Capıtulo 30 - Indutancia

RODRIGO ALVES DIAS

Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJFLivro texto: Fısica 3 - Eletromagnetismo

Autores: Sears e ZemanskyEdicao: 12a

Editora: Pearson - Addisson and Wesley

8 de novembro de 2011

Capıtulo 30 - Indutancia

Objetivos de Aprendizagem

Ao estudar este capıtulo voce aprendera:

I Como uma corrente variavel em uma bobina pode induzir uma fem em outrabobina desconectada.

I Como relacionar a fem induzida em um circuito a taxa de variacao de correnteno mesmo circuito.

I Como calcular a energia armazenada em um campo magnetico.

I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor.

I Por que ocorrem oscilacoes eletricas em circuitos que possuem tanto um indutorquanto um capacitor.

I Por que as oscilacoes diminuem em circuitos com um indutor, um resistor e um

capacitor.

Capıtulo 30 - Indutancia

Objetivos de Aprendizagem

Ao estudar este capıtulo voce aprendera:

I Como uma corrente variavel em uma bobina pode induzir uma fem em outrabobina desconectada.

I Como relacionar a fem induzida em um circuito a taxa de variacao de correnteno mesmo circuito.

I Como calcular a energia armazenada em um campo magnetico.

I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor.

I Por que ocorrem oscilacoes eletricas em circuitos que possuem tanto um indutorquanto um capacitor.

I Por que as oscilacoes diminuem em circuitos com um indutor, um resistor e um

capacitor.

Capıtulo 30 - Indutancia

Objetivos de Aprendizagem

Ao estudar este capıtulo voce aprendera:

I Como uma corrente variavel em uma bobina pode induzir uma fem em outrabobina desconectada.

I Como relacionar a fem induzida em um circuito a taxa de variacao de correnteno mesmo circuito.

I Como calcular a energia armazenada em um campo magnetico.

I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor.

I Por que ocorrem oscilacoes eletricas em circuitos que possuem tanto um indutorquanto um capacitor.

I Por que as oscilacoes diminuem em circuitos com um indutor, um resistor e um

capacitor.

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Objetivos de Aprendizagem

Ao estudar este capıtulo voce aprendera:

I Como uma corrente variavel em uma bobina pode induzir uma fem em outrabobina desconectada.

I Como relacionar a fem induzida em um circuito a taxa de variacao de correnteno mesmo circuito.

I Como calcular a energia armazenada em um campo magnetico.

I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor.

I Por que ocorrem oscilacoes eletricas em circuitos que possuem tanto um indutorquanto um capacitor.

I Por que as oscilacoes diminuem em circuitos com um indutor, um resistor e um

capacitor.

Capıtulo 30 - Indutancia

Objetivos de Aprendizagem

Ao estudar este capıtulo voce aprendera:

I Como uma corrente variavel em uma bobina pode induzir uma fem em outrabobina desconectada.

I Como relacionar a fem induzida em um circuito a taxa de variacao de correnteno mesmo circuito.

I Como calcular a energia armazenada em um campo magnetico.

I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor.

I Por que ocorrem oscilacoes eletricas em circuitos que possuem tanto um indutorquanto um capacitor.

I Por que as oscilacoes diminuem em circuitos com um indutor, um resistor e um

capacitor.

Capıtulo 30 - Indutancia

Objetivos de Aprendizagem

Ao estudar este capıtulo voce aprendera:

I Como uma corrente variavel em uma bobina pode induzir uma fem em outrabobina desconectada.

I Como relacionar a fem induzida em um circuito a taxa de variacao de correnteno mesmo circuito.

I Como calcular a energia armazenada em um campo magnetico.

I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor.

I Por que ocorrem oscilacoes eletricas em circuitos que possuem tanto um indutorquanto um capacitor.

I Por que as oscilacoes diminuem em circuitos com um indutor, um resistor e um

capacitor.

Capıtulo 30 - Indutancia

Introducao

1. Uma corrente variavel em uma bobina induz uma fem em outra bobinaadjacente.

2. O acoplamento entre as duas bobinas e descrita pela indutancia mutua.

3. Uma corrente variavel em uma bobina induz uma fem na propria bobina.

4. A relacao entre a corrente e a fem na propria bobina depende daindutancia(auto-indutancia).

Capıtulo 30 - Indutancia

Introducao

1. Uma corrente variavel em uma bobina induz uma fem em outra bobinaadjacente.

2. O acoplamento entre as duas bobinas e descrita pela indutancia mutua.

3. Uma corrente variavel em uma bobina induz uma fem na propria bobina.

4. A relacao entre a corrente e a fem na propria bobina depende daindutancia(auto-indutancia).

Capıtulo 30 - Indutancia

Introducao

1. Uma corrente variavel em uma bobina induz uma fem em outra bobinaadjacente.

2. O acoplamento entre as duas bobinas e descrita pela indutancia mutua.

3. Uma corrente variavel em uma bobina induz uma fem na propria bobina.

4. A relacao entre a corrente e a fem na propria bobina depende daindutancia(auto-indutancia).

Capıtulo 30 - Indutancia

Introducao

1. Uma corrente variavel em uma bobina induz uma fem em outra bobinaadjacente.

2. O acoplamento entre as duas bobinas e descrita pela indutancia mutua.

3. Uma corrente variavel em uma bobina induz uma fem na propria bobina.

4. A relacao entre a corrente e a fem na propria bobina depende daindutancia(auto-indutancia).

Capıtulo 30 - Indutancia

Indutancia Mutua

I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2

voltas, uma dentro da outra.

Capıtulo 30 - Indutancia

Indutancia Mutua

I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2

voltas, uma dentro da outra.

I Se passarmos uma corrente I1 na bobina1 o campo magnetico gerado por essabobina sera:

~B1 = µ0N1

LI1 k 0 ≤ r ≤ R1

~B1 = 0 k 0r > R1

Capıtulo 30 - Indutancia

Indutancia Mutua

I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2

voltas, uma dentro da outra.

I Se passarmos uma corrente I1 na bobina1 o campo magnetico gerado por essabobina sera:

~B1 = µ0N1

LI1 k 0 ≤ r ≤ R1

~B1 = 0 k 0r > R1

I Seja Φ2(1) → O fluxo magnetico

produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de2(Nao nulo dentro de R1).

Φ2(1) = N2

∫S2

~B1 · kdS = N2B1(πR21 )

Capıtulo 30 - Indutancia

Indutancia Mutua

I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2

voltas, uma dentro da outra.

I Se passarmos uma corrente I1 na bobina1 o campo magnetico gerado por essabobina sera:

~B1 = µ0N1

LI1 k 0 ≤ r ≤ R1

~B1 = 0 k 0r > R1

I Seja Φ2(1) → O fluxo magnetico

produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de2(Nao nulo dentro de R1).

Φ2(1) = N2

∫S2

~B1 · kdS = N2B1(πR21 )

Φ2(1) = µ0N1N2

L(πR2

1 )I1

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Indutancia Mutua

I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2

voltas, uma dentro da outra.

I Se passarmos uma corrente I1 na bobina1 o campo magnetico gerado por essabobina sera:

~B1 = µ0N1

LI1 k 0 ≤ r ≤ R1

~B1 = 0 k 0r > R1

I Seja Φ2(1) → O fluxo magnetico

produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de2(Nao nulo dentro de R1).

Φ2(1) = N2

∫S2

~B1 · kdS = N2B1(πR21 )

Φ2(1) = µ0N1N2

L(πR2

1 )I1

Φ2(1) = L21I1 ; L21 = µ0N1N2

L(πR2

1 )

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Indutancia Mutua

I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2

voltas, uma dentro da outra.

I Se passarmos uma corrente I1 na bobina1 o campo magnetico gerado por essabobina sera:

~B1 = µ0N1

LI1 k 0 ≤ r ≤ R1

~B1 = 0 k 0r > R1

I Seja Φ2(1) → O fluxo magnetico

produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de2(Nao nulo dentro de R1).

Φ2(1) = N2

∫S2

~B1 · kdS = N2B1(πR21 )

Φ2(1) = µ0N1N2

L(πR2

1 )I1

Φ2(1) = L21I1 ; L21 = µ0N1N2

L(πR2

1 )

I Se invertermos e passarmos uma correnteI2 na bobina 2 temos que o campomagnetico gerado por essa bobina sera:

~B2 = µ0N2

LI2 k 0 ≤ r ≤ R2

~B2 = 0 k 0r > R2

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Indutancia Mutua

I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2

voltas, uma dentro da outra.

I Se passarmos uma corrente I1 na bobina1 o campo magnetico gerado por essabobina sera:

~B1 = µ0N1

LI1 k 0 ≤ r ≤ R1

~B1 = 0 k 0r > R1

I Seja Φ2(1) → O fluxo magnetico

produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de2(Nao nulo dentro de R1).

Φ2(1) = N2

∫S2

~B1 · kdS = N2B1(πR21 )

Φ2(1) = µ0N1N2

L(πR2

1 )I1

Φ2(1) = L21I1 ; L21 = µ0N1N2

L(πR2

1 )

I Se invertermos e passarmos uma correnteI2 na bobina 2 temos que o campomagnetico gerado por essa bobina sera:

~B2 = µ0N2

LI2 k 0 ≤ r ≤ R2

~B2 = 0 k 0r > R2

Φ1(2) = N1

∫S1

~B2 · kdS = N1B2(πR21 )

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Indutancia Mutua

I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2

voltas, uma dentro da outra.

I Se passarmos uma corrente I1 na bobina1 o campo magnetico gerado por essabobina sera:

~B1 = µ0N1

LI1 k 0 ≤ r ≤ R1

~B1 = 0 k 0r > R1

I Seja Φ2(1) → O fluxo magnetico

produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de2(Nao nulo dentro de R1).

Φ2(1) = N2

∫S2

~B1 · kdS = N2B1(πR21 )

Φ2(1) = µ0N1N2

L(πR2

1 )I1

Φ2(1) = L21I1 ; L21 = µ0N1N2

L(πR2

1 )

I Se invertermos e passarmos uma correnteI2 na bobina 2 temos que o campomagnetico gerado por essa bobina sera:

~B2 = µ0N2

LI2 k 0 ≤ r ≤ R2

~B2 = 0 k 0r > R2

Φ1(2) = N1

∫S1

~B2 · kdS = N1B2(πR21 )

Φ1(2) = µ0N1N2

L(πR2

1 )I2

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Indutancia Mutua

I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2

voltas, uma dentro da outra.

I Se passarmos uma corrente I1 na bobina1 o campo magnetico gerado por essabobina sera:

~B1 = µ0N1

LI1 k 0 ≤ r ≤ R1

~B1 = 0 k 0r > R1

I Seja Φ2(1) → O fluxo magnetico

produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de2(Nao nulo dentro de R1).

Φ2(1) = N2

∫S2

~B1 · kdS = N2B1(πR21 )

Φ2(1) = µ0N1N2

L(πR2

1 )I1

Φ2(1) = L21I1 ; L21 = µ0N1N2

L(πR2

1 )

I Se invertermos e passarmos uma correnteI2 na bobina 2 temos que o campomagnetico gerado por essa bobina sera:

~B2 = µ0N2

LI2 k 0 ≤ r ≤ R2

~B2 = 0 k 0r > R2

Φ1(2) = N1

∫S1

~B2 · kdS = N1B2(πR21 )

Φ1(2) = µ0N1N2

L(πR2

1 )I2

Φ1(2) = L12I2 ; L12 = µ0N1N2

L(πR2

1 )

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Indutancia Mutua

I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2

voltas, uma dentro da outra.

I Se passarmos uma corrente I1 na bobina1 o campo magnetico gerado por essabobina sera:

~B1 = µ0N1

LI1 k 0 ≤ r ≤ R1

~B1 = 0 k 0r > R1

I Seja Φ2(1) → O fluxo magnetico

produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de2(Nao nulo dentro de R1).

Φ2(1) = N2

∫S2

~B1 · kdS = N2B1(πR21 )

Φ2(1) = µ0N1N2

L(πR2

1 )I1

Φ2(1) = L21I1 ; L21 = µ0N1N2

L(πR2

1 )

I Se invertermos e passarmos uma correnteI2 na bobina 2 temos que o campomagnetico gerado por essa bobina sera:

~B2 = µ0N2

LI2 k 0 ≤ r ≤ R2

~B2 = 0 k 0r > R2

Φ1(2) = N1

∫S1

~B2 · kdS = N1B2(πR21 )

Φ1(2) = µ0N1N2

L(πR2

1 )I2

Φ1(2) = L12I2 ; L12 = µ0N1N2

L(πR2

1 )

I Veja que L12 = L21 e a indutancia mutua.

I No S.I. a unidade de indutancia mutua1Henry = Wb

A.

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Indutores e Auto-Indutancia

I A corrente I1 produz campo em 2 etambem em 1 assim:

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Indutores e Auto-Indutancia

I A corrente I1 produz campo em 2 etambem em 1 assim:

Φ1(1) = N1

∫S1

~B1 · kdS = N1B1(πR21 )

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Indutores e Auto-Indutancia

I A corrente I1 produz campo em 2 etambem em 1 assim:

Φ1(1) = N1

∫S1

~B1 · kdS = N1B1(πR21 )

Φ1(1) = µ0N2

1

L(πR2

1 )I1

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Indutores e Auto-Indutancia

I A corrente I1 produz campo em 2 etambem em 1 assim:

Φ1(1) = N1

∫S1

~B1 · kdS = N1B1(πR21 )

Φ1(1) = µ0N2

1

L(πR2

1 )I1

Φ1(1) = L11I1 ; L11 = µ0N2

1

L(πR2

1 )

I L11 e a auto-indutancia da bobina 1.

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Indutores e Auto-Indutancia

I A corrente I1 produz campo em 2 etambem em 1 assim:

Φ1(1) = N1

∫S1

~B1 · kdS = N1B1(πR21 )

Φ1(1) = µ0N2

1

L(πR2

1 )I1

Φ1(1) = L11I1 ; L11 = µ0N2

1

L(πR2

1 )

I L11 e a auto-indutancia da bobina 1.

I Analogamente, a corrente I2 produzcampo em 2 e tambem em 1 assim:

Φ2(2) = N2

∫S2

~B2 · kdS = N2B2(πR22 )

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Indutores e Auto-Indutancia

I A corrente I1 produz campo em 2 etambem em 1 assim:

Φ1(1) = N1

∫S1

~B1 · kdS = N1B1(πR21 )

Φ1(1) = µ0N2

1

L(πR2

1 )I1

Φ1(1) = L11I1 ; L11 = µ0N2

1

L(πR2

1 )

I L11 e a auto-indutancia da bobina 1.

I Analogamente, a corrente I2 produzcampo em 2 e tambem em 1 assim:

Φ2(2) = N2

∫S2

~B2 · kdS = N2B2(πR22 )

Φ2(2) = µ0N2

2

L(πR2

2 )I2

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Indutores e Auto-Indutancia

I A corrente I1 produz campo em 2 etambem em 1 assim:

Φ1(1) = N1

∫S1

~B1 · kdS = N1B1(πR21 )

Φ1(1) = µ0N2

1

L(πR2

1 )I1

Φ1(1) = L11I1 ; L11 = µ0N2

1

L(πR2

1 )

I L11 e a auto-indutancia da bobina 1.

I Analogamente, a corrente I2 produzcampo em 2 e tambem em 1 assim:

Φ2(2) = N2

∫S2

~B2 · kdS = N2B2(πR22 )

Φ2(2) = µ0N2

2

L(πR2

2 )I2

Φ2(2) = L22I2 ; L22 = µ0N2

2

L(πR2

2 )

I L22 e a auto-indutancia da bobina 2.

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Indutores e Auto-Indutancia

I A corrente I1 produz campo em 2 etambem em 1 assim:

Φ1(1) = N1

∫S1

~B1 · kdS = N1B1(πR21 )

Φ1(1) = µ0N2

1

L(πR2

1 )I1

Φ1(1) = L11I1 ; L11 = µ0N2

1

L(πR2

1 )

I L11 e a auto-indutancia da bobina 1.

L1L2 = µ20

N21N

22

L2(π2R2

1R22 )

I Analogamente, a corrente I2 produzcampo em 2 e tambem em 1 assim:

Φ2(2) = N2

∫S2

~B2 · kdS = N2B2(πR22 )

Φ2(2) = µ0N2

2

L(πR2

2 )I2

Φ2(2) = L22I2 ; L22 = µ0N2

2

L(πR2

2 )

I L22 e a auto-indutancia da bobina 2.

Capıtulo 30 - Indutancia

Indutores e Auto-Indutancia

I A corrente I1 produz campo em 2 etambem em 1 assim:

Φ1(1) = N1

∫S1

~B1 · kdS = N1B1(πR21 )

Φ1(1) = µ0N2

1

L(πR2

1 )I1

Φ1(1) = L11I1 ; L11 = µ0N2

1

L(πR2

1 )

I L11 e a auto-indutancia da bobina 1.

L1L2 = µ20

N21N

22

L2(π2R2

1R22 )√

L1L2 = µ0N1N2

L(πR1R2) = L12

R2

R1

I Analogamente, a corrente I2 produzcampo em 2 e tambem em 1 assim:

Φ2(2) = N2

∫S2

~B2 · kdS = N2B2(πR22 )

Φ2(2) = µ0N2

2

L(πR2

2 )I2

Φ2(2) = L22I2 ; L22 = µ0N2

2

L(πR2

2 )

I L22 e a auto-indutancia da bobina 2.

Capıtulo 30 - Indutancia

Indutores e Auto-Indutancia

I A corrente I1 produz campo em 2 etambem em 1 assim:

Φ1(1) = N1

∫S1

~B1 · kdS = N1B1(πR21 )

Φ1(1) = µ0N2

1

L(πR2

1 )I1

Φ1(1) = L11I1 ; L11 = µ0N2

1

L(πR2

1 )

I L11 e a auto-indutancia da bobina 1.

L1L2 = µ20

N21N

22

L2(π2R2

1R22 )√

L1L2 = µ0N1N2

L(πR1R2) = L12

R2

R1

I Analogamente, a corrente I2 produzcampo em 2 e tambem em 1 assim:

Φ2(2) = N2

∫S2

~B2 · kdS = N2B2(πR22 )

Φ2(2) = µ0N2

2

L(πR2

2 )I2

Φ2(2) = L22I2 ; L22 = µ0N2

2

L(πR2

2 )

I L22 e a auto-indutancia da bobina 2.

L12√L1L2

=R1

R2= K < 1 p/R1 < R2

L12√L1L2

=R1

R2= K = 1 p/R1 = R2

L12√L1L2

=R1

R2= K > 1 p/R1 > R2

Capıtulo 30 - Indutancia

Indutores e Auto-Indutancia

I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 nabobina 2 entao:

Φ1 = L11I1 + L12I2

Φ2 = L21I1 + L22I2

I Vemos que conhecendo aauto-indutancia, a indutancia-mutuae as correntes sabemos qual sera afem induzidas em cada bobina.

I A auto-indutancia e aindutancia-mutua so depende defatores geometricos, ou seja, eindependente das correntes.

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Indutores e Auto-Indutancia

I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 nabobina 2 entao:

Φ1 = L11I1 + L12I2

Φ2 = L21I1 + L22I2

ε1 = −dΦ1

dt

ε2 = −dΦ2

dt

I Vemos que conhecendo aauto-indutancia, a indutancia-mutuae as correntes sabemos qual sera afem induzidas em cada bobina.

I A auto-indutancia e aindutancia-mutua so depende defatores geometricos, ou seja, eindependente das correntes.

Capıtulo 30 - Indutancia

Indutores e Auto-Indutancia

I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 nabobina 2 entao:

Φ1 = L11I1 + L12I2

Φ2 = L21I1 + L22I2

ε1 = −dΦ1

dt

ε2 = −dΦ2

dt

ε1 = −L11dI1

dt− L12

dI2

dt

ε2 = −L21dI1

dt− L22

dI2

dt

I Vemos que conhecendo aauto-indutancia, a indutancia-mutuae as correntes sabemos qual sera afem induzidas em cada bobina.

I A auto-indutancia e aindutancia-mutua so depende defatores geometricos, ou seja, eindependente das correntes.

Capıtulo 30 - Indutancia

Indutores e Auto-Indutancia

I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 nabobina 2 entao:

Φ1 = L11I1 + L12I2

Φ2 = L21I1 + L22I2

ε1 = −dΦ1

dt

ε2 = −dΦ2

dt

ε1 = −L11dI1

dt− L12

dI2

dt

ε2 = −L21dI1

dt− L22

dI2

dt

I Vemos que conhecendo aauto-indutancia, a indutancia-mutuae as correntes sabemos qual sera afem induzidas em cada bobina.

I A auto-indutancia e aindutancia-mutua so depende defatores geometricos, ou seja, eindependente das correntes.

Capıtulo 30 - Indutancia

Indutores e Auto-Indutancia

I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 nabobina 2 entao:

Φ1 = L11I1 + L12I2

Φ2 = L21I1 + L22I2

ε1 = −dΦ1

dt

ε2 = −dΦ2

dt

ε1 = −L11dI1

dt− L12

dI2

dt

ε2 = −L21dI1

dt− L22

dI2

dt

I Vemos que conhecendo aauto-indutancia, a indutancia-mutuae as correntes sabemos qual sera afem induzidas em cada bobina.

I A auto-indutancia e aindutancia-mutua so depende defatores geometricos, ou seja, eindependente das correntes.

Capıtulo 30 - Indutancia

Indutores e Auto-Indutancia

Auto-Indutancia L de um Solenoide Toroidal Ideal

I Nesse sistema, o campo magnetico ficacompletamente confinado no seu nucleo dearea A.

I Iremos supor que a area A e pequena osuficiente, tal que o campo sera constantenesta superfıcie.

I Da lei de ampere temos que o campo

magnetico e dado por:

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Indutores e Auto-Indutancia

Auto-Indutancia L de um Solenoide Toroidal Ideal

I Nesse sistema, o campo magnetico ficacompletamente confinado no seu nucleo dearea A.

I Iremos supor que a area A e pequena osuficiente, tal que o campo sera constantenesta superfıcie.

I Da lei de ampere temos que o campo

magnetico e dado por:

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Indutores e Auto-Indutancia

Auto-Indutancia L de um Solenoide Toroidal Ideal

I Nesse sistema, o campo magnetico ficacompletamente confinado no seu nucleo dearea A.

I Iremos supor que a area A e pequena osuficiente, tal que o campo sera constantenesta superfıcie.

I Da lei de ampere temos que o campo

magnetico e dado por:

B =µ0Ni

2πr

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Indutores e Auto-Indutancia

Auto-Indutancia L de um Solenoide Toroidal Ideal

I Nesse sistema, o campo magnetico ficacompletamente confinado no seu nucleo dearea A.

I Iremos supor que a area A e pequena osuficiente, tal que o campo sera constantenesta superfıcie.

I Da lei de ampere temos que o campo

magnetico e dado por:

B =µ0Ni

2πr

ΦB = N

∫~B · ~A = NBA =

µ0N2iA

2πr

Capıtulo 30 - Indutancia

Indutores e Auto-Indutancia

Auto-Indutancia L de um Solenoide Toroidal Ideal

I Nesse sistema, o campo magnetico ficacompletamente confinado no seu nucleo dearea A.

I Iremos supor que a area A e pequena osuficiente, tal que o campo sera constantenesta superfıcie.

I Da lei de ampere temos que o campo

magnetico e dado por:

B =µ0Ni

2πr

ΦB = N

∫~B · ~A = NBA =

µ0N2iA

2πr

L =dΦB

di

Capıtulo 30 - Indutancia

Indutores e Auto-Indutancia

Auto-Indutancia L de um Solenoide Toroidal Ideal

I Nesse sistema, o campo magnetico ficacompletamente confinado no seu nucleo dearea A.

I Iremos supor que a area A e pequena osuficiente, tal que o campo sera constantenesta superfıcie.

I Da lei de ampere temos que o campo

magnetico e dado por:

B =µ0Ni

2πr

ΦB = N

∫~B · ~A = NBA =

µ0N2iA

2πr

L =dΦB

di

L =µ0N2A

2πr

Capıtulo 30 - Indutancia

Energia do Campo Magnetico

Energia armazenada em um indutor

I Vamos calcular a energia total U necessaria para estabelecer uma correntefinal If = I em um indutor com indutancia L.

I Vamos supor que a corrente inicial seja zero(I0 = 0).

I A potencia em um indutor sera dada por:

Capıtulo 30 - Indutancia

Energia do Campo Magnetico

Energia armazenada em um indutor

I Vamos calcular a energia total U necessaria para estabelecer uma correntefinal If = I em um indutor com indutancia L.

I Vamos supor que a corrente inicial seja zero(I0 = 0).

I A potencia em um indutor sera dada por:

P = Vab i

Vab = Ldi

dt

Capıtulo 30 - Indutancia

Energia do Campo Magnetico

Energia armazenada em um indutor

I Vamos calcular a energia total U necessaria para estabelecer uma correntefinal If = I em um indutor com indutancia L.

I Vamos supor que a corrente inicial seja zero(I0 = 0).

I A potencia em um indutor sera dada por:

P = Vab i

Vab = Ldi

dt

P = Lidi

dt=

dU

dt

Capıtulo 30 - Indutancia

Energia do Campo Magnetico

Energia armazenada em um indutor

I Vamos calcular a energia total U necessaria para estabelecer uma correntefinal If = I em um indutor com indutancia L.

I Vamos supor que a corrente inicial seja zero(I0 = 0).

I A potencia em um indutor sera dada por:

P = Vab i

Vab = Ldi

dt

P = Lidi

dt=

dU

dt

dU = Pdt = Lidi

dtdt

Capıtulo 30 - Indutancia

Energia do Campo Magnetico

Energia armazenada em um indutorI Vamos calcular a energia total U necessaria para estabelecer uma corrente

final If = I em um indutor com indutancia L.

I Vamos supor que a corrente inicial seja zero(I0 = 0).

I A potencia em um indutor sera dada por:

P = Vab i

Vab = Ldi

dt

P = Lidi

dt=

dU

dt

dU = Pdt = Lidi

dtdt

dU = Lidi

U = L

∫ I

0idi

U =1

2LI2

Capıtulo 30 - Indutancia

Energia do Campo Magnetico

Densidade de Energia Magnetica

I A energia em um indutor e, na realidade,armazenada no campo magnetico nointerior da bobina.

I Da mesma forma, que a energia eletrica earmazenada no campo eletrico no interiorde um capacitor.

I Para um solenoide toroidal ideal temos que:

I O campo magnetico e a energia estaoarmazenados em um volume V = 2πrA.

I A densidade de energia magnetica sera

dada por:

Capıtulo 30 - Indutancia

Energia do Campo Magnetico

Densidade de Energia Magnetica

I A energia em um indutor e, na realidade,armazenada no campo magnetico nointerior da bobina.

I Da mesma forma, que a energia eletrica earmazenada no campo eletrico no interiorde um capacitor.

I Para um solenoide toroidal ideal temos que:

I O campo magnetico e a energia estaoarmazenados em um volume V = 2πrA.

I A densidade de energia magnetica sera

dada por:

Capıtulo 30 - Indutancia

Energia do Campo Magnetico

Densidade de Energia Magnetica

I A energia em um indutor e, na realidade,armazenada no campo magnetico nointerior da bobina.

I Da mesma forma, que a energia eletrica earmazenada no campo eletrico no interiorde um capacitor.

I Para um solenoide toroidal ideal temos que:

L =µ0N2A

2πr

U =1

2LI2

I O campo magnetico e a energia estaoarmazenados em um volume V = 2πrA.

I A densidade de energia magnetica sera

dada por:

Capıtulo 30 - Indutancia

Energia do Campo Magnetico

Densidade de Energia Magnetica

I A energia em um indutor e, na realidade,armazenada no campo magnetico nointerior da bobina.

I Da mesma forma, que a energia eletrica earmazenada no campo eletrico no interiorde um capacitor.

I Para um solenoide toroidal ideal temos que:

L =µ0N2A

2πr

U =1

2LI2

U =1

2

µ0N2A

2πrI2

I O campo magnetico e a energia estaoarmazenados em um volume V = 2πrA.

I A densidade de energia magnetica sera

dada por:

Capıtulo 30 - Indutancia

Energia do Campo Magnetico

Densidade de Energia Magnetica

I A energia em um indutor e, na realidade,armazenada no campo magnetico nointerior da bobina.

I Da mesma forma, que a energia eletrica earmazenada no campo eletrico no interiorde um capacitor.

I Para um solenoide toroidal ideal temos que:

L =µ0N2A

2πr

U =1

2LI2

U =1

2

µ0N2A

2πrI2

I O campo magnetico e a energia estaoarmazenados em um volume V = 2πrA.

I A densidade de energia magnetica sera

dada por:

Capıtulo 30 - Indutancia

Energia do Campo Magnetico

Densidade de Energia Magnetica

I A energia em um indutor e, na realidade,armazenada no campo magnetico nointerior da bobina.

I Da mesma forma, que a energia eletrica earmazenada no campo eletrico no interiorde um capacitor.

I Para um solenoide toroidal ideal temos que:

L =µ0N2A

2πr

U =1

2LI2

U =1

2

µ0N2A

2πrI2

I O campo magnetico e a energia estaoarmazenados em um volume V = 2πrA.

I A densidade de energia magnetica sera

dada por:

u =U

V

u =1

2

µ0N2A

2πrI2 1

2πrA

Capıtulo 30 - Indutancia

Energia do Campo Magnetico

Densidade de Energia Magnetica

I A energia em um indutor e, na realidade,armazenada no campo magnetico nointerior da bobina.

I Da mesma forma, que a energia eletrica earmazenada no campo eletrico no interiorde um capacitor.

I Para um solenoide toroidal ideal temos que:

L =µ0N2A

2πr

U =1

2LI2

U =1

2

µ0N2A

2πrI2

I O campo magnetico e a energia estaoarmazenados em um volume V = 2πrA.

I A densidade de energia magnetica sera

dada por:

u =U

V

u =1

2

µ0N2A

2πrI2 1

2πrA

u =1

2µ0

N2I2

(2πr)2

Capıtulo 30 - Indutancia

Energia do Campo Magnetico

Densidade de Energia Magnetica

I A energia em um indutor e, na realidade,armazenada no campo magnetico nointerior da bobina.

I Da mesma forma, que a energia eletrica earmazenada no campo eletrico no interiorde um capacitor.

I Para um solenoide toroidal ideal temos que:

L =µ0N2A

2πr

U =1

2LI2

U =1

2

µ0N2A

2πrI2

I O campo magnetico e a energia estaoarmazenados em um volume V = 2πrA.

I A densidade de energia magnetica sera

dada por:

u =U

V

u =1

2

µ0N2A

2πrI2 1

2πrA

u =1

2µ0

N2I2

(2πr)2

B2

µ20

=N2I2

(2πr)2

Capıtulo 30 - Indutancia

Energia do Campo Magnetico

Densidade de Energia Magnetica

I A energia em um indutor e, na realidade,armazenada no campo magnetico nointerior da bobina.

I Da mesma forma, que a energia eletrica earmazenada no campo eletrico no interiorde um capacitor.

I Para um solenoide toroidal ideal temos que:

L =µ0N2A

2πr

U =1

2LI2

U =1

2

µ0N2A

2πrI2

I O campo magnetico e a energia estaoarmazenados em um volume V = 2πrA.

I A densidade de energia magnetica sera

dada por:

u =U

V

u =1

2

µ0N2A

2πrI2 1

2πrA

u =1

2µ0

N2I2

(2πr)2

B2

µ20

=N2I2

(2πr)2

u =1

2

B2

µ0

Capıtulo 30 - Indutancia

Energia do Campo Magnetico

Densidade de Energia Magnetica e Eletrica

I A densidade de energia eletrica e dada

por:

u =1

2ε0E

2

I A densidade de energia magnetica e dada

por:

u =1

2

B2

µ0

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L

Aumento da corrente em um circuito R-L

I Considere o circuito R-L.

I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L

Aumento da corrente em um circuito R-L

I Considere o circuito R-L.

I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:

0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)

dt

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L

Aumento da corrente em um circuito R-L

I Considere o circuito R-L.

I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:

0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)

dtu(t) = ε− Ri(t)

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L

Aumento da corrente em um circuito R-L

I Considere o circuito R-L.

I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:

0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)

dtu(t) = ε− Ri(t)

di(t)

dt= −

1

R

du(t)

dt

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L

Aumento da corrente em um circuito R-L

I Considere o circuito R-L.

I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:

0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)

dtu(t) = ε− Ri(t)

di(t)

dt= −

1

R

du(t)

dt

0 = u(t) +L

R

du(t)

dt

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L

Aumento da corrente em um circuito R-L

I Considere o circuito R-L.

I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:

0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)

dtu(t) = ε− Ri(t)

di(t)

dt= −

1

R

du(t)

dt

0 = u(t) +L

R

du(t)

dtdu(t)

u(t)= −

R

Ldt

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L

Aumento da corrente em um circuito R-L

I Considere o circuito R-L.

I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:

0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)

dtu(t) = ε− Ri(t)

di(t)

dt= −

1

R

du(t)

dt

0 = u(t) +L

R

du(t)

dtdu(t)

u(t)= −

R

Ldt∫

du(t)

u(t)= −

∫R

Ldt

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L

Aumento da corrente em um circuito R-L

I Considere o circuito R-L.

I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:

0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)

dtu(t) = ε− Ri(t)

di(t)

dt= −

1

R

du(t)

dt

0 = u(t) +L

R

du(t)

dtdu(t)

u(t)= −

R

Ldt∫

du(t)

u(t)= −

∫R

Ldt

ln[u(t)] = −R

Lt + A1 ; τL =

L

R

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L

Aumento da corrente em um circuito R-L

0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)

dtu(t) = ε− Ri(t)

di(t)

dt= −

1

R

du(t)

dt

0 = u(t) +L

R

du(t)

dtdu(t)

u(t)= −

R

Ldt∫

du(t)

u(t)= −

∫R

Ldt

ln[u(t)] = −R

Lt + A1 ; τL =

L

Ru(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t)

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L

Aumento da corrente em um circuito R-L

0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)

dtu(t) = ε− Ri(t)

di(t)

dt= −

1

R

du(t)

dt

0 = u(t) +L

R

du(t)

dtdu(t)

u(t)= −

R

Ldt∫

du(t)

u(t)= −

∫R

Ldt

ln[u(t)] = −R

Lt + A1 ; τL =

L

Ru(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t)

i(t) =1

R(ε− Ae−t/τL )

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L

Aumento da corrente em um circuito R-L

0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)

dtu(t) = ε− Ri(t)

di(t)

dt= −

1

R

du(t)

dt

0 = u(t) +L

R

du(t)

dtdu(t)

u(t)= −

R

Ldt∫

du(t)

u(t)= −

∫R

Ldt

ln[u(t)] = −R

Lt + A1 ; τL =

L

Ru(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t)

i(t) =1

R(ε− Ae−t/τL )

I Em t = 0[di(t)dt

]t=06= 0 e i(0) = 0,

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L

Aumento da corrente em um circuito R-L

0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)

dtu(t) = ε− Ri(t)

di(t)

dt= −

1

R

du(t)

dt

0 = u(t) +L

R

du(t)

dtdu(t)

u(t)= −

R

Ldt∫

du(t)

u(t)= −

∫R

Ldt

ln[u(t)] = −R

Lt + A1 ; τL =

L

Ru(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t)

i(t) =1

R(ε− Ae−t/τL )

I Em t = 0[di(t)dt

]t=06= 0 e i(0) = 0,

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L

Aumento da corrente em um circuito R-L

0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)

dtu(t) = ε− Ri(t)

di(t)

dt= −

1

R

du(t)

dt

0 = u(t) +L

R

du(t)

dtdu(t)

u(t)= −

R

Ldt∫

du(t)

u(t)= −

∫R

Ldt

ln[u(t)] = −R

Lt + A1 ; τL =

L

Ru(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t)

i(t) =1

R(ε− Ae−t/τL )

I Em t = 0[di(t)dt

]t=06= 0 e i(0) = 0,

[di(t)

dt

]t=0

=ε

L[di(t)

dt

]t=0

=1

R

[dε

dt+

A

τLe−t/τL

]t=0

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L

Aumento da corrente em um circuito R-L

0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)

dtu(t) = ε− Ri(t)

di(t)

dt= −

1

R

du(t)

dt

0 = u(t) +L

R

du(t)

dtdu(t)

u(t)= −

R

Ldt∫

du(t)

u(t)= −

∫R

Ldt

ln[u(t)] = −R

Lt + A1 ; τL =

L

Ru(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t)

i(t) =1

R(ε− Ae−t/τL )

I Em t = 0[di(t)dt

]t=06= 0 e i(0) = 0,

[di(t)

dt

]t=0

=ε

L[di(t)

dt

]t=0

=1

R

[dε

dt+

A

τLe−t/τL

]t=0

ε

L=

A

RτL

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L

Aumento da corrente em um circuito R-L

0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)

dtu(t) = ε− Ri(t)

di(t)

dt= −

1

R

du(t)

dt

0 = u(t) +L

R

du(t)

dtdu(t)

u(t)= −

R

Ldt∫

du(t)

u(t)= −

∫R

Ldt

ln[u(t)] = −R

Lt + A1 ; τL =

L

Ru(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t)

i(t) =1

R(ε− Ae−t/τL )

I Em t = 0[di(t)dt

]t=06= 0 e i(0) = 0,

[di(t)

dt

]t=0

=ε

L[di(t)

dt

]t=0

=1

R

[dε

dt+

A

τLe−t/τL

]t=0

ε

L=

A

RτL

A =εRτL

L=εR

L

L

R= ε

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L

Aumento da corrente em um circuito R-L

0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)

dtu(t) = ε− Ri(t)

di(t)

dt= −

1

R

du(t)

dt

0 = u(t) +L

R

du(t)

dtdu(t)

u(t)= −

R

Ldt∫

du(t)

u(t)= −

∫R

Ldt

ln[u(t)] = −R

Lt + A1 ; τL =

L

Ru(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t)

i(t) =1

R(ε− Ae−t/τL )

I Em t = 0[di(t)dt

]t=06= 0 e i(0) = 0,

[di(t)

dt

]t=0

=ε

L[di(t)

dt

]t=0

=1

R

[dε

dt+

A

τLe−t/τL

]t=0

ε

L=

A

RτL

A =εRτL

L=εR

L

L

R= ε

i(t) =ε

R(1− e−t/τL )

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L

Aumento da corrente em um circuito R-L

I Em t = 0[di(t)dt

]t=06= 0 e i(0) = 0,

[di(t)

dt

]t=0

=ε

L[di(t)

dt

]t=0

=1

R

[dε

dt+

A

τLe−t/τL

]t=0

ε

L=

A

RτL

A =εRτL

L=εR

L

L

R= ε

i(t) =ε

R(1− e−t/τL )

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L

Diminuicao da corrente em um circuito R-L

I Considere o circuito R-L.

I Se S1 esta muito tempo fechada I (∞) = εR

.

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L

Diminuicao da corrente em um circuito R-L I Considere o circuito R-L.

I Se S1 esta muito tempo fechada I (∞) = εR

.

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L

Diminuicao da corrente em um circuito R-L

I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no

novo tempo t = 0 temos,

I Considere o circuito R-L.

I Se S1 esta muito tempo fechada I (∞) = εR

.

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L

Diminuicao da corrente em um circuito R-L

I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no

novo tempo t = 0 temos,

0 = −Ri(t)− Ldi(t)

dt

I Considere o circuito R-L.

I Se S1 esta muito tempo fechada I (∞) = εR

.

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L

Diminuicao da corrente em um circuito R-L

I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no

novo tempo t = 0 temos,

0 = −Ri(t)− Ldi(t)

dtdi(t)

dt= −

R

Li(t)

I Considere o circuito R-L.

I Se S1 esta muito tempo fechada I (∞) = εR

.

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L

Diminuicao da corrente em um circuito R-L

I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no

novo tempo t = 0 temos,

0 = −Ri(t)− Ldi(t)

dtdi(t)

dt= −

R

Li(t)∫

di(t)

i(t)= −

∫R

Ldt

I Considere o circuito R-L.

I Se S1 esta muito tempo fechada I (∞) = εR

.

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L

Diminuicao da corrente em um circuito R-L

I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no

novo tempo t = 0 temos,

0 = −Ri(t)− Ldi(t)

dtdi(t)

dt= −

R

Li(t)∫

di(t)

i(t)= −

∫R

Ldt

ln[i(t)] = −R

Lt + A1 ; τL =

L

R

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L

Diminuicao da corrente em um circuito R-L

I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no

novo tempo t = 0 temos,

0 = −Ri(t)− Ldi(t)

dtdi(t)

dt= −

R

Li(t)∫

di(t)

i(t)= −

∫R

Ldt

ln[i(t)] = −R

Lt + A1 ; τL =

L

Ri(t) = A exp[−t/τL]

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L

Diminuicao da corrente em um circuito R-L

I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no

novo tempo t = 0 temos,

0 = −Ri(t)− Ldi(t)

dtdi(t)

dt= −

R

Li(t)∫

di(t)

i(t)= −

∫R

Ldt

ln[i(t)] = −R

Lt + A1 ; τL =

L

Ri(t) = A exp[−t/τL]

i(∞) = i0 =ε

R= A

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L

Diminuicao da corrente em um circuito R-L

I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no

novo tempo t = 0 temos,

0 = −Ri(t)− Ldi(t)

dtdi(t)

dt= −

R

Li(t)∫

di(t)

i(t)= −

∫R

Ldt

ln[i(t)] = −R

Lt + A1 ; τL =

L

Ri(t) = A exp[−t/τL]

i(∞) = i0 =ε

R= A

i(t) = i0 exp[−t/τL]

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L

Diminuicao da corrente em um circuito R-L

I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no

novo tempo t = 0 temos,

0 = −Ri(t)− Ldi(t)

dtdi(t)

dt= −

R

Li(t)∫

di(t)

i(t)= −

∫R

Ldt

ln[i(t)] = −R

Lt + A1 ; τL =

L

Ri(t) = A exp[−t/τL]

i(∞) = i0 =ε

R= A

i(t) = i0 exp[−t/τL]

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito L-C

O Circuito L-C

I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito L-C

O Circuito L-C

I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,

0 = −q(t)

C− L

di(t)

dt

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito L-C

O Circuito L-C

I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,

0 = −q(t)

C− L

di(t)

dt

i(t) =dq(t)

dt

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito L-C

O Circuito L-C

I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,

0 = −q(t)

C− L

di(t)

dt

i(t) =dq(t)

dt

d2q(t)

dt2= −

1

LCq(t) = −ω2

0q(t)

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito L-C

O Circuito L-C

I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,

0 = −q(t)

C− L

di(t)

dt

i(t) =dq(t)

dt

d2q(t)

dt2= −

1

LCq(t) = −ω2

0q(t)

q(t) = qeλt ; q = Ae iφ

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito L-C

O Circuito L-C

I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,

0 = −q(t)

C− L

di(t)

dt

i(t) =dq(t)

dt

d2q(t)

dt2= −

1

LCq(t) = −ω2

0q(t)

q(t) = qeλt ; q = Ae iφ

dq(t)

dt= λqeλt

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito L-C

O Circuito L-C

I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,

0 = −q(t)

C− L

di(t)

dt

i(t) =dq(t)

dt

d2q(t)

dt2= −

1

LCq(t) = −ω2

0q(t)

q(t) = qeλt ; q = Ae iφ

dq(t)

dt= λqeλt

d2q(t)

dt2= λ2qeλt = λ2q(t)

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito L-C

O Circuito L-C

I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,

0 = −q(t)

C− L

di(t)

dt

i(t) =dq(t)

dt

d2q(t)

dt2= −

1

LCq(t) = −ω2

0q(t)

q(t) = qeλt ; q = Ae iφ

dq(t)

dt= λqeλt

d2q(t)

dt2= λ2qeλt = λ2q(t)

λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 =

1√LC

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito L-C

O Circuito L-C

I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,

0 = −q(t)

C− L

di(t)

dt

i(t) =dq(t)

dt

d2q(t)

dt2= −

1

LCq(t) = −ω2

0q(t)

q(t) = qeλt ; q = Ae iφ

dq(t)

dt= λqeλt

d2q(t)

dt2= λ2qeλt = λ2q(t)

λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 =

1√LC

q(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito L-C

O Circuito L-C

I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,

0 = −q(t)

C− L

di(t)

dt

i(t) =dq(t)

dt

d2q(t)

dt2= −

1

LCq(t) = −ω2

0q(t)

q(t) = qeλt ; q = Ae iφ

dq(t)

dt= λqeλt

d2q(t)

dt2= λ2qeλt = λ2q(t)

λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 =

1√LC

q(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)

i(t) =dq(t)

dt= Aiω0e

i(ω0t+φ)

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito L-C

O Circuito L-C

I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,

0 = −q(t)

C− L

di(t)

dt

i(t) =dq(t)

dt

d2q(t)

dt2= −

1

LCq(t) = −ω2

0q(t)

q(t) = qeλt ; q = Ae iφ

dq(t)

dt= λqeλt

d2q(t)

dt2= λ2qeλt = λ2q(t)

λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 =

1√LC

q(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)

i(t) =dq(t)

dt= Aiω0e

i(ω0t+φ)

e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito L-C

O Circuito L-C

I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,

0 = −q(t)

C− L

di(t)

dt

i(t) =dq(t)

dt

d2q(t)

dt2= −

1

LCq(t) = −ω2

0q(t)

q(t) = qeλt ; q = Ae iφ

dq(t)

dt= λqeλt

d2q(t)

dt2= λ2qeλt = λ2q(t)

λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 =

1√LC

q(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)

i(t) =dq(t)

dt= Aiω0e

i(ω0t+φ)

e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)

q(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)]

i(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)]

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito L-C

O Circuito L-C

I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,

0 = −q(t)

C− L

di(t)

dt

i(t) =dq(t)

dt

d2q(t)

dt2= −

1

LCq(t) = −ω2

0q(t)

q(t) = qeλt ; q = Ae iφ

dq(t)

dt= λqeλt

d2q(t)

dt2= λ2qeλt = λ2q(t)

λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 =

1√LC

q(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)

i(t) =dq(t)

dt= Aiω0e

i(ω0t+φ)

e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)

q(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)]

i(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)]

q(t) = Re[q(t)] = A cos(ω0t + φ)

i(t) = Re[i(t)] = −Aω0 sin(ω0t + φ)

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito L-C

O Circuito L-C

I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,

0 = −q(t)

C− L

di(t)

dt

i(t) =dq(t)

dt

d2q(t)

dt2= −

1

LCq(t) = −ω2

0q(t)

q(t) = qeλt ; q = Ae iφ

dq(t)

dt= λqeλt

d2q(t)

dt2= λ2qeλt = λ2q(t)

λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 =

1√LC

q(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)

i(t) =dq(t)

dt= Aiω0e

i(ω0t+φ)

e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)

q(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)]

i(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)]

q(t) = Re[q(t)] = A cos(ω0t + φ)

i(t) = Re[i(t)] = −Aω0 sin(ω0t + φ)

q(t = 0) = q0 = A cos(φ)

i(t = 0) = i0 = −Aω0 sin(φ)

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito L-C

O Circuito L-C

I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,

0 = −q(t)

C− L

di(t)

dt

i(t) =dq(t)

dt

d2q(t)

dt2= −

1

LCq(t) = −ω2

0q(t)

q(t) = qeλt ; q = Ae iφ

dq(t)

dt= λqeλt

d2q(t)

dt2= λ2qeλt = λ2q(t)

λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 =

1√LC

q(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)

i(t) =dq(t)

dt= Aiω0e

i(ω0t+φ)

e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)

q(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)]

i(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)]

q(t) = Re[q(t)] = A cos(ω0t + φ)

i(t) = Re[i(t)] = −Aω0 sin(ω0t + φ)

q(t = 0) = q0 = A cos(φ)

i(t = 0) = i0 = −Aω0 sin(φ)

A =√

q20 + (i0/ω0)2

φ = arctan

[−

i0

q0ω0

]

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L-C em serie

O Circuito R-L-C em serie

I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,

I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L-C em serie

O Circuito R-L-C em serie

I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,

I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,

0 = −Ldi(t)

dt− Ri(t)−

q(t)

C

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L-C em serie

O Circuito R-L-C em serie

I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,

I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,

0 = −Ldi(t)

dt− Ri(t)−

q(t)

C

0 =d2q(t)

dt2+

R

L

dq(t)

dt+

1

LCq(t)

0 =d2q(t)

dt2+ 2γ

dq(t)

dt+ ω2

0q(t)

ω0 =1√LC

; γ =R

2L

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L-C em serie

O Circuito R-L-C em serie

I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,

I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,

0 = −Ldi(t)

dt− Ri(t)−

q(t)

C

0 =d2q(t)

dt2+

R

L

dq(t)

dt+

1

LCq(t)

0 =d2q(t)

dt2+ 2γ

dq(t)

dt+ ω2

0q(t)

ω0 =1√LC

; γ =R

2L

q(t) = qeλt ; q = Ae iφ

dq(t)

dt= λqeλt

d2q(t)

dt2= λ2qeλt = λ2q(t)

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L-C em serie

O Circuito R-L-C em serie

I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,

I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,

0 = −Ldi(t)

dt− Ri(t)−

q(t)

C

0 =d2q(t)

dt2+

R

L

dq(t)

dt+

1

LCq(t)

0 =d2q(t)

dt2+ 2γ

dq(t)

dt+ ω2

0q(t)

ω0 =1√LC

; γ =R

2L

q(t) = qeλt ; q = Ae iφ

dq(t)

dt= λqeλt

d2q(t)

dt2= λ2qeλt = λ2q(t)

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L-C em serie

O Circuito R-L-C em serie

I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,

I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,

0 = −Ldi(t)

dt− Ri(t)−

q(t)

C

0 =d2q(t)

dt2+

R

L

dq(t)

dt+

1

LCq(t)

0 =d2q(t)

dt2+ 2γ

dq(t)

dt+ ω2

0q(t)

ω0 =1√LC

; γ =R

2L

q(t) = qeλt ; q = Ae iφ

dq(t)

dt= λqeλt

d2q(t)

dt2= λ2qeλt = λ2q(t)

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L-C em serie

O Circuito R-L-C em serie

I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,

I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,

0 = −Ldi(t)

dt− Ri(t)−

q(t)

C

0 =d2q(t)

dt2+

R

L

dq(t)

dt+

1

LCq(t)

0 =d2q(t)

dt2+ 2γ

dq(t)

dt+ ω2

0q(t)

ω0 =1√LC

; γ =R

2L

q(t) = qeλt ; q = Ae iφ

dq(t)

dt= λqeλt

d2q(t)

dt2= λ2qeλt = λ2q(t)

0 = λ2 + 2γλ+ ω20

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L-C em serie

O Circuito R-L-C em serie

I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,

I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,

0 = −Ldi(t)

dt− Ri(t)−

q(t)

C

0 =d2q(t)

dt2+

R

L

dq(t)

dt+

1

LCq(t)

0 =d2q(t)

dt2+ 2γ

dq(t)

dt+ ω2

0q(t)

ω0 =1√LC

; γ =R

2L

q(t) = qeλt ; q = Ae iφ

dq(t)

dt= λqeλt

d2q(t)

dt2= λ2qeλt = λ2q(t)

0 = λ2 + 2γλ+ ω20

λ = −γ ±√γ2 − ω2

0 = −γ ± ω2

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L-C em serie

O Circuito R-L-C em serie

I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,

I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,

0 = −Ldi(t)

dt− Ri(t)−

q(t)

C

0 =d2q(t)

dt2+

R

L

dq(t)

dt+

1

LCq(t)

0 =d2q(t)

dt2+ 2γ

dq(t)

dt+ ω2

0q(t)

ω0 =1√LC

; γ =R

2L

q(t) = qeλt ; q = Ae iφ

dq(t)

dt= λqeλt

d2q(t)

dt2= λ2qeλt = λ2q(t)

0 = λ2 + 2γλ+ ω20

λ = −γ ±√γ2 − ω2

0 = −γ ± ω2

ω1 =√ω2

0 − γ2

1. Se ω0 = γ, λ = −γ (amortecimento-crıtico),

2. Se ω0 > γ, λ = −γ ± iω1 (subamortecido),

3. Se ω0 < γ, λ = −γ ± ω2 (superamortecido).

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L-C em serie

O Circuito R-L-C em serie

I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,

I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,

0 = −Ldi(t)

dt− Ri(t)−

q(t)

C

0 =d2q(t)

dt2+

R

L

dq(t)

dt+

1

LCq(t)

0 =d2q(t)

dt2+ 2γ

dq(t)

dt+ ω2

0q(t)

ω0 =1√LC

; γ =R

2L

q(t) = qeλt ; q = Ae iφ

dq(t)

dt= λqeλt

d2q(t)

dt2= λ2qeλt = λ2q(t)

0 = λ2 + 2γλ+ ω20

λ = −γ ±√γ2 − ω2

0 = −γ ± ω2

ω1 =√ω2

0 − γ2

1. Se ω0 = γ, λ = −γ (amortecimento-crıtico),

2. Se ω0 > γ, λ = −γ ± iω1 (subamortecido),

3. Se ω0 < γ, λ = −γ ± ω2 (superamortecido).

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L-C em serie

O Circuito R-L-C em serie

I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,

I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,

0 = −Ldi(t)

dt− Ri(t)−

q(t)

C

0 =d2q(t)

dt2+

R

L

dq(t)

dt+

1

LCq(t)

0 =d2q(t)

dt2+ 2γ

dq(t)

dt+ ω2

0q(t)

ω0 =1√LC

; γ =R

2L

q(t) = qeλt ; q = Ae iφ

dq(t)

dt= λqeλt

d2q(t)

dt2= λ2qeλt = λ2q(t)

0 = λ2 + 2γλ+ ω20

λ = −γ ±√γ2 − ω2

0 = −γ ± ω2

ω1 =√ω2

0 − γ2

1. Se ω0 = γ, λ = −γ (amortecimento-crıtico),

2. Se ω0 > γ, λ = −γ ± iω1 (subamortecido),

3. Se ω0 < γ, λ = −γ ± ω2 (superamortecido).

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L-C em serie

O Circuito R-L-C em serie

I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,

I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,

0 = −Ldi(t)

dt− Ri(t)−

q(t)

C

0 =d2q(t)

dt2+

R

L

dq(t)

dt+

1

LCq(t)

0 =d2q(t)

dt2+ 2γ

dq(t)

dt+ ω2

0q(t)

ω0 =1√LC

; γ =R

2L

q(t) = qeλt ; q = Ae iφ

dq(t)

dt= λqeλt

d2q(t)

dt2= λ2qeλt = λ2q(t)

0 = λ2 + 2γλ+ ω20

λ = −γ ±√γ2 − ω2

0 = −γ ± ω2

ω1 =√ω2

0 − γ2

1. Se ω0 = γ, λ = −γ (amortecimento-crıtico),

2. Se ω0 > γ, λ = −γ ± iω1 (subamortecido),

3. Se ω0 < γ, λ = −γ ± ω2 (superamortecido).

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L-C em serie

O Circuito R-L-C em serie

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L-C em serie

O Circuito R-L-C em serie

q(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)

i(t) =dq(t)

dt= Aiω0e

i(ω0t+φ)

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L-C em serie

O Circuito R-L-C em serie

q(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)

i(t) =dq(t)

dt= Aiω0e

i(ω0t+φ)

e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L-C em serie

O Circuito R-L-C em serie

q(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)

i(t) =dq(t)

dt= Aiω0e

i(ω0t+φ)

e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)

q(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)]

i(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)]

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L-C em serie

O Circuito R-L-C em serie

q(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)

i(t) =dq(t)

dt= Aiω0e

i(ω0t+φ)

e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)

q(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)]

i(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)]

q(t) = Re[q(t)] = A cos(ω0t + φ)

i(t) = Re[i(t)] = −Aω0 sin(ω0t + φ)

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L-C em serie

O Circuito R-L-C em serie

q(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)

i(t) =dq(t)

dt= Aiω0e

i(ω0t+φ)

e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)

q(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)]

i(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)]

q(t) = Re[q(t)] = A cos(ω0t + φ)

i(t) = Re[i(t)] = −Aω0 sin(ω0t + φ)

q(t = 0) = q0 = A cos(φ)

i(t = 0) = i0 = −Aω0 sin(φ)

Capıtulo 30 - Indutancia

O Circuito R-L-C em serie

O Circuito R-L-C em serie

q(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)

i(t) =dq(t)

dt= Aiω0e

i(ω0t+φ)

e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)

q(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)]

i(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)]

q(t) = Re[q(t)] = A cos(ω0t + φ)

i(t) = Re[i(t)] = −Aω0 sin(ω0t + φ)

q(t = 0) = q0 = A cos(φ)

i(t = 0) = i0 = −Aω0 sin(φ)

A =√

q20 + (i0/ω0)2

φ = arctan

[−

i0

q0ω0

]