Apostila de Matrizes e Determinantes
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Material Didtico Notas de Aula
Viviane Carla Fortulan
-
2
I MATRIZES
1. Definio: Matriz m x n uma tabela de m . n nmeros reais dispostos em m linhas (filas horizontais) e n colunas (filas verticais). Exemplos:
1.
240
321A uma matriz 2 x 3;
2.
11
04B uma matriz 2 x2;
3.
612
1
34 0
2 0 1
5 23
C
uma matriz 4 x 3.
Como podemos notar nos exemplos 1, 2 e 3 respectivamente, uma matriz pode ser representada
por colchetes, parnteses ou duas barras verticais.
2. Representao de uma matriz:
As matrizes costumam ser representadas por letras maisculas e seus elementos por letras
minsculas, acompanhadas de dois ndices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna
ocupadas pelo elemento.
Exemplo: Uma matriz A do tipo m x n representada por:
mn3m2m1m
n3333231
n2232221
n1131211
aaaa
a aaa
a aaa
a aaa
A
ou, abreviadamente, A= n x mij
a , onde i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o
elemento ocupa,
nj1
mi1.
Por exemplo, na matriz anterior, 23a o elemento da segunda linha com o da terceira
coluna.
Exemplo 1: Seja a matriz A= 2 x 2ij
a , onde ji2a ij :
Genericamente, temos: 2 x 22221
1211
aa
aaA
. Utilizando a regra de formao dos elementos
dessa matriz, temos:
-
3
ji2a ij
62)2(2a
42)1(2a
51)2(2a
31)1(2a
22
12
21
11
Assim, A=
65
43.
3. Matrizes especiais:
3.1 Matriz linha: toda matriz do tipo 1 x n, isto , com uma nica linha.
Ex: 4x1
1374A .
3.2 Matriz coluna: toda matriz do tipo n x 1, isto , com uma nica coluna.
Ex:
1x30
1
4
B
.
3.3 Matriz quadrada: toda matriz do tipo n x n, isto , com o mesmo nmero de linhas e
colunas. Neste caso, dizemos que a matriz de ordem n.
Ex:
2x212
7 4C
3x33 7 2
3 0
0 14
D
Matriz de ordem 2 Matriz de ordem 3
Seja A uma matriz quadrada de ordem n.
Diagonal principal de uma matriz quadrada o conjunto de elementos dessa matriz, tais que
i = j.
Diagonal secundria de uma matriz quadrada o conjunto de elementos dessa matriz, tais
que i + j = n + 1..
Exemplo:
675
303
5 21
A3
-
4
Descrio da matriz:
- O subscrito 3 indica a ordem da matriz; - A diagonal principal a diagonal formada pelos elementos 1, 0 e 6; - A diagonal secundria a diagonal formada pelos elementos 5, 0 e 5;
- 11a = -1 elemento da diagonal principal, pois i = j = 1;
- 31a = 5 elemento da diagonal secundria, pois i + j = n + 1 = 3 + 1.
3.4 Matriz nula: toda matriz em que todos os elementos so nulos.
Notao: n x mO
Exemplo:
000
000O 3 x 2
3.5 Matriz diagonal: toda matriz quadrada onde s os elementos da diagonal principal
so diferentes de zero.
Exemplo:
10
02A 2
700
030
004
B3 .
3.6 Matriz identidade: toda matriz quadrada onde todos os elementos que no esto na
diagonal principal so nulos e os da diagonal principal so iguais a 1.
Notao: nI onde n indica a ordem da matriz identidade.
Exemplo:
10
01I 2
100
010
001
I3
ou :
ji se 0,
ji se ,1a ,aI ijij n
3.7 Matriz transposta: Chamamos de matriz transposta de uma matriz A a matriz que
obtida a partir de A, trocando-se ordenadamente suas linhas por colunas ou suas colunas por linhas.
Notao: tA .
Exemplo: Se
121
03 2 A ento tA =
1 0
23
12
Desse modo, se a matriz A do tipo m x n, tA do tipo n x m. Note que a primeira linha de
A corresponde primeira coluna de tA e a segunda linha de A corresponde segunda coluna de tA .
-
5
3.8 Matriz simtrica: Uma matriz quadrada de ordem n simtrica quando A= tA .
OBS: Se A = - tA , dizemos que a matriz A anti-simtrica.
Exemplo: Se
3x3541
423
132
A
3x3
t
541
423
132
A
3.9 Matriz oposta: Chamamos de matriz oposta de uma matriz A a matriz que obtida a
partir de A, trocando-se o sinal de todas os seus elementos.
Notao: - A
Exemplo: Se
1-4
0 3A ento A =
14
03
3.10 Igualdade de matrizes: Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, so iguais se,
todos os elementos que ocupam a mesma posio so idnticos.
Notao: A = B.
Exemplo: Se
b1
02A
31
c2B e A = B, ento c = 0 e b = 3
Simbolicamente: ijij baBA para todo mi1 e todo ni1 .
Resolver a primeira lista de exerccios
-
6
1 LISTA
1-) *Escreva a matriz A= 3x2ij
a , onde
ija =2i+3j
2-) Escreva a matriz B= 3x3ij
b , onde ijb = j
i.
3-) Escreva a matriz C= 1x4ij
c , onde
jic 2ij .
4-) * Escreva a matriz D= 3x1ij
d , onde ijd = i
j.
5-) Escreva a matriz A= 3x4ij
a , onde
jise,1
jise,2a ij
6-) Escreva a matriz A= 3x3ij
a , onde
jise,0
jise,jia ij
7-) Escreva a matriz A= 3x2ij
a , onde
jise,ji
jise,ji2a ij
8-) *Chama-se trao de uma matriz quadrada a
soma dos elementos da diagonal principal.
Determine o trao de cada uma das matrizes A
=
101
532
102
Be34
21.
9-) Dada a matriz A=
41
21, determinar:
a-) a transposta de A
b-) a oposta de A
10-) *Dadas as matrizes A=
3a
21 e
3b
3xB , determinar a, b e x para que
A=tB .
11-) Determinar os valores de a e b, tais que:
3a
2b
3b
1a2
12-) Determine x e y na igualdade:
5
9
4
5
y
xlog2
3
13-) Seja A= 3x2ij
a , onde ija =i + j. Determine
m, n e p em B=
5p2m1n
43nm a fim de
que tenhamos A=B.
14-) Determine a, b, x e y, tais que:
.11
23
yx2ba
yxba
15-) Determine x e y, tais que:
a-) .
64
5
3
x
y
xlog
2
2
b-) .y2x51
05
71
0y3x2
-
7
RESPOSTAS
1-) A=
13107
1185
2-) B=
13
12
1
23
32
31
21
3-) C=
17
10
5
2
4-) D= 210
5-) A=
222
222
122
112
6-) A=
600
040
002
7-)
165
213A
8-) trA = 4 e trB = 4
9-) a-)
42
11A t b-) A=
41
21
10-) a = 3, b = 2 e x = 1
11-) a = 1 e b = 1
12-) x = 81 e y= 3 13-) m = -2 n = 4 e p = -3
14-) a = 2, b = 1, x = 1 e y = 1
15-) a-) x = 8 e y = 5
b-) x = 57 e y =
1511
-
8
4. Adio de Matrizes:
Dadas as matrizes A= n x mij
a e B = n x mij
b , chamamos de soma das matrizes A e B a matriz
C = n x mij
c , tal que ijijij bac , para todo mi1 e todo ni1 .
Notao: A + B = C
OBS: A + B existe se, e somente se, A e B so do mesmo tipo (m x n).
Propriedades : A, B e C so matrizes do mesmo tipo (m x n), valem as seguintes
propriedades:
1) Associativa:
(A + B) + C = A + (B + C)
2) Comutativa
A + B = B + A
3) Elemento Neutro
A + O = O + A = A
onde O a matriz nula m x n.
4) Elemento Oposto
A + (-A) = (-A) + A = O
Exemplos:
1)
90
33
2700
1421
2 0
12
70
41
2)
10 1
145
2111 10
10 13 32
2 1- 1
1 1 3
11 0
0 3 2
5. Subtrao de Matrizes:
Dadas as matrizes A= n x mij
a e B= n x mij
b , chamamos de diferena entre as matrizes A e B
a soma de A com a matriz oposta de B
Notao: A - B = A + (-B)
OBS: A + B existe se, e somente se, A e B so do mesmo tipo (m x n).
-
9
Exemplo:
1)
54
22
2704
2013
2 0
2-1
74
0 3
2-0
2 1
74
0 3
6. Multiplicao de um nmero real por uma matriz:
Dados um nmero real x e uma matriz A do tipo m x n , o produto de x por A uma matriz
do tipo m x n, obtida pela multiplicao de cada elemento de A por x.
Notao: B = x.A
OBS.: Cada elemento ijb de B tal que ijb = x ija
Propriedades : Sendo A e B matrizes do mesmo tipo (m x n) e x e y nmeros reais
quaisquer, valem as seguintes propriedades:
1) Associativa:
x.(y.A) = (x.y).A
2) Distributiva de um nmero real em relao a adio de matrizes:
x.(A+B) = x.A + x.B
3) Distributiva de uma matriz em relao a soma de dois nmeros reais:
(x + y).A = x.A + y.A
4) Elemento Neutro: x.A = A, para x = 1, ou seja:
1.A = A
Exemplo:
1)
03
216
0.31.3
7.32.3
01
72 .3
7. Multiplicao de matrizes:
O produto de uma matriz por outra no pode ser determinado atravs do produto dos seus
respectivos elementos. A multiplicao de matrizes no anloga multiplicao de nmeros reais.
Assim, o produto das matrizes A= p x mij
a e B= n x pij
b a matriz C= n x mij
c , onde cada
elemento ijc obtido atravs da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-sima linha
de A pelos elementos da j-sima coluna de B.
-
10
OBS: Elementos correspondentes de matrizes do mesmo tipo m x n, so os elementos que
ocupam a mesma posio nas duas matrizes. Exemplo: Sejam
203
461A e
437
205B . Os
elementos 2b e 4a 1313 so elementos correspondentes.
Decorrncia da definio:
A matriz produto A.B existe apenas se o nmero de colunas da primeira matriz (A) igual
ao nmero de linhas da segunda matriz (B).
Assim: n x mn x pp x m B.AB e A Note que a matriz produto ter o nmero de linhas (m) do primeiro fator e o nmero de
colunas (n) do segundo fator.
Exemplos:
1) Se 5 x 35 x 22 x 3 B.AB e A 2) Se produto existe no que B e A 3 x 21 x 4
3) 1 x 41 x 22 x 4 B.AB e A
Propriedades : Verificadas as condies de existncia, para a multiplicao de matrizes so
vlidas as seguintes propriedades:
1) Associativa:
(A.B).C = A.(B.C)
2) Distributiva em relao adio:
a) A.(B+C) = A.B + A.C
b) (A+B).C = A.C + B.C
3) Elemento Neutro:
A. nI = nI .A = A
onde nI a matriz identidade de ordem n.
Ateno: No valem as seguintes propriedades:
1) Comutativa, pois, em geral, A.B B.A
2) Sendo n x mO uma matriz nula, A.B = n x mO no implica, necessariamente, que A =
n x mO ou B = n x mO .
-
11
Exemplos:
1) Sendo A=
14
32 e B=
43
21, vamos determinar A.B e B.A e comparar os resultados
Soluo:
A.B =
14
32.
43
21
coluna 1 e linha 1aaa
11 = 2.1 + 3.3 = 2 + 9 = 11
coluna 2 e linha 1aaa
12 = 2.2 + 3.4 =4 + 12 = 16
coluna 1 e linha 2aaa
21 = 4.1 + 1.3 = 4 + 3 = 7
coluna 2 e linha 2aaa
22 = 4.2 + 1.4 = 8 + 4 = 12
Assim:
A.B =
2 x 214
32
.
2 x 243
21
=
2 x 2127
1611
4834
12492
4.12.43.11.4
4.32.23.31.2
B.A =
2 x 243
21
.
2 x 214
32
=
2 x 21322
510
49166
2382
1.43.34.42.3
1.23.14.22.1
Comparando os resultados, observamos que A.B B.A, ou seja, a propriedade comutativa para multiplicao de matrizes no vale.
2) Seja A=3 x 2
2 x 3
402
321 B e
41
10
32
, determine:
a) A.B b) B.A
Soluo:
a) A.B =
3 x 3
3 x 2
2 x 34.43.10.42.1)2.(41.1
4.13.00.12.0 )2.(11.0
4.33.20.32.2 )2.(31.2
402
321 .
41
10
32
=
=
3 x 33 x 31329
40 2
184 4
16302)8(1
40 00 )2(0
126 04 )6(2
-
12
b) B.A = 2 x 2
2 x 3
3 x 24.4)1.(0)3.(2)1.(4)0.(0)2.(2
)4.(3)1.(2)3.(1)1.(30.22.1
41
10
32
402
321 .
=
=
2 x 22 x 2108
171
1606)4(04
1223)3(02
Concluso: Verificamos que A.B B.A
8. Matriz Inversa:
Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz 'A , de mesma ordem, tal
que A. 'A = 'A .A = nI , ento 'A matriz inversa de A. (Em outras palavras: Se A. 'A = 'A .A = nI ,
isto implica que 'A a matriz inversa de A, e indicada por 1A ).
Notao: 1A
Exemplo: Sendo A =
2 x 212
21
, vamos determinar a matriz inversa de A, se existir.
Soluo:
Existindo, a matriz inversa de mesma ordem de A.
Como, para que exista inversa, necessrio que A. 'A = 'A .A = nI , vamos trabalhar em
duas etapas:
o
1 Passo: Impomos a condio de que A. 'A = nI e determinamos 'A :
A. 'A = nI 2 x 2
12
21
.
2 x 2dc
ba
=
2 x 210
01
2 x 22 x 2
2 x 22 x 2
10
01
d2b-ca2
d2b c2a
10
01
1.d2.b-c.1a.2
d.2b.1 c.2a.1
A partir da igualdade de matrizes, resolvemos o sistema acima pelo mtodo da adio e chegamos
:
-
13
5
1a0
5
22a-
0c2a-
5
2c 25c
0c 2a-
24c2a
0ca2
(-2) 1c2a
__________________
5
2b1
5
12b-
1d2b-
5
1d 15d
1d 2b-
04d2b
1db2
(-2) 0d2b
__________________
Assim temos:
'A =.
2 x 2dc
ba
=
2 x 251
52
52
51
o
2 Passo: Verificamos se 'A A = 2I :
'A .A =
2 x 251
52
52
51
.
2 x 212
21
=
2
2 x 2
2 x 22 x 2
I
10
01
550
05
5
51
54
52
52
52
52
54
51
1.5
12.5
22.5
11.5
2
1..5
22.5
1 2.5
21.5
1
-
14
Portanto temos uma matriz 'A , tal que: A. 'A = 'A .A = 2I
Logo, 'A inversa de A e pode ser representada por:
1A =
2 x 251
52
52
51
.
Resolver a segunda lista de exerccios
2 LISTA
1-) *Sendo A=
3
2
1
0
4
1 e B=
124
103,
calcule:
a-) A + B b-) A B c-) B A
2-) Calcule x, y e z, tais que
04
z23
17
71
1yx
zx2.
3-) Sendo A= 2x3ij
a , onde ija =2i-j, e B= 2x3ijb , com ijb = ,ji
2 calcule:
a-) A B b-) B A c-) tBA
4-) *Verifique experimentalmente que, se A e B so
matrizes do mesmo tipo, ento ttt BABA . Sugesto: Considere A e B as matrizes
encontradas no exerccio 3.
5-) Sendo A=
20
02 e
30
03B , determinar as
matrizes X e Y, tais que: X + Y = A + B e 2X Y = A B.
6-) *Dadas as matrizes A=
10
32,
23
40B e
C=
180
1415 calcule:
a-) 3.(A B) + 3.(B C) + 3.(C A) b-) 2.(A - B) 3.(B C) 3.C c-) a matriz X, tal que
3.(X A) + 2.B = 4.(X A + 2.C)
7-) Sendo A=
0
3
2
e B=
2
0
1
, determine as matrizes
X e Y, tais que 3X Y = 2A B e X + Y = A B
8-) *Determine a relao existente entre as
matrizes A=
3
1
4
0
2
3 e B=
3
4
2
1
0
3
.
9-)* Sendo a matriz A=
320
y43
c32
simtrica,
determine c e y.
10-) Sendo A= 2x2ij
a , onde ija =2i-j, e
B= 2x2ij
b , com ijb = ij , determine X tal
que 3A + 2X = 3B.
11-) *Sendo A=
23
12 e
11
10B ,
calcule as matrizes X e Y no sistema
AY2X3
BY3X2.
12-) Sendo A=
112
010
321
e B=-2A,
determine a matriz X, tal que B2
1A3X2
13-) Dadas as matrizes A= 4x6ij
a , tal que
ija = i - j, B= 5x4ijb , tal que com ijb = ij e C = AB, determine o elemento
42c .
14-) *Sendo A=
21
22, calcule
22 I5A4A .
15-) Determine a matriz X, tal que
tAB.AA2X , sendo A=
10
12 e
-
15
16-) *Dadas as matrizes
A=
531
531
531
B,
431
541
532
3x3
e
C=
321
431
422
. Calcule:
a-) A.B
b-) B.A
c-) A.C
d-) C.A
17-) (UFPA) A matriz A= 3x3ij
a definida de tal
modo que
jise,0
jise,)1(a
ji
ij . Ento, A igual a:
a-)
011
101
110 b-)
101
011
001 c-)
011
101
110
d-)
100
010
001 e-)
011
101
110
18-) (PUC-SP) Dadas as matrizes A= ija e B= ijb , quadradas de ordem 2, com
j3i4bej4i3a ijij , se C=A + B, ento
2C igual a:
a-)
10
01 b-)
10
01 c-)
01
10 d-)
01
10 e-)
11
11
B=
01
21.
19-) *Verifique se B=
2x231
32
21 0
inversa
de A=
34
02
20-) *Determinar, se existir, 1A em cada
caso:
a-) A=
10
01 b-) A=
12
32.
11
01
21-) Sendo A=
43
21, calcule 11A .
22-) As matrizes A, B e C so invertveis e de
mesma ordem 2. Sendo B. 21 IA e C.B =
A, determine C e 1C .
23-)* (MACK) A uma matriz mxn e B
uma matriz mxp. A afirmao falsa :
a-) A + B existe se, e somente se, n = p
b-) A=tA implica m = n ( tA = transposta de
A)
c-) A.B existe se, e somente se, n = p
d-) A. tB existe se, e somente se, n = p
e-) tA .B sempre existe
-
16
Respostas
1) a)
2
3
3
0
8
4 b)
4
1
1
0
0
2 c)
4
1
1
0
0
2
2) x=2, y=-9 e z=-7
3) a)
7
4
3
5
2
1 b)
7
4
3
5
2
1 c)
15
15
8
8
3
3
4) -------------
5) X=
34
34
0
0 e Y=
311
311
0
0
6) a)
00
00 b)
815
144 c)
1396
101118
7) X=
1
2
49 e Y=
1
1
43
8) A= tB
9) c=0 e y=2
10) X=
3623
23
11) X=
54
511
51
56
e Y=
51
59
51
54
12) X=
112
010
321
13) 2
14)
98
169
15) X=
33
13
16) a)
000
000
000 b)
000
000
000 c) AC= A d) CA= C
17) alternativa a) 18) alternativa b) 19) Sim, B inversa de A
20) a)
10
01 b)
85
81
83
81
21) A inversa da inversa de uma matriz A a prpria matriz A.
22) C= 21 IC
23) Alternativa c)
-
17
II DETERMINANTES
Definio: Determinante um nmero associado a uma matriz quadrada.
Aplicaes dos determinantes na matemtica:
- Clculo da matriz inversa; - Resoluo de alguns tipos de sistemas de equaes lineares; - Clculo da rea de um tringulo, quando so conhecidas as coordenadas dos vrtices.
1. Determinante de primeira ordem
Dada uma matriz quadrada de a
1 ordem M= 11a , chamamos de determinante associado matriz M o nmero real
11a .
Notao: det M ou 11a = 11a
Exemplos:
1. 55ou 5Mdet5M 11
2. 33-ou 3Mdet3M 12
2. Determinante de segunda ordem
Dada a matriz M=
2221
1211
aa
aa, de ordem 2, por definio, temos que o determinante
associado a essa matriz, ou seja, o determinante de a
2 ordem dado por:
211222112221
1211aaaa
aa
aaMdet
Assim:
21122211 aaaaMdet
Exemplo: Sendo M=
54
32, ento:
det M= 21210435254
32
Logo: det M = -2
Concluso: O determinante de uma matriz de ordem 2 dado pela diferena entre o produto
dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundria.
-
18
3. Menor Complementar
Chamamos de menor complementar relativo ao elemento ija de uma matriz M, quadrada e
de ordem n > 1, o determinante ijMC , de ordem n 1, associado matriz obtida de M quando
suprimos a linha e a coluna que passam por ija .
Exemplo 1: Dada a matriz M=
2221
1211
aa
aa, de ordem 2, para determinarmos o menor
complementar relativo ao elemento 11a ( 11MC ), retiramos a linha 1 e a coluna 1;
MC = menor complementar
2221
1211
aa
aa, logo, 222211 aaMC
Da mesma forma temos que o MC relativo ao elemento 12a dado por:
2221
1211
aa
aa, logo, 212112 aaMC e assim por diante.
Exemplo 2: Dada a matriz M=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
, de ordem 3, vamos determinar:
a) 11MC
b) 12MC
c) 13MC
d) 21MC
Soluo:
OBS.: Vamos denotar menor complementar por MC
a) retirando a linha 1 e a coluna 1 da matriz dada acima
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
, temos que:
11MC = 322333223332
2322aaaa
aa
aa
b) retirando a linha 1 e a coluna 2 da matriz dada acima, temos que:
12MC =
3331
2321
aa
aa= 31233321 aaaa
c) retirando a linha 1 e a coluna 3 da matriz dada acima, temos que:
-
19
13MC =
3231
2221
aa
aa= 31223221 aaaa
d) retirando a linha 2 e a coluna 1 da matriz dada acima, temos que:
21MC =
3332
1312
aa
aa= 32133312 aaaa
4. Cofator
Chamamos de cofator (ou complemento algbrico) relativo ao elemento ija de uma matriz
quadrada de ordem n o nmero ijA , tal que ijji
ij MC)1(A .
Exemplo 1: Dada M=
2221
1211
aa
aa, os cofatores relativos a todos os elementos da matriz M
so:
22222
MC
22
11
11 aa)1(a)1(A
11
;
21213
MC
21
21
12 aa)1(a)1(A
12
;
12123
MC
12
12
21 aa)1(a)1(A
21
;
11114
MC
11
22
22 aa)1(a)1(A
22
.
Assim, podemos tambm determinar a matriz dos cofatores (que ser denotada por A )
como sendo:
1112
2122
2221
1211
a a
aa
AA
AAA
Exemplo 2: Sendo M=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
, vamos calcular os cofatores 312322 A e A ,A :
31133311311333114
3331
131122
22 aaaa)1(aaaa)1(aa
aa)1(A
;
31123211311232115
3231
121132
23 aaaa)1(aaaa)1(aa
aa)1(A
;
22132312221323124
2322
131213
31 aaaa)1(aaaa)1(aa
aa)1(A
.
-
20
5. Matriz Adjunta
A matriz transposta da matriz dos cofatores de uma matriz A chamada adjunta de A.
Assim: tAadjA
6. Teorema de Laplace
Definio: O determinante de uma matriz quadrada 2m aMm x mij
pode ser obtido
pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos
respectivos cofatores.
Assim, fixando mj1 que tal,Nj , temos:
m
1i
ijijAaMdet
onde,
m
1i
o somatrio de todos os termos de ndice i, variando de 1 at m, Nm e ijA o
cofator ij.
Exemplo : Calcular com o auxlio do Teorema de Laplace, os seguintes determinantes:
a)
3 2 0 1
1 1 13
0 2 0 0
14 3 2
D b)
6 5 0
2 1 2
43 2
D 21
Soluo:
a)
6 5 0
2 1 2
43 2
D1
Aplicando Laplace na coluna 1, temos:
2 1
43(-1)0
6 5
43(-1))2(
65
21(-1)2D
31
31
21
21
11
11
CofatorA
13
a
CofatorA
12
a
)11cofator(A
11
a
1
06 5
432
65
212D1
2(38)2(-4)20)2(1810)-2(6D1
68768D1
-
21
b) Como trs dos quatro elementos da a
2 linha so nulos, convm aplicar Laplace nessa
linha.
3 2 0 1
1 1 13
0 2 0 0
14 3 2
D 2
3 0 1
1 13
13 2
)1(200D
23MCD
32
2
OBS.: Ento podemos rescrever 2D como:
(I) D2D 2
Agora precisamos calcular o valor de D para substituirmos em (I) Para isso aplicamos
Laplace na a
3 linha (mais conveniente, pois um dos elementos nulo), e obtemos:
3331 MC
33
MC
13
1-3
3 2)1(3
1 1-
1-3 )1(1D
332)11(3)2(1)92(3)13(1D
35D
Finalmente, substituindo esse valor em (I), obtemos:
-2(-35)DD2D 22
70D 2
7. Regra de Sarrus
Dispositivo prtico para calcular o determinante de a
3 ordem.
Exemplo 1: Calcular o seguinte determinante atravs da Regra de Sarrus.
D=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
-
22
Soluo:
a
1 Passo: Repetir a duas primeiras colunas ao lado da a
3 :
32
22
12
31
21
11
333231
232221
131211
a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
a
2 Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois
produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal.
OBS.: A soma deve ser precedida do sinal positivo, ou seja:
322113312312332211 aaaaaaaaa
a
3 Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal secundria com os dois
produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal.
OBS.: A soma deve ser precedida do sinal negativo, ou seja:
332112322311312213 aaaaaaaaa
Assim:
332112322311312213 aaaaaaaaaD 322113312312332211 aaaaaaaaa
OBS.: Se desenvolvssemos esse mesmo determinante de a
3 ordem com o auxlio do
teorema de Laplace, veramos que as expresses so idnticas, pois representam o mesmo nmero
real.
Exemplo 2: Calcular o valor dos seguintes determinantes:
a)
0 1 1 0
0 1 - 0 1
2 1 0 0
1 0 1- 2
D b)
1 2 3
2 1 4
13 2
D 21
Soluo:
a)
47242381821283
2
1
3
3-
4
2
1 2 3
2 1 4
13 2
D1
-
23
b)
0 1 1 0
0 1 - 0 1
2 1 0 0
1 0 1- 2
D 2
Aplicando Laplace na a
2 linha, temos:
''2
'2 D
42
D
32
2
1 1 0
1-0 1
0 12
)1(2
0 1 0
0 0 1
1 12
)1(100D
''
2
'
22 D2D)1(D
- Clculo de '2D : Como, na a
2 linha, dois elementos so nulos, conveniente aplicar
Laplace; assim:
1)10(101
11)1(1D 12'2
- Clculo de ''2D : Utilizando a Regra de Sarrus, temos:
''2D
1
0
1-
0
1
2
1 1 0
1- 0 1
0 1- 2
3)000()120(
Portanto,
5D
61)3(2)1(1D
D2D)1(D
2
2
''
2
'
22
-
24
8. Matriz de Vandermonde
Chamamos de matriz de Vandermonde toda matriz quadrada de ordem 2n , com a seguinte forma:
1n
n
1n
2
1n
1
3
n
3
2
3
1
2
n
2
2
2
1
n21
a aa
a a a
a a a
a a a
1 1 1
V
Observe que cada coluna dessa matriz formada por potncias de mesma base com
expoentes inteiros, que variam de 0 at n-1.
O determinante da matriz de Vandermonde dado por:
1n1nn142434132312 aaaaaaaaaaaaaaaaVdet
Exemplo: Calcular o determinante da matriz
1694
432
111
M
Soluo:
Como podemos escrever a matriz M na forma:
222
111
432
432
111
M
Ento dizemos que a matriz M uma Matriz de Vandermonde com 4a e 3a ,2a 321 .
Assim,
2211243423aaaaaaMdet 132312
-
25
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES:
(de matriz quadrada de ordem n)
As propriedades a seguir so relativas a determinantes associados a matrizes quadradas de
ordem n. Estas propriedades, muitas vezes nos permite simplificar os clculos.
P1-) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) so nulos, o determinante dessa
matriz nulo.
Exemplos:
1-) 0
391218
3123
0000
7894
2-) 0
701
302
1503
P2-) Se duas filas paralelas de uma matriz so iguais, ento seu determinante nulo.
Exemplo:
1-) 0
3479
5352
8924
5352
pois, L1 = L3
P3-) Se duas filas paralelas de uma matriz so proporcionais, ento o seu determinante nulo.
Exemplo:
1-) 0
623
412
241
pois C3 = 2C1
P4-) Se os elementos de uma fila de uma matriz so combinaes lineares dos elementos
correspondentes de filas paralelas, ento o seu determinante nulo.
Exemplos:
1-) 0
523
642
431
pois C1 + C2 = C3 2-) 0
5107
321
143
pois 2L1 + L2 = L3
OBS.: Definio de combinao linear:
Um vetor v uma combinao linear dos vetores v1, v2, ... ,vk, se existem escalares a1, a2, ... ,ak tal
que:
v= a1. v1+...+ ak. vk
-
26
P5-) Teorema de Jacobi: O determinante de uma matriz no se altera quando somamos aos
elementos de uma fila uma combinao linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.
Exemplo:
1-) 9
342
212
321
Substituindo a 1 coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2, temos:
9
3410
214
325
34242
21212
32221
2C2 C1
P6-) O determinante de uma matriz e o de sua transposta so iguais.
Exemplo:
Det A = 9
342
212
321
Det At = 9
323
412
221
P7-) Multiplicando por um nmero real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o
determinante dessa matriz fica multiplicado por esse nmero.
Exemplos:
1-) 4
123
112
321
Multiplicando C1 por 2, temos: 842126
114
322
2-) 145
102
473
0105
Multiplicando L1 por 5
1, temos: 29145
5
1
102
473
021
P8-) Quando trocamos as posies de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de
sinal.
Exemplo:
4
123
112
321
-
27
Trocando as posies de L1 e L2, por exemplo, temos:
4
123
321
112
P9-) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal so todos nulos, o
determinante igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
Exemplos:
1-) cba
cfe
0bd
00a
2-) zyx
z00
iy0
hgx
P10-) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundria so todos
nulos, o determinante igual ao produto dos elementos dessa diagonal, multiplicado por 2
1nn
1
.
Exemplos:
1-) baxb
a0 2-) cba
zyc
xb0
a00
P11-) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, temos:
Observao: Como A A-1 = I, na propriedade acima, temos:
Exemplo:
Se A = ,43
12B =
22
01 e AB =
811
24, ento:
2510
BdetAdetABdet
det (AB) = det A det B
det (A-1
) = Adet
1
-
28
P12-) Se k , ento det (kA) = kn detA.
Exemplo:
Sendo k=3, A = 54
12e kA =
1512
36, temos:
623
n
54
AdetkAkdet
P13-) det (A+B) detA + detB
9. Regra de Chi
A regra de Chi mais uma tcnica que facilita muito o clculo do determinante de uma
matriz quadrada de ordem n ( 2n ). Essa regra nos permite passar de uma matriz de ordem n para outra de ordem n-1, de igual
determinante.
Exemplos:
1) Vamos calcular o determinante associado matriz
642
315
432
A com o auxlio da
regra de Chi:
Passo 1: Para podermos aplicar essa regra, a matriz deve ter pelo menos um de seus
elementos igual a 1. Assim fixando um desses elementos, retiramos a linha e a coluna onde ele se
encontra.
642
315
432
Passo 2: Em seguida subtramos do elemento restante o produto dos dois correspondentes
que foram eliminados (um da linha e outro da coluna).
618
513
)12(6)20(2
)9(4)15(2
)34(6)45(2
)33(4)35(2
Passo 3: Multiplicamos o determinante assim obtido por ji1 , onde i representa a linha e j
a coluna retiradas (neste caso, a
2 linha e a
2 coluna).
-
29
12Adet
9078)1(618
513)1(Adet 422
10. Inverso de matrizes com o auxlio da teoria dos determinantes
A inversa de uma matriz quadrada de ordem n pode ser calculada pela aplicao do seguinte
teorema:
A matriz inversa 1A de uma matriz A (quadrada de ordem n) existe se, e somente se,
0Adet e dada por:
adjAAdet
1A 1
OBS.: adj A a matriz transposta da matriz dos cofatores: adj A = tA
Exemplos:
1) Verificar se a matriz
31
0 6A admite inversa
Soluo:
A matriz A admite inversa se, e somente se, 0Adet . Assim, como:
0183-1
0 6Adet , existe a matriz inversa de
2) Calcular x para que exista a inversa da matriz
x1 2
01x
233
A
Soluo:
Verificar se existe a matriz inversa de A ( 0AdetA -1 )
Ento:
1
1
3
2
x
3
x1 2
01x
233
04x3x
x3042x03x-
2
2
-
30
Assim, -1 xe 3
4xA 1-
3) Calcular, se existir, a inversa da matriz
41
32A com o auxlio da frmula
adjAAdet
1A 1
Soluo:
Passo 1: Calcular o determinante de A para ver se existe inversa.
538)1(342Adet
Como 1A05
Passo 2: Calcular os cofatores dos elementos de A.
44)1( 1111 A
11)1( 2112 A
33)1( 1221 A
22)1( 2222 A
Assim, a matriz dos cofatores dada por:
2- 3
1 4 A
Passo 3: Clculo da matriz adjunta de A.:
2-1
34 adjAAadjA
t
Passo 4: Clculo da matriz inversa de A ( 1A ):
2 -1
34
5
1
det
1 11 AadjAA
A
:
52
51
53
54
1A
-
31
3 LISTA
1) Calcular o valor dos determinantes das seguintes matrizes:
a) A=
83
3,021
b) A= .jia onde ,a ij2x2ij
2) *Calcular o valor de Rx na igualdade
3x4
3x3
=0
3) *O conjunto soluo de 1x
11
1x
11
11
x1
:
a) 1x|Rx b){0;1} c){1} d){-1} e) {0}
4) Determinar a matriz formada pelos cofatores dos elementos da matriz
A=
2 2 1
0 1 4
1 23
.
5) Dada a matriz A=
31
32
32
32
31
32
32
32
31
.
Calcule A , conhecida como matriz dos cofatores, e a matriz adjunta de A.
6) *Calcule os seguintes determinantes, aplicando o Teorema de Laplace:
a)
987
654
321
b)
0010
1000
2002
3110
7) O determinante
0 300
x 2 10
0 x 21
10 x0
representa o polinmio:
a) 1x 2
b) 1x 2
c) 1x32
d) )1x(3 2
e) )1x)(1x(3
8) (Fuvest SP) O determinante da matriz
ab
ba, onde
xxxx ee2b e eea2 igual a:
a) 1 b) 1 c) xe d)
xe e) 0
9) Utilizando a regra de Sarrus, calcule:
081
112
15,03,0
321
20
10) *Sendo A=
231
210
032
, calcule:
a) det A
b) det tA
11) *Calcular x na igualdade 0
3x1
31x
101
12) Calcular x na igualdade
0
9x6x4x
3x2x
111
22
13) *Sendo A=
164278
11694
1432
1111
, calcular
det A.
14) *Utilizando as propriedades dos determinantes, calcule os determinantes
justificando os valores obtidos:
a)
152
311
243
b)
1302
2804
4903
5102
-
32
c)
3201
81264
3124
4632
d)
5000
3400
9230
5421
e)
431
220
100
17218
134
892
097
022
043
54827
723428
184255
15) (MACK-SP) Se
4x
b1
y3
2a,
A=
yx
ba e B =
tA , ento det(A.B) vale:
a) 8 b) 4 c) 2 d) 2 e) 4
16) *(FAAP-SP) Dada a matriz A=
30
21,
calcule o determinante da matriz inversa de A.
17) Determine, se existir, a inversa de cada uma
das matrizes:
a) A=
23
10 b) B=
207
135
064
Respostas
1) a) 3 b) 1 c) 1 2) x= -4 ou x=1
3) alternativa c)
4)
541
476
782
A
5)
31
32
32
32
31
32
32
32
31
A e
adjA= tA
31
32
32
32
31
32
32
32
31
-
-
6) a) 0 b) 2 7) alternativa d) 8) alternativa a)
9) 12
5
10) a) 2 b) 2 11) x=1 ou x=-4
12) x=2 ou x=5
13) 600
14) a) 0 b) 0 c) 0 d) 60 e) 2 15) alternativa b)
16) 3
1
17) a)
01A 3
132
1
b)
11
B
21
212
214
141
71
72
71
1
-
33
III SISTEMAS LINEARES
1 Equao linear
Toda equao da forma:
bxaxaxa nn 2211
onde naaa ,,, 21 so nmeros reais que recebem o nome de coeficientes das incgnitas
nxxx ,, 21 e b um nmero real chamado termo independente.
OBS: Quando b = 0, a equao recebe o nome de linear homognea.
Exemplos:
Equaes Lineares Equaes No-Lineares
1) 3x 2y + 4z = 7
1) xy 3z + t = 8
2) x + y 3z - 7 t = 0 (homognea) 2) x2 - 4y = 3t - 4
3) 2x + 4z = 3t y + 4 3) x - y + z = 7
2 Sistema Linear
Definio: Um conjunto de equaes lineares da forma:
mnmnmmm
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
332211
22323222121
11313212111
um sistema linear de m equaes e n incgnitas.
2.1 Soluo do Sistema Linear
Chamamos de soluo do sistema a n-upla de nmeros reais ordenados nrrr ,,, 21 que , simplesmente, soluo de todas equaes do sistema.
2.2 Matrizes associadas a um Sistema Linear
2.2.1 Matriz incompleta
a matriz A, formada pelos coeficientes da incgnitas do sistema.
-
34
Exemplos:
Seja o sistema:
42
74
032
zyx
zyx
zyx
Matriz incompleta:
A=
1 12
1 14
132
2.2.2 Matriz Completa
a matriz B, que obtemos ao acrescentarmos matriz incompleta uma ltima coluna formada
pelos termos independentes das equaes do sistema. Assim a matriz completa referente ao sistema
anterior :
B =
4
7
0
1
1
1-
1
1
3
2-
4
2
2.3 Sistemas Homogneos Um sistema homogneo quando os termos independentes de todas as equaes so nulos.
Exemplo:
0 3 2
034
0 23
yx
zyx
zyx
2.3.1 Solues de um Sistema Homogneo
A n-upla (0, 0, 0, ..., 0) sempre soluo de um sistema linear homogneo com n incgnitas e
recebe o nome de soluo trivial. Quando existem, as demais solues so chamadas no-triviais.
2.4 Classificao de um sistema linear quanto ao nmero de solues
possvel
solues) (infinitas adoindetermin
nica) (soluo odeterminad
impossvel (no tem soluo)
Exemplos:
1.
12
8
yx
yx
Tem soluo nica: o par ordenado (3, 5). Portanto o sistema possvel e determinado.
-
35
2.
1622
8
yx
yx
Tem infinitas solues: algumas so dadas pelos pares ordenados: (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4,
4), (5, 3),. Portanto o sistema possvel e indeterminado.
3.
10
10
yx
yx
4. No tem um par ordenado que satisfaz simultaneamente as equaes. Portanto o sistema
impossvel.
2.5 Sistema Normal
Um sistema normal quando tem o mesmo nmero de equaes (m) e de incgnitas (n) e o
determinante da matriz incompleta associada ao sistema diferente de zero, ou seja, se m = n e det
A 0, o sistema normal.
OBS.: Todo sistema normal possvel e determinado e portanto tem soluo nica.
Exemplo: Determinar Rk , de modo que o sistema
5
3
kyx
ykx seja normal.
Soluo: Para o sistema ser normal temos que observar duas condies: m=n e detA 0
1 condio: m = 2 e n = 2 nm
No sistema, o nmero de equaes (m = 2) igual ao nmero de incgnitas (n = 2)
2 condio: det A 0
det A = 1011
12 kk
k
k
Logo, o sistema normal para qualquer k real diferente de 1 e de 1.
-
36
2.6 Regra de Cramer
Todo sistema normal tem uma nica soluo dada por D
Dx ii , onde ni , 3, ,2 ,1 , D= detA
o determinante da matriz incompleta associada ao sistema e iD o determinante obtido atravs da
substituio, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.
Exemplo: Resolver com o auxlio da Regra de Cramer, os seguintes sistemas:
a)
332
72
yx
yx
Soluo:
Temos: m = n = 2 (1 condio) e condio) (2 082632
1 2
D
Portanto, como o sistema normal, podemos utilizar a Regra de Cramer para resolv-lo.
1 Passo: Calcular yx DD e
- Substituindo, na matriz incompleta
32
1 2, a coluna
1c pela coluna formada pelos termos
independentes, encontramos:
2432133
1 7
xD
- - Substituindo, agora, 2c pela coluna dos termos independentes, encontramos:
814632
72yD
2 Passo: Encontrar x e y:
Assim:
18
8
38
24
D
Dy
D
Dx
y
x
Logo, (x, y) = (3, 1) a soluo do sistema dado.
-
37
b)
2222
9222
7222
11
1
zyx
zyx
zyx
ou
22.22.22
9222.2
7222
11
1
zyx
zyx
zyx
Soluo:
Da maneira como apresentado o sistema no linear. Assim, para torn-lo linear, fazemos as
substituies:
cba yx z2 e 2,2 , obtendo:
222
92
7
cba
cba
cba
Agora temos um sistema linear com 3 equaes e 3 incgnitas (m = n) e determinante da matriz
incompleta diferente de zero, veja:
01037412421
2
1
1
1
2
1
2 21
11 2
1 1 1
D
1 Passo: Calcular cD e , ba DD substituindo as colunas 1, 2 e 3, respectivamente, pelos
termos independentes:
406341821418142
2
1
1
2
9
7
2 22
11 9
1 1 7
aD
20153547182829
2
9
7
1
2
1
2 2 1
19 2
1 7 1
bD
1017728924187
2
1
1
1
2
1
2 21
9 1 2
7 1 1
cD
Portanto, por Cramer vem:
410
40
D
Da a 2
10
20
D
Db b 1
10
10
D
Dc c
Voltando a transformao feita anteriormente (afinal queremos os valores de x, y e z) temos:
-
38
222422 2 xa xxx
122222 1 yb yyy
022122 0 zc zzz
Logo, (x, y, z) = (2, 1, 0) a soluo do sistema dado.
c)
03
0 2
043
zyx
zyx
zyx
Soluo:
Temos m = n = 3 e 029643891
3
1-
4
1
2
3
1-3 1
11- 2
1 4 3
D
Portanto, como o sistema normal, apresentando uma nica soluo e, alm do mais, o sistema
homogneo, esta soluo nica ser a soluo trivial (0, 0, 0).
Logo, (x, y, z) = (0, 0, 0).
-
39
2.7 Discusso de um Sistema Linear
Para discutir um sistema linear de n equaes e n incgnitas, calculamos o determinante D
da matriz incompleta. Assim, se
0D Sistema possvel e determinado (SPD), ou seja tem soluo nica.
0D Sistema pode ser possvel e indeterminado (SPI) (ter infinitas solues) ou impossvel (SI) (no ter soluo).
Observaes:
1) Se o 0D , o sistema ser SPD e portanto teremos uma nica soluo para o problema. 2) Se o 0D , sistema poder ser SPI ou SI. Para identificarmos de ele SPI ou SI
teremos que encontrar todos os iD s para saber se o sistema possvel e indeterminado
ou impossvel. De que forma?
Se todos os iD forem iguais a 0, teremos um SPI
Se pelo menos um iD diferente de zero, teremos um SI.
Exemplos:
1)
623
432
3
zyx
zyx
zyx
Temos:
m = n = 3
03
2 13
11 2
1 11
D
Logo, o sistema possvel e determinado, apresentando soluo nica.
2)
0233
43 2
1 2
zyx
zyx
zyx
Temos:
m = n = 3
0
2-33
312
1 21
D
-
40
035
2-30
314
1 21
xD
Sendo D = 0 e 0xD , o sistema impossvel, no apresentando soluo.
3)
134
2 2
12 3
zyx
zyx
zyx
Temos:
m = n = 3
0
341
112
2 31
D
0
341
112
2 31
xD
0
311
12-2
2 1 1
yD
0
1-41
212
1 31
zD
Logo temos, D = 0, 0xD , 0yD , 0zD . Portanto, o sistema possvel e
indeterminado, apresentando infinitas solues.
-
41
2.8 Sistemas equivalentes
Dois sistemas so equivalentes quando possuem o mesmo conjunto soluo.
Exemplo: Sendo
832
3 1
yx
yxS e
52
3 2
yx
yxS
o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e nico. Logo, 21 e SS so equivalentes: . ~ 21 SS
2.8.1 Propriedades dos sistemas equivalentes
1) Trocando de posio as equaes de um sistema, obtemos um outro sistema equivalente.
Exemplo:
Sendo:
Izyx
III zy
II - zx
S
III z y
II - zx
Izyx
S
)(12
)(2
)(3
e
)(2
)(3
)(12
21
temos, . ~ 21 SS
2) Multiplicando uma ou mais equaes de um sistema por um nmero k, k *R , obtemos um sistema equivalente ao anterior.
Exemplo:
Dado
IIyx
IyxS
0
32 1 , multiplicando a equao (II) por 3, obtemos:
03 3
32
3)0 (
32 22
yx
yxS
yx
yxS
Assim, temos . ~ 21 SS
3) Adicionando a uma das equaes de um sistema o produto de outra equao desse mesmo
sistema por um nmero k, k *R , obtemos um sistema equivalente ao anterior.
Exemplo:
Dado
IIyx
IyxS
1
42 1 , substituindo neste sistema a equao (II) pela soma da equao (I),
multiplicada por (-1), com a equao (II), obtemos:
-33y-
1
42
1
)1()42 ('
1
'
1
yx
yx
Syx
yxS
-
42
Logo:
33
42 2
y
yxS
Assim, , pois (x, y) = (2, 1) soluo de ambos os sistemas.
2.9 Sistemas escalonados
A tcnica de escalonar um sistema linear muito mais utilizada, pois com essa tcnica
podemos encontrar solues para sistemas que no tenham o mesmo nmero de equaes e
incgnitas (o que no permitido na Regra de Cramer). Alm disso, quando queremos resolver
sistemas lineares cujo nmero de equaes (e de incgnitas) excede trs, no conveniente utilizar
a Regra de Cramer, por se tornar muito trabalhosa. Por exemplo, um sistema com quatro equaes e
quatro incgnitas requer o clculo de cinco determinantes de 4 ordem. Neste caso, usamos a
tcnica de escalonamento, que facilita a resoluo e a discusso de um sistema.
Dado um sistema linear:
mnmnmmm
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
S
332211
22323222121
11313212111
onde existe pelo menos um coeficiente no-nulo em cada equao, dizemos que S est escalonado
se o nmero de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente no-nulo aumenta de equao para
equao.
Exemplos:
32
6 3)1 1
y
yxS
-54z
2 32
9 z 4
)2 2 zy
yx
S
0z 4
8542)3 3
y
zyxS
73
422
1232
)4 4
t
tzy
tzyx
S
2.9.1 Procedimentos para escalonar um sistema
1) Fixamos como 1 equao uma das que possuam o coeficiente da 1 incgnita diferente de zero.
2) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1 incgnita das demais equaes.
3) Anulamos todos os coeficientes da 2 incgnita a partir da 3 equao. 4) Repetimos o processo com as demais incgnitas, at que o sistema se torne escalonado.
Exemplos:
-
43
1) Vamos escalonar o sistema
2z 2y- x
0 423x
5 z 2
zy
yx
1 passo: Anulamos todos os coeficientes da 1 incgnita a partir da 2 equao, aplicando as
propriedades:
Trocamos de posio a 1 e a 3 equaes:
5 z 2
0 423x
2z 2y- x
yx
zy
Trocamos a 2 equao pela soma do produto da 1 equao por (-3) com a 2 equao:
5 2
678
22
5 z 2
0423
3-)22 (
zyx
zy
zyx-
yx
zyx
zy-x
Trocamos a 3 equao pela soma do produto da 1 equao por (-2) com a 3 equao:
1 z 3
678
22
5 z 2
6- 78
2-)22(
y
zy
zyx-
yx
zy
zyx-
2 passo: Anulamos os coeficientes da 2 incgnita, a partir da 3 equao:
Trocamos a 3 equao pela soma do produto da 2 equao por
8
3 com a 3 equao:
67 8
2 2
1 3
6)- 78(
22
8 26
813
83
z
zy
zyx-
zy
zy
zyx-
Agora, como o sistema est escalonado, podemos resolv-lo:
28
26
8
13 zz
Substituindo este valor em 678 zy , vem:
1886278 yyy
Substituindo, agora, 22 em 2 e1 zyxzy , vem:
-
44
22212 xx
Portanto, o sistema possvel e determinado, admitindo uma nica soluo que dada por: (x, y, z)
= (2, 1, 2).
2) Vamos escalonar o sistema
22 3
12
32
z - yx
z yx
zy x
1 passo: Anulamos todos os coeficientes da 1 incgnita a partir da 2 equao, aplicando as
propriedades:
Trocamos a 2 equao pela soma do produto da 1 equao por (-2) com a 2 equao:
2 2z 3
5 5
32
2 2z 3
1 2
2-)32 (
yx
zy
zyx-
yx
zyx
zy-x
Trocamos a 3 equao pela soma do produto da 1 equao por (-3) com a 3 equao:
7- z 5
5 5
32
2 2z 3
5- 5
3-)3 2 (
y
zy
zyx-
yx
zy
zyx-
2 passo: Anulamos os coeficientes da 2 incgnita, a partir da 3 equao:
Trocamos a 3 equao pela soma do produto da 2 equao por 1 com a 3 equao:
2- 0
5 5
3 2
7- 5
15)- 5(
3 2
zy
zyx-
zy
zy
zyx-
Dessa forma fica escalonado. Como no existe valor real de z, tal que 20 z , o sistema impossvel e portanto no tem soluo.
3) Vamos escalonar o sistema
322
1 22
6
t zy- x
tz yx
t zy x
1 passo: Anulamos todos os coeficientes da 1 incgnita a partir da 2 equao:
Trocamos a 2 equao pela soma do produto da 1 equao por (-2) com a 2 equao:
-
45
3- 2 2
13- 3 4
6
3- 2 2
1- 2 2
2-)6 (
tzyx
tzy
t z yx
tzyx
tzyx
t z yx
Trocamos a 3 equao pela soma do produto da 1 equao por (-1) com a 3 equao:
9- 3 0 3
13- 3 4
6
3- 2 2
13- 3 4
1- 6
tzy
tzy
t z yx
tzyx
tzy
t z yx
2 passo: Anulamos os coeficientes da 2 incgnita, a partir da 3 equao:
Trocamos a 3 equao pela soma do produto da 2 equao por 3 com a 3 equao:
30 612
13- 3 4
6
9- 3 0 3
3-13)- 3 4 (
6
tz
tzy
t z yx
tzy
tzy
t z yx
O sistema est escalonado. Entretanto, o nmero de equaes (m) menor que o nmero de
incgnitas (n). Assim, o sistema possvel e indeterminado, admitindo infinitas solues. A
diferena entre o nmero de incgnitas (n) e o nmero de equaes (m) de um sistema nessas
condies chamada grau de indeterminao (GI):
Para resolvermos um sistema indeterminado, procedemos do seguinte modo:
Consideramos o sistema em sua forma escalonada:
30 612
13- 3 4
6
tz
tzy
t z yx
Calcular o grau de indeterminao do sistema nessas condies:
GI = n m = 4 3 = 1
Como o grau de indeterminao 1, atribumos a uma das incgnitas um valor , supostamente conhecido, e resolvemos o sistema em funo desse valor.
Fazendo t e substituindo esse valor na 3 equao, obtemos:
2
5
12
6306301230612
zzzz
mnGI
-
46
Conhecidos z e t, substitumos esses valores na 2 equao 1334 tzy :
3
310131332101332
54
y
yyyy
Conhecidos z e t e y, substitumos esses valores na 1 equao 6 tzyx :
2
1
1212112122562262
53
x
xxxx
Assim, a soluo do sistema dada por:
,
2
5,3,
2
1S ,
sendo R .
Para cada valor que seja atribudo a , encontraremos uma qudrupla que soluo para o sistema.
OBS.: Se GI >1, ento daremos valores , , a todas as incgnitas livres (que no iniciam
equaes).
-
47
4 LISTA
1) Verifique se os sistemas abaixo so normais:
a)
4z2yx
5z2y3x2
1zyx
b)
19z6y6x
17z7y4x
6zy3x
c)
9y4x3
0zyx
8zy3x2
2) Determine os valores de kR, para que os sistemas sejam normais:
a)
0kzyx2
0z3kyx
0z2kyx
b)
k31y2x)1k(
k2y4x)1k(
c)
1z9y4xk
7z3y2kx
1zyx
2
3) *Resolva os seguintes sistemas lineares:
a)
4y3x2
5yx3 b)
0zyx2
5z4yx3
9z3y2x
c)
1
3x5
2y7
y3
x21
4) *Determine para quais valores de k o sistema
2kyx2
3y2x :
a) possvel e determinado; b) possvel e indeterminado; c) impossvel.
5) (UFPR) O sistema de equaes
QPzyx4
6zyx
10z3yx7
:
a) Impossvel, se P -1 e Q 8. b) Indeterminado, se P -1 e Q 8. c) Indeterminado, se P -1 e Q=8. d) Impossvel, se P=-1 e Q 8. e) Impossvel, se P -1 e Q=8.
6) *Escalone, classifique e resolva os sistemas abaixo:
a)
2yx5
1y3x b)
0zyx4
62
zyx2
c)
8z3yx3
5z2y2x
9zy3x2
d)
6zy4x3
4z2y3x2
2zyx
e)
1
3x4
1y5
y2
x21 f)
34y3x5
3yx3
7y4x
7) *(Fatec-SP) Dois casais foram a um barzinho. O primeiro pagou R$ 5,40 por 2 latas de
refrigerante e uma poro de batatas fritas. O
segundo pagou R$ 9,60 por 3 latas de
refrigerante e 2 pores de batatas fritas.
Nesse local e nesse dia, a diferena entre o
preo de uma poro de batas fritas e o preo
de uma lata de refrigerante era de:
a)R$2,00 b)R$1,80 c)R$1,75
d)R$1,50 e)R$1,20
8) *(Unifor-CE)Um pacote tem 48 balas: algumas de hortel e as demais de laranja. Se
a tera parte do dobro do nmero de balas de
hortel excede a metade do de laranjas em 4
unidades, ento nesse pacote h:
a) igual nmero de balas dos dois tipos b) duas balas de hortel a mais que de
laranja
c) 20 balas de hortel d) 26 balas de laranja e) duas balas de laranja a mais que de
hortel
9) *(UCDB-MT) O sistema
02572
06104
022
022
zyx
zyx
zyx
zyx
:
a) impossvel b) homogneo c) determinado d) indeterminado com uma varivel arbitrria. e) Indeterminado com duas variveis arbitrrias.
10) (Cefet-PR) Para a festa do Natal, uma crche necessitava de 120 brinquedos. Recebeu uma
-
48
doao de R$370,00. Esperava-se comprar
carrinhos a R$2,00 cada, bonecas a R$3,00 e
bolas a R$3,50. Se o nmero de bolas deveria
ser igual ao nmero de bonecas e carrinhos
juntos, a soluo seria comprar:
a) 60 bonecas, 30carrinhos e 30 bolas b) 20 bonecas, 40carrinhos e 60 bolas c) 30 bonecas, 30carrinhos e 60 bolas d) 25 bonecas, 45carrinhos e 70 bolas e) 40 bonecas, 20carrinhos e 60 bolas
11) (Unificado- RJ) Para que valores de k existe
uma nica matriz
y
x, tal que
?0
0
1
21
y
x
k
k
a) k -1 b) k=-2
c) k=-2 ou k=1
d) k -2 e k 1 e) k 2 e k -1
12) (UF-AL) O sistema
1
32
ybx
yax, nas
variveis reais x e y, :
a) possvel e determinado, a, bR. b) possvel e indeterminado se a = 2b.
c) possvel e determinado se a 2b. a, bR. d) possvel e indeterminado se a = -2b. e) impossvel se a = -2b.
13) *(F. M. Tringulo Mineiro-MG) Em trs mesas de uma lanchonete o consumo ocorreu
da seguinte forma:
Mesa Hambrguer Refrigerante Poro de
fritas
1 4 2 2
2 6 8 3
3 2 3 1
A conta da 1 mesa foi R$18,00 e da 2 mesa
R$30,00. Com esses dados:
a) possvel calcular a conta da 3 mesa e apenas o preo unitrio do refrigerante.
b) possvel calcular a conta da 3 mesa, mas nenhum dos preos unitrios dos trs
componentes do lanche.
c) possvel calcular a conta da 3 mesa e alm disso, saber exatamente os preos unitrios de
todos os componentes do lanche.
d) no possvel calcular a conta da 3 mesa, pois deveriam ser fornecidos os preos
unitrios dos componentes do lanche.
e) impossvel calcular a conta da 3 mesa e os preos unitrios dos componentes do lanche,
pois deve ter havido um erro na conta da 1 ou
da 2 mesa.
Respostas
1) a) Sim b) Sim c) No
2) a) S={kR | k2
111}
b) S={kR | k3
1 }
c) S={kR | k 2 e k 3} 3) a) S={(1, 2)} b) S={(2, -1, -3)}
c)S={(-4, -3)}
4) a) k 4 b) k R c) k = 4
5) alternativa d)
6) a) possvel e determinado; S=
14
3,
14
5
b)possvel e indeterminado;
S=
R p/ ,4 ,
4
4
c) possvel e determinado; S= 1 ,2,1 d)possvel e indeterminado;
S= R p/ ,4 ,52
e) possvel e determinado; S=
2 ,
2
3
f) sistema impossvel; S=
7) alternativa b)
8) alternativa a)
9) alternativa c)
10) alternativa e)
11) alternativa e)
12)alternativa e)
13) alternativa a)
-
49
LISTA EXTRA DE SISTEMAS LINEARES
1-) Resolva os sistemas abaixo e classifique-os como SPS, SPI ou SI.
a-)
12274
5432
432
zyx
zyx
zyx
b-)
13427
5423
432
xzy
zxy
zyx
c-)
12962
5642
432
zyx
zyx
zyx
d-)
11464573221342134
670213457322134
7866213421345732
zyx
zyx
zyx
e-)
16537
4375
0753
12753
wzyx
wzyx
wzyx
wzyx
f-)
0
5
4
2
zyx
yx
zy
zx
g-)
26
0222
12
yx
tzyx
tzyx
2-) Determine para que valores de m e n o sistema
nmzyx
zyx
zyx
3
42
132
seja:
a-) Indeterminado
b-) impossvel
Respostas
1-) a-) SI (0 = -1) b-) SPI S={(x, y, z) = ,103,172 }
c-) SI (0 = -3) d-) SPD S={(x, y, z) = (1, -1, 2)}
e-) SPD S={(x, y, z, w) = (1, -1, 0, 2)} f-) SI (0 = -11/2)
g-) S={(x, y, z, t) =
,
27
51,
27
410,
27
246}
2-) a-) m = 2 e n = 5
b-) m = 2 e n 5
IV - APLICAES DE SISTEMAS LINEARES
Exemplos
1) Trs irmos, Paula, Jlia e Andr, ao confrontarem suas contas de telefone celular, ficaram curiosos em saber quanto custou um minuto de cada tipo de ligao realizada. As rrs contas
apresentaram ligaes para telefones fixos e mveis (celulares) e ligaes internacionais para
Buenos Aires, onde moram seus primos.
A tabela informa o tempo (em minutos) das ligaes que cada um efetuou e o valor
correspondente da conta, j descontado o preo da assinatura.
-
50
Fixo Mvel Internacional
(Buenos Aires)
Valor
Paula 10 min 6 min 2 min 12,20
Jlia 14 min 4 min 3 min 13,40
Andr 8 min 5 min 5 min 14,70 Vamos denominar x, y e z os preos do minuto de ligao para telefones fixos, para telefones mveis e
para Buenos Aires, respectivamente.
Desta forma,
A conta de Paula dada por: 10x + 6y + 2z = 12,20
A conta de Jlia dada por: 14x + 4y + 3z = 13,40
A conta de Andr dada por: 8x + 5y + 5z = 14,70 As trs equaes acima constituem um exemplo de aplicao de sistema linear.
2) (EU-RJ) Observe a tabela de compras realizadas por Mariana:
Loja Produtos Preo unitrio
(R$)
Despesa (R$)
A Caneta 3,00 50,00
Lapiseira 5,00
B Caderno 4,00 44,00
Corretor 2,00
Sabendo que ela adquiriu a mesma quantidade de canetas e cadernos, alm do maior nmero possvel de
lapiseiras, o nmero de corretores comprados foi igual a:
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14
3) (PUC) Alfeu, Bento e Cintia foram a uma certa loja e cada qual comprou camisas escolhidas entre trs tipos, gastando nessa compra os totais de R$134,00, R$ 115,00 e R$ 48,00,
respectivamente.
Sejam as matrizes:
z
y
x
XeA
012
501
430
tais que:
os elementos de cada linha de A correspondem s quantidades dos trs tipos de camisas compradas por Alfeu (1 linha), Bento (2 linha) e Cntia (3 linha);
os elementos de cada coluna de A Correspondem s quantidades de um mesmo tipo de camisa;
os elementos de X correspondem aos preos unitrios, em reais, de cada tipo de camisa. Nessas condies, o total a ser pago pela compra de uma unidade de cada tipo de camisa :
a) R$53,00 b) R$55,00 c) R$57,00 d) R$62,00 e) R$65,00
4) (Vunesp-SP) Um orfanato recebeu uma certa quantidade x de brinquedos para ser distribuda entre as crianas. Se cada criana receber trs brinquedos, sobraro 70 brinquedos para serem
distribudos; mas, para que cada criana possa receber cinco brinquedos, sero necessrios mais
40 brinquedos. O nmero de crianas do orfanato e a quantidade x de brinquedos que o orfanato
recebeu so, respectivamente:
a) 50 e 290 b) 55 e 235 c) 55 e 220 d) 60 e 250 e) 65 e 265
-
51
5) (U.F. Uberlndia-MG) Gumercindo decidiu dividir sua fazenda de 30 alqueires entre seus dois filhos Joo e Jos. Essa diviso seria diteramente proporcional produo que cada filho
conseguisse em uma plantao de soja. Eles produziram juntos 1,5 tonelada de soja, sendo que
Jos produziu 250 kg a mais que Joo. Como foi dividida a Fazenda?
6) Ao ser indagado sobre o valor do pedgio, um caixa respondeu: Quando passaram 2 carros de passeio e 3 nibus, arrecadou-se a quantia de R$26,00; quando passaram 2 nibus e 5
caminhes, a quantia arrecadada foi de R$47,00, e quando passaram 6 carros de passeio e 4
caminhes, arrecadou-se a quantia de R$52,00. Qual foi o valor do pedgio para cada tipo de veculo citado?