, ilegtimo. Resposta: alternativa A

06.(ESAF-AFC-CGU) Mrcia no magra ou Renata ruiva. Beatriz bailarina ou Renata no ruiva. Renata no ruiva ou Beatriz no bailarina. Se Beatriz no bailarina ento Mrcia magra. Assim, a) Mrcia no magra, Renata no ruiva, Beatriz bailarina. b) Mrcia magra, Renata no ruiva, Beatriz bailarina. c) Mrcia magra, Renata no ruiva, Beatriz no bailarina. d) Mrcia no magra, Renata ruiva, Beatriz bailarina. e) Mrcia no magra, Renata ruiva, Beatriz no bailarina. RESOLUO I) Legenda P: Mrcia no magra

P: Mrcia magra Q: Renata ruiva

Q: Renata no ruiva R: Beatriz bailarina

R: Beatriz no bailarina

II) Do enunciado Simbolizado Mrcia no magra ou Renata ruiva P1

P Q Beatriz bailarina ou Renata no ruiva. P2

R

Q Renata no ruiva ou Beatriz no bailarina P3

Q

R Se Beatriz no bailarina ento Mrcia magra P4

R

P

C Concluso (alternativa)

III) Resolvendo por hiptese. Atribua para P o valor lgico verdadeiro (P=V), como conseqncia ( P=F). Escolha as premissas na ordem que facilite o estudo do valor lgico das demais proposies simples, partindo da hiptese acima.

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P4 R

P = V Imponha para que a premissa seja verdadeira ?

F = V Como ( P=F), R =F para manter premissa verdadeira F

F = V Resultado, R =F ento R=V

P3 Q

R = V Imponha para que a premissa seja verdadeira ?

F = V Como ( R=F), Q =V para manter premissa verdadeira V

F = V Resultado, Q =V ento Q=F

P2 R

Q = V Imponha para que a premissa seja verdadeira V

V = V De P4 e P3, obtemos R=V e Q =V, est verificada a hipt.

P1 P

Q = V Imponha para que a premissa seja verdadeira V

F = V De P4 e P3, obtemos P=V e Q =F, est verificada a hipt.

IV) Com os valores obtidos acima, o quadro da legenda fica:

P: Mrcia no magra V P: Mrcia magra F

Q: Renata ruiva F Q: Renata no ruiva V

R: Beatriz bailarina V R: Beatriz no bailarina F

V) Resposta A. a) Mrcia no magra, Renata no ruiva, Beatriz bailarina. Verdadeiro e Verdadeiro e Verdadeiro = V Mrcia no magra e Renata no ruiva e Beatriz bailarina = V

07.(ESAF-AFC-CGU) Se X est contido em Y, ento X est contido em Z. Se X est contido em P, ento X est contido em T. Se X no est contido em Y, ento X est contido em P. Ora, X no est contido em T. Logo: a) Z est contido em T e Y est contido em X. b) X est contido em Y e X no est contido em Z. c) X est contido em Z e X no est contido em Y. d) Y est contido em T e X est contido em Z. e) X no est contido em P e X est contido em Y. RESOLUO I) Legenda P: X est contido em Y

P: X NO est contido em Y Q: X est contido em Z

Q: X NO est contido em Z R: X est contido em P

R: X NO est contido em P S: X est contido em T

S: X NO est contido em T

II) Do enunciado Simbolizado Se X est contido em Y, ento X est contido em Z P1

P Q Se X est contido em P, ento X est contido em T P2

R S Se X no est contido em Y, ento X est contido em P P3

P R X no est contido em T P4

S

C Concluso (alternativa)

III) Atribuindo para todas as premissas o valor lgico verdadeiro, temos imediatamente que em P4: S=V, ento S=F. Com estes valores lgicos obtidos, usaremos nas demais premissas.

P2 R

S = V Imponha para que a premissa seja verdadeira ?

F = V Como (S=F), R =F para manter premissa verdadeira F

F = V Resultado, R =F ento R=V

Tcnico Judicir io



43

P3 P

R = V Imponha para que a premissa seja verdadeira ?

F = V Como (R=F), P =F para manter premissa verdadeira F

F = V Resultado, P =F ento P=V

P1 P

Q = V Imponha para que a p

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