ÁREA 1 – FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA

PROF: ARTUR PASSOS DIAS LIMA

CURSO

DE

NIVELAMENTO

Lista de Figuras Figura1: Gráfico do polinômio 8423)( 234 +−+−−= xxxxxf . 17

Figura2: Gráfico da função constante. 19

Figura 3: Gráfico da função identidade. 20

Figura 4: Gráfico da segunda bissetriz. 20

Figura 5: Gráfico da primeira bissetriz. 21

Figura 6: Gráfico da função do primeiro grau decrescente. 22

Figura 7: Gráfico da função do primeiro grau crescente. 24

Figura 8: Gráfico da função .682)( 2 +−= xxxf 35

Figura 9: Gráfico da função ( ) xxf = . 40

Figura 10: Gráfico da função ( ) xxf = . 40

Figura 11: Gráfico da função ( ) 3−= xxf . 41

Figura 12: Gráfico da função exponencial crescente. 44

Figura 13: Gráfico da função exponencial decrescente. 44

Figura 14: Gráfico da função xxf 2)( = . 45

Figura 15: Gráfico da função 42)( −= xxf . 46

Figura 16: Gráfico da função 42)( −= xxf . 46

Figura 17: Gráfico da função 242)( −−= xxf . 47

Figura 18: Gráfico da função logarítmica crescente. 51

Figura 19: Gráfico da função logarítmica decrescente. 51

Figura 20: Gráfico da função ( )5log 5,0 += xy . 51

Figura 21: Gráfico da função 2)5(log 5,0 −+= xy . 52

Figura 22: Gráfico da função 2)5(log 5,0 −+= xy . 52

Figura 23: Gráfico de uma senóide. 65

Figura 24: Gráfico de uma cossenóide. 66

i

Sumário

1ª Parte

1 – Potenciação 1

2 – Radicais 2

3 – Racionalização de Denominadores 5

4 – Produtos Notáveis 6

5 – Fatoração 7

6 – Polinômios 11

7 – Recursos do Matlab 16

2ª Parte

8 – Função do 1º grau 19

9 – Função do 2º grau 30

10 – Função Modular 38

11 – Função Exponencial 44

12 – Função Logarítmica 50

3ª Parte

13 – Função Trigonométrica 60

14 – Bibliografia 83

ii

Introdução O que seria da vida sem a matemática? Há muitos anos atrás os grandes estudiosos como Gauss, Newton, Kepler e muitos outros, dedicaram suas vidas a formulações matemáticas e até os dias de hoje, utilizamos suas descobertas para o crescimento da humanidade e explicações dos fenômenos da natureza. O estudo da matemática requer muita persistência e lógica, pois relacionar números e letras em determinados problemas como: o cálculo da energia elétrica, a distância da terra até o sol, a formação do calendário perante a rotação da terra, por que o celular funciona? Por que o avião fica suspenso no ar? Não é de um dia para o outro. A leitura é um fator primordial no entendimento dos fenômenos, narrar o acontecido, raciocinar como e por que acontece é bem mais que uma terapia. Um grande cientista precisa de embasamento teórico e para isso, as bibliografias são indispensáveis na sua cultura. A utilização dos nossos neurônios é pouca, pois nunca se descobre tudo e o mundo que os nossos olhos enxergam é bastante limitado, mas mesmo assim somos vencedores quando ligamos a imaginação à realidade. Com a invenção do computador, muitos softwares foram lançados no mercado, facilitando ainda mais a matemática e um deles é o Matlab. Esta extraordinária ferramenta é muito usada pelos engenheiros, a qual utilizo em algumas simulações mostrando o entendimento das respostas dos problemas propostos neste livro. Procuro retratar alguns assuntos da matemática do 2º grau, e sendo coordenador do curso de nivelamento, espero facilitar o entendimento da matemática, para que os futuros engenheiros da Faculdade Área1, concluam o curso só no intuito de aprender, pois o aprendizado nunca se perde, ele se acumula em toda a nossa vida. Agradeço ao professor e mestre Álvaro Fernandes pelo apóio e revisão deste módulo e ao professor e doutor Eduard Montgomery que me incentivou a fazer este livro. Todo o embasamento teórico deste módulo foi tirado de diversos livros que estão disponíveis na bibliografia. O autor Artur Passos Dias Lima 16 de dezembro de 2005

“A verdadeira riqueza é o conhecimento e a sabedoria” Artur Passos

iii

1ª Parte 1 - Potenciação A potenciação é utilizada em muitos cálculos em matemática e o objetivo é estudar as seis propriedades, para serem utilizadas nos conteúdos deste livro.

1.1 Multiplicação de mesma base Multiplicação de mesma base conserva-se a base e somam-se os expoentes: mnmn aaa +=. 1.2 Divisão de mesma base

Divisão de mesma base conserva-se a base e subtraem os expoentes: mnmn aaa −=:

1.3 As regras a seguir valem as igualdades:

a) ( ) nmm aaba .. =

b) ( ) nmmn aa .=

c) ( ) n pmp

n m AA .=

d) nmm n AA .=

Exercícios de Potenciação

01) Resolva as seguintes potências

a) 2

2

1

b) 3

4

1

c) 9

5.

5

32

d) 23

12

1+

e) 32

5:

4

13

f) 8

9.

3

21

3

+

g) 10

1

25

9:

5

33

+

h)

024

4

3

4

1:

2

1

−

i)

+−

+

2

5:1

3

5.

5

22.

2

1

2

123

j) 2

1

2

1

2

123

+

+

l)

8

3:

2

1

2

9.

3

142

+

m)

2

2

3

11

3

11

+

− n)

42

1

22

1

2

3

+

+

1

o) 2

19

5.

5

3

+ p) 9

1:

3

21

5

9.

3

1

2

132

−+

+ q)3

22

3

1

4

11:7:

2

14

+

−

−

r) 22

5

41:

5

1

3

4.

2

11

−+

−

2 - Radicais 2.1 Considerações preliminares

Como nn BABA =⇔= devido à existência da operação inversa entre potenciação e radiciação, tem-se que )2/( ≥∈ nNn , ou seja, o valor de n deve ser par. 2.2 Propriedades dos radicais

1. A raiz n-ésimas de um produto é igual ao produto das raízes da cada fator, desde que sejam positivos. Assim, temos:

nnn BABA .. = ( )0, ≥BA

2. A raiz n-ésima de um quociente é igual ao quociente entre as raízes n-ésimas do dividendo e do divisor, desde que A seja positivo e B estritamente positivo. Assim, temos:

n

n

B

A

B

A= ( )0≥A e ( )0>B

3. Quando o expoente do radicando é igual (ou múltiplo) ao índice da raiz, pode ser

retirado do radical, bastando para tanto dividir o expoente pelo índice da raiz, quociente este que é novo expoente do fator retirado do radical. Assim, temos:

nmnn nmn nm BABABA ... .. == ( )0, ≥BA

4. A introdução de um fator, dentro do radical, baseia-se no caso anterior, bastando para tanto fazermos o inverso, isto é, ao invés de dividir, devemos multiplicar o expoente do fator considerado pelo índice da raiz, produto este que é o expoente do fator introduzido no radical. Assim, temos:

n nmnn mnnm BABABA ... .. == ( )0, ≥BA

2

5. Expoente fracionário Consiste em:

d nd

n

AA = , 0≥A e 0≠n ou seja: o denominador (d) do expoente fracionário é o índice da raiz, a base passa a ser o radicando elevado ao numerador (n) do expoente fracionário. Assim, temos:

3 23

2

77 = 2.3 Simplificação de radicais Consiste em:

kn kmn m AA : := , ,0≠K 0≥A ; Assim, temos:

3 22;6 2:46 4 555 == 2.4 Redução de radicais ao mesmo índice Dados:

p kmn CBA ;;

MMC ( ) pnmpmn ..,, =

Logo:

pnm nmkpnm pnpnm pm CBA

.. .... ... . ;; Assim, temos:

4 33 5;2;3 MMC ( ) 124,3,2 =

12 912 412 6 5;2;3

3

2.5 Comparação de radicais Baseia-se no caso anterior, isto é, depois de reduzi-los ao mesmo índice, será maior o que contiver o maior radicando e menor o que contiver o menor radicando. 2.6 Operações com radicais 2.6.1 Adição e subtração

Opera-se separadamente para cada radical. Assim, temos os exemplos a seguir:

a) 333 3233 =+

b) 2382 =+

Observe que no caso do exemplo b, foi necessário fatorar o número 8 = 2.22 23 = .

2.6.2 Multiplicação e Divisão

mn nmmn nmn mmn BABABA ... ... ==

mn nmmn nmn mmn BABABA ... .:: == , 0≠B Em ambos os casos, só haverá solução, se os índices forem iguais. Caso contrário reduz-se primeiramente ao mesmo índice e depois se efetua a operação indicada. Assim, temos:

666 236 26 33 729.83.23.23.2 ====

66 2266 33 9:1253:35:53:5 ===

Exercícios de Radicais 01) Efetue os seguintes radicais.

a) 22328 ++ b) 33 3432 − c) 552

15254 −+− d) 33 +

e) 333 44245 ++ f) 5253 − g) 3250218 ++ h) 1237548 −+

i) 872983505182 +−+− j) 125202

154 +−

l) ( )( )25.6 m) ( )( )10.16 n) ( )( )( )444 3.5.7 o) 5 x ( )23 +

p) ( ) 22. yxyx −+ q) 33 18:36 r) 2:8 s) 3 4:6 t) 3 2

4

u) 3 5 v) 3 x) 32 z) 4

2

1

3 - Racionalização de Denominadores Racionalização é a operação que consiste na eliminação de radicais em denominadores. Aqui, serão vistos alguns casos:

I ) 3

3.5

3.3

35

3

3.

3

5

3

5===

II ) 5

5.4

5.5

5.4

5

5.

5

4

5

4 3 2

3 23

3 2

3 2

3 2

33===

III ) 6

2.7

2.3

2.7

2.2.3

2.7

2

2.

2.3

7

2.3

7 5 25 2

5 25 3

5 2

5 2

5 2

5 35 3====

IV ) ( )

( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

23

25.3

225

25.3

25

25.3

25.25

25.3

25

25.

25

3

25

322

−=

−−

=−

−=

−+

−=

−

−

+=

+

V ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2

35.7

35

357

35

35.7

35

35.

35

7

35

722

+=

−+

=−

+=

+

+

−=

−

VI ) ( )

( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

15

32.3.2

32.9

32.3.2

32.3

323.2

323323

323.2

323

323.

323

2

323

222

+=

−+

=−

+=

+−

+=

+

+

−=

−

Exercícios de Racionalização de Denominadores

01)Racionalize as expressões:

a) 35

2

− b)

73

1

+ c)

ba

b

+3 d)

25

4

+ e)

31

3

−

f) 24

2

+

− g)

ba

a

2− h)

5235

10

− i)

15

2

− j)

17

3

+

l) yx

x

+ m)

2

3 n)

5

5 o)

12

7 p)

19

15 q)

5

7 r)

b

ab

2

6

5

s) y

xx

2

32 t)

4 38

8

a u)

5 3227 yx

xy v)

6 525x

x x)

5 342

22

cba

ba z)

8 375

3

zbx

bx

4 - Produtos Notáveis

4.1 Quadrado da soma de dois termos

Vamos algebricamente, calcular ( ) ( )( ) 222 . bbaababababa +++=++=+ como baab = temos que abbaab 2=+ , então:

( ) 222 2 bababa ++=+

4.2 Quadrado da diferença de dois termos

Da mesma forma, ( ) :2ba −

( ) ( )( ) 222 . bbaababababa +−−=−−=− como abbaab 2−=−− , temos:

( ) 222 2 bababa +−=−

4.3 Produto da soma pela diferença de dois termos

Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, vamos calcular: ( )( ) 2222. babbaabababa −=−+−=−+ ( )( ) 22. bababa −=−+

4.4 Cubo da soma de dois termos

Utilizando as propriedades de potências, podemos escrever que:

( ) ( )( )23 . bababa ++=+

desenvolvendo ( )2ba + , e aplicamos a propriedade distributiva:

( ) ( )( )223 2. babababa +++=+ temos:

( ) 3222233 22 babbaabbaaba +++++=+

6

( ) 32233 33 babbaaba +++=+

4.5 Cubo da diferença de dois termos

O processo algébrico é idêntico ao processo utilizado para o cubo da soma:

( ) ( )( )23 . bababa −−=−

( ) ( )( )223 2. babababa +−−=−

( ) 3222233 22 babbaabbaaba −+−+−=−

( ) 32233 33 babbaaba −+−=−

Exercício de Produtos Notáveis 01) Resolva os seguintes produtos notáveis:

a) ( 2x + 4 ) 2 b) (x 3 + y 2 ) 3 c) ( 3x 2 y 3 + a 2 ) 2 d) ( 2x – y ) 2 e) ( x 2 - a) 3

f) ( x + y + a ) 2 g) ( 223 )4 y+ h) ( 33 )69 − i) ( a –y) . (a + y) j) ( x 2 - y) 4

l) ( )( )5.32 ++ xx m) ( )22nm + n) ( )22 bx + o) ( )23 bx + p) ( ) ( )222 −++ mm

q) ( )( ) 21823.3 abbaba −+−+ r) 22

22

2

2

−−

+a

a

a

a s) ( )3mxa ++

t) ( ) ( ) bababa 222

−+−++ u) ( ) ( ) 12122

−−+−++ ababa

v) ( ) 4632 9273 aaa −−−+ x) ( )25++ pm z) ( ) 131 81234 ++−− mmm

5 - Fatoração O processo de fatoração consiste em transformar uma expressão algébrica em produto. Em aritmética esta operação é bastante simples, por exemplo:

• Fatorar o número 120 5.3.2120 3=

7

• Fatorar o número 250 35.2250 = Observe os exemplos a seguir, as expressões algébricas fatoradas: ( )yxxxyx 8.2162 2 +=+

( )( )3.392 −+=− xxx

( )( ) ( )22 33.396 +=++=++ xxxxx

Note que, se aplicarmos a propriedade distributiva ao 2º membro, obtemos a expressão do 1º membro. Para fatorar expressões algébricas, a análise deve ser feita tendo em vista os seguintes casos:

5.1 Fator comum

Neste caso, devemos observar se cada parcela apresenta um fator comum, que deverá ser colocado em evidência, conforme os exemplos: a.1) xaax 293 + fator comum ax3 ( )aaxxaax 31.393 2 +=+ Os resultados obtidos dentro dos parênteses são provenientes da divisão de cada parcela pelo fator comum, ou seja:

13

3=

ax

ax a

ax

xa3

3

9 2

=

a.2) 2432 84 xaxa − fator comum 224 xa

xxa

xa=

22

32

4

4 2

22

24

24

8a

xa

xa−=

−

temos, então: ( )2222432 2.484 axxaxaxa −=− Obs: o fator comum da parte literal são as letras comuns com o menor expoente.

5.2 Agrupamento

Aqui os fatores comuns aparecem em grupos, observe:

8

4342143421comumfatoréycomumfatoréx

byyabxxa...

2

...

2 +++

=+++ byyabxxa 22

( ) ( )( )

( )( )yxbabaybax

comumfatoréba

++=+++=+

... 2

...

22

2

444 3444 21

Note que, se aplicarmos a propriedade distributiva à última igualdade, obteremos a expressão algébrica inicial. Exercício resolvido:

1. Fatorar as expressões: a) 4334 bbaaba −−+ Resolução: Note que os dois primeiros termos têm a como fator comum, e os dois últimos têm b como fator comum. Colocamos em evidência: =−−+ 4334 bbaaba ( ) ( )=+−+= 3333 .. babbaa ( )

43421comumfatoré

ba..

33 +

= ( )( )baba −+ .33 b) 22232252 36812 pnmpnmpnm −+ Resolução: mnp é fator comum da parte literal. Colocando em evidência as letras

com os menores expoentes, temos então que pnm 22 é fator comum. Na parte numérica colocamos em evidência o maior divisor comum entre 12,8 e 36, que é o número 4. =−+ 23232252 36812 pnmpnmpnm

( )nppnpnm 923.4 2322 −+= c) 25309 2 ++ xx Resolução: Temos, neste exercício, um trinômio. Verificaremos se o termo do meio é o dobro das raízes quadradas dos outros, assim poderemos compor o quadrado da soma de dois termos.

9

( )22 5325309 +=++ xxx 2. Simplifique:

a) 12 −

+++

x

nmnxmx

Resolução: Lembre-se que, para simplificar frações, devemos ter as expressões algébricas fatoradas. Observe que:

• no numerador podemos fatorar por agrupamento; • no denominador temos uma diferença de dois quadrados.

( ) ( )( )( )

( )( )( )( ) 11.1

1.

1.1

.

12 −+

=−+++

=−+

+++=

−+++

x

nm

xx

xnm

xx

nmnmx

x

nmnxmx

b) 32

22

2.

bba

abba

aba

ba

−

−

−

+

Resolução:

( )

( )( ) =

−

−−

+=

−

−

−

+2232

22

2 .

..

..

bab

baab

baa

ba

bba

abba

aba

ba

( )

( )( )( ) bababab

baab

baa

ba

−=

+−−

−+

=1

..

..

.

c)

53

62259

92

2

++−

−

x

xx

x

Resolução:

=++

−

−=

++−

−

62

53.

259

9

53

62259

9

2

22

2

x

x

x

x

x

xx

x

( )( )

( )( ) ( )( )( )

( )106

3

53.2

3

3.2

53.

53.53

3.3

−−

=−

−=

++

−+−+

=x

x

x

x

x

x

xx

xx

10

Exercício de Fatoração

01) Fatore as seguintes expressões:

a) ( x 44 y− ) b) ( x 22 y− ) c) x 32 y - z xyzx +32 d) x x82 + e) 7x x422 − f) ( x + 1 ) 2 + ( x + 1 ) 2 g) x 2 - 9 h) ( x + 2 ) 2 - 4x – 13 i) (x + 2)(x + 3) –(5x +7) j) 9x 2 - 4 l) 5x 2 - 45 m) x 2 - 6x n) x ( x +1) – 4x o) ( x +3) 2 - 9 p) x 2 - 4x +3

6 - Polinômios 6.1 Definição Sejam dois polinômios, f(x) como dividendo e g(x) como divisor, como g(x) 0≠ . Dividir f(x) por g(x) é determinar outros dois polinômios: o quociente q(x) e o resto r(x), tais que: 1º) f(x) = g(x).q(x) + r(x) 2º) grau r < grau g ou r(x) 0≡ Um possível esquema de divisão é apresentado a seguir: f(x) g(x) dividendo divisor r(x) q(x) quociente resto 6.2 Teorema do resto Seja )(xp um polinômio tal que grau p 1≥ . O resto da divisão de )(xp por ax − é igual a

)(ap , ou seja, )(apr = . Demonstração Temos: ( ) ( ) rxqaxxp +−= .)( Obs: o valor de r pertence ao conjunto dos números complexos. Calculando o valor numérico do polinômio acima para ax = , vem:

11

( ) ( ) ,.)( raqaaap +−=

isto é ( ) ( )aprraqap =⇒+==3210

.0)(

Exemplo 1 Podemos determinar o resto da divisão de 23)( 34 +−= xxxf por 1)( −= xxg sem efetuar a divisão. Basta notar que:

* A raiz do divisor é .101 =⇒=− xx * Pelo teorema do resto, temos que: ( ),1fr = isto é, .4211.3 34 =+−=r

Exemplo 2 Da mesma forma que no exemplo anterior, para determinar o resto da divisão de

( ) 235 +−= xxxp por 3)( += xxh , fazemos:

* A raiz de )(xh é .303 −=⇒=+ xx * Utilizando o teorema do resto, vem:

( ) ( ) ( ) ( ) .2142272432333 35 −=+−−−=+−−−=−= pr Explicaremos dois métodos importantes na divisão de polinômios: o Teorema de D’Alembert e o Dispositivo de Briot-Ruffini. 6.3 Teorema de D’ Alembert Um polinômio f (x) é divisível por ax − se, e somente se, a é raiz de f (x). Demonstração Há duas implicações a provar:

1º - f(x) é divisível por ax − a⇒ é raíz de f (x). Da hipótese, sabemos que o resto da divisão de f (x) por ax − é igual a 0. Mas,

pelo teorema do resto, r = f(a). Então f (a) = 0. Logo, a é raiz de f . 2º - a é raiz de )()( xfxf ⇒ é divisível por ax − .

Se a é raiz de )(xf , então 0)( =af . Mas, pelo teorema do resto, )(af é o resto da divisão de )(xf por .ax − Então, ,0=r o que mostra que )(xf é divisível por .ax − Exemplo 3 Vamos determinar m de modo que 54)( 23 −+−= mxxxxf seja divisível por :3−x Pelo

teorema de D’ Alembert, 3=x é raiz de )(xf , isto é, ( ) 03 =f . Daí: 12

3

140143053.3.43 23 =⇒=−⇒=−+− mmm

Exemplo 4 Sejam 5 e 2, respectivamente, os restos da divisão de um polinômio )(xf por 3−x e por

1+x . É possível, através do que vimos, determinar o resto da divisão de )(xf por

( )( ) :1.3 +− xx Pelo teorema do resto, temos que: ( ) 53 =f (I) e ( ) 21 =−f (II) Quando dividimos )(xf por ( ) ( )( ) 321.3 2 −−=+−= xxxxxg , temos que grau 1=r (pois grau r < grau g e grau g =2),isto é, o grau do resto é no máximo 1. Assim, escrevemos ( ) .baxxr += Devemos determinar a e b. Temos:?

( ) ( )( ) ( ) 3214434421

)()(

.3.1xrxg

baxxqxxxf ++−+=

Calculando o valor numérico desse polinômio em 3=x e em 1−=x , vem:

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) 211.31.111

533.3.33.13)3(

0

0

=+−⇒+−+−−−+−=−

=+⇒++−+=

=

=

babaqf

babaqf

II

I

444 3444 21

44 344 21

Resolvendo o sistema acima, encontramos 4

3=a e

4

11=b . Dessa forma, o resto é

.4

11

4

3)( += xxr

6.4 Método de Briot-Ruffini Sejam ( ) ( )0... 01

11 ≠++++= −

− nn

nn

n aaxaxaxaxf e ( ) .axxg −=

Consideremos a divisão de ( )xf por ( )xg .

O quociente ( )xq dessa divisão é um polinômio de grau 1−n ( pois grau q = f – grau g = 1−n ), dado por:

( ) 01

22

11 .... qxqxqxqxq n

nn

n ++++= −−

−−

O resto r dessa divisão é um número complexo (independente de x); de fato, como grau r < grau g e grau g = 1, segue que grau r = 0. Nosso objetivo é determinar o resto da divisão e os coeficientes ( ) 121 ,...,,: qqqxq nn −− e 0q .

Temos: ( ) ( ) ( ) ,. rxqxgxf +=

13

isto é,

( )( )( )( ) raqxaqxaqxaq

xqxqxqxq

rqxqxqxqax

axaxaxa

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

+++++−

−++++=

=+++++−=

=++++

−−

−−

−−−

−−

−−

−−

012

21

1

02

11

21

012

21

1

011

1

...

....

....

...

Agrupando os monômios de mesmo grau:

( ) ( ) ( )raqxaqqxaqqxq

axaxaxan

nnn

n

nn

nn

+−+−++−+=

=++++−

−−−

−−

0101

121

011

1

...

...

Da identidade de polinômios segue que:

+=⇒+−=

+=⇒−=

+=⇒−=

=

−−−−−−

−

0000

110101

112121

1

..*

..*

..*

*

qaarrqaa

qaaqqaqa

qaaqqaqa

aq

nnnnnn

nn

M

A determinação do resto da divisão de )(xf por )(xg e dos coeficientes de )(xq torna-se mais rápida com a aplicação do dispositivo prático de Briot-Ruffini. Consideremos a divisão de 254)( 23 −+−= xxxxf por 3)( −= xxg , ambos escritos segundo potências decrescentes de x. Para construir o dispositivo, sigamos o seguinte roteiro:

• 1° Passo: calcular a raiz do divisor )(xg e, ao seu lado, colocar os coeficientes ordenados do dividendo )(xf .

raiz de )(xg : 303 =⇒=− xx 3 1 -4 5 -2

• 2° Passo: abaixar o 1º coeficiente do dividendo (1) e multiplicá-lo pela raiz do

divisor )331( =x . 3 1 -4 5 -2 1

14

• 3°Passo: somar o produto obtido com o coeficiente seguinte ( )( )143 −=−+ . O resultado é colocado abaixo desse coeficiente.

3 1 -4 5 -2 1 -1

• 4° Passo: com esse resultado, repetir as operações ( multiplicar pela raiz e somar com o coeficiente seguinte), e assim por diante.

3 1 -4 5 -2 1 -1 2 4

O último dos resultados obtidos no algoritmo de Briot-Ruffini é o resto da divisão. Assim, 4=r . Os demais resultados obtidos no algoritmo correspondem aos coeficientes

ordenados do quociente da divisão. Dessa maneira, 2)2).(11()( 22 +−=+−= xxxxxq . Exemplo 5

Vamos, através do dispositivo de Briot-Ruffini, obter o quociente e o resto da divisão de 423)( 235 ++−= xxxxf por 1)( += xxg :

Convém inicialmente notarmos que 40230)( 2345 +++−+= xxxxxxf . Assim, construímos o algorítmo:

1 1 0 -3 2 0 4 1 -1 -2 4 -4 8

Assim:

−+−−=

=

442)(

8234 xxxxxq

r

Exemplo 6

Vamos obter a para que o resto da divisão de axxxxf −−−= 23)( 23 por 2)( −= xxg seja igual a 5: Construímos o dispositivo de Briot-Ruffini:

2 1 -3 -2 -a 1 -1 -4 -a-8

Assim, devemos ter 5=r , isto é, 1358 −=→=−− aa .

15

Exemplo 7

Vamos determinar m para que mxxxxf +−+−= 242)( seja divisível por 1)( −= xxg : 1 -2 0 1 -1 m -2 -2 -1 -2 -2 + m

Do enunciado, vem 2020 =⇒=+−⇒= mmr .

Exercício de Polinômio a) ( ) ( )axmaxm −−+ 22 27 b) ( ) ( )75272 233 ++−+− yyyy c) ( ) 222 yyam −+ d) ( )( )mmm −− 12 e) ( )( ) ( )( )[ ] 133.1.1.1 22 ++−+++− aaaaaa f) ( )( )( )4.2.12 +−−+ aaaa g) ( )( )1.1 22 −+ aa h) ( )( )xxxx ++− 23 2.2 i) ( ) ( )21072 −÷+− xxx j) ( ) ( )1562 −÷+− xxx l) ( ) ( )392 −÷− xx m) ( ) ( )2164 −÷− xx n) ( ) ( )115 −÷− xx o) ( ) ( )4122 −÷−− xxx

7 - Recursos do Matlab O Matlab contém diversas funções para a manipulação de polinômios. Os polinômios são facilmente diferenciados e integrados, e é fácil encontrar raízes polinomiais. Entretanto, polinômios de ordem elevada criam dificuldades numéricas em muitas situações e, assim, devem ser usados com precaução. Em alguns casos especiais é necessário dividir um polinômio por outro. No Matlab, isso pode ser feito com a função deconv. Por exemplo: No exemplo 1 queremos dividir 23)( 34 +−= xxxf por 1)( −= xxg , então utilizamos os comandos do Matlab, para acharmos o quociente e o resto da divisão. >> a=[3 -1 0 0 2]; b=[1 -1]; >> [q,r]=deconv(a,b) q = 3 2 2 2 r = 0 0 0 0 4 Note que no Matlab utilizamos os coeficientes dos polinômios do dividendo e do divisor, com isso o Matlab mostrará também o coeficiente do polinômio do quociente e o valor do resto.

16

No exemplo 5 utilizamos os mesmos comandos: >> a=[1 0 -3 2 0 4]; b=[1 1]; >> [q,r]=deconv(a,b) q = 1 -1 -2 4 -4 r = 0 0 0 0 0 8 No Matlab também podemos calcular os polinômios utilizando os seguintes comandos representados pelo gráfico na Figura1: Queremos calcular o polinômio 8423)( 234 +−+−−= xxxxxf . >> p=[-3 -2 4 -1 8]; % os coeficientes do polinômio. >> x=linspace(-7,10); % pontos nos quais p será calculado. >> v=polyval(p,x); % cálculo de p nos pontos do vetor x. >> plot(x,v) % gráfico com os resultados >> title('Função : -3x{^4}-2x{^3} +4x{^2}-x{^1}+8') % Título do texto Figura1: Gráfico do polinômio 8423)( 234 +−+−−= xxxxxf .

Exercícios Gerais da 1ª Parte 01) Calcule os seguintes radicais (Neste caso você deve primeiramente simplificar a expressão dada e logo após substituir o valor de x dado)

a) 1,1

1=

−−

xx

x b) 0,

3

11=

−−+x

x

xx c) 1

2

1 2

−=++

−x

xx

x

17

d) 1,1

323

=−

−+x

x

x e) 4,

51

53=

−−

+−x

x

x f) 4,

4

2=

−

−x

x

x

g) 4,2

53=

−

−−−x

x

xx h) 64,

4

83

=−

−x

x

x i) 0;, >=

−−

aaxax

ax

j) 7,49

322

=−

−−x

x

x l) 2,

24

22=

+−−+

xx

x m) 3,

124

33=

−−

xx

x

02) Neste exercício você deve primeiramente simplificar a expressão dada e logo após substituir o valor de x dado:

a) 2,2

42

2

=−

−x

xx

x b) 2,

443

822

2

=−−

−x

xx

x c) 1,

1

123

2

=−

+−x

x

xx

d) 2

1,

18

2323

2

=−

−+x

x

xx e) 2,

2

83

=−−

xx

x f) 2,

443

42

2

−=−+

−x

xx

x

g) 0,,23 22

22

≠=−−

−aax

aaxx

ax h)

( )xaax

ax

axax≠=

−

++−,,

133

2

m) 5,56

25022

3

=+−

−x

xx

x

18

2ª Parte 8 - Função do 1º grau 8.1 Definição Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de ℜ em

ℜ dada por uma lei da forma ( ) baxxf += , onde a e b são números reais dados e 0≠a .

Na função ( ) baxxf += , o número a é chamado de coeficiente de x ou coeficiente angular da reta, determinando sua inclinação e o número b é chamado termo constante ou coeficiente linear, determinando a intersecção da reta com o eixo Oy. O domínio e a imagem da função do primeiro grau para 0<a e 0>a será ℜ . Para uma função constante, o domínio será ℜ e a imagem o próprio valor de b. A função de 1º grau pode ser classificada de acordo com seus gráficos. Considere sempre a forma genérica ( ) baxxf += .

8.2 Função constante: se 0=a , então by = , ℜ∈b . Desta forma, 4=y é função

constante, pois, para qualquer valor de x , o valor de y ou ( )xf será sempre 4. Utilizando o recurso do Matlab podemos obter o gráfico representado pela Figura2 da função 4=y .

>> p=[0 4]; % os coeficientes do polinômio. >> x=linspace(-7,10); % pontos nos quais p será calculado. >> v=polyval(p,x); % cálculo de p nos pontos do vetor x. >> plot(x,v) % gráfico com os resultados. >> xlabel('Eixo X')%legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y')% Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao: y=4') % Título do texto.

Figura2: Gráfico da função constante.

19

8.3 Função identidade: se 1=a e 0=b , então xy = . Nesta função x e y têm sempre os mesmos valores. Temos utilizando o recurso do Matlab o respectivo gráfico representado pela Figura 3.

>> p=[1 0]; % os coeficientes do polinômio. >> x=linspace(-7,10); % pontos nos quais p será calculado. >> v=polyval(p,x); % cálculo de p nos pontos do vetor x. >> plot(x,v) % gráfico com os resultados. >> xlabel('Eixo X')%legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y')% Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao y=x') % Título do texto. Figura 3: Gráfico da função identidade.

A reta xy = ou ( ) xxf = é denominada bissetriz dos quadrantes ímpares. Mas, se 1−=a e 0=b , temos então xy −= . A reta determinada por esta função é a bissetriz dos

quadrantes pares, conforme mostra o gráfico representado pela Figura 4: >> p=[-1 0]; % os coeficientes do polinômio. >> x=linspace(-7,10); % pontos nos quais p será calculado. >> v=polyval(p,x); % cálculo de p nos pontos do vetor x. >> plot(x,v) % gráfico com os resultados. >> xlabel('Eixo X')%legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y')% Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao y=-x') % Título do texto. Figura 4: Gráfico da segunda bissetriz.

20

Obs: x e y têm valores em módulo, porém com sinais contrários. 8.4 Função linear: é a função de 1º grau quando 0=b , 0≠a e 1≠a , a e b ∈ ℜ .

Exemplos:

( ) ( ) xyxyxxfxxf 10,2,2

1,5 =−===

Obs: Para construir os gráficos deste exemplo, utilize o recurso mostrado nos itens a e b deste tópico.

8.5 Função afim: é a função de 1º grau quando 0≠a , 0≠b , a e b ∈ ℜ . Exemplos:

( ) ( ) .5,24,13 +−=−=+= xxfxyxxf

8.6 Gráfico da função do 1º grau

A representação geométrica da função de 1º grau é uma reta, portanto, para determinar o gráfico é necessário obter dois pontos desta reta. Em particular, procuraremos os pontos em que a reta corta os eixos Ox e Oy. Por exemplo, na função 12 += xy , o ponto do eixo Ox é determinado pela equação

012 =+x , onde 2

1−=x . O ponto procurado é, portanto,

− 0,2

1.

Analogamente, para determinar o ponto do eixo Oy, 1;10.2 =+= yy . O ponto procurado é

( )1,0 e o gráfico desta função será representado pela Figura 5: >> p=[2 1]; % os coeficientes do polinômio. >> x=linspace(-7,10); % pontos nos quais p será calculado. >> v=polyval(p,x); % cálculo de p nos pontos do vetor x. >> plot(x,v) % gráfico com os resultados. >> xlabel('Eixo X')%legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y')% Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao y= 2x+1') % Título do texto.

Figura 5: Gráfico da primeira bissetriz.

21

Da mesma forma, na função ( ) 42 +−= xxf , temos:

2

42

042

=

−=−

=+−

x

x

x

Que será o ponto do eixo Ox ( )0,2 , e Oy é ( )4,0 , sendo representado pela Figura 6.

>> p=[-2 4]; % os coeficientes do polinômio. >> x=linspace(-7,10); % pontos nos quais p será calculado. >> v=polyval(p,x); % cálculo de p nos pontos do vetor x. >> plot(x,v) % gráfico com os resultados. >> xlabel('Eixo X')%legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y')% Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao y= -2x+4') % Título do texto.

Figura 6: Gráfico da função do primeiro grau decrescente. De modo geral, dada a função ( ) baxxf += , para determinarmos a intersecção da reta com os eixos, procedemos do seguinte modo:

1º) igualamos y a zero, então a

bxbax −=⇒=+ 0 , no eixo Ox encontramos o ponto

− 0,a

b.

2º) igualamos x a zero, então ( ) ( ) bxfbaxf =⇒+= 0. , no eixo Oy encontramos o ponto

( )b,0 . De onde concluímos que:

( )xf é crescente se a é um número positivo ( )0>a ;

( )xf é decrescente se a é um número negativo ( )0<a .

22

8.7 Raiz ou zero da função de 1º grau A raiz ou zero da função de 1º grau é o valor de x para o qual ( ) 0== xfy . Graficamente é o ponto em que a reta “corta”o eixo Ox. Portanto, para determinar a raiz da função basta igualarmos a zero:

( )

a

bx

baxbax

baxxf

−=

−=⇒=+

+=

0

Exemplo 1 Determine a raiz da função ℜ→ℜ:f tal que ( ) 13 += xxf . Resolução

Igualamos f(x) a zero, portanto: 3

1013 −=⇒=+ xx . Quando determinamos a(s)

raiz(es) de uma função, o(s) valor(es) encontrado(s) deve(m) ser expresso(s) sob a forma de conjunto, denominado conjunto-verdade (v) ou conjunto solução (S), da seguinte forma:

−=

3

1S

Exemplo 2 Determine m para que -5 seja a raiz da função ℜ→ℜ:f dada por mxxf 3)( +−= . Resolução Se -5 é a raiz, então para x=-5 temos que f(x)=0; substituímos estes dados na função:

( )( )

3

5

53

350

350

3

−=

−=

+=

+−−=

+−=

m

m

m

m

mxxf

23

8.8 Estudo do sinal da função de 1º grau Estudar o sinal de uma função de 1º grau é determinar os valores de x para que y seja positivo, negativo ou zero. Estudemos, por exemplo, o sinal da função ℜ→ℜ:f dada por y=2x-1. Vamos construir o gráfico da função representado pela Figura 7. Se x = 0 então 110.2 −=⇒−= yy . Ponto ( )1,0 − .

Se y = 0 então 2

112012 =⇒=⇒=− xxx . Ponto

0,

2

1

>> p=[2 -1]; % os coeficientes do polinômio. >> x=linspace(-7,10); % pontos nos quais p será calculado. >> v=polyval(p,x); % cálculo de p nos pontos do vetor x. >> plot(x,v) % gráfico com os resultados. >> xlabel('Eixo X')%legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y')% Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao y= 2x-1') % Título do texto.

Figura 7: Gráfico da função do primeiro grau crescente. Observe que a função é crescente ( )2=a . Analisando o gráfico podemos concluir que:

• se 2

1<x então y < 0;

• se 2

1>x então 0>y ;

• se 2

1=x então y = 0

funçãodaraizé ...

2

1

Esta análise é o estudo do sinal da função, porém, para efetuá-la podemos recorrer apenas a um esboço do gráfico, conforme mostra a figura:

24

Sinal de y

+ para x > 1/ 2 Sinal de y 1/ 2 para x < 1/ 2 raiz

8.9 Regra prática para o estudo de sinal da função ( ) baxxf += : 1º) Determinamos a raiz da função, igualando-a a zero.

−=a

bxraiz :

2º) Verificamos se a função é crescente ( )0>a ou decrescente ( )0<a ; temos então duas possibilidades: a > 0 a < 0 + +

a

b−

a

b−

Então podemos resumir no quadro o estudo do sinal da função do 1º grau.

25

a) a função é crescente b) a função é decrescente

Se a

bx −= então 0=y Se

a

bx −= então 0=y

Se a

bx −< então 0<y Se

a

bx −< então 0>y

Se a

bx −> então 0>y Se

a

bx −> então 0<y

Exemplo 1 Estude o sinal da função ( ) 13 += xxf Resolução

Raiz da função: 3

1013 −=⇒=+ xx o coeficiente de x é positivo ( )3=a , portanto

a função é crescente, façamos o esboço:

se 3

1−=x então 0=y

+ se 3

1−<x então 0<y

3

1− se

3

1−>x então 0>y

8.10 Inequação do 1º grau A inequação se caracteriza pela presença de um dos seguintes sinais de desigualdades: > , <, ≥≤ ou . Vamos recordar algumas propriedades das desigualdades: 1º) Somando ou subtraindo um número a cada um dos membros, a desigualdade não se

altera:

41

2221

21

<

+<+−

<−

122

5753

73

−>−

−>−

−>

2º) Multiplicando ou dividindo os dois membros da desigualdade por um número positivo,

a desigualdade não se altera:

( ) ( )164

2.82.2

82

<−

<−

<−

215

10

5

5

105

−>

−>

−>

3º) Multiplicando ou dividindo os dois membros da desigualdade por um número negativo,

é necessário inverter a desigualdade para que a sentença seja verdadeira:

26

( ) ( )014

2.02.7

07

>

−>−−

<−

313

9

3

3

93

<−−−

<−

−>

Estas propriedades são validas para a resolução de inequação do 1º grau. São exemplos de inequações: Produto ( )( ) 042.63 <−− xx

Quociente 01

3≥

−+x

x

Vamos resolvê-las: 1º) ( )( ) 042.63 <−−

43421321gf

xx

Sinal de f: Sinal de g:

( )

2

063

63

=

=−

−

x

x

xxf

( )

2

1

042

42

=

=−

−=

x

x

xxg

+ +

2 2

1

Vazemos agora o “jogo” do sinal: 1 / 2 2 f x - - + g + - - - + - f.g o o x < 1 / 2 ou x > 2 Então a solução da inequação é

2º)

}

{0

1

3≥

−+

g

f

x

x

27

Sinal de f: Sinal de g:

( )

3

03

3

−=

=+

+=

x

x

xxf

( )

1

01

1

=

=−

−=

x

x

xxg

+ + -3 1 Fazemos agora o “jogo” do sinal: -3 1 f - + + g + + -

g

f - o + • -

Note que o número 1 foi excluído da solução, pois anula o denominador. { }13/ <≤−ℜ∈= xxS 8.11 Domínio de uma função Determinar o domínio de uma função é obter o conjunto de todos os valores de x

para que a função exista. Exemplos

1) O domínio da função 2)( xxf = é ℜ , pois todo número real pode ser elevado ao quadrado.

2) O domínio da função xxg =)( é +ℜ , pois só podemos extrair a raiz quadrada de um número real não negativo.

3) O domínio da função x

xh1

)( = é *ℜ , pois não existe divisão por zero.

4) O domínio da função 3 1)( −= xxf é ℜ , pois podemos extrair raiz cúbica de qualquer número real.

28

Exercício da Função do 1º grau 01) O gráfico de f é o segmento de reta que une os pontos (-2, 2) e (2 ,0) . O valor de

f

2

1é:

02) Determine o domínio da função f definida por f(x) = 3

1

−−

x

x.

03) A função f do 1º grau é definida por f(x) = -3x + K. O valor de K para que o gráfico corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é : 04) Uma função do 1º grau é tal que f(-1) = 5 e f(3) = - 3. Então, f(0) e a raiz da função valem, respectivamente. 05)O esboço ao lado refere-se ao gráfico da função real definida por f(x) = mx + 1 .Determine o valor de m

-2 0

06) O gráfico da função real dada por f(x) = mx + p intercepta o eixo das abscissas em (3,0). Qual é o valor de 3 m + p? 07) Se f 1− é a função inversa da função f, de R em R, definida por f(x) = 3x – 2 então f 1− (-1) é igual a: 08) Seja b um número positivo. Considere a função f: R em R dada por f (x) =

Se 972

=

bff o valor de b é?

09) Se f é uma função real tal que f(3 x +1) = x , então quem é f(x) ? 10) Sejam f e g funções reais definidas por f(x) = x 2 - 1 e g(x) = x +1. Então

( )( ) ( )( )xfgxgf − é igual a: 11) Resolva as seguintes inequações: a) 0)34)(2)(25( ≥+−+ xxx

29

b)

−−>−−

+<

−<+

)5(31)3(211

10348

2723

xx

xx

xx

c) 31

23−≤

−−x

x

12) Determine o domínio da função:

2

2

3253)( x

x

xxxf +

−+

+−=

13) As funções f e g são dadas por 15

3)( −= xxf e axxg +=

3

4)( . Sabe-se que

( ) ( )3

100 =− gf . O décuplo do valor de ( )

−5

1.33 gf é:

14) A tabela abaixo mostra a temperatura das águas do oceano Atlântico (ao nível do equador) em função da profundidade:

Profundidade Superfície 100 m 500 m 1000 m 3000 m Temperatura 27ºC 21ºC 7ºC 4ºC 2,8ºC Admitindo que a variação da temperatura seja aproximadamente linear entre cada duas medições feitas para a profundidade, a temperatura prevista para a profundidade de 400 m é:

9 - Função do 2º grau 9.1 Definição Chama-se função do 2º grau ou função quadrática, de domínio ℜ e contra-domínio ℜ , a função ( ) cbxaxxf ++= 2 onde a, b e c são números reais e 0≠a . a é o coeficiente de 2x b é o coeficiente de x C é o termo independente Chama-se função completa àquela em que a, b e c são não nulos, e função incompleta àquela em que b ou c são nulos. São exemplos de funções de 2º grau: * ( ) 132 2 ++= xxxf (a = 2, b = 3 e c = 1)

* ( ) 28 2 −−= xxxf (a = 8, b = -1 e c =-2)

* ( ) xxxf 22 +−= (a = -1, b = 2 e c = 0)

* ( ) 43

1 2 −= xxf (a = 3

1, b = 0 e c = -4)

30

Obs: Toda função do 2º grau tem por gráfico uma parábola. 9.2 Revisando equação do 2º grau Raízes – Fórmula de Bháskara Os pontos onde o gráfico da função cbxaxy ++= 2 corta o eixo x são as raízes ou zeros dessa função. Nesses pontos, devemos obter os valores de x para os quais y = 0. Assim devemos resolver a seguinte equação do 2º grau: 02 =++ cbxax (multiplicando por 4a) 0444 22 =++ acabxxa (somando nos lados 2b ) 2222 0444 bbacabxxa +=+++ acbbabxxa 444 2222 −=++ (fatorando o 1º membro)

( ) acbbax 42 22 −=+

acbbax 42 2 −±=+

acbbax 42 2 −±−=

a

acbbx

2

42 −±−= (Fórmula de Bháskara)

O número acb 42 − é chamado de discriminante, e indica-se por ∆ (letra grega delta). Se ∆ >0, a equação 02 =++ cbxax possui duas raízes reais e distintas, isto signfica que a parábola corta em dois pontos o eixo x. Se ∆ =0, a equação 02 =++ cbxax possui duas raízes reais e iguais (raiz dupla), isto significa que a parábola tangencia o eixo x. Se ∆ < 0, a equação 02 =++ cbxax não possui raízes reais, isto significa que a parábola não corta o eixo x. 9.3 Soma e Produto das Raízes Vamos ver o que acontece quando somamos e multiplicamos as duas raízes da equação

02 =++ cbxax .

a

b

a

b

a

bb

a

b

a

bxxS −=

−=

∆+−∆−−=

∆+−+

∆−−=+=

2

2

22221

( ) ( ) ( )a

c

a

ac

a

acbb

a

acbb

a

b

a

b

a

b

a

bxxP ==

+−=

−−=

∆−=

∆−−=

∆+−

∆−−==

22

22

2

22

2

2

2

22

21 4

4

4

4

4

4

442.

2.

Através da soma e do produto das raízes, podemos achar as raízes da equação.

31

Vamos encontrar as raízes da equação 0652 =+− xx . Como a = 1, b = -5 e c = 6, então:

51

5=

−−=−=

a

bS e 6

1

6===

a

cP

Quais são os números cujo produto é 6 e a soma 5? Verifica-se que esses números são 2 e 3, pois 2.3=6 e 2+3 = 5. Assim as raízes são 2 e 3. Exemplo 1 Determine, em ℜ , as raízes das equações: a) 0167 2 =++− xx Resolução Sempre que tivermos uma equação completa, utilizaremos a fórmula de

Bháskara para resolver:

( ) ( )

a

bx

acb

2

8

642836

1.7.46

42

2

∆±−=

=∆

=+=∆

−−=∆

−=∆

7

1

14

2

14

861

−=

−=

−+−

=x

14

86

−±−

=x

114

14

14

862 =

−−

=−

−−=x

b) 02 2 =− xx Resolução Quando a equação é incompleta, podemos dispensar Bháskara e resolvemos

do seguinte modo: 02 2 =− xx ( ) 012 =−xx (equação produto)

32

Para que o produto seja zero, é necessário que pelo menos um dos fatores seja zero, assim:

0=x ou 2

1012 =⇒=− xx

=

2

1,0S

c) 0243 2 =−x

{ }22,22

22

8

8

2432

2

−=

±=

±=

=

=

S

x

x

x

x

9.4 Vértice da Parábola O vértice da parábola é o seu ponto de máximo (quando 0<a ) ou de mínimo (quando 0>a ) da função. A reta paralela ao eixo y que passa pelo vértice é o eixo de simetria da parábola. Sendo cbxaxy ++= 2 , para x = 0 teremos y = c, isto é, a parábola corta o eixo y no ponto de ordenada c. Existe outro ponto de ordenada igual a c. Vamos achar a sua abscissa. ccbxax =++2 02 =+ bxax

( ) 0=+ baxx 0=x já encontrado ou 0=+ bax , assim a

bx −=

Por simetria da parábola, a abscissa do vértice é:

a

bx

a

b

x vv 22

0−

=⇒

−+

=

Para obtermos a ordenada do vértice basta substituir a

bxv 2

−= em cbxaxy ++= 2 . Então,

( )

aa

acb

a

acb

a

acbbc

a

b

a

bc

a

b

a

abyc

a

bb

a

bay vv 44

4

4

4

4

42

242422

2222222

2

22∆−

=−−

=+−

=+−

=+−=+−=⇒+

−+

−=

Logo,

∆−−=

aa

bV

4,

2

33

Obs: O domínio de uma função do 2º grau, para 0>a e 0<a será ℜ , com isso a imagem depende do vy , ficando:

Para 0>a a imagem será { }vyyy ≥ℜ∈=Im

Para 0<a a imagem será { }vyyy ≤ℜ∈=Im

Exemplo 2

1) Faça o gráfico da seguinte função 682 2 +−= xxy destacando:

a) as raízes, se existirem b) as coordenadas do vértice c) a intersecção com o eixo y d) e dê o conjunto imagem

Solução

=

−=

=

+−=

6

8

2

682 2

c

b

a

xxy

* Raízes:

( ) 1648646.2.48

4

0682

2

2

2

=−=−=∆

−=∆

=+−

acb

xx

11 =x

( )4

48

2.2

48

2

±=

±−−=

∆±−=

a

bx

32 =x *coordenadas do vértice

( )

22.4

16

4

22.2

8

2

−=−

=∆−

=

=−−

=−

=

ay

a

bx

v

v

( )2,2 −V

34

Convém destacar que se a função cbxaxy ++= 2 possui duas raízes reais e distintas,

( )21 .. xex , podemos obter a abscissa do vértice, fazendo a média aritmética entre as duas raízes, isto é:

22

31

221 =

+=

+=

xxxv

substituindo x por 2 na função 682 2 +−= xxy , temos vy . Então:

262.82.2 2 −=+−=vy

*Intersecção com o eixo y: Nesse ponto 0=x , então 6=y . Temos o ponto ( )6,0 . *Esboço do gráfico da Figura 8. Utilizando o recurso do Matlab, segue os comandos:

>> p=[2 -8 6]; % os coeficientes do polinômio. >> x=linspace(-7,10); % pontos nos quais p será calculado. >> v=polyval(p,x); % cálculo de p nos pontos do vetor x. >> plot(x,v) % gráfico com os resultados. >> xlabel('Eixo X') %legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y') % Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao y= 2x^2-8x+6') % Título do texto. Figura 8: Gráfico da função .682)( 2 +−= xxxf 9.5 Estudo do sinal Estudar o sinal de uma função significa verificar os valores de x para os quais esta função é positiva ou negativa.

35

0>∆ 0=∆ 0<∆ a>0 + + - + + + + + + - - - - - - - a<0 Exemplo 3

1) Estude o sinal da seguinte função:

3103 2 +−= xxy Solução: a=3>0 então a concavidade da parábola é para cima

( ) 643.3.410 2 =−−=∆ 0>∆ , então existem duas raízes reais e distintas, isto é, a parábola corta o eixo x em dois pontos distintos.

2

11 =x

Raízes: =±

=6

810x

32 =x

Sinal

⊕ • • ⊕

3

1 3

36

para 3

1<x ou 3>x , temos 0>y

para 33

1<< x , temos 0<y

9.6 Inequação do 2º grau

Qualquer inequação do tipo 02 >++ cbxax , 02 <++ cbxax , 02 ≥++ cbxax ou

02 ≤++ cbxax , onde a,b,c são números reais com 0≠a são chamadas inequações do 2º grau. Resolvemos uma inequação do 2º a partir do estudo do sinal da função correspondente.

Exemplo 4 Resolva a seguinte inequação: 01032 ≤++− xx

Solução

5.210

321 =−==

−=

=xx

P

S

01 <−=a , a parábola tem concavidade para baixo. Sinal: + -2 5 - o o - Como devemos ter 01032 ≤++− xx (destacados graficamente pela região em negrito), então:

Exercício da Função do 2º grau

01) A função f(x) = cbxax ++2 possui como raízes os números 2 e 4, e seu gráfico é uma

parábola com o vértice (3,-3) . O valor de a + b + c é:

02) Se m e n são raízes de 01062 =+− xx , então nm

11+ vale:

03) Seja 7 a diferença entre as raízes da equação 0204 2 =+− cxx .Então , o valor da

constante c é : 37

04) O domínio da função y = 43

42

2

−−

+

xx

x é:

05) Resolva as seguintes inequações:

a) 12

3−≤

−−

x

x b) 0)16).(65).(82( 222 ≤−+−+− xxxxx

06) Determine o domínio da função ( )( )

75

13)(

2

2

−−−

+−=

xx

xxxf

07) O lucro de uma loja, pela venda diária de x peças, é dado por:

)4).(10.(100)( −−= xxxL . O lucro máximo por dia, é obtido com a venda de n peças, e o valor do lucro correspondente é l. Os valores de n e l são, respectivamente.

10 - Função Modular 10.1 Definição O módulo de um número real x é x, se x for positivo o oposto de x (- x), se x for negativo.

Simbolicamente, Exemplo 1 Calcule: a) 7,5− = 5,7

b) 9191 =

c) x2

Neste caso da letra c, o valor numérico depende da incógnita x. Como não sabemos se 2x é positivo ou negativo, temos que considerar os dois casos:

1º caso: se 2x for positivo ou zero, conserva-se o sinal, tem-se que xx 22 = .

2º caso: se 2x for negativo, troca-se o sinal, tem-se que xx 22 −=

Resumindo temos:

d) 12 −x

38

Vamos considerar os dois casos: 1ºcaso) se 12 −x for positivo ou zero, conserva os sinal. 2º caso)se 12 −x for negativo, troca-se o sinal. 11012 <<−⇒<− xx Resumindo, tem-se que: 10.2 Gráfico da função modular 10.2.1 Definição Função modular é toda função f, de domínio ℜ e contra-domínio ℜ , tal que ( ) xxf =

ou xy = . O gráfico da função modular pode ser obtido de duas formas:

1º modo: a partir da definição de módulo; 2º modo: por simetria em relação ao eixo Ox. Exemplo 2

1) Esboçar o gráfico da seguinte função: a) ( ) 3−= xxf

Podemos primeiro fazer o gráfico de ( ) xxf = *Esboço do gráfico da Figura 9: Utilizando o recurso do Matlab, segue os comandos: >> p=[1,0]; % os coeficientes do polinômio. >> x=linspace(-7,10); % pontos nos quais p será calculado. >> v=polyval(p,x); % cálculo de p nos pontos do vetor x. >> plot(x,v) % gráfico com os resultados. >> xlabel('Eixo X') %legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y') % Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao y = x') % Título do texto.

39

Figura 9: Gráfico da função ( ) xxf = . Agora faremos a seguinte função ( ) xxf = isso significa que devemos “refletir” a parte

negativa para cima, ficando como o gráfico abaixo. *Esboço do gráfico da Figura 10: Utilizando o recurso do Matlab, segue os comandos: >> p=[1 0]; % os coeficientes do polinômio. >> x=linspace(-8,10); % pontos nos quais p será calculado. >> v=polyval(p,abs(x)); % cálculo de p nos pontos do vetor x. >> plot(x,v) % gráfico com os resultados. >> xlabel('Eixo X') %legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y') % Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao y = abs(x)') % Título do texto. Figura 10: Gráfico da função ( ) xxf = .

Finalmente fazemos o gráfico ( ) 3−= xxf , isso significa que devemos descer 3 “casas”.

40

*Esboço do gráfico da Figura 11: Utilizando o recurso do Matlab, segue os comandos: >> p=[1,0]; % os coeficientes do polinômio. >> x=linspace(-8,10); % pontos nos quais p será calculado. >> y=linspace(-3,10); % pontos nos quais p será calculado. >> v=polyval(p,(abs(x)-3)); % cálculo de p nos pontos do vetor x. >> plot(x,v) % gráfico com os resultados. >> xlabel('Eixo X') %legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y') % Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao y =abs(x)-3') % Titulo do texto. Figura 11: Gráfico da função ( ) 3−= xxf .

10.3 Equação modular 10.3.1 Definição Para resolver equações modulares, utilizaremos basicamente a definição de módulo. Sempre que tivermos uma função modular devemos considerar que, dependendo do valor da incógnita, o valor numérico da função poderá ser positivo ou negativo.

Exemplo 3 Resolver a equação modular 0122 =−+ xx

Note que, neste exercício, temos uma equação do 2º grau onde a incógnita é x . Para facilitar a resolução podemos utilizar uma

mudança de variável, substituindo x , por exemplo, por y, então:

yx =

Em função de y, temos a seguinte equação: 41

Agora que temos os valores de y, podemos calcular x :

como x =y, então:

x =3

3=x ou 3−=x ou

4−=x

não existe nenhum valor de x que satisfaça a equação, pois o módulo de um número é sempre positivo.

10.4 Inequação modular As inequações modulares se caracterizam pela presença de um dos sinais de desigualdade: >, Observe a resolução dos exercícios seguintes. Verificamos que nas inequações para a>0, temos a seguinte regra: 1º) Se ,ax < então axa <<− .

2º) Se ,ax > então ax < ou ax >

Exemplo 4 Determinar o valor de x na inequação 123 >+− x .

Resolução: Aplicando a propriedade 2, tem-se que:

33

213

123

−<−

−−<−

−<+−

x

x

x

ou

13

213

123

−>−

−>−

>+−

x

x

x

Multiplicando por -1, invertendo o sinal de desigualdade:

1

33

>

>

x

x

3

1

13

<

<

x

x

Exemplo 5 Resolva a inequação ,32

1≤

+−

x

x em ℜ .

Solução: tem-se que

42

32

13 ≤

+−

≤−x

x ou

−≥+−

≤+−

32

1

32

1

x

xx

x

Solução 1 Solução 2

02

72

02

)2(31

032

1

32

1

≤+−−

≤+

+−−

≤−+−

≤+−

x

xx

xxx

xx

x

02

54

02

)2(31

032

1

32

1

≥++

≥+

++−

≥++−

−≥+−

x

xx

xxx

xx

x

Resolvendo, tem-se que: Resolvendo tem-se que:

Fazendo 21 SS ∩ ,ou seja, a intersecção entre as soluções tem-se que a solução geral da inequação será:

Exercício da Função Modular

01) Resolva as equações modulares:

a) xx =− 32 b) 1432 −=+ xx c) 332

1=

+−x

x

d) 0213122

=−−−− xx e) 631 =++− xx

02) Resolva as inequações modulares:

a) 242 >−− xx b) 311 ≤−< x c) 23

2 ≤−x

03) Determine o domínio da função 2

3)(

−

−=

x

xxf

43

04) Esboce o gráfico das funções abaixo: a) xxxf .)( = b) 2)( ++= xxxf

11 - Função Exponencial A função exponencial f , de domínio ℜ e contra-domínio ℜ , é definida por xay = , sendo 0>a e 1≠a .

ℜ→ℜ:f xay = sendo 0>a e 1≠a

São exemplos de funções exponenciais:

a) xy 2= b) ( )xy 3= c) xy π= d)x

2

1 e)

x

3

2

De forma geral, dada a função xay = : → se 1>a a função exponencial é crescente; → se 10 << a a função exponencial é decrescente. Graficamente tem-se que: xay = xay = →> 1a exponencial crescente →<< 10 a exponencial decrescente

Figura 12: Gráfico da função exponencial crescente. Figura 13: Gráfico da função exponencial decrescente. Domínio: { }ℜ∈= xD Domínio: { }ℜ∈= xD

Imagem: +ℜ= *Im Imagem: +ℜ= *Im

44

Exemplo 1 Construir o gráfico da seguinte função:

242)( −−= xxf

Devemos observar que a função exponencial está dentro do módulo, com isso podemos seguir os seguintes passos para a construção do gráfico: 1º) Construir a função xxf 2)( = , seguindo as regras de potenciação visto na primeira parte deste livro, bem como as regras para a construção de gráficos exponenciais. Utilizando o recurso do Matlab tem-se que: >> x=linspace(-3,3); % valores no eixo x. >> y=linspace(0,5); %valores no eixo y. >> y=2.^x; % função exponencial calculada. >> plot(x,y), % gráfico com os resultados. >> xlabel('Eixo X') %legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y') % Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao y=2^x') % Titulo do texto. E obtemos a Figura14 como pode ser visto abaixo: Figura 14: Gráfico da função xxf 2)( = . 2º) Construir a função 42)( −= xxf , seguindo as regras de potenciação visto na primeira parte deste livro, bem como as regras para a construção de gráficos exponenciais, note neste caso o gráfico deverá “descer quatro casas” sendo está última a assíntota (semi-reta que limita a função, com o qual a função não deverá tocá-la). Utilizando o recurso do Matlab tem-se que: >> x=linspace(-3,3); % valores no eixo x. >> y=linspace(-7,5); %valores no eixo y. >> y=2.^x-4; % função exponencial calculada. >> plot(x,y), % gráfico com os resultados. >> xlabel('Eixo X') %legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y') % Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao y=2^x-4') % Titulo do texto. E obtemos a Figura 15 como pode ser visto abaixo:

45

Figura 15: Gráfico da função 42)( −= xxf .

3º)Construir a função 42)( −= xxf , seguindo as regras de potenciação visto no primeiro

capítulo deste livro, bem como as regras para a construção de gráficos exponenciais, note neste caso será “arrebatado” para cima a parte negativa, ou seja, onde os valores de y são negativos. Utilizando o recurso do Matlab tem-se que: >> x=linspace(-7,5); % valores no eixo x. >> y=linspace(0,4); %valores no eixo y. >> y=abs(2.^x-4); % função exponencial calculada. >> plot(x,y), % gráfico com os resultados. >> xlabel('Eixo X') %legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y') % Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao y=abs(2^x-4)') % Titulo do texto. E obtemos a Figura 16 como pode ser visto abaixo:

Figura 16: Gráfico da função 42)( −= xxf .

4º)Construir a função 242)( −−= xxf , seguindo as regras de potenciação visto no

primeiro capítulo deste livro, bem como as regras para a construção de gráficos exponenciais, note neste caso o gráfico deverá “descer duas casas”. Utilizando o recurso do Matlab tem-se que: >> x=linspace(-7,5); % valores no eixo x. >> y=linspace(-4,4); %valores no eixo y. >> y=abs(2.^x-4)-2; % função exponencial calculada. >> plot(x,y), % gráfico com os resultados. >> xlabel('Eixo X') %legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y') % Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao y=abs(2^x-4)-2') % Titulo do texto.

46

E obtemos a Figura 17 como pode ser visto abaixo:

Figura 17: Gráfico da função 242)( −−= xxf .

11.1 Equação exponencial A equação exponencial caracteriza-se pela presença da incógnita no expoente. Para resolver estas equações, além das propriedades de potências, vistas na 1ª parte, utilizaremos a seguinte propriedade: “Se duas potências são iguais, tendo as bases iguais, então os expoentes são iguais” nmaa nm =⇔= sendo 0>a e 1≠a Exemplo 2 Resolver as seguintes equações exponenciais:

a) 2433 1 =+x b) 1255 42

=+−x

resolução:

4

15

51

33

243351

1

=

−=

=+

=

=+

+

x

x

x

x

x

resolução:

1

1

43

34

55

1255

2

2

2

34

4

2

2

±=

−=−

−=−

=+−

=

=+−

+−

x

x

x

x

x

x

c) 14222 12 =+− −+ xxx resolução: aplicando a regra de potenciação tem-se que:

47

( )

2

22

42

7

2.

1

142

142

72

142

1142

142122

142.222.2

14222

2

12

12

12

=

=

=

=

=

=

+−

=+−

=+−

=+−

−

−

−+

x

x

x

x

x

x

x

xxx

xxx

11.2 Inequação exponencial A inequação exponencial caracteriza-se pela presença da incógnita no expoente e de um dos sinais de desigualdade: ,> ,< ,≤ ou ≥ . Para a função crescente, conserva-se o sinal da desigualdade para comparar os expoentes, desde que as bases sejam iguais. Para a função decrescente, inverte-se o sinal da desigualdade para comparar os expoentes, desde que as bases sejam iguais. Exemplo 3 Resolver a seguinte inequação exponencial. a) b)

( )

2

22

42

9

2.

1

182

182

92

1812

142

181222

1822.22.2

18222

2

12

12

12

≤

≤

≤

≤

≤

≤

+−

≤+−

≤+−

≤+−

−

−

−+

x

x

x

x

x

x

x

xxx

xxx

( )( )

6

6

24

42

1010

10

110

10000

1

10

1

0001,01,0

42

4

21

2

2

≥

−≤−

−−≤−

−≤+−

≤

≤

≤

≤

−+−

−−

−

−

x

x

x

x

x

x

x

x

48

Para conhecimento O número e tem grande importância em diversos ramos das ciências, pois está presente em vários fenômenos naturais, por exemplo: 1) crescimento populacional; 2) crescimento de população de bactérias; 3) desintegração radioativa. Na área de Economia, é aplicada no cálculo de juros. Foi o matemático inglês John Naiper (1550 – 1617) o responsável pelo desenvolvimento da teoria logarítmica utilizando o número e como base. O número e é irracional, ou seja, não pode ser escrito sob forma de fração, e vale: ...71828182,2=e sendo chamado de número neperiano, em homenagem ao matemático. Como o número e é encontrado em diversos fenômenos naturais, a função ( ) xexf = é considerada uma das funções mais importantes da matemática, merecendo atenção especial de cientistas de diferentes áreas do conhecimento humano.

Exercício de Função Exponencial

01) Resolva as seguintes inequações exponenciais: a) 24022222 3211 >+−++ +++− xxxxx b) xx −−≥− 31)13.(3

02) A expressão 3

33

22

22−

−+

+−

xx

xx

é igual a:

03) Sejam x e y os números reais que tornam verdadeiras as sentenças

=−

=−−

+

022

3022yx

yx

Nessas condições, o valor de x y vale? 04) O valor de x que satisfaz a equação 8022 11 =+ −+ xx vale?

05) O valor de 8

3 22

é:

06) A soma das raízes da equação 9

56255 122

=+− xx é:

07) Sob certas condições, uma população de microorganismo cresce obedecendo à lei P= C . 3 KT na qual T é o numero de horas, P é o número de microorganismos no instante T e C e K são constantes reais. Se P = 486 e T = 10, então C e K valem, respectivamente:

49

08) Esboce os gráficos das funções, dando o domínio e imagem: a) 12)( −= xxf

b) 12)( += xxf

c) x

xf2

2

1)(

=

d) xx

xf42

5

1)(

−

=

9) Os valores de x para os quais ( ) ( ) ( )134 8,08,02 +− > xxx

12 - Função Logarítmica 12.1 Definição O logaritmo de um número b, na base a, sendo a e b positivos e a é diferente de um, é um número x, tal que x é o expoente de a para se obter b, então: ,log baxb x

a =⇔= sendo ,0>b ,0>a 1≠a (condição de existência)

b é chamado de logaritmando a é chamado de base x é o logaritmo Para os logaritmos decimais, ou seja, aqueles em que a base é 10, esta frequentemente é omitida. Exemplo 1 Logaritmo de 2 na base 10, notação: 2log Logaritmo de 3 na base 10, notação: 3log

Logaritmo de x na base e, notação: xelog esse tipo de logaritmo é chamado

de logaritmo neperiano e pode ser definido como sendo xln . Dado um número real a (com 10 ≠< a ) chama-se função logarítmica de base a, a função

de *+ℜ em ℜ dada pela lei ( ) xxf alog= .

Para 1>a tem-se uma função crescente. Para 10 << a tem-se uma função decrescente. Graficamente tem-se que:

50

xy alog= xy alog=

→> 1a logarítmica crescente →<< 10 a logarítmica decrescente Figura 18: Gráfico da função logarítmica crescente. Figura 19: Gráfico da função logarítmica decrescente. Domínio: +ℜ= *D Domínio: +ℜ= *D Imagem: { }ℜ∈= xIm Imagem: { }ℜ∈= xIm Exemplo 2 Construir o gráfico da seguinte função

2)5(log 5,0 −+= xy

Primeiro devemos tirara a condição de existência, ou seja:

5

05

−>

>+

x

x

com a condição de existência achada, o domínio da função é a própria condição de existência, ficando { }5−>ℜ∈= xxD .Para achar os pontos de intersecção com os eixos,

basta igualar 0=x para achar y e 0=y para achar x. O gráfico abaixo corresponde a

função ( )5log 5,0 += xy . Utilizando o recurso do Matlab tem-se a Figura 20:

>> x=linspace(-5,10); % valores no eixo x. >> x>-5; %condição de existência. >> y=log10(x+5)/log10(0.5); %função logarítmica calculada. >> plot(x,y); % gráfico com os resultados. >> xlabel('Eixo X') %legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y') % Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao y= log0,5(x+5)' % Titulo do texto. Figura 20: Gráfico da função ( )5log 5,0 += xy .

51

Note que neste caso a função 2)5(log 5,0 −+= xy faz com que, o gráfico se desloque para

baixo em duas “casas”. Utilizando o recurso do Matlab tem-se a Figura 21: >> x=linspace(-5,10); % valores no eixo x. >> x>-5; %condição de existência. >> y=(log10(x+5)/log10(0.5))-2; %função logarítmica calculada. >> plot(x,y); % gráfico com os resultados. >> xlabel('Eixo X') %legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y') % Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao y= log0,5(x+5)-2' % Titulo do texto. Figura 21: Gráfico da função 2)5(log 5,0 −+= xy .

Finalmente “arrebatemos” a parte negativa para a parte positiva, por causa do módulo

como vemos na função 2)5(log 5,0 −+= xy . Utilizando o recurso do Matlab tem-se a

Figura 22: >> x=linspace(-5,10); % valores no eixo x. >> x>-5; %condição de existência. >> y=abs((log10(x+5)/log10(0.5))-2); %função logarítmica calculada. >> plot(x,y); % gráfico com os resultados. >> xlabel('Eixo X') %legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y') % Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao y= abs(log0,5(x+5)-2)' % Titulo do texto. Figura 22: Gráfico da função 2)5(log 5,0 −+= xy

52

12.2 Conseqüências Decorrem da definição de logaritmo as seguintes propriedades: 1º) O logaritmo de 1 em qualquer base a é igual a 0.

01log =a , pois 10 =a

2º) O logaritmo da base, qualquer que seja ela, é igual a 1.

1log =aa , pois aa =1

3º) A potência de base a e expoente balog é igual a b.

ba ba =log ,

pois o logaritmo de b na base a é justamente o expoente que se deve dar à base a para que a potência fique igual a b. 4º) Se dois logaritmos em uma mesma base são iguais, então os logaritmandos também são iguais.

cbcb aa =⇒= loglog

pois bcbacb caa

a =⇒=⇒= logloglog

Exemplo 3 Calcular o valor de 5log28 .

tem-se que ( ) ( ) 1255228 335log5log35log 222 ==== Exemplo 4 Calcular o valor de x tal que ( ) ( ) :3log12log 55 +=+ xx

com isso devemos ter 312 +=+ xx , sendo o valor de 2=x . 12.3 Propriedades operatórias dos logaritmos 1º) Logaritmo do produto “Para qualquer base, o logaritmo do produto de dois números reais e positivos é igual à soma dos logaritmos dos números.” Com isso tem-se que: se 10 ≠< a , 0>b e 0>c , então:

Essa propriedade também é válida para o logaritmo de três ou mais números reais e positivos, ou seja: se 10 ≠< a e 01 >b , 02 >b , ..., 0>nb , então:

53

Exemplo 5 a)

b) 2º) Logaritmo do quociente “Para qualquer base, o logaritmo do quociente de dois números de dois números reais e positivos é igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor”. Com isso tem-se que: se 10 ≠< a , 0>b e 0>c , então:

cbc

baaa logloglog −=

Exemplo 6

a) 4log3log4

3log 222 −=

b) 5log3log2log5log6log5

6log 101010101010 −+=−=

3º) Logaritmo da potência “Para qualquer base, o logaritmo de uma potência de base real e positiva é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência”. Com isso tem-se que: se

10 ≠< a , 0>b e ℜ∈r , então:

brb ar

a log.log =

Exemplo 7 a) 3log.73log 2

72 =

b) 3log.2

13log3log 5

2

1

55 ==

12.4 Cologaritmo Define-se o logaritmo como o oposto do logaritmo, portanto:

bbco aa loglog −= , sendo 0>b , 0>a e 1≠a

Exemplo 8 a) 35log125log125log 3

555 −=−=−=co

b) ( ) 337log7

1log

343

1log

343

1log 3

7

3

777 =−−=−=

−=−= −co

54

12.5 Mudança de base A mudança de base é importante, pois é usada para obter uma mesma base dos logaritmos em uma equação ou inequação. Lembramos que a resolução das mesmas só é possível com a mesma base. Então tem-se que: Para resolver questões deste tipo, utilizaremos uma propriedade que nos permite mudar a base do logaritmo para outra que for mais conveniente:

n

mm

a

an log

loglog = , sendo 0>m , 0>n , 1≠n , 0>a e 1≠a

Exemplo 9 Dados 301,02log = e 477,03log = , calcule: a) 3log2 resolução: mudaremos a base pois os dados do problema trazem base 10, então:

585,101,03

477,0

2log

3log3log2 ===

b) 30log2 resolução: neste caso teremos que mudar a base para 10 e aplicar as propriedades operatórias convenientes

( )907,4

301,0

1477,0

2log

2log10log3log2log

2log

log3log2log

2log

5.3.2log

2log

30log30log

2

10

2 =+

=−++

=++

===

12.6 Equação logarítmica A equação logarítmica caracteriza-se pela presença do sinal de igualdade e da incógnita no logaritmando. Pra resolver uma equação, antes devemos encontrar a condição de existência do logaritmo, determinando os valores da incógnita para que o logaritmando e a base sejam positivos, e a base diferente de 1, observando as propriedades convenientes para cada situação. Exemplo 10 Resolva as seguintes equações logarítmicas: a) ( ) 31log3 =−x

resolução:

55

Condição de existência 101 >⇒>− xx , logo o domínio da função é { }1>ℜ∈= xxD , com isso temos:

( )

28

271

31

31log3

3

=

=−

=−

=−

x

x

x

x

Como 28=x satisfaz a condição de existência , temos a solução { }28=S . b) ( ) ( )2log32loglog.2 ++−= xxx resolução: primeiro devemos tirar a condição de existência:

22

3

0

−>

>

>

x

x

x

tirando a intersecção temos que 2

3>x , sendo então o domínio da função

será

>ℜ∈=2

3xxD . Aplicando a propriedade da potência temos:

( )( )[ ]( )

06

62

62loglog

232loglog

2

22

22

2

=−+

−+=

−+=

+−=

xx

xxx

xxx

xxx

Resolvendo a equação do segundo grau, tem-se que as raízes são:

3−=x ou 2=x , como 3− não faz parte da região do domínio, então 2 será a solução. 12.7 Inequação logarítmica Identificamos as inequações logarítmicas pela presença da incógnita no logaritmando e de um dos sinais de desigualdade: ,≤ ,≥ ,< ou > . Na resolução de inequações logarítmicas, procuramos obter logaritmos de bases iguais nos dois membros da inequação, para poder comparar os logaritmandos. Porém, para que não ocorram distorções, devemos verificar se as funções envolvidas são crescentes ou decrescentes. De forma geral, quando resolvemos uma inequação logarítmica, temos que observar o valor numérico da base, pois estando os dois membros da inequação compostos por logaritmos de mesma base, para comparar os respectivos logaritmandos temos dois casos a considerar:

56

• Se a base é um número maior que 1 (função crescente) utilizamos o mesmo sinal da inequação.

• Se a base é um número entre zero e 1 (função decrescente), invertemos o sinal da inequação.

Exemplo 11 Resolver as seguintes inequações: a) 34log 2 <x resolução: Primeiro devemos calcular a condição de existência: .004 >⇒> xx Calculando a inequação, verificamos que a base do logaritmo é maior que 0, logo a função é crescente, com isso, tem –se que:

24

8

84

24 3

<

<

<

<

x

x

x

x

A resolução da inequação terá sentido se resolvermos à intersecção da respostada inequação com a condição de existência. Logo a resposta da questão será: { }20 <<ℜ∈= xxS

b) ( ) ( )xx −≥+ 1log52log

2

1

2

1

resolução: Calculando a condição de existência, temos:

2

552052 −>⇒−>⇒>+ xxx

1101 <⇒−>−⇒>− xxx

Tirando a intersecção temos, 12

5<<− x que será a condição de existência.

Resolvendo a inequação temos: Como as bases são iguais e está entre 10 << x , logo a função é decrescente, com isso devemos inverter o símbolo da inequação, comparando os logaritmandos.

3

4

43

512

152

−≤

−≤

−≤+

−≤+

x

x

xx

xx

57

Fazendo a intersecção com a condição de existência temos:

−<<−ℜ∈=3

4

2

5xxS

Exercício da Função Logarítmica

01) O número real x, tal que 2

1log 4

9

=x , é :

02) Seja m a solução real da equação 27033 11 =+ +− xx . O valor de m

8

1log é:

03) Se 23log=x , então xx −+ 33 vale:

04) Dado A – B = C, onde A= ( )23 2ln xx − , B = xln e C = 8ln . A solução da equação é:

05) Sendo 3 256

1024=A e

64

1=B o valor de BA

22 loglog + será dado por:

06) Esboce o gráfico das funções dando o domínio e a imagem:

a) 1log)( −= xxf b) 2

2

1log)( += xxf c) xxxf 23

2

log)( −=

07) Resolva as seguintes equações logarítmicas: a) ( )[ ]{ } 23log1log.2log 432

=++ x b) ( ) ( ) ( )13log3log13log3

1

3

12

3

1 −=+++ xxcoxx

c)

=+

=+

8logloglog

6

222 yx

yx d) 03log3log.3log

813

=+ xxx

07) Resolva as seguintes inequações: a) ( ) ( )5log3log

4

5

4

5 +−>− xx b) ( ) 12log1loglog >+− xcox

58

Exercícios Gerais da 2ª Parte

01) Esboce os gráficos das funções dando o domínio e a imagem:

a) f(x) =

<

≥+

0,,

0,,53

xsex

xsex b) f(x) =

≥+

<<−

−≤−

1,,5

12,,1

2,,1

2 xsex

xse

xsex

c) f(x) =

<−

≥−

0,,

0,,2

xsex

xsexx d) f(x) =

2

2

++

x

x

e) f(x) =

>+−

≤≤−

−<+

1,,3

12,,

2,,124

2

2

xsex

xsex

xsex

f) f(x) =

<

>

0,,1

0,,2

1

xsex

xsex

g) f(x) =

<−

=

>

0,,1

0,,0

0,,log2

1

xsex

xse

xsex

02) Construa o gráfico das seguintes funções:

a) xxf =)( b) 3)( −= xxf c) 11)( 2 +−= xxf d) 22)( −+−= xxf

e) 112

1)( −−

=x

xf f) 22)( −= xxf g) xxf 2log)( −= h) xxf 2)( =

i) 72log)( −= xxf j) 7

2log)( −= xxf

03) Complete os quadrados: a) xx 42 + b) xx 273 2 + c) 25234 22 +−++ yxyx d) 27366 2 ++− xx e) y 2 + 6y f) 15659 22 +−++− yxyx g) 9x x812 +

59

3ª Parte

13 - Função Trigonométrica

13.1 Arcos e Ângulos – unidades de medidas

Tomando-se dois pontos quaisquer A e B sobre uma circunferência, obtemos dois arcos AB e BA. Defini-se então um arco como uma das suas partes de uma circunferência, limitada por dois pontos.

13.2 Unidades de Medidas

Para se medir arcos, adotam-se comumente duas unidades básicas:

Grau – unidade sexagesimal. Radiano – unidade circular. Dividindo-se a circunferência em 360 partes iguais e associando-se cada arco a medida de 1 grau (1º), então a circunferência terá 360º. Dizemos, portanto, que o grau

é 360

1 da circunferência. Convencionou-se que a medida do arco AM é igual à medida

do ângulo central, MOA)

tomadas em relação a uma mesma unidade. Defini-se o radiano (1rad) como sendo a medida do arco (ou do ângulo central) cujo comprimento é igual ao raio da circunferência. Com isso, têm-se a relação de transformação de ângulo para radiano, com essa, podemos achar por uma regra de três simples o equivalente dos outros graus em radiano. Exemplo 1 Quanto vale 60º em radiano? Resolução

x⇔

⇔

º60

º180 π

fazendo a regra de três tem-se que:

Observação: Convencionou-se que '60º1 = e "60'1 = , com isso "3600º1 = , lembrando que:

60

1'1 = minuto e ="1 1 segundo. Exemplo 2 Quanto vale o ângulo em radiano? Resolução

ou fazendo 14,3=π , tem-se que:

Exemplo 3 Qual o ângulo convexo formado pelos ponteiros de um relógio ao marcar 5h 45 min. Resolução

)º30(º90º

?º

x−+=

=

αα

Cálculo de x: G=( ponteiro dos minutos) P=(ponteiro das horas) quando G anda 360º, P anda 30º quando G anda 270º, P anda x.

Logo: º.5,22º30

º270

º360=⇔= x

x

Calculando ºα , tem-se que:

ou

61

13.3 Circunferência Orientada

É a circunferência sobre a qual fixamos um sentido positivo de orientação e a origem A de medidas de arcos. Convencionou-se que: Sentido-anti-horário os arcos têm sinal positivo. Sentido horário os arcos têm sinal negativo.

13.4 Arcos e Ângulos Côngruos

Dois ou mais arcos são ditos côngruos se, e somente se, numa mesma circunferência orientada possuírem a mesma origem e a mesma extremidade. Logo a expressão que nos dá todos os arcos côngruos, será:

sendo: =0x menor determinar de x ou redução de x à primeira volta.

=k número de voltas.

módulo de congruência. Exemplo 4 Qual a primeira determinação positiva do arco 1493º? Resolução

=

=

?

º1493

0x

x

Logo vem que:

se a questão pedisse a primeira determinação negativa , resposta seria:

º307º360º53 −=− . 13.5 Circunferência Trigonométrica ou Ciclo Trigonométrico É a circunferência orientada que possui as características:

I. Raio igual a 1; II. Centro na origem dos eixos coordenados x e y; III. A (1,0) é a origem dos arcos.

62

Observe que os eixos coordenados divide a circunferência em quatro arcos, chamados arcos quadrantes. y y 2ºq 1ºq x x 3ºq 4ºq Podemos observar a tabela a seguir: Variação dos a Arcos e côngruos

º900 a

º180º90 a

º270º180 a

º360º270 a

Quadrante correespondente

1º quad.

2º quad.

3 quad.

4 quad.

13.6 Funções Circulares ou Funções trigonométricas 13.6.1 Introdução São conhecidas seis funções circulares básicas: seno, co-seno, tangente, co-tangente, secante e co-secante. Para o estudo dessas funções são associados quatro ao ciclo trigonométrico: y t B c

A’ x 0 A B’

• eixo x, que será chamado de eixo dos co-senos; • eixo y, que será chamado de eixo dos senos; • eixo t, que será chamado de eixo das tangentes; • eixo c, que será chamado de eixo das co-tangentes.

63

Sendo que não existe o eixo das secantes nem das co-secantes.

13.7 Função Seno

13.7.1 Conceito

Chama-se de função seno a aplicação que associa cada ângulo central x (ou arco AM)

à ordenada PM do ponto M, que é igual a OQ . Essa ordenada é chamada de )(xsen . Isto

é: )(: xsenOQPMxf ==→ )()( xsenxf =⇔ ou )(xseny = .

13.7.2 Domínio e Imagem ℜ=)( fD , pois ℜ∈∀x , sen(x) ℜ∈ .

[ ]1,1)Im( −=f , ou seja, ℜ∈∀x , 1)(1 ≤≤− xsen , sendo -1 e 1, respectivamente, o mínimo e o máximo valores do seno de x.

13.7.3 Sinal da função

13.7.4 Paridade da função

Tomemos um ângulo x do 1º quadrante. A ele faz-se corresponder o segmento sen(x). Tomando-se o ângulo –x (no sentido horário) o segmento correspondente será -sen(x). Estendendo-se aos outros quadrantes o mesmo acontecerá: trocando-se x por –x, a função também muda o sinal de sen(x) para -sen(x). Conclui-se, portanto, que: Como

ℜ∈∀x , )()( xsenxsen −=− , dizemos, então que a função seno é ímpar.

13.7.5 Gráfico da função: senóide

>> x=linspace(-2*pi,2*pi); % valores no eixo x. >> y=sin(x); %função seno calculada. >> plot(x,y); % gráfico com os resultados. >> xlabel('Eixo X') %legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y') % Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao y =sen(x)') % Titulo do texto. Segue abaixo a Figura 23 referente ao gráfico da função seno.

64

Figura 23: Gráfico de uma senóide.

13.7.6 Periodicidade da função: Dizemos que uma função )(xfy = é periódica quando há representações das imagens para valores do domínio tomados em intervalos de mesma variação. A função seno é periódica de período π2 rad, pois sendo α uma das determinações, as outras determinações serão dadas pro ,2 πα k+ k Z∈ . Todas essas determinações, entretanto, têm a mesma extremidade e, por conseqüência todas tem o mesmo seno, ou seja:

)2()( παα ksensen += .

13.8 Função Co-seno

13.8.1 Conceito Chama-se de função co-seno a aplicação que associa cada ângulo central x (ou arco

AM à abscissa OP do ponto M). Essa abscissa é chamada de )cos(x . Isto é

)cos()()cos(: xxfxOPxf =⇔=→ .

13.8.2 Domínio e Imagem

,)( RfD = pois Rx∈∀ Rx ∈)cos( ]1,1[)Im( −=f , ou seja: Rx∈∀ , 1)cos(1 ≤≤− x , -1 e 1, respectivamente, o mínimo e

o máximo valores co-seno de x.

13.8.3 Sinal da função

65

13.8.4 Paridade da função

Tomemos um ângulo x do 1º quadrante. A ele faz-se corresponder o segmento cos(x). Tomando-se o ângulo – x (no sentido horário) o segmento correspondente será cos(x). Estendendo-se aos outros quadrantes o mesmo acontecerá: trocando-se x por –x, a função não muda o sinal. Conclui-se, portanto, que: Como ℜ∈∀x , )cos()cos( xx =− , dizemos, então que a função co-seno é par.

13.8.5 Gráfico da função: cossenóide >> x=linspace(-2*pi,2*pi); % valores no eixo x. >> y=cos(x); %função seno calculada. >> plot(x,y); % gráfico com os resultados. >> xlabel('Eixo X') %legenda do eixo horizontal. >> ylabel('Eixo Y') % Legenda do eixo vertical. >> title('Funçao y =cos(x)') % Titulo do texto. Segue abaixo a Figura 24 referente ao gráfico da função co-seno.

Figura 24: Gráfico de uma cossenóide.

13.8.6 Periodicidade da função De modo análogo à função seno, podemos concluir que o co-seno de um ângulo repete-se de π2 em π2 rad. Ou melhor: ,Rx∈∀ ).cos()2cos( xx =+ π Dizemos, então, que a função co-seno é periódica e seu período é π2 rad ou 360°.

13.9 Relações Fundamentais São relações especiais que corresponde o estudo do seno e co-seno, vejamos:

1) A função tangente é a razão entre a função seno e co-seno: )cos(

)()(

x

xsenxtg = .

66

2) A função co-tangente é inversa da função tangente: )(

)cos()(cot

xsen

xxg = .

3) A função secante é inversa da função co-seno: )cos(

1)sec(

xx = .

4) A função co-secante é inversa da função seno:)(

1)sec(cos

xsenx =

13.10 Relação Fundamental da Trigonometria

Dado o ciclo trigonométrico, a idéia central é construir um triangulo retângulo com hipotenusa correspondente ao raio igual a 1. y

x 0 Como o eixo dos x corresponde a função co-seno e eixo dos y corresponde a função seno, então posemos afirmar que:

1 )(xsen

)cos(x Utilizando a relação de Pitágoras temos: 1)(cos)( 22 =+ xxsen

13.11 Relações Derivadas São duas as mais conhecidas:

Vamos provar as fórmulas acima:

67

Dividindo a relação fundamental 1)(cos)( 22 =+ xxsen membro a membro por

)(cos2 x , vem que:

)(1)(sec)(cos

)(cos

)(cos

)(

)(cos

1 22

2

2

2

2

2xtgx

x

x

x

xsen

x+=⇔+=

Dividindo agora membro a membro por )(2 xsen , tem-se:

)(cot1)(seccos)(

)(cos

)(

)(

)(

1 22

2

2

2

2

2xgx

xsen

x

xsen

xsen

xsen+=⇔+=

13.12 Transformações Trigonométricas sen

cos

O segmento abST = , então o oP

abob

oP

oa −==+ )ººcos( βα . Por outro lado temos:

ºº.ºcosº.cos)ººcos(..)ººcos(

..)ººcos()ººcos(

βαβαβαβα

βαβα

sensenoP

PT

PT

ST

oT

oT

oT

ob

PT

PT

oP

ST

oT

oT

oP

ob

oP

ST

oP

ob

oP

STob

−=+⇔−=+

−=+⇔−=−

=+

Como: )()(

)cos()cos(

ββββ

sensen −=−

=− , pois o seno é uma função ímpar e o co-seno é uma função

par temos. 68

ºº.ºcosº.cos)ººcos(

)(º.)ºcos(º.cos))º(ºcos()ººcos(

βαβαβαβαβαβαβα

sensen

sensen

+=−

−−−=−+=−

Lembrar que

=°−

=−

ºcos)90(

º)º90cos(

αααα

sen

sen

Temos então:

ºº.cosºcosº.)ºº(

º).ºº90(ºcos).ºº90cos()ºº(

]º)ºº90cos[()ºº(

))ºº(º90cos()ºº(

βαβαβαβαβαβα

βαβαβαβα

sensensen

sensensen

sen

sen

+=+

−+−=+

−−=+

+−=+

ºº.coscosº.)ºº(

)º(º.cos)ºcos(º.)ºº(

))(º()ºº(

βαβαβαβαβαβα

βαβα

sensensen

sensensen

sensen

−=−

−+−=−

−+=−

Com as expressões do co-seno e do seno podemos relacionados com a soma dos arcos, podemos achar a expressão para a tangente.

ºº.1

ºº)ºº(

ºcosº.cos

ºº.

cosº.cos

ºcosº.cosºcosº.cos

ºº.cos

ºcosº.cos

ºcosº.

)ºº(

ºº.ºcosº.cos

ºcosº.ºcosº.

)ººcos(

)ºº()ºº(

βαβα

βα

βαβα

βαβα

βαβα

βαβα

βα

βαβααββα

βαβα

βα

tgtg

tgtgtg

sensen

sensen

tg

sensen

sensensentg

−+

=+

−

+=+

−+

=++

=+

69

De modo análogo temos que:

ºº.1

ºº)ºº(

βαβα

βαtgtg

tgtgtg

+−

=−

Para as expressões da tangente temos que α , β e βα + diferentes de ππ

k+2

, Zk ∈ .

Para arcos duplos temos que:

ºcosº..2)º2(

ºcosº.ºcosº.)ºº()º2(

αααααααααα

sensen

sensensensen

=

+=+=

)º()º(cos)ººcos(

ºº.ºcosº.cos)ººcos(22 αααα

αααααα

sen

sensen

−=+

−=+

º1

º.2)ºº(

ºº.1

ºº)ºº(

2αα

αα

αααα

αα

tg

tgtg

tgtg

tgtgtg

−=+

−+

=+

70

13.13 Transformação em Produto Pra a fatoração de certas expressões, a trigonometria dispõe de algumas fórmulas próprias que, quando associadas aos recursos algébricos de que já dispomos, permitirão a fatoração de expressões como )()( ysenxsen + , )cos()cos( yx − , )cos()( xxsen + entre outras. 13.13.1 Transformação de somas e diferenças de senos: Dada as expressões do seno da soma e do seno da diferença de dois arcos: Somando-se e subtraindo a as duas expressões membro a membro, obtemos: ºcosº.2)ºº()ºº( βαβαβα sensensen =−++

ºcosº.2)ºº()ºº( αββαβα sensensen =−−+ Façamos p=+ ºº βα e q=− ºº βα resolvendo o sistema tem-se que:

2

ºqp +

=α 2

ºqp −

=β

Temos então:

+

−=−

−

+=+

2cos.

2.2ºº

2cos.

2.2ºº

qpqpsensenqsenp

qpqpsensenqsenp

13.13.2 Transformação de somas e diferenças de cossenos: Tomemos as expressões do cosseno da soma e do cosseno da diferença de dois arcos: Somando-se e subtraindo a as duas expressões membro a membro, obtemos: ºcosº.cos2)ººcos()ººcos( βαβαβα =−++

ºcosº.2)ººcos()ººcos( βαβαβα sen−=−−+

71

Façamos p=+ ºº βα e q=− ºº βα resolvendo o sistema tem-se que:

2

ºqp +

=α 2

ºqp −

=β

Temos então:

−

+−=−

−

+=+

2.

2.2ºcosºcos

2cos.

2cos.2ºcosºcos

qpsen

qpsenqp

qpqpqp

13.14 Redução ao 1º quadrante Qualquer ângulo do segundo, terceiro e quarto quadrante, tem relação com o primeiro quadrante. Com isso, podemos transformar esses ângulos com as seguintes relações: Redução do 2º quadrante para o 1º quadrante ººº180 βα =−→ Redução do 3º quadrante para o 1º quadrante ºº180 βα =+→ Redução do 4ºquadrante para o 1º quadrante ººº360 βα =−→ Obs: O ângulo α será o ângulo que queremos achar e o ângulo β , o ângulo do quadrante a ser reduzido.

Exercício da Função Trigonométrica

01) xsenxxf cos)( += , então o valor de

4

19πf é:

02) Se 5

3cos =x e 0

2<<− x

π, então a )(xtg vale:

03) Se 4

11cos23 22 =+ xxsen com

20

π<< x , então, calcule o )(xsen .

04) O valor de K para o qual ( ) 1cos..cos 2 =++ xsenxksenxx é:

05) Se 4

1cos

3

1== βα esen e se α e β estão no 1º quadrante, então ( )βα +sen é:

06)O valor de ( ) 000 20.10cot10 sengtg + é:

72

07) Qual é o período da função

−=4

2π

xseny

08) Determine o domínio das seguintes funções: a) ( )º60+= xtgy b) xy 6cos1+= 09) Determine o período, imagem, domínio e a paridade construindo o seu gráfico. a) senxy 3=

b) senxy += 3

c)

++=2

cos34π

xy

d) xy cos2 −=

e)

−=3

cos2π

xy

10) Qual o ângulo formado pelos ponteiros de um relógio ao marcar 5 horas e 45 minutos? 11) Mostre que )(cos).(.31)(cos)( 2266 xxsenxxsen −=+ . 12) É verdade que ?1º170º80 22 =+sensen Justifique.

13) O valor numérico da expressão º702

º20cos

º65cot

º25.2

º40

º50

seng

tg

sen

seny ++= é:

14) Determine º105cos,º75sen e º105sec 15) Prove que sencbacsenbasencsenbsenacbsenacbasen .cos.coscos..cos..cos.cos.)( ++−=++

16) Sendo 2

π=+ yx e

6

π=− yx simplifique a expressão )cos()( ayaxsen +−+ .

17) Se 102317 +=+ θsen , 2

0π

θ << então

+2

cos2

28θθ

sen é igual a:

73

Gabarito Potenciação

01) a) 4

1 b)

64

1 c)

5

1 d)

8

9 e)

10

1 f)

3

4 g)

10

7 h) 0 i)

24

11 j)

8

7

l) 3

2 m)

5

4 n)

2

1 o)

9

16 p)

12

19 q)

27

10 r)

3

16

Radicais

01) a) 212 b) 3 32− c) 2

53 d) 32 e) 3 48 f) 5 g) 217 h) 33

i) 22− j) 2

511 l) 130 m) 104 n) 4 105 o) 5 p) ( ) yxyx −+

q) 3 2 r) 2 s) 6

2

27 t) 6 2 u) 6 5 v) 8 3 x) 32 z) 8

2

1

Racionalização de Denominadores

01) a) 35 + b) 46

37 − c)

ba

bab

−−

9

)3.( d)

3

)25.(4 − e)

( )2

31.3 +−

f) 22 − g) ba

baa

4

)2.(

−+

h) ( )

11

5235.2 + i)

4

210 + j)

6

321 −

l) ( )

yx

yxx

−

−. m)

2

23 n) 5 o)

6

37 p)

19

1915 q)

5

35 r) ba 23

s) y

xyx 6 t)

a

a4 24 u)

3

95 23 yx v)

5

56 4 x x)

c

bcaab3 3

z) z

bzxx 8 532

Produtos Notáveis 01) a) 16164 2 ++ xx b) 643269 33 yyxyxx +++ c) 423264 69 aayxyx ++ d) 22 44 yxyx +− e) 32246 33 aaxaxx −+− f) yaxaxyayx 222222 +++++

74

g) 4233 4222 yy ++ h) 669186279 3 −+− i) 22 ya − j) 4322468 464 yyxyxyxx +−+− l) 15132 2 ++ xx m) 22 44 nmnm ++ n) 22 44 bxbx ++ o) 22 69 bxbx ++ p) 632 +− mm q) ba +− 29

r) 2

234

4

16743

a

aaa +++−

s) 332222223 6333333 mxamxxmammxaxmaxaa +++++++++

t) a3 u) b2 v) 227a x) pmmppm 101022522 +++++ z) 43m Fatoração 01) a) ( )( )( )22 yxyxyx ++− b) ( )( )yxyx +− c) ( )yzxzxyx +− 223 d) ( )8+xx

e) ( )67 −xx f) ( )212 +x g) ( )( )33 +− xx h) ( )( )33 +− xx i) ( )( )11 −+ xx j) ( )( )2323 +− xx l) ( )( )335 −+ xx m) ( )6−xx n) ( )3−xx o) ( )6+xx p) ( )( )13 −− xx

Polinômio a) axm 25 2 + b) 23 7yy −− c) 2am d) mmm −+− 23 2 e) 132 3 +− aa f) 81073 234 +−−+ aaaa g) 14 −a h) xxx 23 24 −− i) x – 5 j) x – 5 l) x + 3 m) 842 23 +++ xxx n) 1234 ++++ xxxx o) 3+x

Exercícios Gerais da 1ª parte

01) a) 2

1 b)

3

1 c)

3

4 d)

18

3 e) -

3

1 f) 0 g) 4 h) 3

i) a

a

2 j) -

56

1 l)

8

1 m)

8

1

75

02) a) 2 b) 1 c) 0 d) 6

5 e) 12 f)

2

2 g)

2

1 h)

23

1

a

a −

i) 2

75

Função do 1º grau

01) 4

3 02) { }3/ >∈ xRx 03) 5 04) -3 e

2

3− 05)

2

1 06) 0 07)

3

1

08) 5 09) 3

1

3)( −=

xxf 10) 2 x

11) a)

b)

<<−ℜ∈=

9

21/ xxS c) { }1/ >ℜ∈= xxS

12) { }2/ >ℜ∈= xxS 13) 15

36 14) 10,5ºC

Função do 2º grau

01) 9 02) 5

3 03) -24 04) ] [ ] [+∞∪−∞−= ;41;S 05) a) { }2/ >ℜ∈= xxS

05) b) 06) { }3/ ≤ℜ∈= xxS 07) 7 e 900 Função Modular

01 a) { }3,1=S b) { }22,22,2 +−−−=S c)

−−=

7

8,2S d) { }3,1−=S e) { }2,4−=S

02) a ) b)

c)

≥ℜ∈=

4

3/ xxS 03) { }2/ ≠ℜ∈= xxS

76

04) a) b) Função Exponencial 01) a) { }5/ >ℜ∈= xxS b)

02) 7 03) 9 04) 5 05) 4 06) 2 07) 2 e 2

1

08) a) b) c) d)

77

09) { }5,15,0/ <<−ℜ∈= xxS Função Logarítmica

01) 16

81 02)

3

2− 03)

2

5 04) 4 05)

3

4

06) a) b)

c)

07) a) 13 b) 3 c) ( ) ( ){ }4,2,2,4=S d)

=9

1,9S

08) a) { }54/ <<ℜ∈= xxS b) { }3/ >ℜ∈= xxS

78

Exercícios Gerais da 2ª Parte 01) a) b) c) d) e) f)

79

g)

02) a) b)

c) d)

e) f)

80

g) h)

i) j)

03) a) ( ) 42 2 −+x b)

−

+4

81

2

93

2

x c) 3

1

6

53

4

14

22

−

−+

+ yx

d) ( ) 8136 2 +−− x e) ( ) 93 2 −+y f) 4

3

2

15

3

19

22

+

−+

−− yx

g)

−

+4

81

2

99

2

x

Função Trigonométrica

01) 0 02)3

4− 03)

2

3 04) -2 05)

12

3021+ 06) 2 07) π

08) a) π b) 6

π

81

09) a) b)

c) d)

e)

10) 22,5º 11) dedução 12) dedução 13) 2

7 14)

4

62 +,

4

62 −, 62 −−

15) dedução 16) )(asen 17) 10812 +

82

14 - Bibliografia [1] Amaral, João Tomas. Manual Compacto de Matemática Teoria e Prática, 1º grau.

Editora Rideel; São Paulo, 1997. [2] Viveiro, Tânia Cristina NetoG.; Corrêa, Marlene Lima Pires Corrêa. Manual

Compacto de Matemática Teoria e Prática, 2º grau. Editora Rideel; São Paulo, 1996. [3] Hanselman, Duane; Littlefield, Bruce. Matlab 6 Curso Completo. Editora Prentice

Hall. São Paulo. [4] Iezzi, Gelson; Dolce,Osvaldo; Degenszajn, David Mauro; Périco, Roberto.

Matemática Volume Único. Editora Atual, São Paulo. 1197. [5] Mendonça, Francisco Antônio. Trigonometria, 2º grau. AVISO

1) O aluno que tiver mais de 25% das faltas não fará a prova, que

corresponde a 10 faltas, ou seja, 5 aulas.

2) Não tem segunda chamada de prova.

3) Teremos uma prova de valor 2 pontos que serão computados na

matéria de cálculo 1 e Geometria Analítica.

4) É dever do aluno, fazer os exercícios do módulo.

Qualquer dúvida falar com o coordenador (Artur Passos).

83