111057640 Exercicios de Analize Comb

1) De um total de 6 pratos base de carboidratos e 4 pratos base de

protenas, pretendo fazer o meu prato com 5 destes itens, itens diferentes, de

sorte que contenha ao menos 2 protenas. Qual o nmero mximo de pratos

distintos que poderei fazer? Se no houvesse a restrio das duas protenas, o clculo seria simplesmente C10, 5:

Mas como h tal restrio, devemos descontar deste total o nmero de pratos que s

contm carboidratos, que igual a C6, 5:

No podemos nos esquecer de que tambm podemos montar pratos contendo apenas

um item de protena, ento devemos desconsider-los tambm. Estes pratos so o

produto de C6, 4, referentes aos quatro itens de carboidrato, por C4, 1, referentes ao

nico item de protena:

Multiplicando as combinaes:

Podemos formar ento 6 pratos sem qualquer item de protena e mais 60 pratos com

somente um item de protena. Ento de 252 que o nmero total de combinaes

possveis sem a restrio, devemos subtrair 66pratos para obtermos a resposta do

exerccio, ou seja, 186.

Poderamos ter resolvido este exerccio de uma outra maneira. Vamos lhe explicar como

e vamos lhe dar o resultado, mas o desenvolvimento em si voc mesmo dever fazer,

para que consiga fixar melhor os conhecimentos adquiridos. Por favor, no deixe de

faz-lo.

O produto C6, 3 . C4, 2 = 20 . 6 = 120 nos d o total de pratos contendo 3 itens de

carboidrato e 2 itens de protena.

J o produto C6, 2 . C4, 3 = 15 . 4 = 60 igual ao total de pratos contendo 2 itens de


Por fim o produto C6, 1 . C4, 4 = 6 . 1 = 6 resulta no total de pratos contendo 1 item de


Somando 120, 60 e 6, obtemos o mesmo resultado obtido anteriormente.

Portanto:

O nmero mximo de pratos distintos que poderei fazer, contendo ao menos

dois itens de protena, igual a 186 pratos.

2) Em um refeitrio h doces e salgados. Cada pessoa receber um

recipiente com 3 doces, dos 8 tipos disponveis e apenas 2 salgados, dos 7

tipos fabricados. Quantas so as diferentes possibilidades de preenchimento

do recipiente? Estamos trabalhando com combinao simples, pois no importa a ordem de

preenchimento dos recipientes. No caso dos doces vamos calcular C8, 3:

J no caso dos salgados vamos calcular C7, 2:

O nmero total de combinaes ser ento o produto de 56 por 21:

Logo:

So 1176 as diferentes possibilidades de preenchimento do recipiente.

3) Oito pessoas iro acampar e levaro quatro barracas. Em cada barraca

dormiro duas pessoas. Quantas so as opes de distribuio das pessoas nas

barracas? Para a primeira barraca h 8 pessoas disponveis em relao primeira vaga e 7 para a

segunda vaga. Multiplicando um pelo outro obtemos 56, mas como no faz diferena

se A vai dormir com B, ou se B quem vai dormir com A, ento dividimos 56 por 2 que

o nmero total de permutaes entre A e B. Esta diviso resulta em28.

Restam agora 6 pessoas aguardando por uma vaga em uma barraca. Para as demais

barracas procedemos da mesma forma.

Para a segunda barraca h 6 pessoas disponveis em relao primeira vaga e 5 para a

segunda vaga. A metade do produto disto d 15.

No caso da terceira barraca h somente 4 e 3 pessoas para cada uma das vagas. A

metade deste produto 6.

Finalmente para a quarta barraca h 2 e 1 pessoas para cada uma das vagas. A metade

do produto 1.

Multiplicando 28, 15, 6 e 1 obtemos 2520 opes de distribuio.

Veja os clculos detalhados abaixo:

Tambm podemos resolver este exerccio recorrendo formula da combinao

simples:

Para exercitar faa os clculos de C8, 2, C6, 2, C4, 2 e C2, 2 e confira.

Desta forma:

So 2520 as opes de distribuio das pessoas nas abarracas.

4) Em uma sapateira irei guardar 3 sapatos, 2 chinelos e 5 tnis. Quantas so

as disposies possveis desde que os calados de mesmo tipo fiquem juntos,

lado a lado na sapateira? Como temos trs tipos de calados, a permutao destes trs tipos igual a 6:

P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6

Ou seja, estando todos os calados de um mesmo tipo juntos, o nmero de

permutaes igual a 6, levando-se em considerao apenas o tipo de calado, mas

no o calado em si.

Para os sapatos, temos 3 deles, que permutados entre si resulta em 6 permutaes:

P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6

Para os chinelos, temos 2 pares, que permutados entre si resulta em 2 permutaes:

P2 = 2! = 2 . 1 = 2

Finalmente para os tnis, temos 5 pares, que permutados entre si resulta

em 120 permutaes:

P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

Multiplicando estes quatro nmeros temos:

P3 . P3 . P2 . P5 = 3! . 3! . 2! . 5! = 6 . 6 . 2 . 120 = 8640

Este o nmero de disposies possveis.

Veja que os trs ltimos fatores (P3, P2 e P5) se referem s permutaes

dos sapatos, chinelos e tnis, respectivamente entre eles mesmos, sem haver

mistura de tipos de calados.

Note, no entanto que o primeiro fator (P3) se refere s permutaes entre os tipos de

calados em si, por exemplo,"sapatos, chinelos, tnis" um agrupamento

e "chinelos, tnis, sapatos" um outro agrupamento, ou seja, embora no haja

mistura entre calados de tipos diferentes, os tipos de calados como um todo

permutam entre si.

Portanto:

As disposies possveis so 8640.

5) Grmio (RS), Flamengo (RJ), Internacional (RS) e So Paulo (SP)

disputam um campeonato. Levando-se em conta apenas a unidade da

federao de cada um dos clubes, de quantas maneiras diferentes pode

terminar o campeonato? Em outras palavras queremos saber o nmero de permutaes possveis entre as

unidades da federao de RS,RJ, RS e SP.

Atravs do clculo de P4 temos:

P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24

No entanto a UF do RS ocorre 2 vezes, devemos portanto eliminar as duas

permutaes referentes a ela, dividindo 24 por 2!, quando iremos obter 12 maneiras

diferentes de poder terminar o campeonato.

Podemos tambm solucionar o problema calculando P4(2):

Logo:

O campeonato pode terminar de 12 maneiras diferentes.

6) Um certo nmero de pessoas pode ser agrupado de duas em duas

pessoas, no importando a ordem das mesmas, resultando em 10 diferentes

possibilidades de agrupamento. Quantas pessoas fazem parte deste grupo? Como a ordem de posicionamento das pessoas irrelevante, estamos falando

de combinao simples. Ento temos que resolver a equao C10, 2 = 10:

Temos ento que encontrar as razes da equao .

Depois de tratarmos sobre as relaes de Albert Girard, aprendemos que podemos

resolver facilmente esta equao, respondendo seguinte pergunta?

Quais so os dois nmeros cuja soma igual a 1 e cujo produto igual -20?

Rapidamente deduzimos tratar-se dos nmeros -4 e 5.

Como o conceito de fatoriais aplicado somente aos nmeros naturais, a raiz -4 deve

ser descartada, ento temos que n igual a 5.

Assim sendo:

5 pessoas fazem parte deste grupo.

7) Se enfileirarmos 3 dados iguais, obteremos um agrupamento dentre

quantos possveis? Quando temos apenas 1 dado, temos um total de 6 resultados possveis.

Quando temos 2 dados, cada um dos 6 resultados possveis de um dos dados, pode ser

combinado com cada um dos 6 resultados possveis do outro dado, resultando ento

em 36 resultados possveis.

Como temos 3 dados, as 36 possibilidades combinadas dos outros 2 dados, combinadas

s 6 possibilidades do terceiro dado resultaro em 216 resultados.

Em outras palavras, pelo princpio multiplicativo temos:

6 . 6 . 6 = 216

Logo:

Obteremos um agrupamento dentre os 216 possveis.

8) Em um pequeno galinheiro h 12 aves, dentre um galo, galinhas, frangos

e frangas, no entanto s existe espao para 10 aves no poleiro. De quantas

maneiras distintas elas podem ser empoleiradas, sabendo-se que o poleiro

sempre ficar lotado? Para a primeira ave a subir no poleiro tem-se 12 possibilidades, para a segunda tem-

se 11, para a terceira tem-se10 e assim por diante, at a dcima ave onde teremos

apenas 3 possibilidades, j que apenas duas ficaro de fora. Multiplicando tudo temos:

12 . 11 . 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 = 239500800

Se no importasse a ordem das aves no poleiro, iramos

dividir 239500800 por 10! para anular a permutao das10 aves no poleiro, mas

como a ordem das aves empoleiradas distingue um agrupamento do outro, no iremos

realizar tal diviso, pois estamos na verdade trabalhando com arranjo simples.

J que estamos a trabalhar com arranjo simples, voc j deve ter percebido que

poderamos ter calculado A12, 10:

Ento:

As aves podem ser empoleiradas de 239500800 formas distintas.

9) Perpendiculares a duas retas paralelas no sobrepostas, foram traadas

outras trs retas paralelas no sobrepostas. Formaram-se ento seis pontos

distintos nestes cruzamentos de retas. Quantos tringulos distintos podemos

formar interligando trs pontos quaisquer? Em relao s duas retas paralelas iniciais, para que formemos um tringulo,

precisamos tomar 2 pontos distintos de uma reta e 1 ponto da outra, j que trs pontos

em linha no podem formar um tringulo.

Um tringulo que tenha os vrtices nos pontos A, B e C, obviamente o mesmo

tringulo com os vrtices nos pontos B, C e A, ou em qualquer uma das suas

permutaes. Sabendo disto, precisamos combinar dois a dois os pontos de uma das

retas ( C3, 2 ) e multiplic-la por trs, que o nmero de pontos na outra reta paralela.

Como vale o mesmo se considerarmos o contrrio, ou seja, tomarmos C3, 2 dos pontos

da segunda reta e multiplicarmos pelos trs pontos da outra reta, ento devemos

multipicar tal resultado por dois:

Portanto:

Interligando trs pontos quaisquer, que juntos permitem formar um

tringulo, podemos formar 18 tringulos distintos.

10) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra

CALOUROS, tal que sempre haja a presena da sequncia OURO, nesta ordem,

e as letras C e S nunca estejam juntas qualquer que seja a ordem? Trocando a sequncia OURO por *, de CALOUROS passamos a ter CAL*S. Agora

temos cinco caracteres, logo devemos permut-los para obter o nmero de anagramas:

P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

Dos 120 anagramas possveis, temos alguns que possuem ou a sequncia CS, ou a

sequncia SC. Como desconsider-los?

simples, vamos cont-los.

Vamos trocar a sequncia formada pelas letras C e S, em qualquer ordem, por $.

Ficamos ento com $AL*.

Temos ento que calcular P4, mas como C e S so 2 letras que tambm permutam

entre si, devemos multiplicar P4por P2:

P4 . P2 = 4! . 2! = 4 . 3 . 2 . 1 . 2 . 1 = 48

Atente ao fato de que no caso da sequncia CAL*S calculamos P5, mas no a

multiplicamos por nada, isto porque diferentemente do que ocorre com as letras da

sequncia CS, as letras da sequncia OURO no sofrem permutao entre si. A

sequncia sempre a mesma.

Ento, dos 120 anagramas possveis, 48 deles possuem uma das permutaes da

sequncia CS. Vamos portanto descont-los:

120 - 48 = 72

Logo:

Podemos formar 72 anagramas que correspondem s condies do

enunciado.

A teoria necessria para resolver os exerccios apresentados est em Anlise Combintoria. Alguns exerccios possuem resposta ou algum auxlio. Nem sempre os exerccios aparecem em ordem de dificuldade crescente.

Exerccios de permutaes simples

1. Com as vogais: A,E,I,O e U, quantas permutaes podem ser formadas contendo as letras: A,E e I.

2. De quantos modos distintos podemos colocar 3 livros juntos em uma estante de biblioteca?

Auxlio: P(n)=n!, n=3

Resposta: N=123=6

3. De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em um banco de jardim com 5 lugares?


Resposta: N=12345=120

4. Qual o nmero possvel de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMOR?


Resposta: N=1234=24

5. Quantos nmeros com cinco algarismos podemos construir com os nmeros mpares 1,3,5,7,9.

Auxlio:

Resposta: P(5)=120.

6. Quantos nmeros com cinco algarismos podemos construir com os nmeros mpares 1,3,5,7,9, desde que estejam sempre juntos os algarismos 1 e 3.

Auxlio: Cada conjunto com os algarismos 13 e 31 forma um grupo que junto com os outros, fornece 4 grupos.

Resposta: N=2P(4)=224=48

7. Consideremos um conjunto com n letras. Quantas permutaes comeam por uma determinada letra?

Resposta: N=P(n-1)=(n-1)!

8. Quantos so os anagramas possveis com as letras: ABCDEFGHI?

Resposta: P(9)=9!

9. Quantos so os anagramas possveis com as letras: ABCDEFGHI, comeando por A?

Resposta: P(8)=8!

10. Quantos so os anagramas possveis com as letras: ABCDEFGHI, comeando por AB?

Resposta: P(7)=7!

11. Quantos so os anagramas possveis com as letras: ABCDEFGHI, comeando por ABC?

Resposta: P(6)=6!

12. Quantos so os anagramas possveis com as letras: ABCDEFGHI, comeando por uma das letras A, B ou C?

Auxlio: Comeando por uma das letras A,B,C: P(8)=8!

Resposta: N=3P(8)=38!

13. Quantos so os anagramas possveis com as letras: ABCDEFGHI, comeando pelas trs letras do grupo ABC?

Auxlio: Comeando pelas letras do grupo ABC: P(3)=3!=6

Resposta: N=P(3)P(6)=6120=720

14. Quantos so os anagramas possveis com as letras: ABCDEFGHI, comeando por uma vogal e terminando por uma consoante?

Auxlio: 3 so as vogais e 6 so as consoantes.

Resposta: N=P(3)P(6)=6120=720 (???)

15. H 10 pessoas em um local, sendo 3 com camisas verdes, 3 com camisas amarelas, 2 com camisas azuis e 2 com camisas brancas. De quantos modos podemos perfilar todas essas 10 pessoas de modo que os grupos com as camisas de mesma cor fiquem juntos?

Auxlio: Temos 4 grupos de camisas, logo P(4) posies para as equipes e os grupos podem permutar as suas posies, respectivamente, P(3), P(3), P(2) e P(2).

Resposta: N=P(4)P(3)P(3)P(2)P(2)=3456

Exerccios de permutaes com repetio

16. Quantos so os anagramas possveis com as letras da palavra: ARARA?

Auxlio: A letra A aparece 3 vezes e a letra R aparece 2 vezes.

Resposta: Pr(5;3+2)=5!/(3!2!)=10

17. Quantos so os anagramas possveis para a palavra: ULYSSES?

18. Quantos so os anagramas possveis para a palavra: ULYSSES comeando por U?

19. Quantos so os anagramas possveis para a palavra: ULYSSES terminando por S?

20. Quantos so os anagramas possveis para a palavra: ULYSSES comeando por U e terminando por S?

21. Qual o nmero possvel de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMA?

Auxlio: p1=n(A)=2, p2=n(M)=1, N=Pr(3;2+1)

Pr(p;p1+p2)=(p1+p2)!/(p1!p2!)

Resposta:N=3!/(2!1!)=3

22. Qual o nmero possvel de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMAR?

Auxlio: N=(p1+p2+p3)!/(p1!p2!p3!),A=2,M=1,R=1

Resposta: N=4!/(2!1!1!)=12

23. Qual o nmero possvel de anagramas que se pode montar com as letras da palavra ARARUNA?

Auxlio: N=(p1+p2+p3+p4)!/(p1!p2!p3!p4!), A=3, R=2, N=1, U=1

Resposta: N=7!/(3!2!1!1!)=420

24. O nmero Pi com 10 algarismos (sem considerar a vrgula) indicado por 3141592653. Quantas so as permutaes diferentes que podemos construir com estes 10 algarismos

Auxlio: n(1)=n(3)=n(5)=2, n(2)=n(4)=n(6)=n(9)=1

Resposta: Pr(10,2+1+2+1+2+1+1)=10!/8=453600

25. Quantos so os anagramas possveis com as letras da palavra: MATEMATICA?

Auxlio: A letra A aparece 3 vezes, a letra M aparece 2 vezes, a letra T aparece 2 vezes, a letras E aparece 1 vez , a letra I aparece 1 vez e a letra C aparece 1 vez.

Resposta: Pr(10;3+2+2+1+1+1) = 10!/[3!2!2!1!1!1!] =151200

Exerccios de permutaes circulares

26. De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em volta de uma mesa circular?

Auxlio: N=P(n-1)=(n-1)!, n=5

Resposta: N=1234=24

27. De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em volta de uma mesa retangular?

Auxlio: N=P(n-1)=(n-1)!, n=5

Resposta: N=1234=24

Exerccios de combinaes simples

28. Um indivduo possui 25 livros diferentes. De quantas formas distintas ele poder empacotar tais livros em grupos de 6 livros?

29. Quantos grupos de 3 pessoas podem ser montados com 8 pessoas?

Auxlio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!]; m=8,p=3

Resposta: C=8!/(3!5!)=(876)/(123)=56

30. Quantos grupos de 2 pessoas podem ser montados com 1000 pessoas?

Auxlio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!], m=1000, p=2

Resposta: C=1000!/(2!998!)=1000999=999000

31. Quantas combinaes com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto?

Conceito: Combinao

Auxlio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!], m=10, p=4

Resposta: C=10!/(4!6!)=(10987)/(1234)=210

32. Quantas combinaes com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre comecem pela letra A?

Auxlio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=1, p1=1

Resposta: C=C(1,1).C(9,3)=(1987)/6=84

33. Quantas combinaes com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre estejam juntas as letras A e B?


Resposta: C=C(2,2).C(8,2)=(187)/2=28

34. Quantas combinaes com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que no contenham nem as letras A e B?


Resposta: C=C(2,0).C(8,4)=(18765)/24=70

35. Quantas combinaes com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que somente uma das letras A ou B esteja presente, mas no as duas?


Resposta: C=C(2,1).C(8,3)=(2876)/6=112

36. Quantas combinaes com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que contm 2 dentre as 3 letras A,B e C?


Resposta: C=C(3,2).C(7,2)=(376)/2=63

37. Em uma sala existem 40 pessoas, 18 mulheres e 22 homens. Quantas comisses podem ser montadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens?

38. Calcular o valor de m tal que 5 C(m+1,3)=2 C(m+2,2). 39. Quantos tringulos podem ser traados contendo

pontos de duas retas paralelas, sabendo-se que em uma reta existem 6 pontos e na outra reta existem 5 pontos?

40. Quantos quadrilteros convexos podem ser traados contendo pontos de duas retas paralelas, sabendo-se que em uma reta existem 6 pontos e na outra reta existem 5 pontos?

41. Em uma classe com 16 pessoas, h 10 homens e 6 mulheres. Consideremos H um certo homem e M uma certa mulher. Quantos grupos podemos formar:

a. com 4 homens e 2 mulheres?

b. contendo H mas no M?

c. contendo M mas no H?

d. contendo H e M?

e. contendo somente H ou somente M?

42. Quantos nmeros diferentes maiores do que 100 e menores do que 1000 podem ser construdos com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6, sendo:

a. que cada algarismo aparece somente uma vez?

b. que cada algarismo pode repetir at 3 vezes?

c. os nmeros pares sem repetio?

d. os nmeros mpares sem repetio?

e. os nmeros pares com repetio?

f. os nmeros mpares com repetio?

43. Para resolver um assunto entre 6 professores e 4 alunos, devemos formar comisses com 3 professores e 2 alunos. Quantas so as possibilidades?

Resposta: N=C(6,3)C(4,2)=306=180

44. Desejamos formar comisses de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comisses tero somente 1 professor?

45. Desejamos formar comisses de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comisses tero somente 2 professores?

46. Desejamos formar comisses de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comisses tero no mnimo 2 professores?

47. Desejamos formar comisses de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comisses tero no mnimo 3 professores?

48. Num plano existem 4 pontos, sendo que 3 deles so no colineares. Qual o nmero possvel de retas que passam por esses pontos?

Resposta: C(4,2)=6

49. Num plano colocamos n pontos, sendo que 3 deles so no colineares. Qual o nmero possvel de retas que passam por esses pontos?

Resposta: C(n,2)=n(n-1)/2

50. Quatro pontos so postos num plano, sendo que 3 deles so no colineares. Qual o nmero possvel de tringulos construdos com esses pontos?

Auxlio: C(3,2)=3 tringulos para cada ponto.

51. Qual o nmero de diagonais de um polgono regular de n lados?

Resposta: N=C(n,2)-n=n(n-1)/2-n=n(n-3)/2

52. Qual o nmero de diagonais de um cubo? 53. Qual o nmero de diagonais de um prisma regular

cuja base tem 5 lados? 54. Qual o nmero de diagonais de um prisma regular

cuja base tem 6 lados? 55. Qual o nmero de diagonais de um prisma regular

cuja base tem n lados? 56. Com as 5 vogais: A,E,I,O,U, construir o conjunto que

contm todas as combinaes tomadas 2 a 2. 57. Com as letras: A,B,C,D,E,F,G e H, determinar o

nmero das permutaes possveis que comeam por ABC.

Resposta: N=P(5)=120.

58. Quantas digonais possui um dodecgono?

Resposta: N=129/2=54

59. Quantas digonais possui o tetraedro regular?

Resposta: N=0

60. Quantas digonais possui um prisma triangular regular?

Resposta: N=0

Exerccios de combinaes com repetio

61. Determinar o nmero de combinaes com 4 elementos tomados com repetio de 7 livros.

Auxlio: Cr=Cr(m,p)=C(m+p-1,p), m=7, p=4

Resposta: Cr=Cr(7,4)=C(7+4-1,4)=C(10,4)=210

62. Determinar o nmero de combinaes com repetio de 4 objetos tomados 2 a 2.

Auxlio: Cr=Cr(m,p)=C(m+p-1,p), m=4, p=2

Resposta: Cr=Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=10

Exerccios de arranjos simples

63. Quantos nmeros diferentes com 1 algarismo, podemos formar com os algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.

Resposta: N1=A(9,1)=9

64. Quantos nmeros distintos com 2 algarismos diferentes, podemos formar com os dgitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Auxlio: Os nmeros iniciados por 0 no tero 2 dgitos e sua quantidade corresponde a A(9,1).

Resposta: N2=A(10,2)-A(9,1)=109-9=90-9=81

65. Quantos nmeros distintos com 3 algarismos diferentes, podemos formar com os dgitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.


Resposta: N3=A(10,3)-A(9,2)=720-720=648

66. Quantos nmeros distintos com 4 algarismos diferentes, podemos formar com: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.


Resposta: N4=A(10,4)-A(9,3)=5040-504=4536

67. Quantos nmeros distintos menores que 10000 podem ser formados com algarismos diferentes da coleo: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Resposta: N=N1+N2+N3+N4=9+81+648+4536=5274

68. No sistema decimal de numerao, quantos nmeros existem com 4 algarismos com 2 algarismos repetidos?

Auxlio: A quantidade de nmeros distintos com 4 algarismos 4536 e a quantidade total de nmeros (com repetio ou no) com 4 algarismos 9000.

Resposta: N=9000-4536=4464

69. Com as 5 vogais: A,E,I,O,U, obter o conjunto soluo que contm todos os arranjos tomados 2 a 2.

70. Usando-se apenas os algarismos 1,3,5,7,9 quantos nmeros com 3 algarismos podem ser montados?

Auxlio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=5, p=3

Resposta: A=5!/2!=60

71. Usando-se os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 quantos nmeros com 4 algarismos podem ser montados?


Resposta: A=10!/6!=5040

72. Usando-se as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z quantos arranjos distintos com 3 letras podem ser montados?


Resposta: A=26!/23!=26.25.24=15600

73. Com as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z e os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, quantas placas de carros podem ser escritas contendo 3 letras seguidas de 4 algarismos?

Auxlio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=26, p=3, n=10, q=4

Resposta: A=(26!/23!).(10!/6!)=78624000

74. Consideremos um baralho contendo 52 cartas distintas.

a. Quantos pares distintos podem ser formados?

b. Quantas trincas distintas podem ser formados?

c. Quantas quadras distintas podem ser formados?

d. Quantos pares distintos podem ser formados tendo pelo menos um "s"?

e. Quantos pares distintas podem ser formados tendo pelo menos um "s" e um "Rei"?

f. Quantas trincas distintas podem ser formados tendo pelo menos um "s"?

g. Quantas trincas distintas podem ser formados tendo pelo menos um "s" e um "Rei"?

Exerccios de arranjos com repetio

75. Quantos nmeros com 4 algarismos podemos formar com os algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.

Resposta: Ar(10,4)=104=10000

76. Quantas palavras com 3 letras podemos formar com as 26 letras de nosso alfabeto?

Resposta: Ar(26,3)=263=17576

77. Quantas placas so possveis em nosso sistema de trnsito, se em todas devem aparecer 3 letras seguidas por 4 nmeros?

Resposta: N=Ar(26,3).Ar(10,4)=175760000

78. No sistema decimal de numerao, quantos nmeros existem com 1 algarismo?

Resposta: N1=Ar(10,1)-Ar(10,0)=10-1=9

79. No sistema decimal de numerao, quantos nmeros existem com 2 algarismos (repetidos ou no)?

Auxlio: So 10=Ar(10,1) os nmeros com 2 dgitos iniciados por 0.

Resposta: N2=Ar(10,2)-Ar(10,1)=102-101=100-10=90


Auxlio: Existem 100=Ar(10,2) nmeros com 3 dgitos iniciados por 0.

Resposta: N3=Ar(10,3)- Ar(10,2)=103-102=900


Auxlio: So 100=Ar(10,3) os nmeros com 4 dgitos iniciados por 0.

Resposta: N4=Ar(10,4)-Ar(10,3)=104-103=9000

82. No sistema decimal de numerao, quantos nmeros existem com n algarismos (repetidos ou no)?

Auxlio: So Ar(10,n-1) os nmeros com n-1 dgitos iniciados por 0.

Resposta: N4=Ar(10,n)-Ar(10,n-1)=10n-10n-1=910n-1

83. Num sistema de numerao com a base tendo b algarismos, quantos nmeros existem com n algarismos (repetidos ou no)?

Auxlio: So Ar(b,n-1) os nmeros com n-1 dgitos iniciados por 0.

Resposta: N4=Ar(b,n)-Ar(b,n-1)=bn-bn-1=(b-1)bn-1

84. No sistema decimal de numerao, existem quantos nmeros pares com 4 algarismos (repetidos ou no)?

85. No sistema decimal de numerao, existem quantos nmeros mpares com 4 algarismos (repetidos ou no)?

86. No sistema decimal de numerao, existem quantos nmeros pares diferentes com 4 algarismos?

87. No sistema decimal de numerao, existem quantos nmeros mpares diferentes com 4 algarismos?

Resposta: N=5.A(8,3)=1.680



90. Quantos nmeros menores do que 10.000, podem ser formados com os algarismos 1,2,3 e 4?

Auxlio: N=Ar(4,1)+Ar(4,2)+Ar(4,3)+Ar(4,4)

Resposta: N= 41+42+43+44= 4+16+64+256=340

91. Quantos nmeros de 3 dgitos podem ser formados com 5 algarismos?

Auxlio:Frmula Ar(m,p)=mp, m=5, p=3

Resposta: Ar=53=125

Exerccios de arranjos condicionais

92. Quantos arranjos dos elementos A,B,C,D,E,F,G tomados 4 a 4, comeam com duas letras dentre A,B e C?

Auxlio: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)

m=7, p=4, m1=3, p1=2

Resposta: N=A(3,2).A(4,2)=3!/1! . 4!/2!=72

93. Com os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, tomados 6 a 6, quantos nmeros podem ser formados tendo nas duas posies iniciais algarismos que so nmeros mpares?

Auxlio: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1), m=10, p=6, m1=5, p1=2

Resposta: N=A(5,2).A(5,4)=5!/3! . 5!/1!=2400

94. Dentre os arranjos de 5 letras: A,B,C,D,E, tomados 3 a 3, quantos contm a letra E?

Auxlio: N=(p-p1+1).A(m1,p1).A(m-m1,p-p1), m=5, p=3, m1=1, p1=1

Resposta: N=(3-1+1).A(1,1).A(4,2)=36

95. Dentre os arranjos de 5 letras: A,B,C,D,E, tomados 3 a 3, quantos contm juntas as duas letras A e B?


Resposta: N=(4-2+1).A(2,2).A(3,1)=18

96. Dentre os arranjos de 6 letras: A,B,C,D,E,F, tomados 4 a 4, quantos contm a letra A?


Resposta: N=(4-1+1).A(1,1).A(5,3)=240

97. Dentre os arranjos de 6 letras: A,B,C,D,E,F, tomados 4 a 4, quantos contm juntas 2 das 3 letras A,B e C?


Resposta: N=(4-2+1).A(3,2).A(3,2)=108

98. Dentre os arranjos de 4 letras: A,B,C,D, tomados 3 a 3, quantos contm a letra A?


Resposta: N=(3-1+1).A(1,1).A(3,2)=18

99. Dentre os arranjos de 4 letras: A,B,C e D, tomados 3 a 3, quantos comeam pelas letras A e B?

Auxlio: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1), m=4, p=3, m1=2, p1=2

Resposta: N=A(2,2).A(2,1)=4

100. Dentre os arranjos de 4 letras: A,B,C e D, tomados 3 a 3, quantos contm juntos as letras A e B?


Resposta: N=(3-2+1).A(2,2).A(2,1)=8

Exerccios com o fatorial

101. Se C(n,2)=28, qual o valor de n?

Resposta: n=8.

102. Existe um nmero n natural tal que C(n,3)=C(n,2)? 103. Usando o desenvolvimento binomial de (1+1)n,

demonstrar que:

C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)=2n

104. Usar o PIF (Princpio de Induo Matemtica), para demonstrar que:

(p+1)C(n,p+1)=(n-p)C(n,p).

105. Usar o PIF (Princpio de Induo Matemtica), para demonstrar que:

nC(n-1,p)=(n-p)C(n,p).

106. Se A(n,2)=42, qual o valor de n?

Resposta: n=7.

107. Justificar a afirmao: "Se n um nmero primo e p

114. Demonstrar que para todo k natural

1/k! - 1/(k+1)! =k/(k+1)!, .

115. Demonstrar que

1/2!+2/3!+3/4!+...+n/(n+1)!=1/(n+1)!

Auxlio: Como esta uma srie telescpica, segue que cada termo pode ser escrito como a diferena de dois outros que se anulam em sequncia, assim basta usar o fato que para todo k

Auxlio: N=pq, p=3, q=3

Resposta: N=33=9

1. (Fuvest 2004) Trs empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condomnio. Cada trabalho ser atribudo a uma nica empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribudos os trabalhos? a) 12 b) 18 c) 36 d) 72 e) 108 2. (Ueg 2005) A UEG realiza seu Processo Seletivo em dois dias. As oito disciplinas, Lngua Portuguesa- Literatura Brasileira, Lngua Estrangeira Moderna, Biologia, Matemtica, Histria, Geografia, Qumica e Fsica, so distribudas em duas provas objetivas, com quatro disciplinas por dia. No Processo Seletivo 2005/2, a distribuio a seguinte: - primeiro dia: Lngua Portuguesa-Literatura Brasileira, Lngua Estrangeira Moderna, Biologia e Matemtica; - segundo dia: Histria, Geografia, Qumica e Fsica. A UEG poderia distribuir as disciplinas para as duas provas objetivas, com quatro por dia, de a) 1.680 modos diferentes. b) 256 modos diferentes. c) 140 modos diferentes. d) 128 modos diferentes. e) 70 modos diferentes. 3. (Uel 2006) Na formao de uma Comisso Parlamentar de Inqurito (CPI), cada partido indica um certo nmero de membros, de acordo com o tamanho de sua representao no Congresso Nacional. Faltam apenas dois partidos para indicar seus membros. O partido A tem 40 deputados e deve indicar 3 membros, enquanto o partido B tem 15 deputados e deve indicar 1 membro. Assinale a alternativa que apresenta o nmero de possibilidades diferentes para a composio dos membros desses dois partidos nessa CPI. a) 55 b) (40 - 3) . (15-1) c) [40!/(37! . 3!)]. 15 d) 40 . 39 . 38 . 15 e) 40! . 37! . 15!

4. (Ufmg 2006) A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comisso constituda de quatro integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se, no se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, no deveriam participar da comisso a ser formada. Nessas condies, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comisso? a) 70 b) 35 c) 45 d) 55 5. (Ufv 2004) Um farmacutico dispe de 4 tipos de vitaminas e 3 tipos de sais minerais e deseja combinar 3 desses nutrientes para obter um composto qumico. O nmero de compostos que podero ser preparados usando-se, no mximo, 2 tipos de sais minerais : a) 32 b) 28 c) 34 d) 26 e) 30 6. (Cesgranrio 2002) Um brinquedo comum em parques de diverses o "bicho-da-seda", que consiste em um carro com cinco bancos para duas pessoas cada e que descreve sobre trilhos, em alta velocidade, uma trajetria circular. Suponha que haja cinco adultos, cada um deles acompanhado de uma criana, e que, em cada banco do carro, devam acomodar-se uma criana e o seu responsvel. De quantos modos podem as dez pessoas ocupar os cinco bancos? a) 14 400 b) 3 840 c) 1 680 d) 240 e) 120 7. (Pucmg 2003) Um buf produz 6 tipos de salgadinhos e 3 tipos de doces para oferecer em festas de aniversrio. Se em certa festa devem ser servidos 3 tipos desses salgados e 2 tipos desses doces, o buf tem x maneiras diferentes de organizar esse servio. O valor de x : a) 180

b) 360

c) 440

d) 720

8. (Uel 2003) Sejam os conjuntos A = {1,2,3} e B = {0,1,2,3,4}. O total de funes

injetoras de A para B :

a) 10

b) 15

c) 60

d) 120

e) 125

9. (Unesp 2003) O conselho administrativo de um sindicato constitudo por doze

pessoas, das quais uma o presidente deste conselho. A diretoria do sindicato tem

quatro cargos a serem preenchidos por membros do conselho, sendo que o presidente

da diretoria e do conselho no devem ser a mesma pessoa. De quantas maneiras

diferentes esta diretoria poder ser formada?

a) 40.

b) 7920.

c) 10890.

d) 11!.

e) 12!.

10. (Fgv 2005) Um fundo de investimento disponibiliza nmeros inteiros de cotas aos

interessados nessa aplicao financeira. No primeiro dia de negociao desse fundo,

verifica-se que 5 investidores compraram cotas, e que foi vendido um total de 9 cotas.

Em tais condies, o nmero de maneiras diferentes de alocao das 9 cotas entre os

5 investidores igual a

a) 56.

b) 70.

c) 86.

d) 120.

e) 126.

Gabarito

1. C

2. E

3. C

4. D

5. C

6. B

7. D

8. C

9. C

10. B

111057640 Exercicios de Analize Comb

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