Producto Cartesiano.

Producto Cartesiano

Se atribuye a René Descartes, filósofo, matemático y científico francés.

Fundamentó su pensamiento filosófico en la necesidad de tomar un "punto de partida" sobre el que edificar todo el conocimiento. En su faceta matemática que le lleva a crear la geometría analítica, también comienza tomando un punto de partida: dos rectas perpendiculares entre sí, que se cortan en un punto denominado "origen de coordenadas", ideando así las denominadas coordenadas cartesianas.

Se llama producto cartesiano de dos conjuntos A y B., se representa A x B, al conjunto de pares ordenados (a, b), tales que el primer componente de la pareja pertenece al primer conjunto y el segundo componente al segundo conjunto.

Simbólicamente: A x B = {(a, b) / a A, b B}.∈ ∈El producto cartesiano, en general, no es conmutativo. Es decir: A x B ≠ B x A; sólo se cumple la igualdad si los conjuntos A y B son coincidentes.

Por ejemplo si: A = {a, b} y B = {1, 2}, A x B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)} B x A = {(1, a), (2, a), (1, b), (2, b)},

Queda claro que los conjuntos tienen elementos (parejas ordenadas) distintos.

Formas de Representación

Diagrama Cartesiano

Sean los conjuntos: A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, su producto cartesiano resulta:A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}

Se puede representar gráficamente por medio de puntos en un plano, como se muestra a continuación. Cada punto P representa una pareja ordenada (a, b) de valores y viceversa.

En el eje horizontal representamos los elementos del primer conjunto y en el vertical los valores del segundo conjunto.

Diagrama de flechas

Otra manera de visualizar, es a través de una representación gráfica, donde se destaquen los elementos que pertenecen al conjunto A y los que pertenecen a B (diagrama de VENN).

Se trazan flechas que indican la relación que existe entre cada elemento del conjunto A y su pareja en el conjunto B.

Diagrama de árbol

Consiste en escribir los elementos según un orden jerárquico partiendo de un punto inicial, al que se subordinan los elementos del primer conjunto y a cada uno de éstos los del segundo.

Relaciones y Funciones.

Relaciones.

Se define como relación o correspondencia R entre los conjuntos A y B, a un subconjunto del producto cartesiano A x B, compuesto por pares de elementos que cumplen cierta regla definida. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios, todos o ninguno de los que forman parte de A x B, por lo tanto:

Si (x,y) ∈ R se escribe x R y y se lee "x está en relación con y".

Ejemplo 1:Sean: A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 8}.R1 = {(3, 2), (1, 8), (5, 4)} es una relación de A en B.

A B

135

2468

En otras palabras una relación es una correspondencia o vinculo que se establece entre elementos de dos conjuntos atendiendo a un enunciado formal o ley de correspondencia.Ejemplo:

Si A= {1,2,4,6} y B= {1,2,4,5}

1) R: A B ‘’X+1=Y’’ X YA=1+1=2 2+1=3 4+1=5 6+1=7 2

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Elementos de una Relación

El conjunto A es el conjunto Inicial o conjunto de Partida. Los elementos de A que forman parte de la relación son el primer componente de las parejas; en el diagrama de flechas es el de donde parten las flechas.

El conjunto B es el conjunto Final o conjunto de Llegada. Los elementos de B que forman parte de la relación son el segundo componente de las parejas; en el diagrama de flechas es al que llegan las flechas.

Es el conjunto de los primeros elementos de cada par ordenado. De cada elemento del dominio sale por lo menos una flecha. O sea que el Dominio es un subconjunto del conjunto de Partida

A B

123456

1457

1013

Dominio : (1,2);(3,4);(5,6)

Dominio

Imagen Es el conjunto de los segundos elementos de cada par ordenado. En una relación, a cada elemento del conjunto Imagen llega por lo menos una flecha.

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Una aplicación Es una ley de asignación entre dos conjuntos, que pueden ser numéricos o no.Usaremos la flecha para indicar el sentido de la aplicación, es decir, cuál es el conjunto origen y cuál el destino. Lo denotaremos s: X→YCon ello queremos expresar que la aplicación se asocia o relaciona los elementos de X (origen) con los elementos de Y (destino)

En este ejemplo, la aplicación relaciona los elementos de X (números) con los de Y (letras).

Las flechas indican los elementosemparejados entre sí:s: 1→ b 2→ c 3→ d 4→ b

Función matemática Es una aplicación entre dos conjuntos numéricos de forma que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto:

f : X →Yx -→ y = f(x)

Al conjunto X se le llama Dominio y al conjunto Y se le llama Imagen.Se debe cumplir:a)todos los elementos de X están relacionados con elementos de Yb)a cada elemento x le corresponde un único elemento y Y.

Elementos de una función

Dominio: Conjunto de valores que toma la variable independiente X.

Codominio: Conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente Y.

Rango o imagen: Conjunto de valores que efectivamente toma la variable dependiente Y.

Clasificación de las funciones.

Inyectiva. Cuando no existen del conjunto de partida dos elementos que tengan la misma imagen.

X Y

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DBCA

SobreyectivaCuando cada elemento del conjunto de llegada es

imagen de al menos un elemento del conjunto de partida

X Y

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DBC

BiyectivaEs una función que es simultáneamente Inyectiva y Sobreyectiva; es decir, que todos los elementos del conjunto de partida van hacia otros elementos del conjunto de llegada.