RODRIGO ALVES DIAS - Departamento de Física...

Capıtulo 23 - Potencial Eletrico

RODRIGO ALVES DIAS

Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJFLivro texto: Fısica 3 - Eletromagnetismo

Autores: Sears e ZemanskyEdicao: 12a

Editora: Pearson - Addisson and Wesley

6 de abril de 2011

Objetivos de Aprendizagem

Ao estudar este capıtulo voce aprendera:

I Como calcular a energia potencial de um conjunto de cargas.

I O significa e a importancia do potencial eletrico.

I Como calcular o potencial eletrico que um conjunto de cargasproduz em um ponto do espaco.

I Como usar superfıcies equipotenciais para visualizar como opotencial eletrico varia no espaco.

I Como usar o potencial eletrico para calcular o campo eletrico.

Introducao

Quando uma partıcula carregada se desloca em um campo eletrico, o campo exerceuma forca que realiza trabalho sobre a partıcula.

Wa→b =

~F · d~l =

aF cosφdl

onde, d~l e um deslocamento infinitesimal ao longo da trajetoria da partıcula e φ eo angulo entre ~F e d~l em cada ponto da trajetoria.

Introducao

Wa→b =

~F · d~l =

aF cosφdl

Esse trabalho realizado pode ser expresso em termos da energia potencial eletrica.

A energia potencial eletrica depende da posicao da partıcula carregada no campoeletrico.

Introducao

Wa→b =

~F · d~l =

aF cosφdl

Esse trabalho realizado pode ser expresso em termos da energia potencial eletrica.

A energia potencial eletrica depende da posicao da partıcula carregada no campoeletrico.

A energia potencial eletrica sera descrita pelo conceito de potencial eletrico ousimplesmente potencial.

A diferenca de potencial entre dois pontos e, geralmente, chamada de voltagem.

Energia potencial eletrica

Energia potencial eletrica de duas cargas puntiformes

4πε0

Wa→b =

~F · d~l =

∫ rb

4πε0

r2r · d~l

4πε0

Wa→b =

~F · d~l =

∫ rb

4πε0

r2r · d~l

∫ rb

4πε0

r2cosφdl

4πε0

Wa→b =

~F · d~l =

∫ rb

4πε0

r2r · d~l

∫ rb

4πε0

r2cosφdl

4πε0

∫ rb

r−2dr = −q0q

4πε0

∣∣∣rbra

Wa→b =1

4πε0

Wa→b =

~F · d~l =

∫ rb

4πε0

r2r · d~l

∫ rb

4πε0

r2cosφdl

4πε0

∫ rb

r−2dr = −q0q

4πε0

∣∣∣rbra

Wa→b =1

4πε0

rbWa→b = Ua − Ub = −(Ub − Ua)

4πε0

Wa→b =

~F · d~l =

∫ rb

4πε0

r2r · d~l

∫ rb

4πε0

r2cosφdl

4πε0

∫ rb

r−2dr = −q0q

4πε0

∣∣∣rbra

Wa→b =1

4πε0

Wa→b = −∆U

4πε0

Wa→b =

~F · d~l =

∫ rb

4πε0

r2r · d~l

∫ rb

4πε0

r2cosφdl

4πε0

∫ rb

r−2dr = −q0q

4πε0

∣∣∣rbra

Wa→b =1

4πε0

Wa→b = −∆U

4πε0

Teorema trabalho energia

~FR = m~a = md~v

dte ~v =

~FR = m~a = md~v

dte ~v =

Wa→b =

~F · d~l =

dt· d~l

~FR = m~a = md~v

dte ~v =

Wa→b =

~F · d~l =

dt· d~l

Wa→b =

dt· ~vdt =

amv dv

~FR = m~a = md~v

dte ~v =

Wa→b =

~F · d~l =

dt· d~l

Wa→b =

dt· ~vdt =

amv dv

Wa→b =mv2

∣∣∣vbva

= Kb − Ka

Wa→b = ∆K

K =mv2

Conservacao da energia

Wa→b = −∆U

Wa→b = ∆K

∆K = −∆U

Kb − Ka = −(Ub − Ua)

Ka + Ua = Kb + Ub

Emeca = Emec

Emec = K + U = Cont.

Energia potencial eletrica de um campo uniforme

~F = q0~E = −q0E j

Wa→b =

~F · d~l = −q0E

aj · d~l

~F = q0~E = −q0E j

Wa→b =

~F · d~l = −q0E

aj · d~l

= −q0E

∫ yb

~F = q0~E = −q0E j

Wa→b =

~F · d~l = −q0E

aj · d~l

= −q0E

∫ yb

Wa→b = q0E(ya − yb)

Wa→b = Ua − Ub = −(Ub − Ua)

~F = q0~E = −q0E j

Wa→b =

~F · d~l = −q0E

aj · d~l

= −q0E

∫ yb

Wa→b = −∆U

U = q0Ey

~F = q0~E = −q0E j

Wa→b =

~F · d~l = −q0E

aj · d~l

= −q0E

∫ yb

Wa→b = −∆U

U = q0Ey

~F = q0~E = −q0E j

Wa→b =

~F · d~l = −q0E

aj · d~l

= −q0E

∫ yb

Wa→b = −∆U

U = q0Ey

~F = q0~E = −q0E j

Wa→b =

~F · d~l = −q0E

aj · d~l

= −q0E

∫ yb

Wa→b = −∆U

U = q0Ey

Energia potencial eletrica com diversas cargas puntiformes

4πε0

∑i<j

Interpretacao da energia potencial eletrica

Quando uma partıcula se desloca de um ponto a ate um ponto b, o trabalhorealizado pelo campo eletrico e Wa→b = Ua − Ub.

Portanto, a diferenca de energia potencial Ua − Ub e igual ao trabalho realizadopela forca eletrica quando a partıcula de move de a ate b.

Interpretacao da energia potencial eletrica

Quando uma partıcula se desloca de um ponto a ate um ponto b, o trabalhorealizado pelo campo eletrico e Wa→b = Ua − Ub.

Portanto, a diferenca de energia potencial Ua − Ub e igual ao trabalho realizadopela forca eletrica quando a partıcula de move de a ate b.

Potencial eletrico

Denomina-se potencial eletrico a energia potencial por unidade de carga.

q0ou U = q0V

No S.I. [v]=1J/C=1volt.

Potencial eletrico

Denomina-se potencial eletrico a energia potencial por unidade de carga.

q0ou U = q0V

No S.I. [v]=1J/C=1volt. A diferenca de potencial eletrico sera dada por:

Wa→b

q0= −

)= −(Vb − Va)

Wa→b

q0= Va − Vb = Vab

Potencial eletrico

Potencial eletricoDenomina-se potencial eletrico a energia potencial por unidade de carga.

q0ou U = q0V

Wa→b

q0= −

)= −(Vb − Va)

Wa→b

q0= Va − Vb = Vab

Vab e o potencial de a em relacao a b, que e igual ao trabalhorealizado pela forca eletrica quando uma carga UNITARIA sedesloca de a ate b.

Potencial eletrico

Potencial eletricoDenomina-se potencial eletrico a energia potencial por unidade de carga.

q0ou U = q0V

Wa→b

q0= −

)= −(Vb − Va)

Wa→b

q0= Va − Vb = Vab

Vab e o potencial de a em relacao a b, que e igual ao trabalhorealizado pela forca eletrica quando uma carga UNITARIA sedesloca de a ate b.

Vab, o potencial de a em relacao a b, e igual ao trabalho realizadocontra a forca eletrica para deslocar lentamente uma cargaUNITARIA de b ate a.

Potencial eletrico

Calculo do potencial eletrico

A energia potencial entre duas cargaspuntiformes, q e q0 e dada por:

4πε0

I r e a distancia entre q e o pontoonde o potencial esta sendocalculado.

I q > 0 → V > 0.

I q < 0 → V < 0.

I r =∞ → V = 0.

I V e independente da carga q0.

Potencial eletrico

4πε0

O potencial V para uma unica carga qsera:

4πε0

I q > 0 → V > 0.

I q < 0 → V < 0.

I r =∞ → V = 0.

Potencial eletrico

4πε0

O potencial V para uma unica carga qsera:

4πε0

I q > 0 → V > 0.

I q < 0 → V < 0.

I r =∞ → V = 0.

Potencial eletrico

A energia potencial entre um conjunto de cargaspuntiformes, e dada por:

4πε0

Potencial eletrico

4πε0

O potencial V para um conjunto de carga sera:

4πε0

ri e a distancia entre qi e o ponto onde opotencial esta sendo calculado.

Potencial eletrico

4πε0

O potencial V para um conjunto de carga sera:

4πε0

ri e a distancia entre qi e o ponto onde opotencial esta sendo calculado.

Para um distribuicao continua de cargas osomatorio se torna uma integral,

4πε0

Potencial eletrico

Como determinar o potencial eletrico a partir do campo eletrico

Quando conhecemos ~E e nao a distribuicao de cargas podemos calcular o potencialeletrico a partir do campo eletrico. Como ~F = q0

~E , entao:

Wa→b =

~F · d~l =

aq0~E · d~l

I Ao se mover no sentido de ~E , voce se deslocapara valores decrescentes de V .

I Ao se mover no sentido oposto de ~E , voce sedesloca para valores crescentes de V .

Potencial eletrico

~E , entao:

Wa→b =

~F · d~l =

aq0~E · d~l

Wa→b

∫ ba q0

~E · d~lq0

= Va − Vb

Va − Vb =

~E · d~l =

aE cosφdl

Potencial eletrico

~E , entao:

Wa→b =

~F · d~l =

aq0~E · d~l

Wa→b

∫ ba q0

~E · d~lq0

= Va − Vb

Va − Vb =

~E · d~l =

aE cosφdl

No S.I. a unidade de campo eletrico pode ser:1N/C = 1V/m.

Potencial eletrico

Eletron-volt

Eletron-volt e uma unidade de energia.

Ua − Ub = q(Va − Vb) = qVab

Quando q possui modulo igual a e = 1, 602× 10−19C a carga do eletron eVab = 1Volt, entao:

1eV = (1, 602× 10−19C)(1Volt) = 1, 602× 10−19J

Gradiente de potencial

Conhecendo ~E(x , y , z) obtemos o potencial eletrico, V (x , y , z). Va − Vb =∫ ba~E · d~l

Como obter ~E a partir de V ?

Va − Vb =

bdV = −

−∫ b

~E · d~l → dV = −~E · d~l

Va − Vb =

bdV = −

−∫ b

~E · d~l → dV = −~E · d~l

Dado que, ~E = Ex i + Ey j + Ez k, d~l = dxi + dy j + dzk e V = V (x , y , z) entao,

Va − Vb =

bdV = −

−∫ b

~E · d~l → dV = −~E · d~l

dV = −~E · d~l = −Exdx − Eydy − Ezdz

dV =∂V

∂xdx +

∂ydy +

∂zdz

Ex = −∂V

∂x; Ey = −

∂y; Ez = −

Va − Vb =

bdV = −

−∫ b

~E · d~l → dV = −~E · d~l

dV = −~E · d~l = −Exdx − Eydy − Ezdz

dV =∂V

∂xdx +

∂ydy +

∂zdz

Ex = −∂V

∂x; Ey = −

∂y; Ez = −

~E(x , y , z) = −(∂V

∂xi +

∂yj +

)= −~∇V (x , y , z)

Superfıcies Equipotenciais

Uma superfıcie equipotencial e uma superfıcie em tres dimensoes, sobre a qual opotencial eletrico V permanece constantes em todos os pontos.

Se uma carga de teste q0 se desloca de um pontoa outro sobre essa superfıcie, a energia potencialq0V permanece constante, assim, o campoeletrico ~E nao realiza trabalho.

Portanto, ~E deve ser perpendicular a superfıcieem todos os pontos, de modo que a forca ~F sejaperpendicular ao deslocamento de uma carga quese mova sobre essa superfıcie.

As linhas de campo eletrico e as superfıciesequipotenciais sao sempre mutuamenteperpendiculares.

Em regioes onde o modulo de ~E e grande, assuperfıcies equipotenciais ficam agrupadas maiscompactamente.Em regioes onde o modulo de ~E e fraco, assuperfıcies equipotenciais ficam agrupadas maisespacadamente.

Figura: Esfera proxima a uma superfıcie.

Condutores e Equipotenciais

Quando todas as cargas estao em repouso, asuperfıcie de um condutor e sempre umasuperfıcie equipotencial.

Quando todas as cargas estao em repouso, ocampo eletrico nos pontos proximos da superfıcieexterna de um condutor deve ser sempreperpendicular em todos os pontos da superfıcie.

Condutores e Equipotenciais

Quando todas as cargas estao em repouso, asuperfıcie de um condutor e sempre umasuperfıcie equipotencial.

Quando todas as cargas estao em repouso, ocampo eletrico nos pontos proximos da superfıcieexterna de um condutor deve ser sempreperpendicular em todos os pontos da superfıcie.

Todos os pontos no interior de uma cavidadepossuem o mesmo potencial.

Em equilıbrio eletrostatico, se um condutor possuiuma cavidade, e se nao existe nenhuma carga nointerior da cavidade, entao nao pode existir cargasobre qualquer ponto da superfıcie da cavidade.

Determinacao do potencial eletrico

Esfera condutora carregada

Para r ≤ R o campo eletrico e dado por,

~E = 0

dV = −~E · d~l = 0

~E = 0

dV = −~E · d~l = 0∫ a

bdV = Va − Vb = 0

~E = 0

dV = −~E · d~l = 0∫ a

bdV = Va − Vb = 0

Logo o potencial para r ≤ R e constante pois,Va − Vb = 0 e igual ao da superfıcie.

~E = 0

dV = −~E · d~l = 0∫ a

bdV = Va − Vb = 0

Logo o potencial para r ≤ R e constante pois,Va − Vb = 0 e igual ao da superfıcie.Para r > R o campo eletrico e dado por,

4πε0

~E = 0

dV = −~E · d~l = 0∫ a

bdV = Va − Vb = 0

4πε0

dV = −~E · d~l = −q

4πε0

r · d~lr2

4πε0

dV = −~E · d~l = −q

4πε0

r · d~lr2

dV = −q

4πε0

dV = −~E · d~l = −q

4πε0

r · d~lr2

dV = −q

4πε0

r2=∫ a

bdV = −

4πε0

br−2dr

4πε0

dV = −~E · d~l = −q

4πε0

r · d~lr2

dV = −q

4πε0

r2=∫ a

bdV = −

4πε0

br−2dr

Va − Vb = Vab =q

4πε0(r−1

a − r−1b )

4πε0

dV = −~E · d~l = −q

4πε0

r · d~lr2

dV = −q

4πε0

r2=∫ a

bdV = −

4πε0

br−2dr

Va − Vb = Vab =q

4πε0(r−1

a − r−1b )

Para r > R o potencial eletrico e dado porV = 1

4πε0

e na superfıcie e igual a V = 14πε0

Placas paralelas carregadas com cargas opostas

Como o campo eletrico e dado por,

~E = −E j = −σ

dV = −~E · d~l

~E = −E j = −σ

dV = −~E · d~l

dV =σ

~E = −E j = −σ

dV = −~E · d~l

dV =σ

ε0dy∫ a

Va − Vb = Vab =σ

ε0(ya − yb)

~E = −E j = −σ

dV = −~E · d~l

dV =σ

ε0dy∫ a

Va − Vb = Vab =σ

ε0(ya − yb)

Como ya = d e yb = 0 ⇒ Vab = σε0d = Ed

~E = −E j = −σ

dV = −~E · d~l

dV =σ

ε0dy∫ a

Va − Vb = Vab =σ

ε0(ya − yb)

Como ya = d e yb = 0 ⇒ Vab = σε0d = Ed

Segue deste resultado que o modulo do campoeletrico no interior de duas placas planas e

paralelas (capacitor) e dado por E = Vabd

Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado

~E = 0

dV = −~E · d~l = 0

~E = 0

dV = −~E · d~l = 0∫ a

bdV = Va − Vb = 0

~E = 0

dV = −~E · d~l = 0∫ a

bdV = Va − Vb = 0

Logo o potencial para r ≤ R e constante pois,Va − Vb = 0 e igual ao da superfıcie.

~E = 0

dV = −~E · d~l = 0∫ a

bdV = Va − Vb = 0

~E =λ

2πε0

~E = 0

dV = −~E · d~l = 0∫ a

bdV = Va − Vb = 0

~E =λ

2πε0

dV = −~E · d~l = −λ

2πε0

r · d~lr

~E =λ

2πε0

dV = −~E · d~l = −λ

2πε0

r · d~lr

dV = −λ

2πε0

~E =λ

2πε0

dV = −~E · d~l = −λ

2πε0

r · d~lr

dV = −λ

2πε0

r∫ a

bdV = −

2πε0

~E =λ

2πε0

dV = −~E · d~l = −λ

2πε0

r · d~lr

dV = −λ

2πε0

r∫ a

bdV = −

2πε0

Va − Vb = Vab = −λ

2πε0ln

~E =λ

2πε0

dV = −~E · d~l = −λ

2πε0

r · d~lr

dV = −λ

2πε0

r∫ a

bdV = −

2πε0

Va − Vb = Vab = −λ

2πε0ln

)Para r > R o potencial eletrico e dado porV = λ

2πε0ln(rR

)e na superfıcie definimos que

V = λ2πε0

)= 0 pois o ln(x)→∞ para

x → 0,∞ .

Um anel carregado

Um fio carregado

RODRIGO ALVES DIAS - Departamento de Física...

Documents

Transcript of RODRIGO ALVES DIAS - Departamento de Física...

Rodrigo Gabriela

AG Rodrigo

TCC Rodrigo

DigiTimes 24 - Neuromarketing - Rodrigo Schvabe e Rodrigo Bueno

Rodrigo Cantarelli

RODRIGO CONSONI

Projeto rodrigo

1 Engenharia de Requisitos Prof. Rodrigo Nin rodrigo@azimuteZero.com.br.

Ergonomia Cognitiva Rodrigo Castro Gil Rodrigo Comassetto da Silva.

Um Rodrigo

Rodrigo Godá

Rodrigo Ac

Rodrigo Oliveira

Carlos R. A. Lima - Departamento de Física UFJFfisica.ufjf.br/~cralima/index_arquivos/LabFisIV/LabfisIV.pdf · Experiência 02- Carga e descarga de capacitores e indutores ... que

MOTORES HIDRÁULICOS DE PISTÕES RADIAS SÉRIE III …exactpower.com.br/wp-content/uploads/2018/09/manual.pdf · Este manual possui as informações básicas para instalação e manutenção

Portfólio Rodrigo

RODRIGO ALVES DIAS - fisica.ufjf.brfisica.ufjf.br/~radias/Fisica3/Cap30-Indutancia.pdf · I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor. I Por que ocorrem

Atrito em escala nanom¶etrica Um estudo por simula»c~ao ...radias/doutorado/tese.pdf · liotec¶arias, em especial Marluce, Edina e Perp¶etua. ... Alex, Alexandre, Miquita e outros

Rodrigo Lopes

RODRIGO ALVES DIAS - fisica.ufjf.brfisica.ufjf.br/~radias/Fisica3/Cap21-CargaEletricaCampoeletrico.pdf · Cap tulo 21 - Carga el etrica e campo el etrica RODRIGO ALVES DIAS Universidade