PLANO

CARTESIANO

x

y

O (0, 0)

1º quadrante 2º quadrante

3º quadrante 4º quadrante

eixo das

abscissas

eixo das ordenadas

Origem

P

x

y

O

4

3

P(3, 4)

abscissa do

ponto P

ordenado do

ponto P

No caso, 3 e 4 são as

coordenadas de P.

x O

y

A

B

C

D

E

F

G

H

A (4, 0)

B (1, 5)

C (0, 3)

D (–2, 2)

E (–1, 0)

F (–3, –3)

G (0, –3)

H (–1, 3)

RELAÇÕES BINÁRIAS

PRODUTO CARTESIANO

Dados os conjuntos A e B, chamamos de produto

cartesiano de A por B (A X B) o conjuntos de todos os

pares ordenados (x, y) que podem ser formados com

primeiro elemento de A e segundo elemento de B.

A X B = { (x, y) / x ∈ A e y ∈ B}

Onde x é a abscissa do par e y é a ordenada.

Os elementos x e y são as coordenadas do par.

(1, 4),

EX1 DA PAG. 1

Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {4, 5}, determine: A

X B, B X A e B2.

A X B = { (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5) }

B X A = { (4, 1), (4, 3), (4, 2), (5, 1), (5, 2), (5, 3) }

B2 = B X B = { (4, 4), (5, 4), (4, 5), (5, 5) }

REPRESENTAÇÃO

DO PRODUTO CARTESIANO

1

2

3

4

5

AXB

DIAGRAMA DE “FLECHAS”

A B

x

y

O

AXB REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA

1 2 3

4

5

EXEMPLO

Dados os conjuntos A = { x ∈ R / 1 ≤ x ≤ 3 } e

B = { x ∈ R / 1 < x ≤ 2 }, determine A X B.

x 0 1 3

1

2

EX2 DA PAG.2

Dados os conjuntos A = { x ∈ R / 2 ≤ x < 5 } e

B = { x ∈ R / 1 < x ≤ 4 }, determine A X B.

x 0 2 5

1

4

OBS: A = { x ∈ R / 2 ≤ x < 5 } A = [ 2 , 5) e B = { x ∈ R / 1 < x ≤ 4 } B = ( 1 , 4 ]

RELAÇÕES

RELAÇÃO

Chama-se relação R de A em B a qualquer subconjunto de

A X B.

R é uma relação de A em B ⇔ R ⊂ (A X B).

EXEMPLO Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {4, 5}, construir o

conjunto R dos pares ordenados de A X B, tais que o

primeiro e o segundo termos sejam ímpares.

1

2

3

4

5

A B

R

R = { (1, 5), (x, y) ∈ A X B / x e y são

impares

(3, 5) } = { }

(1, 4), A X B = { (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5) }

EX 3 PAG. 2 Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {4, 5}, construir o

conjunto R dos pares ordenados de A X B, tais que o

segundo termo seja o dobro do primeiro mais um.

1

2

3

4

5

A B

R

R = { (2, 5) (x, y) ∈ A X B / y= 2x + 1 } = { }

(1, 4), A X B = { (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5) } (1, 5),

x

y

O

VEJA O GRÁFICO DA RELAÇÃO R: A → B

1 2 3

4

5

FUNÇÕES

CONCEITO E ELEMENTOS

CONCEITO DE FUNÇÃO

Analisar um fenômeno natural, econômico ou social, por

exemplo, significa relacionar as variáveis envolvidas nele.

A ciência ocupa-se da representação e da análise dessas

relações de dependência, às quais damos o nome de

funções.

EXEMPLO

Um corpo se move sobre um eixo com velocidade inicial de 6 m/s,

mantendo uma aceleração constante de 3 m/s2. Sua velocidade v

(em metros) está relacionada com o tempo t (em segundos).

Obter a fórmula da velocidade e construir o gráfico v x t.

12 2

9 1

6 0

v(m/s) t(s)

t (s)

v (m/s)

0

12

6

1 2 v = 6 + 3.t

9

CONCEITO DE FUNÇÃO

O conceito de função sofreu muitas mudanças ao longo

do tempo.

Alguns historiadores creditam ao babilônios (2000 a.C.,

aproximadamente) as primeiras idéias sobre funções.

Mas foi René Descartes (Século XVII) quem primeiro

usou a palavra função. Para ele função era qualquer

potência de uma variável (x2, x3, x4, etc.).

CONCEITO DE FUNÇÃO

De maneira geral, se a variável x assume valores

em um conjunto A e a variável y assume valores

em um conjunto B, podemos definir:

Função de A em B é toda relação f de A em B que, a cada elemento x de A, associa um único elemento y de B.

CONCEITO DE FUNÇÃO

Suponha que 5 alunos fizeram uma prova de

múltipla escolha. Ela tinha 8 questões. Cada uma

valia um ponto. Vamos considerar os conjuntos

dos alunos A = {1, 2, 3, 4, 5};

dos pontos B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};

CONCEITO DE FUNÇÃO

Vamos representar o resultado da prova de três

formas diferentes

A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};

Por uma tabela

Aluno 1 2 3 4 5

nota 6 3 7 8 7

Por um conjunto de pares ordenados

{(1, 6), (2, 3), (3, 7), (4, 8), (5, 7)};

CONCEITO DE FUNÇÃO

Vamos representar o resultado da prova de três

formas diferentes

A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};

Por um diagrama de conjuntos

1 2

3 2

A B

0 1 3

4 5

4 5

6 7

8

(x) (y) f

CONCEITO DE FUNÇÃO

O diagrama ilustra uma função f de A em B.

f: A→B x y

A B

f

O conjunto A é o domínio da função;

O conjunto B é o contradomínio da função;

x é a variável independente;

y é a variável dependente;

y é a imagem de x, pela função. y = f(x)

CONCEITO DE FUNÇÃO

No exemplo anterior temos:

1 2

3 2

A B

0 1 3

4 5

4 5

6 7

8

(x) (y) f

a imagem de 1 é 6: f(1) = 6

a imagem de 2 é 3: f(2) = 3

a imagem de 3 é 7: f(3) = 7

a imagem de 4 é 8: f(4) = 8

a imagem de 5 é 7: f(5) = 7

Im(f) ou f(A) = {3, 6, 7, 8}

Im(f) B (contradomínio)

Mostrar que o diagrama a seguir representa uma função f de A em B. Em seguida, determinar

1. seu domínio e contradomínio;

2. f(1), f(2) e f(3);

3. Seu conjunto imagem;

4. O conjunto-solução da equação f(x) = 7.

1

2

3 8

A B

5

7

9

f(1) = 5; f(2) = 7 e f(3) = 7

D(f) = A = {1, 2, 3}

CD(f) = B = {5, 7, 8, 9}

Im(f) = {5, 7}

Exemplo

S = {2, 3}

Exemplo

Mostrar que o diagrama abaixo não representa uma função

de A em B.

3

4

5 6

A B

8

7

9

um único elemento de A (o 4) está associado a dois

elementos em B.

Além disso, um elemento de A (o 5) não está

associado a nenhum elemento de B.

EX 4 – PAG. 2

Dados os conjuntos A = {0,1,9} e B = {0,1,2,3,4},

determine se a relação f: { (x,y) E AXB/y=√x + 1}

é função

0

1

A B

0

1

9

2

3

4

(x) (y) f

a imagem de 0 é 1: f(0) = 1

a imagem de 1 é 2: f(1) = 2

a imagem de 9 é 4: f(9) = 4

Im(f) ou f(A) = {1, 2, 4 }

Im(f) B (contradomínio)

FUNÇÕES REAIS

Vamos dar ênfase a funções que tem como domínio e

contradomínio, subconjuntos de R. Elas se chamam

funções numéricas ou funções reais.

Em geral, a lei que define uma função real é expressa por

uma fórmula, ou seja, a variável dependente y é obtida por

meio de um conjunto de operações sobre a variável

dependente x.

Funções reais

y = f(x) = x2 + x – 3.

x = –2 ⇒ y = f(–2) = (–2)2 + (–2) – 3

x = 0 ⇒ y = f(0) = (0)2 + (0) – 3

x = 1 ⇒ y = f(1) = (1)2 + (1) – 3

x = 2 ⇒ y = f(2) = (2)2 + (2) – 3

Im(f) = {–3, –1, 3}

f = {(–2, –1), (0, –3), (1, –1), (2, 3)}

Exemplo

É dada a função real f:{–2, 0, 1, 2} → R definida pela lei

y = f(x) = x2 + x – 3. Determinar suas imagens, conjunto imagem e gráfico

cartesiano.

= –1

= –3

= –1

= 3

x 0 1 2

1

3

y

–2 –1

–1

–3

f = {(–2, –1), (0, –3), (1, –1), (2, 3)}

Veja o gráfico da função

y = g(x) = 2x – 1.

x = 0 ⇒ y = g(0) = 2.0 – 1

x = 1 ⇒ y = g(1) = 2.1 – 1

x = 3 ⇒ y = g(3) = 2.3 – 1

Obtivemos os pontos A(0, –1), B(1, 1) e C(3, 5).

Construir o gráfico cartesiano da função real g:R+→R, dada por

y = g(x) = 2x – 1. A partir do gráfico determinar o seu conjunto imagem.

Exemplo

= –1

= 1

= 5

Veja o gráfico da função

x

y

–1 1

1

3

5

A(0, –1), B(1, 1) e

C(3, 5).

A

B

C

Im(f) = [–1, +∞[

g:R+→ R

RECONHECENDO GRÁFICO

DE FUNÇÕES REAIS

x

y

0

Analise se o gráfico abaixo representa uma função real, de

domínio [1, 4].

1 2 3 4

Exemplo

x

y

0 1 2 3 4

Analise se o gráfico abaixo representa uma função real, de domínio [1, 4].

Exemplo

x

y

0 1 2 3 4

1

2

3

–1

Vamos analisar agora se o gráfico a seguir representa uma função real, de

domínio [–1, 4].

Exemplo

OS GRÁFICOS ANALISADOS SUGEREM UMA REGRA

GERAL. COMO IDENTIFICAR SE UM DADO GRÁFICO É

UMA FUNÇÃO Y = F(X), DE DOMÍNIO D?

Imaginamos todas as retas paralelas ao eixo y, por um

ponto x do domínio D.

Temos uma função só se todas elas interceptam o gráfico

num único ponto.

DOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM A

PARTIR DO GRÁFICO

CARTESIANO

DOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM

O domínio é obtido projetando todos os pontos do gráfico

da função no eixo das abscissas;

O conjunto imagem é obtido projetando os pontos do

gráfico da função no eixo das ordenadas.

x

y

0

1

2 5

4

ANALISE O GRÁFICO DA FUNÇÃO ABAIXO E DETERMINE O

SEU DOMÍNIO E O SEU CONJUNTO IMAGEM.

D = [2, 5[

Im = [1, 4[

x

y

0 –1

2

D = [–1, [

Im = ]– , 2 ]

ANALISE O GRÁFICO DA FUNÇÃO ABAIXO E DETERMINE O

SEU DOMÍNIO E O SEU CONJUNTO IMAGEM.

y = g(x) =

Calcular g(0), g(√2) e g(4).

x – 1, se x ≤ 1

x = 0 ⇒ y = g(0) = 0 – 1 = –1

x = √2 ⇒ y = g(√2) = 3

Na função real g: R → R definida por.

Exemplos

(1)

3, se 1 < x ≤ 2 (2)

(3) x3 + 1, se x > 2

x = 4 ⇒ y = g(4) = 43 + 1 = 65

a) Qual é a imagem de 1. b) 1 é imagem de qual número? c) Determine x tal que g(x) = –3. d) Existe algum valor do domínio cuja imagem é 0.

x = 1 g(1) = 2.1 + 5 =

Dada a função g: ℤ ℝ definida por g(x) = 2x + 5.

Pergunta-se:

Exemplos

7

g(x) = 1 2x + 5 = 1 2x = –4 x = –2

g(x) = –3 2x + 5 = –3 2x = –8 x = –4

g(x) = 0 2x + 5 = 0 2x = –5 x = –5/2

a) f:ℝ ℝ sendo f(x) = x + 3.

b) g:A B sendo f(x) = –x + 3, com A = {–2, 1, 3} e B =

{0, 2, 3, 5, 7}.

c) h:ℕ ℝ sendo h(x) = x2 – 4.

Determine as raízes das funções abaixo, se existirem.

Exemplos

f(x) = 0 x + 3 = 0 x = –3

–3 é a raiz da função f. Logo f(–3) = 0.

a) f:ℝ ℝ sendo f(x) = x + 3.

b) g:A B sendo f(x) = –x + 3, com A = {–2, 1, 3} e B =

{0, 2, 3, 5, 7}.

c) h:ℕ ℝ sendo h(x) = x2 – 4.

Determine as raízes das funções abaixo, se existirem.

Exemplos

g(x) = 0 –x + 3 = 0 x = 3

3 é a raiz da função g. Logo g(3) = 0.

a) f:ℝ ℝ sendo f(x) = x + 3.

b) g:A B sendo f(x) = –x + 3, com A = {–2, 1, 3} e B =

{0, 2, 3, 5, 7}.

c) h:ℕ ℝ sendo h(x) = x2 – 4.

Determine as raízes das funções abaixo, se existirem.

Exemplos

h(x) = 0 x2 – 4 = 0 x2 = 4

–2 não pertence ao domínio (ℕ) da função h, assim,

somente 2 é raiz da função.

x = 2

RAÍZES E SINAIS DE UMA FUNÇÃO – ANÁLISE GRÁFICA

O gráfico a seguir mostra a variação da temperatura T(em

ºC) de uma substância em função do tempo t(em s).

Raízes e sinais de uma função

A tempera é zero nos instantes de tempo: t = 15 s, t =

40 s e t = 50 s. Dizemos que 15, 40 e 50 são as raízes ou

zeros da função.

t(s)

T(ºC)

A

B

C D

E

10

20

–10

–20

5 10 15

20 25 30 35 40

45

50 55 60

O gráfico a seguir mostra a variação da temperatura T(em

ºC) de uma substância em função do tempo t(em s).

Raízes e sinais de uma função

A tempera é positiva (T > 0) nos trechos AB e CD. São as

partes do gráfico cujos pontos estão acima do eixo das

abscissas.

t(s)

T(ºC)

A

B

C D

E

10

20

–10

–20

5 10 15

20 25 30 35 40

45

50 55 60

O gráfico a seguir mostra a variação da temperatura T(em

ºC) de uma substância em função do tempo t(em s).

Raízes e sinais de uma função

A tempera é negativa (T < 0) nos trechos BC e DE. São

as partes do gráfico cujos pontos estão abaixo do eixo

das abscissas.

t(s)

T(ºC)

A

B

C D

E

10

20

–10

–20

5 10 15

20 25 30 35 40

45

50 55 60

O gráfico a seguir mostra a variação da temperatura T(em

ºC) de uma substância em função do tempo t(em s).

Raízes e sinais de uma função

Em símbolos,

T > 0 0 ≤ t < 15

ou 40 < t < 50 T < 0

15 < t < 40

ou 50 < t ≤ 60

t(s)

T(ºC)

A

B

C D

E

10

20

–10

–20

5 10 15

20 25 30 35 40

45

50 55 60 + + +

– – – –

Analisar as raízes e os sinais da função cujo gráfico é a

linha vermelha da figura.

Exemplos

y

x

–2

4

+ + + +

– –

Raízes: x = –2 ou x = 4

Sinais: y > 0 –2 < x < 4 ou x > 4

y < 0 x < –2

Analisar as raízes e os sinais da função cujo gráfico é a

linha vermelha da figura.

Exemplos

y

x 0

+ + + + + + + +

A função não tem raízes reais, porque o gráfico não corta o eixo x.

O gráfico está todo situado acima do eixo x. Por isso, y > 0 para todo x real.

O gráfico abaixo representa a função y = f(x). Determine:

Exemplos

y

x 0 –2 –1 1 3 4

5

6 7

–1

1

3

a) As raízes de f.

b) Os valores de x/ f(x) > 0.

c) Os valores de x/ f(x) <0.

x = 4 ou x = 6

–2 ≤ x < 4 ou 6 < x ≤ 7

4 < x < 6

RAÍZES, CRESCIMENTO,

DECRESCIMENTO, MÁXIMO E

MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO

VEJA O GRÁFICO ABAIXO

A partir do gráfico de y = f(x) vamos determinar o máximo,

o mínimo, as raízes, os sinais de f e os intervalos em que a

função é crescente, decrescente ou constante.

x

y

0 1 2 3

–3 –2 –1 4

–2

2 D = [–3, 4[

Im = [–2, 2]

o mínimo é –2.

o máximo é 2.

VEJA O GRÁFICO ABAIXO

A partir do gráfico de y = f(x) vamos determinar o máximo,

o mínimo, as raízes, os sinais de f e os intervalos em que a

função é crescente, decrescente ou constante.

x

y

0 1 2 3

–3 –2 –1 4

–2

2 x =–2 ou x = 0 ou x =

3. f(x) > 0 para:

–2 < x < 0 ou 3 < x <

4. f(x) < 0 para:

–3 < x < –2 ou 0 < x <

3.

f(x) = 0 para:

VEJA O GRÁFICO ABAIXO

A partir do gráfico de y = f(x) vamos determinar o máximo,

o mínimo, as raízes, os sinais de f e os intervalos em que a

função é crescente, decrescente ou constante.

x

y

0 1 2 3

–3 –2 –1 4

–2

2

f(x) é crescente para:

–3 ≤ x ≤ –1 ou 2 ≤ x < 4

f(x) é decrescente

para: –1 ≤ x ≤ 1

f(x) é constante para:

1 ≤ x ≤ 2