2 - Matemática Financeira

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Didatismo e Conhecimento 1

MATEMÁTICA FIINANCEIRA

Professor José Rubens Antoniazzi SilvaLicenciatura em Matemática pelas Faculdades Adamantinenses Integras e em Pedagogia pela Universidade Nove de Julho. Profes-

sor titular de matemática na rede pública de ensino do Estado de São Paulo e professor coordenador de núcleo pedagógico da diretoria de ensino região de Tupã.

JUROS SIMPLES E COMPOSTOS.

O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros.

Devemos sempre relacionar taxa e tempo numa mesma unidade:Taxa anual --------------------- tempo em anosTaxa mensal-------------------- tempo em mesesTaxa diária---------------------- tempo em dias

Consideremos, como exemplo, o seguinte problema:Uma pessoa empresta a outra, a juros simples, a quantia de R$ 3. 000,00, pelo prazo de 4 meses, à taxa de 2% ao mês. Quanto deverá

ser pago de juros?

Resolução:- Capital aplicado (C): R$ 3.000,00- Tempo de aplicação (t): 4 meses- Taxa (i): 2% ou 0,02 a.m. (= ao mês)

Fazendo o cálculo, mês a mês:- No final do 1º período (1 mês), os juros serão: 0,02 x R$ 3.000,00 = R$ 60,00- No final do 2º período (2 meses), os juros serão: R$ 60,00 + R$ 60,00 = R$ 120,00- No final do 3º período (3 meses), os juros serão: R$ 120,00 + R$ 60,00 = R$ 180,00- No final do 4º período (4 meses), os juros serão: R$ 180,00 + R$ 60,00 = R$ 240,00

Desse modo, no final da aplicação, deverão ser pagos R$ 240,00 de juros.Fazendo o cálculo, período a período:- No final do 1º período, os juros serão: i.C- No final do 2º período, os juros serão: i.C + i.C- No final do 3º período, os juros serão: i.C + i.C + i.C------------------------------------------------------------------------------- No final do período t, os juros serão: i.C + i.C + i.C + ... + i.C

Portanto, temos: J = C . i . t

Observações:

1) A taxa i e o tempo t devem ser expressos na mesma unidade. 2) Nessa fórmula, a taxa i deve ser expressa na forma decimal.3) Chamamos de montante (M) a soma do capital com os juros, ou seja: Na fórmula J= C . i . t, temos quatro variáveis. Se três delas

forem valores conhecidos, podemos calcular o 4º valor.M=C+ j

Exemplos Resolvidos

Atenção: na resolução dos exercícios apresentamos t como n, pois ambas as incógnitas são utilizadas em questões de concursos para representar tempo.


MATEMÁTICA FIINANCEIRA1) Comprei um novo computador, mas como não tinha o dinheiro todo, fiz um empréstimo para pagá-lo. Ao final do empréstimo terei

pago R$ 4.300,00. Só de juros pagarei R$ 1.800,00. A taxa foi de 3% a.m. Por quantos anos pagarei pelo empréstimo? Qual o preço do computador sem os juros?

Primeiramente iremos calcular o valor do capital.

A diferença entre o montante (R$ 4.300,00) e o valor total do juro (R$ 1.800,00), nos dá o valor do capital:

Veja que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Neste caso, devemos converter uma das unidades.

Montando uma regra de três simples direta, temos:

Resolvendo:

Identificando-se os termos disponíveis, temos:

Para calcularmos o período de tempo utilizaremos a fórmula:

Substituindo o valor dos termos temos:

Logo:

Portanto:

O valor do computador sem os juros era de R$ 2.500,00 e o prazo de pagamento foi de 2 anos.


MATEMÁTICA FIINANCEIRA2) Comprei o material para a reforma da minha casa, pelo qual pagarei um total de R$ 38.664,00. O seu valor à vista era de R$ 27.000,00

e a taxa de juros é de 2,4% a.m. Por quantos anos eu pagarei por este material?

Em primeiro lugar, devemos calcular o valor do juro total.Obtemos o valor juro total ao subtrairmos do montante (R$ 38.664,00), o valor do capital (R$ 27.000,00):

Observe que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Nestas condições, devemos converter uma das unidades.


Resolvendo:

Identificando-se as variáveis disponíveis, temos:


3) Claudia retirou de uma aplicação o total R$ 74.932,00, após decorridos 3,5 semestres. O valor dos juros obtidos foi de R$ 22.932,00. Qual a taxa de juros a.b.?

Inicialmente o valor do capital será obtido subtraindo-se do montante (R$ 74.932,00), o valor total do juro (R$ 22.932,00):

Veja bem que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Sendo assim, devemos converter uma das unidades.



MATEMÁTICA FIINANCEIRAResolvendo:


Para calcularmos a taxa de juros utilizaremos a fórmula:


4) João pagou mensalmente, pelo período de 1 ano, por um curso que à vista custava R$ 1.800,00. Por não ter o dinheiro, financiou-o a uma taxa de juros simples de 1,3% a.m. Qual o valor total pago pelo curso? Qual o valor dos juros?



Para calcularmos o juro utilizaremos a fórmula:


Logo:

O montante é obtido somando-se ao valor do capital, o valor total dos juros. Tal como na fórmula:

Ao substituirmos o valor dos termos temos:

Portanto:

O valor dos juros foi de R$ 280,80, que acrescentado ao preço do curso de R$ 1.800,00, totalizou R$ 2.080,80.


MATEMÁTICA FIINANCEIRA5) Um aplicador investiu R$ 35.000,00 por 1 semestre, à taxa de juros simples de 24,72% a.a. Em quanto o capital foi aumentado por

este investimento?

Observe que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Nestas condições, devemos converter uma das unidades.


Resolvendo:




Logo:

Portanto:

Com investimento o capital aumento R$ 4.326,00.

6) Minha aplicação rendeu de juros R$ 21,60. O dinheiro ficou aplicado por 20 dias. Eu havia aplicado R$ 1.800,00. Qual foi a taxa de juros a.b. da aplicação?




MATEMÁTICA FIINANCEIRASubstituindo o valor dos termos temos:

No entanto, como a unidade de tempo da taxa solicitada está em bimestres (‘a.b.’) e o cálculo foi realizado na unidade do período de tempo que está em ‘dias’, devemos converter a unidade de tempo da taxa calculada de a.d. (‘dias’) para a.b. (‘bimestres’).

Logo:

Resolvendo:

Portanto:

. 3,6% a.b. foi a taxa de juros simples da aplicação.

7) Anita realizou uma aplicação por um período de 1 semestre. Em tal período o capital de R$ 8.000,00 rendeu a ela R$ 880,00 de juros. Qual foi a taxa de juros a.t. utilizada?

Veja bem que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Sendo assim, devemos converter uma das unidades.




Logo:

Portanto:

A aplicação foi realizada à uma taxa de juros simples de 5,5% a.t.


MATEMÁTICA FIINANCEIRA8) O Sr. Gouveia recebeu R$ 5.000,00 de juros, por um empréstimo de 10 dias. A taxa de juros aplicada foi de 7,5% a.m. Quanto o Sr.

Gouveia havia emprestado?Esteja atento que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Quando isto acontece, devemos converter

uma das unidades.


Resolvendo:

Identificando-se as variáveis, temos:



Logo:

Portanto:

O Sr. Gouveia havia emprestado R$ 200.000,00, pelo qual recebeu R$ 5.000,00 de juros, à taxa de 7,5% a.m. pelo período de 10 dias.

9) Fulano recebeu R$ 6.300,00 de juros ao aplicar R$ 70.000,00 à taxa de 36% a.a. Qual foi o prazo da aplicação em meses?



Resolvendo:


MATEMÁTICA FIINANCEIRAIdentificando-se os termos disponíveis, temos:



Logo:

Portanto:

O prazo da aplicação foi de 3 meses. Aplicação esta que ren-deu a Fulano R$ 6.300,00 de juros ao investir R$ 70.000,00 à taxa de 36% a.a.

10) Calcule o montante e os juros referentes a um capital de R$ 186.500,00 investido a 6,5% a.b., durante 4 trimestres.



Resolvendo:




Logo:

Juros compostos

O ganho, após cada período, é incorporado ao principal e, por sua vez, passa a render juros. Por esta razão, é também conhecido como “juros sobre juros”, ou seja, o saldo cresce em progressão geométrica. É uma metodologia mais complexa que a dos juros simples e a utilizada em, praticamente, todas as formas de empréstimos das financeiras e instituições bancárias.

Os cálculos com juros compostos serão sempre variações da fórmula universal, a seguir:

+ i)n

i = taxa de juro em cada períodon = período

Importante: assim como nos juros simples, os juros serão sempre expressos, nas fórmulas, em sua forma de fração decimal. Exemplos:

Percentual Fração decimal (¸100)0,5% 0,00550% 0,50100% 1,00

O cálculo da taxa de juros do período (acumulada) é dado pela fórmula:

in= (1+i)n–1in = taxa de juros acumulado do períodoi = taxa de juros em cada períodon = período

Exemplo: considere um empréstimo, a juros compostos, com taxa de 2% ao mês e prazo de 4 meses. Qual será a taxa acumula-da ao final do período?

in = (1 + 0,02)4 -1in = (1,02)4-1in = 1,0824 – 1in = 0,0824 ou 8,24%

Para o cálculo dos juros, utiliza-se a fórmula seguinte:

j = C . inj = jurosC = capital inicialin = taxa de juro acumulado do período


MATEMÁTICA FIINANCEIRAExemplo: considere um empréstimo, a juros compostos, no

valor de R$ 100 mil, prazo de 3 meses e taxa de 2% ao mês. Qual o valor dos juros?

j = 100.000,00 × [ (1,02)3 –1]j = 100.000,00 × [ 1,061208 – 1]j = 100.000,00 × 0,061208j = 6.120,80

Referências

Grupo Virtuous. Só matemática. Ensino Fundamental. Juros simples. Disponível em: http://www.somatematica.com.br/eme-dio/finan2

Matemática Didática. Porcentagem e Juros. Disponível em: http://www.matematicadidatica.com.br/Porcentagem

Passei Direto. Disponível em: https://www.passeidireto.com/arquivo/1599335/exercicios_matematica_finaceiraexercicios_ma-tematica_finaceira

CAPITALIZAÇÃO E OPERAÇÕES DE DESCONTO.

O desconto é a diferença entre o valor nominal futuro de um título e seu valor atual. Há dois tipos básicos de descontos: co-mercial (por fora) e racional (por dentro).

Va = N-DVa = valor atualN = valor nominal (futuro)D = desconto

Desconto simples comercial

Também conhecido como desconto bancário. É muito seme-lhante ao cálculo dos juros simples e é dado pela fórmula:

Dsc = N.i.nDsc = Desconto simples comercialN = valor nominal (futuro)i = taxa de jurosn = período

Exemplo:

Um título de R$ 100 mil, com vencimento para daqui a três meses, foi descontado (desconto simples comercial) por uma taxa de 4% ao mês. Qual foi o desconto? Qual o valor recebido (valor atual) pelo título?

Dsc = 100.000,00 x 0,04 x 3Dsc = 100.000,00 x 0,12Dsc = 12.000,00Va = 100.000,00 – 12.000,00Va = 88.000,00

Desconto simples racional

Para o valor atual, neste tipo de desconto, obtemos pela fór-mula:

Va = __N__ (1+i.n)Va = valor atualN = valor nominal (futuro)i = taxa de jurosn = período

Neste caso, o desconto é calculado sobre o valor atual do título, como na fórmula a seguir:

Dsc = Va.i.nDsc = desconto simples comercialVa = valor atuali = taxa de jurosn = período

Exemplo:

Um título de R$ 100 mil, com vencimento para daqui a três meses, foi descontado (desconto simples racional) por uma taxa de 4% ao mês. Qual o valor recebido (valor atual) pelo título? Qual foi o desconto?

Va = _100.000,00_(1+ 0,04 x 3)Va = _100.000,00_(1,12)Va = 89.285,71

Dsr = 89.285,71 x 0,12Dsr = 10.714,29

ou pela conta mais simples:

Dsr = N – VaDsr = 100.000,00 – 89.285,71Dsr = 10.714,29

Desconto composto comercial e racional

Os descontos (simples ou composto) têm metodologias pare-cidas, diferenciando-se apenas pela forma cálculo dos juros.

Desconto composto comercial (por fora)

É raramente utilizado no Brasil. Primeiramente, encontramos o valor atual dado pela fórmula:

Va = N.[(1-i)n]Va = Valor atualN = valor nominal (futuro)i = taxa de jurosn = período


MATEMÁTICA FIINANCEIRADcc = N - VaDcc = Desconto composto comercialVa = Valor atualN = valor nominal (futuro)

Exemplo: um título de R$ 100 mil, com vencimento para daqui a três meses, foi descontado (desconto composto comercial) por uma taxa de 4% ao mês. Qual foi o desconto? Qual o valor recebido (valor atual) pelo título?

Va = 100.000,00 x [ (1-0,04)3]Va = 100.000,00 x 0,8847Va = 88.470,00

Dsc = 100.000,00 – 88.470,00Dsc = 11.530,00

Desconto composto racional (por dentro)

Este é bastante utilizado no mercado financeiro aqui no Brasil e, por essa razão, estaremos focando mais os exercícios nele. É descrito pela fórmula a seguir:

Dcr = N. [(1+i)n-1] (1+i)n

Dcr = desconto composto racional (por dentro)N = valor nominal (futuro)i = taxa de jurosn = período

Para o valor atual, neste tipo de desconto, obtemos pela fórmula:

Va = __N__ (1+i)n

Va = valor atualN = valor nominal (futuro)i = taxa de jurosn = período

Exemplo: um título de R$ 100 mil, com vencimento para daqui a três meses, foi descontado (desconto composto racional) por uma taxa de 4% ao mês. Qual o valor recebido (valor atual) pelo título? Qual foi o desconto?

Va = _100.000,00_ (1+ 0,04)3

Va = _100.000,00_ (1,124864)

Va = 88.899,64

Dcr = 100.000,00 . _[(1 + 0,04)3 – 1] (1+ 0,04)3

Dcr = 100.000,00 . _(1,124864 – 1) 1,124864

Dcr = 100.000,00 . 0,1110036Dsr = 11.100,36

ou pela conta mais simples:

Dcr = N – VaDcr = 100.000,00 – 88.899,64Dcr = 11.100,36

ReferênciasPassei Direto. Disponível em: https://www.passeidireto.com/

arquivo/1599335/exercicios_matematica_finaceiraexercicios_ma-tematica_finaceira

TAXAS DE JUROS: NOMINAL, EFETIVA, EQUIVALENTES, REAL E APARENTE.

Podemos definir a taxa nominal como aquela em que a unida-de de referência do seu tempo não coincide com a unidade de tem-po dos períodos de capitalização. É usada no mercado financeiro, mas para cálculo deve-se encontrar a taxa efetiva. Por exemplo, a taxa nominal de 12% ao ano, capitalizada mensalmente, resultará em uma taxa mensal de 1% ao mês. Entretanto, quando esta taxa é capitalizada pelo regime de juros compostos, teremos uma taxa efetiva de 12,68% ao ano.

Taxa NominalA taxa nominal de juros relativa a uma operação financeira,

pode ser calculada pela expressão: Taxa nominal = Juros pagos / Valor nominal do empréstimoAssim, por exemplo, se um empréstimo de $100.000,00,

deve ser quitado ao final de um ano, pelo valor monetário de $150.000,00, a taxa de juros nominal será dada por:

Juros pagos = Jp = $150.000 – $100.000 = $50.000,00Taxa nominal = in = $50.000 / $100.000 = 0,50 = 50%Sem dúvida, se tem um assunto que gera muita confusão na

Matemática Financeira são os conceitos de taxa nominal, taxa efe-tiva e taxa equivalente. Até na esfera judicial esses assuntos geram muitas dúvidas nos cálculos de empréstimos, financiamentos, con-sórcios e etc.

Vamos tentar esclarecer esses conceitos, que na maioria das vezes nos livros e apostilas disponíveis no mercado, não são apre-sentados de um maneira clara.

Temos a chamada taxa de juros nominal, quando esta não é realmente a taxa utilizada para o cálculo dos juros (é uma taxa “sem efeito”). A capitalização (o prazo de formação e incorpora-ção de juros ao capital inicial) será dada através de uma outra taxa, numa unidade de tempo diferente, taxa efetiva.

Como calcular a taxa que realmente vai ser utilizada; isto é, a taxa efetiva?

Vamos acompanhar através do exemplo

Taxa EfetivaCalcular o montante de um capital de R$ 1.000,00 aplicados

durante 18 meses, capitalizados mensalmente, a uma taxa de 12% a.a. Explicando o que é taxa Nominal, efetiva mensal e equi-valente mensal:


MATEMÁTICA FIINANCEIRARespostas e soluções:1) A taxa Nominal é 12% a.a; pois o capital não vai ser capita-

lizado com a taxa anual.2) A taxa efetiva mensal a ser utilizada depende de duas con-

venções: taxa proporcional mensal ou taxa equivalente mensal.a) Taxa proporcional mensal (divide-se a taxa anual por 12):

12%/12 = 1% a.m.b) Taxa equivalente mensal (é aquela que aplicado aos R$

1.000,00, rende os mesmos juros que a taxa anual aplicada nesse mesmo capital).

Cálculo da taxa equivalente mensal:

( ) 11 −+= tq

tiqi

onde:iq : taxa equivalente para o prazo que eu queroit : taxa para o prazo que eu tenhoq : prazo que eu querot : prazo que eu tenho

( ) 112,01 121−+=qi = (1,12)0,083333 – 1

iq = 0,009489 a.m ou iq = 0,949 % a.m. 3) Cálculo do montante pedido, utilizando a taxa efetiva men-

sal

a) pela convenção da taxa proporcional:M = c (1 + i)n

M = 1000 (1 + 0,01) 18 = 1.000 x 1,196147M = 1.196,15 b) pela convenção da taxa equivalente:

M = c (1 + i)n

M = 1000 (1 + 0,009489) 18 = 1.000 x 1,185296M = 1.185,29 NOTA: Para comprovar que a taxa de 0,948% a.m é equiva-

lente a taxa de 12% a.a, basta calcular o montante utilizando a taxa anual, neste caso teremos que transformar 18 meses em anos para fazer o cálculo, ou seja : 18: 12 = 1,5 ano. Assim:

M = c (1 + i)n

M = 1000 (1 + 0,12) 1,5 = 1.000 x 1,185297M = 1.185,29 Conclusões:- A taxa nominal é 12% a.a, pois não foi aplicada no cálculo

do montante. Normalmente a taxa nominal vem sempre ao ano!- A taxa efetiva mensal, como o próprio nome diz, é aque-

la que foi utilizado para cálculo do montante. Pode ser uma taxa proporcional mensal (1 % a.m.) ou uma taxa equivalente mensal (0,949 % a.m.).

- Qual a taxa efetiva mensal que devemos utilizar? Em se tra-tando de concursos públicos a grande maioria das bancas exami-nadores utilizam a convenção da taxa proporcional. Em se tratando do mercado financeiro, utiliza-se a convenção de taxa equivalente.

Taxa EquivalenteTaxas Equivalentes são taxas que quando aplicadas ao mes-

mo capital, num mesmo intervalo de tempo, produzem montantes iguais. Essas taxas devem ser observadas com muita atenção, em alguns financiamentos de longo prazo, somos apenas informados da taxa mensal de juros e não tomamos conhecimento da taxa anual ou dentro do período estabelecido, trimestre, semestre entre outros. Uma expressão matemática básica e de fácil manuseio que nos fornece a equivalência de duas taxas é:

1 + ia = (1 + ip)n, onde: ia = taxa anual ip = taxa período n: número de períodos

Observe alguns cálculos:

Exemplo 1Qual a taxa anual de juros equivalente a 2% ao mês? Temos que: 2% = 2/100 = 0,02 1 + ia = (1 + 0,02)12 1 + ia = 1,0212 1 + ia = 1,2682 ia = 1,2682 – 1 ia = 0,2682 ia = 26,82%

A taxa anual de juros equivalente a 2% ao mês é de 26,82%. As pessoas desatentas poderiam pensar que a taxa anual nesse

caso seria calculada da seguinte forma: 2% x 12 = 24% ao ano. Como vimos, esse tipo de cálculo não procede, pois a taxa anual foi calculada de forma correta e corresponde a 26,82% ao ano, essa variação ocorre porque temos que levar em conta o andamento dos juros compostos (juros sobre juros).

Taxa RealA taxa real expurga o efeito da inflação. Um aspecto interes-

sante sobre as taxas reais de juros é que, elas podem ser inclusive, negativas.

Vamos encontrar uma relação entre as taxas de juros nominal e real. Para isto, vamos supor que um determinado capital P é apli-cado por um período de tempo unitário, a uma certa taxa nominal in

O montante S1 ao final do período será dado por S1 = P(1 + in).Consideremos agora que durante o mesmo período,

a taxa de inflação (desvalorização da moeda) foi igual a j. O capital corrigido por esta taxa acarretaria um montante S2 = P (1 + j).

A taxa real de juros, indicada por r, será aquela que aplicada ao montante S2, produzirá o montante S1. Poderemos então escre-ver: S1 = S2 (1 + r)

Substituindo S1 e S2 , vem:P(1 + in) = (1+r). P (1 + j)Daí então, vem que:(1 + in) = (1+r). (1 + j), onde:in = taxa de juros nominalj = taxa de inflação no períodor = taxa real de jurosObserve que se a taxa de inflação for nula no período, isto é, j

= 0, teremos que as taxas nominal e real são coincidentes.


MATEMÁTICA FIINANCEIRAExemploNuma operação financeira com taxas pré-fixadas, um banco

empresta $120.000,00 para ser pago em um ano com $150.000,00. Sendo a inflação durante o período do empréstimo igual a 10%, pede-se calcular as taxas nominal e real deste empréstimo.

Teremos que a taxa nominal será igual a:in = (150.000 – 120.000)/120.000 = 30.000/120.000 = 0,25 =

25%Portanto in = 25%Como a taxa de inflação no período é igual a j = 10% = 0,10,

substituindo na fórmula anterior, vem:(1 + in) = (1+r). (1 + j)(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,10)1,25 = (1 + r).1,101 + r = 1,25/1,10 = 1,1364Portanto, r = 1,1364 – 1 = 0,1364 = 13,64%Se a taxa de inflação no período fosse igual a 30%, teríamos

para a taxa real de juros:(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,30)1,25 = (1 + r).1,301 + r = 1,25/1,30 = 0,9615Portanto, r = 0,9615 – 1 = -,0385 = -3,85% e, portanto tería-

mos uma taxa real de juros negativa.Exemplo$100.000,00 foi emprestado para ser quitado por $150.000,00

ao final de um ano. Se a inflação no período foi de 20%, qual a taxa real do empréstimo?

Resposta: 25%

Taxa Aparente

Os rendimentos financeiros são responsáveis pela correção de capitais investidos perante uma determinada taxa de juros. As ta-xas de juros são corrigidas pelo governo de acordo com os índices inflacionários referentes a um período. Isso ocorre, no intuito de corrigir a desvalorização dos capitais aplicados durante uma cres-cente alta da inflação.

Entendemos por taxa aparente o índice responsável pelas operações correntes. Dizemos que a taxa real e a aparente são as mesmas quando não há a incidência de índices inflacionários no período. Mas quando existe inflação, a taxa aparente será formada por dois componentes: um ligado à inflação e outro, ao juro real.

ExemploUm banco oferece uma aplicação na qual a taxa de juros efe-

tiva corresponde a 12% ao ano. Considerando-se que no mesmo período fora registrada uma inflação de 5%, podemos afirmar que a taxa de 12% oferecida pelo banco não foi a taxa real de remune-ração do capital, mas sim uma taxa aparente, pois os preços nesse período foram reajustados.

Para descobrirmos a taxa de juros real, devemos aplicar o ca-pital à taxa de 12% e corrigir monetariamente o mesmo capital usando o índice inflacionário do período. Feitos esses cálculos basta realizar a comparação entre os valores obtendo a taxa real de rendimento.

Supondo um capital de R$ 150,00, determine a taxa real de acordo com as condições demonstradas.

Montante da aplicação referente à taxa de juros de 12%150 * 1,12 = 168

Montante da correção do índice inflacionário correspondente a 5%

150 * 1,05 = 157,5Observe que o ganho real foi de R$ 10,50 em relação ao

valor corrigido de acordo com o índice inflacionário. Portanto, a taxa real pode ser dada pela seguinte divisão:

10,5 / 157,5 = 0,066 = 6,6%A taxa real foi de 6,6%.Podemos determinar a taxa real, a taxa aparente e a inflação

de uma forma simples, utilizando a seguinte expressão matemá-tica:

1 + ia = ( 1 + ir ) * ( 1 + I )Onde:ia = taxa aparenteir = taxa realI = inflação

Exemplo 1Um empréstimo foi realizado a uma taxa de 32% ao ano.

Considerando-se que a inflação do período foi de 21%, determine a taxa real anual.

Taxa aparente = 32% = 0,32Inflação = 21% = 0,211 + 0,32 = (1 + ir) * (1 + 0,21)1,32 = (1 + ir) * 1,211,32/1,21 = 1 + ir1,09 = 1 + irir = 1,0909 – 1ir = 0,0909ir = 9,09%A taxa real anual foi equivalente a 9,09%.

Exemplo 2Uma instituição financeira cobra uma taxa real aparente de

20% ano, com a intenção de ter um retorno real de 8% ao ano. Qual deve ser a taxa de inflação?

Taxa aparente = 20% = 0,2Taxa real = 8% = 0,081 + 0,2 = (1 + 0,08) * (1 + I)1,2 = 1,08 * (1 + I)1,2 / 1,08 = 1 + I1,11 = 1 + I1,11 – 1 = II = 0,11I = 11%A taxa de inflação deve ser igual a 11%.

Exemplo 3Qual deve ser a taxa aparente que equivale a uma taxa real de

1,2% ao mês e uma inflação de 15% no período?Taxa real = 1,2% = 0,012Inflação = 15% = 0,151 + ia = (1 + 0,012) * (1 + 0,15)1 + ia = 1,012 * 1,151 + ia = 1,1638ia = 1,1638 – 1ia = 0,1638ia = 16,38%


MATEMÁTICA FIINANCEIRATaxa AparenteOs rendimentos financeiros são responsáveis pela correção

de capitais investidos perante uma determinada taxa de juros. As taxas de juros são corrigidas pelo governo de acordo com os índi-ces inflacionários referentes a um período. Isso ocorre, no intuito de corrigir a desvalorização dos capitais aplicados durante uma crescente alta da inflação.

Entendemos por taxa aparente o índice responsável pelas operações correntes. Dizemos que a taxa real e a aparente são as mesmas quando não há a incidência de índices inflacionários no período. Mas quando existe inflação, a taxa aparente será formada por dois componentes: um ligado à inflação e outro, ao juro real.

ExemploUm banco oferece uma aplicação na qual a taxa de juros efe-

tiva corresponde a 12% ao ano. Considerando-se que no mesmo período fora registrada uma inflação de 5%, podemos afirmar que a taxa de 12% oferecida pelo banco não foi a taxa real de remune-ração do capital, mas sim uma taxa aparente, pois os preços nesse período foram reajustados.

Para descobrirmos a taxa de juros real, devemos aplicar o ca-pital à taxa de 12% e corrigir monetariamente o mesmo capital usando o índice inflacionário do período. Feitos esses cálculos basta realizar a comparação entre os valores obtendo a taxa real de rendimento.

Supondo um capital de R$ 150,00, determine a taxa real de acordo com as condições demonstradas.

Montante da aplicação referente à taxa de juros de 12%150 * 1,12 = 168Montante da correção do índice inflacionário correspondente

a 5%150 * 1,05 = 157,5Observe que o ganho real foi de R$ 10,50 em relação ao valor

corrigido de acordo com o índice inflacionário. Portanto, a taxa real pode ser dada pela seguinte divisão:

10,5 / 157,5 = 0,066 = 6,6%A taxa real foi de 6,6%.Podemos determinar a taxa real, a taxa aparente e a inflação de

uma forma simples, utilizando a seguinte expressão matemática:1 + ia = ( 1 + ir ) * ( 1 + I )Onde:ia = taxa aparenteir = taxa realI = inflação

EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS.

Dois ou mais valores (aplicação ou empréstimo) com suas determinadas datas de vencimento são considerados capitais equi-valentes quando, calculados para uma mesma data e com a mesma taxa de juros, tiverem valores iguais.

Exemplo: considere dois títulos: um de R$ 104.000,00 e outro de R$ 106.000,00, vencendo, respectivamente, em 2 e 3 meses. Com uma taxa de juros (simples) de 2% ao mês, verifique se, para a data atual, são valores equivalentes.

Va1 = _104.000,00_ [1+ (0,02x2)]

Va1 = 100.000,00

Va2 = _106.000,00_ [1+ (0,02x3)]

Va2 = 100.000,00

Exemplo: considere dois títulos: um de R$ 100.000,00 e outro de R$ 104.040,00, vencendo, respectivamente, em 2 e 4 meses. Com uma taxa de juros (composto) de 2% ao mês, verifique se, para a data atual, são valores equivalentes.

Va1 = _100.000,00_ (1+ 0,02)2

Va1 = 96.116,88

Va2 = _104.040,00_ (1+ 0,02)4

Va2 = 96.116,88

São valores equivalentes.

Referências

Marques, Paulo. Taxas. Disponível em: http://www.paulomar-ques.com.br/arq9-14

RENDAS UNIFORMES E VARIÁVEIS.

São pagamentos ou recebimentos feitos ao longo do tempo.

- Se forem para o pagamento de uma dívida, dizemos que é uma amortização;

- Se forem para constituir um capital futuro, dizemos que o processo é de capitalização;

- Casos como o dos aluguéis, em que o pagamento é pelo uso, não ocorre amortização.

Chama-se termos ou parcelas, os valores que devem ser pa-gos ou recebidos ao longo do tempo. O intervalo de tempo existen-te entre dois termos consecutivos é chamado de período e o tempo de duração da renda chama-se prazo da renda.

Classificação das Rendas Certas:

As rendas são classificadas mediante quatro (4) critérios: va-lor dos termos, períodos, prazo e vencimento.


MATEMÁTICA FIINANCEIRAQuanto ao valor dos termos, as rendas podem ser:

CONSTANTES – os valores dos termos são iguais;

VARIÁVEIS – os valores dos temos são diferentes.

Quanto aos períodos, as rendas podem ser:

PERIÓDICAS – termos com períodos iguais;

NÃO PERIÓDICAS – termos com períodos diferentes.

Quanto ao prazo:

TEMPORÁRIAS – quando o número de termos for finito;

PERPÉTUAS – quando o número de termos for ilimitado (exemplo: aposentadoria).

Quanto ao vencimento:

IMEDIATAS: quando os termos forem exigidos a partir do primeiro período;

DIFERIDAS: quando os termos forem exigidos a partir de um outro período que não seja o primeiro; neste caso existirá um intervalo de tempo em que não ocorre o pagamento. Esse intervalo de tempo é chamado de CARÊNCIA.

Observe-se que tanto das rendas imediatas como as diferidas

podem ser:

ANTECIPADAS – quando os termos são exigíveis no início do período; ou

POSTECIPADAS ou VENCIDAS – quando os termos ven-cem no final do período.

Um tipo bastante comum que encontramos são as rendas certas constantes (prestações iguais), periódicas (pagamentos a intervalos regulares de tempo) e temporárias (número finito de termos), conhecidas, também, como SÉRIES DE PAGAMEN-TOS IGUAIS, ou ainda, SÉRIES UNIFORMES.

Simbologia utilizada: P = valor financiado (também chama-do de principal), valor presente ou também valor atual de uma sé-rie de pagamentos. P = valor financiado (chamado de principal, valor pre-

sente ou valor atual) da série R = valor de cada prestação ou termo n = número de termos (= número de prestações) i = taxa de juros considerada

Obs.: Em todo sistema de amortização, um valor financia-do P é amortizado mediante n pagamentos ou termos de valor R, segundo uma taxa de juros i. Tendo em vista o caráter periódico do sistema de rendas, utilizamos o REGIME DE JUROS COM-POSTOS para estudá-lo.

Valor Atual de uma Renda Imediata:

P = R . {(1 + i)n - 1} : i.(1 + i)n

Montante de Rendas Imediatas:

S = R. {(i + i)n – 1} : i

Exemplo: Se quisermos ter R$2.000.000,00 daqui a 12 me-ses, quanto deveremos depositar mensalmente sabendo que a taxa de juros é de 15% a.m.?

55,6896135025,4

000.300.35025,4000.300

15,0135025,5.000.000.2

15,01)15,1(.000.000.2

15,01)15,01(.000.000.2

1)1(

12

12

=

=

=

−=

−=

−+=

−+⋅=

R

R

R

R

R

R

iiRM

n

ReferênciasUniversidade de Mogi das Cruzes. Rendas. Disponí-

vel em; http://www.umcpos.com.br/centraldoaluno/arqui-vos/23_09_2011_172/ANUIDADES_OU_RENDAS_CERTAS

PLANOS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E DE FINANCIAMENTOS.

É a maneira como uma dívida evolui, por meio de pagamen-tos periódicos. A soma das prestações corresponderá ao reembolso dos juros e do capital.

Prestação = amortização + juros

Há diferentes formas de amortização, conforme descritas a seguir.

Para os exemplos numéricos descritos nas tabelas, em todas as diferentes formas de amortização, utilizaremos o mesmo exercí-cio: uma dívida de valor inicial de R$ 100 mil, prazo de três meses e juros de 3% ao mês.


MATEMÁTICA FIINANCEIRAPagamento único

É a quitação de toda a dívida (amortização + juros) em um único pagamento, ao final do período. Utilizamos a mesma fórmula do mon-tante:

nos juros simples:

M = C (1 + i×n)M = montanteC = capital iniciali = taxa de jurosn = período

nos juros compostos:

M = C (1+i)n

M = montanteC = capital iniciali = taxa de jurosn = período

Nos juros simples:

n Juros Amortização Prestação Saldo devedor0 - - - 100.000,00 1 3.000,00 - - 103.000,00 2 3.000,00 - - 106.000,00 3 3.000,00 100.000,00 109.000,00 -

Nos juros compostos:

n Juros Amortização Prestação Saldo devedor0 - - - 100.000,00 1 3.000,00 - - 103.000,00 2 3.090,00 - - 106.090,00 3 3.182,70 100.000,00 109.272,70 -

Sistema Price (Sistema Francês)

Foi elaborado para apresentar pagamentos iguais ao longo do período do desembolso das prestações. A fórmula para encontrarmos a prestação é dada a seguir:

PMT = VP . _i.(1+i)n_ (1+i)n -1

PMT = valor da prestaçãoVP = valor inicial do empréstimoi = taxa de jurosn = período

A fórmula foi desenvolvida, considerando-se apenas a capitalização por juros compostos. O resultado é listado a seguir:

n Juros Amortização Prestação Saldo devedor0 - - - 100.000,00 1 3.000,00 32.353,04 35.353,04 67.646,96 2 2.029,41 33.323,63 35.353,04 34.323,33 3 1.029,71 34.323,33 35.353,04 -


MATEMÁTICA FIINANCEIRASistema de Amortização Misto (SAM)

É a média aritmética das prestações calculadas nas duas formas anteriores (SAC e Price). É encontrado pela fórmula:

PMTSAM = (PTMSAC + PMTPRICE) / 2


Sistema de Amortização Crescente (SACRE)

Este sistema, criado pela Caixa Econômica Federal (CEF), é uma das formas utilizadas para o cálculo das prestações dos financia-mentos imobiliários. Usa-se, para o cálculo do valor das prestações, a metodologia do sistema de amortização constante (SAC) anual, desconsiderando-se o valor da Taxa Referencial de Juros (TR). Esta é incluída posteriormente, resultando em uma amortização variável. Chamar de “amortização crescente” parece-nos inadequado, pois pode resultar em amortizações decrescentes, dependendo da ocorrência de TR com valor muito baixo.

Sistema Alemão

Neste caso, a dívida é liquidada também em prestações iguais, exceto a primeira, onde no ato do empréstimo (momento “zero”) já é feita uma cobrança dos juros da operação. As prestações, a primeira amortização e as seguintes são definidas pelas três seguintes fórmulas:

PMT = _ Vp.i _ 1- (1+i)n

PMT = valor da prestaçãoVP = valor inicial do empréstimoi = taxa de jurosn = período

A1 = PMT . (1- i)n-1

A1 = primeira amortizaçãoPMT = valor da prestaçãoi = taxa de jurosn = período

An = An-1 _ (1- i)

An = amortizações posteriores (2º, 3º, 4º, ...)An-1 = amortização anteriori = taxa de jurosn = período

n Juros Amortização Prestação Saldo devedor0 3.000,00 - 3.000,00 100.000,00 1 2.030,30 32.323,34 34.353,64 67.676,66 2 1.030,61 33.323,03 34.353,64 34.353,63 3 - 34.353,64 34.353,64 (0,01)

OBS: os resíduos em centavos, como saldo devedor final na tabela anterior, são resultados de arredondamento do cálculo e serão

desconsiderados.


MATEMÁTICA FIINANCEIRASistema de Amortização Constante – SAC

Consiste em um sistema de amortização de uma dívida em prestações periódicas, sucessivas e decrescentes em progressão aritmética, em que o valor da prestação é composto por uma parcela de juros uniformemente decrescente e outra de amortização que permanece cons-tante.

Sistema de Amortização Constante (SAC) é uma forma de amortização de um empréstimo por prestações que incluem os juros, amor-tizando assim partes iguais do valor total do empréstimo.

Neste sistema o saldo devedor é reembolsado em valores de amortização iguais. Desta forma, no sistema SAC o valor das prestações é decrescente, já que os juros diminuem a cada prestação. O valor da amortização é calculada dividindo-se o valor do principal pelo número de períodos de pagamento, ou seja, de parcelas.

O SAC é um dos tipos de sistema de amortização utilizados em financiamentos imobiliários. A principal característica do SAC é que ele amortiza um percentual fixo do saldo devedor desde o início do financiamento. Esse percentual de amortização é sempre o mesmo, o que faz com que a parcela de amortização da dívida seja maior no início do financiamento, fazendo com que o saldo devedor caia mais rapidamente do que em outros mecanismos de amortização.

Exemplo: Um empréstimo de R$ 120.000,00 (cento e vinte mil reais) a ser pago em 12 meses a uma taxa de juros de 1% ao mês (em juros sim-

ples). Aplicando a fórmula para obtenção do valor da amortização iremos obter uma valor igual a R$ 10.000,00. Essa fórmula é o valor do empréstimo solicitado divido pelo período, sendo nesse caso: R$ 120.000,00 / 12 meses = R$ 10.000,00. Logo, a tabela SAC fica:

Nº Prestação Prestação Juros Amortização Saldo Devedor0 1200001 11200 1200 10000 1100002 11100 1100 10000 1000003 11000 1000 10000 900004 10900 900 10000 800005 10800 800 10000 700006 10700 700 10000 600007 10600 600 10000 500008 10500 500 10000 400009 10400 400 10000 3000010 10300 300 10000 2000011 10200 200 10000 1000012 10100 100 10000 0

Note que o juro é sempre 10% do saldo devedor do mês anterior,a prestação é a soma da amortização e o juro. Sendo assim,o juro é decrescente e diminui sempre na mesma quantidade, R$ 100,00. O mesmo comportamento tem as prestações. A soma das prestações é de R$ 127.800,00. Gerando juros de R$ 7.800,00.

Outra coisa a se observar é que as parcelas e juros diminuem em progressao aritmética(PA) de r=100.

Sistema Americano

O tomador do empréstimo paga os juros mensalmente e o principal, em um único pagamento final.

Considera-se apenas o regime de juros compostos:

n Juros Amortização Prestação Saldo devedor0 - - - 100.000,001 3.000,00 - 3.000,00 100.000,002 3.000,00 - 3.000,00 100.000,003 3.000,00 100.000,00 103.000,00 -

Sistema de Amortização Constante (SAC) ou Sistema Hamburguês


MATEMÁTICA FIINANCEIRAO tomador do empréstimo amortiza o saldo devedor em valores iguais e constantes, ao longo do período.

Considera-se apenas o regime de juros compostos:


Qual a melhor forma de amortização?

A tabela abaixo lista o fluxo de caixa nos diversos sistemas de amortização discutidos nos itens anteriores.

N Pgto único (jrs comp.)

Sistema Americano SAC PRICE SAM Alemão

0 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 97.000,00 1 - (3.000,00) (36.333,33) (35.353,04) (35.843,19) (34.353,64)2 - (3.000,00) (35.333,33) (35.353,04) (35.343,19) (34.353,64)3 (109.272,70) (103.000,00) (34.333,34) (35.353,04) (34.843,19) (34.353,64)

As várias formas de amortização utilizadas pelo mercado brasileiro, em sua maioria, consideram o regime de capitalização por juros compostos. A comparação entre estas, por meio do VPL (vide item 6.2), demonstra que o custo entre elas se equivale. Vejam: no nosso exemplo, todos, exceto no sistema alemão, os juros efetivos cobrados foram de 3% ao mês (regime de juros compostos) ou 9,27% no acumulado dos três meses.

n Pgto único (jrs comp.)

Sistema Ameri-cano SAC PRICE SAM Alemão

0 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 97.000,00 1 - (2.912,62) (35.275,08) (34.323,34) (34.799,21) (33.353,04)2 - (2.827,79) (33.305,05) (33.323,63) (33.314,35) (32.381,60)3 (100.000,00) (94.259,59) (31.419,87) (32.353,04) (31.886,45) (31.438,44)

VPL - - - - - (173,09)

OBS: tabela com as prestações dos sistemas anteriores, descontada da taxa (juros compostos) de 3% ao mês.

Considerando o custo de oportunidade de 2% ao mês, isto é, abaixo do valor do empréstimo, teríamos a tabela abaixo. Isso seria uma situação mais comum: juros do empréstimo mais caro que uma aplicação no mercado. Neste caso, quanto menor (em módulo) o VPL, melhor para o tomador do empréstimo, ou seja, o sistema SAC seria o melhor sob o ponto de vista financeiro.


Sistema Americano SAC PRICE SAM Alemão

0 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 97.000,00 1 - (2.941,18) (35.620,91) (34.659,84) (35.140,38) (33.680,04)2 - (2.883,51) (33.961,29) (33.980,24) (33.970,77) (33.019,64)3 (102.970,11) (97.059,20) (32.353,07) (33.313,96) (32.833,52) (32.372,20)

VPL (2.970,11) (2.883,88) (1.935,28) (1.954,04) (1.944,67) (2.071,88)


Outra situação seria considerarmos um empréstimo com taxa de juros abaixo do mercado. Neste exemplo a seguir, teremos como custo de oportunidade a taxa de 4% ao mês. Isso, na vida real, não será comum: juros do empréstimo mais barato do que uma aplica-ção no mercado. Assim como no exemplo anterior, quanto maior o VPL, melhor para o tomador do empréstimo, ou seja, o sistema de pagamento único, sob o ponto de vista financeiro, é o melhor no caso abaixo.




Sistema Ameri-cano SAC PRICE SAM Alemão

0 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 97.000,00 1 - (2.884,62) (34.935,89) (33.993,31) (34.464,61) (33.032,34)2 - (2.773,67) (32.667,65) (32.685,87) (32.676,77) (31.761,87)3 (97.143,03) (91.566,62) (30.522,21) (31.428,72) (30.975,47) (30.540,26)

VPL 2.856,97 2.775,09 1.874,24 1.892,10 1.883,16 1.665,53


Referências

Passei Direto. Disponível em: https://www.passeidireto.com/arquivo/1599335/exercicios_matematica_finaceiraexercicios_matemati-ca_finaceira

CÁLCULO FINANCEIRO DO CUSTO REAL EFETIVO DE OPERAÇÕES

DE FINANCIAMENTO, EMPRÉSTIMO E INVESTIMENTO.

Alíquotas do Imposto sobre Operações de Crédito, Câmbio e Seguros - IOF

Imposto Sobre Operações de Crédito

Alíquota: máxima de 1,5% ao dia sobre o valor das operações de crédito. Alíquota reduzida vigente:

Incidente sobre operações contratadas por Pessoas Jurídicas:a) 0,00137% ao dia para Pessoas Jurídicas optantes pelo Simples Nacional, em operações iguais ou inferiores a R$ 30.000,00; b) 0,0041% ao dia para os demais casos;

Incidente sobre operações contratadas por Pessoas Físicas: 0,0082% ao dia;

Alíquota adicional vigente: Incide 0,38% sobre as operações de crédito, independentemente do prazo da operação contratadas por, pessoas físicas ou jurídicas;

Há casos com incidência de alíquota zero. Vide art. 8º do Dec. Nº 6.306, de 14 de dezembro de 2007.

Imposto Sobre Operações de Câmbio

Alíquota máxima: 25%. A alíquota foi reduzida a 0,38%, excetuadas as hipóteses previstas nos incisos do Art. 15- A do Dec. nº 6.306, de 2007.Exemplificando:

1) - Nas liquidações de operações de câmbio contratadas a partir de 7 de abril de 2011, para ingresso de recursos no País, inclusive por meio de operações simultâneas, referente a empréstimo externo, sujeito a registro no Banco Central do Brasil, contratado de forma direta ou mediante emissão de títulos no mercado internacional com prazo médio mínimo de até setecentos e vinte dias: seis por cento. (Redação dada pelo Decreto nº 7.457, de 6 de abril de 2011).

2) - Nas operações de câmbio destinadas ao cumprimento de obrigações de administradoras de cartão de crédito ou de bancos comer-ciais ou múltiplos na qualidade de emissores de cartão de crédito decorrentes de aquisição de bens e serviços do exterior efetuada por seus usuários: 6,38%;

3) - Nas operações de câmbio relativas ao pagamento de importação de serviços: 0,38%;


MATEMÁTICA FIINANCEIRAImposto Sobre Operações de Seguro

Alíquota: 25%Alíquotas reduzidas vigentes:Nas operações de resseguro, de seguro obrigatório vincula-

do a financiamento de imóvel habitacional, realizado por agente do Sistema Financeiro de Habitação, de seguro de crédito à ex-portação e de transporte internacional de mercadorias, de seguro aeronáutico e de seguro de responsabilidade civil pagos por trans-portador aéreo e nas operações em que o valor dos prêmios seja destinado ao custeio dos planos de seguro de vida com cobertura por sobrevivência: zero;

Nas operações de seguro de vida e congêneres, de acidentes pessoais e do trabalho, incluídos os seguros obrigatórios de danos pessoais causados por veículos automotores de vias terrestres e por embarcações, ou por sua carga, a pessoas transportadas ou não: 0,38%;

Nas operações de seguros privados de assistência à saúde: 2,38%;

Nas demais operações: 7,38%;

Imposto Sobre Operações Relativas a Títulos ou Valores Mobiliários

Alíquota: máxima de 1,5% ao dia. Nas aplicações feitas por investidores estrangeiros em quotas

de Fundo Mútuo de Investimento em Empresas Emergentes e em quotas de Fundo de Investimento Imobiliário, alíquota de 1,5% ao dia, limitada a 5% para fundos regulares e até um ano da data do registro das quotas na CVM e limitada a 10% para os fundos sem funcionamento regular.

No resgate, cessão ou repactuação de operações com títulos ou valores mobiliários: alíquota de 1% ao dia, limitado ao rendi-mento da operação, em função do prazo, de acordo com Tabela anexa ao Decreto n. 6.306, de 2007. Nos resgates realizados depois de 30 dias a alíquota fica reduzida a zero.

No resgate de quotas de fundos de investimento antes de com-pletado o prazo de carência para crédito de rendimentos: alíquota de 0,5% ao dia.

Na cessão de ações que sejam admitidas à negociação em bol-sa de valores localizada no Brasil, com o fim específico de lastrear a emissão de depositary receipts negociados no exterior a alíquota é de 1,5%

Imposto Sobre Operações com Ouro Ativo Financeiro ou Ins-trumento Cambial

Alíquota: 1%.

Todos os rendimentos, provenientes de aplicações financeiras em Fundos de Investimentos sem prazo de carência, são tributa-dos pelo Imposto sobre Operações Financeiras - IOF, conforme determinação legal da Portaria 264, do Ministério da Fazenda. A alíquota é de 1% ao dia, limitado ao rendimento da operação, de acordo com a tabela abaixo, decrescente em função do prazo. Isto significa que quanto mais tempo o investidor deixar o dinheiro aplicado, menos IOF vai pagar, aumentando a sua rentabilidade. A partir de 30 dias de aplicação, o Imposto deixa de ser cobrado. Confira abaixo a tabela do IOF cobrado de acordo com os dias de investimento.

Número de Dias % Limite do Rendimento01 9602 9303 9004 8605 8306 8007 7608 7309 7010 6611 6312 6013 5614 5315 5016 4617 4318 4019 3620 3321 3022 2623 2324 2025 1626 1327 1028 0629 0330 00

Inflacionamento

A indexação, em economia, é um sistema de reajuste de pre-ços, inclusive salários e aluguéis, de acordo com índices oficiais de variação dos preços. Em conjunturas inflacionárias, a indexa-ção permite corrigir o valor real dos salários e aluguéis e demais preços da economia, reajustando-os com base na inflação passada. No entanto, a indexação automática pode realimentar a inflação futura.

Experiência brasileira

Em 1994, a inflação anual no Brasil era de quase 5.000%, e os preços subiam quase diariamente. Os salários, a fim de acompa-nhar os preços, também eram reajustados através do chamado “ga-tilho” inflacionário – que determinava uma correção automática dos valores assim que a inflação atingisse um determinado nível.

No Brasil, o Plano Real, implantado em julho de 1994, deu início à estabilidade econômica, reduzindo a inflação anual para cerca de 4%. No entanto, ainda permanece alguma indexação na economia, embora não automática. Os reajustes anuais de salários, por exemplo, ainda são negociados com base no índice inflacioná-rio do ano anterior.


MATEMÁTICA FIINANCEIRADada a conjuntura atual de estabilidade monetária, a corre-

ção automática de contratos, via indexação, foi desaparecendo do cenário econômico brasileiro. Os preços não são mais reajustados com base na variação mensal dos índices de preços do IBGE. A inflação, medida pelo IPCA (Índice de Preços ao Consumidor Am-plo), baixou em junho de 2006 para 4,03%. Os preços adminis-trados, ou seja, os monitorados pelo governo federal – tais como gasolina, energia elétrica, telefonia, planos de saúde, remédios, gás de cozinha, passagens aéreas e transporte público – os quais em 1999 aumentaram 20,9%, em 2006 aumentaram somente 4,4% . Os preços administrados eram apontados como os responsáveis pelo aumento contínuo da inflação. Também, os índices de ser-viços não-comercializáveis (cabeleireiro, escola, aluguéis etc), os quais de 2001 a 2005, que aumentaram entre 6 e 7%, tiveram au-mento menor (4,4%) entre julho de 2005 e junho de 2006.

A inflação em queda possibilitou a desindexação de grande parte da economia brasileira. No entanto, é senso comum entre os economistas que desindexação que uma desindexação total não é possível. Há alguns “vilões” que eventualmente provocam aumen-tos de preços.

Além dos preços administrados acima mencionados, há tam-bém o setor da telefonia, cujos índices de serviços aumentou, desde julho de 1994 (início do Plano Real), em 662,21%, contra o IPCA de 200,29% no mesmo período. Ocorre que as tarifas telefônicas sofriam correções através dos IGPs (Índices Gerais de Preços), da Fundação Getúlio Vargas (FGV), cujas taxas eram influencia-das pelo dólar, em baixa em 2006. Por conseguinte, com as crises cambais em 1999 e em 2002, os serviços de telefonia tiveram um aumento bem superior ao nível da inflação. Hoje, a telefonia segue uma combinação dos índices IPCA e IGP, com o que são suavi-zados os impactos de eventuais crises de câmbio. Ademais, basta notar que em 2005 o IGP beirou 1%, e o IPCA, como afirmado anteriormente, ficou em 4,03%. E com o surgimento da tecnologia Voip, as taxas de telefonia tenderão a cair ainda mais, segundo se comenta, em percentuais entre 50 a 80% em relação os níveis atuais. Outro vilão são as escolas, as quais ainda são reajustadas em níveis acima da inflação.

A consequência da estabilidade dos preços é boa, tanto para os fornecedores de serviços, quanto para os clientes: os primeiros aumentam sua clientela, enquanto que os segundos não sofrem no bolso os efeitos corrosivos da inflação. No Brasil, a tendência é continuar a vigorar a livre negociação dos contratos.

Atualização Monetária

Atualização Monetária (AO 1945: Atualização Monetária) é o nome que se dá no Brasil para os ajustes contábeis e financeiros, realizados com o intuito de se demonstrar os preços de aquisição em moeda em circulação no país (atualmente o Real), em relação ao valor de outras moedas (ajuste cambial) ou índices de inflação ou cotação do mercado financeiro (atualização monetária propria-mente dita).

Em Economia é também chamado de “Correção Monetária”, ou seja, um ajuste feito periodicamente de certos valores na econo-mia tendo em base o valor da inflação de um período, objetivando compensar a perda de valor da moeda.

Em termos de contabilidade tributária, a atualização monetá-ria pode ser uma receita (denomina-se variação monetária ativa), ou uma despesa (variação monetária passiva).

Exemplo de cálculo de uma variação monetária passiva:- Empréstimo em dólar = US$ 100,00- Cotação Cambial na data do empréstimo: 2,00- Cotação Cambial na data do vencimento da amortização: 4,00

Valor a ser contabilizado na data do recebimento do empresti-mo: Obrigação a Pagar = US$ 100,00 x 2,00 = R$ 200,00

Valor a ser contabilizado na data do vencimento da amortiza-ção: Ajuste da variação monetária passiva = R$ 400,00 (US$ 100,00 x 4,00) (-) valor principal (R$ 200,00) = R$ 200,00

Existe uma controvérsia em relação aos juros: Se o juros for de 10% ao mês, a ser pago junto com a amortização, alguns dizem que o valor deve ser integralmente contabilizado como despesas de juros (R$ 40,00 ou 10% de R$ 400,00) enquanto outros afirmam que a despesa de juros é R$ 20,00 e os outros R$ 20,00 seriam variação monetária passiva.

Embora atualmente a questão não tenha implicações em termos de contabilidade tributária, uma vez que ambos são “Despesas”, a questão se torna relevante tendo em vista uma conversão de um ba-lanço em reais para um balanço em dolar, por exemplo. Na primeira hipótese, o balanço em dólar apresentaria a despesa de juros de US$ 10,00 (40,00 / 4,00), enquanto na segunda, a despesa a ser demons-trada seria de US$ 5,00 (20,00 / 4,00), considerando-se o critério de eliminaçãos dos ajustes cambiais contábeis para fins da referida conversão.

Correção Monetária de Balanços

Até 1994, em função da hiperinflação, no Brasil os Balanços eram demonstrados com os ajustes denominados de “Correção Monetária de Balanços” (Lei 6.404/76). Para fins de contabilida-de tributária, os itens permanentes do Balanço (basicamente Ativo Permanente e Patrimônio Líquido) eram ajustados em função de um coeficiente fornecido pelo governo (com base em algum índice de inflação). Nesse caso, havendo saldo credor da correção monetária, o valor era ainda ajustado pelas variações monetárias, que poderiam aumentar ou reduzir o saldo a ser tributado pelo imposto de renda. Esse sistema foi criado pelo DL 1.598/77, em função da preocupa-ção com o acréscimo ao lucro de valores tido como não-financeiros (ajustes decorrentes da inflação), o que poderia resultar em impostos a pagar sem que as empresas tivessem de fato o numerário em caixa. Tal entendimento não era majoritário entre os acadêmicos da classe contábil, mas continuou durante muitos anos como um dos princi-pais “incentivos tributários” às empresas brasileiras com vultosos ativos imobilizados (indústrias, principalmente).

Princípios Contábeis

Em função das características da Economia brasileira, e da dou-trina da essência econômica utilizada para o estudo das Ciências Contábeis no Brasil, a Atualização Monetária é considerada pelo CFC - Conselho Federal de Contabilidade, um Princípio Fundamen-tal de Contabilidade. Antes denominado de “Princípio da Correção Monetária”, ele atualmente é denominado “Princípio da Atualização Monetária”. Com o fim da hiperinflação, os ajustes dessa natureza nas Demonstrações Financeiras brasileiras são efetuados em razão das altas taxas de juros praticadas pelas instituições financeiras; e em decorrência do regime de “Câmbio Flutuante”, que periodica-mente provoca grandes oscilações na cotação do Dólar americano em relação ao Real.


MATEMÁTICA FIINANCEIRAProcessos Inflacionários

Os processos inflacionários podem ser classificados, segundo al-gumas características como:

- Inflação prematura - processo inflacionário gerado pelo aumen-to dos preços sem que o pleno emprego seja atendido.

- Inflação reprimida - processo inflacionário gerado pelo conge-lamento dos preços por parte do governo.

- Inflação de custo - processo inflacionário gerado pelo aumento dos custos de produção.

Por causa de uma redução na oferta de fatores de produção, o seu preço aumenta. Com o custo dos fatores de produção mais altos, a produção se reduz e ocorre uma redução na oferta dos bens de consu-mo aumentando seu preço. A inflação de custo ocorre ceteris paribus quando a produção se reduz.

- Inflação de demanda - processo inflacionário gerado pelo au-mento do consumo com a economia em pleno emprego. Ou seja, os preços sobem por que há aumento geral da demanda sem um acompa-nhamento no crescimento da oferta.

Esse tipo de inflação é causada também pela emissão elevada de moeda e aumento nos níveis de investimento, pois, ceteris pari-bus, passa a haver muito dinheiro à cata de poucas mercadorias. Uma das formas utilizadas para o controle de uma crise de inflação de de-manda, é um redução na oferta de moeda, que gera uma redução no crédito, e conseqüente desaceleração econômica. Outras alternativas são os aumentos de tributos, elevação da taxa de juros e das restrições de crédito.

Há ainda aqueles que discutem a chamada inflação (por razão) estrutural, proposta pela CEPAL, que tem a ver com alguma questão especifica de uma determinado mercado, como pressão de sindicatos, tabelamento de preços acima do valor de mercado (caso do salário mínimo), imperfeições técnicas no mecanismo de compra e venda.

Outro tipo de inflação, também muito danoso, é a Inflação Iner-cial, onde há um círculo vicioso de elevação de preços, taxas e contra-tos, com base em índices de inflação passados. Quase na mesma linha, podemos citar ainda a Inflação de Expectativas, consequência de um aumento de preços provocados pelas projeções dos agentes sobre a inflação.

MÉTODOS DE ANÁLISE DE INVESTI-MENTOS: VALOR ANUAL UNIFORME

EQUIVALENTE; TAXA INTERNA DE RE-TORNO; VALOR PRESENTE LÍQUIDO;

MÉTODOS NÃO EXATOS.

Valor Anual Uniforme Equivalente (VAUE)

Este método procura encontrar uma série anual uniforme equiva-lente de um fluxo de caixa do investimento, considerando uma dada taxa mínima de atratividade. Esse método pode ser utilizado também para converter o desembolso de um fluxo de caixa e os seus benefí-cios no custo anual uniforme equivalente e no benefício anual unifor-me equivalente, respectivamente. Assim, uma vez transformados os custos e os benefícios de um fluxo de caixa em seus respectivos valores anuais uniforme equivalente podemos compará-los.

em que

= Fluxo de Caixa do Projeto;= Taxa de Juros do Projeto;= Tempo de Vida do Projeto.

sendo que o primeiro termo do lado direito da expressão é o valor atual de um fluxo de caixa e o segundo termo é o fator de recuperação do capital de uma série uniforme.

Taxa Interna de Retorno

A Taxa Interna de Retorno (TIR), em inglês IRR (Internal Rate of Return), é a taxa necessária para igualar o valor de um investimento (valor presente) com os seus respectivos retornos fu-turos ou saldos de caixa. Sendo usada em análise de investimentos significa a taxa de retorno de um projeto.

Utilizando uma calculadora financeira, encontramos para o projeto P uma Taxa Interna de Retorno de 15% ao ano. Esse pro-jeto será atrativo se a empresa tiver uma TMA menor do que 15% ao ano. A solução dessa equação pode ser obtida pelo processo iterativo, ou seja “tentativa e erro”, ou diretamente com o uso de calculadoras eletrônicas ou planilhas de cálculo.

A taxa interna de rentabilidade (TIR) é a taxa de actualização do projecto que dá o VAL nulo. A TIR é a taxa que o investidor obtém em média em cada ano sobre os capitais que se mantêm investidos no projecto, enquanto o investimento inicial é recupera-do progressivamente. A TIR é um critério que atende ao valor de dinheiro no tempo, valorizando os cash-flows actuais mais do que os futuros, constitui com a VAL e o PAYBACK actualizado os três grandes critérios de avaliação de projectos. A TIR não é adequada à selecção de projectos de investimento, a não ser quando é deter-minada a partir do cash-flow relativo.

A Taxa Interna de Retorno de um investimento pode ser:- Maior do que a Taxa Mínima de Atratividade: significa que o

investimento é economicamente atrativo.- Igual à Taxa Mínima de Atratividade: o investimento está

economicamente numa situação de indiferença.- Menor do que a Taxa Mínima de Atratividade: o investimen-

to não é economicamente atrativo pois seu retorno é superado pelo retorno de um investimento com o mínimo de retorno.

Entre vários investimentos, o melhor será aquele que tiver a maior Taxa Interna de Retorno Matematicamente, a Taxa Interna de Retorno é a taxa de juros que torna o valor presente das entradas de caixa igual ao valor presente das saídas de caixa do projeto de investimento.

A TIR é a taxa de desconto que faz com que o Valor Presente Líquido (VPL) do projeto seja zero. Um projeto é atrativo quando sua TIR for maior do que o custo de capital do projeto.


MATEMÁTICA FIINANCEIRAMétodo

Para encontrar o valor da Taxa Interna de Retorno, calcular a taxa que satisfaz a seguinte equação:

A TIR é obtida resolvendo a expressão em ordem a TIR e é geralmente comparada com a taxa de desconto. O valor do TIR é um valor relativo e o seu cálculo é realizado, recorrendo a computador ou a tabelas próprias Para se efectuar o cálculo da TIR, é analisada a série de valores obtida da seguinte forma: 1º valor: o investimento inicial (valor negativo) 2º valor: benefícios - custos do 1º período (valor positivo) 3º valor: benefícios - custos do 2º período (valor po-sitivo) e assim sucessivamente, até ao último período a considerar. O período considerado pode ser um qualquer desde que seja regular (semana, mensal, trimestral, semestral, anual, etc.) Nota: recorrendo ao uso de uma folha de cálculo é possível obter o valor da TIR. No caso do Excel, a fórmula para cálculo do TIR é IRR(gama de valores).

A TIR não deve ser usada como parâmetro em uma análise de investimento porque muitas vezes os fluxos não são reinvestidor a uma taxa iguais a TIR efetiva.

Quando a TIR calculada é superior á taxa efetiva de reinvesti-mento dos fluxos de caixa intermediários, pode sugir, ás vezes de forma significativa, uma expectativa irreal de retorno anual equiva-lente ao do projeto de investimento.

Exemplo

Considerando-se que o fluxo de caixa é composto apenas de uma saída no período 0 de R$ 100,00 e uma entrada no período 1 de R$120,00, onde i corresponde à taxa de juros:

Para VPL = 0 temos i = TIR = 0.2 = 20%Como uma ferramenta de decisão, a TIR é utilizada para avaliar

investimentos alternativos. A alternativa de investimento com a TIR mais elevada é normalmente a preferida; também deve se levar em consideração de que colocar o investimento em um banco é sempre uma alternativa. Assim, se nenhuma das alternativas de investimen-to atingir a taxa de rendimento bancária ou a Taxa Mínima de Atrati-vidade (TMA), este investimento não deve ser realizado.

Normalmente a TIR não pode ser resolvida analiticamente como demonstrado acima, e sim apenas através de iterações, ou seja, através de interpolações com diversas taxas de retorno até chegar àquela que apresente um VPL igual a zero; contudo as calculadoras financeiras e planilhas eletrônicas estão preparadas para encontrar rapidamente este valor.

Um defeito crítico do método de cálculo da TIR é que múltiplos valores podem ser encontrados se o fluxo anual de caixa mudar de sinal mais de uma vez (ir de negativo para positivo e para negativo novamente, ou vice-versa) durante o período de análise. Para os ca-sos de alteração frequente de sinal deve utilizar-se a (Taxa externa de retorno - TER).

Apesar de uma forte preferência acadêmica pelo VPL, pesqui-sas indicam que executivos preferem a TIR ao invés do VPL. Apa-rentemente os gerentes acham intuitivamente mais atraente para avaliar investimentos em taxas percentuais ao invés dos valores monetários do VPL. Contudo, deve-se preferencialmente utilizar mais do que uma ferramenta de análise de investimento, e to-das as alternativas devem ser consideradas em uma análise, pois qualquer alternativa pode parecer valer a pena se for comparada com as alternativas suficientemente ruins.

Deve-se ter em mente que o método da TIR considera que as entradas, ou seja, os vários retornos que o investimento trará, serão reinvestidos a uma taxa igual a taxa de atratividade infor-mada.

Valor Presente Líquido

O valor presente líquido (VPL), também conhecido como valor atual líquido (VAL) ou método do valor atual, é a fórmula matemático-financeira capaz de determinar o valor presente de pagamentos futuros descontados a uma taxa de juros apropriada, menos o custo do investimento inicial. Basicamente, é o calculo de quanto os futuros pagamentos somados a um custo inicial es-tariam valendo atualmente. Temos que considerar o conceito de valor do dinheiro no tempo, pois, exemplificando, R$ 1 milhão hoje não valeriam R$ 1 milhão daqui a um ano, devido ao custo de oportunidade de se colocar, por exemplo, tal montante de di-nheiro na poupança para render juros. É um método padrão em:

- contabilidade gerencial: para a conversão de balanços para a chamada demonstrações em moeda constante, quando então se tenta expurgar dos valores os efeitos da inflação e das oscilações do câmbio. Também é um dos métodos para o cálculo do goodwi-ll, quando então se usa o demonstrativo conhecido como fluxo de caixa descontado (ver Valor presente ajustado);

- finanças: para a análise do orçamento de capitais - plane-jamento de investimentos a longo prazo. Usando o método VPL um projeto de investimento potencial deve ser empreendido se o valor presente de todas as entradas de caixa menos o valor pre-sente de todas as saídas de caixa (que iguala o valor presente líquido) for maior que zero. Se o VPL for igual a zero, o inves-timento é indiferente, pois o valor presente das entradas é igual ao valor presente das saídas de caixa; se o VPL for menor do que zero, significa que o investimento não é economicamente atrati-vo, já que o valor presente das entradas de caixa é menor do que o valor presente das saídas de caixa.

O valor presente líquido é um método simples, muito útil para os decisores, mas como todos os métodos simples tem diver-sas desvantagens. A maioria dessas desvantagens são ultrapassa-das por métodos mais avançados, como a avaliação de opções reais.

Para cálculo do valor presente das entradas e saídas de caixa é utilizada a TMA (Taxa Mínima de Atratividade) como taxa de desconto. Se a TMA for igual à taxa de retorno esperada pelo acionista, e o VPL > 0, significa que a decisão favorável à sua realização. Sendo o VAL superior a 0, o projecto cobrirá tanto o investimento inicial, bem como a remuneração mínima exigida pelo investidor, gerando ainda um excedente financeiro. É, por-tanto, gerador de mais recursos do que a melhor alternativa ao in-


MATEMÁTICA FIINANCEIRAvestimento, para um nível risco equivalente, uma vez que a taxa de actualização reflete o custo de oportunidade de capital. Esta-mos perante um projeto economicamente viável. Desta maneira, o objetivo da corporação é maximizar a riqueza dos acionistas, os gerentes devem empreender todos os projetos que tenham um VPL > 0, ou no caso se dois projetos forem mutualmente exclusi-vos, deve escolher-se o com o VPL positivo mais elevado.

Se o VAL = 0 – Ponto de indiferença. No entanto, dada a in-certeza associada à estimativa dos cash flows que suportaram a análise, poder-se considerar elevada a probabilidade de o projecto se revelar inviável.

Se o VAL < 0 – Decisão contrária a sua realização. Estamos perante um projecto economicamente inviável.

Na análise de dois ou mais projetos de investimento: Será pre-ferível aquele que apresentar o VAL de valor mais elevado. No en-tanto, há que ter em consideração que montantes de investimento diferentes, bem como distintos horizontes temporais, obrigam a uma análise mais cuidada.

Exemplo

A corporação X deve decidir se vai introduzir uma nova li-nha de produto. O produto novo terá custos de introdução, custos operacionais, e fluxos de caixa entrantes durante seis anos. Este projeto terá uma saída de caixa (t=0) imediata de R$125.000 (que pode incluir as máquinas, equipamentos, e custos de treinamento de empregados). Outras saídas de caixa são esperadas do 1º ao 6º ano no valor de R$25.000 ao ano. As entradas de caixa esperam-se que sejam de R$60.000 ao ano. Todos os fluxos de caixa são após pagamento de impostos, e não há fluxo de caixa esperado após o sexto ano. A TMA é de 12% ao ano, segue abaixo o cálculo do valor presente líquido para cada ano.

T=0 -R$125.000 / 1,12^0 = -R$125.000 VP (Valor Presente). .T=1 (R$60.000 - R$25.000)/ 1,12^1 = R$31.250 VP.T=2 (R$60.000 - R$25.000)/ 1,12^2 = R$27.902 VP.T=3 (R$60.000 - R$25.000)/ 1,12^3 = R$24.912 VP.T=4 (R$60.000 - R$25.000)/ 1,12^4 = R$22.243 VP.T=5 (R$60.000 - R$25.000)/ 1,12^5 = R$19.860 VP.T=6 (R$60.000 - R$25.000)/ 1,12^6 = R$17.732 VP.

A soma de todos estes valores será o VPL (Valor Presente Lí-quido), o qual é igual a R$18.899. Como o VPL é maior que zero, a corporação deveria investir neste projeto. Logicamente que numa situação real, seria necessário considerar outros valores, tais como cálculo de impostos, fluxos de caixa não uniformes, valores recu-peráveis no final do projeto, entre outros.

Utilizando uma calculadora financeira e considerando-se uma TMA de 10% ao ano, encontramos para o projeto de investimento P um Valor Presente Líquido de R$27.434,12. Se considerarmos uma TMA de 17.19% ao ano, o Valor Presente Líquido do Projeto será zero. Para uma TMA de 0%, o lucro econômico periódico se confunde com o lucro contábil periódico e o valor presente líquido é igual ao somatório dos lucros contábeis periódicos.

Fórmula

O valor presente líquido para fluxos de caixa uniformes, pode ser calculado através da seguinte fórmula, onde t é a quanti-dade de tempo (geralmente em anos) que o dinheiro foi investido no projeto (começa no ano 1 que é quando há efectivamente o primeiro exfluxo de dinheiro), n a duração total do projeto (no caso acima 6 anos), i o custo do capital e FC o fluxo de caixa naquele período.

Se a saída do caixa é apenas o investimento inicial, a fór-mula pode ser escrita desta maneira: Em que representa os valores dos fluxos de caixa de ordem “j”, sendo j = 1, 2, 3, ..., n; representa o fluxo de caixa inicial e “i” a taxa de juro da operação financeira ou a taxa interna de retorno do projeto de investimentos.

Para fluxos de caixa uniformes ou não, podemos utilizar a fórmula abaixo:

Entre vários projetos de investimento, o mais atrativo é aquele que tem maior Valor Presente Líquido.

Influência da Taxa de Atualização no VAL

Quanto maior for a taxa de atualização utilizada na avalia-ção, menor será o VAL dos projetos, dado que passa a exigir uma rendibilidade do projecto de investimento superior.

Efeito Fiscal das Amortizações no VAL

Relativamente às amortizações e variação das provisões, tra-ta-se de custos não desembolsáveis, pelo que devem ser acresci-das aos resultados do projeto de modo a determinar os cash flows do projeto. No entanto, não podemos descurar que, por influírem na determinação dos resultados, e consequentemente na determi-nação da matéria colectável, proporcionam uma economia fiscal.

O seu impacto no VAL dos projetos é função do método de amortização utilizado. São três os métodos correntes de amorti-zação de imobilizado:

- Método das amortizações regressivas.- Método das amortizações constantes;- Método das amortizações progressivas;


MATEMÁTICA FIINANCEIRAPelo que,

VAL (Amort. Regressivas) > VAL (Amort. Constantes) > VAL (Amort.Progressivas)

O indicador VAL é, do ponto de vista teórico, em condições estritamente deterministas, o mais consistente dos indicadores disponíveis. Contudo, também apresenta algumas limitações sendo, sobretudo, de difícil interpretação.

O VAL não apresenta insensibilidade à escala do projeto, como acontece com o IR, TIR e PB.

Duração do projeto

O VAL é insensível à duração do projeto.

Vantagens

- Facilidade de calculo, mas apenas uma vez conhecida uma taxa de atualização apropriada.

- Conceptualmente mais perfeito e complexo que o período de retorno uma vez que considera a totalidade dos fluxos assim como o custo de oportunidade do capital utilizado.

- Método simples de aplicar, uma vez parametrizado.

Desvantagens

- É normalmente problemática a determinação segura da taxa de atualização mais apropriada, sendo este um inconve-niente tanto mais importante uma vez que o VAL é muito sen-sível à taxa utilizada.

- O pressuposto da constância no tempo da taxa de atua-lização pode não ser realista, pois o custo do capital da em-presa varia no tempo, assim como as taxas para as aplicações alternativas variam no tempo com as condições dos mercados financeiros.

- O pressuposto de que os fluxos intermédios serão reinves-tidos ou financiados à mesma taxa pode não ser realista pois de-pende das condições futuras do mercado de capitais assim como das alternativas de investimento que poderão surgir no futuro.

- O VAL assume implicitamente que o decisor é obrigado a tomar uma decisão: (Des)Investir ou não? No entanto, esse pressuposto é irrealista, pois o decisor pode adiar a tomada de decisão para o futuro para obter informação adicional. Para contrariar esta desvantagem deve ser utilizada a avaliação de opções reais.

- O método do VAL fornece valores absolutos, o que se tra-duz em consequências imediatas: é impossível estabelecer um valor normativo diferente de zero para o VAL abaixo do qual os projetos não deverão ser aprovados. Para isso, é preciso exten-der o valor presente líquido com a avaliação de opções reais; o perante projectos alternativos com montantes iniciais diferentes, este método não fornece diretamente uma classifica-ção racional podendo mesmo induzir em erro; o método não é conclusivo quando é aplicado a projetos alternativos com vidas econômicas substancialmente diferentes.

TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE.

Para a tomada de decisão utiliza-se uma taxa de juros deno-minada TMA – Taxa Mínima de Atratividade ou Taxa de Expec-tativa

A TMA representa o mínimo que um investidor se propõe a ganhar quando faz um investimento, ou o máximo que um toma-dor de dinheiro se propõe a pagar quando faz um financiamento.É formada a partir de três componentes, que fazem parte do que se denomina “Cenário Econômico-Financeiro”.

Custo de Oportunidade: é o ponto de partida e representa a remuneração que teríamos pelo nosso capital caso não o aplicás-semos em nenhuma das alternativas analisadas.

Risco do Negócio: é o segundo componente da TMA, já que o ganho tem que remunerar o risco inerente a adoção de uma nova alternativa de investimento.

Liquidez: pode ser descrita como a facilidade, a velocidade, com que conseguimos sair de uma posição no mercado e assumir outra.

A TMA pode ser considerada como pessoal e intransferível, uma vez que varia de investimento

intransferível, uma vez que varia de investimento para inves-timento e de pessoa para pessoa. O que

é considerado bom negócio para alguém, pode não sê-lo para outro.

Referências

Universidade Federal de Santa Maria. Disponível em: http://w3.ufsm.br/engproducao/ Acesso em 060out 2014

COMPARAÇÃO DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO E FINANCIAMENTO.

Em uma operação financeira de Investimento ou Financia-mento, existem várias situações que interferem na nossa decisão sobre a escolha de uma dentre as várias possíveis alternativas. Em geral, temos o conhecimento da Taxa de Mercado, também conhecida como a Taxa de Atratividade do Mercado e desejamos saber a taxa real de juros da operação, para poder tomar uma decisão.

Existem dois importantes objetos matemáticos que são uti-lizados na análise da operação financeira de Investimento ou Fi-nanciamento: Valor Presente Líquido (NPV) e Taxa Interna de Retorno (IRR).


MATEMÁTICA FIINANCEIRAValor Presente Líquido (NPV): O Valor Presente Líquido (NPV=Net Present Value) de um fluxo de caixa de uma operação é o soma-

tório de todos os valores atuais calculados no instante t=0 para cada elemento isolado da operação.

Taxa Interna de Retorno (IRR): A Taxa Interna de Retorno (IRR=Internal Rate Return) de um fluxo de caixa da operação é a taxa real de juros da operação financeira.

Conexão entre NPV e IRR

Há uma íntima relação entre esses dois objetos matemáticos, sendo que as considerações sobre eles devem resultar de análise invertidas quando se tratar de Investimentos ou Financiamentos. A razão desta inversão é que alguém, ao realizar um Investimento de capital espera ampliar o mesmo, ao passo que ao realizar um Financiamento de um bem espera reduzir a aplicação.

Em um Investimento, se NPV for positivo, a Taxa Real (IRR) é maior do que a Taxa de Mercado, se NPV for negativo, a Taxa real (IRR) é menor do que a Taxa de Mercado e se NPV=0 então a Taxa de Mercado coincide com a Taxa Real (IRR).

Conclusão: Em um Investimento, se NPV é maior então a Taxa (IRR) também é maior.

Em um Financiamento, se NPV for positivo, a Taxa Real IRR é menor do que a Taxa de Mercado, se NPV for negativo, a Taxa real IRR é maior do que a Taxa de Mercado e se NPV=0, então a Taxa de Mercado coincide com a Taxa Real (IRR).

Conclusão: Em um Financiamento, se NPV é maior então a Taxa (IRR) é menor.

Estas duas análises podem ser reduzidas ao

Quadro comparativo

NPV IRR do Investimento IRR do FinanciamentoIgual a 0 Igual à Taxa de mercado Igual à Taxa de mercadoPositivo Maior que a Taxa de mercado Menor que a Taxa de mercadoNegativo Menor que a Taxa de mercado Maior que a Taxa de mercado

Análise entre dois Investimentos

Se tivermos dois Investimentos: Invest1 e Invest2 e os respectivos Valores Presentes Líquidos forem indicados por NPV1 e NPV2, o investimento com maior Valor Presente Líquido é o que proporciona; maior retorno ao investidor, isto é:

Se NPV1 > NPV2 então Invest1 é melhor do que Invest2

Análise entre dois Financiamentos

Se tivermos dois Financiamentos: Financ1 e Financ2 e os respectivos Valores Presentes Líquidos forem indicados por NPV1 e NPV2, o Financiamento com maior Valor Presente Líquido é o que proporciona o menor retorno para a pessoa que financiou, isto é:

Se NPV1 > NPV2 então Financ1 é pior do que Financ2

A Matemática do Valor Presente Líquido (NPV)

Para obter o Valor Presente Líquido, devemos construir o Fluxo de Caixa da operação e levar em consideração algumas possibilidades:- Operação com parcelas iguais (Begin)- Operação com parcelas iguais (End)- Operação com parcelas diferentes

Operação com parcelas iguais (Begin): Seja uma operação de Investimento ou Financiamento durante n períodos, com uma renda R em cada período, a partir do instante t=0 a uma Taxa de mercado i. O fluxo de caixa aparece na tabela:

t 0 1 2 3 4 ... n-1 nRenda R R R R R R R 0

Tomando u=1+i, poderemos escrever:

NPV = R + R/u + R/u²+ R/u³ +...+ R/un-1


MATEMÁTICA FIINANCEIRAou a forma mais simples

NPV = R [un - 1]÷[iun-1]

Exemplo: Qual é o Valor Presente Líquido (NPV) de um In-vestimento mensal de R=100,00, durante n=24 meses, à taxa de mercado i=1,5%, iniciando a aplicação no instante t=0?

Neste caso (Begin): R=100; n=24 e i=0,015. Usando a fórmu-la acima, teremos:

NPV = 100 [(1,015)24 - 1]÷[0,015(1,015)23] = 2.033,09

Operação com parcelas iguais (End): Seja uma operação de Investimento ou Financiamento durante N períodos, com uma renda r em cada período, a partir do instante t=1 a uma Taxa de mercado I. O fluxo de caixa aparece na tabela:

t 0 1 2 3 4 ... n-1 nRenda 0 R R R R R R R


NPV = R/u + R/u²+ R/u³+...+R/un

ou na forma mais simples

NPV = R.[un - 1]÷[i.un]

Exemplo: Qual é o Valor Presente Líquido (NPV) de um Investimento mensal de R=100,00, por n=24 meses, à taxa de i=1,5%, iniciando a aplicação no instante t=1?

Neste caso (End): R=100; n=24 e i=0,015. Usando a fórmula acima, teremos:

NPV = 100 [(1,015)24 - 1] ÷[0,015 (1,015)24]= 2.003,04

Operação com parcelas diferentes: Tomemos a situação que um indivíduo invista durante algum tempo parcelas distintas, a partir do instante t=0 a uma Taxa de mercado i. O fluxo de caixa dessa situação pode ser visto na tabela:

t 0 1 2 3 4 ... n-1Renda R0 R1 R2 R3 R4 ... Rn-1


NPV = Ro + R1/u1 + R2/u² + R3/u³ +...+ Rn-1/u

n-1

Exemplo: Qual será o Valor Presente Líquido (NPV) de al-guns Investimentos de acordo com a tabela abaixo, à taxa de mer-cado i=1,25% ao mês.

Tempo 0 1 2 3 4Renda 0 1.000 2.000 1.500 2.500

Tomando u=1+i=1,0125, obteremos:

NPV = 1000/u + 2000/u² + 1500/u³ +2500/u4 = 6.762,51

PORCENTAGEM.

É a forma usada para expressar a fração de denominador 100 ou representação equivalente. Exemplo: 50% é o mesmo que 50/100 ou ½ ou 0,5 (metade).

Exemplo 1: Qual é o valor de 30% de 120?

30/100 x 120 ou 0,3 x 120 = 36

Podemos obter a diferença percentual de dois valores apenas dividindo um pelo outro, diminuindo o resultado do número 1. Para obter o resultado do quanto, em percentual, um valor equivale ao outro, é a mesma conta, exceto que não se subtrai do número 1.

Exemplo 2: Um produto sobre de R$ 100 para R$ 120. Qual sua variação percentual?

(120/100)-1 = 1,20 – 1 = 0,20 ou 20%A resposta é 20%.

Exemplo 3: Há 1.000 carros produzidos por dia. Deste total, 150 são movidos a diesel. Qual a porcentagem de carros a diesel produzidos por dia?

150/1000 = 0,15 ou 15%A resposta é 15%.

Agora que temos uma visão geral do que é porcentagem, como calcular quanto é 25% de 200?

Multiplique 25 por 200 e divida por 100:

Se você achar mais fácil, você pode simplesmente multiplicar 25% na sua forma decimal, que é

0,25 por 200:

Assim temos:1. 4% de 32 = 0,04 . 32 = 1,282. 15% de 180 = 0,15 . 180 = 273. 18% de 150 = 0,18 . 150 = 274. 35% de 126 = 0,35 . 126 = 44,15. 100% de 715 = 1,00 . 715 = 7156. 115% de 60 = 1,15 . 60 = 697. 200% de 48 = 2,00 . 48 = 96

Repare que no quinto item, 100% de 715 corresponde ao pró-prio 715, isto ocorre porque 100% representa o todo, ocorre por-que 100% é a razão de 100 para 100 (100 : 100) que é igual a 1. Por isto 100% de um número x é o próprio número x, já que o esta-remos multiplicando por 1, para sabermos o valor da porcentagem.


MATEMÁTICA FIINANCEIRAAnalisando os itens de 1 a 4, podemos também perceber que

quando o percentual é menor 100%, o número resultante será menor que o número original. Nos itens 6 e 7 percebemos que o resultado é maior que o número original. Isto ocorre porque o percentual é maior que 100%.

Nos itens 2 e 3 observamos que 15% de 180 é igual a 18% de 150. a% de b é igual a b% de a. Isto é devido à propriedade comu-tativa da multiplicação que diz que a . b = b . a.

Exemplo 4. (TÉC.JUD.TRF-2ª- FCC-2007) Certo dia, devi-do a fortes chuvas, 40% do total de funcionários de certo setor de uma Unidade do Tribunal Regional Federal faltaram ao serviço. No dia seguinte, devido a uma greve dos ônibus, compareceram ao trabalho apenas 30% do total de funcionários desse setor. Se no segundo desses dias faltaram ao serviço 21 pessoas, o número de funcionários que compareceram ao serviço no dia da chuva foi

A. 18B. 17C. 15D. 13E. 12

Resolução:

Total de funcionários: xNo dia da chuva: faltaram 0,4x e compareceram 0,6xNo dia da greve: compareceram 0,3x e faltaram 0,7x.

Pela informação dada:0,7x = 21 è 7x = 210 è x = 30

Número de funcionários que compareceram no dia da chuva: 0,6 x 30 = 18

Resposta: A

ReferênciasMatemática Didática. Porcentagem e Juros. Disponível em:

http://www.matematicadidatica.com.br/Porcentagem

ATUALIZAÇÃO MONETÁRIA. VALOR ATUAL E VALOR FUTURO.

Na fórmula de juros compostos, M=P . (1 + n )n , o P represen-ta o Valor Presente (PV = presente value, em inglês) ou VA –Valor atual e o M, de montante, que também pode significar o Valor Fu-turo (FV = future value, também em inglês) ou V.

Esse Valor Futuro é o total que se terá futuramente, se aplicar-mos uma quantia de capital a uma determinada taxa de juros por um período pré determinado. Tudo girando em torno de um regime de capitalização. Assim, você também pode calcular o faturamento futuro por meio de fórmulas.

Onde:FV ou V : Valor futuroPV ou VA: Valor presentei: Taxa de jurosn: Número de períodosAqui, formou-se uma divisão ( a barra tem o significado de

uma divisão)Essa fórmula funciona para cálculos quando se deseja obter o valor futuro a partir de um valor já existente.

Exemplo: Uma televisão de LCD de 32 polegadas é vendida em quatro

prestações mensais de R$ 500,00, sendo a primeira paga um mês após a compra. Sabendo que a loja opera com uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, qual o valor do preço à vista?

Utilizando a fórmula do valor atual com base na prestação, na taxa de juros e no tempo.

ReferênciasNoe, Marcos. Brasil Escola. Disponível em: http://www.brasi-

lescola.com/matematica/calculo-valor-atual

APLICAÇÕES.

O sistema financeiro proporciona várias formas de ganhos ex-tras, desde que se tenha um capital a ser movimentado. Algumas opções são bem simples e estão ao alcance de todos, a poupança é um desses produtos que gera rendimentos mensais, por ser de fácil acesso e que não tem um prazo predeterminado de aplicação, paga juros baixos, pois o aplicador pode retirar o dinheiro a qualquer momento, sem nenhuma burocracia. Existem algumas aplicações que pagam taxas de juros mais compensatórias, os títulos de ca-pitalização proporcionam aos clientes uma melhor rentabilidade.

Como funciona um titulo de capitalizaçãoFunciona como um título de crédito comercializado por en-

tidades financeiras autorizadas e fiscalizadas pelo Banco Central. Possuem carências pré-determinadas, o portador do título aplica mensalmente uma quantia fixa e, ao longo do período, concorre a prêmios em dinheiro através de sorteios; alguns planos asseguram o cliente, repassando à família um determinado valor caso ele ve-nha a falecer. Sendo ou não sorteado, ao final do período receberá o dinheiro aplicado, acrescido dos juros do rendimento, se ele re-solver retirar o dinheiro antes do prazo, possivelmente uma parte do montante será descontada.


MATEMÁTICA FIINANCEIRAPara calcular o montante de uma aplicação programada (títu-

los de capitalização, fundos de investimento), sendo os depósitos mensais com valores fixos, taxas mensais fixas e número de meses previstos, utilizamos as seguintes expressões:

Considerando que o resgate seja efetuado 30 dias após o últi-mo depósito.

Considerando que o resgate aconteça imediatamente após o último depósito.

Onde:i: taxa (deve ser dividida por 100)P: valor do depósitoM: montante finaln: período da capitalização

Obs.: Para o desenvolvimento das expressões acima explicita-das precisaremos do auxílio de uma calculadora científica.

Exemplos

Investindo mensalmente o valor de R$ 150,00 em um título de capitalização que paga juros de 1% ao mês, qual o valor a ser resgatado após 12 meses, considerando o resgate após 30 dias do último depósito?

O valor a ser resgatado será de R$ 1.921,40.

Caso queira resgatar o dinheiro imediatamente após o último depósito, qual será o valor do resgate?

Caso o resgate seja efetuado imediatamente após o último depósito, o valor será de R$ 1.902,37.

Podemos observar que os valores são diferentes, isso ocorre porque na 1º opção após o último depósito se passaram 30 dias, assim o montante é corrigido. Na 2º opção, imediatamente após o último depósito, o dinheiro foi sacado não gerando a correção do último mês.

ReferênciasNoe, Marcos. Brasil Escola. Disponível em: http://www.brasi-

lescola.com/matematica/calculo-valor-atual

QUESTÕES

1) (NOSSA CAIXA-2005-VUNESP) Um certo capital foi aplicado a uma taxa mensal de juro simples de 2,5% ao mês, du-rante um determinado período, rendendo, de juros, ao final da apli-cação, uma quantia igual a 1/4 do capital inicialmente aplicado. Conclui-se que esse capital ficou aplicado durante

(A) 18 meses. (B) 14 meses. (C) 12 meses.(D) 10 meses. (E) 8 meses.

2. (AUX.ADM.-NOSSA CAIXA-SP-2002-VUNESP) Uma pessoa aplicou R$ 4.000,00 a uma taxa de juro simples de 0,8% ao mês e ao final da aplicação recebeu um montante de R$ 4.288,00. O prazo dessa aplicação foi de

(A) 7 meses.(B) 8 meses.(C) 9 meses. (D) 10 meses.(E) 11 meses.

3. (AUX.ADM.-NOSSA CAIXA-SP-2002-VUNESP) Uma loja vende um produto por R$ 298,30, para pagamento à vista, ou em três parcelas iguais de R$ 108,30, sendo a primeira no ato da compra, e as outras duas em 30 e 60 dias da data da compra. Considerando-se o valor financiado, a taxa mensal de juro simples utilizada pela loja é de


MATEMÁTICA FIINANCEIRA(A) 3%.(B) 4%.(C) 5%.(D) 6%.(E) 7%.

4.(ESCR.TÉC.JUD.-TACIL-2004-VUNESP) Uma agência de automóveis mantém permanentemente um estoque de 15 car-ros; 4 no valor unitário de R$ 30.000,00; 3 no valor unitário de R$ 25.000,00; 5 no valor unitário de R$ 20.000,00 e os demais no valor unitário de R$ 15.000,00. Com a venda e a reposição do estoque, o comerciante obtém um lucro anual de R$ 816.000,00. Supondo o valor do estoque constante, se o lojista empregasse o capital correspondente a esse valor a juros simples por um ano, a taxa mensal que propiciaria juros equivalentes ao lucro anual seria de

(A) 25%. (B) 20%. (C) 15%. (D) 10%. (E) 5%.

5. (VUNESP-OF.PROM.2003) Manoel estava indo ao Banco Nosso Cofre para fazer uma aplicação de R$ 800,00 por 30 dias, a uma taxa de juro simples de 36% ao ano, quando viu o anúncio de uma máquina fotográfica digital em promoção:

• 1ª opção: R$ 800,00 à vista, ou• 2ª opção: sem entrada, prestação única de R$ 828,00 após

30 dias.

Manoel pensou um pouco e decidiu fazer a aplicação e, no dia seguinte, comprou a máquina fotográfica sem entrada, calcu-lando que ela fosse paga com o montante resgatado de aplicação. Passados os 30 dias, Manoel constatou que o montante resgatado da aplicação, sobre o qual não houve incidência de CPMF, foia) suficiente para pagar a prestação, sobrando ainda R$ 6,00.

b) suficiente para pagar a prestação, sobrando ainda R$ 4,00.c) suficiente para pagar a prestação, mas não sobrando nada.d) insuficiente para pagar a prestação, faltando R$4,00. e) insuficiente para pagar a prestação, faltando R$6,00.

6. (TRT-2009-ANALISTA-FCC) Uma pessoa aplicou 2/3 de C reais à taxa mensal de 1,5% e, após 3 meses da data desta apli-cação, aplicou o restante à taxa mensal de 2%. Considerando que as duas aplicações foram feitas em um regime simples de capita-lização e que, decorridos 18 meses da primeira, os montantes de ambas totalizavam R$ 28 800,00, então o valor de C era

(A) R$ 24 000,00(B) R$ 24 200,00(C) R$ 24 500,00(D) R$ 22 800,00(E) R$ 22 500,00

7)O montante produzido por R$ 10 mil aplicados a juros sim-ples, à taxa de 1% ao mês, durante seis meses, é igual a:

A. R$ 10.000,60B R$ 10.006,00C R$ 10.060,00D R$ 11.600,00E R$ 10.600,00

8)O montante produzido por R$ 10 mil aplicados a juros sim-ples, à taxa de 1% ao bimestre, durante seis meses, é igual a:

A R$ 10.000,30B R$ 10.003,00C R$ 10.030,00D R$ 10.300,00E R$ 11.300,00

9)[ESAF] A aplicação de um capital de R$ 10.000,00 no regi-me de juros compostos, pelo período de três meses, a uma taxa de 10% ao mês, resulta, no final do 3º mês, num montante acumulado.

A R$ 3.000,00B R$ 13.000,00C inferior a R$ 13.000,00D superior a R$ 13.000,00E menor do que aquele que seria obtido pelo regime de ju-

ros simples

10)[Cesp-UnB, CEF Gerente Júnior 2004 (nível superior)] Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado à taxa de 3% a.m. por 60 dias e, o de R$ 1.200,00, à taxa de 2% a.m. por 30 dias. Se a apli-cação foi a juros compostos:

A o montante total recebido foi de R$ 3.308,48.B o montante total recebido foi de R$ 3.361,92.C o montante total recebido foi de R$ 4.135,64.D a diferença positiva entre os montantes recebidos foi de

R$ 897,80.E a diferença positiva entre os montantes recebidos foi de

R$ 935,86.

11)Um empréstimo de R$ 10 mil foi quitado, dois meses de-pois, por R$ 10.400,00. Considerando o regime de juros simples, qual a taxa de juros mensais desta operação?

A 1% ao mês.B 2% ao mês.C 3% ao mês.D 4% ao mês.E 5% ao mês.

12)Um empréstimo de R$ 10 mil foi quitado, dois meses de-pois, por R$ 10.609,00. Considerando o regime de juros compos-tos, qual a taxa de juros mensais desta operação?

A 1% ao mês.B 2% ao mês.C 3% ao mês.D 4% ao mês.E 5% ao mês.

13)Uma loja vendia uma determinada peça de roupa por R$ 100 para pagamento em 30 dias. Para pagamento à vista, há um desconto simples (comercial) de 30%. Qual o preço à vista?

A R$ 70,00B R$ 80,00C R$ 30,00D R$ 71,50E R$ 76,92


MATEMÁTICA FIINANCEIRA14)[Quadrix, CRM-GO 2004, Técnico em Contabilidade (ní-

vel médio)] O desconto simples “por fora” também é conhecido como:

A desconto racional.B desconto por dentro.C desconto bancário ou comercial.D desconto de juros fixos.E desconto comum.

15) Se um título de R$ 575,00 vence em dois meses e para o seu pagamento à vista há um desconto simples racional (por den-tro) de 7,5% ao mês, qual o valor do desconto?

A R$ 50,00B R$ 75,00C R$ 86,25D R$ 90,00E R$ 150,00

16)Se um título de R$ 575,00 vence em dois meses e para o seu pagamento à vista há um desconto composto racional (por dentro) de 7,5% ao mês, qual o valor do desconto?

A R$ 50,00B R$ 75,00C R$ 77,43D R$ 79,12E R$ 82,19

17)[Quadrix, CREF4-SP 2004 (nível superior)] Para cálculo do desconto do valor de R$ 100.000,00 em dois meses e taxa de juros de 2% ao mês, utilizou-se o cálculo abaixo:

100.000,00 / (1,02 x 1,02) = 96.116,88Desconto: 100.000,00 – 96.116,88 = 3.883,12

Com base no descrito acima, podemos afirmar que foi utili-zado:

A desconto simples “por dentro” (ou racional)B desconto simples “por fora” (ou bancário ou comercial)C desconto composto “por fora”D desconto composto “por dentro”E todas as alternativas acima estão erradas

18)[TC/DF-1995] Uma duplicata, no valor de R$ 2.000,00, é resgatada dois meses antes do vencimento, obedecendo ao critério de desconto comercial composto. Sabendo-se que a taxa de des-conto é de 10% ao mês, o valor descontado e o valor do desconto são, respectivamente, de:

A R$ 1.600,00 e R$ 400,00B R$ 1.620,00 e R$ 380,00C R$ 1.640,00 e R$ 360,00D R$ 1.653,00 e R$ 360,00E R$ 1.666,67 e R$ 333,33

19)[CESP-UnB, INSS 1997 (nível superior)] Julgue os itens a seguir, referentes a diferentes maneiras com que uma nota promis-sória pode ser descontada:

a) se for calculado a uma mesma taxa, o valor atual segundo o desconto comercial será sempre menor que o valor atual segundo o desconto racional.

b) o desconto bancário nada mais é do que o desconto comer-cial acrescido de uma taxa a título de despesas bancárias.

c) no desconto comercial, a taxa implícita na operação é sempre menor que a taxa estabelecida.

d) a diferença entre os descontos racional e comercial, a uma mesma taxa, aumenta à medida que a data do desconto aproxima-se da data do vencimento.

e) se uma nota promissória – com valor de R$ 1.000,00 na data de vencimento, em 2 anos – é descontada 2 anos antes do vencimen-to, em um banco que pratica uma taxa de desconto bancário simples de 18% a.a., então a taxa anual de juros compostos que está sendo paga pelo cliente é superior a 24% a.a.

20) (BB-2010-FCC) Um título descontado 2 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto racional simples e com a utilização de uma taxa de desconto de 18% ao ano, apresenta um valor atual igual a R$ 21.000,00. Um outro título de valor nomi-nal igual ao dobro do valor nominal do primeiro título é descontado 5 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de descon-to comercial simples e com a utilização de uma taxa de desconto de 2% ao mês. O valor atual deste segundo título é de

(A) R$ 42.160,80.(B) R$ 41.529,60.(C) R$ 40.664,40.(D) R$ 39.799,20.(E) R$ 38.934,00.

21)[TCU] Uma financeira pretende ganhar 12% a.a. de juros em cada financiamento. Supondo que a inflação anual seja de 2.300%, a financeira deverá cobrar, a título de taxa de juros nominal anual:

A 2.358%B 2.588%C 2.858%D 2.868%D 2.888%

22)[Cespe-UNB, CEF Gerente Junior 2000] Um capital foi aplicado por 30 dias à taxa mensal de 1,8%. Se a inflação no período foi de 1,1%, a taxa real de juros foi de, aproximadamente:

A 0,69% a.m.B 0,75% a.m.C 1,64% a.m.D 1,87% a.m.E 2,90% a.m.

23)[Vunesp, Banco Central 1998] Sabendo-se que a taxa efeti-va é de 0,9% e que a taxa de inflação é 0,7% no mês, o valor da taxa real nesse mês é de:

A 0,1986%B 0,2136%C 0,1532%D 0,4523%D 0,1642%

24) 1)[Quadrix, CRM-GO 2004, Técnico em Contabilidade (ní-vel médio)] Qual dos sistemas de amortização abaixo propõe o valor constante (fixo) para a prestação de um empréstimo?

A SAC – Sistema de Amortização ConstanteB SAM – Sistema de Amortização Misto.C SAD – Sistema de Amortização Decrescente.D SAF – Sistema de Amortização Francês “Price”E Qualquer das anteriores com os juros mensais constantes.


MATEMÁTICA FIINANCEIRA25)[Quadrix, CREF4-SP 2004 (nível superior)] Sobre os sis-

temas de amortização de empréstimo e financiamentos, pode-se afirmar que (considere SAC – Sistema de Amortização Constante e SAF – Sistema de Amortização Francês “Price”):

A. SAC e SAF sempre têm prestações iguais.B. SAC tem prestações decrescentes.C. Os juros sempre são maiores no SAC.D. O SAF tem prestações crescentes.E. Nenhuma das alternativas acima está correta.

26)[Quadrix, CREF4-SP 2004 (nível superior)] Ainda consi-derando o item anterior, qual das alternativas abaixo é falsa?

A. O SAF caracteriza-se por prestações iguais.B. No SAF as amortizações são crescentes.C. No SAC as amortizações são constantes.D. O SAF sempre terá juros implícitos maiores que o SAC.E. No SAC, o valor da amortização é obtido pela divisão

do capital emprestado pelo número de prestações.

27)[Cesp-UnB, CEF-Gerente Junior 2000] Um capital de R$ 36.000,00 foi financiado através do Sistema SAC (Sistema de Amortização Constante) em 12 prestações mensais, vencendo a primeira 30 dias após a assinatura do contrato. Considerando uma taxa de 5% a.m., o valor da sexta prestação foi igual a:

a) R$ 4.500,00b) R$ 4.350,00c) R$ 4.200,00d) R$ 4.100,00e) R$ 4.050,00

28) (BB-2010-FCC) Um empréstimo no valor de R$ 80.000,00 deverá ser pago por meio de 5 prestações mensais, iguais e con-secutivas, vencendo a primeira um mês após a data da concessão do empréstimo. Sabe-se que foi utilizado o Sistema Francês de Amortização

(Tabela Price) com uma taxa de juros compostos de 3% ao mês, encontrando-se R$

17.468,00 para o valor de cada prestação. Imediatamente após o pagamento da primeira prestação, se S representa o percentual do saldo devedor com relação ao valor do empréstimo, então

(A) 77% ≤ S < 78%(B) 78% ≤ S < 79%(C) 79% ≤ S < 80%(D) 80% ≤ S < 81%(E) 81% ≤ S < 82%

29)(TRIBUNAL DE CONTAS) Consultadas 500 pessoas sobre o plebiscito de 21 de abril de 1993, obteve-se o resultado abaixo:

Presidencialismo 196Parlamentarismo 192Não sabem 112

De acordo com a pesquisa, o percentual de indecisos corres-ponde a:

A. 21,6%B. 21,8%C. 22,2%D. 22,4%E. 23,1%

30)O preço de um produto duplicou em um ano. O aumento percentual, portanto, foi de:

A. 100%B. 200%C. 300%D. 400%E. 500%

31) O preço de um produto quadruplicou em um ano. O au-mento percentual, portanto, foi de:

A. 100%B. 200%C. 300%D. 400%E. 500%

32. (TRT-2009-ANALISTA-FCC) Um comerciante com-prou certo artigo com um desconto de 20% sobre o preço de ta-bela. Em sua loja, ele fixou um preço para tal artigo, de modo a poder vendê-lo dando aos clientes um desconto de 25% e a obter um lucro de 40% sobre o preço fixado. Nessas condições, saben-do que pela compra de uma unidade desse artigo um cliente terá que desembolsar

R$42,00, o seu preço de tabela éA. R$ 20,00B. R$ 24,50C. R$ 30,00D. R$ 32,50E. R$ 35,00

33)(AUX.ADM.-ATIBAIA-2005) Testando componentes de um determinado carro, um piloto percorreu, durante 410 minu-tos, sem interrupções, 400 quilômetros na pista de testes de uma montadora. Ele percorreu os primeiros 75% dessa distância a uma velocidade média de 80 km/h. Depois, em função de proble-mas mecânicos, precisou reduzir bastante a velocidade. Portanto, para percorrer o trecho final, ele gastou

A. 3 h 45 min.B. 3 h 15 min.C. 3 h 05 minD. 2 h 45 min.E. 2 h 05 min.

34)(NOSSA CAIXA-2005-VUNESP) Ana e Lúcia são ven-dedoras em uma grande loja. Em maio elas tiveram exatamente o mesmo volume de vendas. Em junho, Ana conseguiu aumentar em 20% suas vendas, em relação a maio, e Lúcia, por sua vez, teve um ótimo resultado, conseguindo superar em 25% as vendas de Ana, em junho. Portanto, de maio para junho o volume de vendas de Lúcia teve um crescimento de

A. 35%.B. 45%.C. 50%.D. 60%.E. 65%.


MATEMÁTICA FIINANCEIRA35)(OF.JUST.TACIL-2004-VUNESP) A assinatura deuma de-

terminada série de 10 concertos da Orquestra Sinfônica do Estado de São Paulo, no ano de 2003, custou R$ 300,00. Para o ano de 2004, a mesma série será de 9 concertos, e o custo da assinatura sofrerá um acréscimo de 20% em relação a 2003. Como os ingressos de todos os concertos da série têm o mesmo valor, conclui-se que de 2003 para 2004 haverá um aumento no preço de cada ingresso de, aproximadamente,

A. 33% . B. 30%. C. 25%.D. 22%.E. 20%.

36)(BB-2010-FCC) As estatísticas da Campanha Nacional de Prevenção ao Câncer de Pele, organizada há 11 anos pela Socie-dade Brasileira de Dermatologia, revelam que o brasileiro não se protege adequadamente do sol: 70% dos entrevistados afirmaram não usar qualquer tipo de proteção solar, nem mesmo quando vão à praia (adaptado de www.sbd.org.br). Se foram entrevistadas 34430 pessoas, o número delas que usam protetor solar é

A. 24 101B. 15 307C. 13 725D. 12 483E. 10 329

RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES

1 D2 C3 E4 B5 D6 E

7) Aplicação da fórmula: M = C (1 + i×n)M = 10.000 (1 + 0,01×6)M = 10.000 (1 + 0,06)M = 10.600

Resposta: letra “e”.

8)Aplicação da fórmula: M = C (1 + i×n). Lembrando sempre que

seis meses têm três bimestres.M = 10.000 (1 + 0,01×3)M = 10.000 (1 + 0,03)M = 10.300

Resposta: letra “d”.

9)Aplicação da fórmula: M = C (1+i)n

M = 10.000 (1 + 0,10)3

M = 10.000 x 1,103

M = 10.000 x 1,331M = 13.310,00



M = 2.000 (1 + 0,03)2 M = 1.200 (1 + 0,02)1

M = 2.000 x 1,033 M = 1.200 x 1,021 M = 2.000 x 1,0609 M = 1.200 x 1,02M = 2.121,80 M = 1.224,00Montante total = 2.121,80 + 1.224,00 = 3.345,80Diferença = 2.121,80 - 1.224,00 = 897,80


11)Aplicação da fórmula: M = C (1 + i×n)10.400 = 10.000 (1 + i x 2)10.400 = 10.000 + 10.000(ix2)10.400 - 10.000 = 10.000 (ix2)400 = 10.000 (ix2)400 / 10.000 = 1x20,04 = i x 2i = 0,04 / 2i = 0,02 ou 2%



10.609 = 10.000 (1 + i)2

(1+i)2 = 10.609/10.000(1+i)2 = 1,06091+i = raiz (1,609)1+i = 1,03 ,pois 1,03 x 1,03 = 1,0609i = 0,03 ou 3%

Resposta: letra “c”.

13)Aplicação da fórmula: Dsc = N.i.nDsc = 100 x 0,30 x 1Dsc = 30100 – 30 = 70

Resposta: letra “a”.

14)Resposta: letra “c”.

15)Aplicação da fórmula: Va = N / (1 + in)Va = 575 / (1 + 0,075 x 2)Va = 575 / 1,15 = 500Dsr = N – VaDsr = 575 – 500 = 75

Resposta: letra “b”.


MATEMÁTICA FIINANCEIRA16)Aplicação da fórmula: Va = N / (1 + i)n

Va = 575 / (1,075)2

Va = 497,57Dsr = N – VaDsr = 575 – 497,57 = 77,43

Resposta: letra “c”.

17)Resposta: letra “d”.

18)Aplicação da fórmula: Va = 2.000 / (1 - i)n

Va = 2.000 / (1 – 0,10)2

Va = 1.620,00Dsr = N – VaDsr = 2.000,00 – 1.620,00 = 380,00


19)CERTA. Basta fazer um exemplo prático com as duas fór-

mulas.CERTA. O desconto simples comercial e bancário são os

mesmos.ERRADA. Ao contrário, é maior.ERRADA. Ao contrário, diminui.CERTA. O desconto foi de 36%, ou seja, o título foi des-

contado a R$ 640,00. Nos juros compostos, isso é dado por: 1000/640 = 1,5625 ou 56,25% de taxa no período. Isso nos dá juros anuais de [1,5625(1/2)]-1 = 0,25 ou 25%

Resposta: seqüência de Certas e Erradas:“ CCEEC”.

20)

Resolução:

21)Busca-se a taxa aparente, dada por: iap = [(1+ ir ) x (1 + f)]-1iap = [(1+ 23 ) x (1 + 0,12)]-1iap = 26,88 – 1 = 25,88 ou 2.588%


22)Taxa real: ir = [(1+ ie ) / (1 + f)] - 1ir = [(1+ 0,018 ) / (1 + 0,011)] - 1ir = ( 1,018 / 1,011 ) – 1 = 1,0069 = 0,0069 ou 0,69%


23) Taxa real: ir = [(1+ ie ) / (1 + f)] - 1ir = [(1+ 0,009 ) / (1 + 0,007)] - 1ir = ( 1,009 / 1,007 ) – 1 = 1,001986 = 0,001986 ou 0,1986%


24)Das opções acima, a única que propõe prestação uniforme é

o SAF ou “tabela price’.


25)A. ERRADO. SAF ou sistema price ou “tabela price” tem

prestações iguais.B. CERTO. Tem prestações decrescentes.C. ERRADO. O sistema utilizado não define a taxa a ser

praticada.D. ERRADO. Vide resposta letra “a”.E. ERRADO. A letra “b” está correta.


26)A. CERTO. SAF ou sistema price ou “tabela price” tem

prestações iguais.B. CERTO. As amortizações (vide fórmula) são crescen-

tes.C. CERTO. No SAC, as amortizações são constantes e as

prestações decrescentes.D. ERRADO. A taxa implícita é a mesma em cada um.E. CERTO. Vide fórmula.

Resposta: letra “d”. 27)

A amortização é dada pela divisão : 36.000/12 = 3.000,00Os juros por: saldo devedor x i = 36.000 x 0,05 = 1.800,00A prestação é a soma das anteriores.



juros amort PMT sd devedor0 36.000,00 1 1.800,00

3.000,00 4.800,00 33.000,00

2 1.650,00 3.000,00 4.650,00 30.000,00

3 1.500,00 3.000,00 4.500,00 27.000,00

4 1.350,00 3.000,00 4.350,00 24.000,00

5 1.200,00 3.000,00 4.200,00 21.000,00

6 1.050,00 3.000,00 4.050,00 18.000,00

Resposta: letra “e”.

28)

Resolução:

Valor da primeira amortização:Am = prestação – jurosAm = 17468 – 3% de 80000Am = 17468 – 2400 = 15068o saldo devedor ficou:80000 – 15068 = 64932logo, o percentual do saldo devedor comrelação ao valor do empréstimo será:S = 64932/80000 = 0,81165 = 81,165%

Alternativa E

29)

Total: 196 + 192 + 112 = 500Percentual de indecisos: 112/500 = 0,224 ou 22,4%

Resposta: D

30)

Se um produto passou de 100 para 200, o aumento foi de: (200/100)-1 = 2-1 = 1 ou 100%

Resposta: A

31)

Se um produto passou de 100 para 400, o aumento foi de: (400/100)-1 = 4-1 = 3 ou 300%

Resposta: C

32)

Sejam:Preço de tabela: PtPreço de custo: CPreço fixado: xPreço de venda: V = 42Valor do lucro: L

Deveremos ter:

V = 0,75x à 42 = 0,75x à x = 42/0,75 à x = 56L = 0,4x à L = 0,4.56 à L = 22,4L = V – C à 22,4 = 42 – C à C = 19,6

C = 0,8Pt19,6 = 0,8Pt --> Pt = 19,6/0,8 à Pt = 24,5

Resposta: B

33)Vamos calcular o tempo que ele gastou para percorrer os

primeiros 75% dos 400 quilômetros:75% de 400 = 0,75 x 400 = 300 km.

Como ele desenvolveu uma velocidade média de 80 km/h, ele gastou um tempo de: 300/80 = 3,75 horas.

3,75 horas = 3,75 x 60 = 225 minutos. Portanto, para per-correr o trecho final, ele gastou:

410 – 225 = 185 minutos

185 minutos = 180 minutos + 5 minutos = 3h 5 min.

Resposta: C

34)Seja R$100,00 o volume das vendas de Ana e Lúcia em maio.

De acordo com o enunciado, os volumes de vendas de

Ana e Lúcia, em Junho foram:

Ana: 100 + 0,2.100 = 100 + 20 = R$120,00Lúcia: 120 + 0,25.120 = 120 + 30 + R$150,00logo, o crescimento do volume de vendas de Lúcia, de maio

para junho, foi de 50%

Resposta: C

35)Em 2003: preço da assinatura pelos 10 concerto = R$300,00.

Portanto o preço de cada ingresso é 300/10 = R$30,00.Em 2004: Com o acréscimo de 20% em relação a 2003, o

preço da assinatura é: 300 + 20% de 300 = 300 + 60 = R$360,00. Portanto, o preço de cada ingresso é 360/9 = R$40,00.

36)70% não usam e 30% usam30% de 34430 = 0,3 x 34430 = 10329

Resposta: E



ANOTAÇÕES

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2 - Matemática Financeira

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