WEB AULAUnidade 2 – Taxas Para Juros Compostos

 

Quais as Taxas que preciso saber? 

A nomenclatura Taxas Nominais e Taxas Efetivas é somente para estudo de Juros compostos.

Como nos Juros Simples não existe o efeito da capitalização as taxas nominais e taxas efetivas são somente são utilizadas somente nos Juros Compostos e cada qual de maneira especial.

Taxas Nominais 

A taxa Nominal ocorre quando o período a taxa apresentada no problema não é coincidente com o período da capitalização.

Veja o exemplo abaixo:

Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado a uma taxa nominal de 36% a.a., capitalizado mensalmente num ano. Determinar o montante da taxa efetiva anual.

Logo, a taxa nominal é a taxa que NÃO será utilizada para calcular o valor dos juros; dizemos que é uma taxa “FALSA”, normalmente a taxa nominal está apresentada em “ao ano”.

Se no exemplo acima diz que “será capitalizado mensalmente ” significa que a taxa de capitalização será uma taxa mensal. Então “a uma taxa nominal de 36% ao ano” é uma taxa nominal, pois não indica a realidade. 

Outros exemplos:

a)    Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado a uma taxa nominal de 30% a.a., capitalizado trimestral.

b)    Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado a uma taxa nominal de 10% a.a., capitalizado mensal.

c)    Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado a uma taxa nominal de 500% a.a., capitalizado mensal.

Como a taxa nominal é muito utilizada no mercado, embora ela não represente a taxa efetiva deverá então utilizar mo conceito de proporcionalidade para resolução do problema. 

a)    30% a.a., capitalizado bimestralmente → 30 dividido por 6 meses

30 / 6 = 5% ao bimestre

b)    120% a.a., capitalizado mensal → 10 dividido por 12 meses

120 / 12 =  10% ao mês

c)    240% a.a., capitalizado mensal → 240 dividido por 12 meses

240 / 12 = 20% ao mês

 

Taxas Efetivas 

Taxas efetivas é a taxa que realmente é capitalizada na operação, ou podemos dizer que são as taxas mencionadas no problema e que coincidem com o período de capitalização.

Veja o exemplo abaixo:

a)    Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado a uma taxa nominal de 120% a.m., capitalizado mensal. Determinar o montante.

b)    Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado a uma taxa nominal de 10% a.s., capitalizado semestral. Determinar o montante.

c)    Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado a uma taxa nominal de 1000% a.a., capitalizado anual. Determinar o montante.

Existe uma fórmula pra cálculo da taxa efetiva, a utilização desta fórmula será visto mais detalhadamente na tele-aula, mas para conhecimento segue abaixo:

 

if =   k  –  1

if = taxa efetiva

i = taxa nominal

k = freqüência  de capitalização

Exemplo:

Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado no regime de juros compostos por cinco meses a taxa de 50% ao ano capitalizado mensalmente.

Como a capitalização mensal não é coincidente com o período de 50% ao ano, temos então uma taxa nominal de 50% ao ano.

Para resolução vamos utilizar a taxa de 50% transformada em número decimal 0,50.

if  =  ( 1 + i/k)k  -  1    

if  =  ( 1 + 0,50/12)12  -  1

if  =  ( 1 + 0,0416)12  -  1

if  =  (1,0416)12  -  1

if  =  1,632094  -  1

if  =  0,632094 

Transformando em percentual

if  =  63,20%  aproximadamente

Exemplo:

Um capital de R$ 100.000,00 foi aplicado no regime de juros compostos por cinco meses a taxa de 30% ao ano capitalizado mensalmente.

Como a capitalização mensal não é coincidente com o período de 30% ao ano, temos então uma taxa nominal de 30% ao ano.

Para resolução vamos utilizar a taxa de 30% transformada em número decimal 0,30.

if  =  ( 1 + i/k)k  -  1    

if  =  ( 1 + 0,30/12)12  -  1

if  =  ( 1 + 0,025)12  -  1

if  =  (1,025)12  -  1

if  =  1,3448888  -  1

if  =  0,3448888 

Transformando em percentual

if  =  34,48%  ou   if = 34,49% aproximadamente

 

Na Matemática Financeira existem muitas situações cotidianas, vamos outra forma de se calcular taxa efetiva com operação de desconto.

Mas ainda existe uma situação que podemos considerar, pois são dados os valores líquidos e nominais quando trata de um desconto de promissória, veja o exemplo abaixo:

Se uma promissória de R$ 100.000,00 de valor nominal for descontada quatro meses antes do prazo de vencimento com uma taxa nominal (“Falsa”) de 2% ao mês e com valor líquido de R$ 87.000,00, descubra qual será o valor real da taxa, ou seja, taxa efetiva?

Observe que foi mencionado o valor nominal e o valor líquido, nesta situação o cálculo da taxa efetiva é diferente do mencionado a cima:

 

if = taxa de juros efetiva

n = período

N = valor nominal do título

V = valor descontado

if  = ((Nominal  dividido  Valor descontado)  - 1)  divido pelo tempo

if  = ((N / V)  - 1)  / n

if  = ((100.000,00 / 87.000,00 )  - 1)  / 4meses

if  = (1,149425  - 1)  / 4 

if  = 0,149425  / 4

if  = 0,037356

Transformando em percentual

if  = 0,037356 * 100

if  = 3,73% aproximadamente

= 

Taxas Equivalentes 

As taxas são equivalentes quando as duas taxas são aplicadas a um mesmo capital e produzem os mesmo juros.

Existe uma fórmula pra cálculo da taxa equivalente, a utilização desta fórmula será visto mais detalhadamente na tele-aula, mas para conhecimento segue abaixo:

 

Ie  = (1 + i)n  -  1

 

ie = taxa equivalente

i = taxa do período

n = número de períodos

Exemplo 01:

Baseado no exemplo de taxas nominais, vamos resolvê-lo e entender  os três conceitos.

Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado a uma taxa nominal de 36% a.a., capitalizado mensalmente num ano. Determinar o montante da taxa efetiva anual.

36% a.a. é a taxa nominal “taxa FALSA”, pois segundo o enunciado do exercício o capital será capitalizado mensalmente, as taxas do período e da capitalização não coincidem.

Neste exercício, temos que determinar o Montante e podemos a partir dele calcular a taxa efetiva ou utilizando a fórmula. Iniciando este estudo pela fórmula do Montante (conteúdo que ainda será estudado):

M = C (1 + i) n

 

M = Montante ou Valor Futuro

C = Capital ou Valor Presente

i   = Taxa

n  = Período ou tempo

 

Assim:

Como  temos uma taxa “Nominal” ou falsa, vamos dividi-la por 12 para que possamos então encontrar uma taxa proporcional mensal → taxa dada em anos.

i  =  36 % ao ano  dividido por  12 meses

i  =  3 % ao mês  → 3 dividido por 100  → 0,03

Vamos aplicar os valores que temos na fórmula do Montante:

M = ?

C = 1.000,00

i   = 0,03

n  = 12 meses

M = C (1 + i) n

M = 1000,00   x  (1 + 0,03) 12

M = 1.000,00  x  1,4257

M = R$ 1.425, 76

Mas já sabemos que a diferença entre o Capital inicial e o final são os juros, assim:

J = M - C

J = 1.425,76  -  1.000,00

J = R$ 425,76

Porém este valor encontrado de juros R$ 425,76 dividido pelo Capital inicial e multiplicado por cem encontramos uma taxa efetiva anual de:

i =  (Juros / Capital Inicial)  x 100

i =  (425,76 / 1.000,00)  x 100

i = 0,42576100  x 100

i = 42,576 aproximadamente

OU calculando a taxa efetiva pela fórmula

if = ( 1  +  i/k) k  –  1

if = ( 1 +  0,36/12) 12  –  1

if = ( 1 + 0,03) 12  –  1

if = ( 1,03) 12  –  1

if = 1,425760886846178945447841 –  1

if = 0,425760886846178945447841

if = 0,425760886846178945447841 *  100

if = 42,576%a.a.   OU   if = 42,57% a.a.

Ou seja, taxa que realmente foi aplicada durante o ano.

 

Observe à conclusão que chegamos por este exemplo:

36 % ao ano →  Taxa Nominal ou “Falsa”

3% ao mês → Taxa Efetiva Mensal, e proporcional a 36% ao ano (Taxa Nominal)

42,576 % ao ano → Taxa Efetiva anual (É o que o exemplo desejava encontrar)

Outro Detalhe muito importante:

42,576 % ao ano é uma taxa equivalente a 3% ao mês, pois se aplicarmos o Capital de R$ 1.000,00 → taxa de 42,576 % ao ano obteremos o mesmo juro que aplicarmos este capital à taxa de 3% ao mês.

 

MUITA ATENÇÃO

Sempre a taxa "i" e o prazo "n" (tempo) devem estar expressos na mesma unidade, por exemplo: 1% a.m. por 5 meses;

Para isto NUNCA, NUNCA, NUNCA multiplique ou divida a taxa no sistema de juros compostos, pois esta é capitalizada e não pode ser alterada, então multiplique ou divida o tempo, prazo.

Juros Compostos 

Antes de qualquer coisa, você aluno deve saber que a diferença entre Juros Simples e Juros Compostos está na maneira de se calcular os juros; ao contrario dos compostos o juros simples são calculados baseados sempre no valor principal da operação, não considerando atualização de capital. Já os juros Compostos sempre atualizam o capital antes de calcular os juros do próximo período.

Para que você possa entender melhor este raciocínio vamos exemplificar:

Vamos considerar uma aplicação de juros simples de R$ 10.000,00 por três meses a taxa de 10% ao mês

 

Mês Juros Montante Final por Mês1º Mês 10% de R$ 1.000,00 = R$ 100,002º Mês 10% de R$ 1.000,00 = R$ 100,003º Mês 10% de R$ 1.000,00 = R$ 100,00

R$ 1.300,00 é o valor final a ser pago

Ao considerarmos Juros Compostos, observe os Juros de cada mês, pois neste ponto a base de cálculo é sempre atualizada.

Mês Juros Montante Final por Mês1º Mês 10% de R$ 1.000,00 = R$ 100,002º Mês 10% de R$ 1.100,00 = R$ 100,003º Mês 10% de R$ 1.210,00 = R$ 100,00

R$ 1.331,00 é o valor final a ser pago

R$ 1.100,00 = R$ 1.000,00 mais os juros R$ 100,00 do primeiro mês

R$ 1.210,00 = R$ 1.100,00 mais os juros R$ 110,00 do mês anterior

 

Na primeira web-aula você já estudou o Montante simples, mas vou dar uma dica e para relembrar:

Montante Simples = Valor do Capital + Juros do período

Nesta unidade trabalharemos o Montante Composto, para tal precisamos utilizar uma fórmula muito simples, pois a taxa é capitalizada; e como mencionado acima se precisa atualizar o capital antes de recalcular os juros.

Montante Composto = Capital x ( 1 + taxa) número de períodos ou tempo

Por meio de um exemplo calcularemos o Montante composto, ou também chamado de Valor Futuro, ou seja, valor final do empréstimo feito.

 

Exemplo 02:

O Hospital Pinhais fez uma aplicação para futuras compras de equipamentos de fisioterapia. Calcule o Montante desta aplicação de R$ 10.000,00, considerando a taxa de juros de 25% ao ano por um tempo de três anos.

Observe que o hospital aplicou um capital de R$ 10.000,00 logo, C = 10.000,00

A taxa da aplicação é de 25 por cento ao ano, no regime de juros compostos a taxa sempre deverá estar na forma decimal, assim:

25% → 25 dividido pó cem ou 25/100 → sendo, 0,25.

Esta aplicação tem um prazo de três anos, como a unidade do período está em anos e a unidade da taxa também encontra-se em anos, não será necessário igualar as unidade, lembrando que se fosse necessário NUNCA, NUNCA, NUNCA alterar a taxa sempre alterar o prazo, o tempo, pois a taxa é capitalizada no sistema de juros compostos.

Enfim, vamos à aplicação da fórmula:

C = 10.000,00

i = 0,25

n = 3

M = C(1 + i)n

M = 10.000 (1 + 0,25)3

M = 10.000 (1,25)3

M = 10.000  x 1,953125

M = R$ 19.531,25

Ou seja, montante da dívida será de R$ 19.531,25

Este cálculo na calculadora HP 12C é extremamente simples, observe a sequência que deverá Sr seguida.

Primeiramente digita-se o valor do capital 10000 e a tecla CHS e a tecla PV (valor presente)

Em seguida digita-se 25 e a tecla i que indica a taxa que está sendo utilizada:

Agora vamos informar o tempo, o período, digita-se 3 e a tecla n.

E, finalizando, pressionar a tecla FV Valor Futuro ou Montante, e obteremos o resultado abaixo para exercício.

Sistemas de Amortização 

Neste tópico, vamos trabalhar com os dois sistemas de amortização mais conhecidos S.A.C. – Sistema de Amortização Constante e o Sistema PRICE criado pelo inglês Richard Price, este sistema diferencia do anterior pelo uso da taxa proporcional. 

O sistema de Amortização Constante possui amortizações fixas como o nome diz e o sistema PRICE possui parcelas fixas com amortização variável, estes são muito utilizados em empréstimos habitacionais, para aquisição de imóveis etc. 

Vamos aprender mais sobre estes assuntos e como construir as tabelas de cada um dos sistemas por meio de exemplos: 

 

Exemplo 03: 

A clínica de estética RM&RM deseja simular um empréstimo de R$ 20.000,00 que será pago em oito prestações mensais com uma taxa de sete por cento ao mês, utilizando o Sistema de Amortização Constante – S.A.C. 

Primeira coisa a ser feita neste sistema é calcula o valor da amortização sobre os dados mencionados no exemplo acima, siga: 

 

Amortização = Capital dividido pelo número de períodos

Amortização = Capital / tempo

A = C / n 

A saber, os valores que temos pelo enunciado são: 

C = 20.000,00

n  = 8 prestações mensais

i  = 7 % ao mês

 

Calculando a amortização constante:

A = C / n

A = 20.000 / 8

A = R$ 2.500,00 – dizemos que serão amortizados dois mil e quinhentos reais por mês. 

 

Sabendo o valor da amortização vamos calcular o montante (valor  futuro) do primeiro mês, sendo que o valor presente é de R$ 20.000,00 para isto com o auxílio da calculadora HP12C temos a seguinte sequencia de comandos: 

20.000 CHS PV

1 n   (vamos calcular o montante sobre 20.000 de um mês somente)

7 i

Tecle FV (value future)

FV = R$ 21.400,00 

 

Sabendo que Juros é igual ao Montante final do período menos Capital atual, temos: 

Juros = FV - PV

Juros = 21.400 - 20.000

Juros = 1.400 

Nos sistemas de amortização sabe-se que o valor da prestação é sempre o valor da amortização mais os juros produzidos no período;

assim sendo para o primeiro mês temos que o valor da prestação oi PMT será de R$ 2.500,00 (amortização)  somado com os juros de R$ 1.400,00, sendo ela no valor de R$ 3.900,00.  

Observe a tabela abaixo:

Seguindo os passos mencionados acima, complete a tabela até o oitavo mês:

 

VEJA A TABELA S.A.C. COMPLETA!

 

Respostas do exercício

 

MUITA ATENÇÃO

Primeiro ponto a entender é que o valor  da amortização é decrescido do valor do Saldo Atual, porém os juros é o que de fato o indivíduo está pagando de direito.

Segundo ponto observe que o valor do Saldo Atual no último mês aparece zerado, ou seja, após oito meses pagando o empréstimo o indivíduo liquida a dívida.

Exemplo 04:

O hospital da zona Norte da cidade adquiriu uma sala para atendimento emergências, para esta aquisição foi necessário o financiamento de R$ 8.000,00 durante 10 prestações mensais com taxa de 50% ao ano. Calcule o valor das prestações utilizando o sistema Price.

A saber, os valores que temos pelo enunciado são:

C = 8.000,00

n  = 10 prestações mensais

i  = 50 % ao ano  

 

Primeiro  passo a ser feito é o cálculo proporcional da taxa, para isto utilizamos o sistema de Juros simples, somente para encontrar a taxa proporcional.

Taxa equivalente = 50% a.a. / 12 (número de meses)

Te = 50 / 12

Te = 0,04167   OU

Te = 4,17% ao mês

Próximo passo no sistema PRICE é encontrar o valor das prestações ou também conhecido como o PMT, para esta ação utilizaremos a calculadora HP12C, assim: 

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: não apague/limpe a memória da calculadora HP12C após iniciar este cálculo, pois se trata de uma sequência. 

8.000,00 CHS PV

10 n

4,17 i

PMT

Sendo PMT = R$ 994, 69 – ou o valor da prestação durante dez meses será de novecentos e noventa e quatro reais com sessenta e nove centavos.

Lembre-se que o sistema PRICE as prestações têm valores fixos, porém os valores das amortizações é que são variáveis.

Continuando na calculadora HP, você estudante deve teclar:

Tecle o número  1, agora a tecle  f ao lado da tecla G, e tecle n

N é a tecla de amortização quando ativado a função f.

No visor da calculadora aparecerá 0 valor R$ 333,60 que se caracterizam os JUROS.

Continuando na calculadora HP, você estudante deve teclar:

Procure a tecla   “X <> Y” e Tecle

 

No visor da calculadora aparecerá o valor R$ 661,05 que indica o valor de Amortização

 

Continuando na calculadora HP, você estudante deve pressionar a tecla “+”, assim a calculadora irá somar os dois valores acima mencionados de juros e amortização à 333.60 + 661,06 = 994,69 que é a prestação do período: 

Continuando na calculadora HP ainda, você estudante deve teclar:

Pressione RCL PV

 

No visor da calculadora aparecerá o valor R$ 7.338,90 que indica o valor do Saldo Devedor. A tecla RCL resgata um determinado valor neste caso o valor presente com a tecla PV.

Com os cálculos acima mencionados conseguimos montar a primeira linha da tabela do sistema PRICE:

Para calcularem as demais linhas desta tabela você estudante deve continuar com os dados na memória da calculadora HP12C, vamos calcular a segunda linha desta tabela: 

Tecle o número  1, agora a tecle  f ao lado da tecla G, e tecle n

N é a tecla de amortização quando ativado a função f.

No visor da calculadora aparecerá 0 valor R$ 306,03 que se caracterizam os JUROS.

Continuando na calculadora HP, você estudante deve teclar:

Procure a tecla   “X <> Y” e Tecle

No visor da calculadora aparecerá o valor R$ 688,65 que indica o valor de Amortização

 

Continuando na calculadora HP, você estudante deve pressionar a tecla “+”, assim a calculadora irá somar os dois valores acima mencionados de juros e amortização à 306,03 + 688,65 = 994,69 que é a prestação do período:

Continuando na calculadora HP ainda, você estudante deve teclar:

Pressione RCL PV

 

No visor da calculadora, aparecerá o valor R$ 6.650,24 que indica o valor do Saldo Devedor. A tecla RCL resgata um determinado valor neste caso o valor presente com a tecla PV.

Com os cálculos acima mencionados conseguimos montar a segunda linha da tabela do sistema PRICE:

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: Os cálculos têm pequenas diferenças de centavos devido ao arredondamento de casas decimais no momento que calculei a tabela toda.

Segue abaixo a tabela seguindo os mesmo passos até a quinta prestação, você estudante deve finalizar a tabela até a décima parcela do financiamento, mas não limpe a memória da calculadora.

 

VEJA A TABELA PRICE COMPLETA!

MUITA ATENÇÃO

Primeiro ponto a entender é que o valor  da amortização é decrescido do valor do Saldo Atual, porém os juros é o que de fato o indivíduo está pagando de direito.

Segundo ponto observe que o valor do Saldo Atual no último mês aparece zerado, ou seja, após oito meses pagando o empréstimo o indivíduo liquida a dívida.

Obs.: o valor do saldo devedor apresenta 0,52 na tabela devido à diferença de arredondamento.

 

 

 

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Parabéns querido aluno, você finalizou todo o conteúdo da web-aula, acredito que compreendeu todo o conteúdo, portanto desejo a você

uma excelente prova e muito sucesso na sua carreira profissional!