Post on 06-Sep-2018
Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 1
Parte 1 Pré-Cálculo 1
Apresentação do curso
Parte 1 Pré-Cálculo 2
Conteúdo do curso
Conjuntos numéricos.Módulo e raízes.Resolução e representação geométricas das soluções deequações e inequações.Polinômios.Função real de variável real.Leitura gráfica.Trigonometria.Funções trigonométricas.
Parte 1 Pré-Cálculo 3
Bibliografia
Iaci Malta; Sinésio Pesco; Hélio Lopes. Cálculo a UmaVariável. Volume 1: Uma Introdução ao Cálculo. ColeçãoMatMídia, Edições Loyola, Editora PUC-Rio, 2002.
Parte 1 Pré-Cálculo 4
Bibliografia
Elon Lages Lima; Paulo Cezar Pinto Carvalho; EduardoWagner; Augusto César Morgado. A Matemática do EnsinoMédio. Volume 1. Coleção do Professor de Matemática,Sociedade Brasileira de Matemática, 2003.
Parte 1 Pré-Cálculo 5
Bibliografia
James Stewart. Cálculo, volume 1, Quarta edição, EditoraPioneira, 2001.
Parte 1 Pré-Cálculo 6
Bibliografia
George B. Thomas. Cálculo, volume 1, Décima edição,Editora Addison-Wesley, 2003.
Parte 1 Pré-Cálculo 7
Bibliografia
Howard Anton. Cálculo – Um Novo Horizonte, volume 1,Sexta edição, Editora Bookman, 2000.
Parte 1 Pré-Cálculo 8
Outras informações
Página WEB do curso: http://www.professores.uff.br/hjbortol/.Clique no link DISCIPLINAS no menu à esquerda.
Conteúdo: cronograma dia a dia, lista de execícios, materialextra, notas das provas.
Não deixe de consultar os horários de monitoria no GMA.
Vamos definir agora um horário de atendimento para estaturma.
Parte 1 Pré-Cálculo 9
Outras informações
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Conteúdo: cronograma dia a dia, lista de execícios, materialextra, notas das provas.
Não deixe de consultar os horários de monitoria no GMA.
Vamos definir agora um horário de atendimento para estaturma.
Parte 1 Pré-Cálculo 10
Outras informações
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Conteúdo: cronograma dia a dia, lista de execícios, materialextra, notas das provas.
Não deixe de consultar os horários de monitoria no GMA.
Vamos definir agora um horário de atendimento para estaturma.
Parte 1 Pré-Cálculo 11
Datas das provas
1a VE 02/06/2016 (peso 2)
2a VE 26/07/2016 (peso 3)
VR 28/07/2016
VS 04/08/2016
Frequência mínima: 75%.
Parte 1 Pré-Cálculo 12
Datas das provas
1a VE 02/06/2016 (peso 2)
2a VE 26/07/2016 (peso 3)
VR 28/07/2016
VS 04/08/2016
Frequência mínima: 75%.
Parte 1 Pré-Cálculo 13
A reta numérica
Parte 1 Pré-Cálculo 14
A reta numérica
(Ir para o GeoGebra)
Parte 1 Pré-Cálculo 15
A reta numérica
Importante: no que se segue, ao contrário da convenção usual,empregaremos o ponto como separador decimal no lugar davírgula.
Parte 1 Pré-Cálculo 16
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
= 4 + 3 · 110
+ 7 · 1100
+ 5 · 11000
= 4 + 3 · 110
+ 7 · 1102 + 5 · 1
103 .
Como representar o número 4.375 em uma reta numérica?
Parte 1 Pré-Cálculo 17
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
= 4 + 3 · 110
+ 7 · 1100
+ 5 · 11000
= 4 + 3 · 110
+ 7 · 1102 + 5 · 1
103 .
Como representar o número 4.375 em uma reta numérica?
Parte 1 Pré-Cálculo 18
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
= 4 + 3 · 110
+ 7 · 1100
+ 5 · 11000
= 4 + 3 · 110
+ 7 · 1102 + 5 · 1
103 .
Como representar o número 4.375 em uma reta numérica?
Parte 1 Pré-Cálculo 19
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
= 4 + 3 · 110
+ 7 · 1100
+ 5 · 11000
= 4 + 3 · 110
+ 7 · 1102 + 5 · 1
103 .
Como representar o número 4.375 em uma reta numérica?
Parte 1 Pré-Cálculo 20
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
= 4 + 3 · 110
+ 7 · 1100
+ 5 · 11000
= 4 + 3 · 110
+ 7 · 1102 + 5 · 1
103 .
Como representar o número 4.375 em uma reta numérica?
Parte 1 Pré-Cálculo 21
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
= 4 + 3 · 110
+ 7 · 1100
+ 5 · 11000
= 4 + 3 · 110
+ 7 · 1102 + 5 · 1
103 .
Como representar o número 4.375 em uma reta numérica?
Parte 1 Pré-Cálculo 22
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4.375
Parte 1 Pré-Cálculo 23
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4.375
0 1
Parte 1 Pré-Cálculo 24
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4.375
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Parte 1 Pré-Cálculo 25
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Parte 1 Pré-Cálculo 26
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Parte 1 Pré-Cálculo 27
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4
4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5
Parte 1 Pré-Cálculo 28
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4
4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5
Parte 1 Pré-Cálculo 29
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4
4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5
Parte 1 Pré-Cálculo 30
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4
4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5
Parte 1 Pré-Cálculo 31
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4
4.3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4.4
Parte 1 Pré-Cálculo 32
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4
4.3 4.31 4.32 4.33 4.34 4.35 4.36 4.37 4.38 4.39 4.4
Parte 1 Pré-Cálculo 33
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4
4.3 4.31 4.32 4.33 4.34 4.35 4.36 4.37 4.38 4.39 4.4
Parte 1 Pré-Cálculo 34
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4
4.3 4.31 4.32 4.33 4.34 4.35 4.36 4.37 4.38 4.39 4.4
Parte 1 Pré-Cálculo 35
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4
4.37 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4.38
Parte 1 Pré-Cálculo 36
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4
4.37 4.371 4.372 4.373 4.374 4.375 4.376 4.377 4.378 4.379 4.38
Parte 1 Pré-Cálculo 37
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4
4.37 4.371 4.372 4.373 4.374 4.375 4.376 4.377 4.378 4.379 4.38
Parte 1 Pré-Cálculo 38
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4
4.37 4.371 4.372 4.373 4.374 4.375 4.376 4.377 4.378 4.379 4.38
Parte 1 Pré-Cálculo 39
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1100
+ 3 · 11000
+ · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1102 + 3 · 1
103 + · · ·
= 3 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 3 ·
[1/10
1− (1/10)
]=
13.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Parte 1 Pré-Cálculo 40
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1100
+ 3 · 11000
+ · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1102 + 3 · 1
103 + · · ·
= 3 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 3 ·
[1/10
1− (1/10)
]=
13.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Parte 1 Pré-Cálculo 41
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1100
+ 3 · 11000
+ · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1102 + 3 · 1
103 + · · ·
= 3 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 3 ·
[1/10
1− (1/10)
]=
13.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Parte 1 Pré-Cálculo 42
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1100
+ 3 · 11000
+ · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1102 + 3 · 1
103 + · · ·
= 3 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 3 ·
[1/10
1− (1/10)
]=
13.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Parte 1 Pré-Cálculo 43
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1100
+ 3 · 11000
+ · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1102 + 3 · 1
103 + · · ·
= 3 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 3 ·
[1/10
1− (1/10)
]=
13.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Parte 1 Pré-Cálculo 44
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1100
+ 3 · 11000
+ · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1102 + 3 · 1
103 + · · ·
= 3 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 3 ·
[1/10
1− (1/10)
]=
13.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Parte 1 Pré-Cálculo 45
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1100
+ 3 · 11000
+ · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1102 + 3 · 1
103 + · · ·
= 3 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 3 ·
[1/10
1− (1/10)
]=
13.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Parte 1 Pré-Cálculo 46
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1100
+ 3 · 11000
+ · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1102 + 3 · 1
103 + · · ·
= 3 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 3 ·
[1/10
1− (1/10)
]=
13.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Parte 1 Pré-Cálculo 47
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1100
+ 3 · 11000
+ · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1102 + 3 · 1
103 + · · ·
= 3 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 3 ·
[1/10
1− (1/10)
]=
13.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Parte 1 Pré-Cálculo 48
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4.375
Parte 1 Pré-Cálculo 49
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4.375
0 1
Parte 1 Pré-Cálculo 50
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4.375
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Parte 1 Pré-Cálculo 51
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Parte 1 Pré-Cálculo 52
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Parte 1 Pré-Cálculo 53
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4
0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1
Parte 1 Pré-Cálculo 54
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Parte 1 Pré-Cálculo 55
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Parte 1 Pré-Cálculo 56
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Parte 1 Pré-Cálculo 57
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4
0.3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0.4
Parte 1 Pré-Cálculo 58
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4
0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4
Parte 1 Pré-Cálculo 59
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4
0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4
Parte 1 Pré-Cálculo 60
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4
0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4
Parte 1 Pré-Cálculo 61
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4
0.33 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0.34
Parte 1 Pré-Cálculo 62
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4
0.33 0.331 0.332 0.333 0.334 0.335 0.336 0.337 0.338 0.339 0.34
Parte 1 Pré-Cálculo 63
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4
0.33 0.331 0.332 0.333 0.334 0.335 0.336 0.337 0.338 0.339 0.34
Parte 1 Pré-Cálculo 64
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
E assim por diante. . .
0.33 0.331 0.332 0.333 0.334 0.335 0.336 0.337 0.338 0.339 0.34
Parte 1 Pré-Cálculo 65
Expansões decimais: exemplo 3
0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1100
+ 9 · 11000
+ · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1102 + 9 · 1
103 + · · ·
= 9 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 9 ·
[1/10
1− (1/10)
]= 1.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Parte 1 Pré-Cálculo 66
Expansões decimais: exemplo 3
0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1100
+ 9 · 11000
+ · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1102 + 9 · 1
103 + · · ·
= 9 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 9 ·
[1/10
1− (1/10)
]= 1.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Parte 1 Pré-Cálculo 67
Expansões decimais: exemplo 3
0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1100
+ 9 · 11000
+ · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1102 + 9 · 1
103 + · · ·
= 9 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 9 ·
[1/10
1− (1/10)
]= 1.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Parte 1 Pré-Cálculo 68
Expansões decimais: exemplo 3
0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1100
+ 9 · 11000
+ · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1102 + 9 · 1
103 + · · ·
= 9 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 9 ·
[1/10
1− (1/10)
]= 1.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Parte 1 Pré-Cálculo 69
Expansões decimais: exemplo 3
0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1100
+ 9 · 11000
+ · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1102 + 9 · 1
103 + · · ·
= 9 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 9 ·
[1/10
1− (1/10)
]= 1.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Parte 1 Pré-Cálculo 70
Expansões decimais: exemplo 3
0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1100
+ 9 · 11000
+ · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1102 + 9 · 1
103 + · · ·
= 9 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 9 ·
[1/10
1− (1/10)
]= 1.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Parte 1 Pré-Cálculo 71
Expansões decimais: exemplo 3
0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1100
+ 9 · 11000
+ · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1102 + 9 · 1
103 + · · ·
= 9 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 9 ·
[1/10
1− (1/10)
]= 1.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Parte 1 Pré-Cálculo 72
Expansões decimais: exemplo 3
0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1100
+ 9 · 11000
+ · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1102 + 9 · 1
103 + · · ·
= 9 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 9 ·
[1/10
1− (1/10)
]= 1.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Parte 1 Pré-Cálculo 73
Expansões decimais: exemplo 3
0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1100
+ 9 · 11000
+ · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1102 + 9 · 1
103 + · · ·
= 9 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 9 ·
[1/10
1− (1/10)
]= 1.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Parte 1 Pré-Cálculo 74
Expansões decimais: exemplo 3
0.9 = 1
Moral:existem números reais que possuemduas expressões decimais diferentes!
Parte 1 Pré-Cálculo 75
Expansões decimais
(Ir para o GeoGebra)
Parte 1 Pré-Cálculo 76
Exercício
Na reta numérica abaixo, estão indicados quatro pontos: A, B,C e D. Qual ponto corresponde ao número −2/5?
−3 −2 −1 0 1 2 3
A B C D
Resposta: B.
Parte 1 Pré-Cálculo 77
Exercício
Na reta numérica abaixo, estão indicados quatro pontos: A, B,C e D. Qual ponto corresponde ao número −2/5?
−3 −2 −1 0 1 2 3
A B C D
Resposta: B.
Parte 1 Pré-Cálculo 78
Exercício
Na reta numérica abaixo, a = −2/3 e b = 3/10. O intervalo [a,b]encontra-se dividido em sete partes iguais. Determine o valorde x indicado na figura.
a bx
Resposta: x = −41/105.
Parte 1 Pré-Cálculo 79
Exercício
Na reta numérica abaixo, a = −2/3 e b = 3/10. O intervalo [a,b]encontra-se dividido em sete partes iguais. Determine o valorde x indicado na figura.
a bx
Resposta: x = −41/105.
Parte 1 Pré-Cálculo 80
Intervalos
Parte 1 Pré-Cálculo 81
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Parte 1 Pré-Cálculo 82
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Parte 1 Pré-Cálculo 83
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Parte 1 Pré-Cálculo 84
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Parte 1 Pré-Cálculo 85
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Parte 1 Pré-Cálculo 86
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Parte 1 Pré-Cálculo 87
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Parte 1 Pré-Cálculo 88
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Parte 1 Pré-Cálculo 89
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Parte 1 Pré-Cálculo 90
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Parte 1 Pré-Cálculo 91
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Parte 1 Pré-Cálculo 92
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Parte 1 Pré-Cálculo 93
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Parte 1 Pré-Cálculo 94
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Parte 1 Pré-Cálculo 95
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Parte 1 Pré-Cálculo 96
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Parte 1 Pré-Cálculo 97
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Parte 1 Pré-Cálculo 98
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Parte 1 Pré-Cálculo 99
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Parte 1 Pré-Cálculo 100
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Parte 1 Pré-Cálculo 101
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Parte 1 Pré-Cálculo 102
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b
:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.
Parte 1 Pré-Cálculo 103
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado
, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.
Parte 1 Pré-Cálculo 104
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto
, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.
Parte 1 Pré-Cálculo 105
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda
, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.
Parte 1 Pré-Cálculo 106
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita
. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.
Parte 1 Pré-Cálculo 107
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados
: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.
Parte 1 Pré-Cálculo 108
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b.
Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.
Parte 1 Pré-Cálculo 109
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas.
Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.
Parte 1 Pré-Cálculo 110
Intervalos
Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.
Parte 1 Pré-Cálculo 111
Observações
Outras notações para intervalos (notação francesa):
]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),
[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.
Quais as vantagens desta notação? Resposta: para resolverambiguidades. Por exemplo, (2,3) representa um intervalo ouum par ordenado?
−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.
Parte 1 Pré-Cálculo 112
Observações
Outras notações para intervalos (notação francesa):
]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),
[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.
Quais as vantagens desta notação? Resposta: para resolverambiguidades. Por exemplo, (2,3) representa um intervalo ouum par ordenado?
−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.
Parte 1 Pré-Cálculo 113
Observações
Outras notações para intervalos (notação francesa):
]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),
[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.
Quais as vantagens desta notação? Resposta: para resolverambiguidades. Por exemplo, (2,3) representa um intervalo ouum par ordenado?
−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.
Parte 1 Pré-Cálculo 114
Observações
Outras notações para intervalos (notação francesa):
]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),
[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.
Quais as vantagens desta notação? Resposta: para resolverambiguidades. Por exemplo, (2,3) representa um intervalo ouum par ordenado?
−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.
Parte 1 Pré-Cálculo 115
Observações
Outras notações para intervalos (notação francesa):
]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),
[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.
Quais as vantagens desta notação? Resposta: para resolverambiguidades. Por exemplo, (2,3) representa um intervalo ouum par ordenado?
−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.
Parte 1 Pré-Cálculo 116
Observações
Outras notações para intervalos (notação francesa):
]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),
[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.
Quais as vantagens desta notação? Resposta: para resolverambiguidades. Por exemplo, (2,3) representa um intervalo ouum par ordenado?
−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.
Parte 1 Pré-Cálculo 117
Observações
Outras notações para intervalos (notação francesa):
]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),
[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.
Quais as vantagens desta notação? Resposta: para resolverambiguidades. Por exemplo, (2,3) representa um intervalo ouum par ordenado?
−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.
Parte 1 Pré-Cálculo 118
Observações
Outras notações para intervalos (notação francesa):
]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),
[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.
Quais as vantagens desta notação? Resposta: para resolverambiguidades. Por exemplo, (2,3) representa um intervalo ouum par ordenado?
−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.
Parte 1 Pré-Cálculo 119
Observações
Outras notações para intervalos (notação francesa):
]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),
[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.
Quais as vantagens desta notação? Resposta: para resolverambiguidades. Por exemplo, (2,3) representa um intervalo ouum par ordenado?
−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.
Parte 1 Pré-Cálculo 120
Observações
Outras notações para intervalos (notação francesa):
]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),
[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.
Quais as vantagens desta notação? Resposta: para resolverambiguidades. Por exemplo, (2,3) representa um intervalo ouum par ordenado?
−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.
Parte 1 Pré-Cálculo 121
Observações
Outras notações para intervalos (notação francesa):
]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),
[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.
Quais as vantagens desta notação? Resposta: para resolverambiguidades. Por exemplo, (2,3) representa um intervalo ouum par ordenado?
−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.
Parte 1 Pré-Cálculo 122
Observações
Outras notações para intervalos (notação francesa):
]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),
[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.
Quais as vantagens desta notação? Resposta: para resolverambiguidades. Por exemplo, (2,3) representa um intervalo ouum par ordenado?
−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.
Parte 1 Pré-Cálculo 123
Intervalos
[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
a b
Parte 1 Pré-Cálculo 124
Intervalos
(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}
a b
Parte 1 Pré-Cálculo 125
Intervalos
[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}
a b
Parte 1 Pré-Cálculo 126
Intervalos
(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}
a b
Parte 1 Pré-Cálculo 127
Intervalos
(−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b}
b
Parte 1 Pré-Cálculo 128
Intervalos
(−∞,b) = {x ∈ R | x < b}
b
Parte 1 Pré-Cálculo 129
Intervalos
[a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x}
a
Parte 1 Pré-Cálculo 130
Intervalos
(a,+∞) = {x ∈ R | a < x}
a
Parte 1 Pré-Cálculo 131
Intervalos
A = {2,3}, B = [2,3], C =]2,3[.
(1) Quantos elementos tem cada conjunto?Resposta: A tem 2 elementos, B e C têm infinitos elementos.
(2) Qual é o menor elemento de cada conjunto?Resposta: o menor elemento dos conjuntos A e B é 2, C nãopossui um menor elemento.
Parte 1 Pré-Cálculo 132
Intervalos
A = {2,3}, B = [2,3], C =]2,3[.
(1) Quantos elementos tem cada conjunto?Resposta: A tem 2 elementos, B e C têm infinitos elementos.
(2) Qual é o menor elemento de cada conjunto?Resposta: o menor elemento dos conjuntos A e B é 2, C nãopossui um menor elemento.
Parte 1 Pré-Cálculo 133
Intervalos
A = {2,3}, B = [2,3], C =]2,3[.
(1) Quantos elementos tem cada conjunto?Resposta: A tem 2 elementos, B e C têm infinitos elementos.
(2) Qual é o menor elemento de cada conjunto?Resposta: o menor elemento dos conjuntos A e B é 2, C nãopossui um menor elemento.
Parte 1 Pré-Cálculo 134
Intervalos
A = {2,3}, B = [2,3], C =]2,3[.
(1) Quantos elementos tem cada conjunto?Resposta: A tem 2 elementos, B e C têm infinitos elementos.
(2) Qual é o menor elemento de cada conjunto?Resposta: o menor elemento dos conjuntos A e B é 2, C nãopossui um menor elemento.
Parte 1 Pré-Cálculo 135
Intervalos
Apresente infinitos racionais e infinitos irracionais quepertençam ao intervalo [2,3].
Racionais:x1 = 2.01, x2 = 2.001, x3 = 2.0001, . . . , xn = 2.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
n zeros
1, . . .
Irracionais:y1 =
√5+ 0.01, y2 =
√5+ 0.001, . . . , yn =
√5+ 0.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
n zeros
1, . . .
Parte 1 Pré-Cálculo 136
Intervalos
Apresente infinitos racionais e infinitos irracionais quepertençam ao intervalo [2,3].
Racionais:x1 = 2.01, x2 = 2.001, x3 = 2.0001, . . . , xn = 2.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
n zeros
1, . . .
Irracionais:y1 =
√5+ 0.01, y2 =
√5+ 0.001, . . . , yn =
√5+ 0.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
n zeros
1, . . .
Parte 1 Pré-Cálculo 137
Intervalos
Apresente infinitos racionais e infinitos irracionais quepertençam ao intervalo [2,3].
Racionais:x1 = 2.01, x2 = 2.001, x3 = 2.0001, . . . , xn = 2.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
n zeros
1, . . .
Irracionais:y1 =
√5+ 0.01, y2 =
√5+ 0.001, . . . , yn =
√5+ 0.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
n zeros
1, . . .
Parte 1 Pré-Cálculo 138
Intervalos
Apresente infinitos racionais e infinitos irracionais quepertençam ao intervalo [2,3].
Racionais:x1 = 2.01, x2 = 2.001, x3 = 2.0001, . . . , xn = 2.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
n zeros
1, . . .
Irracionais:y1 =
√5+ 0.01, y2 =
√5+ 0.001, . . . , yn =
√5+ 0.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
n zeros
1, . . .
Parte 1 Pré-Cálculo 139
Intervalos
Apresente infinitos racionais e infinitos irracionais quepertençam ao intervalo [2,3].
Racionais:x1 = 2.01, x2 = 2.001, x3 = 2.0001, . . . , xn = 2.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
n zeros
1, . . .
Irracionais:y1 =
√5+ 0.01, y2 =
√5+ 0.001, . . . , yn =
√5+ 0.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
n zeros
1, . . .
Parte 1 Pré-Cálculo 140
Intervalos
Apresente infinitos racionais e infinitos irracionais quepertençam ao intervalo [2,3].
Racionais:x1 = 2.01, x2 = 2.001, x3 = 2.0001, . . . , xn = 2.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
n zeros
1, . . .
Irracionais:y1 =
√5+ 0.01, y2 =
√5+ 0.001, . . . , yn =
√5+ 0.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
n zeros
1, . . .
Parte 1 Pré-Cálculo 141
Intervalos
Apresente infinitos racionais e infinitos irracionais quepertençam ao intervalo [2,3].
Racionais:x1 = 2.01, x2 = 2.001, x3 = 2.0001, . . . , xn = 2.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
n zeros
1, . . .
Irracionais:y1 =
√5+ 0.01, y2 =
√5+ 0.001, . . . , yn =
√5+ 0.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
n zeros
1, . . .
Parte 1 Pré-Cálculo 142
Intervalos
Apresente infinitos racionais e infinitos irracionais quepertençam ao intervalo [2,3].
Racionais:x1 = 2.01, x2 = 2.001, x3 = 2.0001, . . . , xn = 2.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
n zeros
1, . . .
Irracionais:y1 =
√5+ 0.01, y2 =
√5+ 0.001, . . . , yn =
√5+ 0.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
n zeros
1, . . .
Parte 1 Pré-Cálculo 143
Intervalos
Apresente infinitos racionais e infinitos irracionais quepertençam ao intervalo [2,3].
Racionais:x1 = 2.01, x2 = 2.001, x3 = 2.0001, . . . , xn = 2.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
n zeros
1, . . .
Irracionais:y1 =
√5+ 0.01, y2 =
√5+ 0.001, . . . , yn =
√5+ 0.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
n zeros
1, . . .
Parte 1 Pré-Cálculo 144