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PROFESSOR MARCELO CALDEIRA VIEGAS

Engenheiro Químico

Doutor em Engenharia Química

MÉTODOS QUANTITATIVOS

Aula 2

Números Índices

Números Índices

Sintetizam as modificações nas condições econômicas ocorridas em um espaço de tempo, através de uma razão;

São usados para indicar variações relativas em quantidades, preços ou valores de um produto (ou produtos) durante certo período de tempo;

Exemplos de Números Índices: Índices de 

Preços ao Consumidor – IPCA e  INPC (Instituto 

Brasileiro de Geografia e Estatística – IBGE); IPC(Fundação Instituto Pesquisas Econômicas);

Números Índices O que é um número índice?

Um número índice é um quociente entre dois valores de uma mesma variável, referentes a diferentes pontos no tempo ou no espaço e expresso em percentagem.

Um número índice para t (período atual) com 

base em 0 (ano base) é definido como:

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NÚMEROS‐ÍNDICES SIMPLES:  Podem ser de preços, quantidades ou valores, conforme será discutido a seguir.

Índice Relativo de Preços (Ip): Expressam a relação entre o preço de um único produto em um período determinado e o de outro período, comumente denominado período básico ou de referência. 

– O índice de preço relativo do período b (Pb), em relação ao do período a (Pa) pode ser definido pela seguinte equação:

Índice Relativo de Preços (Ip): 

EXEMPLO: Se um produto custava R$ 200,00 em 2011 e passou a custar R$ 230,00 em 2012, calcule o índice de preço relativo de preço (lp) entre 2012 e 2011.

RESOLUÇÃO:

Índice Relativo de Quantidades (Iq): compara os preços de bens/produtos, podemos também fazê‐lo em relação a quantidades, quer sejam elas produzidas, vendidas ou consumidas.

Se considerarmos qb= quantidade de um produto na época atual e qa= quantidade desse mesmo produto na no ano base, a quantidade relativa dada pela seguinte equação:

Índice Relativo de Quantidades (Iq):

EXEMPLO: Uma empresa produziu 1000 unidades de determinado produto em 2012 e 1350 toneladas em 2013. Calcule a quantidade relativa tomando‐se o ano de 2012 como base.

RESOLUÇÃO:

Interpretação: No ano de 2013 esta empresa aumentou sua produção (em relação a este produto) em 35% (135%‐100%) em relação a2012 (ano base).

Índice Relativo de Valor (Iv): Se p for o preço de 

determinado produto em certa época e q a quantidade produzida, vendida ou consumida desse mesmo produto na mesma época, então, 

o produto p x q será denominado valor total de produção (vt), de vendas ou de consumo. 

NÚMEROS ÍNDICESO Índice Relativo de Valor (Iv) é dado pela seguinte equação:

Onde: pt e qt : O preço e a quantidade de um produto na 

época atual po e qo : O preço e a quantidade do mesmo produto 

no ano base.vt – valor total na data atual, v0 ‐ valor total na data de ano base

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Índice Relativo de Valor (Iv):EXEMPLO: Uma empresa vendeu em 2011 1000 unidades de um produto ao preço unitário de R$ 60,00. Em 2012, vendeu 800 unidades do mesmo produto ao preço unitário de R$ 80,00. Calcule o valor relativo da venda em 2012 considerando 2011 como ano base.

RESOLUÇÃO:

Interpretação: Em 2012, o valor das vendas foi 6,67% (106,67%‐100%) superior ao de 2011 (ano base).

NÚMEROS ÍNDICES SIMPLES – EXEMPLO:

No final do ano de 2012, determinada indústria estudava a evolução de suas vendas ao longo dos quatro últimos anos. As quantidades vendidas, os preços praticados e o valor das vendas de cada ano podem ser visualizados na Tabela 01.

NÚMEROS ÍNDICES

Tabela 01: 

Vendas Anuais da Empresa Sejam Bem Vindos LTDA.

Ano Quantidade 

Vendida

Preço 

unitário (R$)

Valor das 

Vendas (R$)

2009 100 120,00 12.000,00

2010 115 142,00 16.330,00

2011 136 154,00 20.944,00

2012 150 168,00 25.200,00Fonte: Adaptada de Bruni (2007).

NÚMEROS ÍNDICES SIMPLES – EXEMPLO:

Uma forma desta empresa analisar a evolução e as variações ocorridas nos dados apresentados seria construir uma tabela formada por números‐índices a partir dos dados da Tabela 1, conforme está apresentado na Tabela 2. 

NÚMEROS ÍNDICES

Tabela 02: Índices de quantidade (Iq), preço (Ip) e valor (Iv) – referentes a Tabela 01

Fonte: Adaptada de Bruni (2007).

Ano Iq Ip Iv

2009 (Ano Base) 100,00% 100,00% 100,00%

2010 115,00% 118,33% 136,08%

2011 136,00% 128,33% 174,53%

2012 150,00% 140,00% 210,00%

PERGUNTAS

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NÚMEROS ÍNDICES COMPOSTOS:  Devem ser utilizados quando a evolução do preço de mais de um produto ou serviço precisa ser considerada. Diferentes cálculos com múltiplos preços, quantidades ou valores podem ser considerados.

NÚMEROS ÍNDICESÍndice de Laspeyres ou método do ano base: Dentre os métodos de números‐índices compostos, o índice de Laspeyres ou método do ano base é um dos métodos para cálculo de números‐índices mais utilizado na área de gestão coorporativa. 

– Ao aplicar este método considera‐se um dos anos como ano base com preços apresentados como p0 e quantidades apresentadas como q0. 

– Pode ser classificado como: Laspeyres de preços, quantidades ou valores 

Índice de preços de Laspeyres (ILp): O índice de preços de Laspeyres pondera os cálculos dos valores, empregando a quantidade de vendas do ano‐base. 

NÚMEROS ÍNDICES COMPOSTOSAnalisa a variação ponderada dos preços, empregando a quantidade do ano base como fator de ponderação, conforme dado pela fórmula a seguir:

Onde:

Pn: Preço no período atual;

P0: Preço no período base;

Q0: Quantidade no ano base;

EXEMPLO: Para ilustrar cálculos com índices de Laspeyres, considere o exemplo das vendas de quatro produtos distintos apresentados na Tabela 03.

NÚMEROS ÍNDICES COMPOSTOSTabela 03: Vendas de determinada empresa, quatro produtos distintos (Ilustração índice de Laspeyres)

Item 2012 2013

P0 Q0 V0 Pn Qn Vn

Produto A 2 2 4 4 6 24

Produto B 3 1 3 7 3 21

Produto C 4 3 12 5 8 40

Produto D 3 4 12 4 9 36

Soma  31 121

Fonte: Bruni (2007).

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RESOLUÇÃO: a Tabela 04 apresenta o cálculo do índice de preços de Laspeyres

Fonte: Bruni (2007).

Item2012 (Ano‐Base) 2013

P0 Q0 P0 * Q0 Pn Q0 Pn * Q0

Produto A 2 2 4 4 2 8Produto B 3 1 3 7 1 7Produto C 4 3 12 5 3 15Produto D 3 4 12 4 4 16(Pn * Q0) ‐ 46(P0 * Q0) 31 ‐

ILp= (Pn * Q0)/ (P0 * Q0) 46/31=148%

Tabela 04: Índice de Preços de Laspeyres (ILp)

Índice de quantidade de Laspeyres (ILq): O índice de quantidades de Laspeyres analisa a variação ponderada das quantidades, empregando os preços no ano base como fator de ponderação. 

Onde:

P0: Preço no período base;

Q0: Quantidade no ano base;

Qn: Quantidade no período atual;

A Tabela 05 apresenta os cálculos dos Índices de quantidadede Laspeyres (ILq) para o exemplo apresentado na Tabela 03. 

Fonte: Bruni (2007).

Item2012 (Ano‐Base) 2013P0 Q0 P0 * Q0 P0 Qn Pn * Q0

Produto A 2 2 4 2 6 12Produto B 3 1 3 3 3 9Produto C 4 3 12 4 8 32Produto D 3 4 12 3 9 27(Pn * Q0) ‐ 80(P0 * Q0) 31 ‐

ILp= (Pn * Q0)/ (P0 * Q0) 80/31=258,06%

Tabela 05: Índice de quantidade de Laspeyres (ILq)

PERGUNTAS

Índice de valor de Laspeyres (ILv): O índice de valor de Laspeyres analisa a variação nos valores, comparando o valor do ano em questão com o valor do ano‐base. É calculado pela equação abaixo:

Onde:

P0: Preço no período base;

Pn: Preço no período base;

Q0: Quantidade no ano base;

Qn: Quantidade no período atual;

Índice de valor de Laspeyres (ILq)

A Tabela 06 apresenta os cálculos dos Índices de valor de Laspeyres (ILv) para o exemplo apresentado na Tabela 03. 

Podemos calcular o índice de valor de Laspeyres(ILv) dividindo o valor (V) do ano de 2013 pelo valor do ano‐base 2012, igual a R$31,00

NÚMEROS ÍNDICES COMPOSTOS

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Tabela 06: Índice de valor de Laspeyres (ILv)

Fonte: Bruni (2007).

Item2012 (Ano‐Base) 2013P0 Q0 P0 * Q0 Pn Qn Vn

Produto A 2 2 4 4 6 24Produto B 3 1 3 7 3 21Produto C 4 3 12 5 8 40Produto D 3 4 12 4 9 36(Pn * Q0) ‐ 121(P0 * Q0) 31 ‐

ILp= (Pn * Q0)/ (P0 * Q0) 121/31=390,32%

Definição: As variações de preço, causadas por inflação ou deflação, podem obscurecer as variações de quantidade. Isso significa que às vezes o que parece ser um crescimento de vendas, ou aumento na participação no mercado (por apresentar maior faturamento) deve‐se mais a flutuações de preços, ou desvalorizações cambiais, do que realmente a acréscimos nas quantidades vendidas. 

DEFLAÇÃO DE DADOS

Deflacionar (Castanheira, 2011)Significa eliminar dos valores monetários nominais o efeito da inflação, assim entendido o aumento de preços decorrente da desvalorização do padrão monetário;

Deste modo, os valores ficam dados numa mesma base de comparação (valores reais);

O processo de redução é denominado deflação(ou deflacionamento);

DEFLAÇÃO DE DADOS

Deflacionar (Castanheira, 2011)Deflator: É qualquer índice de preços utilizado para equiparar, por redução, valores monetários de diversas épocas ao valor monetário de uma determinada época tomada como base;

O número índice usado para deflacionar valores é denominadodeflator (Df). No Brasil, os mais usados são o IGP, ICV, INPC, IPC, IPA e a TR.

DEFLAÇÃO DE DADOS

Números índices apropriados para deflação da série temporal:

– Se trata‐se de uma empresa que vende diretamente ao consumidor final, no varejo, devemos utilizar como deflator um índice de preços ao consumidor (como o IPC‐A do IBGE, o IPC da FIPE);

– Se a empresa vender bens de capital, ou realizar vendas no atacado, devemos utilizar um índice que retrate as flutuações de tal mercado (como o IGP‐M da Fundação Getúlio Vargas);

O índice mais utilizado para este efeito é o Índice de Preços no Consumidor (IPC) – tem por finalidade medir a evolução no tempo dos preços de um conjunto de bens e serviços considerados representativos da estrutura de consumo de determinado espaço geográfico e de um ou vários estratos sócio‐económicos.

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Cálculo: O processo de deflação de uma série consiste na divisão de valores monetários a preços correntes da série cronológica por um índice de preços, multiplicando o resultado obtido por 100. Para isso, usamos a fórmula:

Onde:

Vr: Valor real do bem (valor na data atual);

Vn: Valor nominal do bem (valor na data base)

Df: Deflator (número índice);

Notar: Independente do deflator (índice) escolhido este procedimento é similar.

EXEMPLO: Na Tabela 07 estão os valores nominais do salário de um trabalhador brasileiro e a série de números índices do IPC. Determinar os salários reais tomando por base dezembro de 2009:

DEFLAÇÃO DE DADOS

Tabela 07: Valores nominais do salário de um trabalhador brasileiro (Valores fictícios)

Data Salário Nominal (R$)

IPC do mês (%)

IPC acumulado(deflator) (%)

Salário Real (R$)

Dezembro/2009 1300,00 ‐ 100,00 1300,00

Janeiro/2010 1300,00 0,50 100,50 1293,53

Fevereiro/2010 1300,00 1,41 101,91 1275,63

: : : : :

Outubro/2010 1360,00 1,13 106,53 1276,63

Novembro/2010 1360,00 1,48 108,10 1258,09

Dezembro/2010 1360,00 0,49 108,63 1251,95

Fonte: Adaptada de Castanheira (2011).

Uma empresa vendeu 1600 produtos em 2010, com preço unitário de R$ 100,00. Em 2012, vendeu 1900 itens do mesmo produto com preço unitário de R$ 120,00. O índice relativo de valor (Iv) em 2012, considerando como ano base 2010 é:

A. 130,80%

B. 110,20%

C. 126,40%

D. 142,50%

E. 115,00%

ATIVIDADE EM SALA

PERGUNTAS

BRUNI, Adriano Leal. Estatística Aplicada à Gestão Empresarial, 2º Edição, Editora Atlas, 2007.

CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Métodos Quantitativos. 2º Edição, Editora IBPEX, 2011.

GARCIA, Regis ‐ UNOPAR. Estatística. São Paulo: Editora: Pearson Educationdo Brasil, 2009.

REFERÊNCIAS

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