Dizemos que uma sequência de números reais não nulos   𝑎!,  𝑎!,  𝑎!, 𝑎!,… é uma progressão harmônica se a sequência dos inversos 1 𝑎!,  

1 𝑎!,1  𝑎! ,

1 𝑎!,… é uma progressão aritmética (PA).

a) Dada a progressão harmônica (2 5 ,49   ,

12 ,… ) encontre o seu sexto termo.

b) Sejam 𝑎, 𝑏 e 𝑐 termos consecutivos de uma progressão harmônica. Verifique que 𝑏 = 2𝑎𝑐 (𝑎 + 𝑐)

a)

Pela a definição, a sequência !!; !!; 2; 𝑎!; 𝑎!; 𝑎!;… é uma P.A. cuja razão

vale:

𝑟 = !!− !

!→ 𝑟 = !!

!.

𝑎! =!!+ 6 −1 !!

!, portanto, 𝑎! =

!!.

O sexto termo da progressão harmônica é 𝐻! = 4

5.

b)

Pela definição, se 𝑎; 𝑐; 𝑏 é uma progressão aritimética, 1/𝑎; 1/𝑐; 1/𝑑 é uma progressão aritimética. Assim,

1𝑏−1𝑎=1𝑐−1𝑏

𝑎 − 𝑏𝑎𝑏

=𝑏 − 𝑐𝑏𝑐

𝑎𝑏𝑐 − 𝑏!𝑐 = 𝑎𝑏! − 𝑎𝑏𝑐

2𝑎𝑏𝑐 = 𝑏²(𝑎 + 𝑐)

Com b≠0,

2𝑎𝑐 = 𝑏(𝑎 + 𝑐)

𝒃 =𝟐𝒂𝒄𝒂 + 𝒄

Questão 19 CURSO E COLÉGIO

Resposta CURSO E COLÉGIO