PRIMITIVAS PARA A MODELAGEM E ANÁLISE DESISTEMAS DE MANUFATURA

M. Tazza

Curso de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e Informática IndustrialCENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DO PARANÁ

Av. Sete de Setembro. 3165 CEP 80.230-901. Curitiba - PR

Resumo: O trabalho descreve primitivas de modelagem eanálise comportamental de Sistemas Flexíveis de Manufatura .As primitivas estão baseadas em redes de Petri temporizadas.permitindo modelar padrões comportamentais simples dealocação. utilização e liberação de recursos no sistema demanufatura: estações de trabalho. paletes. elementos de trans­porte e de armazenamento. A sobreposição de primitivassegundo regras sintáticas e semânticas definidas permite amodelagem de padrões complexos de utilização de recursos. Aassociação de equações de fluxo de marcas na rede estabelecea relação entre a estrutura, marcação inicial e tempos depermanência das marcas em lugares da rede e os parâmetrosquantitativos relevantes: desempenho. índices de utilização derecursos. gargalos, tempos de espera e população média nosistema.Palavras-Chave: Sistemas F/ex{veis de Manufatura. Modela­gem, Análise. Redes de Petri

Abstract: The paper descrihes a set of primitives for themodeling and analysis of Flexible Manufacturing Systems.Simple pattems for lhe allocation. utilization and release ofresources in a produetion environrnent are modeled by timedPetri nets primitives. Bach primitive is interpreted in terms ofthe hehavioral pattern and is associated to a set of equationlhat descrihes theflow of tokens in lhe net The equations relatelhe structure, initial marking and permanence time of tokens inlhe net to the performance pararneters of lhe system: lhrough­put, utilization rates, bottlenecks. induced wait times andpopulation at relevant points in the system.

• Artigo submetido em 28s0BI9Ol' revisão em 24109192: 21 revisão em 26104194;Aceito sob recomendação do Ed.Cons. PretOr Fernando A.Gomlde.

Key-words: F/exib/e Manufacturing Systems, Modeling,Ana/ysis. Petri Nets.

1 • INTRODUÇÃO

Um Sistema Flexível de Manufatura (SFM) é definido corno umsistema de fabricação formado por estações de trabalho quecompartilham um sistema de transporte e controle de forma apermitir a manufatura de um determinado espectro de peçassem necessidade de interromper o processo para a reconfigura­ção (Masif,1988). Os custos de projeto. implantação e operaçãode um SFM ditam a necessidade de avaliação de alternativasde projeto/implantação. O objetivo da avaliação é reduzir o-conjunto de alternativas viáveis com base em parâmetros deavaliação pré-definidos. Os parâmetros de avaliação podemser financeiros (custo de instalaçã%peração. de movimentaçãode peças e ferramentas, etc.) e de desempenho (número depeças manufaturadas por unidade de tempo, índice de utilizaçãode estações e transportadores, população média nos meios dearmazenamentos, etc.). De forma geral, os parâmetros dedesempenho fornecem urna descrição quantitativa do comporta­mento do sistema.O processo de avaliação de alternativas pode ser realizado emdois passos (Looveren et am. 1986). No primeiro. denominadoscreening, alternativas são avaliadas em alto nível de abstração.buscando a identificação das mais promissoras sob os critérioscolocados. Avaliam-se aspectos gerais do projeto. levando emconta a interação entre os principais componentes do sistema(parte operativa, transporte, armazenamento). Num segundopasso (selection) as alternativas promissoras são detalhadas e aavaliação leva em conta aspectos de layout. controle. limitaçõessobre o número de paletes, planos de processos das peças,planos de produção. capacidades de buffers locais, estratégias

SBA Controle & Automação Nol.6 n' 1fjaneiro-fevereiro 1995

de escalonamento. etc. Enquanto o processo de screening podeser suportado por modelos analfticos. a complexidade envolvidano processo de selection requer, atualmente. o uso de simula­dores.O objetivo do trabalho é apresentar um conjunto de primitivasbaseadas em redes de Petri temporizadas. voltadas à modela­gem e análise de SFM. A seção 2 detalha o padrão fundamen­tai de modelagem. A seção 3 mostra as regras sintáticas para asobreposição de ocorrências do padrão fundamental visando amodelagem de padrões de posse simultãnea de recursos. Aseção 4 apresenta os detalhes de um estudo de caso.

2 - O PADRÃO FUNDAMENTAL

Detalham-se as características estruturais e comportamentais dopadrão fundamental de modelagem. Definem-se as equaçõesque descrevem o fluxo de marcas na rede. As equaçõesrelacionam a rede, sua marcação inicial e os tempos depermanência de marcas nos lugares da rede com os parãmetrosquantitativos de desempenho. A definição das característicasestruturais do padrão requer a introdução de conceitos básicosem Redes de Petri (Reisig.1985).

2.1 - Conceitos Básicos em Redes de Petri

Def-l: Uma tripla N = (S, T; F) é chamada de rede se esomente se

i) S e T são conjuntos disjuntosii) F ç ( S x T ) u ( T x S ) é a relação binária que define arelação de fluxo de N.

Os elementos de S e T são representados graficamente porcírculos e retãngulos, respectivamente. A relação de fluxo érepresentada por arcos dirigidos entre os círculos e retãngulosrespectivos. Os elementos de S são denominados lugares e oselementos de T são denominados transições. Por x E Ndesigna-se um lugar ou uma transição de N.

Def·2: Seja N uma rede. Para x E N

°X = ( y Iy F x ) é denominado o pré-conjunto de xx o = { x I x F y I é denominado o pós-conjunto de x

Def-3: Uma 6-upla N = (S. T; F. K. M. B ) é chamada umarede de lugar I transição (rede-PIT. Place/Transition·net) se esomente se:

i) (S. T; F) é uma rede finita.ii) K: S -+ N u {w } estabelece uma capacidade possivel­mente ilimitada para cada lugar da rede.iii) B: F -+ N \ { O } atribui um peso a cada arco da redeiv) M: S -+ N u { w } é a marcação inicial dos lugares darede, respeitando a capacidade ( M (s) $ K(s) para todo SES)

A definição a seguir estabelece a regra de ocorrência detransições em uma rede-PIT.

Oef-4: Seja N uma rede-PIT.

2 SBA Controle & Automação Nol.6 n' lfjaneiro-fevereiro 1995

i) Um mapeamento M: S -+ N u ( w I é uma marcação deN se e somente se M(s) $ K(s) para todo SES.

Seja M uma marcação de N.

ii) Uma transição t ET é M-habilitada sss:

'd s E °t : M(s) ~ B (s. t)'d s E to: M(s) $ K(s) - B (t. s)

iii) Uma transição t E T M-habilitada pode gerar umamarcação seguinte a M. M' para cada SES:

M'(s) = M (s) - B (s. t) sss S E ot \ toM'(s) = M (s) + B (s. t) sss S E to \ otM'(s) = M(s) - B(s. t) + B (t. s) sss s E ot n to

A ocorrência da transição t que leva de M a M' é representadapor M [I> M·. Na representação gráfica de redes-PIT os arcosf E F são rotulados por B (f) se B(f) > I. A capacidade de umlugar SES é representada por k = K(s). A inscrição k = wcapacidade ilimitada) será omitida. Uma marcação M érepresentada desenhando M(s) marcas (pontos) ou O símbolo"+". simbolizando a marcação infinita, no lugar S.

2.2· Caracteristicas Estruturais do Padrão

Oef-5: Seja N = ( S. T; F ) uma rede. N é denominada decadeia aberta se e somente se:

i) S=(sO,sl.s2•...• sn}ii) T = ( tO. tI. 12•...• tn-I I

iii) F = ( ( si. ti) I O $ i $ n-I } u{ ( ti, si+l) I O $ i $ n-I I

A definição acima estabelece uma relação de ordem total. <o.sobre os elementos de S e T. Seja O $ i e j < n então si<o sj e ti <o tj se i < j. Numa cadeia aberta I S I = I T I +I. A Fig-I exemplifica cadeias abertas com I S I = 3, 4 e 5.

A inclusão de um novo lugar r e de dois arcos (r, tO) e (ln-I,r) origina a rede que define o escopo de aplicação do padrãofundamental:

Oef-6: Seja N= (S'. T; F') uma rede onde:

i) S· = S u { r }ii) F' = F u ( (r, tO). (ln-I, r) }A rede N define as características estruturais da primitivafundamental de modelagem se e somente se (S. T; F) é umacadeia aberta O padrão fundamental de modelagem é obtidopela adição de um lugar r e dois arcos (r. tO) e (ln-I. r) a umacadeia aberta. A Fig 2 mostra os padrões gerados a partir dascadeias abertas da Fig- J.

2.3· Caracteristicas Comportamentais doPadrão

Oef-7: Seja N = ( S. T; F. K. B. M ) uma rede-PIT. Ndefine uma primitiva quantitativa de modelagem se e somentese:

A marcação do lugar r é interpretada como a quantidade derecursos disponíveis. A marcação do lugar sO (infinita) modelaas infinitas solicitações à espera de atendimento. Os lugares dacadeia aberta modelam a utilização dos recursos. O peso dosarcos (r. tO) e (ln-I. r) modela a quantidade de recursosnecessários para o atendimento de uma solicitação.O tempo de utilização do recurso em um lugar s é visto comoum período de permanência de marcas em s. durante o qual aocorrência da transição em s' é inibida. O modelo temporalque define a permanência de marcas em um lugar está descritoem RichterO.

iv) M: S -+ N u { w }, a marcação inicial dos lugares darede. satisfaz:a- M (sO) = +b- M ( r) ~ B ( r. tO )c-M(s)= Opara todo J E (S \( sO})

Der-8: Seja a 6-upla ( S. T; F. K. B. M ) uma primitivaquantitativa de modelagem. A 7-upla N = (S. T; F. K. B. M. Z)é dita primitiva temporal de modelagem se e somente se

50 50 50

tO tO tO

51 51 51

tI tI tI

52 52 52

t2 t2

53 53

t3

Figura 1- Cadeias abertas com 3. 4 e 5 lugaresZ : S \ {sO. sn. r } -+ 9t+

Figura 2-Primitivas estruturais de modeiagem

i) ( S. T; F ) é uma primitiva estrutural

tO tO tO

u uI uI

tI tl tI

• u2 u2

t2 t2

• u1

t1

•.) b) c)

O mapeamento Z associa um tempo de permanência de marcas( real positivo) a cada lugar (excetuando o primeiro e último) da cadeia aberta de uma primitiva quantitativa de modela­gem. Note-se que a marcação do primeiro lugar. M(sO). dacadeia modela as infinitas solicitações de recursos à espera deatendimento e o último lugar (sn) modela as solicitações jáatendidas. Para facilitar a associação dos lugares e transiçõesà interpretação dada. o lugar sO será rotulado como wo e olugar sn como e. Os outros lugares da cadeia são rotuladoscomo ui (utilização). i = 1.2..... n-l.

50 50 50

tO tO tO

51 51 51

ti ti ti

52 52 52

t2 t2

.3 .3

t3

ii) K: S -+ N u { w } associa uma capacidade ilimita­da para cada lugar s da rede.

Figura 3-Primitivas temporais de modelagem

Uma primitiva temporal de modelagem define o padrão deutilização de recursos. A marcação inicial M(wO)= + estabeleceum número infinito de solicitações à espera de atendimento. A

B ( r. tO ) =B (tn-l. r ) =b • b E NB (s. t ) = B (t. s ) = 1 para todo arco nacadeia aberta de N

B: F -+ N \ { O I atribui um peso a cada arco da redetal que:a-b-

iii)

SBA Controle & Automação No1.6 n' 1fjanelro-fevereiro 1995 3

(3)

------,,: r,

õ----+- -I,_I

II

I MoW

,

-----_1r-- Ii ~o(r)

LMo(r)IBh.jDo(N) Io(d

IR(./): IR(N'):- --

J.l(wl =Do(N).Z(w')

1IJ(ui) ~ Do(N) • Z(Ul}

0.2 _

0,8 -

o,. -

o.• -

1.6 ­1.4­

ta ­1.0 _

0.8 ­0.6 ­

0.4 -

Figura S.a: Desempenho x Mo(r)

Seja a rede da Fig-4 com Z(ul) = 2z e Z(u2)= 3z. As figurasabaixo representam graficamente o resultado da aplicação dasequações de fluxo para valores crescentes da marcação inicialde r. Para este caso Po(r) = Z(ul) + Z(u2) = 5z.

tO

tJ

.2

uI

•

u2

tO

tJ

.2

uI

•

A Fig-4 mostra o comportamento de uma primitiva com doislugares de utilização uI e u2. Cada solicitação necessita detrês unidades de recursos (B (r, ta) = 3) para entrar no sistema.Supondo Z(ul) = 2z (duas unidades de tempo) e Z(u2) = 3z, amarcação da rede na Fig-4b será mantida durante 2z e amarcação em -4c será mantida durante 3z. A Fig-4d mostra asituação da rede após a ocorrência de tr: os recursos sãoliberados e duas solicitações abandonam o sistema.

Figura 4-Comportamento de uma primitiva temporal

marcação inicial M (r) ~ B (r, tO) estabelece o número finito derecursos disponíveis às solicitações. A ocorrência da transiçãota representa a alocação dos recursos em r. As marcas noslugares ui modelam a utilização dos recursos na cadeia abertada rede. A permanência das marcas nos lugares-u é ditada pelomapeamento Z(u) definido. A ocorrência da transição trmodela a conclusão do atendimento: as unidades de recursosutilizadas são devolvidas e uma marca (solicitação atendida) éincluída no lugar e da rede.

2.4· Equações de FluxoFigura S.b: População média x Mo(r)

Esta seção apresenta as equações que descrevem quantitativa­mente o comportamento de uma primitiva temporal de modela­gem. A ocorrência das transições estabelece um fluxo demarcas na rede. Este fluxo é função do número de recursosdisponíveis M (r), do peso do arco B (r, ta) e dos tempos deutilização dos recursos nos lugares-u da rede, Z ( ui ). A somados tempos de utilização é denominado Perlodo Básico:

o fluxo de marcas na rede representa o Desempenho Do (N),interpretado como o número de solicitações atendidas porunidade de tempo, com unidade de medida À. O desempenhoé definido como a razão entre o número de solicitações quepodem ser atendidas simultaneamente e o período básico de

atendimento. l )jMo(r)IB(r,ta

D a(N)~ Po(r) (2) (2a)

M a(r)IB(r,ta)

Po(r)D,(N) ~

No caso da marcação inicial do lugar-r não ser um múltiplointeiro do peso do arco (r, ta), isto é, para valores intennediá­rios n B (r, ta) < Mo(r) < (n+ I) B(r,ta), n=O, I, 2 ... , asunidades excedentes não serão utilizadas e pennanecerão em r.

Os gráficos da Fig-5 mostram o efeito de usar o operador"maior inteiro menor que" na eq-2: o desempenho do sistemanão é alterado para marcações iniciais Mo (r) com valoresintennediários entre n B (r, ta) e (n+l) B(r,ta), n=O, 1,2 ...Para valores de Mo(r) = n B(r, ta), todas as unidades disponf­veis de recursos em r são utilizadas para o atendimento desolicitações.

Supondo um desempenho DI (N) do sistema N como uma razãodireta do número de recursos disponfveis, a eq-2 seria reescri­ta:

(1)n

Po(r)~E Z(ui)i-I

A população média em um lugar ui é proporcional ao tempode permanência no lugar. A constante de proporcionalidade é odesempenho Do(N) do sistema:

O gráfico Dt (N) vs. Mo (r) será uma reta, conforme a Fig-6.

4 SBA Cont.ole & Automação Nol.6 n' l~aneiro-fevereiro1995

Ct(N1 • "" (r )

A Fig-S plota o tempo induzido de espera no lugar r, Zw(r),em função da marcação Mo(r).

A Fig-6 mostra a diferença entre o máximo teórico D, (N) e ovalor real Do(N) para valores de Mo(r) não iguais a múltiplosinteiros do peso do arco B(r, ta). Neste caso as unidadesexcedentes estarão sempre disponíveis em no lugar r, originan­do um Indice de subutilização S (N) dos recursos.

(6)

1. 11

I""t)- "01,},'8t.) .""tllDo(N)

M(r) = Do(N) o B(r,ta) o Zw(r)

ZW()3.5

3.0

2.5

2.01.

1.5

1.0

0.5

A indução de um tempo de espera implica uma populaçãomédia diferente de zero no lugar r.

Figura 8 - Zw(r) xMo(r)

1 2 3 4 5 e 7 8 9 10 11 12 13

(4)

Mo(r)

(N)

·····::··:::·······r:-·::::······:~:·r:·::·:·t········..................--1--..------------ .. '...iL=------!

! !! '

..................o...;L:.*----L.....!:.....j l"

0.8

0.8

0.4

0.2

Figura 6 - D, (N) x Mo(r)

o índice de subutilização varia de zero (nos pontos em que D,(N) ; Do(N) ) a um valor limite de \.0 (nos casos em queDo(N) =O ou D, (N) » Do(N)). A Fig-7 mostra o gráfico S(N)vs. Mo(r) para o caso em estudo.

A Fig-9 mostra o valor médio das marcações nos luga"l,S deutilização ui e u2 e no lugar r. Para a determinação de M foiusado o valor do tempo de espera induzido em r, Zw ( r ).

M(r) x Mo(r)

S(N) - 1 • -Do(N)-

-I-__~OI(N)

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2Mo(r)

1 2 3 4 S o 7 8 8 10 11 12 13

Figura 7 - S(N) x Mo(r)

2.0

1.&1.0IA1.2

1.00.&0.8

OA

M(uI) - Do(N) • ZJ.u/ IM(r) • Do(N) • zw(r ).I!( l/I )

~..~ ~..~._~_.

i

1 2 3 4 5 e 7 8 9 10 11 12 13

Mo(r)

Para Mo(r) < B(r, ta) o índice de subutilização é igual a \.0:não existem recursos suficientes e as unidades disponíveis sãocompletamente subutilizadas. Nos outros valores de Mo(r) oíndice de subutilização S(N) multiplicado pelo valor damarcação inicial Mo(r) indica quantas unidades de recursospodem ser eliminadas sem alterar o valor de Do(N).

Figura 9 - M(r) x Mo(r)

As equações apresentadas descrevem o fluxo de marcas numarede primitiva de modelagem. Cada equação foi interpretada emtennos de um parâmetro quantitativo de desempenho. Apróxima seção aborda a modelagem de padrões de utilizaçãode recursos mais complexos.

Um índice de subutilização maior que zero implica que asmarcas excedentes pennanecerão. não utilizadas, durante umcerto período de tempo, no lugar r. O valor do tempo depermanência é tal a "puxar" o valor de Dt(N) para o valor realDo(N). Este tempo de permanência induzido no lugar r devidoà subutilização é denominado tempo induzido de espera erepresentado por Zw(r).

Mo(r)/B(r, ta)

D o(N) = P ,lr)+Z (r) (5a)Mo(r{!B(r,t;f

Zw(r) = - Po(r)Do(N) (5b)

3· POSSE SIMULTÂNEA DE RECURSOS

A sobreposição de diversas ocorrências do padrão fundamentalpermite a modelagem e análise de padrões complexos dealocaçã<>-utilização-Iiberação de recursos. A seção 3.1 descrevea modelagem da posse simultãoea de recursos.

SBA Controle & Automação Nol.S nll 1~aneiro-fevereiro 1995 5

Figura 11 - Modelos de posse simultânea de recursos

clbl

antes de uma transição de alocação. O tempo médio de esperainduzido num lugar wi será denominado Zw(wi).

r--·--······ __················-_···

Figura 10 - Sobreposição de padrões fundamentais

A posse simultânea de recursos é modelada pela sobreposiçãode dois ou mais padrões fundamentais, de forma a compartilharas transições e lugares das respectivas cadeias abertas (Fig-lO).

3.1· Escopo de Aplicação

Def·9: Seja N ; ( S u R, T; F u F ' ) uma rede. N define ummodelo estrutural de posse simultânea de recursos se e somentese:

3.2· As Equações de Fluxo

O período básico de utilizacão é calculado como o somat6riodos tempos de utilização de cada recurso ri

A análise de um modelo de posse simultânea de recursos colocauma diferença importante sobre a análise do padrão fundamen­tal: inclui-se, aqui, a interação entre componentes. O primeiropasso da análise está baseada na consideração dos padrõesfundamentais que compõe o modelo de posse simultânea. Osegundo passo é a análise do efeito da interação.

Os lugares uj são os lugares-u cobertos pela Invariante-S quecobre o lugar ri. Lugares-w na mesma invariante não contri­buem para o cálculo do período básico de utilização. Odesempenho Do(Nj)de cada componente isolado Nj é obtidopela equação 2.2. A interação entre componentes baseia-se noprincípio de que o desempenho de um sistema será menor ouigual ao desempenho de seu componente mais lento:

(3.1)Po(ri) ~ L Z(u}

a) Vr E R 3 ri,lj E T I (r F' ti) A (Ij F'r) A ( ti<olj)b) Vr E R I o r I; I r o I ; Ic) 3 ri, rj E R I (ri F' lO) A (m-I F' rj)d) VS E (S \ {sO, sn)), s é coberto por uma Invariante-S que

contém pelo um ri E R.

i) ( S, T; F ) define uma cadeia abertaii) R = { rI, r2, ..., rn}, I R I > I, S n R; <I>

iii) F' C (R X T) u (T X R) tal que:

o ítem ii) da definição agrega um conjunto finito de lugares-ra uma cadeia aberta. Os ítens a, b, ..., e estabelecem asrestrições sobre a relação de fluxo F'. O ponto a) indica queuma alocação de recursos deve preceder sua liberação. O pontob) impõe que s6 pode existir um arco dirigido de um lugar-rpara uma transição e um arco dirigido de uma transição paraum mesmo lugar-r. O ponto c) exige um arco dirigido de umlugar-r para a primeira transição da cadeia aberta e um arcodirigido da última transição da cadeia para um lugar-r. O pontoti) requer que todo lugar da cadeia aberta, excetuando oprimeiro e o último, deverão cobrir pelo menos um tipo derecurso.

(3.3)

A Fig-li mostra exemplos de modelos estruturais de possesimultânea de recursos.

A passagem do conceito estrutural para o conceito quantitativoe temporal é idêntico ao caso apresentado na definição dopadrão fundamental e não será, portanto, formalizado. Conside­ra-se que a marcação inicial de um lugar r é um múltiplointeiro do peso do arco de alocação associado. A cada lugar-udo modelo está associado um tempo de permanência de marcasconforme indicado na seção-2. Note-se que antes de umatransição de alocação existe um lugar rotulado como wi: emfunção dos diferentes fluxos de marcas estabelecidos na caieiaaberta do modelo pelos diferentes componentes, solicitaçõespodem ser obrigadas a esperar pela disponibilidade de recursos

O máximo te6rico é dado pela igualdade na eq-3.2. Em funçãoda diferença entre o desempenho nominal de um componente(padrão fundamental isolado) e o desempenho real fruto dainteração, os componentes Nj com Do(Nj» D(N) apresentarãoum índice de subutilização S(Nj)maior que zero.

S(N.) ~ I _ D(N)I Do(N)

O componente Nj mais lento apresentará um índice S(Nj)iguala zero. Os componentes com maior capacidade de atendimentode solicitações e portanto com S(Nj» O serão retardados, emfunção da sua interação com o componente mais lento, pelaindução de tempos de espera nos lugares-r , Zw(ri), e/oulugares-w (Zw(wj}) da cadeia aberta. Os pontos de indução e o

6 SBA Controle & Automação Nol.6 nQ 1ljaneiro·fevereiro 1995

3.3· Exemplo

Com este valor de espera no lugar wl o componente N2 irátrabalhar à mesma taxa do componente mais lento N3. Ocomponente NI interagindo com N2 será forçado a trabalhar àtaxa ditada por N2. tomada igual a 0.333Ã pela sua interaçãocom N3. Será induzido um tempo de espera Zw(rl) com valortal a trazer Do(N I) para o patamar de desempenho do sistema,D(N) = 0.333Ã.

Zw(rt) = [(Mo(r j ) / B(r\,lt )) / D(N)] - Po(rt )

Zw(rt ) = [1 / 0.333] - 2 = 1.0zDeterminado o valor D(N) para o sistema e os valores dostempos induzidos de espera é possível aplicar as equações parao cálculo da população média nos lugares da rede.

Jll(u j ) = D(N) * Z(u j ) = 0.333 * 2 = 0.666

Jll(u2) = D(N) * Z(u2) = 0.3333 * 3 = 1.0

Jll(wl) = D(N) * ZW(Wt) = 0.3333 * I = 0.3333

Jll(r\) = D(N) * B(r l • II) * Zw(r1) = 0.333 * 3 * I = 1.0

A próxima seção apresenta a aplicação das equações a umsistema de manufatura simples. A aplicação direta da equaçõespermitirá a deteminação do comportamento para o melhor epior caso do sistema. Finalmente, descreve-se a detenninaçãodo caso esperado comparam-se os resultados com os obtidospor simulação e com os obtidos pela aplicação de um modelosemi-Markoviano exato.

Como não há indução de tempo de espera em r2 e r3. apopulação média nestes dois lugares é zero.

Os componentes N Ie N2 são retardados pela indução de umtempo de espera. NI e N2 tentam trabalhar à própria taxa de0.5Ã e ·OAÃ. Inicialmente as solicitações são retiradas de wOa uma taxa de OAÃ e são colocadas em wl à taxa de OAÂ. Ocomponente N3 retira marcas de wl à taxa de 0.333Ã, induzin­do um tempo de espera Zw(wl). O valor do tempo induzidoserá tal a trazer o desempenho de N2. Do(N2) para o patamarD(N).

Zw(wt ) = [(Mo(r2) / B(r2'/1)) / D(N)] - Po(r2)

Zw(wl) =[2 / 0.333] - 5 = 1.0z

O componente N3 é o componente mais lento. dita o comporta­mento do todo e apresentará um índice de subutilização S(N3)= O. Os componentes NI e N2 apresentarão um índice desubutilização de recursos maior que zero. expresso pela eq-3.3.S(Nt ) = I - D(N) / Do(NI ) = I - 0.333 / 0.5 = 0.333

S(N2) = I - D(N) / Do(N2) = I - 0.333 / 004 = 0.166

(3Aa)

(3Ac)

(3Ab)

Considera-se Z(ul) = 2z e Z(u2) = 3z. A disponibilidade inicialde cada tipo de recursos está representada pela marcação inicialdos lugares-r: Mo(rl) = 3. Mo(r2) =2 e Mo(r3) = 2. O pesodos arcos de alocação indica o número de unidades para umasolicitação. O periodo básico de utilização de cada recurso édado pela eq-3.1:

Po(rt ) = Z(ut ) = 2z

Po(r3) = Z("2) = 3z

Po(r2) = Z(ut ) + Z(u2) = 5z

Figura 12 - Componentes de um modelo de posse simultâneade recursos

Seja o modelo de posse simultânea de recursos da Fig-12d. Oscomponentes N j do modelo são os padrões fundamentais daFig-12.a•.b e .c.

valor dos tempos induzidos dependem da estrutura de utiliza­ção dos recursos. A população média nos lugares da rede édada por

O desempenho de cada componente isolado é calculado embase à equação-2.2. 4· ESTUDO DE CASODo(Nt ) = (Mo(rt ) / B(rt.lt)) / Po(rt ) = 0.5ÃDo(N2) = (Mo(r2) Mr2.lt )) / Po(r2) = OAÃDo(N3) = (Mo(r3) / B(r3,13)) / Po(r3) = 0.333Ã 4.1· Descrição do Sistema

O desempenho do sistema, levando em conta a interação entreos componentes. é dado pela equação-3.2D(N) $ min(O.5. 004, 0.333) = 0.3331..

Considera-se um SFM composto por um conjunto de células detrabalho. numeradas I. 2..... m. Existe uma estação central comárea comum de armazenamento. C. com capacidade para Jjobs no sistema.

SBA Controle & Automação Nol.e nll 1Ijaneiro·fevereiro 1995 7

iii) Existe um número fixo. A. de AGVs no sistema.

Um SFM com J jobs. m células e capacidade C para osbuffers locais das máquinas será designado por sistema J x mxC.

Figura 14 - Modelo em rede-Ptr

4.2· Derivação do Modelo

Modela-se e avalia-se o caso J x 2 x I para duas classes dejobs (R=2) e dois AGVs.

Considerando as restrições colocadas no ítem iv). (tempo médiode atraso para cada job igual a l/~). no ítem v) ( tempo médiode utilização dos AGV igual a I/Jl) e ítem vii) (tempo médiode utilização das estações igual a I/lli,j' o modelo de duasclasses (Fig-14a) pode ser reduzido a um modelo de classeúnica onde os jobs competem pelos AGVs (Fig-I4b).Deve serenfatizado que a redução ao modelo de classe única só épossível devido à igualdade nos tempo de utilização de recursospor jobs de ambas as classes.

4.3· Análise de Melhor e Pior Caso

19mpodeuslnogom

wmpodetransporta

Figura 13

Cada job no sistema é levado da célula de usinagem à estaçãocentral. Como o retorno não utiliza os AGVs não é consideradoo tempo de transporte da célula à estação. Na estação central éfeita a detenninação da nova sequência de operações. O jobsolicita serviço em uma das eslações de trabalho. Há competi­ção pelos AGVs que levam os jobs da estação central àsestações de trabalho. Se a estação escolhida não estiverdisponível. o job espera no buffer local da estação. No caso deum job abandonar o sistema a partir da estação central. ele éimediatamente substituído por outro. mantendo o número dejobs constante.

Segue o detalhamento do comportamento do sistema

i) Existe um número fixo de jobs. J. circulando no sistema.

AGVs Inmn~ nf'"

r*-+---i-+lQ i i Q~+-->IG) f-------'-+->IG)

iv) Cada job tem um atraso de chegada com valor médio I/~.

É o tempo necessário para programar as máquinas CNC(centros de usinagem) mais o tempo para os jobs voltarem àestação central após a conclusão de um ciclo de serviço emuma das células.

ii) Cada uma das m células tem diversos centros de usinagemMC. O i-ésimo centro. MCi. pode servir mj jobs em paralelo.

v) O tempo de utilização dos AGVs é detenninístico. commédia W.

vii) Existem R classes de jobs no sistema. O tempo médio deprocessamento da classe-i na célula MCj é l/rli,j' Considera-seque o agrupamento de máquinas em células é feito de tal fonnaque todas as células tem capacidade aproximadamente igual.

A diferença entre o melhor e o pior caso é caracterizada. dadoum número fixo de AGVs, pela ocorrência ou não de colisõessobre as estações de trabalho. Uma colisão é caracterizada pelatentativa de dois ou mais jobs acessarem a mesma estação. Otempo de utilização dos AGVs. Z(u-AGV). para o transporte dejobs é de 2.0 unidades de tempo. O tempo de utilização deestações. Z(u-MC). é de 5z e o tempo de retardo devido àprogramação das máquinas. Z(delay). é de lz.

viii) Um job requisita um serviço em qualquer das MCi, comprobabilidade P jj = II m representando a probabilidade do job-irequisitar a célula MCj • i = 1,2, .... J e j = 1,2, .... m.

ix) MCj possui um buffer local com capacidade kj.

x) O tempo necessário para levar os jobs de volta à estaçãocentral não é considerado por não utilizar os AGVs.

O período básico dos componentes pode ser detenninado:Po(AGV) = Z(u - AGV) = 2z

Po(MC) = Z(U - MC) = 5z

Po(Jobs) = Z(delay) + Z(u - AGV) + Z(u - MC) = 8z

Po(bJ) = Z(u - AGV) = 2z

8 SBA Controle & Automação Nol.6 n' 1/janeiro-fevereiro 1995

o período básico das posições no buffer das máquinas englobao transporte: um job s6 é levado à máquina se o buffer estiverdisponível.

a) Análise do Melhor Caso

o melhor caso corresponde à situação em que sempre que doisjobs tentarem o acesso às máquinas, eles endereçam máquinasdistintas. A nlvel do modelo da Fig-14b, significa uma disponi­bilidade permanente de duas máquinas, representada por umamarcação inicial Mo (MC)=2. A tab-l mostra a curva dedesempenho do sistema em função do número de jobs nosistema. As entradas da tabela representam uma aplicaçãodireta da eq-3.2.

AO

.36

.31

.22

.1.

13

llosorr<>on'" (jobsIun-_)

D(N)~ --"~",,,,º---

• Slmuleçio• Alam et ali (8J rnodK) tJ2+ Mo&.IIO ter'I"lI-NlII1covIano 0XIlt0A 111.':-"'; f1

Tabela 1 - O(N)mc x J

J Do(Jobs) Do(AGV) Do(bf) Do(MC) D(N)mc

1 o.,,,, I.U 1.0 0.4 0.1252 0.25 1.0 1.0 U.' U.'"

3 0.3/' LU 1.<r 0.4 0.3754 0.5 1.0 '.0 u" U.'

5 0.020 LU 1.0' 0.4 0.4

;m ~.75 1.0 1.0 O•• O..

o número de jobs no sistema representa o recurso crítico paraMo(Jobs) :;; 3. Para 4 ou mais jobs no sistema o recurso crIticoé representado pelas duas estações de trabalho que colocam opatanlar de desempenho em O(N)= 0.411..

b) Análise do Pior Coso

o pior caso corresponde à situação de colisão permanente sobreum das estações de trabalho. É representada por uma marcaçãoMo(MC)=\. no modelo da Fig-14b.

Tabela 2 - D(N)pc x J

J Do(lobs) Do(AOV) Do(bO Do(MC) D{N)po

I O.H> U LU 0.2 u.m2 "" LU J.O) 0.2 u-'3 o:m 1.0 LO 0.2 0-'-. -,,:,- 1.0 . 1.0 -QT

--,- --=- 1.0 . LO

;o 0.615 \.0 LO u.2 U"

No pior caso o comportamento é ditado pelas células já a partirde dois jobs no sistema. A Fig-IS compara os resultadosobtidos por diversos métodos com os de melhor e pior casocalculados.

o cálculo de melhor e pior caso permite situar, a um custocomputacional muito baixo, os limites de desempenho dosistema. Na próxima seção descreve-se o refinamento dasolução onde, aumentando o custo computacional envolvido. épossivel determinar O caso esperado para o sistema.

Figura 15 - Comparação de resultados

4.4 - Análise do Caso Esperado

o refinanlento da solução está baseado na possibilidade deO(N) < min (Do (Ni» na eq-3.2. Esta possibilidade é decorrenteda existência de uma probabilidade determinável de queocorranl situações de colisão sobre o recurso endereçável Me.Em outras palavras, o sistema oscilará entre diversos estados,correspondentes a situações sem colisão, colisão parcial ecolisão total sobre as máquinas. A análise do caso esperadoconsidera que O sistema tenta trabalhar à taxa máxima (semcolisões) e introduz então o efeito das perturbações (colisõessobre os recursos endereçáveis) que trazem o sistema ao casoesperado.

o método de aproximação será detalhado no Algoritmo deaproximação.

Algoritmo de Aproximação

[1] Determinação do número médio de jobs competindo pelosrecursos endereçáveis

lfJ = iH(w - MC) = D(N) . Zw(w - MC)

A determinação do número médio de jobs em competiçãoimplica o cálculo do tempo de espera induzido em w-MC.

[2] Expressão de /fJ como uma soma ponderada de inteirosque satisfazem

qo * O + ql * I + q2 * 2 + ... + qn * n = If.

n

}:>i = 1.0i=O

O :;; qi :;; 1.0

o sistema acima tem infinitas soluções. Escolhe-se a soluçãoonde os qj'S siganl uma distribuição binomial privilegiando

valores em tomo do valor médio lfJ = n • p,

SBA Controle & Automação Nol.6 n' l~aneiro-fevereiro1995 9

bn,p(k){:) * pk * (l_p)n-konde n é o número máximo de jobs concorrendo pelos recursoscompartilhados, k E {O, 1, 2, ooo,n} é o número de jobs emcompetição numa detenninada situação, p é a probabilidade dovalor médio e

ln) n!k ~ k!(n k)!

[3]ldentijü:alião das situações de conflito e determinalião dopeso de cada situaçãoo

Seja c(k,m) a colisão de k jobs sobre m células. A probabilidadede ocorrência da situação de colisão, função da probabilidadede referência dos jobs a cada recurso endereçavel é w(c(k.m)).O cálculo de w(c(k,m)) é efetuado, de fonna direta, sobre amatriz de probabilidade de referência dos jobs às máquinas.

[4] Cálculo do valor esperada de desempenho D(N) do siste-

ma na:resença de (c~~~:g )D(N) ~ E bn, p(k) o E w(c(k,m)) o D(N)k.m

k'() m·I

onde D(Nh.m representa o desempenho do sistema com k jobscompetindo por m células e D(N) o valor esperado com Mo(Jobs) no sistema.

O algoritmo de valor esperado será aplicado em detalhes paravalores crescentes de jobs no sistema. Os dados invariantes sãoPo(Jobs)=8z, Do(AGV) = I.OÀ, Do(MC)sc = O.4À eDo(MC)cc= 0.2À. A probabilidade de referência dos jobs àsduas células é 0.5.

Passo [1 JDe~rmlnação do número médio dejobs #J em competição.

No melhor caso (sem colisão) não há indução de tempo deespera em w-MC (Zw(w-MC)mc=O). No pior caso, os compo­nentes Jobs e Bt, que cobrem o lugar w-MC serão retardadospela indução de um tempo de espera (Zw(w-MC)pc>O). Nasequações abaixo Zw(w-MCINj)representa o tempo de esperainduzido pela interação do componente MC com o componenteNi·

Zw(w-MC/J) ~ Mo(Jobs) - Po(Jobs)D(N)pc

Zw(w-MC/B) ~ Mo(BfJ - Po(BfJD(N)pc

Zw(w-MC)pc ~ min(zw(w - MC/J), Zw(W - MC/BfJ)

O tempo final Zw(w-MC)f será a soma ponderada dos doisvalores.

Zw(w-MC)f ~ 0.5 o Zw(w - MC)mc + 0.5 o Zw(w-MC)pc

10 SBA Controle & Automação Nol.6 n' 1~aneiro-fevereiro1995

ºnúmero de jobs em competição é dado pela marcação médiaM(w . MC) calculada usando a eq-3.4b com o valor de desem­penho dado pela ponderação do melhor e pior caso:

D(N) ~ 0.5 o D(N)cc + 0.5 o D(N)sc

J=I:Com um job no sistema não há competição pelos recursos. Odesempenho é ditado pelo componente mais lento, Do(jobs) =0.125À.

J=2: As equações fornecem:

Zw(w -MC/J) ~ .2... - 8 = 2z0.2

IZw(w-MC/BfJ ~ _ - 2 ~ 3z0.2

Zw(w - MC)pc ~ min(2, 3) ~ 2z

Zw(w-MC)f ~ 0.5 . O + 0.5 . 2 ~ Iz

D(N) ~ 0.5 o 0.2 + 0.5 o 0.25 ~ 0.225À

M(w - MC) ~ 0.225 . I ~ 0.225

A tabela-3 resume os valores calculados. Deve ser observadoque para J = 2 e 3 o desempenho máximo do sistema é dadopelo componente Jobs com valores respectivos de 0.25À e0.375À.

TABELA-3:

J Zw(w- Me), D(N) M(w-MC)

1 0.0 0.125 0.0

< 1.U u.<<:, u.<<:,3 1.5 U.<O/O u....,,<O4 1.' u.~ u.4>o 1.0 u.~ U.4'

" 1.' U.~ 0.4'

.U 1., o.~ 0.4>

O valor da marcação média em w-MC.!epresenta o número dejobs em competição pelos recursos /tJ.

Passo [2J Expressão de #J como uma somaPQnderada segundo a distribuiçãobinomial.

Esta expressão significa que um dado valor médio (real) de jobsem competição será expresso como uma soma de inteiros k E

(O, I, ... }. O valor máximo, 2, é colocado em função darestrição sobre a capacidade dos annazéns associados àsestações de trabalho, confonne o modelo da Fig-14b.

Passo [3] Determinação do peso das situa­ções de conflito.

e 0.56875 . [0.0 . 0.2 + 1.0 . 0.375]

+ 0043125 . [0.5 . 0.2 + 0.5 . 0.3755]

e 0.33726Â.

e 0.600625 • [0.0'0.2 + 1.0'004]+ 0.34875 . [0.5 '0.2 + 0.5 '004]+ 0.050625 . [0.5 '0.2 + 0.5 '004]e 0.36Â.

J= 4:

D(Ni e bt.p(O) • [w(c(O,I)) . D(Niee + w(c(0,2)) . D(Nise]

+ bei l ) . [w(c(l,l)) . D(Niee + w(c(l,2)) . D(Nise]

+ b1.p(2) • [w(c(2,1)) • D(Niee + w(c(2,2)) • D(Nise]

J= 3:

D(Ni e b),p(O) . [w(c(O,I)) . D(Nice + w(c(0.2)) • D(Nise]

+ b1•p(l) . [w(c(I,I)) • D(Nice + w(c(I,2)) . D(Nise]

-

J #J P k bn n(k)

O 0.110

2 0.225 0.225 1 0.225O 0.56875

3 0.43125 0.43125 1 0.43125O U.OUUO<"

4 0.45 0.225 1 0.348752 0050625O 0.600625

5 0.45 0.225 1 0.348752 0050625

Para J ~ 5 não há alteração nos valores de bn.P{k). Note-se quepara J ; 2 e 3 não há possibilidade de M(w-MC);2 e aexpressão deste valor médio como soma ponderada não leva emconta o valor de k;2. Em função deste fato o cálculo daprobabilidade do valor médio, p, é feita sobre um job e nãosobre dois ou !rés.

2

TABELA-4: lfJ e }:> . bn.p(k)k.,(J

2830

I

.......

'"I , I

18

I

1284

I ' I , I

_1__)D(N)

~---------"""""-"""'-

0.27

0,31

0.30

0.22

0.18 i'- i

i0.13 I

O...

0.04

OAO

A Fig-16 mostra os valores do desempenho para o casoesperado.,

com semJ k colisão w(c(k,m)) colisão w(c(k,m))

c (k,m) c (k,m)2 Ir C(lI,1 ) O

~(;O,:i ' .01 c(I,1 ) 0.5 0.5

3 O C(0,1) O c (0,<) l.U1 c(I.1 ) 0.5 c (1,2) 0.5U C(0,11 U c (U,<) LU

4 1 c(I,1 ) 0.5 c (1,2) 0.52 c (2,1) 0.5 c (2,2) 0.5O C(0,11 o c (0,<) l.U

5 1 c(1,1) 0.5 c (1,2) 0.52 c (2,1) 0.5 c (2.2) 0.5

TA"dELA-S: w(c(k m))

Passo [4]

Para N ~ 6 a situação é idêntica à descrita para N;5.

Figura 16 - Plotagem do caso esperado

J; 1:Com um job no sistema não existem situações de colisão. Odesempenho do sistema é ditado por D(N);Q.125À.

5 - CONCLUSÃO

J; 2:

D(Ni e bt,p(O) • [w(c(O,I)) • D(Niee + w(c(0,2)) . D(Ni.,e]

+ bj,pO) • [w(C(I,I)) • D(Niee + w(c(l,2)) . D(Nise]

e 0.775 . [0.0 • 0.2 + 1.0 . 0.225]

+ 0.225 • [0.5 . 0.2 + 0.5 . 0.225]

e 0.2109375Â.

Apresentou-se um conjunto de primitivas baseadas em Redes dePetri temporizadas para a modelagem da utilização de recursosem sistemas flexíveis de manufatura. Equações de fluxoestabelecem a relação entre a rede (estrutura, marcação iniciale tempo de permanência de marcas) e os parâmetros quantitati­vos do sistema modelado: desempenho, gargalos, índices deutilização e população média. A um custo computacional baixopode ser detenninado o melhor e o pior caso para o sistemaRefinando a análise e elevando o custo computacional épossível determinar o caso esperado.

A determinação dos limites de desempenho (melhor e pior caso)tem valor prático limitado se o número de recursos endereçá­veis for significativo. Dentro do processo de screening de

SBA Controte & Automação Nol.6 nll 1/janeiro-fevereiro 1995 11

alternativas os valores limites permitem eliminar as alternativascatastróficas ~ onde o melhor caso para ~ está pr6ximo aopior caso de outras alternativas. Ainda no processo de seree­ning, o método de aproximação para o caso esperado permiteuma ulterior redução no número de alternativas remascentes. Noprocesso de selection a limitação dos modelos analíticos éditada pelo número de recursos endereçáveis a serem modeladospara obter uma descrição mais ou menos fiel da realidade.

A análise quantitativa de sistemas com posse simultânea derecursos foi abordada pelo método dos surrogates por Jacobsonet a/li (1982). O problema não é crítico se as unidades derecursos de um mesmo tipo forem indistinguíveis. O problemasurge quando jobs solicitam ocorrências de um tipo de recursosegundo uma matriz de probabilidade de referência Mesmoneste caso, se matriz de referência das solicitações aos recursosendereçáveis for equiprovável, o problema do custo computa­cional é contornável pelo uso dos números de Stirling nocálculo das probabilidades das colisões. No caso estudado, seas duas estações forem indistinguíveis para os jobs que assolicitam, não haverá situação de colisão e a análise restringe-sea um estado com desempenho D(N) = 0.41... Por outro lado,num sistema com quatro estações endereçáveis e distinguíveis,a análise deve levar em conta quatro estados básicos: colisãototaI, colisão sobre duas máquinas, colisão sobre trés e nãocolisão. Ainda, se a capacidade dos armazéns locais dasestações for maior que um, há a explosão de estados: cadasituação de colisão deverá ser analisada para o conlunto devalores que originam um determinado valor médio #J de jobsenvolvidos na concorrência.

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Apoio Financeiro:

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