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Matrizes
Aulas de Matemática / Física / Química - (21) 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR) Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar (21) 9-8126-2831 horacimar@gmail.com
Definição: Uma matriz mxn (leia: m por n) é uma tabela de números reais dispostos em m linhas e n colunas. Exemplo: Observações: a11, a12, ..., a1n são as elementos da 1ª linha da matriz; a21, a22, ..., a2n são as elementos da 2ª linha da matriz; a11, a21, a31,..., am1 são as elementos da 1ª coluna da matriz; a12, a22, a32,..., am2 são as elementos da 2ª coluna da matriz; FILA de uma matriz qualquer linha ou qualquer coluna
2243
21
x
A
222221
1211
xaa
aaA
2243
21
x
A
Matrizes
Aulas de Matemática / Física / Química - (21) 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR) Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar (21) 9-8126-2831 horacimar@gmail.com
Classificação de matrizes: RETANGULAR se m n
QUADRADA se m=n
MATRIZ LINHA se m=1
MATRIZ COLUNA se n=1
MATRIZ NULA mxn
MATRIZ IDENTIDADE
43
21
21
3
1
00
00
10
01
100
010
001
069
213
Matrizes
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Igualdade de matrizes: Propriedades da adição de matrizes:
Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
Comutativa: A + B = B + A
Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A
Elemento oposto: A + (-A) = 0 (-A é a matriz oposta de A)
tz
yx
41
32
4
1
3
2
t
z
y
x
Matrizes
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Multiplicação de um número real por uma matrizes:
Multiplicação de Matriz por Matriz (A . B)
A3x3 . B3x1 = C3x1
Somente está definido o produto A . B, se o número de colunas da primeira matriz A e o número de linhas da segunda matriz B são iguais. Nesta situação, as matrizes A e B serão ditas conformes para a multiplicação.
82
64
4.21.2
3.22.2
41
32.2
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Multiplicação de Matriz por Matriz (A . B)
31
12A
34
21B
3.32.14.31.1
3.12.24.11.2
34
21.
31
12.BA
1113
76.BA
(A.B).C = A.(B.C) C.(A+B) = C.A + C.B
(A+B).C = A.C + B.C A . B B . A
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Transposta de uma Matriz A : At
Inverte-se as linhas pelas colunas
31
52A
35
12tA
3
2B
32tB
10
1tC
101C
(At)t = A (k.B)t = k.Bt
(A + B)t = At + Bt (A.B)t = At.Bt
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Exercício:
Multiplicando obtemos: Qual o produto dos elementos a e b da primeira matriz ?
Solução: Realizando a multiplicação da matriz obtemos:
Por simples inspeção, verificamos que: 2 + a = 4 a = 2 3b = 0 b = 0 a.b = 0
01
32.
2
1
b
a
02
34
02
34
322
32
01
32.
2
1
bb
a
b
a
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Exercício: Qual a representação matricial do seguinte sistema linear:
Solução:
2
1.
11
32
y
x
2
132
yx
yx
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Matriz Identidade: Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, e In a matriz identidade de ordem n, teremos: A.In = In.A = A
Inversão de matrizes: A.A-1 = A-1.A = In
31
52A
21
531A
10
01
21
53.
31
52. 1AA
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Exercício: Obter a inversa da matriz A.
Solução:
A.A-1 = I2
57
23A
tz
yxA 1
10
01.
57
23. 1
tz
yxAA
10
01
5757
2323
tyzx
tyzx
3
2
157
023
7
5
057
123
t
y
ty
ty
z
x
zx
zx
37
251A
Determinantes
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Determinante associado a uma matriz quadrada é um número obtido a partir dos elementos dessa matriz (Não existe determinante de uma matriz que não seja quadrada).
64104.15.254
12)det( A
+ -
Determinantes
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5)0)5(0(000
054
123
001
)det( A
+ -
+ +
-
-
Determinantes
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Determinantes calculados por cofatores:
5)5(0.2
54
23.0
04
13.0
05
12.1
054
123
001
)det(
A
Determinantes
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Determinantes calculados por cofatores:
20))5.(2.(2
49.266.5.2
)4(9.2)6(6.5.2
64
23.0
34
132
36
12.5.2
025
364
123
.2
364
201
123
.0
025
201
123
.0
025
364
123
.2
025
364
201
.0
0205
3604
2021
1203
)det(
A
Determinantes
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Propriedades:
Se todos os elementos de uma fila de uma matriz quadrada A são multiplicados por um número real k, então det(A) fica multiplicado por k;
Se uma matriz quadrada A de ordem n é multiplicada por um número real k, então seu determinante fica multiplicado por kn;
335)67.(5
252
423
312
.5
2252
4103
352
D
100)1.(100)det(.10).10det(
73
52
2
AA
A
Determinantes
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Propriedades:
O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta;
Se uma matriz quadrada forem nulos todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal, o seu determinante será igual ao produto do principal;
)det()det( AAt
155.3.1
500
630
791
)det( A
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Propriedades:
Se todos elementos de uma fila de matriz quadrada A, forem nulos, então detA = 0;
Se uma matriz quadrada A possui duas filas paralelas iguais, então detA = 0;
0
931
000
321
D
0
931
010
931
D 0
933
011
322
D
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Propriedades:
Se uma matriz quadrada A possui duas filas paralelas proporcionais, então det A = 0;
Se uma fila é uma combinação linear das demais filas paralelas, então, det A = 0
0
936
012
324
D
0
931
1252
321
D
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Exercício: Resolver a equação
Solução:
Por Soma e Produto as raízes da equação são -2 e 3.
532
321
0
3
22
2xx
x
x
xx
xx
xx
x
2
2
2
532
321
0
623
22
xxx 22 62
062 xx
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Exercício: Para que valor de a equação
Terá duas raízes iguais ?
Solução:
(duas raízes iguais =0) a = 0
0
110
0
00
xa
x
0).(11
.
110
0
002 xaxxax
xaxxa
x
00).1.(4
0
22
2
aa
xax