RODRIGO ALVES DIAS - Departamento de Física...

Capıtulo 23 - Potencial Eletrico

RODRIGO ALVES DIAS

Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJFLivro texto: Fısica 3 - Eletromagnetismo

Autores: Sears e ZemanskyEdicao: 12a

Editora: Pearson - Addisson and Wesley

6 de abril de 2011


Objetivos de Aprendizagem

Ao estudar este capıtulo voce aprendera:

I Como calcular a energia potencial de um conjunto de cargas.

I O significa e a importancia do potencial eletrico.

I Como calcular o potencial eletrico que um conjunto de cargasproduz em um ponto do espaco.

I Como usar superfıcies equipotenciais para visualizar como opotencial eletrico varia no espaco.

I Como usar o potencial eletrico para calcular o campo eletrico.


Introducao

Quando uma partıcula carregada se desloca em um campo eletrico, o campo exerceuma forca que realiza trabalho sobre a partıcula.

Wa→b =

∫ b

a

~F · d~l =

∫ b

aF cosφdl

onde, d~l e um deslocamento infinitesimal ao longo da trajetoria da partıcula e φ eo angulo entre ~F e d~l em cada ponto da trajetoria.


Introducao


Wa→b =

∫ b

a

~F · d~l =

∫ b

aF cosφdl


Esse trabalho realizado pode ser expresso em termos da energia potencial eletrica.

A energia potencial eletrica depende da posicao da partıcula carregada no campoeletrico.


Introducao


Wa→b =

∫ b

a

~F · d~l =

∫ b

aF cosφdl


Esse trabalho realizado pode ser expresso em termos da energia potencial eletrica.

A energia potencial eletrica depende da posicao da partıcula carregada no campoeletrico.

A energia potencial eletrica sera descrita pelo conceito de potencial eletrico ousimplesmente potencial.

A diferenca de potencial entre dois pontos e, geralmente, chamada de voltagem.


Energia potencial eletrica

Energia potencial eletrica de duas cargas puntiformes

~F =1

4πε0

q0q

r2r




~F =1

4πε0

q0q

r2r

Wa→b =

∫ b

a

~F · d~l =

∫ rb

ra

1

4πε0

q0q

r2r · d~l




~F =1

4πε0

q0q

r2r

Wa→b =

∫ b

a

~F · d~l =

∫ rb

ra

1

4πε0

q0q

r2r · d~l

=

∫ rb

ra

1

4πε0

q0q

r2cosφdl




~F =1

4πε0

q0q

r2r

Wa→b =

∫ b

a

~F · d~l =

∫ rb

ra

1

4πε0

q0q

r2r · d~l

=

∫ rb

ra

1

4πε0

q0q

r2cosφdl

=q0q

4πε0

∫ rb

ra

r−2dr = −q0q

4πε0

1

r

∣∣∣rbra

Wa→b =1

4πε0

q0q

ra−

1

4πε0

q0q

rb




~F =1

4πε0

q0q

r2r

Wa→b =

∫ b

a

~F · d~l =

∫ rb

ra

1

4πε0

q0q

r2r · d~l

=

∫ rb

ra

1

4πε0

q0q

r2cosφdl

=q0q

4πε0

∫ rb

ra

r−2dr = −q0q

4πε0

1

r

∣∣∣rbra

Wa→b =1

4πε0

q0q

ra−

1

4πε0

q0q

rbWa→b = Ua − Ub = −(Ub − Ua)




~F =1

4πε0

q0q

r2r

Wa→b =

∫ b

a

~F · d~l =

∫ rb

ra

1

4πε0

q0q

r2r · d~l

=

∫ rb

ra

1

4πε0

q0q

r2cosφdl

=q0q

4πε0

∫ rb

ra

r−2dr = −q0q

4πε0

1

r

∣∣∣rbra

Wa→b =1

4πε0

q0q

ra−

1

4πε0

q0q

rbWa→b = Ua − Ub = −(Ub − Ua)

Wa→b = −∆U

U =1

4πε0

q0q

r



Teorema trabalho energia

~FR = m~a = md~v

dte ~v =

d~l

dt




~FR = m~a = md~v

dte ~v =

d~l

dt

Wa→b =

∫ b

a

~F · d~l =

∫ b

am

d~v

dt· d~l




~FR = m~a = md~v

dte ~v =

d~l

dt

Wa→b =

∫ b

a

~F · d~l =

∫ b

am

d~v

dt· d~l

Wa→b =

∫ b

am

d~v

dt· ~vdt =

∫ b

amv dv




~FR = m~a = md~v

dte ~v =

d~l

dt

Wa→b =

∫ b

a

~F · d~l =

∫ b

am

d~v

dt· d~l

Wa→b =

∫ b

am

d~v

dt· ~vdt =

∫ b

amv dv

Wa→b =mv2

2

∣∣∣vbva

= Kb − Ka

Wa→b = ∆K

K =mv2

2



Conservacao da energia

Wa→b = −∆U

Wa→b = ∆K

∆K = −∆U

Kb − Ka = −(Ub − Ua)

Ka + Ua = Kb + Ub

Emeca = Emec

b

Emec = K + U = Cont.



Energia potencial eletrica de um campo uniforme

~F = q0~E = −q0E j




~F = q0~E = −q0E j

Wa→b =

∫ b

a

~F · d~l = −q0E

∫ b

aj · d~l




~F = q0~E = −q0E j

Wa→b =

∫ b

a

~F · d~l = −q0E

∫ b

aj · d~l

= −q0E

∫ yb

ya

dy




~F = q0~E = −q0E j

Wa→b =

∫ b

a

~F · d~l = −q0E

∫ b

aj · d~l

= −q0E

∫ yb

ya

dy

Wa→b = q0E(ya − yb)

Wa→b = Ua − Ub = −(Ub − Ua)




~F = q0~E = −q0E j

Wa→b =

∫ b

a

~F · d~l = −q0E

∫ b

aj · d~l

= −q0E

∫ yb

ya

dy

Wa→b = q0E(ya − yb)

Wa→b = Ua − Ub = −(Ub − Ua)

Wa→b = −∆U

U = q0Ey



Energia potencial eletrica com diversas cargas puntiformes

U =q0

4πε0

(q1

r1+

q2

r2+

q3

r3...

)(1)

(2)




U =q0

4πε0

(q1

r1+

q2

r2+

q3

r3...

)U =

q0

4πε0

∑i

qi

ri

(1)

(2)




U =q0

4πε0

(q1

r1+

q2

r2+

q3

r3...

)U =

q0

4πε0

∑i

qi

ri

(1)

U =1

4πε0

∑i<j

qiqj

rij

(2)



Interpretacao da energia potencial eletrica

Quando uma partıcula se desloca de um ponto a ate um ponto b, o trabalhorealizado pelo campo eletrico e Wa→b = Ua − Ub.

Portanto, a diferenca de energia potencial Ua − Ub e igual ao trabalho realizadopela forca eletrica quando a partıcula de move de a ate b.


Potencial eletrico

Potencial eletrico

Denomina-se potencial eletrico a energia potencial por unidade de carga.

V =U

q0ou U = q0V

No S.I. [v]=1J/C=1volt.


Potencial eletrico

Potencial eletrico

Denomina-se potencial eletrico a energia potencial por unidade de carga.

V =U

q0ou U = q0V

No S.I. [v]=1J/C=1volt. A diferenca de potencial eletrico sera dada por:

Wa→b

q0= −

∆U

q0= −

(Ub

q0−

Ua

q0

)= −(Vb − Va)

Wa→b

q0= Va − Vb = Vab


Potencial eletrico

Potencial eletricoDenomina-se potencial eletrico a energia potencial por unidade de carga.

V =U

q0ou U = q0V


Wa→b

q0= −

∆U

q0= −

(Ub

q0−

Ua

q0

)= −(Vb − Va)

Wa→b

q0= Va − Vb = Vab

Vab e o potencial de a em relacao a b, que e igual ao trabalhorealizado pela forca eletrica quando uma carga UNITARIA sedesloca de a ate b.


Potencial eletrico

Potencial eletricoDenomina-se potencial eletrico a energia potencial por unidade de carga.

V =U

q0ou U = q0V


Wa→b

q0= −

∆U

q0= −

(Ub

q0−

Ua

q0

)= −(Vb − Va)

Wa→b

q0= Va − Vb = Vab

Vab e o potencial de a em relacao a b, que e igual ao trabalhorealizado pela forca eletrica quando uma carga UNITARIA sedesloca de a ate b.

Vab, o potencial de a em relacao a b, e igual ao trabalho realizadocontra a forca eletrica para deslocar lentamente uma cargaUNITARIA de b ate a.


Potencial eletrico

Calculo do potencial eletrico

A energia potencial entre duas cargaspuntiformes, q e q0 e dada por:

U =1

4πε0

q0q

r

I r e a distancia entre q e o pontoonde o potencial esta sendocalculado.

I q > 0 → V > 0.

I q < 0 → V < 0.

I r =∞ → V = 0.

I V e independente da carga q0.


Potencial eletrico


A energia potencial entre duas cargaspuntiformes, q e q0 e dada por:

U =1

4πε0

q0q

r

O potencial V para uma unica carga qsera:

V =U

q0=

1

4πε0

q

r

I r e a distancia entre q e o pontoonde o potencial esta sendocalculado.

I q > 0 → V > 0.

I q < 0 → V < 0.

I r =∞ → V = 0.

I V e independente da carga q0.


Potencial eletrico


A energia potencial entre um conjunto de cargaspuntiformes, e dada por:

U =q0

4πε0

∑i

qi

ri


Potencial eletrico



U =q0

4πε0

∑i

qi

ri

O potencial V para um conjunto de carga sera:

V =U

q0=

1

4πε0

∑i

qi

ri

ri e a distancia entre qi e o ponto onde opotencial esta sendo calculado.


Potencial eletrico



U =q0

4πε0

∑i

qi

ri

O potencial V para um conjunto de carga sera:

V =U

q0=

1

4πε0

∑i

qi

ri

ri e a distancia entre qi e o ponto onde opotencial esta sendo calculado.

Para um distribuicao continua de cargas osomatorio se torna uma integral,

V =1

4πε0

∫dq

r


Potencial eletrico

Como determinar o potencial eletrico a partir do campo eletrico

Quando conhecemos ~E e nao a distribuicao de cargas podemos calcular o potencialeletrico a partir do campo eletrico. Como ~F = q0

~E , entao:

Wa→b =

∫ b

a

~F · d~l =

∫ b

aq0~E · d~l

I Ao se mover no sentido de ~E , voce se deslocapara valores decrescentes de V .

I Ao se mover no sentido oposto de ~E , voce sedesloca para valores crescentes de V .


Potencial eletrico



~E , entao:

Wa→b =

∫ b

a

~F · d~l =

∫ b

aq0~E · d~l

Wa→b

q0=

∫ ba q0

~E · d~lq0

= Va − Vb

Va − Vb =

∫ b

a

~E · d~l =

∫ b

aE cosφdl




Potencial eletrico



~E , entao:

Wa→b =

∫ b

a

~F · d~l =

∫ b

aq0~E · d~l

Wa→b

q0=

∫ ba q0

~E · d~lq0

= Va − Vb

Va − Vb =

∫ b

a

~E · d~l =

∫ b

aE cosφdl



No S.I. a unidade de campo eletrico pode ser:1N/C = 1V/m.


Potencial eletrico

Eletron-volt

Eletron-volt e uma unidade de energia.

Ua − Ub = q(Va − Vb) = qVab

Quando q possui modulo igual a e = 1, 602× 10−19C a carga do eletron eVab = 1Volt, entao:

1eV = (1, 602× 10−19C)(1Volt) = 1, 602× 10−19J


Gradiente de potencial


Conhecendo ~E(x , y , z) obtemos o potencial eletrico, V (x , y , z). Va − Vb =∫ ba~E · d~l

Como obter ~E a partir de V ?






Va − Vb =

∫ a

bdV = −

∫ b

adV

−∫ b

adV =

∫ b

a

~E · d~l → dV = −~E · d~l






Va − Vb =

∫ a

bdV = −

∫ b

adV

−∫ b

adV =

∫ b

a

~E · d~l → dV = −~E · d~l

Dado que, ~E = Ex i + Ey j + Ez k, d~l = dxi + dy j + dzk e V = V (x , y , z) entao,






Va − Vb =

∫ a

bdV = −

∫ b

adV

−∫ b

adV =

∫ b

a

~E · d~l → dV = −~E · d~l


dV = −~E · d~l = −Exdx − Eydy − Ezdz

dV =∂V

∂xdx +

∂V

∂ydy +

∂V

∂zdz

Ex = −∂V

∂x; Ey = −

∂V

∂y; Ez = −

∂V

∂z






Va − Vb =

∫ a

bdV = −

∫ b

adV

−∫ b

adV =

∫ b

a

~E · d~l → dV = −~E · d~l


dV = −~E · d~l = −Exdx − Eydy − Ezdz

dV =∂V

∂xdx +

∂V

∂ydy +

∂V

∂zdz

Ex = −∂V

∂x; Ey = −

∂V

∂y; Ez = −

∂V

∂z

~E(x , y , z) = −(∂V

∂xi +

∂V

∂yj +

∂V

∂zk

)= −~∇V (x , y , z)


Superfıcies Equipotenciais


Uma superfıcie equipotencial e uma superfıcie em tres dimensoes, sobre a qual opotencial eletrico V permanece constantes em todos os pontos.





Se uma carga de teste q0 se desloca de um pontoa outro sobre essa superfıcie, a energia potencialq0V permanece constante, assim, o campoeletrico ~E nao realiza trabalho.






Portanto, ~E deve ser perpendicular a superfıcieem todos os pontos, de modo que a forca ~F sejaperpendicular ao deslocamento de uma carga quese mova sobre essa superfıcie.







As linhas de campo eletrico e as superfıciesequipotenciais sao sempre mutuamenteperpendiculares.








Em regioes onde o modulo de ~E e grande, assuperfıcies equipotenciais ficam agrupadas maiscompactamente.Em regioes onde o modulo de ~E e fraco, assuperfıcies equipotenciais ficam agrupadas maisespacadamente.








Em regioes onde o modulo de ~E e grande, assuperfıcies equipotenciais ficam agrupadas maiscompactamente.Em regioes onde o modulo de ~E e fraco, assuperfıcies equipotenciais ficam agrupadas maisespacadamente.

Figura: Esfera proxima a uma superfıcie.



Condutores e Equipotenciais

Quando todas as cargas estao em repouso, asuperfıcie de um condutor e sempre umasuperfıcie equipotencial.

Quando todas as cargas estao em repouso, ocampo eletrico nos pontos proximos da superfıcieexterna de um condutor deve ser sempreperpendicular em todos os pontos da superfıcie.



Condutores e Equipotenciais

Quando todas as cargas estao em repouso, asuperfıcie de um condutor e sempre umasuperfıcie equipotencial.

Quando todas as cargas estao em repouso, ocampo eletrico nos pontos proximos da superfıcieexterna de um condutor deve ser sempreperpendicular em todos os pontos da superfıcie.

Todos os pontos no interior de uma cavidadepossuem o mesmo potencial.

Em equilıbrio eletrostatico, se um condutor possuiuma cavidade, e se nao existe nenhuma carga nointerior da cavidade, entao nao pode existir cargasobre qualquer ponto da superfıcie da cavidade.


Determinacao do potencial eletrico

Esfera condutora carregada

Para r ≤ R o campo eletrico e dado por,

~E = 0





~E = 0

dV = −~E · d~l = 0





~E = 0

dV = −~E · d~l = 0∫ a

bdV = Va − Vb = 0





~E = 0

dV = −~E · d~l = 0∫ a

bdV = Va − Vb = 0

Logo o potencial para r ≤ R e constante pois,Va − Vb = 0 e igual ao da superfıcie.





~E = 0

dV = −~E · d~l = 0∫ a

bdV = Va − Vb = 0

Logo o potencial para r ≤ R e constante pois,Va − Vb = 0 e igual ao da superfıcie.Para r > R o campo eletrico e dado por,

~E =1

4πε0

q

r2r





~E = 0

dV = −~E · d~l = 0∫ a

bdV = Va − Vb = 0


~E =1

4πε0

q

r2r

dV = −~E · d~l = −q

4πε0

r · d~lr2





~E =1

4πε0

q

r2r

dV = −~E · d~l = −q

4πε0

r · d~lr2

dV = −q

4πε0

dr

r2=





~E =1

4πε0

q

r2r

dV = −~E · d~l = −q

4πε0

r · d~lr2

dV = −q

4πε0

dr

r2=∫ a

bdV = −

q

4πε0

∫ a

br−2dr





~E =1

4πε0

q

r2r

dV = −~E · d~l = −q

4πε0

r · d~lr2

dV = −q

4πε0

dr

r2=∫ a

bdV = −

q

4πε0

∫ a

br−2dr

Va − Vb = Vab =q

4πε0(r−1

a − r−1b )





~E =1

4πε0

q

r2r

dV = −~E · d~l = −q

4πε0

r · d~lr2

dV = −q

4πε0

dr

r2=∫ a

bdV = −

q

4πε0

∫ a

br−2dr

Va − Vb = Vab =q

4πε0(r−1

a − r−1b )

Para r > R o potencial eletrico e dado porV = 1

4πε0

qr

e na superfıcie e igual a V = 14πε0

qR



Placas paralelas carregadas com cargas opostas

Como o campo eletrico e dado por,

~E = −E j = −σ

ε0j





~E = −E j = −σ

ε0j

dV = −~E · d~l





~E = −E j = −σ

ε0j

dV = −~E · d~l

dV =σ

ε0dy





~E = −E j = −σ

ε0j

dV = −~E · d~l

dV =σ

ε0dy∫ a

bdV =

∫ a

b

σ

ε0dy

Va − Vb = Vab =σ

ε0(ya − yb)





~E = −E j = −σ

ε0j

dV = −~E · d~l

dV =σ

ε0dy∫ a

bdV =

∫ a

b

σ

ε0dy

Va − Vb = Vab =σ

ε0(ya − yb)

Como ya = d e yb = 0 ⇒ Vab = σε0d = Ed





~E = −E j = −σ

ε0j

dV = −~E · d~l

dV =σ

ε0dy∫ a

bdV =

∫ a

b

σ

ε0dy

Va − Vb = Vab =σ

ε0(ya − yb)

Como ya = d e yb = 0 ⇒ Vab = σε0d = Ed

Segue deste resultado que o modulo do campoeletrico no interior de duas placas planas e

paralelas (capacitor) e dado por E = Vabd

.



Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado


~E = 0





~E = 0

dV = −~E · d~l = 0





~E = 0

dV = −~E · d~l = 0∫ a

bdV = Va − Vb = 0





~E = 0

dV = −~E · d~l = 0∫ a

bdV = Va − Vb = 0

Logo o potencial para r ≤ R e constante pois,Va − Vb = 0 e igual ao da superfıcie.





~E = 0

dV = −~E · d~l = 0∫ a

bdV = Va − Vb = 0


~E =λ

2πε0

r

r





~E = 0

dV = −~E · d~l = 0∫ a

bdV = Va − Vb = 0


~E =λ

2πε0

r

r

dV = −~E · d~l = −λ

2πε0

r · d~lr





~E =λ

2πε0

r

r

dV = −~E · d~l = −λ

2πε0

r · d~lr

dV = −λ

2πε0

dr

r





~E =λ

2πε0

r

r

dV = −~E · d~l = −λ

2πε0

r · d~lr

dV = −λ

2πε0

dr

r∫ a

bdV = −

λ

2πε0

∫ a

b

dr

r





~E =λ

2πε0

r

r

dV = −~E · d~l = −λ

2πε0

r · d~lr

dV = −λ

2πε0

dr

r∫ a

bdV = −

λ

2πε0

∫ a

b

dr

r

Va − Vb = Vab = −λ

2πε0ln

(ra

rb

)





~E =λ

2πε0

r

r

dV = −~E · d~l = −λ

2πε0

r · d~lr

dV = −λ

2πε0

dr

r∫ a

bdV = −

λ

2πε0

∫ a

b

dr

r

Va − Vb = Vab = −λ

2πε0ln

(ra

rb

)Para r > R o potencial eletrico e dado porV = λ

2πε0ln(rR

)e na superfıcie definimos que

V = λ2πε0

ln(

RR

)= 0 pois o ln(x)→∞ para

x → 0,∞ .



Um anel carregado



Um fio carregado

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