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Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Parte 1 Parte 1 Pré-Cálculo 1

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Pré-Cálculo

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Parte 1

Parte 1 Pré-Cálculo 1

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Apresentação do curso

Parte 1 Pré-Cálculo 2

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Conteúdo do curso

Conjuntos numéricos.Módulo e raízes.Resolução e representação geométricas das soluções deequações e inequações.Polinômios.Função real de variável real.Leitura gráfica.Trigonometria.Funções trigonométricas.

Parte 1 Pré-Cálculo 3

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Bibliografia

Iaci Malta; Sinésio Pesco; Hélio Lopes. Cálculo a UmaVariável. Volume 1: Uma Introdução ao Cálculo. ColeçãoMatMídia, Edições Loyola, Editora PUC-Rio, 2002.

Parte 1 Pré-Cálculo 4

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Bibliografia

Elon Lages Lima; Paulo Cezar Pinto Carvalho; EduardoWagner; Augusto César Morgado. A Matemática do EnsinoMédio. Volume 1. Coleção do Professor de Matemática,Sociedade Brasileira de Matemática, 2003.

Parte 1 Pré-Cálculo 5

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Bibliografia

James Stewart. Cálculo, volume 1, Quarta edição, EditoraPioneira, 2001.

Parte 1 Pré-Cálculo 6

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Bibliografia

George B. Thomas. Cálculo, volume 1, Décima edição,Editora Addison-Wesley, 2003.

Parte 1 Pré-Cálculo 7

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Bibliografia

Howard Anton. Cálculo – Um Novo Horizonte, volume 1,Sexta edição, Editora Bookman, 2000.

Parte 1 Pré-Cálculo 8

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Outras informações

Página WEB do curso: http://www.professores.uff.br/hjbortol/.Clique no link DISCIPLINAS no menu à esquerda.

Conteúdo: cronograma dia a dia, lista de execícios, materialextra, notas das provas.

Não deixe de consultar os horários de monitoria no GMA.

Vamos definir agora um horário de atendimento para estaturma.

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Outras informações

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Parte 1 Pré-Cálculo 11

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Datas das provas

1a VE 02/06/2016 (peso 2)

2a VE 26/07/2016 (peso 3)

VR 28/07/2016

VS 04/08/2016

Frequência mínima: 75%.

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Datas das provas

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2a VE 26/07/2016 (peso 3)

VR 28/07/2016

VS 04/08/2016

Frequência mínima: 75%.

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A reta numérica

Parte 1 Pré-Cálculo 14

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A reta numérica

(Ir para o GeoGebra)

Parte 1 Pré-Cálculo 15

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A reta numérica

Importante: no que se segue, ao contrário da convenção usual,empregaremos o ponto como separador decimal no lugar davírgula.

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Expansões decimais: exemplo 1

4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

= 4 + 3 · 110

+ 7 · 1100

+ 5 · 11000

= 4 + 3 · 110

+ 7 · 1102 + 5 · 1

103 .

Como representar o número 4.375 em uma reta numérica?

Parte 1 Pré-Cálculo 17

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Expansões decimais: exemplo 1

4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

= 4 + 3 · 110

+ 7 · 1100

+ 5 · 11000

= 4 + 3 · 110

+ 7 · 1102 + 5 · 1

103 .

Como representar o número 4.375 em uma reta numérica?

Parte 1 Pré-Cálculo 18

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Expansões decimais: exemplo 1

4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

= 4 + 3 · 110

+ 7 · 1100

+ 5 · 11000

= 4 + 3 · 110

+ 7 · 1102 + 5 · 1

103 .

Como representar o número 4.375 em uma reta numérica?

Parte 1 Pré-Cálculo 19

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Expansões decimais: exemplo 1

4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

= 4 + 3 · 110

+ 7 · 1100

+ 5 · 11000

= 4 + 3 · 110

+ 7 · 1102 + 5 · 1

103 .

Como representar o número 4.375 em uma reta numérica?

Parte 1 Pré-Cálculo 20

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Expansões decimais: exemplo 1

4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

= 4 + 3 · 110

+ 7 · 1100

+ 5 · 11000

= 4 + 3 · 110

+ 7 · 1102 + 5 · 1

103 .

Como representar o número 4.375 em uma reta numérica?

Parte 1 Pré-Cálculo 21

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Expansões decimais: exemplo 1

4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

= 4 + 3 · 110

+ 7 · 1100

+ 5 · 11000

= 4 + 3 · 110

+ 7 · 1102 + 5 · 1

103 .

Como representar o número 4.375 em uma reta numérica?

Parte 1 Pré-Cálculo 22

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Expansões decimais: exemplo 1

4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

4.375

Parte 1 Pré-Cálculo 23

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Expansões decimais: exemplo 1

4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

4.375

0 1

Parte 1 Pré-Cálculo 24

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Expansões decimais: exemplo 1

4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

4.375

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Parte 1 Pré-Cálculo 25

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Expansões decimais: exemplo 1

4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Parte 1 Pré-Cálculo 26

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Expansões decimais: exemplo 1

4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Parte 1 Pré-Cálculo 27

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Expansões decimais: exemplo 1

4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

4

4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5

Parte 1 Pré-Cálculo 28

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Expansões decimais: exemplo 1

4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

4

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5

Parte 1 Pré-Cálculo 29

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Expansões decimais: exemplo 1

4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

4

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5

Parte 1 Pré-Cálculo 30

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Expansões decimais: exemplo 1

4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

4

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5

Parte 1 Pré-Cálculo 31

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Expansões decimais: exemplo 1

4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

4

4.3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4.4

Parte 1 Pré-Cálculo 32

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Expansões decimais: exemplo 1

4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

4

4.3 4.31 4.32 4.33 4.34 4.35 4.36 4.37 4.38 4.39 4.4

Parte 1 Pré-Cálculo 33

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Expansões decimais: exemplo 1

4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

4

4.3 4.31 4.32 4.33 4.34 4.35 4.36 4.37 4.38 4.39 4.4

Parte 1 Pré-Cálculo 34

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Expansões decimais: exemplo 1

4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

4

4.3 4.31 4.32 4.33 4.34 4.35 4.36 4.37 4.38 4.39 4.4

Parte 1 Pré-Cálculo 35

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Expansões decimais: exemplo 1

4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

4

4.37 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4.38

Parte 1 Pré-Cálculo 36

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Expansões decimais: exemplo 1

4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

4

4.37 4.371 4.372 4.373 4.374 4.375 4.376 4.377 4.378 4.379 4.38

Parte 1 Pré-Cálculo 37

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Expansões decimais: exemplo 1

4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

4

4.37 4.371 4.372 4.373 4.374 4.375 4.376 4.377 4.378 4.379 4.38

Parte 1 Pré-Cálculo 38

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Expansões decimais: exemplo 1

4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

4

4.37 4.371 4.372 4.373 4.374 4.375 4.376 4.377 4.378 4.379 4.38

Parte 1 Pré-Cálculo 39

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Expansões decimais: exemplo 2

0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

= 3 · 110

+ 3 · 1100

+ 3 · 11000

+ · · ·

= 3 · 110

+ 3 · 1102 + 3 · 1

103 + · · ·

= 3 ·

[1

10+

(1

10

)2

+

(110

)3

+ · · ·

](∗)= 3 ·

[1/10

1− (1/10)

]=

13.

Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.

Parte 1 Pré-Cálculo 40

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Expansões decimais: exemplo 2

0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

= 3 · 110

+ 3 · 1100

+ 3 · 11000

+ · · ·

= 3 · 110

+ 3 · 1102 + 3 · 1

103 + · · ·

= 3 ·

[1

10+

(1

10

)2

+

(110

)3

+ · · ·

](∗)= 3 ·

[1/10

1− (1/10)

]=

13.

Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.

Parte 1 Pré-Cálculo 41

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Expansões decimais: exemplo 2

0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

= 3 · 110

+ 3 · 1100

+ 3 · 11000

+ · · ·

= 3 · 110

+ 3 · 1102 + 3 · 1

103 + · · ·

= 3 ·

[1

10+

(1

10

)2

+

(110

)3

+ · · ·

](∗)= 3 ·

[1/10

1− (1/10)

]=

13.

Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.

Parte 1 Pré-Cálculo 42

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Expansões decimais: exemplo 2

0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

= 3 · 110

+ 3 · 1100

+ 3 · 11000

+ · · ·

= 3 · 110

+ 3 · 1102 + 3 · 1

103 + · · ·

= 3 ·

[1

10+

(1

10

)2

+

(110

)3

+ · · ·

](∗)= 3 ·

[1/10

1− (1/10)

]=

13.

Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.

Parte 1 Pré-Cálculo 43

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Expansões decimais: exemplo 2

0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

= 3 · 110

+ 3 · 1100

+ 3 · 11000

+ · · ·

= 3 · 110

+ 3 · 1102 + 3 · 1

103 + · · ·

= 3 ·

[1

10+

(1

10

)2

+

(110

)3

+ · · ·

](∗)= 3 ·

[1/10

1− (1/10)

]=

13.

Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.

Parte 1 Pré-Cálculo 44

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Expansões decimais: exemplo 2

0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

= 3 · 110

+ 3 · 1100

+ 3 · 11000

+ · · ·

= 3 · 110

+ 3 · 1102 + 3 · 1

103 + · · ·

= 3 ·

[1

10+

(1

10

)2

+

(110

)3

+ · · ·

](∗)= 3 ·

[1/10

1− (1/10)

]=

13.

Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.

Parte 1 Pré-Cálculo 45

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Expansões decimais: exemplo 2

0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

= 3 · 110

+ 3 · 1100

+ 3 · 11000

+ · · ·

= 3 · 110

+ 3 · 1102 + 3 · 1

103 + · · ·

= 3 ·

[1

10+

(1

10

)2

+

(110

)3

+ · · ·

](∗)= 3 ·

[1/10

1− (1/10)

]=

13.

Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.

Parte 1 Pré-Cálculo 46

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Expansões decimais: exemplo 2

0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

= 3 · 110

+ 3 · 1100

+ 3 · 11000

+ · · ·

= 3 · 110

+ 3 · 1102 + 3 · 1

103 + · · ·

= 3 ·

[1

10+

(1

10

)2

+

(110

)3

+ · · ·

](∗)= 3 ·

[1/10

1− (1/10)

]=

13.

Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.

Parte 1 Pré-Cálculo 47

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Expansões decimais: exemplo 2

0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

= 3 · 110

+ 3 · 1100

+ 3 · 11000

+ · · ·

= 3 · 110

+ 3 · 1102 + 3 · 1

103 + · · ·

= 3 ·

[1

10+

(1

10

)2

+

(110

)3

+ · · ·

](∗)= 3 ·

[1/10

1− (1/10)

]=

13.

Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.

Parte 1 Pré-Cálculo 48

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Expansões decimais: exemplo 2

0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

4.375

Parte 1 Pré-Cálculo 49

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Expansões decimais: exemplo 2

0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

4.375

0 1

Parte 1 Pré-Cálculo 50

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Expansões decimais: exemplo 2

0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

4.375

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Parte 1 Pré-Cálculo 51

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Expansões decimais: exemplo 2

0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Parte 1 Pré-Cálculo 52

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Expansões decimais: exemplo 2

0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Parte 1 Pré-Cálculo 53

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Expansões decimais: exemplo 2

0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

4

0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1

Parte 1 Pré-Cálculo 54

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Expansões decimais: exemplo 2

0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Parte 1 Pré-Cálculo 55

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Expansões decimais: exemplo 2

0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Parte 1 Pré-Cálculo 56

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Expansões decimais: exemplo 2

0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Parte 1 Pré-Cálculo 57

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Expansões decimais: exemplo 2

0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

4

0.3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0.4

Parte 1 Pré-Cálculo 58

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Expansões decimais: exemplo 2

0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

4

0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4

Parte 1 Pré-Cálculo 59

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Expansões decimais: exemplo 2

0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

4

0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4

Parte 1 Pré-Cálculo 60

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Expansões decimais: exemplo 2

0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

4

0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4

Parte 1 Pré-Cálculo 61

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Expansões decimais: exemplo 2

0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

4

0.33 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0.34

Parte 1 Pré-Cálculo 62

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Expansões decimais: exemplo 2

0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

4

0.33 0.331 0.332 0.333 0.334 0.335 0.336 0.337 0.338 0.339 0.34

Parte 1 Pré-Cálculo 63

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Expansões decimais: exemplo 2

0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

4

0.33 0.331 0.332 0.333 0.334 0.335 0.336 0.337 0.338 0.339 0.34

Parte 1 Pré-Cálculo 64

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Expansões decimais: exemplo 2

0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

E assim por diante. . .

0.33 0.331 0.332 0.333 0.334 0.335 0.336 0.337 0.338 0.339 0.34

Parte 1 Pré-Cálculo 65

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Expansões decimais: exemplo 3

0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·

= 9 · 110

+ 9 · 1100

+ 9 · 11000

+ · · ·

= 9 · 110

+ 9 · 1102 + 9 · 1

103 + · · ·

= 9 ·

[1

10+

(1

10

)2

+

(110

)3

+ · · ·

](∗)= 9 ·

[1/10

1− (1/10)

]= 1.

Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.

Parte 1 Pré-Cálculo 66

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Expansões decimais: exemplo 3

0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·

= 9 · 110

+ 9 · 1100

+ 9 · 11000

+ · · ·

= 9 · 110

+ 9 · 1102 + 9 · 1

103 + · · ·

= 9 ·

[1

10+

(1

10

)2

+

(110

)3

+ · · ·

](∗)= 9 ·

[1/10

1− (1/10)

]= 1.

Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.

Parte 1 Pré-Cálculo 67

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Expansões decimais: exemplo 3

0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·

= 9 · 110

+ 9 · 1100

+ 9 · 11000

+ · · ·

= 9 · 110

+ 9 · 1102 + 9 · 1

103 + · · ·

= 9 ·

[1

10+

(1

10

)2

+

(110

)3

+ · · ·

](∗)= 9 ·

[1/10

1− (1/10)

]= 1.

Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.

Parte 1 Pré-Cálculo 68

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Expansões decimais: exemplo 3

0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·

= 9 · 110

+ 9 · 1100

+ 9 · 11000

+ · · ·

= 9 · 110

+ 9 · 1102 + 9 · 1

103 + · · ·

= 9 ·

[1

10+

(1

10

)2

+

(110

)3

+ · · ·

](∗)= 9 ·

[1/10

1− (1/10)

]= 1.

Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.

Parte 1 Pré-Cálculo 69

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Expansões decimais: exemplo 3

0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·

= 9 · 110

+ 9 · 1100

+ 9 · 11000

+ · · ·

= 9 · 110

+ 9 · 1102 + 9 · 1

103 + · · ·

= 9 ·

[1

10+

(1

10

)2

+

(110

)3

+ · · ·

](∗)= 9 ·

[1/10

1− (1/10)

]= 1.

Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.

Parte 1 Pré-Cálculo 70

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Expansões decimais: exemplo 3

0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·

= 9 · 110

+ 9 · 1100

+ 9 · 11000

+ · · ·

= 9 · 110

+ 9 · 1102 + 9 · 1

103 + · · ·

= 9 ·

[1

10+

(1

10

)2

+

(110

)3

+ · · ·

](∗)= 9 ·

[1/10

1− (1/10)

]= 1.

Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.

Parte 1 Pré-Cálculo 71

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Expansões decimais: exemplo 3

0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·

= 9 · 110

+ 9 · 1100

+ 9 · 11000

+ · · ·

= 9 · 110

+ 9 · 1102 + 9 · 1

103 + · · ·

= 9 ·

[1

10+

(1

10

)2

+

(110

)3

+ · · ·

](∗)= 9 ·

[1/10

1− (1/10)

]= 1.

Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.

Parte 1 Pré-Cálculo 72

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Expansões decimais: exemplo 3

0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·

= 9 · 110

+ 9 · 1100

+ 9 · 11000

+ · · ·

= 9 · 110

+ 9 · 1102 + 9 · 1

103 + · · ·

= 9 ·

[1

10+

(1

10

)2

+

(110

)3

+ · · ·

](∗)= 9 ·

[1/10

1− (1/10)

]= 1.

Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.

Parte 1 Pré-Cálculo 73

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Expansões decimais: exemplo 3

0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·

= 9 · 110

+ 9 · 1100

+ 9 · 11000

+ · · ·

= 9 · 110

+ 9 · 1102 + 9 · 1

103 + · · ·

= 9 ·

[1

10+

(1

10

)2

+

(110

)3

+ · · ·

](∗)= 9 ·

[1/10

1− (1/10)

]= 1.

Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.

Parte 1 Pré-Cálculo 74

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Expansões decimais: exemplo 3

0.9 = 1

Moral:existem números reais que possuemduas expressões decimais diferentes!

Parte 1 Pré-Cálculo 75

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Expansões decimais

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Parte 1 Pré-Cálculo 76

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Exercício

Na reta numérica abaixo, estão indicados quatro pontos: A, B,C e D. Qual ponto corresponde ao número −2/5?

−3 −2 −1 0 1 2 3

A B C D

Resposta: B.

Parte 1 Pré-Cálculo 77

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Exercício

Na reta numérica abaixo, estão indicados quatro pontos: A, B,C e D. Qual ponto corresponde ao número −2/5?

−3 −2 −1 0 1 2 3

A B C D

Resposta: B.

Parte 1 Pré-Cálculo 78

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Exercício

Na reta numérica abaixo, a = −2/3 e b = 3/10. O intervalo [a,b]encontra-se dividido em sete partes iguais. Determine o valorde x indicado na figura.

a bx

Resposta: x = −41/105.

Parte 1 Pré-Cálculo 79

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Exercício

Na reta numérica abaixo, a = −2/3 e b = 3/10. O intervalo [a,b]encontra-se dividido em sete partes iguais. Determine o valorde x indicado na figura.

a bx

Resposta: x = −41/105.

Parte 1 Pré-Cálculo 80

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Intervalos

Parte 1 Pré-Cálculo 81

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Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Parte 1 Pré-Cálculo 82

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Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Parte 1 Pré-Cálculo 83

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Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Parte 1 Pré-Cálculo 84

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Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Parte 1 Pré-Cálculo 85

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Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Parte 1 Pré-Cálculo 86

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Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Parte 1 Pré-Cálculo 87

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Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Parte 1 Pré-Cálculo 88

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Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Parte 1 Pré-Cálculo 89

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Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Parte 1 Pré-Cálculo 90

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Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Parte 1 Pré-Cálculo 91

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Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Parte 1 Pré-Cálculo 92

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Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Parte 1 Pré-Cálculo 93

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Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Parte 1 Pré-Cálculo 94

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Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Parte 1 Pré-Cálculo 95

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Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Parte 1 Pré-Cálculo 96

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Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Parte 1 Pré-Cálculo 97

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Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Parte 1 Pré-Cálculo 98

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Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Parte 1 Pré-Cálculo 99

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Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Parte 1 Pré-Cálculo 100

Page 101: Pré-Cálculo fileJames Stewart.Cálculo, volume 1, Quarta edição, Editora Pioneira, 2001. Parte 1 Pré-Cálculo 6. Bibliografia George B. Thomas.Cálculo, volume 1, Décima edição,

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Parte 1 Pré-Cálculo 101

Page 102: Pré-Cálculo fileJames Stewart.Cálculo, volume 1, Quarta edição, Editora Pioneira, 2001. Parte 1 Pré-Cálculo 6. Bibliografia George B. Thomas.Cálculo, volume 1, Décima edição,

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Parte 1 Pré-Cálculo 102

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Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b

:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.

Parte 1 Pré-Cálculo 103

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Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado

, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.

Parte 1 Pré-Cálculo 104

Page 105: Pré-Cálculo fileJames Stewart.Cálculo, volume 1, Quarta edição, Editora Pioneira, 2001. Parte 1 Pré-Cálculo 6. Bibliografia George B. Thomas.Cálculo, volume 1, Décima edição,

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto

, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.

Parte 1 Pré-Cálculo 105

Page 106: Pré-Cálculo fileJames Stewart.Cálculo, volume 1, Quarta edição, Editora Pioneira, 2001. Parte 1 Pré-Cálculo 6. Bibliografia George B. Thomas.Cálculo, volume 1, Décima edição,

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda

, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.

Parte 1 Pré-Cálculo 106

Page 107: Pré-Cálculo fileJames Stewart.Cálculo, volume 1, Quarta edição, Editora Pioneira, 2001. Parte 1 Pré-Cálculo 6. Bibliografia George B. Thomas.Cálculo, volume 1, Décima edição,

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita

. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.

Parte 1 Pré-Cálculo 107

Page 108: Pré-Cálculo fileJames Stewart.Cálculo, volume 1, Quarta edição, Editora Pioneira, 2001. Parte 1 Pré-Cálculo 6. Bibliografia George B. Thomas.Cálculo, volume 1, Décima edição,

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados

: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.

Parte 1 Pré-Cálculo 108

Page 109: Pré-Cálculo fileJames Stewart.Cálculo, volume 1, Quarta edição, Editora Pioneira, 2001. Parte 1 Pré-Cálculo 6. Bibliografia George B. Thomas.Cálculo, volume 1, Décima edição,

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b.

Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.

Parte 1 Pré-Cálculo 109

Page 110: Pré-Cálculo fileJames Stewart.Cálculo, volume 1, Quarta edição, Editora Pioneira, 2001. Parte 1 Pré-Cálculo 6. Bibliografia George B. Thomas.Cálculo, volume 1, Décima edição,

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas.

Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.

Parte 1 Pré-Cálculo 110

Page 111: Pré-Cálculo fileJames Stewart.Cálculo, volume 1, Quarta edição, Editora Pioneira, 2001. Parte 1 Pré-Cálculo 6. Bibliografia George B. Thomas.Cálculo, volume 1, Décima edição,

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.

Parte 1 Pré-Cálculo 111

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Observações

Outras notações para intervalos (notação francesa):

]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),

[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.

Quais as vantagens desta notação? Resposta: para resolverambiguidades. Por exemplo, (2,3) representa um intervalo ouum par ordenado?

−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.

Parte 1 Pré-Cálculo 112

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Observações

Outras notações para intervalos (notação francesa):

]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),

[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.

Quais as vantagens desta notação? Resposta: para resolverambiguidades. Por exemplo, (2,3) representa um intervalo ouum par ordenado?

−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.

Parte 1 Pré-Cálculo 113

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Observações

Outras notações para intervalos (notação francesa):

]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),

[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.

Quais as vantagens desta notação? Resposta: para resolverambiguidades. Por exemplo, (2,3) representa um intervalo ouum par ordenado?

−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.

Parte 1 Pré-Cálculo 114

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Observações

Outras notações para intervalos (notação francesa):

]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),

[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.

Quais as vantagens desta notação? Resposta: para resolverambiguidades. Por exemplo, (2,3) representa um intervalo ouum par ordenado?

−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.

Parte 1 Pré-Cálculo 115

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Observações

Outras notações para intervalos (notação francesa):

]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),

[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.

Quais as vantagens desta notação? Resposta: para resolverambiguidades. Por exemplo, (2,3) representa um intervalo ouum par ordenado?

−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.

Parte 1 Pré-Cálculo 116

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Observações

Outras notações para intervalos (notação francesa):

]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),

[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.

Quais as vantagens desta notação? Resposta: para resolverambiguidades. Por exemplo, (2,3) representa um intervalo ouum par ordenado?

−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.

Parte 1 Pré-Cálculo 117

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Observações

Outras notações para intervalos (notação francesa):

]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),

[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.

Quais as vantagens desta notação? Resposta: para resolverambiguidades. Por exemplo, (2,3) representa um intervalo ouum par ordenado?

−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.

Parte 1 Pré-Cálculo 118

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Observações

Outras notações para intervalos (notação francesa):

]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),

[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.

Quais as vantagens desta notação? Resposta: para resolverambiguidades. Por exemplo, (2,3) representa um intervalo ouum par ordenado?

−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.

Parte 1 Pré-Cálculo 119

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Observações

Outras notações para intervalos (notação francesa):

]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),

[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.

Quais as vantagens desta notação? Resposta: para resolverambiguidades. Por exemplo, (2,3) representa um intervalo ouum par ordenado?

−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.

Parte 1 Pré-Cálculo 120

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Observações

Outras notações para intervalos (notação francesa):

]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),

[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.

Quais as vantagens desta notação? Resposta: para resolverambiguidades. Por exemplo, (2,3) representa um intervalo ouum par ordenado?

−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.

Parte 1 Pré-Cálculo 121

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Observações

Outras notações para intervalos (notação francesa):

]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),

[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.

Quais as vantagens desta notação? Resposta: para resolverambiguidades. Por exemplo, (2,3) representa um intervalo ouum par ordenado?

−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.

Parte 1 Pré-Cálculo 122

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Observações

Outras notações para intervalos (notação francesa):

]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),

[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.

Quais as vantagens desta notação? Resposta: para resolverambiguidades. Por exemplo, (2,3) representa um intervalo ouum par ordenado?

−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.

Parte 1 Pré-Cálculo 123

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Intervalos

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}

a b

Parte 1 Pré-Cálculo 124

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Intervalos

(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}

a b

Parte 1 Pré-Cálculo 125

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Intervalos

[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}

a b

Parte 1 Pré-Cálculo 126

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Intervalos

(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}

a b

Parte 1 Pré-Cálculo 127

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Intervalos

(−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b}

b

Parte 1 Pré-Cálculo 128

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Intervalos

(−∞,b) = {x ∈ R | x < b}

b

Parte 1 Pré-Cálculo 129

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Intervalos

[a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x}

a

Parte 1 Pré-Cálculo 130

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Intervalos

(a,+∞) = {x ∈ R | a < x}

a

Parte 1 Pré-Cálculo 131

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Intervalos

A = {2,3}, B = [2,3], C =]2,3[.

(1) Quantos elementos tem cada conjunto?Resposta: A tem 2 elementos, B e C têm infinitos elementos.

(2) Qual é o menor elemento de cada conjunto?Resposta: o menor elemento dos conjuntos A e B é 2, C nãopossui um menor elemento.

Parte 1 Pré-Cálculo 132

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Intervalos

A = {2,3}, B = [2,3], C =]2,3[.

(1) Quantos elementos tem cada conjunto?Resposta: A tem 2 elementos, B e C têm infinitos elementos.

(2) Qual é o menor elemento de cada conjunto?Resposta: o menor elemento dos conjuntos A e B é 2, C nãopossui um menor elemento.

Parte 1 Pré-Cálculo 133

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Intervalos

A = {2,3}, B = [2,3], C =]2,3[.

(1) Quantos elementos tem cada conjunto?Resposta: A tem 2 elementos, B e C têm infinitos elementos.

(2) Qual é o menor elemento de cada conjunto?Resposta: o menor elemento dos conjuntos A e B é 2, C nãopossui um menor elemento.

Parte 1 Pré-Cálculo 134

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Intervalos

A = {2,3}, B = [2,3], C =]2,3[.

(1) Quantos elementos tem cada conjunto?Resposta: A tem 2 elementos, B e C têm infinitos elementos.

(2) Qual é o menor elemento de cada conjunto?Resposta: o menor elemento dos conjuntos A e B é 2, C nãopossui um menor elemento.

Parte 1 Pré-Cálculo 135

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Intervalos

Apresente infinitos racionais e infinitos irracionais quepertençam ao intervalo [2,3].

Racionais:x1 = 2.01, x2 = 2.001, x3 = 2.0001, . . . , xn = 2.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸

n zeros

1, . . .

Irracionais:y1 =

√5+ 0.01, y2 =

√5+ 0.001, . . . , yn =

√5+ 0.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸

n zeros

1, . . .

Parte 1 Pré-Cálculo 136

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Intervalos

Apresente infinitos racionais e infinitos irracionais quepertençam ao intervalo [2,3].

Racionais:x1 = 2.01, x2 = 2.001, x3 = 2.0001, . . . , xn = 2.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸

n zeros

1, . . .

Irracionais:y1 =

√5+ 0.01, y2 =

√5+ 0.001, . . . , yn =

√5+ 0.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸

n zeros

1, . . .

Parte 1 Pré-Cálculo 137

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Intervalos

Apresente infinitos racionais e infinitos irracionais quepertençam ao intervalo [2,3].

Racionais:x1 = 2.01, x2 = 2.001, x3 = 2.0001, . . . , xn = 2.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸

n zeros

1, . . .

Irracionais:y1 =

√5+ 0.01, y2 =

√5+ 0.001, . . . , yn =

√5+ 0.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸

n zeros

1, . . .

Parte 1 Pré-Cálculo 138

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Intervalos

Apresente infinitos racionais e infinitos irracionais quepertençam ao intervalo [2,3].

Racionais:x1 = 2.01, x2 = 2.001, x3 = 2.0001, . . . , xn = 2.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸

n zeros

1, . . .

Irracionais:y1 =

√5+ 0.01, y2 =

√5+ 0.001, . . . , yn =

√5+ 0.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸

n zeros

1, . . .

Parte 1 Pré-Cálculo 139

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Intervalos

Apresente infinitos racionais e infinitos irracionais quepertençam ao intervalo [2,3].

Racionais:x1 = 2.01, x2 = 2.001, x3 = 2.0001, . . . , xn = 2.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸

n zeros

1, . . .

Irracionais:y1 =

√5+ 0.01, y2 =

√5+ 0.001, . . . , yn =

√5+ 0.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸

n zeros

1, . . .

Parte 1 Pré-Cálculo 140

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Intervalos

Apresente infinitos racionais e infinitos irracionais quepertençam ao intervalo [2,3].

Racionais:x1 = 2.01, x2 = 2.001, x3 = 2.0001, . . . , xn = 2.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸

n zeros

1, . . .

Irracionais:y1 =

√5+ 0.01, y2 =

√5+ 0.001, . . . , yn =

√5+ 0.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸

n zeros

1, . . .

Parte 1 Pré-Cálculo 141

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Intervalos

Apresente infinitos racionais e infinitos irracionais quepertençam ao intervalo [2,3].

Racionais:x1 = 2.01, x2 = 2.001, x3 = 2.0001, . . . , xn = 2.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸

n zeros

1, . . .

Irracionais:y1 =

√5+ 0.01, y2 =

√5+ 0.001, . . . , yn =

√5+ 0.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸

n zeros

1, . . .

Parte 1 Pré-Cálculo 142

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Intervalos

Apresente infinitos racionais e infinitos irracionais quepertençam ao intervalo [2,3].

Racionais:x1 = 2.01, x2 = 2.001, x3 = 2.0001, . . . , xn = 2.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸

n zeros

1, . . .

Irracionais:y1 =

√5+ 0.01, y2 =

√5+ 0.001, . . . , yn =

√5+ 0.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸

n zeros

1, . . .

Parte 1 Pré-Cálculo 143

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Intervalos

Apresente infinitos racionais e infinitos irracionais quepertençam ao intervalo [2,3].

Racionais:x1 = 2.01, x2 = 2.001, x3 = 2.0001, . . . , xn = 2.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸

n zeros

1, . . .

Irracionais:y1 =

√5+ 0.01, y2 =

√5+ 0.001, . . . , yn =

√5+ 0.0 . . . 0︸ ︷︷ ︸

n zeros

1, . . .

Parte 1 Pré-Cálculo 144