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Rodolfo Saboia Lima de Souza
Controle de Potência em Sistemas de Comunicações Móveis Celulares
Tese de Doutorado
Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Doutor pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da PUC-Rio.
Orientador: Marco Antônio Grivet Mattoso Maia
Rio de Janeiro
28 de abril de 2003
Rodolfo Saboia Lima de Souza
Controle de Potência em Sistemas de Comunicações Móveis Celulares
Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Doutor pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.
Marco Antônio Grivet Mattoso Maia Orientador
PUC-Rio
Marco Antônio Grivet Mattoso Maia PUC-Rio
Luiz Alencar Reis da Silva Mello PUC-Rio
Oscar Porto PUC-Rio
Ernesto Leite Pinto IME
Erasmus Couto Brazil de Miranda UCP
Ney Augusto Dumont Coordenador(a) Setorial do Centro Técnico Científico - PUC-Rio
Rio de Janeiro, 28 de abril de 2003
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador.
Rodolfo Saboia Lima de Souza O autor é graduado e mestre em engenharia de telecomunicações pela PUC-RIO. Trabalha na mesma instituição como engenheiro de pesquisa, onde realiza trabalhos nas áreas de propagação radioelétrica e redes de comunicações.
Ficha Catalográfica
Souza, Rodolfo Saboia Lima de
Controle de potência em sistemas de
comunicações móveis celulares / Rodolfo Saboia Lima de
Souza; orientador: Marco Antônio Grivet Mattoso Maia. –
Rio de Janeiro : PUC, Departamento de Engenharia
Elétrica, 2003.
104 f. : il. ; 30 cm
Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universidade
Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia
Elétrica.
Inclui referências bibliográficas.
1. Engenharia Elétrica – Teses. 2. Controle de potência. 3. Alocações de recursos. 4. Comunicações móveis. 5. Sistemas celulares. I. Maia, Marco Antônio Grivet Mattoso. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Elétrica. III. Título.
CDD: 621.3
A Inácio de Loyola, peregrino e pedagogo.
Agradecimentos
A minha esposa e filhas, pela paciência e compreensão;
A meus amigos por rezarem por mim;
A meus colegas de trabalho pela ajuda;
Ao PUC-Rio por me permitir enquanto funcionário fazer doutorado;
A Axioma Optmization por emprestar o programa de otimização;
Ao prof. Marco Grivet meu orientador pela enorme participação no trabalho.
Resumo
Souza, Rodolfo Saboia Lima. Controle de Potência em Sistemas de Comunicações Móveis Celulares. Rio de Janeiro, 2003. xxxp. Tese de Doutorado - Departamento de Engenharia Elétrica, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Este trabalho examina várias técnicas de alocação de canais, e alocação de
potência, baseados no parâmetro relação sinal ruído interferência. Os esquemas de
controle de potência que utilizam este parâmetro, são resolvidos a partir da
determinação do raio espectral de uma matriz obtida a partir da manipulação da
matriz de ganhos de enlace. Foi provado que é possível resolver esta matriz por
outro método baseado em determinantes, e também foi mostrado que este método
permite se obter rapidamente uma alocação de canais factível. Além disso, várias
técnicas de otimização da alocação de potência foram estudadas, ampliando a
abordagem para uma visão completa do problema de alocação de potência.
Palavras-chave
Controle de potência; alocações de recursos; comunicações móveis;
sistemas celulares
Abstract
Souza, Rodolfo Saboia Lima. Power Control for Mobile Cellular Communications Systems. Rio de Janeiro, 2003. 104p. Doctorade Thesis – Electrical Engineer Department, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
This work presents and analyze many techniques for channel and power
allocation, using the parameter of signal to noise interference. The power control
techniques witch use these parameter are solved from the determination of
spectral radius of the matrix derived by the manipulation of the original link gain
matrix. It was proved that is possible to solve this matrix using a determinant
based method, and was showed that this is faster then the conventional
methodology to obtain a feasible channel allocation. Furthermore, many
optimization techniques were compared, to get a broaden vision of the power
allocation problem.
Keywords
Power control; resources allocation; channel allocation; mobile cellular
systems.
Sumário
1 Introdução 11
2 Sistemas de Rádio 15
2.1. Comunicações de dados 15
2.2. Gerenciamento de recursos de rádio 18
2.2.1. Controle de Potência 19
2.2.2. Controle de taxa de transmissão 20
2.2.3. Controle de admissão 21
2.2.4. Controle de Congestionamento 21
2.2.5. Agendamento da Transmissão 22
2.2.6. Controle unificado 23
2.3. Acesso Múltiplo 24
2.4. Paradigmas de sistemas de comunicação 26
2.5. Trabalhos anteriores 30
3 Elementos de modelagem para o problema de controle de potência 34
4 Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 41
4.1. O Problema da Viabilidade de Compartilhamento de Canais 42
4.1.1. Demonstração do Teorema 2 47
4.2. O Problema da Determinação dos Subconjuntos f-viáveis 50
4.3. O problema da limitação de potência 55
4.4. Problemas Baseados em Seleção de Subconjuntos Viáveis 57
4.4.1. O Problema do Número Mínimo de Canais 59
4.4.2 O Problema de Mínima Potência Máxima 59
4.5. Uma Heurística Para Determinação do Número Mínimo de Canais 62
4.6. O Problema de Mínima Interferência Revisitado 66
4.6.1 O Caso da 1-Adjacência 69
4.6.2 O Caso da 2-Adjacência 70
4.7. Metáforas Evolucionais para o Problema de Mínima Interferência 72
5 Resultados numéricos 76
5.1. Cenário 77
5.2. Determinação dos conjuntos de enlaces viáveis 79
5.3. Minimização do número de canais, ou da máxima potência 84
5.4. Heurística para determinação do número de canais 87
6 Conclusão 91
6.1. Sumário 91
6.2. Discussão 92
6.3. Sugestões para trabalhos futuros 93
Glossário 94
Referências Bibliográficas 95
Lista de figuras
Figura 2-1 – Gerência de recursos de transmissão 23
Figura 4-1 – Região de solução f-viável 43
Figura 4-2 – Comparação de esforços computacionais 55
Figura 4-3 – Min-max de dimensão 2 60
Figura 4-4 – Verificação de e-viabilidade em dimensão 2 64
Figura 5-1 – Posicionamento de transmissores e receptores no cenário 79
Figura 5-2 – Espalhamento de potência dos conjuntos f-viáveis 83
Figura 5-3 – Efeito do relaxamento da condição de número de canais 86
Figura 5-4 – Efeito do relaxamento da condição de número de canais 2 87
Figura 5-5 – Comparação do algoritmo sub-ótimo com o resultado da otimização
90
Lista de tabelas
Tabela 1 Classes de serviço em redes UMTS 16
Tabela 2 – Requisitos de QoS para as classes de serviço 17
Tabela 3 – Tabela de esforço computacional 54
Tabela 4- Parâmetros de configuração de cenário 78
Tabela 6 – Variação do número de conjuntos e-viáveis com variação da semente
81
Tabela 7 – Variação do número de conjuntos e-viáveis com a SINR 82
Tabela 8 - Variação do número de conjuntos e-viáveis com a potência de ruído 83
Tabela 9 – Efeito do relaxamento da condição de número de canais 86
Tabela 10 - Efeito do relaxamento da condição de número de canais caso 2 87
1 Introdução
A idéia de transmitir energia, e informação, sem a utilização de fios remonta
ao final do século 19. Maxwell desenvolveu a teoria eletromagnética em 1850,
mas só em 1888 Heinrich Hertz conseguiu demonstrar que um transmissor de 600
MHz podia gerar uma centelha num receptor próximo, iniciando assim a era do
rádio. Na virada do século 20 Marconi finalmente conseguiu fazer um dispositivo
de rádio comercial. Nos anos seguintes houve um enorme desenvolvimento na
área de rádio comunicações, com o advento do telégrafo sem fio, a rádio-difusão,
televisão, troncos de microondas para telefonia a longa distância, comunicações
por satélite. Na última década o mercado de telecomunicações foi dominado pelo
surgimento da telefonia móvel celular, e nas comunicações fixas a Internet. É
esperado que num futuro próximo, ocorra o casamento dos dois sistemas surgindo
a Internet móvel. Para isso outros modelos de topologia de rede como o MANET
(mobile AD HOC networks) irão se tornar comuns. Existe ainda a previsão que
grande parte das comunicações ocorrerão entre máquinas, dispensando a atenção
de usuários humanos.[119]
Os problemas de engenharia envolvendo comunicações de rádio são
extremamente críticos: o meio de comunicação é limitado em capacidade; a perda
de propagação é usualmente grande, incluindo aí problemas de multipercurso,
sombreamento e desvanecimento; por fim o canal é suscetível a várias fontes de
interferência de origem tanto internas aos sistemas, como externas e
completamente fora de controle de qualquer agente.
Para os sistemas de rádio modernos o espectro de radiofrequência é um bem
extremamente escasso, portanto é desejável maximizar a capacidade de
Introdução 12
informação transmitida. Assim, os canais de rádio ortogonais1 são utilizados de
maneira intensa, fazendo que esses sistemas sejam limitados pela interferência
cocanal2 de transmissores de rádio do próprio sistema, ou de sistemas
concorrentes na mesma faixa. Como exemplo do caso de interferência intra-
sistema, na telefonia móvel celular células razoavelmente próximas compartilham
os mesmos canais de rádio, e mesmo com o criterioso planejamento para
intercalar células utilizando canais distintos, alguma interferência ocorre. Na
interferência entre sistemas o caso que hoje está mais preocupando os engenheiros
é o compartilhamento da faixa livre de 2.4 GHz por vários sistemas como
IEEE802.11B, Bluetooth e outros.
O tremendo sucesso e crescimento das comunicações pessoais implicam
num cuidadoso gerenciamento dos recursos de rádio. Devido à escassez de
espectro disponível, alguma forma de compartilhamento de recursos tem que ser
desenvolvida. Como a demanda para serviços de voz está crescendo, e está
surgindo uma demanda nova para serviços de dados, deve haver um aumento
considerável na necessidade de banda de transmissão em um futuro próximo. Isto
vai requerer o desenvolvimento de técnicas de gerenciamento de recursos eficazes
com base nos novos paradigmas de comunicações. Na prática todos os métodos de
compartilhamento introduzem algum nível de interferência, prejudicando a
capacidade de comunicação. A técnica chave para combater e reduzir a
interferência desnecessária é a de controle de potência. Ajustando a potência
transmitida, um melhor balanço entre o sinal desejado e a interferência pode ser
obtido no receptor. Como conseqüência a capacidade do sistema pode crescer,
permitindo acomodar um maior tráfego de informação entre os usuários, enquanto
se reduz o consumo de energia no transmissor.
1 Canais ortogonais são aqueles entre os quais não ocorre interferência (ou pelo menos nos
quais a interferência é bastante minimizada). Podem ser obtidas com transmissões em faixas de
freqüência diferentes, ou em instantes de tempo disjuntos. 2 Interferência causada por outro transmissor de rádio utilizando o mesmo canal de
comunicação.
Introdução 13
Como a comunicação de dados requer especificações diferentes e variadas
de qualidade de serviço (“QoS”), quando comparada à comunicação de voz
tradicional nos sistemas telefônicos celulares, que exige um fluxo constante de
bits (mesmo que a uma taxa baixa se comparada com as usadas atualmente em
comunicações de dados), torna-se possível uma maior liberdade na alocação de
recursos de comunicação. Em compensação o preço a pagar por esta maior
liberdade é o aumento do nível de complexidade dos sistemas propostos.
O grande problema das comunicações de rádio no futuro se resumirá a uma
palavra: ESPECTRO. A quantidade de bits por segundo que podem ser trafegados
em uma determinada banda de rádio não deve crescer muito, já que a tecnologia
atual permite um aproveitamento de espectro bem próximo aos limites teóricos da
teoria de comunicação digital de Shannon. Portanto, um uso mais parcimonioso
desse espectro se faz necessário para “superar” as limitações da comunicação
digital. Como o uso do espectro é dividido dentro de uma área (a região em que a
interferência mútua entre dispositivos rádio não é desprezível), aproveitar espectro
de uma área que tenha alguma “folga”, e realocá-lo onde ocorre saturação é o
último meio de ganhar alguma margem a mais nos já saturados canais de
comunicação por rádio.
Este trabalho versa sobre alocação de canais e nível de potência em sistemas
de comunicação por rádio. O método abordado visa a solução de problemas
através do controle da relação sinal ruído interferência (“SINR”), que está
associada diretamente a vários parâmetros de qualidade (“QoS”) que serão
requeridos pelos usuários dos sistemas vindouros. A “SINR” também é um
parâmetro fácil de se medir nas unidades móveis. Esta técnica de controle de
potência é clássica e já foi estudada em vários trabalhos como [119].
A contribuição deste trabalho são novas técnicas de solução do problema de
alocação de maneira mais rápida, e sua comparação com as soluções ótimas. Entre
estas técnicas destaca-se a utilização de determinantes ao invés de raio espectral
para verificar se uma partição de enlaces em canais ortogonais com determinadas
potências é viável.
Introdução 14
No capítulo dois será apresentado uma introdução do modelo de ambiente
que será base do trabalho objetivando a padronização de algumas idéias que serão
discutidas nos outros capítulos. No capítulo três é apresentada a formulação
básica, e comum na literatura, para o tratamento do problema proposto. No
capítulo quatro estão concentradas todas às formulações e resultados teóricos
desenvolvidas nesta tese. No capítulo 5 estão os resultados numéricos de algumas
das proposições teóricas, ilustrando a aplicabilidade dos resultados do capítulo 4.
Por fim, no capítulo seis, estão expostas as conclusões do trabalho.
2 Sistemas de Rádio
Para caracterizar o problema a ser estudado é necessária uma pequena
apresentação do ambiente de comunicações móveis. A maior motivação do
trabalho são os novos sistemas de comunicações móveis que estão surgindo. Estes
requerem novos paradigmas que transcendem os métodos usuais em telefonia
móvel celular, que não mais resolvem os problemas mais complexos oriundos da
evolução tecnológica.
Os novos desafios tecnológicos advêm de várias evoluções nas
comunicações móveis como os novos tipos de tráfego em redes de
telecomunicações, especificamente tráfego de pacotes multimídia de aplicações
distintas (voz, imagem, som, dados, e etc...) e com requisitos de “QoS” diferentes.
A outra variante determinante é uma série de topologias diferentes, além da
tradicional topologia de telefonia móvel celular, desenvolvidas para permitir que
dispositivos móveis estejam conectados entre si e também a rede global
ubiquamente. A modelagem apresentada mostra que existe uma topologia básica
onde podem ser estudados as gerências e controles, especificadas abaixo, e que
poderão a vir ser utilizada nos sistemas móveis de qualquer espécie.
2.1. Comunicações de dados
Buscando o aumento do consumo nos sistemas de comunicações móveis,
novas opções ou serviços melhores a um menor custo precisam ser oferecidos ao
mercado. Multimídia, que nada mais é que transmissão simultânea de vários tipos
de informações diferentes (voz, Internet, vídeo, áudio), é à base desses novos
serviços que estão sendo ou serão disponibilizados. Tipicamente um usuário
poderá estar interessado em se comunicar através de uma chamada interativa de
Sistemas de Rádio 16
vídeo (videofone) ou voz (telefone) e isto requer que as entidades de informação
(normalmente denominadas pacotes devido à nomenclatura da rede IP) tenham
uma taxa de chegada aproximadamente constante. Já em sistemas que não
necessitam interação em tempo real, tipo e-mail ou transferência de arquivos, os
usuários poderão receber banda à medida que esta esteja disponível, que é o
conhecido critério de qualidade “best effort” predominante na Internet. Imagens e
músicas, que podem ser caracterizadas como um tipo de transferência de arquivos,
têm requisitos bem diferentes quando comparados a modos conversacionais,
permitindo maiores atrasos desde que mantenha uma certa uniformidade, e sendo
possível contar com retransmissões. Considerando que diferentes tipos de serviço
geram tráfegos com diferentes taxas de pacotes, e possuem diferentes requisitos
de qualidade, o controle da rede necessita considerar e tirar proveito das
propriedades de tráfego para maximizar a eficiência espectral.
Um recente exemplo é o padrão “universal mobile telecommunications
systems (UMTS)”, onde foi especificada uma arquitetura de camadas para o
“QoS”. A estrutura de suporte ao “QoS” é baseada em serviços contratados, que
compostos formam o serviço completo a um usuário. Para cada serviço
contratado, são definidos atributos de “QoS”, que descrevem requisitos de taxa de
bits, atrasos e prioridades dentre outros. Para a classificação dos serviços, o
tráfego é dividido em classes: tempo real conversacional, tempo real “streaming”,
“best effort” interativo e “best effort background”.[31]
Classe de
Serviço
Aplicações típicas Características do serviço
Conversação
tempo real
Voz, vídeo conferência Preserva relação temporal entre pacotes,
atraso de pacotes muito baixo.
“Streaming”
tempo real
Áudio/Vídeo “streams” Preserva relação temporal entre pacotes
“Best Effort”
interativo
Navegação na Web Padrões de requisição e resposta. Baixa taxa
de erro
“Best Effort”
background
Transferência de arquivo,
correio eletrônico
O atraso não é crítico, baixa taxa de erro
Tabela 1 Classes de serviço em redes UMTS
Sistemas de Rádio 17
Classe de
tráfego
Conversacional Streaming Interativo Background
Taxa máxima
(kbps)
< 2000 < 2000 < 2000 < 2000
SDU máximo
(byte)
<1500 <1500 < 1500 < 1500
Taxa garantida <2000 <2000
Atraso de
transmissão
(ms)
80 - valor máximo
permitido
500 – valor
máximo
permitido
Prioridade 1,2,3 1,2,3 1,2,3 1,2,3
Taxa de erro
residual
5*10-2, 10-2, 10-3,
10-6
5*10-2, 10-2, 10-
3, 10-4,10-5, 10-6
4*10-3, 10-5,
6*10-8,
4*10-3, 10-5,
6*10-8,
Tabela 2 – Requisitos de QoS para as classes de serviço
Devido ao crescimento da Internet, existe a demanda de aplicações de alta
taxa de dados e serviços multimídia. Com isso a rede precisa prover diferentes
taxas de transmissão e requisitos de “QoS”, compartilhando a capacidade da
melhor maneira possível. Diferentemente dos serviços tradicionais de voz, onde a
métrica da qualidade de serviço incluem a probabilidade de bloqueio e a taxa de
interrupção de chamadas, outras métricas são necessárias para os serviços
multimídia. Capacidade máxima total, atraso e probabilidade de indisponibilidade
são comumente usadas. Claramente elas refletem a “velocidade” dos bits e
conseqüentemente estão naturalmente relacionadas à qualidade sentida pelo
usuário, porém além destas, existem outras métricas que se relacionam de forma
indireta ao usuário final. Por exemplo, a potência transmitida afeta vários fatores
importantes, incluindo o tempo de vida da bateria dos dispositivos móveis que é
extremamente crítica. Os dispositivos disponíveis hoje no mercado permitem 1
hora de conversação a uma taxa de aproximadamente 10 Kbps. Sendo o consumo
de energia nos dispositivos de rádio proporcional a taxa transmitida, então com a
mesma tecnologia os dispositivos poderiam funcionar aproximadamente 20
segundos a uma taxa de 2 Mbps. Para os futuros usuários da Internet móvel, a
bateria será percebida como uma “caixa preta” contendo uma limitada quantidade
Sistemas de Rádio 18
de bits, ao invés de ser uma fonte de energia que possibilite uma certa duração.
Assim o controle da rede tem que considerar um criterioso controle dos recursos
de energia, ao mesmo tempo em que tenta satisfazer os outros requisitos de QoS
em um ambiente rádio variante no tempo. O objetivo desse controle será
disponibilizar uma certa quantidade de bits, com uma certa qualidade, com o
mínimo de energia possível. Assim técnicas avançadas de alocação de potência
permitirão no sentido mencionado acima, que se “coloque” mais bits na bateria.
Comunicação de rádio eficiente no aspecto energético é um tópico que
aparece cada vez mais na literatura técnica. Questões que estão sendo estudadas
para as camadas baixas (de acordo com o modelo de rede ISO/OSI) incluem
gerenciamento dinâmico de potência, modulação e esquemas de controle de erro;
já nas camadas altas o objetivo é desenvolver esquemas de agendamento das
transmissões.
2.2. Gerenciamento de recursos de rádio
Quando um sistema de comunicações permite estabelecer seções com
diferentes requisitos de “QoS”, o controle dos recursos rádio se torna uma tarefa
complicada, até pelo amplo leque de possibilidades que se abre. No entanto é
possível identificar os recursos básicos que serão gerenciados. Alguns desses já
são gerenciados com sucesso nas redes atuais de telefonia móvel, como o controle
de admissão. Agora eles terão que ser estendidos para as redes de dados de
múltipla taxa e que incluem requisitos de “QoS” distintos. Além disso, dada a
tolerância de atraso em alguns serviços, o agendamento (“scheduling”) da
transmissão pode se tornar um método a ser incorporado no elenco de possíveis
soluções para este problema.
Sistemas de Rádio 19
2.2.1. Controle de Potência
Um recurso de controle que está altamente relacionado à capacidade da rede
é a potência transmitida. Por exemplo, usuários sensíveis a atrasos de mensagens e
com requisitos de taxa de erro baixa, podem ser acomodados pelo aumento da
potência transmitida, com o conseqüente aumento da relação sinal-ruído mais
interferência (“SINR”). Porém isto causa um aumento da interferência percebida
pelos outros usuários, que por conseqüência passam a experimentar um aumento
em suas taxas de erro. Controle de potência é uma área ativa de pesquisa, e muito
trabalho já foi desenvolvido para sistemas de taxa fixa. Porém com os sistemas
futuros de dados com taxa e requisitos de “QoS” variáveis, a complexidade da
alocação de taxa foi adicionada ao controle de potência, o que implica na
necessidade de estender os estudos.
Em sistemas reais, a taxa de transmissão efetiva é diretamente relacionada
com a “SINR”, e o controle de potência se mostra um agente eficiente para o seu
controle. Assim se torna natural investigar esquemas conjuntos de controle de
potência e taxa. A formulação clássica do problema de controle de potência é
determinar de forma rápida uma alocação que acomode o maior número de
usuários e que minimize a potência usada em cada transmissor. Já o problema de
transmissão com taxa variável, em aplicações onde os serviços possuam requisitos
distintos de qualidade, apesar de terem uma base comum com a dos serviços
tradicionais, implicam novas variantes que poderão ser adicionadas, destacando-se
dentre estas a possibilidade de agendamento “scheduling” dos pacotes a serem
transmitidos. Neste trabalho se estuda requisito de qualidade relacionado a
“SINR” e por conseqüência o controle de potência também baseado neste
parâmetro. Será visto que neste caso o problema pode ser resolvido por meio de
programação linear (real e inteira), onde em um instante arbitrário e a partir de
valores como ganho de enlace, ruído, requisitos de “SINR” e outros, existe apenas
uma única solução ótima. No problema de interesse um vasto número de
algoritmos (alguns de natureza heurística, outros de natureza sub-ótima) foi
desenvolvido, que permitem solucionar este problema sem ter que resolver o
Sistemas de Rádio 20
problema pleno de otimização. Estas heurísticas são centralizadas ou distribuídas,
mas neste trabalho só será analisada a primeira. Assim resolver o problema de
alocação de potência de transmissão para sistemas de taxa variável, é basicamente
resolver o problema da definição da taxa de transmissão requerida a cada unidade
de tempo para o usuário. Após a determinação da taxa, o problema de potência
pode ser resolvido por técnicas de programação linear como comentado acima. O
escopo desta tese é apresentar novos meios de resolver de forma moderadamente
rápida a alocação de potências em uma janela de tempo curta, na qual se assume
que os parâmetros de propagação podem ser considerados constantes.
2.2.2. Controle de taxa de transmissão
Os sistemas de comunicação que utilizam taxa variável, em períodos
definidos de tempo (preferencialmente curtos), precisam definir a taxa na qual a
comunicação entre usuários ocorrerá. Como as condições de propagação variam
rapidamente, e as de tráfego um pouco mais lentamente, isto implica que
frequentemente a taxa de transmissão necessita ser redefinida, mesmo durante o
andamento de uma seção de comunicação.
Conhecendo-se os detalhes da modulação utilizada no sistema rádio e a taxa
de erro máxima que a aplicação que está associada a uma seção de comunicação
suporta, é possível relacionar a taxa de transmissão possível com o parâmetro de
“SINR” no receptor rádio do enlace de comunicação. Esta informação, mais a
informação de tráfego, é que são utilizadas nos mecanismos que calculam a taxa
de transmissão que uma seção de comunicação deverá utilizar. As informações de
tráfego ajudam a evitar que uma fila de serviço para uma seção de comunicação
fica saturada, causando perda de pacotes por falta de espaço em “buffer”.
Sistemas de Rádio 21
2.2.3. Controle de admissão
O objetivo do controle de admissão é preservar a qualidade das conexões em
curso, enquanto novos usuários são admitidos. A alocação de taxa de transmissão
pode ser vista como um caso mais geral de controle de admissão, onde cada
enlace agora tem várias opções de SINR para escolher. Um tipo muito comum de
problema para sistemas de múltiplas taxas é maximizar o total de bits
transmitidos. Uma solução para esse problema é admitir toda conexão ao sistema
enquanto for possível manter a qualidade e a potência.
2.2.4. Controle de Congestionamento
Quando um sistema de comunicação fica altamente congestionado, ocorre
uma situação na qual um subgrupo de usuários não pode ser mantido com uma
taxa determinada. A maioria dos algoritmos de controle de potência reage a esta
situação incrementando a potência transmitida. O resultado é um subseqüente
aumento da interferência e a degradação do desempenho global. Uma possível
solução alternativa seria remover conexões, ou nos casos de sistema a taxa
variável diminuir a taxa transmitida de alguns enlaces (as redes IP convencionais
já fazem isso, basta notar que de vez em quando a Internet fica “lenta”). O
tratamento dessa questão é de crucial importância nos sistemas de terceira geração
e posteriores.
Assim como o controle de admissão, o controle de congestionamento
permite aumentar a capacidade total do sistema. Um problema de difícil solução
que leva em conta o problema econômico, é o da escolha do usuário a ter a taxa de
transmissão reduzida. Isto porque usuários de perfis distintos podem estar
remunerando a operadora de diferentes maneiras, por exemplo nos sistemas
telefônicos celulares os usuários pré-pagos geram normalmente menos receita que
os usuários pós-pagos. Outra importante questão é a capacidade de detectar
Sistemas de Rádio 22
rapidamente as condições de congestionamento, para que seja possível tomar
atitude em tempo hábil.
2.2.5. Agendamento da Transmissão
O agendamento no tempo das transmissões (“scheduling”) pode ser usado
para se criar uma diferenciação entre as classes de serviço ou condições de
isonomia entre usuários. Em serviços que não requerem taxas instantâneas
contínuas, mas sim uma taxa média, uma utilização mais flexível do espectro pode
ser considerada. O agendamento da transmissão está intimamente ligado ao
controle da taxa transmitida, e na verdade é um caso especial dele, pois quando se
transmite alternando taxa zero (não transmissão) e alguma taxa, está sendo
implementado o agendamento.
Os algoritmos para controle de agendamento são atualmente objetos de
intensos estudos [26]. Vários sistemas em desenvolvimento, como o WCDMA
[30], têm nesses algoritmos o diferencial competitivo entre os equipamentos de
diferentes fabricantes ( o algoritmo de agendamento não costuma ser especificado
nos padrões de sistemas). Em grande parte, é o agendamento de transmissão que
permite implementar os mecanismos de qualidade de serviço.
Sistemas de Rádio 23
2.2.6. Controle unificado
Todos os controles expostos anteriormente vão integrar na prática um único
sistema de gerenciamento. Uma das grandes vantagens do sistema digital é a
integração dos distintos serviços de comunicação em uma única rede. Não mais se
lida com aplicações totalmente distintas como voz, televisão e dados trafegando
em redes separadas, e desenvolvidas especificamente para trafegar algum dos
serviços acima. O paradigma futuro é uma rede única convergida, onde todas as
aplicações compartilham esta mesma rede, apenas requerendo parâmetros de
“QoS” diferentes. Os nós da rede gerenciarão uma ou mais filas de serviço,
regidas por alguma disciplina de fila, e permanentemente terão que monitorar as
condições do canal rádio. Assim um agente gerenciador no transmissor tomará a
cada unidade de tempo a decisão de qual pacote em qual fila de serviço será
enviado numa certa taxa e potência. Esta decisão englobará todos os controles
vistos acima.[54]
Figura 2-1 – Gerência de recursos de transmissão
A gerência da rede poderá ser tanto centralizada quanto distribuída, mas
sempre será necessário contar com medidas executadas no receptor de cada
unidade móvel. Algum canal de controle poderá ser usado para que essas
medições cheguem ao controle central, ou às outras unidades móveis, no caso de
controle distribuído.
Controle deAdmissão
Requisições de Seção Fila de Serviço
Fila de Serviço
Fila de Serviço
"Scheduling"
Potência,Taxa
Estimador deRecursos
Medidas de interferência
Sistemas de Rádio 24
2.3. Acesso Múltiplo
Quando vários usuários tentam acessar um canal comum, alguma forma de
separação das formas de onda deve existir para distinguí-los no receptor. A base
de qualquer interface rádio é determinar como o meio comum será compartilhado
entre os usuários. Diferentes técnicas podem ser especificadas.
• Múltiplo acesso por divisão de freqüência (FDMA) – A separação é
feita dividindo o espectro de rádio em canais ortogonais. Para cada
usuário é designado um único canal de freqüência, que não é usado
por nenhum outro usuário, mesmo que ele esteja inativo. A
ortogonalidade é garantida pela separação total das freqüências
desses canais, incluindo até uma pequena faixa não utilizada entre
cada canal, que serve para minimizar a interferência oriunda de
filtragem imperfeita.
• Múltiplo acesso por divisão do tempo (TDMA) – A separação é feita
dividindo o espectro de rádio em intervalos de tempo. A cada
intervalo apenas um usuário pode transmitir.
• Múltiplo acesso por divisão ortogonal de freqüência (OFDMA) –
Esta técnica se diferencia do FDMA pela maior aproximação dos
sub canais de freqüência, garantindo uma maior eficiência espectral.
Neste caso canais adjacentes possuem intercessão de freqüência, mas
implementado de uma forma que permite que sejam separados na
recepção pelo método de transformada rápida de Fourier.
Pelo reuso de freqüências e intervalos de tempo em localizações geográficas
suficientemente separadas, mais usuários podem ser acomodados. Em múltiplo
acesso com espalhamento espectral, o sinal em uma banda mais estreita é
espalhado sobre uma banda mais larga. Este tipo de técnica é ineficiente para um
usuário, pois se está permitindo que este use uma banda maior do que a necessária
para a transmissão, mas com o compartilhamento entre vários usuários se torna
bastante eficiente.
Sistemas de Rádio 25
• Acesso múltiplo por divisão de código (CDMA) – cada usuário
recebe um código, que tanto pode ser uma seqüência pseudo-
aleatória que espalhe o trem de bits (seqüência direta), ou uma regra
de utilização de sub faixas de freqüências (salto de freqüência).
Outra técnica consiste no aproveitamento da separação espacial dos
transmissores.
• Múltiplo acesso por divisão espacial (SDMA) – A separação é feita
por conjuntos de antenas, que permitem vários feixes direcionais,
que podem ser apontados para determinados transmissores.
Vários esquemas híbridos consistindo na mistura das tecnologias acima são
possíveis. Normalmente as técnicas de FDMA são combinadas junto com TDMA
ou CDMA, neste caso separa-se o espectro em fatias menores, e depois se aplica a
cada uma destas, uma das duas técnicas anteriores.
Na prática todos esses esquemas envolvem alguma forma de ortogonalidade,
tipo freqüência, tempo, ângulo de chegada, código. Outra possibilidade é
compartilhar recursos sem conexão. Estes esquemas são usados em comunicações
de dados por pacotes, oferecendo mais flexibilidade para a entrega de pacotes
curtos, pagando o preço do risco da comunicação não ser bem sucedida devido a
transmissões simultâneas (colisões), requerendo uma política de retransmissão.
Vários esquemas existem, sendo classificados em aleatórios, agendados ou
híbridos. Os métodos mais comuns são:
• ALOHA – Um usuário transmite um pacote com uma certa
probabilidade, desde que tenha pacotes esperando na fila.
• CSMA – O usuário monitora o canal para ver se tem alguém se
comunicando, caso o canal esteja livre o pacote é transmitido.
Sistemas de Rádio 26
• Múltiplo acesso por reserva de pacote (PRMA) – é a combinação de
ALOHA e TDMA, que permite usuários reservar blocos para
transmissões sem perigo de colisão.
Para pequenas cargas de tráfego, essas técnicas de acesso funcionam bem
com pacotes de dados. Com o aumento de carga o sistema pode entrar em colapso.
2.4. Paradigmas de sistemas de comunicação
Os sistemas atuais de comunicação “wireless” terrestres, assim como
aqueles previstos para um futuro próximo, podem ser classificados em três
paradigmas básicos. Essencialmente, eles são diferenciados pela mobilidade, e
pela existência ou não de infra-estrutura fixa.
Sistemas AD HOC ou MANET (Mobile Ad Hoc Networtks) se
caracterizam por não terem infra-estrutura fixa (rápida instalação), serem móveis,
e em alguns casos por permitirem comunicações de rádio em vários passos,
utilizando as unidades móveis (UM) intermediárias como retransmissores das
mensagens. Estes sistemas podem se conectar ou não a serviços fixos, e não
possuem uma “inteligência” central para o controle do fluxo de pacotes. Como
exemplo pode-se citar “wireless lan” (IEEE 802.11), Bluetooth, Hiperlan, e
outros. As aplicações mais prováveis são para cobertura de áreas pequenas, dentro
de construções como plantas industriais, residências, escritórios.
Sistemas de Rádio 27
Figura 2-2Topologia de Rede AD HOC
Sistemas Móveis Celulares apresentam uma infra-estrutura fixa, onde uma
unidade móvel acessa uma estação rádio base, sempre por um enlace de rádio em
um único passo. Esta estação base faz a conexão das unidades móveis, com a rede
de comunicação fixa (tanto pode ser a “PSTN” no caso de voz, como a Internet no
caso de dados). Estes sistemas exigem a coordenação por um agente operador,
para o controle de potência, alocação de canais, controle de acesso. São exemplos
as redes de telefonia celular, os sistemas “wireless lan” que têm um modo de
comunicação com utilização de “Access Point”. As aplicações mais comuns
envolvem áreas grandes, subdivididas em várias células.
Sistemas de Rádio 28
Figura 2-3 Topologia de Rede Celular
Sistemas Ponto-Multiponto são híbridos de sistemas celulares com AD
HOC. A principal característica é que os usuários são fixos, normalmente uma
antena de maior diretividade é colocada no topo de uma construção, servindo
comunicação de alta taxa. Estes sistemas se constituem por células, mas é possível
que para a comunicação entre uma estação central e terminal sejam usados vários
passos intermediários, com outros terminais servindo de roteadores. Como
exemplo tem-se o LMDS e a nova especificação da IEEE 802.16.
Sistemas de Rádio 29
Comm. Tower
Comm. Tower
Comm. Tower
Comm. Tower
Comm. Tower
Comm. Tower
Comm. Tower
Comm. Tower
Comm. Tower
Comm. Tower
Comm. Tower
Comm. Tower
Figura 2-4 Topologia de rede LMDS
Em um alto nível de abstração, todos estes sistemas podem ser modelados
da mesma maneira, considerando a rede uma coleção de enlaces de rádio
interferentes utilizando o mesmo canal. Na prática, existe mais de um canal
ortogonal (não interferente), nos quais as demandas de comunicação podem ser
acomodadas. Dentro deste conceito abstrato, a rede telefônica celular, e todos os
outros modelos citados anteriormente, são casos especiais de uma rede ad hoc
genérica, apenas com parâmetros e limitações específicos.
A definição de rede Ad Hoc é bastante ampla, descrevendo qualquer rede
em que a instalação é sem coordenação. Ou seja um nó da rede pode ser criado, ou
extinto, a qualquer momento e em qualquer lugar, apenas colocando um
equipamento de rede e ligando. O termo Ad Hoc acaba sendo usado para vários
tipos distintos de rede.
Sistemas de Rádio 30
2.5. Trabalhos anteriores
Um dos primeiros trabalhos em controle de potência para combater a
interferência cocanal foi realizado por Bock e Ebstein [24] em 1964, foi mostrado
que era possível formular o problema de alocação de potência como um problema
de programação linear. Aein [3] investigou o uso de controle de potência para
mitigar a interferência cocanal em sistemas de satélite com e sem ruído. Foi
provado que o problema de balancear a “SIR” em sistemas sem ruído, ou seja
obter a mesma qualidade em todos os enlaces, pode ser reduzido a um problema
de autovalores de matrizes não negativas. A existência e unicidade de uma
solução possível associada a matriz de ganhos foi obtida como conseqüência do
teorema de Perron-Frobenius. Nettleton e Alavi [5,78] estenderam o conceito de
balanceamento de SIR para sistemas de banda larga sem ruído de fundo.
Melhorias de capacidade foram observadas em simulações feitas por Nagatsu
[76]. Estes conceitos foram aprimorados quando Zander os aplicou para sistemas
de banda estreita [114]. Isto permitiu a derivação da alocação ótima de potência
que minimiza a probabilidade de indisponibilidade, em termos da máxima SIR
que os enlaces podem simultaneamente alcançar. Se for possível admitir a
reciprocidade nos ganhos de enlace, deduz-se que a SIR máxima alcançável é a
mesma nos enlaces de subida e descida [5,117]. Grandhi mostrou que para
sistemas sem ruído, existe apenas uma única SIR balanceada, e um único
autovetor de potência positiva, que leva a máxima SIR alcançável [38]. Wu
investigou o balanceamento para requisitos de SIR diferentes [105].
Diferentemente do caso ruidoso, estes requisitos não podem ser escolhidos
individualmente, mas são dependentes do mínimo valor requerido. Zander [116]
estendeu para o caso de existir ruído de fundo, e mostrou que pode ser alcançada a
mesma SIR se não houver limite de potência. Grandhi [40] introduziu o limite
máximo de potência de transmissão que no caso com ruído, existe sempre pelo
menos um usuário usando potência máxima.
O foco dos trabalhos também abordava o desenvolvimento de algoritmos
práticos para a resolução dos problemas mencionados acima, sem ter que recorrer
ao excessivo esforço de coletar as informações necessárias para um controle
Sistemas de Rádio 31
centralizado. Com respeito a isso, alguns esquemas simples e distribuídos
chamaram a atenção. Meyerhoff [73] sugeriu um procedimento interativo para
achar o vetor de potência. Além do mais foi mostrado que equalizar SIR é
equivalente a maximizar o mínimo da SIR. Zander [115] desenvolveu um
algoritmo de balanceamento distribuído que apenas requer medidas locais de
interferência. Simulações realizadas por Grandhi 39] indicam uma rápida
convergência de algoritmos distribuídos de controle de potência.
O problema de controle de potência foi estendido para incluir requisitos de
SINR mínima por Foschini e Miljanic [33]. Foi mostrado que um algoritmo
distribuído de alocação de potências converge para valores pré-determinados.
Uma versão assíncrona do algoritmo citado acima, desenvolvida por Mitra [74],
onde os usuários atualizam suas potências de maneira não coordenada e com
medidas desatualizadas, converge para valores fixos que suportam os requisitos de
SINR em enlaces com ganhos estacionários.
Aplicando métodos interativos de álgebra linear, um algoritmo geral de
controle de potência foi sugerido por Janti e Kim [49]. A idéia de incluir mais
informações sobre o ganho de enlace permitiu a melhora da taxa de convergência.
Vários outros algoritmos foram deduzidos a partir deste trabalho. Kim também
considerou a alocação do canal de descida do CDMA em [58].
Os trabalhos acima consideram um domínio de potência contínuo, mas em
geral os sistemas reais trabalham com níveis discretos no controle de potência.
Andersin [10] investigou o algoritmo DCPC em domínio discreto e obteve uma
convergência que em alguns casos oscilava. Herdtner e Chong [45] analisaram o
caso de um algoritmo de subida ou descida em passos de uma unidade,
caracterizando sua convergência. Controle de potência com passos de tamanho
variáveis foi investigado por Lee [66].
Uma outra direção em controle de potência, particularmente em CDMA, são
esquemas que oferecem potência recebida constante na estação rádio base [103].
Pode ser mostrado não geram um impacto significante na interferência cocanal
[34,97].
Sistemas de Rádio 32
Em sistemas congestionados, é possível tentar reduzir a probabilidade
ocorrer uma situação de controle de potência inviável reduzindo os objetivos de
SINR, como proposto por Almgren [6] e Yates [109]. Outra opção é retirar
usuários do canal saturado como proposto por Zander [114]. Quando novos
usuários tentam entrar no sistema, é necessário utilizar o controle de admissão
para evitar novos congestionamentos. Bambos [14] sugeriu o conceito de proteção
do enlace ativo.
A maioria dos trabalhos considera modelos invariantes no tempo, o que
pode ser interpretado como se as ações relativas ao controle de potência fossem
executadas muito mais rapidamente que as alterações das condições de
propagação e tráfego. Porém Andersin e Rosberg [7]verificaram que esse
procedimento subestimava a probabilidade de indisponibilidade, e
conseqüentemente seriam necessárias margens substancialmente maiores para
obter os requisitos de SINR. Rosberg [87]também estendeu o estudo para incluir
desvanecimento rápido de distribuição Rayleigh. Margens adaptativas de SIR
foram estudadas por Rosberg utilizando como parâmetro a duração de
indisponibilidade. Um método distribuído que levava em conta a taxa média de
cruzamentos de níveis foi sugerido. O trabalho de Mitra e Morrison [75] leva em
conta a variância e a média da interferência devido a aleatoriedade das
transmissões, mas pode também levar em conta as variações do ganho de enlace.
Um método de controle de potência baseado em medidas de taxa de erro foi
sugerido por Kumar [63]. A perfeita estimativa de SINR, potência recebida ou
taxa de erro pode ser de difícil obtenção, assim Ulukus [99] considerou a
utilização de medidas estocásticas, e estudou sua convergência.
O trabalho apresentado nesta tese segue uma abordagem diferente de outros
estudos. Em primeiro lugar está se considerando um controle central de alocação
de potência, com informações de todos os enlaces atualizadas constantemente. A
dificuldade de se obter estas informações (no mínimo acarretaria uma intensa
troca de informações entre as unidades), fez com que muitas técnicas
desenvolvidas fossem de controle distribuído. Porém a maior novidade neste
trabalho, é apresentar uma nova maneira de se verificar a viabilidade de enlaces
Sistemas de Rádio 33
ocuparem o mesmo canal através da utilização de cálculo de determinantes para a
matriz de ganho. São apresentados alguns algoritmos heurísticos, como é muito
comum na literatura, mas a ênfase é na formulação de uma solução exata e mais
rápida do método corrente na literatura. As referências estudadas nunca se
preocuparam com o problema matemático de determinar a viabilidade das
soluções de potência, ficando satisfeitos em quando necessário calcular raios
espectrais de matrizes.
3 Elementos de modelagem para o problema de controle de potência
Neste trabalho assume-se que a rede de comunicações é composta por uma
coleção de enlaces constituídos por um par de unidades-rádio individualmente
denominadas de transmissor e receptor, que operam em uma dentre diversas
faixas de freqüências denominadas de canais. Na realidade é possível pensar que
o enlace utiliza um recurso de comunicação que não necessariamente é uma faixa
de freqüências. Pode ser uma janela de tempo, um comprimento de onda (no caso
de redes ópticas) ou uma outra grandeza qualquer. Assim o termo canal será aqui
indistintamente aplicado a qualquer uma destas situações. O termo canal ortogonal
descreve a situação em que não ocorre interferência entre canais distintos.
Enlaces que ocupam o mesmo canal apresentam o fenômeno indesejável
de interferência mútua (co-canal) e este é o único caso considerado neste trabalho.
No caso específico de freqüências, enlaces em canais adjacentes podem se
interferir devido à resposta dos filtros de entrada empregados. Entretanto este tipo
particular de interferência não será aqui abordado.
Enlaces bidirecionais podem ser desmembrados em dois enlaces
unidirecionais onde o transmissor de um é o receptor do outro e vice-versa. Do
mesmo modo a comunicação entre duas unidades rádio que seja transmitida em
vários passos pode ser desmembrada por seus múltiplos enlaces entre cada nó que
compõe a rota de comunicação. Assim o esquema de descrição de cenário como
definido acima é extremamente geral.
Assume-se que o sistema de comunicações é composto por uma coleção L
de enlaces indexados pelos inteiros de 1 a L como abaixo:
1,2,3,...., L=L (3.1)
Elementos de modelagem para o problema de controle de potência 35
De forma semelhante o conjunto de canais passíveis de utilização por estes
enlaces formam uma coleção finita como descrita abaixo:
1,2,3,..., C= (3.2)
Considere o conjunto Lc de enlaces operando no canal c. A família de
conjuntos Lc , c ∈ constitui uma partição de L e especifica a distribuição dos
enlaces nos vários canais.
Estas alocações de canais são realizadas por algum tipo de algoritmo de
alocação de recursos (AAR), e fundamentalmente são limitadas pelo nível de
interferência que um enlace em um canal exerce em outro enlace que use o
mesmo canal. Assim o AAR deverá evitar que na admissão de um novo usuário (e
conseqüentemente a formação de um enlace) ao sistema, este enlace cause uma
interferência excessiva nos outros que ocupam o mesmo canal. Para isso os níveis
de interferência em todos os enlaces existentes serão determinados e assim se
pretende propor esquemas de partição dos enlaces de modo a atender critérios de
qualidade.
Define-se Pl como a potência transmitida no enlace l ∈ L e define-se como
Glk > 0 o ganho de potência entre o transmissor do enlace k e o receptor do enlace
l. Conseqüentemente o produto Glk.Pk reflete a potência de interferência no enlace
l induzida pelo enlace k (≠ l), enquanto a potência de sinal desejado no receptor do
enlace l é dada por Gll.Pl. Como anteriormente mencionado, assume-se que os
canais são perfeitamente ortogonais e por conseqüência a interferência de canal
adjacente é nula.
Cada ganho de potência Glk depende principalmente de fatores como a
topologia o posicionamento dos enlaces l e k entre si, e dos vários espalhadores
existentes no ambiente de comunicações. Este ganho de potência flutua
estocasticamente no tempo e é susceptível a efeitos típicos de propagação tais
Elementos de modelagem para o problema de controle de potência 36
como desvanecimento e sombreamento. A inclusão de um tratamento estocástico
introduz um elevado nível de complexidade, porém não é significante para a
abordagem aqui desenvolvida. Este problema é tratado por vários autores como
Kandukuri e Boyd [55] que estudaram as variações estatísticas em um canal
sujeito a desvanecimento Rayleigh. Assim utiliza-se neste trabalho um tratamento
determinístico onde esta grandeza estocástica é substituída pelo seu valor médio,
retirando assim as flutuações aleatórias ao longo da escala de tempo. Este nível
médio é o valor que será usado para definir a “SINR” que o móvel está
experimentando, que juntando com a informação de modulação (e das
características particulares de cada equipamento) e da taxa de transmissão
desejada, se obtêm uma probabilidade de erro. As flutuações estocásticas apenas
alterariam o valor da probabilidade de erro, e a grosso modo bastaria aumentar a
margem do enlace para corrigir os efeitos desta variação (uma abordagem mais
aprofundada permite resultados que não impliquem um excesso de margem
adicional).
O fenômeno de interferência entre enlaces pode ser caracterizado por meio
de uma matriz quadrada G cujo elemento de coordenadas l,k é o ganho Glk
previamente definido.
11 12 1
21 22 2
1 2
. .
. .. . . . .. . . . .
. .
L
L
L L LL
G G GG G G
G
G G G
=
(3.3)
Tecnicamente não só os valores dos elementos da matriz são variantes no
tempo, mas a sua dimensão também é dinâmica na medida em que enlaces são
incorporados ou removidos ao sistema.
Será aqui entendido como parâmetro fundamental a que se pretende
controlar, a SINR experimentada pelo enlace. Como existe uma relação entre a
SINR, a taxa de transmissão de dados, e a probabilidade de erro, valores de
interesse para esta taxa de transmissão e erro mínimo podem ser impostos pela
Elementos de modelagem para o problema de controle de potência 37
exigência da SINR não ser inferior a um limiar γ. Alguns pares de taxa e
probabilidade de erro foram expostos na tabela 2. Formalmente a seguinte
inequação precisa ser atendida para cada um dos enlaces que compõem o sistema:
..ii i
i iij j i
j i
G PRG P
γη
≠
= ≥+∑
(3.4)
onde Ri é a SINR observada no enlace i, i ∈ 1,2,3,....,L. Pi é a potência
transmitida no enlace i, enquanto ηi > 0 é a potência média de ruído térmico no
receptor do enlace i. A SINR descrita na expressão (3.4) pode ser reescrita como:
ii
ij ij
j i ii ii
PR GP
G Gη
≠
=+∑
(3.5)
onde o denominador da equação (3.5) pode ser visto como a interferência
normalizada no receptor do enlace i.
A desigualdade (3.4), quando vista em conjunto para todos os enlaces, pode
ser reescrita numa forma vetorial:
( )− ≥I H P u (3.6)
onde P = (P1, P2, P3, ..., PL) é o vetor coluna das potências transmitidas onde cada
elemento é positivo,
3 31 1 2 2
11 22 33
( , , ,..., ,..., )i i L L
ii LLG G G G Gγ η γ ηγ η γ η γ η
=u (3.7)
é o vetor coluna não negativo que caracteriza as potências normalizadas de ruído,
e H é uma matriz quadrada de dimensão L e diagonal nula cujos elementos são
definidos por:
Elementos de modelagem para o problema de controle de potência 38
1i ijij i j
ii
GH
Gγ
≠= (3.8)
A matriz H tem todos os seus elementos não negativos e assume-se que
ela não possui linha e coluna de mesmo índice com elementos nulos. Caso
contrário, o enlace em questão poderia ser removido uma vez que ele não interfere
em nenhum outro enlace e nem é interferido por nenhum outro.
Existem vários tipos de problemas de interesse que poderiam ser
formulados a partir da discussão acima. Vejamos alguns deles:
1. Sob que condições, em relação à matriz H, a inequação definida em (3.6)
admite soluções não negativas para o vetor P ? Observe que se não existir
solução positiva para este sistema, significa dizer que os enlaces
envolvidos não podem compartilhar de um mesmo canal. Isto não significa
dizer que caso haja solução positiva, exista uma que atenda a limitações de
potência como será analisado abaixo.
2. Ainda em relação a inequação (3.6), se o vetor P sofrer restrições de
valores (normalmente potência máxima e mínima), ou seja se ele tiver que
pertencer a uma região bem definida do RL, como descobrir se isso é
possível. Em outras palavras, como resolver o problema anterior agora
com a exigência do vetor P pertencer a subconjunto abaixo definido:
min max tais que p/todo Li i ix x x x iΩ = ∈ ≤ ≤ ∈L
3. Dado um conjunto de enlaces L, como particioná-lo de modo a que cada
elemento da partição seja viável no sentido do problema 1 acima definido.
Este problema será a base para outros que se seguirão. Um a solução para
este problema que seja computacionalmente eficiente poderá permitir que
outros problemas mais complexos possam ter solução factível sob o ponto
de vista prático.
Elementos de modelagem para o problema de controle de potência 39
4. É possível achar uma partição viável no sentido de 3. que tenha o menor
número de elementos ? A solução deste problema é conhecida como
alocação ótima de canais, pois revela o número mínimo necessário de
canais que atendam um conjunto de enlaces com requisitos de qualidade.
Embora a solução deste problema não seja de elevado valor prático, ela é
uma excelente referência quando se deseja avaliar estratégias sub-ótimas
ou heurísticas. A distância destas soluções à solução ótima é um bom
indicador da qualidade dos procedimentos sub-ótimos.
5. É possível achar uma partição viável no sentido de 3. que caracterize uma
situação de mínima potência ? A solução para este problema é conhecida
com a de mínima potência máxima, pois ela descreve a situação onde a
potência no enlace de maior consumo é minimizada. Isto significa dizer
que qualquer outra solução viável no sentido do problema 3, terá algum
enlace que consuma mais potência do que a obtida neste problema.
6. É possível achar algoritmos sub-ótimos, mas de esforço computacional
reduzido que resolvam os problemas acima? Os problemas anteriores
possuem uma característica comum de apresentar um grau elevado de
esforço computacional. Assim o relaxamento de algumas condições
associadas ao problema pode produzir uma grande redução neste esforço
computacional.
7. Levando em conta que problemas de otimização correm o risco de gerar
soluções ótimas locais, como usar novos paradigmas para tentar buscar
soluções ótimas globais? Métodos convencionais de otimização, assim
como métodos de natureza gulosa (buscam sempre o ganho máximo a cada
instante, o que pode não levar ao máximo ou mínimo global), são métodos
que produzem soluções ótimas ou sub-ótimas locais até porque grande
parte das funções objetivo destes problemas são multimodais. Surge então
espaço para que sejam investigadas algumas heurísticas baseadas em
técnicas evolucionais que tentam produzir soluções que escapem dos
poços de atração de mínimos locais.
Esta é a coleção de problemas que serão detalhados em capítulos
subseqüentes e que compõem os estudos realizados durante a execução da
Elementos de modelagem para o problema de controle de potência 40
presente tese. Pretende-se apresentar uma solução para cada um destes problemas
sendo que algumas destas, até onde a pesquisa do autor pôde ser feita, contém
elementos de inovação e são vantajosas sobre o aspecto de eficiência
computacional.
4 Métodos de Solução dos Problemas Apresentados
Os sete problemas delineados na seção anterior serão individualmente
discutidos de forma matematicamente rigorosa, sendo ressaltados os aspectos
consagrados na literatura e os aspectos inovadores frutos da pesquisa aqui
realizada.
Para fins de formalização, define-se o conceito de enlace.
Definição 1
Um enlace é uma conexão ponto a ponto entre duas unidades de rádio
caracterizado por um elemento transmissor (Tx) e um elemento receptor (Rx).
Seja L uma coleção de L enlaces. Se estes utilizam o mesmo recurso de
comunicação (canal, unidade de tempo, código, etc.) ocorre uma interferência
mútua entre as unidades de rádio.
Formalmente a qualidade de serviço básica ao longo de todos os problemas
aqui discutidos consiste em garantir que a SINR experimentada pelo enlace i deve
obedecer a:
1
.
.
ii ii iL
i ij jij i
G PSINRn G P
γ
=≠
= ≥+∑
(4.1)
onde:
• Gij é o “ganho de enlace” (número adimensional no intervalo [0,1])
entre o transmissor do enlace j e o receptor do enlace i.
• Pi é a potência do transmissor do enlace i.
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 42
• ni é a potência média de ruído térmico percebido pelo receptor do
enlace i.
• γi é a SINR mínima a ser atendida pelo receptor do enlace i.
Conforme foi discutido na seção anterior, a desigualdade acima quando
estendida para todos os enlaces pode ser vista na forma matricial:
( ).P η− ≥I H (4.2)
Onde:
• I-H é uma matriz quadrada de diagonal nula e elementos não-
negativos e limitados em 1 fora da diagonal.
• η é um vetor não-negativo.
• P é o vetor de potências dos transmissores dos enlaces, que por
razões físicas, tem que ser positivo.
Para fins de simplicidade será assumido que a matriz (I-H) é não-singular, o
que não causa uma perda de generalidade. Se esta matriz for singular, é possível
perturbar H de maneira arbitrariamente pequena de forma a eliminar a condição
de singularidade. Isto se faz alterando minimamente qualquer um dos elementos
da matriz, o que já elimina a singularidade.
4.1. O Problema da Viabilidade de Compartilhamento de Canais
O problema a ser discutido nesta sub-seção consiste em determinar as
condições que a matriz H deve satisfazer de modo que o conjunto Ω definido
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 43
como o conjunto dos pontos P pertencentes a RL que satisfaz (4.2) tenha
interseção com R+L.
Antes de responder esta pergunta, se faz necessário apresentar algumas
propriedades do conjunto Ω acima definido.
• É um conjunto convexo ilimitado (cone) com um único ponto extremo
dado por:
* (1 )P η−= − 1H (4.3)
• Este ponto extremo P* tem todas as suas componentes não-negativas ou
não-positivas.
• Se este ponto extremo for não-positivo (não-negativo) então Ω é formado
apenas de pontos não-positivos (não-negativos). Além disso, nenhum ponto de Ω
tem em módulo coordenadas de menor potência do que este ponto extremo.
Estas propriedades podem ser visualizadas no exemplo abaixo, onde se
particulariza o caso de dimensão L igual a 2.
Figura 4-1 – Região de solução f-viável
Em uma abordagem formal, definem-se as soluções que interessam da
forma:
P1
P2
Ω
P*
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 44
Definição 2:
Um conjunto de enlaces é dito fundamentalmente viável (f-viável) quando o
ponto extremo associado à matriz H correspondente atende à seguinte relação:
* (1 ) 0P η−= − ≥1H (4.4)
Um resultado existente na literatura e bastante conhecido, diz respeito à
condição necessária e suficiente para um enlace seja f-viável. Este resultado é
descrito pelo seguinte teorema cuja demonstração pode ser encontrada em [71]:
Teorema 1:
Um conjunto de enlaces é f-viável quando o raio espectral (definido como o
maior autovalor de uma matriz) da matriz H for inferior a 1.
O cálculo do raio espectral de uma matriz pode ser feito por algoritmos de
complexidade da ordem de n3, onde n é a dimensão da matriz H. Esta
complexidade é elevada o suficiente de modo a tornar inviável o problema da
determinação de todos os subconjuntos f-viáveis. Estes formados por todas as sub-
matrizes (matriz em que uma ou mais colunas e linhas são retiradas) possíveis de
H.
O cálculo do raio espectral de uma matriz implica a obtenção de todos os
seus autovalores, mas existem algumas técnicas que podem determinar se seu raio
espectral é inferior a 1 ou não com esforço reduzido. Por exemplo, podemos obter
um limitante superior para seu valor que é simplesmente a norma da matriz:
( )A Aρ ≤ (4.5)
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 45
Este limitante é fácil de se calcular, mas é uma medida de pouca utilidade,
só interessando quando a norma for menor que 1. Caso contrário não acrescenta
informação nenhuma, pois nada garante que caso uma matriz tenha norma
próxima de 1, esta tenha mais probabilidade de ser f-viável do que uma matriz de
norma com valor elevado. Uma opção alternativa com resultados mais confiáveis
consiste na estimativa do raio espectral usando o conjunto de círculos de
Gerschgorin [71] como descrito abaixo:
Os autovalores de uma matriz A ∈ Cnxn estão contidos na união Gr dos n
círculos de Gerschgorin definidos por:
1
, 1, 2,...,n
ii i i ijjj i
z a r onde r a para i n=≠
− ≤ = =∑ (4.6)
Em outras palavras, os autovalores estão dentro de uma coleção de círculos
centrados em aii (que no caso presente são todos nulos, pois H tem diagonal nula)
com o raio dado pela soma dos valores absolutos em Ai* com aii retirado. De uma
maneira mais simples, o raio de cada círculo é a soma de todos os elementos de
uma coluna sem o elemento da diagonal principal (é possível provar que o mesmo
vale para a soma de todos os elementos das linhas), e o centro está localizado no
valor do elemento da diagonal principal. Além do mais, se a união U de k círculos
de Gerschgorin não se encontra com qualquer dos outros n-k círculos, então
existem exatamente k autovalores nos círculos em U. Esta propriedade, embora
interessante, não é útil na situação presente uma vez que todos os discos de
Gerschgorin têm o mesmo centro localizado na origem.
A aplicação destes resultados ao caso particular da matriz H aqui em estudo
revela que se a desigualdade abaixo for atendida, o seu raio espectral encontra-se
dentro do disco unitário. Entretanto nada se pode dizer quando esta condição não
é atendida. Note ainda que o esforço computacional associado a esta expressão é
tão baixo (máximo de n somas de n-1 parcelas), que mesmo no caso do resultado
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 46
não ser útil, o tempo consumido em seu cálculo é desprezível em relação aos
métodos exatos que se seguem, valendo a pena como uma tentativa.
1,2,..., 1max 1
n
iji n jH
= =
<∑ (4.7)
A combinação dos dois métodos acima permite a obtenção razoavelmente
rápida de uma estimativa do raio espectral de uma matriz. Entretanto nas situações
onde esta estimativa for inútil, ou seja os valores obtidos forem maiores que os
limitantes, tem-se que reportar ao cálculo efetivo do raio espectral.
O trabalho de pesquisa desenvolvido durante a elaboração desta tese
permitiu determinar uma condição equivalente de f-viabilidade ainda não
reportada na literatura que envolve apenas o cálculo de determinantes. Esta
condição pode ser resumida no teorema 2 cuja demonstração é apresentada na
sub-seção seguinte.
Teorema 2:
Um conjunto de enlaces é f-viável quando qualquer sub-matriz quadrada de
(I-H), cujos índices de linha e coluna são idênticos, tem determinante não-
negativo.
Se o interesse for em determinar unicamente a f-viabilidade de um particular
conjunto de L enlaces, certamente a verificação pelo Teorema 1 requer um esforço
computacional menor do que aquele produzido pelo Teorema 2. Embora o esforço
computacional do cálculo do determinante seja da ordem de n2, em relação a este
último teorema serão necessários o cálculo de 1LC determinantes de dimensão 1,
2LC determinantes de dimensão 2, e assim em diante até L
LC determinantes de
dimensão L, onde NLC é combinação de L elementos formando grupos de N
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 47
elementos ( análise combinatória). E este esforço se verificou superior ao do
cálculo do raio espectral.
Entretanto, será visto a seguir, que se o problema for determinar todos os
subconjuntos f-viáveis de um conjunto predefinido, o Teorema 2 será
extremamente conveniente.
4.1.1. Demonstração do Teorema 2
Para provar o teorema é preciso determinar quais condições são necessárias
para forçar um ponto extremo único a ser positivo. Esta prova será feita por
indução. Para começar será mostrado que é verdade para K=2.
1
* . .1. . .. .. .
a c u b u c vx b
d b v d u a va b c d
−− − +
= = = − +− 1A (4.8)
Conclui-se que 0x > só e somente se:
det( ) . . 0a b c d= − >A (4.9)
Agora será mostrado que se a propriedade mencionada anteriormente é
válida para todo k ≤ Μ <N, então é válido para k = M + 1. Para mostrar isso, seja
B um elemento genérico de ZM+1(A), então
1 .( )( 1) .
det( )jii j
ij
M− + = − B
BB
(4.10)
Quando a linha j e a coluna i de B são eliminadas, se i > j então a linha i – 1
e a coluna j não contêm elementos negativos. Do mesmo modo se i < j então a
linha i e a coluna j – 1 não contêm elementos negativos. Assim algumas trocas
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 48
apropriadas de linhas e colunas podem transformar esses menores em matrizes
com as propriedades desejadas. Define-se:
• Ti(B) a matriz idêntica a B com trocas cíclicas das suas primeiras i
linhas.
• Tj(B) a matriz idêntica a B com trocas cíclicas das suas primeiras j
colunas.
• Tij (B) = Ti [ Tj (B) ].
Então pode facilmente ser mostrado que:
1
1
det( ( ))1 . det( ( ) )
det( )det( ( ) )
ii
ji jiij
ji ji
M se i j
T M sei j
T M sei j
−−
−
= = − >
− <
1
B
B BB
B
(4.11)
Se i = j então Mii(B) pertence a ZM (A) cujo sinal é conhecido. Quando i ≠ j, a matriz que aparece no numerador é um elemento de 1
MF . Chamando esta matriz por C e expandindo seu determinante com respeito a sua primeira coluna, obtêm-se:
11
1 11
det( ) ( 1) . .det( ( ))M
ii i
ic M
−+
=
= −∑C C (4.12)
Novamente, levando em consideração que quando a linha i > 1 e coluna 1
são eliminados de C, a coluna (i-1) da matriz resultante não possui elementos
negativos. Assim (i-2) trocas convenientes de coluna transformam esta matriz em
uma de 1MF . Deste modo a expressão acima pode ser reescrita como:
1
111 11 1 1
2det( ) .det( ( )) .det( [ ( )]
Mi
i ii
c M c T M−
−
=
= −∑C C C (4.13)
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 49
Onde todos os coeficientes são não negativos. Se for definido Di = Ti-1
[Mi1(C)], e se for expandido os determinantes dessas matrizes em volta de sua
primeira coluna, e se for feita uma troca apropriada de colunas, chega-se a:
1
11 11 1 11 112
det( ) .det( ( )) .[[ ] .det[ ( )] ]M
i i ii
c M c D M D−
=
= − −Λ∑C C (4.14)
Onde:
1
11 1
3[ ] .det[ [ ( )]]
Mj
i j j ij
D T M D−
−
=
Λ = ∑ (4.15)
Se o procedimento acima for repetido até o ponto que se encontre matrizes
de dimensão 2, têm-se a expressão seguinte:
1
12 2
11 1
3 3
2 3
det( ) .det( )
det( )
det( ) ......
M
i ii
M M
ij iji j
λ
λ
λ
−
=
− −
= =
= +
− +
+ −
∑
∑∑
1C W
W
W
(4.16)
Onde Wi.. ∈ ZM-i(A) e conseqüentemente eles apresentam sinais alternados.
Conseqüentemente –det(C) possui o mesmo sinal de qualquer elemento de ZM(A).
Assim todos os elementos de B-1 têm o sinal governado pelo det(B) e para gerar
um ponto extremo positivo, det(B) precisa ter sinal oposto a qualquer elemento de
ZM(A), provando assim o teorema.
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 50
4.2. O Problema da Determinação dos Subconjuntos f-viáveis
Primeiro vão ser determinados todos os subconjuntos f-viáveis de um
conjunto L de L enlaces. Este procedimento consome um razoável tempo de
processamento (é bom lembrar que está se procurando um método mais rápido
que o cálculo do raio espectral), mas a determinação destes subconjuntos será de
extrema importância nos problemas que se seguirão, e nos algoritmos que serão
apresentados.
Duas observações que se podem concluir sobre a estrutura de subconjuntos
f-viáveis são:
− Se A é um subconjunto f-viável, qualquer subconjunto de A também é f-
viável.
− Se A não é um subconjunto f-viável, qualquer subconjunto que contenha A
também não é f-viável.
Assim um procedimento intuitivo mas eficiente, baseado nas observações
acima, para a determinação de subconjuntos f-viáveis consiste em inicialmente
descobrir quais os pares de enlaces f-viáveis. De posse desta lista, determina-se as
trincas de enlaces f-viáveis, não verificando todas as trincas possíveis, mas
tentando acrescentar um enlace somente às duplas f-viáveis. Intuitivamente este
procedimento é o mais eficiente possível, pois só as duplas que possuem real
chance de se tornarem trincas f-viáveis são investigadas. Após a geração de todas
as trincas f-viáveis, este procedimento pode ser repetido para a geração das
quádruplas f-viáveis e assim por diante.
Este procedimento pode ser formalizado por meio do seguinte algoritmo
Algoritmo de f-viabilidade
Seja kN
kkk k
wwwL ,....,, 21= o conjunto de todos os subconjuntos f-viáveis de
dimensão k de NL ,...,2,1= e denotemos por kiw como o vetor k
ikki
ki www ,....,, 21
onde kik
ki
ki www <<< ....21 .
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 51
- Seja φ=+1kL
- para i = 1 a Nk
o para j = kikw +1 a N
faça compt = TRUE
para n = 1 a k
• se jww kin
ki +− ∉ kL então
o compt = FALSE
o break
• end
end
o end
o if comp = TRUE e FEASIBLE( jwki + ) = TRUE
então INSERT ( jwki + ) em 1+kL
- end
Repare que no algoritmo acima o procedimento FEASIBLE pode ser
implementado tanto por cálculo de raio espectral como por meio de
determinantes, sendo que agora o último tem vantagens sobre o primeiro em
termos de esforço computacional.
Além desta vantagem existe uma outra que reduz mais ainda o esforço
computacional e que será a seguir discutida.
Considere que um certo subconjunto de enlaces Sn de dimensão n seja
considerado f-viável. Em algum momento na determinação dos subconjuntos f-
viáveis de dimensão n+1, terá que se acrescentar a Sn um dos (L-n) enlaces
pertencentes ao complemento de Sn, gerando um subconjunto Sn+1 e verificar a sua
f-viabilidade. A solução imediata para este problema consiste em obter o
determinante da matriz Hn+1 associada ao subconjunto Sn+1 e verificar o seu sinal.
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 52
Será mostrado aqui um algoritmo iterativo que a partir de determinantes de
ordem inferior, pode-se calcular os de ordem superior com uma notável economia
de esforço computacional. Na medida em que Sn e Sn+1 diferem apenas em um
único elemento, a matriz Hn+1 é formada pela matriz Hn onde se acrescenta uma
linha e uma coluna como abaixo:
1nn
n Tn n
H aH
b c+
=
(4.17)
Denominando de n∆ o determinante de Hn , sabe-se que pela identidade do
determinante de Jacobi, a seguinte equação é verdadeira:
( )11 . . .T
n nn n n nc b H a−+∆ = ∆ − (4.18)
Assim como Sn é f-viável (o que implica em 0n∆ > ) , para que Sn+1 seja f-
viável é necessário e suficiente que 1. .Tn nn nc b H a−> , este cálculo têm esforço
computacional baixo se a matriz inversa de Hn for conhecida.
Um subproduto importante deste resultado é que a verificação de todos os
casos de subconjuntos Sn+1 a partir do mesmo subconjunto Sn requer apenas uma
única inversão de matriz, o que reduz o esforço computacional de todo o processo.
Resta ainda o problema do cálculo da matriz inversa de Hn. A idéia aqui é
mostrar que este cálculo pode ser feito de forma iterativa com baixo esforço
computacional. Para tal vamos assumir que Ln e Un são as matrizes da
decomposição LU (decomposição em duas matrizes, uma só com elementos
abaixo da diagonal principal, e a outro só com elementos acima desta) da matriz
Hn e que esta decomposição é conhecida. Logo o cálculo da matriz inversa de Hn
pode ser trivialmente feito lembrando que:
1 1 1. .n n n n n nH L U H U L− − −= ⇔ = (4.19)
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 53
Aparentemente não há vantagens aqui porque se assumiu que a
decomposição LU é conhecida e que também são conhecidas às inversas das
matrizes que constituem esta decomposição.
Entretanto as vantagens surgem quando se tenta repetir este processo para os
subconjuntos de dimensão n+2. Neste caso precisa-se conhecer a decomposição
LU de Hn+1 assim com as inversas das matrizes que constituem esta
decomposição.
Um resultado publicado permite afirmar que:
1
1 1 11 1
0 .. .
. 1 0 . .nn n nn n
n n nT T T Tn nn n n nn n
H a L U L aH L U
b c b U c b H a
−
+ + +− −
= = =
− (4.20)
Revelando que esta decomposição LU pode ser facilmente calculada a partir das
matrizes Ln e Un e suas inversas. Note que neste estágio, todas estas matrizes são
supostas conhecidas. Entretanto resta ainda a necessidade de determinar as
inversas de Ln+1 e Un+1, caso contrário a iteratividade mencionada não é alcançada.
Através de procedimentos algébricos bastante simples pode-se mostrar que estas
inversas são expressas por:
1 1 1
11 1 1 1 1
0 0 0. 1 . . 1 . 1
n n nn T T T
n n n nn n n
L L LL
b U b U L b H
− − −−+ − − − −
= = =
− − (4.21)
11 1 1 1
11 1 1
. . /( . . ).
0 . . 0 1/( . . )
Tn n nn n n n n n n
n T T T Tn n n nn n n n
U L a U H a c b H aU
c b H a c b H a
−− − − −−+ − −
− −= =
− − (4.22)
onde todos os termos existentes são conhecidos.
Expressaremos o esforço computacional pela 4-upla [q+,q-,q*,q/] que
define respectivamente o número de adições, subtrações, multiplicações e divisões
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 54
envolvidas na operação em questão. Estamos assumindo que conhecemos as
matrizes Un , Ln e suas inversas e queremos determinar Un+1 , Ln+1 e suas inversas.
A tabela abaixo apresenta os valores destas grandezas para os cálculos indicados
na primeira coluna.
Cálculo de e+ e- e* e/
1.Tn nb U − e 1. nnL a− )1( −nn 0 2n 0
1. .Tn nn nc b H a−− n 1 n-1 0
∆n+1 0 0 1 0 11
−+nU e 1
1−+nL 2/)1( −nn 0 2/2n 0
TOTAL n.[1+4.(n-1)] 1 n.(4n+1) 0
DETERMINANTE 3
)2).(1.( ++ nnn0 )2(
3)2).(1.(
++++ nnnn
n
Tabela 3 – Tabela de esforço computacional
O cálculo do esforço computacional do determinante é determinado por
meio de uma seqüência de operações elementares sobre linhas da matriz para
torná-la triangular. O determinante é então calculado pelo produto dos termos da
diagonal.
Se admitirmos como equivalentes os pares (soma, subtração) e
(multiplicação, divisão) e que os segundos demandam um esforço computacional
para seu cálculo α vezes maior que os primeiros, então a razão entre os esforços
computacionais para o cálculo dos determinantes de 1n+∆ e n∆ é dada por:
( )( ) ( )2
. 1 . .( 2) 61.3 3. 1 . 1 2. .
n nnn nα
ρα α α+ + ++
=+ + − +
(4.23)
A figura abaixo ilustra o gráfico desta função:
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 55
Figura 4-2 – Comparação de esforços computacionais
Fica claro que, independente do peso entre as operações equivalentes, a
partir da dimensão n=5, este método é vantajoso quando comparado com o
cálculo direto do determinante.
4.3. O problema da limitação de potência
Mesmo nos casos em que um subconjunto de enlaces é f-viável, isso não
quer dizer que ele é satisfatório sob o ponto de vista físico. A potência do
transmissor de cada enlace tem que se situar numa faixa factível, que aqui será
denominado de [Pmin, Pmax]. Agora está se procurando valores para as potências
que pertençam ao conjunto Γ∩Ω=Ω* onde
i todopara que tais maxmin PxPx iN ≤≤ℜ∈=Γ . A seguinte definição descreve
o tipo de subconjunto de enlaces que serão agora analisados.
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 56
Definição 3:
Um conjunto de enlaces f-viável é dito estruturalmente viável (e-viável)
quando atende também as restrições de potência acima mencionadas.
Para saber se esta interseção Γ∩Ω=Ω* é vazia ou não, pode-se formular
um problema semelhante à Fase 1 do algoritmo Simplex. As desigualdades:
( ).
m
M
I H P
P PP P
η− ≥
≥≤
(4.24)
Transformam-se por inclusão de variáveis de folga não negativas u, v, e w :
( ).
m
M
I H P u
P v PP w P
η− − =
− =+ =
(4.25)
Infelizmente não é possível de forma fácil obter uma solução básica factível
para este conjunto. Entretanto se forem introduzidas as variáveis artificiais não
negativas r e s, tem-se:
( ).
m
M
I H P u r
P v s PP w P
η− − + =
− + =+ =
(4.26)
e uma solução factível básica que pode ser imediatamente identificada é
expressa por:
0
m
M
P u vr
s Pw P
η= = ==
==
(4.27)
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 57
Se agora for definido um problema de otimização onde a função objetivo a
ser minimizada é expressa por:
1
N
i ii
z r s=
= +∑ (4.28)
Tem-se que *Ω é não vazio se e somente se o valor ótimo de z for zero.
Conclui-se então que se a solução do problema de otimização descrito for
zero, então o subconjunto f-viável de enlaces também é e-viável.
Embora existam pacotes de software (“solvers”) comerciais e de domínio
público que resolvem este problema (o MATLAB é a opção mais simples),
convém salientar que a confecção de um programa que resolva o problema aqui
discutido é de complexidade moderada.
O mesmo algoritmo discutido em seção anterior para determinação de todos
os subconjuntos f-viáveis pode ser modificado para a geração de todos os
subconjuntos e-viáveis. É suficiente que o procedimento FEASIBLE também já
discutido inclua o problema de programação linear discutido nesta seção.
4.4. Problemas Baseados em Seleção de Subconjuntos Viáveis
De posse de métodos para a determinação de todos os subconjuntos e-
viáveis de um conjunto de enlaces, é possível partir para se resolver problemas
ligados à partição do conjunto de enlaces de modo a obter uma partição ótima
segundo algum critério.
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 58
O contexto descrito nas seções anteriores permite pelo menos definir dois
problemas de otimização, cuja solução é de interesse para os projetistas de
sistemas de redes móveis sem fio. São eles, a saber:
• Conseguir uma alocação com número mínimo de canais
• Conseguir uma alocação com mínima potência máxima
Antes de discutir em detalhes cada um destes problemas, seria conveniente
definir a base comum em que ambos se baseiam, na medida em que se busca
partições de um particular conjunto e por definição, os elementos que a
constituem dever ser disjuntos e quando unidos constituir o todo.
Considere, como em situações anteriores, um conjunto de enlaces
1,2,3,...., L=L e que por métodos descritos em seções anteriores foi possível
determinar a lista de cardinalidade M de todos os subconjuntos e-viáveis de L da
forma 1 2, ,...., MΠ = Π Π Π
Uma partição de L formada por elementos de Π, se existir pode ser
representada por um vetor binário Mxxxx ,...,, 21= onde xi assume o valor 1 se e
somente se Πi pertence à partição escolhida, sendo 0 caso contrário.
Para caracterizar o envolvimento dos enlaces nos elementos da partição,
constrói-se uma matriz binária A de dimensão LxM de modo que o elemento aij
assume o valor 1 se e somente se o enlace i faz parte do subconjunto viável Πj.
Para que x descreva de fato uma partição é condição necessária e suficiente
que a seguinte relação linear seja satisfeita:
. 1A x = (4.29)
onde 1 é um vetor de dimensão M onde todas as suas componentes são
unitárias.
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 59
4.4.1. O Problema do Número Mínimo de Canais
Usando a vetor x descrito na sub-seção anterior, o problema denominado de
número mínimo de canais consiste em minimizar a função objetivo abaixo:
1
M
ii
z x=
= ∑ (4.30)
sujeito à restrição imposta por (4.29). Trata-se de um problema de programação
linear-(0,1) para o qual existem vários programas de computador (“solvers”)
capazes de resolvê-lo. Entretanto situações reais podem revelar casos onde o valor
de M atinge algumas centenas o que torna a obtenção de sua solução bastante
custosa em termos de esforço computacional. Esta limitação naturalmente sugere
a busca de procedimentos heurísticos que reduzam este esforço sem comprometer
em demasia o valor da solução encontrada. Algumas seções posteriores se
dedicarão a fornecer estas soluções heurísticas e uma análise de sua eficiência
também será apresentada.
4.4.2 O Problema de Mínima Potência Máxima
Dada a natureza binária da variável de decisão do problema anterior, é
bastante razoável que a solução do problema de número mínimo de canais não
seja única. Se L* é a cardinalidade da partição ótima deste problema, faz sentido e
é desejável conhecer qual destas soluções apresenta a menor potência máxima, ou
seja, a potência usada no enlace com maior potência na partição é mínima. Este
problema se resolvido, não só gera a alocação com o menor número de “canais”
como também fornece a solução mais econômica em termos de potência.
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 60
Entretanto, antes que possamos formular este problema precisamos resolver
um outro que consiste em determinar para cada subconjunto e-viável de enlaces
da lista Π, os menores valores de potência que satisfazem a condição de e-
viabilidade. Considere que o elemento Πq de Π seja da forma 1 2, ,..., Kì i i
representando enlaces que operarão com potências 1 2, ,..., KP P P . Se H e η
representarem respectivamente a matriz de ganhos e o vetor de ruídos
normalizados associados aos enlaces de Πq, então estas condições em conjunto
com a e-viabilidade permitem formular o problema de interesse como:
1 2min max , ,...,sujeito a :( ).
K
m
M
z P P P
I H P
P PP P
η
=
− ≥
≥≤
(4.31)
Este problema é classificado na literatura de otimização como do tipo min-
max com restrições lineares. Um programa bastante adequado para resolvê-lo
encontra-se no pacote de computador MATLAB.
Para fins de entendimento, apresentamos a seguir uma ilustração gráfica
para este problema no caso específico de dimensão dois:
Figura 4-3 – Min-max de dimensão 2
P1
P2
Ω
Γ
solução min-max
P1*>P2*
P2*
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 61
Neste exemplo, a solução mini-max (minimização do valor máximo de uma
função) não é única (todos os pontos da linha grossa vermelha) mas o valor da
função objeto é o mesmo para todos eles. Quando a solução não é única, pode-se
definir uma seqüência de problemas min-max nas variáveis restantes de modo a
achar a solução mais adequada.
Uma vez conhecido, para cada subconjunto e-viável Πi, o seu valor de
potência P min-max, aqui denotado por iP~ , podemos descobrir qual a partição
com menor cardinalidade que minimiza o maior valor iP~ utilizado. Novamente
recaímos num problema min-max com restrições lineares binárias com a seguinte
formulação:
1 1 2 2
1
min max . , . ,..., .
sujeito a :. 1
*
0,1
M M
M
ii
M
z P x P x P x
A x
x L
x=
=
=
=
∈
∑
(4.32)
Onde x tem o mesmo significado anteriormente descrito e L* é o valor da
função objetivo na solução ótima do número mínimo de canais.
Convém lembrar que, nos casos em que o número de canais não for um
recurso exageradamente escasso, a última restrição linear deste problema pode ser
“relaxada” através da substituição de L* por um valor L maior do que L*. Este
relaxamento certamente permitirá que valores menores de mínima potência
máxima possam ser obtidos. Lembremo-nos de que este valor condiciona o tempo
de vida da bateria de um telefone celular, que é considerado um dos principais
recursos a serem preservados.
Lamentavelmente este problema não é linear e a condição de binariedade
introduz uma dificuldade extra na obtenção de sua solução. Entretanto, esta
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 62
mesma natureza binária da variável de decisão, torna possível transformar este
problema em um outro linear (e conseqüentemente passível de ser resolvido por
programas como o XPRESS) pagando-se o preço de um aumento substancial no
número de variáveis de decisão. Recai-se assim no domínio do mesmo programa
utilizado para a solução do problema de alocação mínima de canais.
No momento o interesse aqui é o de mostrar que este problema pode ser
linearizado por partes, onde se tira partido fundamentalmente da condição binária
do problema.
Para fim de clareza na apresentação dos resultados, considere o seguinte
problema não linear binário:
1 1 2 2
1
min max . , . ,..., .sujeito a :
. 1
0,1
N N
K
ii
N
z x x x
A x
x L
x
α α α
=
=
=
=
∈
∑
(4.33)
4.5. Uma Heurística Para Determinação do Número Mínimo de Canais
Embora a seção 4.4.1 tenha abordado de modo formal o problema da
determinação do número mínimo de canais para uma coleção de enlaces que
devam atender uma SINR mínima, percebe-se que esta solução é de elevado
esforço computacional, além de requerer possivelmente programas de computador
comerciais para a sua solução.
Estes argumentos podem ser considerados suficientes para que se busque
soluções sub-ótimas, mas de reduzido grau de demanda computacional. Essas
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 63
heurísticas ou procedimentos “ad hoc” podem ser gerados às centenas, bastando
para isso criatividade e bom senso. Se elas serão viáveis sob um ponto de vista
mais pragmático, se elas gerarão soluções razoavelmente próximas da solução
ótima, se seu esforço computacional é pequeno o suficiente para permitir
aplicações em tempo real, todas essas são questões de grande interesse e que
precisam ser respondidas.
Dentre esta coleção de heurísticas destacam-se os métodos denominados de
gulosos ou gananciosos (“greedy”) que tentam resolver o problema por
procedimentos que tentem chegar da forma mais rápida e imediata naquilo que
parece ser a solução ótima para o problema. Esta estratégia pode não ser a melhor
opção, e ainda ocorrem casos onde ela não é sequer indicada. A título de exemplo
é sabido que, principalmente em problemas de otimização no contínuo, algumas
funções objetivo são tão mal comportadas, a melhor direção a se caminhar para
maximizar essa função não coincide com a direção do gradiente (a mais gulosa no
sentido de crescimento) da função objetivo.
O modelo formal que se assume nesta seção é o mesmo que foi discutido
em seções anteriores.
Dispõe-se de um conjunto de L enlaces para os quais se conhece o conjunto
Π2 de todos os seus subconjuntos de dimensão 2 que são e-viáveis.
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 64
No caso específico de dimensão 2, a verificação da e-viabilidade é de complexidade bastante reduzida, como ilustrado abaixo:
Figura 4-4 – Verificação de e-viabilidade em dimensão 2
Para que a região de potências factíveis (retângulo) tenha intersessão com
a que caracteriza a f-viabilidade, é necessário e suficiente que :
• O ponto P1 esteja “acima” da reta A • O ponto P2 esteja “abaixo” da reta B
Estas duas condições implicam que:
[ ]1 12 2 21max . , .g gβ η α η α≥ + + (4.34)
Diz-se que o enlace i é 2-compatível com o enlace j quando o par (i,j)
pertencer a Π2. Caso contrário diz-se que enlace i é incompatível com o enlace j
x2-
x2
x1
x1- x1=x2
α
2
1
A
B
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 65
Para evitar possíveis polarizações devido à ordem de escolha dos enlaces,
pode-se promover uma permutação aleatória dos enlaces, e assim a sua lista fica
na da forma i1,i2,....,iL. Denota-se por B(k) o conjunto de todos os enlaces que
utilizam canal k
− faça, C=1, (1) iB i= e (2) (3) ......B B φ= = =
− para j = 2 a L
o para k = 1 a C
se enlace ij é compatível com todos os enlaces em B(k)
então coloca-se ij em B(k) e break
o end
o se enlace ij não foi alocado
faça C = C+1
coloca-se ij em B(C)
o end
− end
Ao término deste algoritmo, C fornecerá uma estimativa para o número
mínimo de canais.
É fácil perceber que a ação deste algoritmo é o de colocar enlaces em
grupos já existentes desde que haja compatibilidade do enlace corrente com todos
os elementos deste conjunto. No caso em que isto não ocorra, um novo conjunto é
criado para contê-lo.
Observe que é possível que ao final, enlaces de um mesmo conjunto não
sejam globalmente compatíveis porque o único teste efetuado foi o de 2-
compatibilidade. Por exemplo, é possível que i1, i2 e i3 sejam compatíveis dois a
dois sem que o sejam em grupo de três.
Entretanto o que se tem observado quando este algoritmo é testado em
diversos exemplos é que na vastíssima maioria dos casos, os subconjuntos finais
são de enlaces compatíveis. Assim a não verificação da compatibilidade dos
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 66
grupos de enlaces de cardinalidade três ou superior, representa uma considerável
economia de esforço computacional.
Concebe-se então uma Fase 2 para este algoritmo, onde os subconjuntos
gerados na fase discutida (doravante chamada de Fase 1) são globalmente
verificados e se apresentarem incompatibilidade, esses subconjuntos de tamanho
reduzido devem ser fracionados de modo a atender a desejada compatibilidade.
Não será aqui considerada nenhuma técnica especial de fracionamento deste
conjunto porque sendo em geral pequeno (tamanho tipicamente inferior a 5), este
conjunto pode ser por exemplo, fracionado por métodos de força bruta.
4.6. O Problema de Mínima Interferência Revisitado
Nos problemas anteriores, todas as partições de interesse feitas no
conjunto de enlaces tinham que ser e-viáveis. Obter tais partições é uma tarefa
extremamente demandante sob o ponto de vista de complexidade computacional.
Assim são necessárias tentativas de abrandar o problema e obter soluções que não
impliquem a necessidade de utilização de “solvers” sofisticados. Uma delas é a
seguir discutida.
Considere o problema de N enlaces onde estão disponíveis F recursos
denominados, por pura concisão, de “canais”. Toda vez que dois enlaces
compartilham um mesmo canal ocorre interferência ente eles. Para descrever este
compartilhamento de canais, considere uma variável X descrita na forma de uma
matriz binária NxF, onde Xij vale 1 se e somente se canal j é utilizado pelo link i.
Note que uma vez que cada enlace utiliza um único canal, tem-se que cada linha
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 67
de X contém apenas um único valor diferente de zero. A relação sinal-
interferência-ruído expressa em (3.4) pode ser reescrita como:
1 1
.
. . .
i ii N F
i ij j ik jki kj i
PSINRn G P X X
= =≠
Γ=
+∑ ∑ (4.35)
Onde algumas modificações foram feitas em termos de notação. Por exemplo, o
ganho de enlace entre o transmissor e o receptor do enlace i chama-se agora Γi,
fazendo com que Gii não faça mais sentido. Podemos reutilizar essa variável
definindo o ruído ni como o produto Gii.Pi e assim reescrever a expressão acima
como:
1 1
1.
. ..
i N Fij j
ik jki ki i
SINR G PX X
P= =
=
Γ∑ ∑ (4.36)
Se admitirmos que as potências são conhecidas, podemos redefinir a fração
que aparece acima como Qij e assim:
1 1
1 1( ). .
i N Fi
ij ik jki k
SINRD XQ X X
= =
= =
∑ ∑ (4.37)
Um problema importante é determinar a matriz X de modo que o valor
mínimo da SINR (ao longo dos enlaces i) observada nos enlaces seja maximizado.
Uma vez que o numerador da SINR não depende da variável de decisão X, este
problema é equivalente a:
i
min max ( )iXz D X= (4.38)
Onde :
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 68
1 1
( ) . .L F
i ij if jfj f
D X Q x x= =
= ∑ ∑ (4.39)
Sujeito às restrições:
11
0,1
F
iff
if
x
x=
=
∈
∑ (4.40)
Este problema tem natureza combinatorial, o que o coloca em princípio
numa categoria de problemas cujas soluções são computacionalmente pesadas.
Existem FN diferentes valores para X, mas devemos levar em consideração que
não existe diferença em soluções que se distinguem por “renomeação” dos canais.
Assim o número de soluções distintas é muito menor do que FN, mas dependendo
dos valores de F e N sua busca exaustiva pode ainda ser inviável.
Uma forma equivalente, porém mais compacta de descrever a solução X é
por meio de um vetor Y pertencente a 1,2,...,FL da forma Y=(Y1,Y2,...,YL) onde Yi
descreve o canal usado pelo enlace i. Numa tentativa de reduzir as chances de
visitar soluções idênticas em termos de renomeação de canais, será fixado Y1 =1
para todas as soluções de interesse.
A lógica do algoritmo a ser proposto é do tipo guloso: inicia-se com uma
solução arbitrária e busca-se melhorá-la progressivamente. A grande maioria dos
algoritmos gulosos procede desta forma. Será mostrado, entretanto que o esforço
computacional associado é muito pequeno e pode ser feito a partir de um tableau,
a semelhança dos algoritmos simples de Programação Linear.
Para o melhor entendimento do algoritmo vejamos uma definição
importante.
Definição 3
Duas soluções Y(1) e Y(2) são ditas k-adjacentes quando elas diferem em
exatamente k posições.
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 69
O objetivo é descobrir relações explícitas de melhoria de solução em função
da k-adjacência e procurar um caminho Y(1),Y(2), Y(3),.... de soluções adjacentes que
são progressivamente melhores.
4.6.1 O Caso da 1-Adjacência
Sejam Y(1) e Y(2) duas soluções 1-adjacentes onde se espera que a
segunda seja melhor do que a primeira. Estas soluções são idênticas em todas as
posições exceto em uma posição denominada u onde:
(1)
(2)
u
u
Y r
Y s
=
= (4.41)
Sejam L(1) e L(2) os subconjuntos de enlaces que utilizam, pela solução 1, os
canais r e s, respectivamente.
Note que, na passagem da solução 1 para 2, todos os v enlaces pertencentes
a L(1)-u terão seus níveis de interferência reduzidos de Qvu enquanto que todos
os enlaces v pertencentes a L(2) terão seus níveis de interferência aumentados de
Qvu. Finalmente o enlace u, que agora passa a pertencer a L(2), tem seu nível de
interferência modificado para:
( 2)
u ujj L
D Q∈
= ∑ (4.42)
Será designado como enlace crítico da solução corrente Y aquele onde
ocorre o maior valor de D, por exemplo, q. Claramente, para que este valor Dmax
possa ser reduzido, é necessário que se altere o canal de algum enlace que use o
mesmo canal de q. Os candidatos u a esta alteração são apenas aqueles em que
Yu=Yq, o que reduz consideravelmente o escopo da busca. Precisa-se agora
determinar uma forma de escolher o novo canal de u. A idéia é percorrer todos os
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 70
valores possíveis, que não ultrapassem o valor Dmax. A seguir apresenta-se um
algoritmo onde as idéias aqui expostas são implementadas:
ALGORITMO PARA 1-A
• Seja Y a solução corrente, q o link crítico e r o seu canal (r =Yq).
• Construa o conjunto rYLiL i =∈= que tais,...,2,1)1(
• para todo u ∈ L(1) faça:
para todo s∈1,2,...,F-r, faça:
o Determine sYLiL i =∈= que tais,...,2,1)2(
o flag = TRUE
o para todo v∈ L(2), faça:
se Dv+Qvu ≥ Dq então flag = FALSE and break
o end
o se flag = TRUE e qv
uv DQ ≥∑∈ (2)L
então flag = FALSE
o se flag = TRUE então uma solução foi achada. Faça
sYi = e FIM
end
• end
Entenda que este algoritmo poderia ser mais “guloso” ainda, isto é,
determinar todas as possibilidades e escolher a que provoca a maior redução do
valor de Dw. Isto implicaria em percorrer todas os casos possíveis, armazená-los e
fazer a decisão no final.
4.6.2 O Caso da 2-Adjacência
Assume-se que algoritmo anterior foi aplicado e que se chegou a uma
solução Y* que não pode ser melhorada pela busca de uma outra que lhe seja 1-
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 71
adjacente. Para que o nível máximo de interferência possa ser reduzido, é
necessário que se altere o canal de algum enlace u que use o mesmo canal do
enlace crítico w. Entretanto, qualquer que seja o novo valor deste canal (i.e. Yu),
não haverá redução do nível máximo de interferência porque não há, pela hipótese
assumida no início deste parágrafo, solução 1-adjacente que reduza este nível.
Conseqüentemente qualquer que seja a escolha deste canal, algum enlace que o
compartilha, terá que ter seu canal alterado. Esta imbricação resulta em uma
redução considerável nos vizinhos 2-adjacentes, que devem ser procurados para
melhorar a solução. Apresenta-se a seguir a descrição de um algoritmo que
explora esta idéia:
ALGORITMO PARA 2-A
• Seja Y a solução corrente, w o enlace crítico e r o seu canal (r =Yw) • construa o conjunto rYLiL i =∈= que tais,...,2,1)1( • para todo u ∈ L(1) faça:
o para todo s∈1,2,...,F-r, faça: Determine sYLiL i =∈= que tais,...,2,1)2( para todo v ∈ L(2), faça:
• flag = TRUE • para todo a∈ L(2)-v faça:
se Da+Qau-Qav>Dq então flag=FALSE break • end • se flag = TRUE e q
vaua DQ ≥∑
−∈ L(2)
então flag = FALSE
• se flag = FALSE então break • para todo t∈1,2,...,F-s
Calcule tYLiL i =∈= que tais,...,2,1)3( para todo w∈ L(3), faça:
se Dw+Qwv≥Dq então flag=FALSE break end se flag=TRUE e q
ava DQ ≥∑
∈ (3)L
entãoflag=FALSE
se flag = FALSE então break • end • se flag = TRUE então faça tYsY vu == e FIM
end o end
• end
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 72
A grande vantagem desta estratégia é que ela pode ser repetida dando
origem a algoritmos para busca de soluções melhores por 3-adjacência, 4-
adjacência e assim por diante. Entretanto a busca por k-adjacência só pode ser
feita quando as buscas por adjacências de ordem inferior a k falham.
Assim um algoritmo geral que explore esses conceitos pode ser concebido
como descrito abaixo:
ALGORITMO GERAL
1. faça k = 1
2. procure uma solução k-adjacente “melhor”
3. se achou, faça k = 1 e vá para 2.
4. caso contrário, faça k = k+1 e vá para 2
Observe que neste algoritmo não está determinado o critério de parada.
Este pode ter várias formas como por exemplo a) pelo número de iterações b)
pelo valor máximo de k.
4.7. Metáforas Evolucionais para o Problema de Mínima Interferência
Todos os métodos de solução discutidos nesta tese são ou métodos formais
locais ou heurísticas gulosas também locais. Por local quer-se dizer que são
métodos interativos cuja seqüência de soluções produzida é monotonicamente
melhor (no sentido de reduzir/aumentar a função objetivo do problema de
minimização/maximização), fazendo com que esta solução seja capturada por
ótimos locais da função objetivo.
Em problemas de otimização em geral deseja-se determinar as soluções
ótimas globais, mas as técnicas para sua determinação são frequentemente
sofisticadas e computacionalmente caras. Uma possível linha de algoritmos
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 73
criados para permitir a busca de soluções globais é aquela genericamente
denominada de métodos evolucionais. Estes métodos operam por meio de uma
metáfora, na qual ha uma correspondência entre elementos abstratos do mundo
evolucional e elementos concretos do mundo do modelo em questão. Uma destas
metáforas de grande freqüência de aplicação nestes problemas é aquela que dá
origem aos chamados algoritmos genéticos.
Nesta classe de algoritmos criam-se populações de indivíduos (em que cada
elemento contém um cromossomo) que metaforicamente representam as soluções
admissíveis para o problema de otimização. Cada indivíduo, por meio de seu
cromossomo, possui um indicador de qualidade (valor da função objetivo). A
idéia do algoritmo é o de promover cruzamentos de membros desta população
produzindo uma nova geração (cujos cromossomos foram gerados pelos processos
de crossover e mutação) da qual são selecionados os indivíduos “mais capazes”
(novamente no sentido da função objetivo) como se os princípios evolucionistas
darwinianos comandassem esse processo. Esta produção de novas gerações se
repete perpetuamente, até que os membros da geração sobrevivente atinjam níveis
de qualidade satisfatórios.
O problema de interesse a ser resolvido por um algoritmo genético é o
discutido na seção anterior e caracterizados pelas expressões (4.38) a (4.40).
Em grande parte, o sucesso ou fracasso da aplicação de algoritmos genéticos
está relacionado com a representação cromossomial da solução admissível do
problema de otimização. Embora a formulação acima induza uma definição
natural para cromossomo, achou-se que esta não levaria em conta nenhuma
informação sobre a instância do problema. Assim indivíduos serão caracterizados
por um cromossomo descrito por um vetor de comprimento L (no. de enlaces) e
que contém os inteiros de 1 a L numa ordem aleatória. Esta ordem será a seguida
no processo de atribuição de canais aos enlaces.
Associado a cada cromossomo I existe um vetor de atribuição S, de mesma
dimensão de I, onde S(k) é o canal atribuído ao enlace k. Esta atribuição se fará na
ordem dos enlaces expressa no cromossomo I, e o canal S(k) corresponderá ao
caso que minimiza a máxima interferência até o presente momento. Este
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 74
procedimento é executado por meio de um decodificador, cuja descrição
algorítmica é a seguir apresentada:
Depois de construído vetor de atribuição S para cada cromossomo I, este
vetor S é avaliado e armazenado em conjunto com cada cromossomo.
Esta avaliação não é nada mais do que o valor máximo de interferência
produzido e seu cálculo segue o procedimento abaixo descrito.
A população de indivíduos foi inicializada gerando-se permutações
aleatórias do conjunto de enlaces e o processo de geração de populações
HEURÍSTICA DO DECODIFICADOR
Para todo elemento(gene) k = 1,..., |L| do cromossomo
MinMax_Interf = +inf
Para todo canal f=1,…,|F|
X[cromossomo[k]] = f
Max_Interf = -inf
Para todo Link i=1,…,|L|
ìnterf = 0
Para todo Link j=1,…,|L|
Se (X[i] ≠ ø) e (X[i] = X[j]) então: Interf = interf + Q[i][j]
Fim do Loop em j
Se (interf > Max_Interf) então:
Max_interf = interf
Cel_Max_interf = i
Fim de condição Se
Fim do Loop em i
Se (MinMax_interf > Max_Interf) então:
MinMax_Interf = Max_interf
f_MinMax = f
Fim de condição Se
Fim do Loop em f
Métodos de Solução dos Problemas Apresentados 75
sucessoras foi realizado por meio de operadores de embaralhamento, crossover de
ordem e mutação de ordem e posição.
AVALIAÇÃO DO INDIVÍDO (K)
Max_Interf = -inf
Para todo Link i=1,…,|L|
ìnterf = 0
Para todo Link j=1,…,|L|
Se (X[i] ≠ ø) e (X[i] = X[j]) então: Interf = interf + Q[i][j]
Fim do Loop em j
Se (interf > Max_Interf) então:
Max_interf = interf
Cel_Max_interf = i
Fim de condição Se
Fim do Loop em i
Avaliação[K] = Max_interf
Cel_Max_Interf_Individuo[K] = Cel_Max_interf
5 Resultados numéricos
O resultados apresentados nesta seção devem ser considerados como
ilustrativos das idéias, conceitos, resultados e teoremas apresentados nas seções
anteriores. Sua finalidade é provar que os conceitos funcionam, pelo menos para
simulações básicas. Comparações quantitativas precisas e formais, que provem ser
os métodos apresentados neste trabalho melhores ou não do que alguns outros
existentes na literatura correntes, não foram realizadas. Isto porque, em primeiro
lugar a modelagem matemática foi feita sobre um sistema de características
completamente gerais, sem nenhuma das particularidades que os sistemas reais em
geral apresentam; em segundo lugar porque não foram sugeridas aplicações
específicas para as formulações deste trabalho. Por exemplo, o teorema 2 tanto
poderia ser efetivamente utilizado em algum algoritmo de alocação de canais,
como também poderia ser aplicado como critério de qualidade na comparação
entre métodos aqui apresentados e outras heurísticas. Em terceiro, deve-se levar
em conta que os programas efetuados no curso desta tese concentraram-se na
implementação dos métodos aqui discutidos sem que houvesse exagerada
preocupação com a velocidade de execução. Em sua maioria foram
implementados no ambiente MATLAB, que na maioria dos casos é ineficiente sob
o ponto de vista de velocidade de execução de códigos.
Assim as metodologias propostas serão ilustradas e alguns resultados
relativos aos seus desempenhos computacionais serão apresentados.
Resultados numéricos 77
5.1. Cenário
O cenário relativo ao ambiente onde os enlaces se localizam, foi escolhido
com o objetivo de ilustrar os métodos, algoritmos e teoremas discutidos em seções
anteriores é composto por uma região plana e quadrada de dimensão pré-
especificada onde não se considera as presenças de obstáculos ou espalhadores,
assim como também se considera que não há interferência proveniente de fora
desta região. Este cenário é totalmente atípico, mas a única utilidade dele é gerar
uma matriz de G de ganhos. Poderia ter sido usado um gerador de números
aleatórios para atribuir valores aos seus elementos, mas o método utilizado ao
menos garante que haverá um comportamento de atenuação de sinal com a
distância
Nela, Nu unidades transmissoras e Ne unidades receptoras são previamente
estabelecidas e aleatoriamente posicionadas, sendo este processo caracterizado
pela escolha de uma semente para o gerador de números aleatórios, de modo a
permitir a reprodutibilidade do cenário entre os vários programas que serão
utilizados. Cada unidade transmissora estabelece um enlace unidirecional com a
unidade receptora geograficamente mais próxima, sendo este modelo semelhante
ao do enlace de subida dos sistemas de telefonia celular. Apesar disso este modelo
é facilmente generalizável podendo também simular o comportamento de redes
MANET. Em qualquer uma das situações discutidas, o nível de interferência é
investigado apenas nas unidades receptoras.
Assume-se que cada unidade transmissora gera um campo eletromagnético
de potência isotrópico, que será considerado como sinal para a unidade receptora a
que se destina, e será considerada como interferência para as outras unidades
receptoras. Assume-se que a intensidade do campo eletromagnético decaia
segundo uma lei exponencial com a distância, embora outros modelos de
propagação possam ser testados. Esta escolha não influirá no que se deseja
mostrar. Para manter a coerência com a realidade se espera um comportamento de
atenuação do sinal com a distância, mas este varia de acordo com as
Resultados numéricos 78
características do local, por exemplo uma região bastante construída têm um
comportamento, já uma área rural apresenta outro comportamento e assim por
diante. Como, conforme foi dito antes, o único interesse é gerar uma matriz G que
seja semelhante à obtida em um caso real, os detalhes de modelo de propagação e
tipo de terreno não são importantes.
Os valores máximos e mínimos de potência transmitida, a potência média de
ruído, e o valor mínimo da SINR permitido também são configurados no cenário.
Esse conjunto de parâmetros caracteriza o cenário para todos os programas de
computador implementados. A tabela abaixo exemplifica um cenário específico:
Parâmetro Valor Significado
LL 10 dimensão da região de interesse (km)
Nu 20 número de usuários
Ne 8 número de erbs
Pn 1.00E-05 potência media de ruído (watt)
SIRdb 25 SNIR mínima (dB)
Pmin 0.1 potencia mínima (watt)
Pmax 1 potencia máxima (watt)
Semente 144 semente para o cenário
Tabela 4- Parâmetros de configuração de cenário
A partir da definição de um cenário específico (como o da tabela acima),
elaborou-se um programa em Matlab, que posiciona os transmissores e receptores,
e calcula a matriz G de ganhos dos enlaces desejados e interferentes. Um exemplo
do cenário formado pelos parâmetros apresentados na tabela acima é ilustrado na
figura abaixo.
Resultados numéricos 79
Figura 5-1 Posicionamento de transmissores e receptores no cenário
5.2. Determinação dos conjuntos de enlaces viáveis
Com base na matriz G de ganho dos enlaces, um outro programa também
implementado em Matlab, determina todos os subconjuntos de enlaces e-viáveis
do cenário em consideração. Este programa utiliza os procedimentos descritos no
algoritmo apresentado na seção 4.2. Primeiro os subconjuntos f-viáveis são
calculadas por meio do procedimento de determinantes definidos pelo Teorema 2.
A seguir, a e-viabilidade destes subconjuntos é testada por meio de um par de
problemas de otimização, um linear e outro de natureza minimax, conforme
descrito nas seções 4.3 e 4.4.2. Estes dois problemas foram respectivamente
resolvidos pelos procedimentos linprog e fminimax existentes no pacote de
otimização (Optimization Toolbox) do MATLAB. Estes programas funcionaram
de forma eficiente em termos de convergência. O quadro abaixo ilustra uma saída
Resultados numéricos 80
típica deste programa para o cenário já mencionado e apresentado em tabela
anterior
Tabela 5- Resultado do programa de verificação de e-viabilidade
Neste exemplo foram determinados 354 subconjuntos f-viáveis (a soma dos
primeiros números entre parênteses), sendo destes, 190 pares, 122 triplos, e 42
quádruplos. Dentre desses casos, 134 (36,8% do total de f-viáveis) foram
considerados e-viáveis, implicando que além de terem solução possível com
potências positivas, todos possuem potências dentro dos limites pré-estabelecidos.
Em 219 dos casos, (a soma dos segundos números entre parênteses), o ponto
extremo da região de f-viabilidade não se localizava na região de potências
permitidas, requerendo a execução dos procedimentos de otimização discutidos
em parágrafo anterior. Podemos concluir que foram executadas 219 vezes o par de
subrotinas linprog e fminimax de otimização, há um tempo máximo de 25.57
mseg por par. Este tempo é alto para fins de aplicações em tempo real, mas é
possível que com melhorias no código, e processadores mais rápidos, esta
limitação seja superada. Este tempo é satisfatório para aplicações que não
demandem tempo real, como simulações de sistemas.
-------VIABILIDADE DA MATRIZ G --------------------
No. de usuarios = 20
No. de erbs = 8
Pot. de Ruido = 1.000e-002 mW
SIR Minima = 25.0 dB
Potencia = [1.000e-001,1.000e+000] W
--> 2-uplas achadas = 55 (190/89)
--> 3-uplas achadas = 67 (122/93)
--> 4-uplas achadas = 12 (42/37)
--> 5-uplas achadas = 0 (0/0)
--> TOTAL = 134
Duraçao = 5.6 seg
Resultados numéricos 81
Para ilustrar a variação da quantidade de subconjuntos e-viáveis existentes
em relação a mudanças dos parâmetros do cenário, usou-se o cenário apresentado
na tabela anterior como referência e escolheram-se alguns parâmetros para
alterações. Em relação ao cenário-referência, alterou-se:
• caso 1 : a variação da semente
• caso 2 : a SNIR variando de 30db a 20dB em passo de 1 dB
• caso 3 : a potência média de ruído variando entre 10-4W a 10-8W
• caso 4: a potência máxima do transmissor de 0.3W para 10000W
No caso 1 ocorre uma grande variação no número de subconjuntos f-viáveis
com a mudança da semente. A tabela 6 apresenta alguns valores de semente.
SEMENTE NÚMERO DE
CONJUNTOS
E-VIÁVEIS
144 134
12 282
18 170
45 202
94 86
95 83
112 26
Tabela 6 – Variação do número de conjuntos e-viáveis com variação da semente
O que se vê é uma enorme variação, da ordem de dez vezes. Isto ocorre
porque a mudança da semente implica uma nova disposição aleatória das estações
transmissoras e receptoras, alterando fortemente as possibilidades de
interferências.
O caso 2, com a variação do requisito de SINR, varia-se também
intensamente o número possível de conjuntos e-viáveis. Ao se relaxar a exigência
Resultados numéricos 82
da relação sinal ruído um maior número de usuários podem ocupar o mesmo
canal. A tabela 7 mostra essa variação para o caso exemplo.
SINR NÚMERO DE
CONJUNTOS
E-VIÁVEIS
30 3
29 27
28 55
27 72
26 72
25 134
24 164
23 313
22 385
21 460
20 575
Tabela 7 – Variação do número de conjuntos e-viáveis com a SINR
Também no caso 3 ocorre uma grande variação do número de conjuntos e-
viáveis. Na tabela 8 observa-se uma saturação a partir de 0.05 mW indicando um
ruído de fundo muito alto, que na prática não permite que nenhum enlace satisfaça
os requisitos de SINR. Já em potências muito baixas de ruído, a saturação é
devida a este ficar desprezível comparada à interferência dos outros usuários.
POTÊNCIA
MÉDIA DE
RUÍDO (MW)
NÚMERO DE
CONJUNTOS E-
VIÁVEIS
0.1 1
0.05 1
0.03 16
0.02 61
Resultados numéricos 83
0.01 134
0.008 152
0.006 271
0.004 332
0.001 596
0.0001 625
0.00001 638
Tabela 8 - Variação do número de conjuntos e-viáveis com a potência de ruído
Por fim o quarto caso analisado serve para mostrar o espalhamento dos
conjuntos f-viáveis ao longo dos níveis de potência. Isto porque o que difere o
conjunto f-viável do e-viável, é o segundo estar dentro dos limites estabelecidos
(máximo e mínimo) de potência. Nota-se uma concentração dos conjuntos em
níveis inferiores 5 Watts, mas também ocorre um considerável número de enlaces
e-viáveis espalhados em faixas de potência de até 10 MW, o que é totalmente
inviável para casos reais. A figura 5-2 mostra esse espalhamento.
Espalhamento de potência dos conjuntos f-viáveis
0
50
100
150
200
250
300
[0.1, 0.3] [0.3, 0.5] [0.5, 2] [2, 3] [3, 5] [5,10] [10, 20] [20, 100] [100,1000] [1000,10000]
Faixas de potência (W)
Núm
ero
de c
onju
ntos
e-v
iáve
is
Figura 5-2 – Espalhamento de potência dos conjuntos f-viáveis
Resultados numéricos 84
Estes exemplos de nenhuma forma exaurem o estudo do impacto destes
parâmetros na quantidade de subconjuntos e-viáveis, mas permite ilustrar que
variações em valores de alguns parâmetros podem produzir aumento substancial
na quantidade de subconjuntos e-viáveis. Isto gera um impacto na dimensão dos
problemas de otimização que se seguirão.
Convém salientar que este programa também gera em sua saída, matrizes de
restrições e vetores de coeficientes para os problemas denominados de “mínimo
número de canais” e “mínima potência máxima” que foram conceitualmente
abordados em capítulos anteriores e que serão numericamente ilustrados nas
seções seguintes.
5.3. Minimização do número de canais, ou da máxima potência
Os problemas de otimização que determinam respectivamente o número
mínimo de canais (seção 4.3) e a mínima potência máxima (4.4.2) são de natureza
binária e o MATLAB não dispõe de ferramentas para resolvê-los. Foram
utilizadas duas ferramentas de programação para tratar tais problemas. A primeira
foi o “solver” denominado de Visual Xpress3 específico para programação linear,
que tem capacidade de resolver problemas contínuos, discretos e binários. O
segundo foi uma ferramenta de domínio público GLPK desenvolvida dentro do
projeto GNU (ferramentas de software livre, com fonte aberto, e sujeito a
licenciamento GPL, o Linux faz parte deste projeto).
3 Visual Xpress é um produto da empresa Dash Associates.
Resultados numéricos 85
Ambas ferramentas resolvem os problemas propostos de maneira eficiente,
mas o Visual Xpress apresentou uma limitação de leitura dos arquivos de
restrições gerados pelo programa feasible visto na seção anterior. Com isto não se
podem tratar problemas com grande número de casos e-viáveis. Outra
desvantagem deste pacote é que é um produto comercial, necessitando a aquisição
de uma licença de uso. Assim sendo as simulações executadas para ilustrar esta
tese foram feitas usando o pacote GLPK.
Desenvolver usando o GLPK é razoavelmente simples. A programação é
feita na linguagem C, e pode ser compilada em qualquer compilador. Foram
escritos dois programas, um para resolver o problema do número mínimo de
canais, cuja formulação se encontra em 4.4.1, e outro que determina a
configuração de subconjuntos e-viáveis que produzem a mínima potência
máxima, e que foi formulado em 4.4.2. Convém salientar que com relação a este
último problema de otimização foi artificialmente introduzida uma restrição
adicional que define o número de canais utilizados. O objetivo desta restrição é
avaliar o valor desta mínima potência máxima em função da quantidade de canais
disponíveis.
O tempo de execução do primeiro programa é mínimo, só como exemplo,
num caso com 7832 conjuntos e-viáveis o programa feasible demorou 967
segundos numa cpu Pentium 2.4 GHz, já o programa de minimização de canais
executou quase instantaneamente. Assim o limitante para o estudo casos com
grande quantidade de conjuntos e-viáveis é a rotina feasible.
Ainda utilizando o exemplo ilustrado na tabela no início deste capítulo onde
o número de usuários é 20, a solução ótima encontrada para o número mínimo de
canais foi 12, onde 7 canais apresentaram um único usuário, 3 canais
apresentaram dois usuários, e 2 canais apresentaram três usuários, gerando um
aproveitamento médio de 1.666 usuários por canal. Executando vários casos onde
se aumenta o número de transmissores e de receptores, são encontrados valores
entre 1.5 e 2.5. Quando se relaxa o parâmetro de SINR para 20 dB o
aproveitamento médio no exemplo padrão sobe para 2.5, o mesmo acontece
quando se diminui a intensidade do ruído de fundo para 0.005 mW.
Resultados numéricos 86
Quanto ao programa de solução de mínima potência máxima, os tempos de
execução são muito altos, da ordem de vários minutos para casos com muitos
conjuntos e-viáveis. Um resultado interessante que pode ser obtido é como o valor
de mínima potência máxima se altera quando se relaxa a condição de mínimos de
canais. O exemplo abaixo demonstra isso para o caso exemplo escolhido.
No. De Canais Min. Pot. Max.
(W)
Redução
Percentual
12 0.856 0.00
13 0.804 6.07
14 0.541 36.80
15 0.467 45.44
16 0.391 54.32
17 0.321 62.5
18 0.221 74.18
19 0.1 88.32
Tabela 9 – Efeito do relaxamento da condição de número de canais
Figura 5-3 – Efeito do relaxamento da condição de número de canais
Note-se houve uma redução acentuada quando passou de 13 para 14 canais,
e depois continuou caindo monotônicamente até a situação onde não há
interferência, que corresponde a 1 usuário por canal. Ilustra-se assim o fato de que
pequenos relaxamentos na condição de número de canais podem gerar diminuição
significativa na potência máxima requerida
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
10 12 14 16 18 20 22
Número de canais
Potê
ncia
em
mW
att
Resultados numéricos 87
Se parâmetros são alterados de modo que o número de subconjuntos e-
viáveis cresce, tem-se então maior flexibilidade para redução da quantidade de
canais ou para redução da mínima potência máxima. A figura abaixo ilustra uma
situação idêntica ao caso anterior onde se reduziu a SINR requerida de 25dB para
20dB, com o conseqüente aumento da quantidade de subconjuntos e-viáveis de
134 para 237. A mínima potência máxima nas situações de 11 e 12 canais caiu de
0.829 para 0.216, representando uma queda percentual de 74%.
No. De Canais Min. Pot. Max.
(W)
Redução
Percentual
11 0.829 0.00
12 0.216 73.94
13 0.105 87.33
14 0.1 87.93
Tabela 10 - Efeito do relaxamento da condição de número de canais caso 2
Figura 5-4 – Efeito do relaxamento da condição de número de canais 2
5.4. Heurística para determinação do número de canais
Os procedimentos utilizados na seção anterior são extremamente caros sob o
ponto de vista computacional, principalmente a rotina feasible, e a de mínimo
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0 5 10 15 20 25
Número de Canais
Potê
ncia
mW
att
Resultados numéricos 88
máximo. Portanto a busca de estratégias sub-ótimas, e de reduzido esforço
computacional muitas vezes são necessárias.
A heurística proposta e descrita na seção 4.5 deste trabalho descreve um
procedimento onde apenas é necessário a investigação da e-viabilidade de ordem
2. A geração de subconjuntos de ordem superior a 2 é feita somente levando em
conta a compatibilidade 2 a 2. Assim, subconjuntos gerados podem não ser e-
viáveis, de modo a requerer uma repartição dos mesmos para obter subconjuntos
e-viáveis.
Abaixo apresentamos duas saídas típicas em que a primeira investigação par
a par foi suficiente para gerar uma solução e-viável, enquanto que no segundo
caso vários subconjuntos não e-viáveis foram gerados. Entretanto tais conjuntos
podem ser fracionados de forma rápida e fácil, por exemplo retirando um usuário
e o colocando num canal livre.
Raio espectral de H = 1017.5914 ========= PROGRAMA DE VIABILIDADE DE CANAIS ========= No. de ERBs : 8 No. de USUARIOS : 20 Usuario 1 incompativel com 2 9 13 14 16 18 20 Usuario 2 incompativel com 1 8 9 13 14 16 18 20 Usuario 3 incompativel com 8 9 10 12 13 14 17 20 Usuario 4 incompativel com 5 6 7 9 11 13 14 15 20 Usuario 5 incompativel com 4 6 7 8 9 10 11 13 14 15 17 19 20 Usuario 6 incompativel com 4 5 7 8 9 11 13 14 15 19 20 Usuario 7 incompativel com 4 5 6 8 9 11 13 14 15 17 19 20 Usuario 8 incompativel com 2 3 5 6 7 9 11 12 13 14 15 17 19 20 Usuario 9 incompativel com 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Usuario 10 incompativel com 3 5 9 12 13 14 15 17 20 Usuario 11 incompativel com 4 5 6 7 8 9 13 14 15 19 20 Usuario 12 incompativel com 3 8 9 10 13 14 15 17 20 Usuario 13 incompativel com 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 17 18 19 20 Usuario 14 incompativel com 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 17 18 19 20 Usuario 15 incompativel com 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 19 20 Usuario 16 incompativel com 1 2 9 13 14 18 20 Usuario 17 incompativel com 3 5 7 8 9 10 12 13 14 15 20 Usuario 18 incompativel com 1 2 9 13 14 16 20 Usuario 19 incompativel com 5 6 7 8 9 11 13 14 15 20 Usuario 20 incompativel com 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ALGORIMO DE ALOCACAO DE CANAIS
Resultados numéricos 89
Canal 1 -> Usuarios = 4 19 OK Canal 2 -> Usuarios = 6 10 OK Canal 3 -> Usuarios = 9 OK Canal 4 -> Usuarios = 13 OK Canal 5 -> Usuarios = 14 OK Canal 6 -> Usuarios = 8 16 OK Canal 7 -> Usuarios = 5 12 18 OK Canal 8 -> Usuarios = 20 OK Canal 9 -> Usuarios = 1 11 17 OK Canal 10 -> Usuarios = 2 7 OK Canal 11 -> Usuarios = 3 15 OK Duraçao = 1.6 seg
Raio espectral de H = 1642.9404 ========= PROGRAMA DE VIABILIDADE DE CANAIS ========= No. de ERBs : 8 No. de USUARIOS : 20 No. de incompatibidades = 63 Usuario 1 incompativel com 2 3 6 12 17 18 20 Usuario 2 incompativel com 1 3 6 12 17 18 20 Usuario 3 incompativel com 1 2 6 10 12 16 17 Usuario 4 incompativel com 8 9 13 17 Usuario 5 incompativel com 11 14 15 17 19 Usuario 6 incompativel com 1 2 3 10 12 16 17 Usuario 7 incompativel com 8 9 10 13 16 17 Usuario 8 incompativel com 4 7 9 13 17 Usuario 9 incompativel com 4 7 8 13 17 Usuario 10 incompativel com 3 6 7 12 16 17 Usuario 11 incompativel com 5 14 15 17 18 19 Usuario 12 incompativel com 1 2 3 6 10 16 17 Usuario 13 incompativel com 4 7 8 9 17 Usuario 14 incompativel com 5 11 15 17 19 Usuario 15 incompativel com 5 11 14 17 19 Usuario 16 incompativel com 3 6 7 10 12 17 Usuario 17 incompativel com 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 20 Usuario 18 incompativel com 1 2 11 17 20 Usuario 19 incompativel com 5 11 14 15 17 Usuario 20 incompativel com 1 2 17 18 ALGORIMO DE ALOCACAO DE CANAIS Canal 1 -> Usuarios = 4 5 7 NAO E-VIAVEL Canal 2 -> Usuarios = 2 10 11 NAO E-VIAVEL Canal 3 -> Usuarios = 3 14 18 NAO E-VIAVEL Canal 4 -> Usuarios = 6 13 15 20 OK Canal 5 -> Usuarios = 8 12 19 OK Canal 6 -> Usuarios = 17 OK Canal 7 -> Usuarios = 1 9 16 NAO E-VIAVEL Duraçao = 0.1 seg
Foi desenvolvido um script em MATLAB que implementa o algoritmo sub-
ótimo descrito em 4.5. Ao mesmo tempo o pacote GLPK foi utilizado para obter o
número mínimo de canais. Realizaram-se 26 simulações diferentes, onde se variou
Resultados numéricos 90
a semente, o número de usuários, e o número de receptores. O objetivo foi avaliar
a qualidade da solução produzida pela heurística definida em 4.5, e estes
resultados podem ser visualizados no gráfico abaixo. Nos casos simulados a maior
diferença entre os dois métodos foi de dois canais. Este parece ser um pequeno
preço a ser pago quando se considera a redução maciça do tempo computacional.
Conforme indicado nas figuras acima, o tempo total de geração de alocação sub-
ótima de canais é da ordem de 2 seg, um tempo em média bem inferior a execução
do feasible, necessário para a obtenção de soluções ótimas.
Figura 5-5 – Comparação do algoritmo sub-ótimo com o resultado da otimização
A vantagem desse tipo de abordagem é clara, pois a um custo
computacional bem menor, consegue-se resultados qualitativamente tão bons
quanto o da otimização anteriormente feita.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 5 10 15 20 25 30 35 40
powerX
min
imiz
ação
6 Conclusão
Nesta tese foi estudado o problema de alocação de potências e de canais em
redes de comunicações em geral. Este trabalho pretende dar continuidade a uma
série de pesquisas publicadas por vários grupos ao longo dos últimos anos. Estas
publicações caracterizam este assunto como de enorme relevância científica e
tecnológica, de um grau elevado de dificuldade e conseqüentemente ainda
bastante aberto a novos desenvolvimentos. O grande elemento motivador para esta
linha de pesquisa está no surgimento de novas tecnologias, serviços, e topologias
que se por um lado trarão mais comodidade aos usuários, por outro lado requerem
novas soluções técnicas ainda inexistentes e que requerem esforço para sua
viabilização. Este trabalho foi realizado dentro desta perspectiva.
6.1. Sumário
Inicialmente convém ressaltar que em relação aos sistemas telefônicos
celulares atuais, a alocação fixa de canais resolve, mesmo que de forma sofrível, o
problema de banda de transmissão. Entretanto os sistemas futuros de terceira e
quarta geração possuem exigências que irão requerer um gerenciamento muito
mais criterioso do restrito espectro disponível. Surge então a necessidade de um
novo conceito de gerência e alocação de recursos, onde é necessário tomar
decisões antes do envio de cada pacote, sendo então imperiosa a monitoração das
condições instantâneas do canal de rádio.
O presente trabalho teve origem de uma formulação considerada clássica e
amplamente utilizada na maioria dos trabalhos sobre o assunto. Esta formulação,
vista no capítulo 3, requer o conhecimento da matriz de ganhos do enlace, dos
critérios de “SINR” que estão relacionados aos critérios de “QoS”. A partir destes
Conclusão 92
elementos, conseguiu-se chegar a um resultado que permite a verificação da
viabilidade de agrupamentos de enlaces em canais comuns de uma forma
computacionalmente mais eficiente.
Foi apresentada ao longo desta tese uma série de metodologias para o
tratamento de problemas correlatos onde, em algumas delas, pode-se verificar a
introdução de elementos de inovação. Dentre estas se destacam:
• A formalização de um teorema que expressa uma condição
para o critério de f-viabilidade, que em alguns problemas tem
custo computacional inferior ao já consagrado método de
determinação do raio espectral.
• Um método de cálculo de determinantes de dimensão n a
partir de sua forma particionada (n-1,1) e com esforço
computacional inferior ao associado ao cálculo direto.
• A transformação do problema não linear de mínima
potencia máxima em um equivalente linear.
• A utilização dos círculos de Gerschgorin para determinação
de um limitante para o raio espectral de uma matriz, estes nunca
foram usados para esse fim.
• Três algoritmos sub-ótimos para geração de alocações de
potência baseado em heurísticas diferentes.
6.2. Discussão
As investigações contidas neste trabalho visam principalmente o aumento de
desempenho em problemas relacionados à determinação de alocação de canais e
potências. Embora as técnicas existentes e conhecidas na literatura permitam este
cálculo, as propostas discutidas neste trabalho buscam uma maior eficiência.. Esta
tese pretendeu mostrar que as metodologias aqui apresentadas servem aos
propósitos de seus problemas motivadores e são relativamente rápidas e eficientes.
Conclusão 93
6.3. Sugestões para trabalhos futuros
Lista-se a seguir algumas sugestões relevantes que poderão ser temas de
novas pesquisas no assunto:
• A primeira diz respeito à variação estocástica da matriz de ganhos de enlace.
O presente trabalho foi desenvolvido utilizando valores constantes de G,
porém já existem alguns estudos consideram que esta matriz deva ser
dinamicamente estimada. Um caminho possível é a suposição de que esta
matriz evolui segundo um modelo linear variante no tempo e assim tem-se um
problema de previsão de seus valores.
• Outro problema de interesse diz respeito a esquemas parcialmente ou
totalmente distribuídos ou descentralizados de alocação de canais e potência.
Existem muitos algoritmos mencionados na literatura para este tipo de
problema. Seria razoável admitir que uma combinação das técnicas aqui
expostas e estes algoritmos possam gerar novas técnicas mais eficientes.
Glossário
BER Bit Error Rate BUFFER Termo que descreve um espaço de armazenamento CDMA Code Division Multiple Access CDMA/HDR High Data Rates CDMA CSMA Carrier Sense Multiple Access DCPC Distributed Constrained Power Control DPC Distributed Power Control DS-CDMA Direct Sequence CDMA FDMA Frequency Division Multiple Access IS-95 Interim Standard-95 MANET Mobile Ad Hoc Neworks OFDMA Orthogonal Frequency Division Multiple Access PCMA Power Controlled Multiple Access PCS Personal Communication System POTS Plain Old Telephone System PSTN Public Switch Telephone Network QoS Quality of Service RAKE Rake RF Radio Frequency SCDMA Scheduled CDMA SDMA Spatial Division Multiple Access SINR Signal-to-Interference Noise Ratio SIR Signal-to-Interference Ratio SNR Signal-to-Noise Ratio TDMA Time Division Multiple Access TPC Transmitter Power Control UMTS Universal Mobile Telecommunications System WCDMA Wideband CDMA WLAN Wireless Local Area Network
Referências Bibliográficas
1 N. Abramson, “The throughput of packet broadcasting channels,” IEEE Transactions on Communications, vol. 25, no. 1, pp. 117-128, 1977.
2 A. S. Acampora e M. Naghshineh, “Control and quality-of-service provisioning in high-speed microcellular networks,” IEEE Personal Communications, vol. 1, no. 2, pp. 36-43, 1994.
3 J. M. Aein, “Power balancing in systems employing frequency reuse,” COMSAT Technical Review, vol. 3, no. 2, pp. 277-300, 1973.
4 I. F. Akyildiz et al., “A slotted CDMA protocol with BER scheduling for wireless multimedia networks,” ACM/IEEE Transactions on Networking, vol. 7, no. 2, pp. 146-158, 1999.
5 H. Alavi e R. W. Nettleton, “Downstream power control for a spread spectrum cellular mobile radio system,” in Proc. IEEE GLOBECOM’82, pp. 84-88, 1982.
6 M. Almgren, H. Andersson e K. Wallstedt, “Power control in cellular system,” in Proc. IEEE VTC’94, pp. 833-837, 1994.
7 M. Andersin, Z. Rosberg e J. Zander, “Time variant power control in cellular networks,” in Proc. IEEE PIMRC’96, pp. 193-197, 1996.
8 M. Andersin, Z. Rosberg e J. Zander, “Gradual removals in cellular PCS with constrained power control and noise,” IEEE/ACM Wireless Networks Journal, vol. 2, no. 1, pp. 27-43, 1996.
9 M. Andersin, Z. Rosberg e J. Zander, “Soft and safe admission control in cellular networks,” IEEE/ACM Transactions on Networking, vol. 5, no. 2, pp. 255-265, 1997.
10 M. Andersin, Z. Rosberg e J. Zander, “Distributed discrete power control in cellular PCS,” Wireless Personal Communications, vol. 6, no. 3, pp. 211-231, 1998.
11 M. A. Arad e A. Leon-Garcia, “Scheduled CDMA: A hybrid multiple access scheme for wireless ATM networks,” in Proc. IEEE PIMRC’96, pp.913-917, 1996.
12 J. C. Arnbak e W. van Blitterswijk, “Capacity of slotted ALOHA in Rayleigh-fading channels,” IEEE Journal on Selected Areas in Communications, vol. 5, no. 2, pp. 261-269, 1987.
13 O. Axelsson, Iterative Solution Methods, Cambridge University Press, NewYork, 1994.
14 N. D. Bambos, S. C. Chen e G. J. Pottie, “Radio link admission algorithms for wireless networks with power control and active link protection,” in Proc. IEEE INFOCOM’95, pp. 97-104, 1995.
15 N. Bambos, “Toward power-sensitive network architectures in wireless communications: concepts, issues and design aspects,” IEEE Personal Communications,vol. 5, no. 3, pp. 50-59, 1998.
16 N. Bambos e S. Kandukuri, “Power controlled multiple access (PCMA)in wireless communication networks,” in Proc. IEEE INFOCOM 2000, pp.386-395, 2000.
17 A. Bedekar et al., “Downlink scheduling in CDMA networks,” in Proc. IEEEGLOBECOM’99, pp. 2653-2657, 1999.
18 P. Bender et al., “CDMA/HDR: A bandwidth-e.cient high-speed wireless data service for nomadic users,” IEEE Communications Magazine, vol. 38, no. 7, pp. 70-77, 2000.
19 F. Berggren e J. Zander, “Throughput and energy consumption tradeo.sin constrained pathgain based power control in ALOHA networks,” IEEE Communications Letters, vol. 4 , no. 9, pp. 283-285, 2000.
20 F. Berggren e S.-L. Kim, “Energy-e.cient downlink power control and scheduling for CDMA non-real time data,” in Proc. IEEE MMT’2000, pp.171-182, 2000.
21 F. Berggren, R. J¨antti e S.-L. Kim, “A generalized algorithm for constrained power control with capability of temporary removal,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, 1999.
22 F. Berggren e S.-L. Kim, “Energy-e.cient rate and power control in DSCDMA systems,” IEEE Journal on Selected Areas in Communications, 2000.
23 F. Berggren, S.-L. Kim, R. J¨antti e J. Zander, “Joint power control and intra-cell scheduling of DS-CDMA non-real time data,” IEEE Journal on Selected Areas in Communications, 2000.
24 F. Bock e B. Ebstein, “Assignment of transmitter powers by linear programming,” IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, vol. 6, no. 2, pp. 36-44, 1964.
25 A. E. Brand e A. H. Aghvami, “Multidimensional PRMA with prioritized Bayesian broadcast - A MAC strategy for multiservice tra.c over UMTS,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 47, no. 4, pp. 1148-1161,1999.
26 J.-C. Chen et al., “Scheduling multimedia services in a low-power MAC for wireless and mobile ATM networks,” IEEE Transactions on Multimedia,vol. 1, no. 2, pp. 187-201, 1999.
27 A. Chockalingam e M. Zorzi, “Energy e.ciency of media access protocols for mobile data networks,” IEEE Transactions on Communications, vol. 46, no. 11, pp. 1418-1421, 1998.
28 J. D. Choi, K. M. Wasserman e W. E. Stark, “E.ect of channel memory on retransmission protocols for low energy wireless data communications,” in Proc. IEEE ICC’99, pp. 1552-1556, 1999.
29 T. M. Cover e J. A. Thomas, Elements of Information Theory, Wiley, New York, 1991.
30 E. Dahlman et al., “WCDMA - The radio interface for future mobile multimedia communications,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol.47, no. 4, pp. 1105-1118, 1998.
31 S. Dixit, Y. Guo e Z. Antoniou, “Resource management and quality of service in third-generation wireless networks,” IEEE Communications Magazine, vol. 39, no. 2, pp. 125-133, 2001.
32 V. H. Mac Donald, “The cellular concept,” The Bell System Technical Journal, vol. 58, no. 1, pp. 15-41, 1979.
33 G. J. Foschini e Z. Miljanic, “A simple distributed autonomous power control algorithm and its convergence,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 42, no. 4, pp. 641-646, 1993.
34 T. Fujii e M. Sakamoto, “Reduction of cochannel interference in cellular systems by intra-zone channel reassignment and adaptive transmitter power control,” in Proc. IEEE VTC’88, pp. 668-672, 1988.
35 A. J. Goldsmith, “The capacity of downlink fading channels with variable rate and power,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 46, no.3, pp. 569-580, 1997.
36 D. J. Goodman e A. A. M. Saleh, “The near/far e.ect in local ALOHA radio communications,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol.36, no. 1, pp. 19-27, 1987.
37 D. J. Goodman et al., “INFOSTATIONS: A new system model for data and messaging services,” in Proc. IEEE VTC’97, pp. 969-973, 1997.
38 S. A. Grandhi et al., “Centralized power control in cellular systems,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 42, no. 4, pp. 466-468, 1993.
39 S. A. Grandhi, R. Vijayan e D. J. Goodman, “Distributed power control in cellular radio systems,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol.42, no. 2/3/4, pp. 226-228, 1994.
40 S. A. Grandhi, J. Zander e R. Yates, “Constrained power control,” Wireless Personal Communications, vol. 1, no. 4, pp. 257-270, 1995.
41 S. V. Hanly, “An algorithm for combined cell-site selection and power control to maximize cellular spread spectrum capacity,” IEEE Journal on SelectedAreas in Communications, vol. 13, no. 7, pp. 1332-1340, 1995.
42 S. V. Hanly e D. N. C. Tse, “Multiaccess fading channels- Part II: Delaylimited capacities,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 44, no.7, pp. 2816-2831, 1998.
43 S. V. Hanly, “Congestion measures in DS-CDMA networks,” IEEE Transactionson Communications, vol. 47, no. 3, pp. 426-437, 1999.
44 M. Hata, “Empirical formula for propagation loss in land mobile radio services,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 29, no. 3, pp. 317-325, 1980.
45 J. D. Herdtner e E. K. P. Chong, “Analysis of a class of distributed asynchronous power control algorithms for cellular wireless systems,” IEEE Journal on Selected Areas in Communications, vol. 18, no. 3, pp. 436-446, 2000.
46 M. L. Honig e U. Madhow, “Hybrid intra-cell TDMA/inter-cell CDMA with inter-cell interference suppression for wireless networks,” in Proc. IEEE VTC’93, pp. 309-312, 1993.
47 C.-Y. Huang e R. D. Yates, “Rate of convergence for minimum power assignment algorithms in cellular radio systems,” ACM/Baltzer Wireless Networks Journal, vol. 4, no. 3, pp. 223-231, 1998.
48 W. C. Jakes Jr., Microwave mobile communications, Wiley, New York, 1974.
49 R. J¨antti e S.-L. Kim, “Power control with partially known link gain matrix,” submitted to ACM/Baltzer Wireless Networks Journal, 1999.
50 R. J¨antti, Power Control and Transmission Rate Management in Cellular Radio Systems, Licentiate Thesis, Department of Automation and Systems Engineering, Helsinki University of Technology, Espoo, Finland, 1999.
51 R. J¨antti e S.-L. Kim, “Selective power control with active link protection for combined rate and power management,” in Proc. IEEE VTC Spring’00, pp. 1960-1964, 2000.
52 R. J¨antti e S.-L. Kim, “Transmission rate scheduling for the non-real time data in DS-CDMA systems,” to appear in IEEE Communications Letters.
53 R. J¨antti e S.-L. Kim, “Second-order power control with asymptotically fast convergence,” IEEE Journal on Selected Areas in Communications, vol.18, no. 3, pp. 447-457, 2000.
54 L. Jorguseski, E. Fledderus, J. Farserotu e R. Prasad, “Radio Resource Allocation in Third-Generation Mobile Communications System,” IEEE Communications Magazine, February 2001.
55 S. Kandukuri e S. Boyd, “ Optimal power control in interference-limited fading wireless channels with outage-probability specifications,” IEEE Transactions on Wireless Communications, vol. 1, no. 1, January 2002.
56 H. Kawai, H. Suda e F. Adachi, “Outer-loop control of target SIR for fast transmit power control in turbo-coded W-CDMA mobile radio,” IEEE electronics Letters, vol. 35, no. 9, pp. 699-701, 1999.
57 D. Kim, “Rate-regulated power control for supporting .exible transmission in future CDMA mobile networks,” IEEE Journal on Selected Areas in Communications, vol. 17, no. 5, pp. 968-977, 1999.
58 D. Kim, “A simple algorithm for adjusting cell-site transmitter power in a CDMA cellular system,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol.48, no. 4, pp. 1092-1098, 1999.
59 S.-L. Kim e J. Zander, “Optimization approach to gradual removal in a cellular PCS with distributed power control,” to appear in IEEE Transactions on Vehicular Technology.
60 S.-L. Kim, Z. Rosberg e J. Zander, “Combined power control and transmission rate selection in cellular networks,” in Proc. IEEE VTC Fall’99, pp. 1653-1657, 1999; extended version to appear in ACM/Baltzer Wireless Networks Journal.
61 S. W. Kim e Y. H. Lee, “Combined rate and power adaptation in DS/CDMA communications over Nakagami fading channels,” IEEE Transactions on Communications, vol. 48, no. 1, pp. 162-168, 2000.
62 R. Knopp e P. A. Humblet, “Information capacity and power control in single-cell multiuser communications,” in Proc. IEEE ICC’95, pp. 331-335, 1995.
63 P. S. Kumar, R. D. Yates e J. Holtzman, “Power control based on bit error rate (BER) measurements,” in Proc. IEEE MILCOM’95, pp. 617-620, 1995.
64 C. Y. Lee e T. Park, “A parametric power control with fast convergence in cellular radio systems,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 47, no. 2, pp. 440-449, 1998.
65 T.-H. Lee, J.-C. Lin e Y. T. Su, “Downlink power control algorithms for cellular radio systems,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol.44, no. 1, pp. 89-94, 1995.
66 C.-C. Lee e R. Steele, “Closed-loop power control in CDMA systems,” IEE Proceedings Communications, vol. 143, no. 4, pp. 231-239, 1996.
67 T.-H. Lee e J.-C. Lin, “A fully distributed power control algorithm for cellular mobile systems,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol.14, no. 4, pp. 692-697, 1996.
68 K. K. Leung e L.-C. Wang, “Controlling QoS by integrated power control and link adaptation in broadband wireless networks,” European Transactions on Telecommunications, vol. 11, no. 4, pp. 383-393, 2000.
69 Y.-W. Leung, “Power control in cellular networks subject to measurement errors,” IEEE Transactions on Communications, vol. 44, no. 7, pp. 772-775, 1996.
70 L. Maileander et al., “Simple inter-cell coordination schemes for a high speed CDMA packet downlink,” in Proc. IEEE VTC Spring’00, pp. 1845-1848, 2000.
71 C. D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, 2001.
72 J. J. Metzner, “On improving the utilization in ALOHA Networks,” IEEE Transactions on Communications, vol. 24, no. 4, pp. 447-448, 1976.
73 H. J. Meyerho., “Method for computing the optimum power balance in multibeam satellites,” COMSAT Technical Review, vol. 4, no. 1, pp. 139- 147, 1974.
74 D. Mitra, “An asynchronous distributed algorithm for power control in cellular radio systems,” in Proc. Fifth WINLAB Workshop on Third Generation Wireless Information Networks, pp. 249-259, 1993.
75 D. Mitra e J. A. Morrison, “A novel distributed power control algorithm for classes of service in cellular CDMA networks,” in Proc. Sixth WINLAB Workshop on Third Generation Wireless Information Networks, pp. 1-18,1997.
76 T. Nagatsu et al., “Transmitter power control for cellular land mobile radio,” in Proc. IEEE GLOBECOM’83, pp. 1430-1434, 1983.
77 C. Namislo, “Analysis of mobile radio slotted ALOHA networks,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 33, no. 3, pp. 199-204, 1984.
78 R. W. Nettleton e H. Alavi, “Power control for a spread spectrum cellular mobile radio system,” in Proc. IEEE VTC’83, pp. 242-246, 1983.
79 S.-J. Oh e K. M. Wasserman, “Dynamic spreading gain control in multiservice CDMA networks,” IEEE Journal on Selected Areas in Communications, vol. 17, no. 5, pp. 918-927, 1999.
80 S.-J. Oh e K. M. Wasserman, “Optimality of greedy power control and variable spreading gain in multi-class CDMA mobile networks,” in Proc.ACM/IEEE MobiCom’99, pp. 102-112, 1999.
81 J. G. Proakis, Digital communications, McGraw-Hill, New York, 1995.
82 X. Qiu e K. Chawla, “On the performance of adaptive modulation in cellular systems,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 47, no.6, pp. 884-895, 1999.
83 S. Ramakrishna e J. M. Holtzman, “A scheme for throughput maximization in a dual-class CDMA system,” IEEE Journal on Selected Areas in Communications, vol. 16, no. 6, pp. 830-844, 1998.
84 F. Rashid-Farrokhi, K. J. R. Liu e L. Tassiulas, “Downlink power control and base station assignment,” IEEE Communications Letters, vol. 1, no. 4, pp. 102-104, 1997.
85 R. Rezaiifar e J. M. Holtzman, “Proof of convergence for the distributed optimal rate assignment algorithm,” in Proc. IEEE VTC Spring’99, pp.21-25, 1999.
86 C. Roobol, “On the packet delay in wireless local area networks with access port diversity and power control,” in Proc. IEEE PIMRC’95, pp. 917-920, 1995.
87 Z. Rosberg, “Fast power control in cellular networks based on short-term correlation of Rayleigh fading,” in Proc. Sixth WINLAB Workshop on
Third Generation Wireless Information Networks, pp. 159-182, 1997.
88 Z. Rosberg e J. Zander, “Toward a framework for power control in cellular systems,” ACM/Baltzer Wireless Networks Journal, vol. 4, no. 3, pp. 215-221, 1998.
89 Z. Rosberg, “Transmitter power control with adaptive safety margins based on duration outage,” Technical report, IBM Haifa Research Lab., 1999.
90 J. M. Rulnick e N. Bambos, “Mobile power management for wireless communication networks,” ACM/Baltzer Wireless Networks Journal, vol.3, no. 1, pp. 3-14, 1997.
91 J. M. Rulnick e N. Bambos, “Power-induced time division on asynchronous channels,” ACM/Baltzer Wireless Networks Journal, vol. 5, no. 2, pp. 71-80, 1999.
92 A. Sampath, P. S. Kumar e J. M. Holtzman, “Power control and resource management for a multimedia CDMA wireless system,” in Proc. IEEE PIMRC’95, pp. 21-25, 1995.
93 Q. Shen e W. A. Krzymien, “Optimum power assignment for maximum throughput in CDMA personal communication systems with integrated voice/data tra.c,” Wireless Personal Communications, vol. 8, no. 3, pp. 277-289, 1998.
94 M. Soleimanipour, G. H. Freeman e W. Zhuang, “An algorithm for maximal resource utilization in wireless multimedia CDMA communications,” in Proc. IEEE VTC’98, pp. 2594-2598, 1998.
95 C. W. Sung e W. S. Wong, “A distributed .xed-step power control algorithm with quantization and active link protection,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 48, no. 2, pp. 553-562, 1999.
96 C. W. Sung e W. S. Wong, “The convergence of an asynchronous cooperative algorithm for distributed power control in cellular systems,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 48, no. 2, pp. 563-570, 1999.
97 W. Tschirks, “E.ect of transmission power control on the cochannel interference in cellular radio networks,” Elektrotechnik und Informationstechnik, vol. 106, no. 5, pp. 194-196, 1989.
98 D. N. C. Tse e S. V. Hanly, “Multiaccess fading channels- Part I: Polymatroid structure, optimal resource allocation and throughput capacities,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 44, no. 7, pp. 2796-2815, 1998.
99 S. Ulukus e R. D. Yates, “Stochastic power control for cellular radio systems,” IEEE Transactions on Communications, vol. 46, no. 6, pp. 784-798, 1998.
100 S. Ulukus e L. J. Greenstein, “Throughput maximization in CDMA uplinks using adaptive spreading and power control,” in Proc. IEEE 6th Int. Symp. on Spread-Spectrum Tech. & Appli., pp. 565-569, 2000.
101 Z. Uykan, R. J¨antti e H. N. Koivo, “A PI-power control algorithm for cellular radio systems,” in Proc. IEEE 6th Int. Symp. on Spread-Spectrum Tech. & Appli., pp. 782-785, 2000.
102 R. S. Varga, Matrix Iterative Analysis, Prentice-Hall, New Jersey, 1962.
103 A. J. Viterbi, Principles of Spread Spectrum Communication, Addison- Wesley, Reading, 1995.
104 V. Wong e C. Leung, “A transmit power control scheme for improving performance in a mobile packet radio system,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 43, no. 1, pp. 174-180, 1994.
105 Q. Wu, “Optimum transmitter power control in cellular systems with heterogeneous SIR thresholds,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 49, no. 4, pp. 1424-1429, 2000.
106 A. D. Wyner, “Shannon-theoretic approach to a Gaussian cellular multiple-access channel,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 40, no. 6, pp. 1713-1727, 1994.
107 R. D. Yates e C.-Y. Huang, “Integrated power control and base station assignment,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 44, no. 3, pp. 638-644, 1995.
108 R. D. Yates, “A framework for uplink power control in cellular radio systems,” IEEE Journal on Selected Areas in Communications, vol. 13, no. 7, pp. 1341-1347, 1995.
109 R. D. Yates et al., “Soft dropping power control,” in Proc. IEEE VTC’97, pp. 1694-1698, 1997.
110 R. D. Yates e N. B. Mandayam, “Challenges in low-cost wireless transmission,” IEEE Signal Processing Magazine, vol. 17, no. 3, pp. 93-102, 2000.
111 D. M. Young, Iterative Solutions of Large Linear Systems, Academic Press, New York, 1971.
112 L. C. Yun e D. G. Messerschmitt, “Power control for variable QoS on a CDMA channel,” in Proc. IEEE MILCOM’94, pp. 178-182, 1994.
113 L. C. Yun e D. G. Messerschmitt, “Variable quality of service in CDMA systems by statistical power control,” in Proc. IEEE ICC’95, pp. 713-719, 1995.
114 J. Zander, “Performance of optimum transmitter power control in cellular radio systems,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 41, no. 1, pp. 57-62, 1992.
115 J. Zander, “Distributed cochannel interference control in cellular radio systems,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 41, no. 3, pp. 305-311, 1992.
116 J. Zander, “Transmitter power control for co-channel interference management in cellular radio systems,” in Proc. Fourth WINLAB Workshop on Third Generation Wireless Information Networks, pp. 241-247, 1993.
117 J. Zander e M. Frodigh, “Comment on “Performance of optimum transmitter power control in cellular radio systems”,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 43, no. 3, p. 636, 1994.
118 J. Zander, “Performance bounds for joint power control and link adaptation for NRT bearers in centralized (bunched) networks,” in Proc. IEEE PIMRC’99, 1999.
119 J. Zander e S.-L. Kim, Radio resource managent for wireless networks, Artech House, Norwood, 2001.
120 M. Zorzi e R. Rao, “Error control and energy consumption in communications for nomadic computing,” IEEE Transactions on Computers, vol. 46, no. 3, pp. 279-289, 1997.