Matriz e Determinantes

Matrizes

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Definição: Uma matriz mxn (leia: m por n) é uma tabela de números reais dispostos em m linhas e n colunas. Exemplo: Observações: a11, a12, ..., a1n são as elementos da 1ª linha da matriz; a21, a22, ..., a2n são as elementos da 2ª linha da matriz; a11, a21, a31,..., am1 são as elementos da 1ª coluna da matriz; a12, a22, a32,..., am2 são as elementos da 2ª coluna da matriz; FILA de uma matriz qualquer linha ou qualquer coluna

2243

21

x

A

222221

1211

xaa

aaA

2243

21

x

A

Matrizes


Classificação de matrizes: RETANGULAR se m n

QUADRADA se m=n

MATRIZ LINHA se m=1

MATRIZ COLUNA se n=1

MATRIZ NULA mxn

MATRIZ IDENTIDADE

43

21

21

3

1

00

00

10

01

100

010

001

069

213

Matrizes


Igualdade de matrizes: Propriedades da adição de matrizes:

Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)

Comutativa: A + B = B + A

Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A

Elemento oposto: A + (-A) = 0 (-A é a matriz oposta de A)

tz

yx

41

32

4

1

3

2

t

z

y

x

Matrizes


Multiplicação de um número real por uma matrizes:

Multiplicação de Matriz por Matriz (A . B)

A3x3 . B3x1 = C3x1

Somente está definido o produto A . B, se o número de colunas da primeira matriz A e o número de linhas da segunda matriz B são iguais. Nesta situação, as matrizes A e B serão ditas conformes para a multiplicação.

82

64

4.21.2

3.22.2

41

32.2

Matrizes


Multiplicação de Matriz por Matriz (A . B)

31

12A

34

21B

3.32.14.31.1

3.12.24.11.2

34

21.

31

12.BA

1113

76.BA

(A.B).C = A.(B.C) C.(A+B) = C.A + C.B

(A+B).C = A.C + B.C A . B B . A

Matrizes


Transposta de uma Matriz A : At

Inverte-se as linhas pelas colunas

31

52A

35

12tA

3

2B

32tB

10

1tC

101C

(At)t = A (k.B)t = k.Bt

(A + B)t = At + Bt (A.B)t = At.Bt

Matrizes


Exercício:

Multiplicando obtemos: Qual o produto dos elementos a e b da primeira matriz ?

Solução: Realizando a multiplicação da matriz obtemos:

Por simples inspeção, verificamos que: 2 + a = 4 a = 2 3b = 0 b = 0 a.b = 0

01

32.

2

1

b

a

02

34

02

34

322

32

01

32.

2

1

bb

a

b

a

Matrizes


Exercício: Qual a representação matricial do seguinte sistema linear:

Solução:

2

1.

11

32

y

x

2

132

yx

yx

Matrizes


Matriz Identidade: Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, e In a matriz identidade de ordem n, teremos: A.In = In.A = A

Inversão de matrizes: A.A-1 = A-1.A = In

31

52A

21

531A

10

01

21

53.

31

52. 1AA

Matrizes


Exercício: Obter a inversa da matriz A.

Solução:

A.A-1 = I2

57

23A

tz

yxA 1

10

01.

57

23. 1

tz

yxAA

10

01

5757

2323

tyzx

tyzx

3

2

157

023

7

5

057

123

t

y

ty

ty

z

x

zx

zx

37

251A

Determinantes


Determinante associado a uma matriz quadrada é um número obtido a partir dos elementos dessa matriz (Não existe determinante de uma matriz que não seja quadrada).

64104.15.254

12)det( A

+ -

Determinantes


5)0)5(0(000

054

123

001

)det( A

+ -

+ +

-

-

Determinantes


Determinantes calculados por cofatores:

5)5(0.2

54

23.0

04

13.0

05

12.1

054

123

001

)det(

A

Determinantes


Determinantes calculados por cofatores:

20))5.(2.(2

49.266.5.2

)4(9.2)6(6.5.2

64

23.0

34

132

36

12.5.2

025

364

123

.2

364

201

123

.0

025

201

123

.0

025

364

123

.2

025

364

201

.0

0205

3604

2021

1203

)det(

A

Determinantes


Propriedades:

Se todos os elementos de uma fila de uma matriz quadrada A são multiplicados por um número real k, então det(A) fica multiplicado por k;

Se uma matriz quadrada A de ordem n é multiplicada por um número real k, então seu determinante fica multiplicado por kn;

335)67.(5

252

423

312

.5

2252

4103

352

D

100)1.(100)det(.10).10det(

73

52

2

AA

A

Determinantes


Propriedades:

O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta;

Se uma matriz quadrada forem nulos todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal, o seu determinante será igual ao produto do principal;

)det()det( AAt

155.3.1

500

630

791

)det( A

Determinantes


Propriedades:

Se todos elementos de uma fila de matriz quadrada A, forem nulos, então detA = 0;

Se uma matriz quadrada A possui duas filas paralelas iguais, então detA = 0;

0

931

000

321

D

0

931

010

931

D 0

933

011

322

D

Determinantes


Propriedades:

Se uma matriz quadrada A possui duas filas paralelas proporcionais, então det A = 0;

Se uma fila é uma combinação linear das demais filas paralelas, então, det A = 0

0

936

012

324

D

0

931

1252

321

D

Determinantes


Exercício: Resolver a equação

Solução:

Por Soma e Produto as raízes da equação são -2 e 3.

532

321

0

3

22

2xx

x

x

xx

xx

xx

x

2

2

2

532

321

0

623

22

xxx 22 62

062 xx

Determinantes


Exercício: Para que valor de a equação

Terá duas raízes iguais ?

Solução:

(duas raízes iguais =0) a = 0

0

110

0

00

xa

x

0).(11

.

110

0

002 xaxxax

xaxxa

x

00).1.(4

0

22

2

aa

xax

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