matrizes determinantes e sistemas de equaçoes lineares

Matrizes, Determinantes e Sistemasde Equações Lineares

Alfredo SteinbruchProfessor de Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (de 1953 a 1980)e da Pontifícia Universidade Cat6lica do Rio Grande do Sul (de 1969 a 1978)

McGraw-HillSão PauloRua Tabapuã, 1.105, Itaim-BibiCEP04533(011) 881-8604 e (011) 881-8528

Rio de Janeiro e Lisboa e Porto e Bogotá e Buenos Aires e Guatema14 e Madrid e Mhk:o e New York e Panamá eSan Juan e Santiago

Auckland e Hamburg e Kuala Lumpur e London e Milan e Montreal e New Delhi e Paris e Singapore e Sydney eTokyo e Toronto

SUMÁRIO

PREFÁCIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX

Capítulo 1 - MATRIZES

Matriz de ordem m por n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Diagonal principal e diagonal secundária. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Matriz diagonal e matriz unidade. . . . . . . • . . . . . . • . • . . . • . . • 2Matriz zero. . . . . . • . . • • • • • . . . . . . • . . . . . . . • . . . . . . • • . . . 3Matriz oposta de uma matriz. . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . • . . . 3Matriz triangular superior e matriz triangular inferior. . . . . . . . . . 4Igualdade de matrizes. . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . ~ . . . . . . . . . . . 4Adição de matrizes . • . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . 4Produto de uma matriz por um escalar. . . . • . . . • . . . . . . . . . . . . 5Produto de uma matriz por outra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Matriz transposta. • • • . • • • . . • • • . . . . . . . . . . . • • . . • . . . . . . . 11Matriz simétrica. . • • • . • . . • . • • • . • . . • • . . • • • • . • • • • • . . . . . 12Matriz anti-simétrica • . • • . . . . • . . • • • • • . • . • . • . . . • • . • • . . ~ 13Problema.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Capítulo 2 - DETERMINANTES .Classe de uma permutação. • . . . . . . . . . . • . . . . • . . . • . . . . . . . 26Termo principal e termo secundário. . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . 27Determinante de uma matriz. . . . . . . . • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Preliminares para o cálculo dos determinantes de 2! e de 3! ordem 28Cálculo do determinante de 2! ordem. • . . . . . . . . • . . . . . . . . . • 29

Vil

VIII Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

Cálculo do determinante de 3!! ordem •..••••.••...•.. : . • • . 29

Desenvolvimento de um determinante de ordem n por umalinha ou por uma coluna. . . • . • • . . • . . . . • • . • . . . . . . . . . • . . . 32Propriedades dos determinantes . . • . . . . . . • • . • • . . . . . . • . . . . 35Cálculo de um determinante de qualquer ordem. . . . . . . . . . .. . . 42Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . • . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . 45

Capítulo 3 - INVERSÃO DE MATRIZES

Matriz inversa de uma matriz. . . . . . . . . • . • • . . . . . . • . • • . . . •Matriz singular. . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . .Matriz não-singular . . . . . . . . . • . • . • . . • • • . . • . . . . . . . . • • . .Propriedades da matriz inversa. . . . . • . . . . • • . • . . . . . .' • . • . •.Operações elementares. . • • • • • . . . . . . • • . . . • • • . . . . . • • . . . .Eq 'valA . d .UI encla e matrizes . . . . • . • . . • . . . . • . . . • • . . . . . . . . • .Inversão de uma matriz por meio de operações elementares••.•••Matriz ortogonal. . . . . . . • . • . . . . . • . • . . • . • . . . . . . . • . . . . .Problemas .•..•............•..•....••......••...•..

505151525354576161

Capítulo 4 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

Equação linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . 70Sistemas de equações lineares. • . • • . . . • . • . . • • • . • • • . . . . . . . 71Sistemas equivalentes .....•.•.••. ~ • • . • • • . . . . • . . • . . • . • . 73Estudo e solução dos sistemas de equações lineares. • • • . . . . . . . 73Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

PREFÁCIO

Este livro foi escrito com um objetivo: proporcionar a estudantes osconhecimentos mínimos de matrizes, detenninantes e sistemas de equações lineares,conhecimentos que são indispensáveis para estudar e compreender os conteúdos de váriasdisciplinas dos Cursos de Engenharia, Administração, Economia, Matemática, Física,Computação etc.

Para cumprir com a sua finalidade, o livro "MATRIZES, DETERMINANTES eSISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES" tem três características principais:

1) unidade de tratamento na solução de problemas diferentes. Assim, semdescuidar de casos particulares, o cálculo de determinantes de qualquerordem, a inversão de matrizes e a solução de m equações lineares com nvariáveis, quaisquer que sejam m e n, são feitos utilizando processosanálogos;

2) linguagem simples, didática (sacrificando, muitas vezes, o rigorismo embenefício da clareza) e acessível a estudantes de qualquer Curso de nívelsuperior;

3) ênfase na parte prática, contendo 168 problemas resolvidos e propostos, estescom respostas ou roteiros para a solução.

IX

X Matrizes, Detenninant~s e Sistemas de Equações Lineares

o autor ficará compensado do seu trabalho se este livro contribuir para facilitara estudantes a compreensão das disciplinas do seu Curso que tenham matrizes,determinantes e sistemas de equações lineares como pré-requisito.

Críticas, sugestões para a melhoria deste livro, assim como informações sobreeventuais erros, serão bem recebidas no endereço do autor*.

Alfredo Steinbruch

* Rua Vieira de Castro, 275/601- Fone (0512) 31-3288

90.040 - Porto Alegre - RS - BR

I

CAPITULO 1MATRIZES

1.1 - MATRIZ DE ORDEM m POR n

Chama-se rIUltriz de ordem m por n a mo quadro de m x n elementos (em geral,números reais) dispostos em m linhas e n colunas.

a ll alZ aln

a:H a22 ~n

A = .

• A matriz na qual m 'i' n é retangular, se representa por A(m,n) e se diz de ordem m por n ou m x n.

• A matriz na qual m = n é quadrada, se representa por An(ou A(n, n»' e se dizde ordem n.

• Cada elemento de uma matriz A está afetado de dois índices: ~j. O primeiroíndice indica a linha e o segundo a coluna a que o elemento pertence.

• A matriz A pode ser representada abreviadamente por A = [~j]' i variando de1 a m (i = 1, 2, •••, m) e j variando de 1 a n (j = 1, 2, •••, n). Assim, se a matriz tem 2

1

2 Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

linhas(m = 2) e 3 colunas (n = 3), ao fixar para i o valor 1 e fazendo j variar de 1 a 3,obtém-se:

Fixando, a seguir, para i o valor 2 e fazendo j variar de 1 a 3, obtém-se:

isto é:

~1

A(2 3) = A = rall, La21

~2 ~3

• A matriz de ordem m por 1 é uma matriz-eoluna ou vetor-eoluna e a matriz .de ordem 1 por n é uma matriz-linha ou vetor-linha. Exemplos:

1.2 - DIAGONAL PRINCIPAL E DIAGONAL SECUNDÁRIA

• Numa matriz quadrada A = [aij], de ordem n, os elementos ~j' em que i = j,constituem a diagonal principal. Assim, a diagonal formada pelos elementos alI' a22' ...,~é a diagonal principal.

• Numa matriz quadrada A = [~j]' de ordem n, os elementos ~j' em quei + j = n + 1, constituem a diagonal secwuiária. Assim, a diagonal formada peloselementos a1n, ~ n-1' ~ n-2' ••• 8n1 (1 + n = 2 + n-l = 3 + n-2 = ... = n + 1) é adiagonal secundária.

1.3 - MATRIZ DIAGONAL E MATRIZ UNIDADE

• A matriz quadrada A = [~j] que tem os elementos ~j = Oquando i >F j é umamatriz diagonal:

Matrizes 3

all O OO az2 O

A = .

O O 8nn

• A matriz diagonal que tem os elementos ~j = 1 para i = j é uma matriz unidade. Indica-se a matriz unidade por~ ou simplesmente por I:

1.4 - MATRIZ ZERO

O1O ~]

Uma matriz zero é a matriz cujos elementos são todos nulos. Indica-se a matrizzero por O.

O=~ OO

OOO ~]

1.5 - MATRIZ OPOSTA DE UMA MATRIZ

Matriz oposta de uma matriz A = [~j] é a matriz B = [bij] tal que bij = -~j.

Indica-se a matriz oposta de A por -A. Exemplo:

[-7

-A = 3 =:J

4 Matrizes. Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

1.6 - MATRIZ TRIANGULAR SUPERIORE MATRIZTRIANGULAR INFERIOR

A matriz quadrada A = [aijl que tem os elementos 8;j = O para i> j é uma matriz triangular superior e a matriz quadrada B = [bijl que tem os elementos bjj = O parai < j é uma matriz triangular inferior. Exemplos:

35O

B =[;-3

O79

1.7 - IGUALDADE DE MATRIZES

Duas matrizes A = [8;jl e B = [bijl, de mesma ordem, são iguais se, e somentese, 8;j = bij• Exemplo:

[~3

1 ~J3

1 ~J

1.8 - ADiÇÃO DE MATRIZES

A soma de duas matrizes A = [8;jl e B = [bijl, de mesma ordem, é uma matrizC = [cijl tal que cij = 8;j + bij" Indica-se a soma de duas matrizes A e B por A + B.Exemplos:

1) [all a 12 al~J + [~1 b 12 b13J = [all+bll a 12+b12 a 13+b13]a21 a22 a23 b21 b 22 b23 a21 +b21 a22+b 22 a23+b 23

2)

~-2 1[~

1

-~ ~-1

~1 2 3O 2 + O 2 2

-1 4 -3 O -1

-

Matrizes 5

1.8.1 - Diferença de duas matrizes

A diferença A-B de duas matrizes, de mesma ordem, é defmida por A + (-B).Exemplo:

r5 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ - ~ ~ = ~ ~ + ~ ~ = ~ ~

1.8.2 - Propriedades da adição de matrizes

Para as matrizes A, B e C, de mesma ordem, tem-se:

I) A + (B + C) = (A + B) + C

Il)A+B=B+A

III) A + O = O + A

IV) A + (-A) == -A + A = O

1.9 - PRODUTO DE UMA MATRIZ POR UM ESCALAR

Se À é um escalar, o produto de uma matriz A = [ajjl por esse escalar é uma

matriz B = [bjjl tal que bjj = À~j. Indica-se o produto da matriz A por Àpor ÀA. Exemplo:

5 x~ -2

-5lJ=[5X4O 5 x 3

5 x (-2)

5 x (-5)5x lJ = [205 x O 15

-10-25 ~J

1.9.1 - Propriedades da multiplicação de umamatriz por um escalar

Para Àe /.I. escalares quaisquer e A e B matrizes de mesma ordem, tem-se:

I) (À/.I.) A::;:: À{/.I.A)

II) (À+/.I.) A = ÀA + /.I.AID) (À-/.I.) A = ÀA-/.I.A

6 Matrizes, Detemánantes e Sistemas de Equações Lineares

IV) À (A + B) = À A + illV) IA = A

1.10 - PRODUTO DE UMA MATRIZ POR OUTRA

Sejam as matrizes AO,4) e B(4,O

A = [4 3 2 5] e B ~mo produto AB é, por defmição, uma matriz CO,l) tal que:

CH = 4 x 6 + 3 x 4 + 2 x 5+ 5 x 3 = 24 + 12 + 10 + 15 = 61

isto é, cH é a soma dos produtos, na ordem em que estão dispostos, dos elementos da ma.triz-linha A pelos elementos da matriz-coluna B. A matriz Co,o = [61] é o produto da

matriz ~1,4) pela matriz B(4,2) O dispositivo abaixo facilita, visualmente, entender adefinição do produto da matriz ~1,4) pela matriz B(4,O:

. .' .............. .:. . .:. . ~. ..: . .~. ... '(=J..................................• . 2 x 5 = 10 5. . .

• 5 x 3 = 15 3.. - .61

[4 3 2 5]·················· .. ·.··· [61]

A condição para multiplicar a matriz AO.4) pela matriz B(4.0' de acordo com adefinição, é que o número de linhas de B (no caso, 4) seja igual ao número de colunas deA (no caso, também 4). Por outro lado, a ordem da matriz-produto C é dada pelo númerode linhas de A (no caso, 1) e pelo número de colunas de B (no caso, também 1), isto é,

Matrizes 7

CO,l). Se se escrever em seqüência a ordem da matriz A e a ordem da matriz B:

f i(1,4) (4,1)4 •

O 22 e 32 números, sendo iguais, indicam que a multiplicação é possível, e o 12 e 42

números indicam a ordem da matriz-produto c:

A. , B '• \1,4) X (4,1)e..' ---fi

Suponha-se que se deseja multiplicar uma matriz Ao,4) por uma matriz B(4,2):

A. t B t• \1,4) x (4,2)

• •Tendo em vista que o 22 e o 32 número são iguais, a multiplicação é possível, e

a ordem da matriz-produto C será dada pelo 12 e 42 números:

~1,4) x B(4,2) = CO,2)

Sejam as matrizes:

A ~ [4 3 2 5] e B ~ [~ ~]

Para efetuar o produto da matriz-linha AO,4) (daqui por diante chamada simplesinente linha) pela matriz B(4,2)' considera-se cada coluna de B como uma matriz-coluna(daqui por diante chamada simplesmente coluna) e efetua-se o produto da linha A pela I!coluna de B, obtendo-se o 12 elemento de C; a seguir, efetua-se o produto da linha A pela2! coluna de B, obtendo-se o 22 elemento de C. O dispositivo a seguir facilita o entendimento do processo:

·.... .... :.. ~.·1· ::: .ii ...!~ ..~! j .~..i..~ ..~.· ........................... . .: : 2 x 5 = 10 5 7 2 x 7 = 14: : : •••••••• • -5- • ~. ·3 .~ .is ... 3· 4- .. -5 -. ~. ·4· .~ .iô·· . . ...................... . .· . ... 61· . 44· . . . . .· . . .

@ 3 2 5}··· · [§i ~J


A matriz C(l,Z) = [61 44] é o produto das matrizes A(l,4) e B(4,Z).

Suponha-se, agora que se deseja multiplicar uma matriz ~Z,3) por uma matriz

• tA(Z,3) x B(3,4)

• •Tendo em vista que A é de ordem (2,3) e que B é de ordem (3,4), o produto

existe e é uma matriz C(Z,4):

A(Z,3) x B(3,4) C(Z,4)

Sejam as matrizes

A = ~ 2 :] B ~ ~2 4

~]5e 3 1

2 7

Para efetuar O produto das matrizes A e B, considera-se cada linha da matriz Acomo uma matriz-linha (chamada linha) e cada coluna de B como uma matriz-coluna(chamada coluna). A seguir, multiplica-se a 1~ linha de A sucessivamente pela 1~, pela 2~,

pela 3~ e pela 4~ colunas de B, obtendo a primeira linha da matriz C. Em continuação,multiplica-se a 2~ linha de A sucessivamente pela 1~ linha, pela 2~, pela 3~ e'pela 4~ colunas de B, obtendo-se a 2~ linha da matriz-produto C:

2

5x

2

32

4

17

[30~3

26

25

60

34 :] = C(Z,4)

Conforme foi explicado antes, o elemento CZ4 = 20, por exemplo, foi obtidomultiplicando a 2~ linha de A pela 4~ coluna de B:

CZ4 = 2(1) + 5(0) + 3(6) = 2 + O + 18 = 20

e os demais elementos de C, de modo análogo.

De acordo com o que foi visto até agora, pode-se dizer, por exemplo, que:

A(3,5) X B(5,6) = C(3,6)

A(Z,7) x B(7,4) = C(Z,4)

A(5,4) x B(4,8) = C(5,8)' etc.

Matrizes 9

1.10.1 - Cálculo de um elemento qualquerde uma matriz-produto

Sejam as matrizes:

Tendo em vista que A é de ordem (2,3) e que B é de ordem (3,3), o produto éuma matriz C, de ordem (2,3):

C13Jc~3

o elemento c23 ' por exemplo, obtém-se multiplicando a 2! linha de A pela 3!colunadeB:

Assinalando o 22 índice de "a" e o 12 índice de "b", vê-se que, em cada parce- .

la, eles são iguais:

Essa expressão pode ser escrita do seguinte modo:

k=3I

k=l

isto é, C23 é o somatório dos produtos ~k~3' k variando de 1 a 3. Um elemento qualquercij da matriz C será calculado do seguinte modo:

k=3cij I aik ~j

k=l

Essa expressão é que, na verdade, defme o produto C(2,3) = A(2,3) x B(3,3). Generalizando, se A(m,n) = [~j] e se B(n,p) = [bij], o produto AB é uma matriz C(m,p) tal que:

10 Matrizes, Determinmltes e Sistemas de Equações Lineares

k=n

cij I anc l>tj

k=l

-1.10.2 - Não comutatividade da multiplicação de duas matrizes

Em geral, a existência do produto AB não implica a existência do produto BA.Exemplo:

Entretanto, o produto B(5,6) x A(3,5) não existe porque 6 # 3, isto é, o número decolunas da I!! matriz não coincide com o número de linhas da 2!! matriz.

Mesmo quando as multiplicações A x B e B x A são possíveis, os dois produtossão, em geral, diferentes:

A(4,3) x B(3,4) = C(4,4)

B(3,4) x ~4,3) = D(3,3)

Ainda que A e B fossem matrizes quadradas de ordem n, os produtos AB e BAseriam também matrizes quadradas de ordem n e, ainda assim, difeririam. Sejam porexemplo as matrizes:

A= [~ ~] e B ~ ~J

~ ~J x ~ ~ = G7 2~AB39 53

BA = ~ ~] x ~ ~ = ~6 :]30

Os produtos AB e BA são diferentes, o que significa que a multiplicação deduas matrizes não é comutativa. Existem, entretanto, matrizes A e Btais que AB = BA,porém essa não é a regra. Há dois casos que interessam particularmente e um deles é oseguinte: AI = IA = A. Exemplo:

Matrizes 11

f6 -31 fi 01 fi 01 f6 -31 f6 -31~2 7J x 'º lJ = \Q lJ x ~2 II = ~2 7J

o outro caso será visto no item 3.1, Capítulo 3.

1.10.3 - Propriedades da multiplicação de uma matriz por outra

Admitindo que as ordens das matrizes possibilitem as operações, tem-se:

I) (AB) C = A (BC)

II) (A + B) C = AC + BC

III) C (A + B) = CA + CBIV) (a A) B = A (a B) = a (AB), a E RV) AB ;4 BA, em geral

VI) Se AB = O, não é necessário que A = Oou B = O. Ex~plo:

Mas, se AB = O, qualquer que seja B, então A =.O; do mesmo modo, se AB = O,qualquer que seja A, então B = O.

1.11 - MATRIZ TRANSPOSTA

A matriz transposta da matriz A, de ordem m por n, é a matriz N, de ordem npor m, que se obtém escrevendo ordenadamente as linhas de A como colunas. Exemplos:

~J

1.11.1 - Propriedades da matriz transposta

Para ). um escalar qualquer e para A e B matrizes de mesma ordem, tem-se:


I) (A + BBi = At + Bt

m(XAi = XAt"-III) (A t) t= A

IV) (-Ai = _At

V) (AB)t = BtAt

As propriedades de I a N· são imediatas. A propriedade V será verificada pormeio do seguinte exemplo:

a)

A(3~) ~[~ ~} B(2,2) = [~ ~J

AD ~[~ ~] [~ J [10 I:l. (AD)' ~ ÚO ~~] (1)2 _ 6 6

4 - 14 20 14 8

b)

t U O2J t e :]A (2,3)= 3 2 4 e B(2,2) = 2

O

22] = [104 14

6

814120J (2)

Comparando (1) e (2), verifica-se que (ABi = BtA~

1.12 - MATRIZ SIMÉTRICA

Uma matriz quadrada S = [~j] é simétrica se st = S. Exemplo:

Matrizes 13

• O produto de uma matriz quadrada A pela sua transposta At é uma matrizsimétrica. Exemplo:

A~[j4

-~] At~[:2

1J. ~6-1

19~3 3 AAt = -1 -12 -44 = S = st1 -5 19 -44 86

• A soma de uma matriz quadrada A com a sua transposta Até uma matrizsimétrica. Exemplo:

A~t~4

~] A' ~[:-3 5] l2 1

1~] ~S~ S'-1 -1 7 A+At = 1 -2.5 7 1 , 2 9 1 , 7 16

1.12.1 - Propriedade da matriz simétrica

Uma matriz quadrada A = [~j] é simétrica se, e somente se, os elementosdispostos simetricamente em relação à diagonal principal são iguais.

1.13 - MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA

Uma matriz quadrada A é anti-~trica se At = -A. Exemplo:

3

O

6

-3

O

-6

• A düerença B = A - At entre uma matriz quadrada A e a sua transposta At éuma matriz anti-simétrica. Exemplo:


A=r~ ~ ;] At=r~ : ~] .B=A_At=[~ -~ -~J Bt=r_~ ~ -502] =-Bb 6 9, b 1 9, -2 5 O, L2 -5

1.13.1 - Propriedade da matriz anti-simétrica

Uma matriz quadrada A = [~j] é anti-simétrica ·se, e somente se, ~j = - ~i' istoé, se os elementos dispostos simetricamente em relação à diagoDal principal são opostos eos elementos da diagonal principal são nulos.

1.14 - PROBLEMAS RESOLVIDOS

1) Dadas as matrizes

A= [Y + 4 2] e B= ~192 2J9 X 2 + 4 53 ,

calcular y e x de modo que A seja igual a B, isto é:."

[Y ;4 x2 ~ 4] = [1~ 5~],

Solução:

Pela definição de i~dade de matrizes, deve-se ter:

Y + 4 = 12 :. Y = 8x2 + 4 = 53

.~x2 = 49

x=±7

Matrizes 15

Os problemas de 2 a 4 se referem às matrizes:

3 8] [-3 71]9-6 B=-4254 -1 , O 9 4

e C~~

2) Calcular A + B

Solução:

3 8] [-3 7 1] [_1 10 9

J9 -6 + -4 2 5 = -9 11 -14 -1 O 9 4 7 13 3

3) Calcular C - A

Solução:

~7 -8

C-A = 4 -3

9 -5

4) Calcular 3A - 2B + 4C

Solução:

~l_ L~ ~ ~1= [~ ~~~ -~ld L7 4 -;J 2 -9 ~J

Fazendo D = 3A - 2B + 4C, vem:

[23 8] [-3D = 3 -5 9 -6 - 2 -4

7 4 -1 O

71]. [7-83]2 5 + 4 4 -3 29 4 9 -5 1

[

6 9D = -15 27

21 12

D=r~G7

-3711

-26

-~J + [:-3 O

_~l-;J

-14 _2J [28. -32 12J-4 -10 + 16 -12 8

-18 -8 36 -20 4


5) Calcular (A + B) C

Solução:

(A + B) foi calculado no problema 2. Logo:

[-1 10 9J ~ -8(A + B) C = -9 11 -1 4-3

7 13 3 9-5

3] [114 -67 26J2 = -28 45 -61 128 -110 50

Este problema poderia ser resolvido calculando AB e AC e, após, determinandoAb + AC. (Exercício a cargo do leitor).

6) Calcular o produto das matrizes:

A _r-8 4 -6 lJ _r~ -~l(2,4) - L2 -5 7 3 • B(4,2) - ~ -~J

Solução:

11 [~ -~J = [5 -213J 1 -5 6 7J

3 8

7) Calcular o produto das matrizes:

A = r~ ~ ~J e X = [;]l~ 7 -2 z

Matrizes 17

Solução:

[2 3 4] [x] [2X + 3y + 4Z

JA(3,3) x ~3,l) = C(3,l) = ·3 5 -4 Y = 3x + 5y - 4z

4 7 -2 Z 4x + 7y - 2z

É interessante assinalar que a matriz C tem 3 linhas e uma só coluna:

• o elemento da I!! linha é: 2x + 3y + 4z;

• o elemento da 2!! linha é: 3x + 5y - 4z;

• o elemento da 3!! linha é: 4x + 7y - 2z.

O fato de que a matriz C tem 3 linhas e uma s6 coluna permite escrever, sob aforma matricial, o seguinte sistema de equações, por exemplo:

!2x + 3y + 4z = -43x + 5y-4z = 254x + 7y-2z = 24

De fato, fazendo:

A=r~ ~ ~l x=[;Je B=[2~1l~ 7 -~, z 24j,

pode-se escrever que AX = B, ou:

ou, ainda:

~x + 3y + 4J ~-4~

3x + 5y - 4z = 254x + 7y-2z 24


e, de acordo com a definição de igualdade de matrizes:

\

2X + 3y + 4z = -43x + 5y -4z =25

4x + 7y - 2z = 24

-Os problemas de 8 a 12 se referem às matrizes:

[4 _5]

A = 3 -7-2 4,

Solução:

B = f-4 6 -31 C = f4 -3J e~3 5 sJ, 11 2

At = [4-5

9) Determinar Bt

Solução:

3-7

[-4 -3~Bt = 6 5-3 8

10) Calcular (AB)t

Solução:

Em 1.11.1, propriedade VI, viu-se que:

Matrizes 19

mas Bt e At foram determinados nos problemas 9 e 8, respectivamente. Logo:

[-4 -3] [ J [-1 9-4~t t t . 4 3 -2(AB) = B (3,2) A (2,3) = 6 5 -5 -7 4 = . -1 -17 8

-3 8 . -52 -65 38

Este problema poderia ser resolvido calculando, em primeiro lugar, AB = E e,

após, determinando E t:

-1-17

8

-52~-6538

[

-1 9(ABi = E t = -1 -17

-52 -65

11) Calcular Bt C

Solução:

A matriz Bt foi determinada no problema 9. Logo:

12) Calcular (AB)t D

Solução:

(AB)t foi calculado no problema 10. Logo:

~-1 9

(AB)t n = -1 -17. -52 -65

~l r~ -~ ~l = r-~3~J G 1~J ~14

1

13

298

13~-34-130


13) Dada a matriz

A = fio7

-251L -toJ,

calcular A x A = A2

Solução:

A matriz A2 é chamada potência 2 da matriz A. Neste problema, comoA2 = A, A é chamada de matriz nihilpotente.

14) Dada a matriz

A=[~

calcular A2

Solução:

-~ _~l4 -;J,

A2 = [_~ -~ _~l [_~ -~ _~l = [~ -~ _~l-4 4 -;J -4 4 -;J -4 4 -;J

Tendo em vista que A2 = A, A é chamada de matriz idempotente

Matrizes 21

1.15 - PROBLEMAS PROPOSTOS

Nos problemas 1 a 3, calcular os valores de m e fi para que as matrizes A e Bsejam iguais.

1)

A _[ 8 150J = ~8 7~J12 +m 3 e B 6 3

2)[m

2-40 02+ j rI 1~]A= e B =6 3 6

3)

A =[: :2J e B = [: lOx~25J

OS problemas 4 a 12 se referem às matrizes:

A=r 3 8J B = ~ -7 -9] C = [o 9 :]4 -1 -6, 041 e 144) Calcular A + B5) Calcular B + C6) Calcular A + C7) Calcular A - B8) Calcular A - C9) Calcular B - C

10) Calcular X = 4A - 3B + 5C11) Calcular X = 2B - 3A - 6C12) Calcular X = 4C + 2A - 6B

Nos problemas 13 aIS, efetuar a multiplicação das matrizes A e X.

13)


14)

15)

A =l~ ~ ~ ~] e X = [:~J-2 4 5 -7 x3

9-9-86 x4

Os problemas 16 a 21 se referem às matrizes:

A=[7~ --4~J B = [~ ~ ~: -;], C = ~~ :J e

5 9,

16) Calcular AB17) Calcular (AB)D18) Calcular A(BD)19) Calcular BA20) Calcular (BA)C21) Calcular B(AC)

22) Determinar a matriz At transposta da matriz

~4 3 -~

A = 1 -7 O -2

8 -9 6 -4

Os problemas 23 a 27 se referem às matrizés

[

1 7 3 -1D = -: -~ -~ -~

5 3 2 -3

~5 O

-8 OA=-2 21 -1

-3 -28 56 3

Matrizes 23

23) Calcular (AB)t24) Calcular (AB)Dt

25) Calcular A(BDt)

26) Calcular Bt C

27) Calcular 2 (AíB~ + 3 Ct

Nos problemas 28 a 31, dada uma matriz A em cada um deles, calcular A2 e

classificar A.

28) 29)

A= [~ ~J A=[12 16J-9 -12

30) 31)

A=[5 1TI A=[6 10]-2 -4 -3 -5

1.15.1 - Respostas ou roteiros para os problemas propostos

1) n = 5 e m =-62) m = ± 9 e n = ± 33) x = 54 a 6) Roteiro: Esses problemas são resolvidos de modo análogo ao do problema 2

do·item 1.14.

7 a 9) Roteiro:

10 a 12) Roteiro:

3 a 15) Roteiro:

Esses problemas são resolvidos de modo análogo ao do problema 3do item 1.14.




,16) Roteiro:

17) Roteiro:

18) Roteiro:

19) Roteiro:

20) Roteiro:

21) Roteiro:

22) Roteiro:

23) Roteiro:

Esse problema é resolvido de modo análogo ao do problema 6 doitem 1.14.

I!:?) Calcular ~4,4) = A(4,2) x B(2,4) (já calculado no problema 16)2!:?) Calcular F(4,4) = E(4,4) x D(4,4)

I!:?) Calcular G(2,4) = B(2,4) x D(4,4)2!:?) Calcular H(4,4) = A(4,2) x G(2,4)


I!:?) Calcular J(2,2) = B(2,4) x A(4,2) (já calculado no problema 19)2!:?) Calcular 42,2) = J(2,2) x C(2,2)

I!:?) Calcular ~4,2) = A(4,2) x G2,2)2!:?) Calcular N(2,2) = B(2,4) x ~4,2)


I!:?) Calcular ~4,4) = A(4,3) x B(3,4)2!:?) Determinar Et= (AB)t

ou:I!:?) Determinar At(3,4)

2!:?) Determinar B\4,3)

3!:?) Calcular Bt Af = (AB)t - Proriedade V da matriz transposta,item 1.11.1).

Esse 2!:? roteiro é conveniente quando se conhecem as transpostas de A e de B.

24) Roteiro:

25) Roteiro:

26) Roteiro:

'17) f'c()teiro:

I!:?) Calcular AB = E (já calculado no problema 23)2!:?) Determinar Dt

3!:?) Calcular EDt = F

I!:?) Determinar Dt (já determinado na problema 24)2!:?) Calcular BDt = G3!:?) Calcular AG = H

I!:?) Determinar Bt2!:?) Calcular Bt C = J

I!:?) Determinar At2!:?) Determinar Bt (já determinado no problema 26)3!:?) Calcular At Bt = K

28) A é nihilpotente29) A é nihilpotente

30) A é idempotente31) A é idempotente

42) Calcular 2 K52) Detenninar Ct

62) Calcular 3 Ct = L72) Somar 2 K + L

Matrizes 25

CAPíTULO 2DETERMINANTES

2.1 - CLASSE DE UMA PERMUTAÇÃO

Considere o leitor uma permutação

a c b

dos três elementos a, b, c e seja

a b c,

na qual os elementos estão na ordem alfabética, a permutação principal. Diz-se que doiselementos de uma permutação formam uma inversão se estão em ordem inversa à da

permutação principal.

Assim, na permutação dada acb, os elementos c e b fonnarn uma inversão.

Uma permutação é de classe par ou de classe fmpar, conforme apresente umnúmero par ou ímpar de inversões.

A permutação acb é de classe ímpar.

26

Determinantes 27

2.2 - TERMO PRINCIPAL E TERMO SECUNDÁRIO

Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, ao produto dos eleméntos da diagonalprincipal dá-se o nome de termo principal, e ao produto dos elementos da diagonalsecundária dá-se o nome de termo secundário.

• Termo principal: a11, a12• al3' '" , l\m• Termo secundário: a 1n ' a2 n-l • a3 n-2' ••• , an l

2.3 - DETERMINANTE DE UMA MATRIZ

Chama-se determinante de uma matriz quadrada à soma algébrica dos produtosque se obtém efetuando todas as permutações dos segundos índices do termo principal,fixados os primeiros índices, e fazendo-se preceder os produtos do sinal + ou -, conformea permutação dos segundos índices seja de classe par ou de classe ÚDpar.

• A utilização da definição e o cálculo de determinantes serão feitos logo apósserem dadas algumas informações necessárias para a melhor compreensão do assunto.

• Chama-se ordem de um determinante a ordem da matriz a que o mesmocorresponde. Se a matriz é de ordem 3, por exemplo, o determinante será de ordem 3.

• A representação do determinante de uma matriz A, que será designado pordet A, faz-se de maneira análoga à da matriz, colocada entre dois traços verticais:

311 a12 31n

321 322 a2ndetA =

• Apesar de o determinante de uma matriz quadrada A = [~j]' de ordem n, serum número real, costuma-se, por comodidade, uma vez que aquele número é calculado apartir dos elementos das linhas e das colunas da matriz, falar nas linhas e nas colunas dodeterminante.


2.4 - PRELIMINARES PARA O CÁLCULODOS DETERMINANTES DE 2? E DE 3? ORDEM

Para a correta aplicação da definição de determinante de uma matriz,considerem-se as tabelas constantes dos itens 2.4.1 e 2.4.2.

2.4.1 - Tabela referente às permutações dos números 1 e 2

o total de pennutações dos números 1 e 2 é: P2 = 2 ! = 1 x 2 = 2.

Permutação Número de OassedaSinal que

principalPermutação

inversões permutaçãoprecede oproduto

12 12 O par +12 21 1 ímpar -

2.4.2 - Tabela referente às permutações dos números 1, 2 e 3

o total de pennutações dos números 1,2 e 3 é: P3 = 3 ! = 1 x 2 x 3 = 6.

Permutação Número de OassedaSinal que

principalPermutação

inversões permutaçãoprecede oproduto

123 123 O par +123 132 1 ímpar -123 312 2 par +123 213 1 ímpar -123 231 2 par +123 321 3 ímpar -

Determinantes 29

2.5 - CÁLCULO DO DETERMINANTE DE 2~ ORDEM

o determinante de 2!! ordem é o que corresponde à matriz de ordem 2:

o termo principal é au a12 e os segundos índices são 1 e 2. O conjunto {I, 2}admite 2 permutações: 12 e 21, a primeira de classe par e a segunda de classe ímpar. (VerTabela, item 2.4.1.) De acordo com a deftnição de determinante, pode-se escrever:

Por comodidade, costuma-se dizer que o determinante de 2!! ordem é igual aotermo principal menos o termo secundário. Exemplos:

1)

2)

\7 -51det A = = 7(-1) - (-5)(2) = -7 + 10 = 32 -1

detI =I~ ~I= 1(1) - 0(0) = 1 - O = 1

2.6 - CÁLCULO DO DETERMINANTE DE 3~ ORDEM

O determinante de 3!! ordem é o que corresponde à matriz de ordem 3:


o tenno principal é alI a22 a33 e os segundos índices são 1, 2 e 3. O conjunto{I, 2, 3} admite seis pennutaçóes: 123, 312, 231, 132, 213 e 321, as três primeiras declasse par e as três últimas de classe ímpar. (Ver Tabela, item 2.4.1) De acordo com adefInição de detenninante, pode-se escrever:

Na prática, obtém-se essa f6nnula de dois modos que serão vistos a seguir.

2.6.1 - Desenvolvimento do determinante por uma linha

A f6nnula de 2.6 pode ser transfonnada na seguinte:

ou:

isto é, o detenninante da matriz A, de ordem 3, é igual à soma algébrica dos produtos decada elemento da I!! linha pelo detenninante menor que se obtém suprimindo aI!! linha e acoluna correspondente ao respectivo elemento dessa linha, fazendo-se preceder essesprodutos, alternadamente, pelos sinais + e -, iniciando pelo sinal +. Essa maneira deescrever a f6nnula de 2.6 para calcular um determinânte de 3!! ordem é denominadadesenvolvimento do determinante pela ]i! linlul. Exemplo:

det A = ~ ~ ~ = + 21 1 41_ 51 3 41 + 71 381

168-3 82 62 6

det A = 2 (2 - 32) - 5 (6 - 24) + 7 (24 - 6) = 2 (- 30) - 5 (- 18) + 7(18)

det A = - 60 + 90 + 126 = 156

Determinantes 31

• Um determinante pode ser calculado por qualquer linha (ou por qualquercoluna), cuidando-se da alternância dos sinais + e - que precedem os produtos. No casodo determinante de ordem 3, a alternância dos sinais + e -, por linha e por coluna, é aseguinte:

+ ++

+ +

Exemplo: Calcular o mesmo determinante, desenvolveildo-o pela 2!! coluna:

2 5 7 1341 12 71· 12 ~IdetA= 314 =-5 +1 -8

682 62 62 34

det A = -5 (6 - 24) + 1 (4 - 42) - 8 (8 - 21) = -5 (-18) + 1 (-38) - 8 (-13)

det A = 90 - 38 + 104 = 156

2.6.2 - Regra de Sarrus

A fórmula de 2.6 também pode ser obtida pela Regra de Sarrus, que consisteno seguinte:

I!'?) repetem-se as duas primeiras colunas à direita do quadro dos elementos da

matriz A;

2!'?) multiplicam-se os três elementos da diagonal principal bem como os trêselementos de cada paralela a essa diagonal, fazendo-se preceder os produtos do sinal +;

3!'?) multiplicam-se os três elementos da diagonal secundária bem como os trêselementos de cada paralela a essa diagonal, fazendo-se preceder os produtosdo sinal-o Assim:

+ + +


Exemplo: Calcular

257detA 3 1 4

6 8 2

Solução:

det A = + 4 + 120 + 168 - 30 - 64 - 42 = 156

2.7 - DESENVOLVIMENTO DE UM DETERMINANTEDE ORDEM n POR UMA LINHA OU PORUMA COLUNA

Se se repetir o raciocínio e o roteiro do cálculo de um determinante de 3!! ordempara um determinante de 4!! ordem, por exemplo, se chegará à conclusão de que essedeterminante poderá ser calculado desenvolvendo-o por qualquer linha ou por qualquercoluna, devendo-se ter cuidado com a alternância dos sinais + e - que precedem osprodutos, alternância essa que, para o determinante de 4!! ordem, é a seguinte:

+ ++ +

+ ++ +

Derenninanres 33

Exemplo: Calcular, desenvolvendo pela I!! linha:

detA

-2 -3 -1 -2

-1 O 1 -2

-3 -1 -4 1

-2 2 -3 -1

Solução:

O 1 -2 -1 1 -2 -1 O -2 -1 O 1detA = + (-2) -1 -4 1 - (-3) -3 -4 1 + (-1) -3 -1 1 - (-2) -3 -1 -4

2 -3 -1 -2 -3 -1 -2 2 -1 2 2 -3

O 1 -2 -1 1 -2 -1 O -2 -1 O 1det A =-2 -1 -4 1 +3 -3 -4 1 -1 -3 -1 1 +2 -3 -1 -4 (1)

2 -3 -1 -2 -3 -1 -2 2 -1 -2 2 -3

Fazendo:

O 1 -2

=+01-4 1 1_ 1 l-I 11 l-I ~IdetB = -1 -4 1 + (-2)

2 -3-3 -1 2 -1 2

-1

det B = 0(4 + 3) - 1(1 - 2) - 2(3 + 8) = 0(7) - 1(-1) - 2(11)

det B = O + 1 - 22 = - 21

det C = ~~ -~ -~ = + (-1) 1-4 11_ 1 1-311 + (':'2) 1-3

-41-3 -1 -2 -1 -2 -3

-2 -3 -1

det C = - 1 (4 + 3) - 1 (3 + 2) - 2 (9 - 8) = -1(7) - 1(5) - 2(1)

det C = - 7 - 5 - 2 = - 14

-1 O -2 l-I 11 1-3 11 1-3 -11det D = -3 -1 1 = + (-1) 2 - O + (-2)-1 -2 -1 -2 2

. -2 2 -1

det D = - 1 (1 -2) - 0(3 + 2) - 2 (-6 -2) = - 1 (-1) - 0(5) - 2 (-8)

34 Matrizes, Detenninantes e Sistemas de Equações Lineares

det D = 1 - 0+ 16 = 17

-1 O 1 l-I -41 1-:; -41 1-3 -1\detE= -3 -1 -4 = +(':'1) 2 O + 1-3 - -2 -3 -2 2

-2 2 -3

det E = -1 (3 + 8) - 0(9 - 8) + 1 (-6 -2) = -1(11) - 0(1) +1(-8)

det E = - 11 - 0-8 = - 19

Substituindo det B, det C, det D e det E em (1), vem:

det A = - 2(-21) + 3(-14) -1(17) + 2(-19) = 42 - 42 -17 - 38

detA = -55

• Igualmente se pode calcular um determinante de ordem n = 5,6, 7, 8, 10, 50,etc., desenvolvendo-o por uma linha ou por uma coluna, pelo mesmo processo por meio doqual se calcula um determinante de 4~ ordem. Entretanto, esse processo, por envolver umnúmero excessivamente elevado de operações, torna-se quase impraticável. Por isso, noitem 2.9 será visto um processo em que, apesar de conter ainda um número elevado deoperações, esse número é sensivelmente menor do que o do desenvolvimento do determinante por uma linha ou por uma coluna.

• Para se ter uma idéia do número elevado de operações que devem ser feitasno cálculo de um determinante de ordem n ~ 3 pelo processo de desenvolvê-Io por umalinha ou por uma coluna, basta considerar o número de determinantes de ordem 2 quedevem ser calculad9s nesse processo. Assim, o cálculo de um determinante:

a) de ordem 3, implica calcular 3 determinantes de ordem 2;

b) de ordem 4, implica calcular 4 x 3 = 12 determinantes de ordem 2;

c) de ordem 5, implica calcular 5 x 4 x 3 = 60 determinantes de ordem 2:

ti) de ordem 6, implica calcular 6 x 5 x 4 x 3 = 360 determinantes de ordem 2;

e) de ordem 10, implica calcular 10 x 9 x 8 x 7 x· 6 x 5 x 4 x 3 = 1.814.400determinantes de ordem 2.

• Quando n ~ 4, é muito natural que enganos sejam cometidos e que, portanto,o cálculo feito não corresponda ao valor do determinante. Por essa razão (e mesmo que o

Determinantes 35

processo a ser visto em 2.9 seja menos trabalhoso), atualmente se calcula um detenninantepor computador, por meio de um PROGRAMA adequado previamente elaborado.

2.8 - PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

Dentre as diversas propriedades dos detenninantes serão relacionadas, a seguir,_aquelas que, de uma forma ou de outra, dizem mais de perto com o cálculo dosdetenninantes de qualquer ordem ou com as propriedades dos vetores. Essas propriedadesnão serão demonstradas mas tão-somente verificadas por meio de exemplos; por outraparte, sempre que for necessário calcular um determinante desenvolvendo-o por uma linha,isso será feito, por comodidade, pela I! linha, salvo menção expressa em contrário.

I) O detenninante de uma matriz A é igual ao detenninante da sua transposta At,

isto é, det A = At• Exemplo:

[~ ~] ~ ~I= 2(3) - 5(7) = 6 - 35 = -29

• Como conseqüência dessa propriedade, tudo que for válido para as linhas deum detenninante é válido para as colunas e reciprocamente.

mSe a matriz A possui uma linha (ou coluna) constituída de elementos todosnulos, o detenninante é nulo. Exemplo:

ll) Se a matriz A tem duas linhas (ou colunas) iguais, o determinante é nulo.

Exemplo:


det A = 5 (18 - 4) - 5 (18 - 4) + 2 (12 - 12) = 5(14) - 5(14) + 2(0)

det A = 70 - 70 + O = O

IV) Se na matriz A ~uas linhas têm seus elementos correspondentesproporcionais, o determinante é nulo. (Numa matriz A, dois elementos são correspondentes quando, situados em colunas diferentes, estão na mesma linha ou quando, situados emlinhas diferentes, estão na mesma coluna. Exemplo:

det A = I~ :I= 2(9) - 6(3) = 18 - 18 = O

Nesse determinante, os elementos correspondentes das duas colunas sãoproporcionais:

6

2

93

3

V) O determinante de uma matriz diagonal A (superior ou inferior) é igual aotermo principal, isto é, é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Exemplo:

Os dois últimos determinantes, por terem uma coluna com elementos todosnulos, são nulos (II propriedade); logo:

det A = 41 ~ ~I= 4«(1)(2) - 3(0» = 4(1)(2) - O

detA=4xlx2

• Como conseqüência dessa propriedade:

a) o determinante de uma matriz diagonal (por ser ao mesmo tempo diagonalsuperior e inferior) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal;

Determinantes 37

b) O detenninante de uma matriz unidade I, de qualquer ordem (por ser umamatriz diagonal e todos os elementos dessa diagonal serem iguais a 1), éigual a 1. Exemplos:

1 O O5 O O

detD = det~O 1 O

O 2 O = 5 x 2 x 7; =lxlx ... xl=1

O O 7O O 1

VI) Trocando-se entre si duas linhas (ou colunas) de uma matriz A, odetenninante muda de sinal, isto é, fica multiplicado por -1. Exemplo:

det A = ~ ~ 52 = + 1 lo 21_ 3 lo 21 + 5 100 40 I

O 4 12 4 12 O 12

det A = 1(O - 8) - 3(0) + 5(0) = - 8 - O + O = - 8

1 3 5

O 4 12O O 2

de acordo com a propriedade V.

lx4x2=8

Como se vê, ao serem trocadas entre si, a 2!! linha pela 3!! da matriz A, o det Aficou multiplicado por -1, isto é, seu valor foi alterado. Para que se mantenha o valor dodet A, no caso de haver necessidade de trocar entre si duas linhas (ou colunas), seprocederá do seguinte modo:

1 3 5 1 3 5det A = O O 2 = - 1 O 4 12

O 4 12 O O 2

Na realidade, tendo em vista que o det A foi multiplicado por -1, ele, paramanter seu valor, deveria ser dividido por -1 (ou multiplicado pelo inverso de -1, no caso-+). Como o resultado seria o mesmo, se optou pela situação mais simples.


• Quando se desejar trocar, por exemplo, a 2! linha pela 3! de uma matriz Apara facilitar o cálculo de seu determinante, se escreverá assim:

T

135det A = O O 2 -+ ~3:

O 4 12

135det A = - 1 O 4 12

O O 2

Essa operação será utilizada no cálculo de um determinante de qualquer ordem, quando,como aconteceu no presente caso, num determinado estágio do processo do cálculo, nãofor conveniente haver o número zero na diagonal principal: a troca da 2! linha pela 3!tirou o zero da diagonal principal e colocou em seu lugar o número 4.

Vll) Quando se multiplicam por um número real todos os elementos de umalinha (ou coluna) de uma matriz A. o determinante fica multiplicado por esse número.Exemplo:

Na propriedade VI viu-se que:

1 3 5

det AI = O 4 12 = 8

O O 2

Suponha o leitor que se deseje multiplicar a 2! linha por -+ (o que é o mesmo que dividir

os elementos da linha por 4) e calcular o valor do det Az obtido:

det A z = ~ ~ ~ = + 111 31_ 31 O 31 + 51 O ~I002 02 02 O

det A z = 1(2 - O) - 3(0) + 5(0) = 2 - O + O

detAz = 2

Determinantes 39

• Como se vê~.o det Ai ficou multiplicado por -{- ao se multiplicar os elemen

tos da 2! linha por -{- , uma vez que:

1det~ = 2 = (det Ai) x "4 1

8 x4'

isto é, o valor de det Ai' foi alterado. Para que se mantenha o valor do det Ai' no caso de

haver necessidade de multiplicar a 2! linha por -{- , se procederá do seguinte modo:

1 3 5

O 4 12O O 2

135

= 4 O 1 3O O 2

Repetindo o que já foi dito, multiplicar os elementos de uma linha por +- é o mesmo que

dividir os elementos da linha por 4 (ou, o mesmo que dividir o determinante por 4). Daí,porque, para compensar, isto é, para que o determinante mantenha seu valor, é necessário

multiplicá-lo pelo inverso de ~ ,ou seja, por 4•

• Quando se desejar multiplicar, por exemplo, a 2! linha de uma matriz A por+para facilitar o cálculo de seu determinante se escreverá assim:

1 3 5

det Ai = O 4 12

O O 2

135

det Ai = 4 O 1 3O O 2

Essa operação será utilizada no cálculo de um determinante de qualquer ordem, quando,como aconteceu no presente caso, num determinado estágio do processo do cálculo, sedesejar obter o número 1 como um dos elementos da diagonal principal: a multiplicação do

número 4, que estava na 2! linha como elemento da diagonal principal, por ~ , colocouo número 1 no seu lugar.


Se se desejar obter o número 1 em lugar do número 2 no det A2, basta multiplicar a 3!

linha por -}- e fazer a respectiva compensação multiplicando det A2 pelo inverso de

1 . , 2T ' Isto e, por :

,.~

135det A2 = O 1 3

1O O 2 --+2"L3:

1 3 5det A2 = 2 O 1 3

O O 1

• Recapitulando todas as operações feitas até agora com o det A da propriedade VI, tem-se:

1 3 5 1 3 5det A = O O 2 12

1--+ L23: det A =-1 O 4 --+ 4' L2:

O 4 12 O O 2

1 3 5 1 3 5det A = -1 x 4 O 1 3 det A = -1 x 4 x 2 O 1 3

O O 21

O O 1--+2'L3:

Tendo em vista que, pela propriedade V, o determinante de uma matriztriangular superior é igual ao termo principal e, como no último determinante, o termoprincipal é igual a 1 (T = 1 x 1 x 1), vem:

det A = -1 x 4 x 2 x 1 = -8

valor esse que já foi encontrado ao calcular det A no exemplo da propriedade VI.

VIII) Um determinante não se altera quando se somam aos elementos de umalinha (coluna) de uma matriz A os elementos correspondentes de outra linha (coluna)previamente multiplicados por um número real diferente de zero. Exemplo:

1 2 4 110 12

1 14 12

1 14 10

1det A =: 1~ 1~ =+ 1 7 9 - 2 5 9 + 4 5 7

det A = 1 (90 - 84) - 2 (36 - 60) + 4 (28 - 50) = 1(6) - 2(':'24) + 4(-22)

det A = 6 + 48 - 88 = - 34

Determinantes 41

Pretende-se, agora, substituir· a 2!! linha do det A pela soma de seus elementoscom os elementos correspondentes da I!! linha previamente multiplicados por - 4:

2!! linha: 4 10 12

I!! linha: 1 2 4

Multiplicador: -4 -4 -8 -16

Nova 2!! linha O 2 -4

detA I ~ ~ ~ ~ ~ 1 I~ ~1-21~ ~I +41~ ~Idet AI = 1 (18 + 28) - 2 (O + 20) + 4 (O - 10) = 1(46) - 2(20) + 4(-10)

det AI = 46 - 40 - 40 = - 34

• Como se vê, det AI = de A, isto é, a utilização da propriedade VIII nãoaltera o valor do determinante de uma matriz.

• Quando se desejar somar, por exemplo, os elementos da 2!! linha com oscorrespondentes elementos da I!! linha, previamente multiplicados por -4, se escreveráassim:

124detA = 4 10 12 ..... ~-4LI:

579

1 2 4detA= O 2 -4

5 7 9

Essa operação será utilizada no cálculo de um determinante de qualquer ordem,quando, como aconteceu agora, num determinado estágio do processo do cálculo, sedesejar o número "zero" para formar uma matriz triangular. Para facilitar a obtenção dozero é que se utiliza a propriedade VIT, isto é, se faz a operação adequada para substituiro número que está na diagonal principal pelo número 1; e é isso que se verá no próximoitem.


2.9 - CÁLCULO DE UM DETERMINANTE DEQUALQUER ORDEM

Para calcular o detenninante de uma matriz quadrada A, de ordem n (para n ;;. 2,isto é, n = 5,6, 10,20,50, 100, etc.) será utilizado o processo de triangulação.

Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se procederão com as linhas(colunas) de seu detenninante as operações adequadas para transformar a matriz A numamatriz triangular superior (inferior), ao mesmo tempo que se efetuarão com o det A asnecessárias compensações, quando for o caso, para manter inalterado seu valor, tudo deacordo com as propriedades dos detenninantes já vistas e verificadas.

Antes de dar um exemplo, uma explicação se faz necessária ao leitor: o idealseria calcular um detenninante de ordem elevada, mas, no caso, o cálculo se tomariademorado e repetitivo, porque, como já se teve oportunidade de verificar, o processo paraobter o número zero é sempre o mesmo, assim como o processo para se obter o número 1,na diagonal principal, também é sempre o mesmo. Por isso, o exemplo a ser dado será o deum detenninante de 4~ ordem, embora, repetindo, o processo de triangulação seja válidopara o cálculo de um detenninante de qualquer ordem. Por outro lado, é preciso declararque o cálculo de detenninantes de ordem muito grande só foi possível a partir do uso doscomputadores que, em geral, com algumas variações, utilizam o processo de triangulação.Dada a explicação ao leitor, convém ainda dizer que, por comodidade, facilidade noscálculos e por ser bastante prático, para executar o processo de triangulação procura-secolocar, por meio das operações adequadas (e das respectivas compensações quando for ocaso), como elementos da diagonal principal, exceto o último, o número 1.

Obtido o número 1 na 1~ linha e 1~ coluna, isto ~, alI = 1, substituem-se pormeio das operações competentes todos os demais elementos da 1~ coluna por zeros; damesma forma, depois de obter ~2 = 1, substituem-se os demais elementos da 2~ coluna,situados abaixo (acima) de ~2 por zeros, e assim por diante. Quanto a cada um doselementos da diagonal principal da matriz A, três hipóteses podem ocorrer:

1~) o elemento é igual a zero. Nesse caso, deve-se proceder à operação de troca

de linhas e multiplicar o det A por -1, como compensação, isto é, para que det A conserveseu valor;

2~) o elemento é igual a k. Nesse caso, deve-se multiplicar todos os elementos

da linha por+'com o que se obtém o número 1 como elemento da diagonal principal

Determinantes 43

dessa linha. Por outro lado, para compensar, isto é, para que det A mantenha seu valor,

deve-se multiplicá-lo pelo inverso de +'ou seja, por k;

3!!) o elemento é igual a 1. Nesse caso, nada a 'fazer no que diz respeito àdiagonal principal.

Exemplo: Calcular pelo processo de triangulação:

detA

-2 -3 -1 -2

-1 O 1 -2

-3 -1 -4 1

-2 2 -3 -1

detA =-2

131 1

2'2O 3 3 -1

2 2

O 7 5 4

2 2

O 5 -2 1

1 3 1 12 2

detA =-2 -1 O 1 -2 -+ L2 + LI:-3 -1 -4 1 -+ L 3 + 3L1:

-2 2 -3 -1 -+ L4 + 2L1:

1 3 1 1

2 2

O 1 1 23 3det A = -2 (-T

O 7 5 4 7--- -+ L3 -"2~:2 2

O 5 -2 1 -+ L4 - 5~:


1 3 1 1 1 3 1 1--- --2 2 2 2

O 1 1 2 O 1 1 23 3 3 3det A = -2 ("'!") det A = -2 (2)(-6)

O O -6 19 1 O O 1 .193 -+ '6 L3: 18

O O -7 13 O O -7 13L4+7~:- - -+

3 3

1 3 1 1--2 2

O 1 1 2

3 3·detA= -2 (2) (-6)

O O 1 19

18

O O O 5518

mas O determinante de uma matriz triangular superior é igual ao termo principal:

55 55Tj = 1 x 1 x 1 (-IS) = -18

logo:

3 55 55det A = -2 ('2) (-6) (-IS) = 18 (-18) = -55

Esse determinante já foi calculado no exemplo do item 2.7 e, como era deesperar, o resultado foi o mesmo.

Determinantes 45


Assim como foi feito em 2.8, sempre que for necessano calcular umdeterminante desenvolvendo-o por uma linha, isso será feito, por comodidade, pela 1~linha.

Nos problemas 1 a 4, resolver as equações:

1)

x-2 x+3 3-1

2 1 3 =60

3 2 1

Solução:

+ (x - 2)1 3

- (x + 3)2 3

+ (x -1)2 1

2 1 3 1 3 2

(x - 2)(1 - 6) - (x + 3)(2 - 9) + (x - 1)(4 - 3) = 60

(x - 2)(-5) - (x + 3)(-7) + (x - 1)(1) = 60

- 5x + 10 + 7x + 21 + x-I = 60

3x = 60-10-21 + 1

3x = 30

30x = 3 10

2)

3 2 x

1 -2 x 8

2 -1 x

Solução:

+ 31~~ :1- 21~ :1 + x I~ ~~I = 8

60


3 (-2x + x)-2 (x-2x) + x (-1 + 4) = 8

3 (-x) - 2 (-x) + x(3) = 8

- 3x + 2 x + 3x = 8

2x = 8

8x = 2" 4

3)

Solução:

10

17-xo

(8 - x) (7 - x) - 10 (2) = O

56-8x-7x + x2 -20 = O

x2 - 15x + 36 = O,

equação cujas raízes são xl = 12 e x2 = 3

4)

Solução:

3-x

-1

1

-1

5-x

-1

1

-1

3-x

O

1

5 - x -1 I(3 -x)-1 3- x

- (-1) l-I -11+11-1 5-x l=0

1 3 - x 1-1

(3 - x) (15 - 8x + x2 - 1) + 1 (-3 + x + 1) + 1 (1- 5 + x) = O

45 - 24x + 3x2 - 3 - 15x + 8x2 - x3 + x - 3 + x + 1 + 1 - 5 + x = O

- x3 + llx2 - 36x + 36 = O

x3 _11x2 + 36x-36 = O

Na equação do 3!? grau, as soluções inteiras, caso existam, são divisoras dotenno independente - 36. Com as devidas substituições na equação acima, verifica-se que

Determinantes 47

x= 2 é uma delas. Conseqüentemente, x- 2 é um fator do polinômio x3-llx2 + 36x - 36.Dividindo o polinômio por (x - 2) a equação poderá ser representada assim:

(x-2) (x2 -9x + 18) = O

(x - 2) (x - 3) (x - 6) = O

As raízes dessa equação são: xl = 2, x2 = 3 e x3 = 6.


Dadas as matrizes:

[34 1] ~4A = -5 -2 -9 B = 3

7 8 6, 7-~ ~Jec=[~ : 1~12 -4 -1 -2 -;j,

calcular, pelo processo de triangulação ou pelo desenvolvimento por uma linha (oucoluna):

1) det A2) detB3) detC4) det (A +B)5) det (A-B)6) det (2A - 3b + 4C)7) det (BC)

14) Calcular o determinante da matriz:

A = [~ ~ ~ -~]1 -1 1 -2

4 -3 5 1

8) det (ACt)

9) det (CB)A10) det C(BA)11) det B(CA)12) Verificar se det (A +B) = det A + det B13) Verificar se det (AB) = det A x det B

a) Desenvolvendo-o pela 2!! linha.

, b) Pelo processo de triangulação.

9) Roteiro: 12) Calcular CB = L22) Calcular LA = M32) Calcular det M

11) Roteiro: 12) Calcular CA = P22) Calcular BP = Q32) Calcular det Q


Nos problemas 15 a 24, resolver as equações dadas.

15) 4 6 x 16) 3 5 75 2 -x =-128 2x x 3x 39-7 4 2x 4 6 7

17) 5 1 3 18) x+3 x+1 x'+4

3x O 1 100 4 5 3 =-77x 2 1 9 10 7

19) 12-x 1 1 20) 1 O x-I

18-2x 3 2 = 10 1 1 x-2 O

15-2x O 1 2 1 x-4

21) 2 x 2 22) 2 6 2

1 1 x =-3 4 x 2 O

1 1 6 2x 8 4

23) 11().X l~xl O24) 7-x -2 O

=10 -2 6-x -2 =0

O -2 5-x


1 a 3) Roteiro: Esses problemas são resolvidos de modo análogo ao dos exemplos do item2.6.1 ou do exemplo do item 2.9.

4) Roteiro: 12) Calcular A + B = E 5) Roteiro: 12) Calcular A - B = F22) Calcular det E 22) Calcular det F

6) Roteiro: 12) Fazer G =2A - 3B + 4C 7) Roteiro: 12) Calcular BC = H22) Calcular G 22) Calcular det H32) Calcular det G

8) Roteiro: 12) Determinar Ct

22) Calcular ACt = J32) Calcular det J

10) Roteiro: 12) Calcular BA = N22) Calcular CN = M32) Calcular det M

Detenninantes 49

12) Roteiro: 12) Calcular det A 13) Roteiro: 12) Calcular det A22) Calcular det B 22) Calcular det B32) Calcular A + B 32) Calcular AB42) Calcular det (A + B) 42) Calcular det (AB)52) Calcular det A + det B 52) Calcular det A x det B62) Comparar det (A + B) 62) Comparar det (AB)

com det A + det B com det A x det B14) Roteiro: As alíneas a) e b) desse problema são resolvidas de modo análogo ao dosexemplos dos itens 2.7 e 2.9 respectivamente.15) x = 2 16) x = 317) x = 5 18) x = 119)x=7 2O)x=-121) x = 5 e x = 3 22) x = 423) x = 18 e x = 5 24) x = 3, x = 6 e x = 9

CAPíTULO 3-INVERSAO DE MATRIZES

3.1 - MATRIZ INVERSA DE UMA MATRIZ

Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se existir uma matriz quadrada B, demesma ordem, que satisfaça à condição:

AB = BA = I

diz"7se que B é inversa de A e se representa por A-I:

AA-l = A-IA = I

• Quando uma matriz quadrada A tem inversa, diz-se que A é invers{vel.Exemplo: dadas as matrizes

A - r8 5l e B _I 7 -5l~1 ~ ~11 ~,

A é inversa de B (ou B é inversa de A). De fato:

50

Inversão de Matrizes 51

3.2 - MATRIZ SINGULAR

Uma matriz quadrada A cujo determinante é nulo é uma matriz singular.Exemplo: a matriz

é singular porque det A = O:

det A = + 1 [~ :] - 4 ~ :] + 7 [~ ~] = 1 (45 - 48) - 4 (18 - 24) + 7 (12 - 15)

det A ~ 1 (-3) - 4 (~6) + 7 (-3) = -3 x 24 - 21 = O

• A matriz singular não tem inversa.

3.3 - MATRIZ NÃO-SINGULAR

Uma matriz quadrada A cujo determinante é diferente de zero é uma matriznão-singular ou regular. Exemplo: a matriz

é não singular porque det A -:;6 O:

detA=+2[~ ~J-3[~ ~J+l~ ~J =2'(6-2)-3{15-6)+1(5-6)

r det A = 2(4) - 3(9) + 1 (-1) = 8 - 27 - 1 = -20

• A matriz não-singular sempre tem inversa.


3.4 - PROPRIEDADES DA MATRIZ INVERSA

I) (A-l)-l = A.

II) A matriz unidade é a sua própria inversa: I = I-I.

Se A e B são matrizes quadradas, de mesma ordem, tem-se:

IV) (A + B)-l = A-l + B-l.

V) (AB)-l = B-lA-l.

Esta propriedade será verificada por meio do seguinte exemplo:

a) Dadas as matrizes

A = [: ~] e C = [~ -:] ,

a matriz C é inversa de A:

AC = IS Sll2 -51 = 11 Oll3 ~l:3 sj Lo lj,

isto é, A-l = C.

b) Dadas as matrizes

B = ~ j e F = [: -~,

a matriz F é inversa de B:

BF = r9 7l r4 -il = 11 oll? 4j ~s 9J Lo lj,


isto é, B-l = F.

c) O produto das matrizes A e B é:

AB = ~ ~] ~ ~ = ~~ ~~]ti) O produto das matrizes B-l e A-I é:

B-!A-! = h~ -~ hi -~ = hi~ -~

e) O produto das matrizes AB e B -1A -1 é:

-1 -1 _ f97 761 r29 -761_ rI(AB) x (B A ) - ~7 2~ l:37 9~ - ~

Tendo em vista que o produto das matrizes AB e B-IA-l é igual a I, a matrizB-IA-l é inversa da matriz AB:

(AB)-1 = B-IA-l

3.5 - OPERAçõES ELEMENTARES

Denominam-se operações elementares de uma matriz as seguintes:

I) Permutação de duas linhas (colunas).

fi) Multiplicação de todos os elementos de uma linha (coluna) por um númeroreal diferente de zero.

ill) Substituição dos elementos de uma linha (coluna) pela soma deles com oselementos correspondentes de outra linha (coluna) previamente multiplicados por umnúmero real diferente de zero.


3.6 - EQUIVALÊNCIA DE MATRIZES

Dada uma matriz A, diz-se que uma matriz B, de mesma ordem, é equivalente àmatriz A, e se representa por B - A, se for possível transformar A em B por meio de umasucessão fInita de operações elementares.

Com relação às operações elementares para transformar uma matriz em outraequivalente a ela, convém ter presente o seguinte:

a) Quando se desejar permutar, por exemplo, a 2!! linha pela 3!! de uma matrizA, se procederá assim:

~1 3

A = O O

O 4 ~1 3 ~AI = O 4 15O O 2

b) Quando se desejar multiplicar todos os elementos da 2!! linha, por exemplo,

d . AI, .a matrIz I por "4 ' se escrevera assnn:

~ 3 5~A z = O 1 3

O O 2

c) Quando se desejar substituir os elementos da I!! linha, por exemplo, da matrizAz, pela soma deles com os elementos correspondentes da 2!! linha previamentemultiplicados por -3, se escreve assim:

[

1 O -4~A 3 = O 1 3

O O 2

• Recapitulando as operações elementares que foram efetuadas com a matriz Aaté obter a matriz equivalente A3, verifIca-se que:

. I) A operação LZ3 foi realizada para tirar um zero da diagonal principal epoder colocar em seu lugar, após adequada operação, o número 1.


II) A operação ~ L2 foi efetuada para, em lugar do número 4 na diagonalprincipal, se obter o número 1.

m) A operação LI - 3~ foi efetuada para, em lugar do número 3, situadoacima do número 1 da diagonal principal, se obter um zero.

Como se vê, com as operações elementares se obtêm os mesmos resultados jáalcançados com as propriedades VI, VII e vm dos determinantes: é que aquelas propriedades eram, na realidade, operações elementares. No caso, entretanto, dos determinantes,a VI e a VII propriedades, quando aplicadas, alteram seu valor, daí a necessidade deefetuar compensações, isto é, realizar operações que anulem tais alterações e mantenhamo valor do determinante. Não é o caso, porém, das matrizes: as operações elementares têmpor objetivo transformar uma matriz A em uma matriz B, equivalente a ela.

3.6.1 - Transformação de uma matriz na matriz unidade

Qualquer matriz quadrada A, de ordem n, não-singular, pode ser transformadana matriz equivalente I, de mesma ordem, por meio de uma sucessão fInita de operações

r elementares.

Antes de dar um exemplo, duas informações ao leitor:

I!) em vez de transformar uma matriz quadrada de ordem eleva<h. na matriz I,de mesma ordem, será utilizada uma matriz de ordem 3, por comodidade tão-somente, paranão ser repetitivo, por ser prático, uma vez que o processo é o mesmo para uma matriz deordem n qualquer (n = 2, 3, 4, 5, 6, 10, 20, 50, 100, etc.);

2!) ao mesmo tempo em que se transforma a matriz A na matriz equivalente 1,pode-se calcular o det A; por essa razão, será colocado um asterisco ao lado de cadaoperação que altera o valor do determinante e, ao [mal, feitas as compensações, quandofor o caso, para manter o valor do determinante, se fará seu cálculo.

t, Exemplo: transformar a matriz quadrada

na matriz equivalente I.


AI ~~1

~] -~-4L,:A~ [~ J l'

-1 ~ -"2L,: 2

2 2

5 5 3 ..... L 3 - 2 LI:

A2~[;1

~ A3~[;2

3J-2 * 2 2

..... ~3: 1 *O 4 O ..... -L·4 z'

4 O -4

A4~~ -~1

A, ~[~ 1]1 ..... L I -'2 L2: O-2

1 11 *O O ..... -"4 L3 :

A6~[;O3rL-2L. A, ~[~

O

~]_ I 2 3'2 1

1 O O

O 1

Como se vê. a matriz A, por meio de uma sucessão fInita de operaçõeselementares, foi transfonnada na matriz equivalente I. '

• Tendo em vista que det A7 = det I = 1 e que as operações realizadas com asmatrizes A, Az, A3 e As alteraram o det A, as operações a seguir anularão as alterações epermitirão calcular o det A:

det A = 2 (-1) (4) (-4) (1) = 32

Conferindo:

213

det A = 4 2 2 = + 212

21_ 1 14

21 + 3 .14

21253532325

det A = 2 (6-10)-1 (12-4) + 3 (20-4) = 2 (-4)-1 (8) + 3 (16)det A = - 8 - 8 + 48 = 32


3.7 - INVERSÃO DE UMA MATRIZ POR MEIODE OPERAÇÕES ELEMENTARES

A mesma sucessão ftnita de operações elementares, que transfonna a matrizquadrada A na matriz unidade I, transfonna uma matriz I, de mesma ordem, na matriz A-I,inversa de A.

Para detenninar, pois, a matriz inversa de A:

a) coloca-se, ao lado da matriz A, uma matriz I, separada por um traço vertical;

b) transfonna-se, por meio de operações elementares, a matriz A numa matriz I,aplicando-se simultaneamente, à matriz I, colocada ao lado de A, as mesmas operaçõeselementares.

Exemplo: detenninar a inversa da matriz

A~~1

~]3

3

Solução

~1 7 1 O

~]1 *

[ 1 7 1 O

~]-->-L·2 1· -

3 2 O 1 2 2 2

3 4 O O 3 2 O 1 --> L2 -1 LI:

3 4 O O --> L3 - 5 LI:

11 1 7 1 O O 1 1 7 1 O O --> LI -2~:- - - - - -

2 2 2 2 2 22 *,

O 1 6 2 2 OO 5 3 1 1 O -->-L·- -- .- 5 2· --2 2 2 10 10 5

1O 1 27 5 O 1 O 1 27 5 O 1 --> L3-2"~:- -- -- --- --

2 2 2 2 2 2

58 Matrizes. Detenninantes e Sistemas de Equações Lineares

381 O 38 6 2 O 1 O 38 6 2 O -> LI-IO~:---

lO 10 10 10 10 106

O 1 6 2 2 O O 1 6 2 2 O -> L z+W~---lO 10 5 10 10 5

10 * O O 1 24 2 10O O 132 24 1 1 -> - -L3"-- ---- 132 " ----lO 10 5 132 132 132

1 O O 12 34 38132 132 132

O 1 O 12 54 6-- ---132 132 132

O O 1 24 2 10132 132 132

Uma vez que a matriz A foi transformada na matriz I, a matriz

12 34 38 6 17 19132 132 132 66 66 66

B= 12 54 6 6 27 3132 132 132 66 66 66

24 2 10 12 1 5132 132 132 66 66 66

é a matriz A-I, inversa de A.

o leitor pode fazer a verificação efetuando o produto AB, cujo resultado deveser I.

• O det A, considerando as alterações assinaladas com asteriscos e feitas asdevidas compensações, é:

5 132det A = 2('2) (- 10) x 1 = -66


3.7.1 - Inversão de uma matriz de ordem 2

Detenninar a inversa da matriz:

A= ~ :]

Solução:

[: b 1

~J1

[:

b 1

:]d O--> -LI:

a aa

d O --> L 2 + (-c) LI:

[, ~ 1

1-

Od- ~a

c

a

bc ad - bc(1)d--=a a

mas:

det A = \: :1 ad - bc

Fazendo:

ad -bc = n (2)

e substituindo (2) em (1), vem:

d _ bc n= a ,então:a

~ ~ ~ : L,' ~Ql

bb 1 b 1 --> L --L

I a 2:a a a a

n c 1 c~ja a n


o ...!.-+~ - bla an n

1 c a-- -n n

1 bc n+bc-+-=---a an an

ad-bc+bc ad d _----- = -- = - , entao:

an an n

1 o d bn n

o 1 c an n

Uma vez que a matriz A foi transformada na matriz I, a matriz

é a matriz A-I inversa de A.

3.7.1.1 - Regra prática

Examinando o resultado do item anterior, verifica-se que se pode obter a matrizA-1, inversa da matriz A, de ordem 2, permutando os dois elementos da diagonalprincipal, trocando os sinais dos dois elementos da diagonal secundária e dividindo osquatro elementos de A por det A = n (se n = O, A não tem inver~a).

Exemplos: determinar a matriz Ifiversa de cada uma das seguintes matrizes

sl e A = ~os e -sen el2J ~en ecos eJ


Solução:

1)

detL = 7 6= 28-18 = 10

3 4

e L-I

4 610 10

3 710 10

2)

3)

det M I~ 1~I= 20 - 20 = O e M não tem inversa

4)

d Acos e -sen e 2 2 1et = = cos e + sen e =

sen e cos e

e A-I _ [COS e sen e1

- sen ecos eJ

3.8 - MATRIZ ORTOGONAL

Matriz ortogonal é a matriz quadrada A cuja transposta At coincide com ainversa A-I. A matriz A do exemplo 4, item 3.7.1 é ortogonal. De fato:

A= rcos e - sen el e At = fcos e sen el = A-Il.!en e CDS e J t sen ecos eJ


Nos problemas 1 a 3, determinar por meio da regra prática (item 3.7.1.1) amatriz inversa de cada uma das matrizes dadas


1)

Solução:

2)

Solução:

-4 21 ~26~ _ 242~ ~~30 _ 121~det B = -6 ~8 = 32 -12 = 20 e B-I =

20 20 10 10

3)

c

Solução:

detC = 11~ 1~1=50_51 =-1 e C- I

5 -17-1 -1

-3 10

-1 -1

1-5 17lL3 -lOJ

4) Calcular, por operações elementares, a matriz inversa da matriz:

4 8J6 12

8 16


Solução:

4 8 1 O

6 12 O 1

8 16 O O

12 4 '2 O

6 12 O 1

8 16 O O

Solução:

124 100

21 2 4 1 O O --+ LI -2 L 2:

2

O 2 4 3 O 1

2

1O 2 1 1 O2 2

O 2 4 3 O 1 --+ L 3 -2 L 2:

2

1 *O --+-L'2 2'O 2 4 -1 1

1 O O 3 -1 O

2

O 1 2 12

1 O2

O O O 1 -1 12

Tendo em vista que a matriz A não pode ser transformada na matriz I, ela nãotem inversa, isto é, A é uma matriz singular.

• A matriz A foi transformada numa matriz triangular superior cujos elementosda diagonal principal são 1, 1 e Oe, portanto, o termo principal Tp = 1 x 1 x O = O, o quesignifica que det A = O. Por outro lado, se se considerasse as alterações assinaladas comasteriscos e feitas as devidas compensações, se teria:

det A = 2 x 2 x O = O.

Nos problemas 5 a 8, dadas as matrizes a seguir, verificar se cada uma delas éortogonal:


V3 v'3 v'32v'2

- -I 3 3 3-

[: :1 B~ ~ -J3 3

A= c= eD= v'6 V6 V6I , 2V2 I 3 6 6

3 3

O V2 V22 2

Soluções:

5)

7)

o fato de ser AAt = I implica ser At = A-i e, portanto, A é ortogonal.

BBt = fi -21 rI 21 15 01~ !J 1:2 ~ ~ 5J

Tendo em vista que BBt #- I, B não é ortogonal.

I 2V2 I 2V2- -- - -

~ :]3 3 3 3

CCt = =2 v'2 I 2Y2 I----3 3 3 3

o fato de ser CCt = I implica ser Ct = C-i e, por conseguinte, C é ortogonal.


8)V3 V3 V3 v'3 V6 O- - - -

3 3 3 3 3 1 O O

Dd = v'6 V6 V6 v'3 V6 v'2--- O 1 O3 6 6 3 6 2

O V2 v'2 v'3 V6 V2 O O 1

2 2 3 6 2

o fato de ser DDt = I implica ser Dt = D-I e, por conseguinte, D é ortogonal.

9) Supondo as matrizes A e C quadradas, de mesma ordem e inversíveis, resolver aequação matricial na qual X é a variável.

Solução:a) Pré-multiplicando ambos os membros

por C-I, vem:C-I (CAxt) = C-I C

(C-IC)AXt = C-I C

C-IC = I

IAXt = IIA=A

AXt = I


b) Pré-multiplicando ambos os membrospor A-I, vem:A-I (AXt) = A-I I

(A-IA) X t = A-I I

A-IA = I

A-I I = A-IIXt = A-I

IX=XXt = A-IX = (A-I)t

Nos problemas 1 e 2, transformar na matriz unidade as matrizes dadas.

1)

A = [-~ -~ -~J3 -5 4

2)

[~B=

1

O

O

1

-2

1

66 Matrizes. Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

Nos problemas 3 a 6, detenninar, pela regra prática (item 3.7.1.1), a matrizinversa de cada uma das matrizes dadas.

3) A=[: -1~ 4)B=[~ 1~]-9

5) l7 :] 6)D=[~ -:]c= -4

Nos problemas 7 a 10, verificar se a matriz de cada um deles é ortogonal.

7)

AJ~ :1 8)

B~r ~lt: ~J1 V2-- --2 2

9) 1 O O 10) V2 O v'2- -V2 v'2 2 2

c= O - - V2 O V22 2 D= -O v'2 v'2 2 2

2 2 O 1 O

Nos problemas 11 a 26, calcular a matriz inversa de cada uma das matrizesdadas.

11)

l34

-~12)

B~[~4

~JA = ~ 1 3

-5 6

13)

C~ [~O O

~14)

D{~O

-~1 O -2 -2

2 1 -3 O 2

3 2

,I

!


15)

E~t~O

-~]16) [3 -6 -12J-4 F= ~ 3 -3

-2 -9 -24

17) ti 10

-~18)

H~D2

~]G = -: -4 4

-2 2

19)

~I-2

-Ü20) [3 -1 -3JJ= -2 -4 -5 L= 2 -4 -1

-3 -5 -6 -1 -2 -2

21)

~IO

-~22)

N{~-2

~]M = -1 -1 -1

-1 -1 O

23)

p~ [~2

-ü24) [I -1 14 -2 Q = -3 -3

-1 -7 3 -3 -4 -3

25)

R~ [~O

~J26) li 2 O

U3 s= O -1 2O O O -1

O O O -1

27) Calcular O valor de k para que a matriz

A = [~ ~Jnão tenha inversa.

Nos problemas 28 a 31, supondo as matrizes A, B, C e D quadradas, de mesmaordem e inversíveis, resolver as equações matriciais nas quais X é a variável.

28) ADX=ABC 29) DXt=DC

30) ABCX2D2 = ABCXD 31) D-IXD = AC



1 e 2) Roteiro: Esses problemas são resolvidos de modo análogo ao do exemplo doitem 3.6.1.

3 a 6) Roteiro: Esses problemas são resolvidos de modo análogo ao dos problemas 1 a3 do item 3.9.

7 a 10) Roteiro: Esses problemas são resolvidos de modo análogo ao dos problemas 5 a8 do item 3.9.

11)

13)

15)

17)

14 9 13 12) B não tem inversa3 3 3

A-I = -2 -1 -21 1 1

11O O O 14) 1 O 1

2 2

C-I ~ l: 1 O O D-I = 1 1 1-4 2 4

-2 1 O3 O 14 4

1 -2 1

-4 5 -5 16) 11 4 -2- - -2 3 3

E-I = 1 1 1 p-I = ·2 O 12 2 2 3 3

3 -1 2 2 1 1-2 3 3 3

1 -1 1 18) H não tem inversa2 2

G-I = -1 3 52 2

3 -2 72 2


19) li 3

-r]20)

L-I ~ [:

4 -IJJ-l= = 3 -3 3 -9-2 1 -8 -5 14

21) li o

-~22)

N-I~ G-10

-:JM-l = ~ -1 71 -6 -5

23)

~21

-ü24)

ü7 1

-1]p-l = -1 -1 Q-l = ~ o-3 -2 -2 -1

25) 1 o o 26) -1 -2 -4 22

R-I = o 1 o o -1 -2 -3

3 S-1 =

o o 1 o o -1 -1-7

o o o -1

27) Roteiro: Resolver a equação

[~ ~I = O

pois a matriz cujo determinante é nulo não tem inversa.

28) X = D-IBC 29) X=Ct

30) X = D-l . 31) X = DACn-1

I

CAPITULO 4SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

4.1 - EQUAÇÃO LINEAR

Equação linear é uma equação da fonna:

na qual xl' X2' .", xn são as variáveis; aI az, ...,~ são os respectivos coeficientes dasvariáveis e b é o tenno independente.

• Os valores das variáveis que transfonnam uma equação linear em identidade,isto é, que satisfazem a equação, constituem sua solução. Esses valores são denominadosra(zes da equação linear. Exemplo: a equação

2x+y=1O

admite, entre outras, as raízes x = 3 e y = 4, pois: 2 x 3 + 4 = 10.

70

.·;..rA-~..~

.~-

~•••<•••'••L

Sisterru1S de Equações Lineares 71

4.2 - SISTEMAS DE EQUAçõES LINEARES

A um conjunto de equações lineares se dá o nome de sistema de equaçõeslineares:

{

al1 Xl + a l2 X2 + + a ln ~ = b l

azl Xl + az2 X2 + + azn ~ = b2.. .... .... ..~l Xl +~ X2 + ... +~~ = bm

• Os valores das variáveis que transformam simultaneamente as equações de umsistema linear em identidade, isto é, que satisfazem a todas as equações do sistema,constituem sua solução. Esses valores são denominados ra(zes do sistema de equaçõeslineares.

4.2.1 - Sistema compatível

Diz-se que um sistema de equações lineares é compatfvel quando admitesolução, isto é, quando tem raízes. Um sistema compatível pode ser determinado ouindeterminado:

• o sistema é determinado quando admite uma única solução. Exemplo: osistema

{2x + 3y = 18

3x + 4y = 25

é determinado, pois tem como raízes unicamente x = 3 e y = 4.

• o sistema é indeterminado quando admite mais de uma solução (na verdade,admite infinitas soluções). Exemplo: o sistema

{4x + 2y = 100

8x + 4y = 200


é indetenninado, pois admite infinitas soluções:

x 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 ...Y O 2 4 6 8 10 12 14 16 18 ...

4.2.2 - Sistema incompatível

Diz-se que um sistema de equações lineares é incompatfvel quando não admitesolução. Exemplo: o sistema

{3X + 9y = 12

3x + 9y = 15

é incompatível, pois a expressão 3x + 9y não pode ser simultaneamente igual a 12 e iguala 15 para mesmos valores de x e y.

4.2.3 - Sistema linear homogêneo

Quando num sistema de equações lineares os termos independentes são todosnulos, o sistema é chamado 1wmogêneo. Exemplo: é homogêneo o sistema

{3xI + 6x2 = O

12xI + 24x2 = O

• Todo sistema linear homogêneo tem, pelo menos, uma solução, denominadasolução trivial: ~ = O(no caso, i = 1, 2), isto é, Xl = x2 = O. Além da solução trivial, osistema homogêneo pode ter, não necessariamente, outras soluções, denominadas soluçõespr6prias. No exemplo dado, as soluções próprias são:

isto é, a cada valor arbitrário atribuído a x2 se obtém um valor para xl; e cada conjuntodesses dois valores satisfaz o sistema.

Sistemas de Equações Lineares 73

4.3 - SISTEMAS EQUIVALENTES

Diz-se que dois sistemas de equações lineares são equivalentes quando admitema mesma solução. Exemplo: os sistemas

{3x + 6y = 42

2x --4y = 12e {

X + 2y = 14x-2y = 6

são equivalentes porque admitem a mesma solução: x = 10 e y = 22.

4.3.1 - Operações Elementares e Sistemas Equivalentes

Um sistema de equações lineares se transfonna num sistema equivalente quandose efetuam operações elementares sobre suas equações:

I) Permutação de duas equações.

mMultiplicação de uma equação por um número real diferente de zero.

lII) Substituição de uma equação por sua soma com outra equação previamentemultiplicada por um número real diferente de zero.

• As operações elementares aplicadas a um sistema de equações lineares serãoindicadas do mesmo modo que na inversão de matrizes.

4.4 - ESTUDO E SOLUÇÃO DOS SISTEMASDE EQUAçõES LINEARES

Por razões de ordem didática, o estudo e a solução dos sistemas de equaçõeslineares será feito, separadamente, nos dois casos em que podem se apresentar:

I!?) Sistema de n equações lineares com igual número de variáveis.

2!?) Sistema de mequações lineares em n variáveis (m #- n).


4.4.1 - Sistema de n equações lineares com n variáveis

Para resolver um sistema de n equações lineares com n variáveis serãoapresentados três métodos: o de Gauss-Jordan, o da matriz inversa e o da regra deCramer. Em 4.4.1.4, alíneas a), b) e c), se informará em que casos é conveniente utilizarcada método.

• O método de Gauss-Jordan e o da matriz inversa exigem que a matriz doscoeficientes das variáveis possa ser transformada na matriz I. Em 4.4.2.5, exemplos I e 2,são tratados casos em que a referida matriz não pode ser transformada na matriz unidade,ao mesmo tempo em que se indica a maneira de obter a solução dos sistemascorrespondentes.

4.4.1.1 - Método de Gauss-Jordan

Considere o leitor, inicialmente, o seguinte sistema de equações lineares e suatransformação em sistemas equivalentes, até obter a sua solução:

{

2X + 4y = 22 -> ~ LI:

5x-15y = -20

{Ix + 2y = 11Ox-25y = -75 -> __l_ Lz :

25

f

Ix + Oy = 5

Ox + 1y = 3

isto é, x = 5 e y = 3.

O leitor atento terá verificado que:

ou:

{

Ix + 2y = 11

5x - 15y = -20 -> Lz-5 LI:

{Ix + 2y = 11 -> LI -2 Lz:Ox + 1y = 3

{Ix =5

1y = 3

a) a matriz dos coeficientes das variáveis foi transformada, por meio deoperações adequadas, na matriz unidade; ao mesmo tempo, submetida às mesmasoperações, a matriz-coluna dos termos independentes foi transformada nas raízes dasequações, isto é, na solução do sistema;

Sistemns de Equações Lineares 75

b) as variáveis x e y, durante as operações realizadas, praticamente nãoparticiparam do processo, a não ser por sua presença ao lado dos coeficientes.

Diante dessas duas constatações, é fácil explicar e· entender o método deGauss-Jordan que, por sua vez, é muito simples:

I!?) coloca-se ao lado da matriz dos coeficientes das variáveis, separada por umtraço vertical, a matriz-coluna dos termos independentes:

[~ 41 22J-15 -20

Essa matriz, associada ao sistema de equações lineares, é chamada matriz

ampliada do sistema. Cada linha dessa matriz é uma representação abreviada da equaçãocorrespondente no sistema. O traço vertical é dispensável, mas é colocado para facilitar avisualização da matriz dos coeficientes das variáveis e da matriz-coluna dos termosindependentes;

2!?) transforma-se, por meio de operações adequadas, a matriz dos coeficientesdas variáveis na matriz unidade, aplicando-se simultaneame~te à matriz-coluna, colocadaao lado da matriz dos coeficientes das variáveis, as mesmas operações;

32) transformada a matriz dos coeficientes das variáveis na matriz unidade, amatriz dos termos independentes ficará transformada, ao [mal, na solução do sistema.Exemplo: resolver o sistemarX1 + 1x2 + 3x, ~8

4x1 + 2x2 + 2x3 = 42x1 + 5x2 + 3x3 = -12

Solução:

[:1 3 8r~L. 1 1 3 42 1·

2""2 2 4 2

5 3 -12 4 2 2 4 ~L2-4L1:

2 5 3 -12 ~L3-2L1:


1 1 3 4 1 1 3 4-- --2 2 2 2

O O -4 -12 O 4 O -201

-+~. -+4~:3·

O 4 O -20 O O -4 -12

1 1 3 41

1 13-+ LI -"2 L 2: O 3- -2 2 2 2

O 1 O -5 O 1 O -5

O O -4 -12 O .0 -4 -121

-+ --L3·4 .

1 O 3 133

[~ -:]-+LI-2~: O O- -2 2 1 O

O 1 O -5O 1

O O 1 3

De acordo com o que ficou explicado. o sistema inicial de equação lineares setransformou no sistema equivalente:

{

IxI + OX2 + Ox3 = 2

OXI + lX2 + Ox3 = -5

OxI + Ox2 + Ix3 = 3,

isto é, Xl = 2, x2 = -5 e x3 = 3.

4.4.1.2 - Método da matriz inversa

Seja o sistema:

{

a u Xl + aI2 X2 + + aln xn : b I

~I x2 + a22 x2 + + a2n xn - b2.. .... .... ..anI xl + an2 x2 + ... + ~n xn = bn


Fazendo:

a11 a12 ••. a1n xl b1

A= 8z1 8z2··· 8zn X=X2

B=b2e.

:8n1 8n2 ••• 8nn xn bn

o sistema pode ser escrito sob a forma matricial:

alI a12 ... a1n Xl b1

8z1 a22 .•. 8zn x2 b2

an1 ~ ... ann Xn bn

Ou, utilizando a notação abreviada:

AX=B

Admitindo a existência da matriz A-I, isto é, admitindo que a matriz doscoeficientes das variáveis pode ser transformada na matriz 1-, e pré-multiplicando ambos osmembros da igualdade por A-I, vem:

A-1 (AX) = A-1B

(A-1A)X = j\-lB

A-I A = I

IX = A-1BX = A-1B (1)

A solução do sistema é bastante simples: basta multiplicar a matriz A-I, inversada matriz A dos coeficientes das variáveis, pela matriz-coluna B dos tennosindependentes. Exemplo: resolver o sistema:

f6x + 2y = -6

lOx + 5y = -5

78 Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equnções Lineares

Solução:

Fazendo:

o sistema se transforma em:

AX=B

e a solução é dada pela fórmula (1):

x = A-IB

mas:

[6 25J = 6(5)-2(10) = 30-20 = 10

det A = 10

logo:

e A-I =

510

10

10

6

10

5 2---lO 10

x10 610 10

isto é: xl = -2 e X2 = 3.

4.4. 1.3 - Regra de Cram~r

A regra de Cramer, que não utiliza as operações elementares, é de uso muitorestrito e não será demonstrada (mas verificada por meio de exemplos), consiste noseguinte:

I!?) <-Mcula-se o determinante D da matriz dos coeficientes das variáveis "-i;


2~) calcula-se o detenninante Di da matriz que se obtém da matriz doscoeficientes das variáveis, substituindo a coluna dos coeficientes da variável xi pelacoluna dos termos independentes;

3~) calcula-se xi pela f6rmula:

x. = Di1 D

No caso de um sistema de 2 equações lineares com 2 variáveis, i varia de 1 a 2;se se tratar de um sistema de 3 equações lineares com 3 variáveis, i varia de 1 a 3.Exemplos:

1) Resolver o sistema

j2XI + 4X2 = 22

. 5xI - 15x2 = -20

Solução:

D I~ -1:I=-30 - 20 =-50

DI1

22

-1: I=-330 + 80 = -250-20

D2 =I~ 221 = -40 - 110 =-150-20

DI -250xl = --=--= 5

D -50

D2 -150x2 =--=--= 3

D -50

Este problema foi resolvido em 4.4.1.1, com as variáveis designadas por x e y,como introdução à solução de um sistema de n equações lineares com n variáveis pelométodo de Gauss-Jordan.


2) Resolver o sistema

{

2X1 + 1x2 + 3x2 = 8

4x1 + 2x2 + 2x3 = 4

2x1 + 5x2 + 3x3 = -12

Solução:

o cálculo dos detenninantes, quer pela regra de Sarros, quer desenvolvendo-opor uma linha (coluna), fica a cargo do leitor.

2 8 3

4 4 2 = -1602 -12 3

D213

= 4 2 2

253

328 1 3

4 2 2 64

-12 5 3

2 1 84 2 4 962 5 -12

DI 64Xl = --=--= 2

D 32

D2 -160x2 = -- = -- = -5

D 32

D3 96x3 = --=--= 3

D 32

Este problema foi resolvido em 4.4.1- Exemplo, pelo método de Gauss-Jordan.O leitor, após calcular D, DI' D2 e D3, poderá comparar as duas maneiras de encontrar assoluções e decidir qual delas julga a mais conveniente.

4.4.1.4 - Conveniência da utilização dos métodos de Gauss-Jordan, da matrizinversa e da regra de Cramer

a) É conveniente empregar o método de Gauss-Jordan para resolver sistemas den equações lineares com n variáveis nos dois seguintes casos:


I!?) quando se tem para resolver um único sistema;

2!?) quando se tem para resolver um conjunto de sistemas de n equações (e igualnúmero de variáveis), tais que as matrizes dos coeficientes das variáveis de cada sistemasejam diferentes umas das outras.

• Dentre as inúmeras aplicações do método de Gauss-Jordan, é de se destacar aque, embora não explicitamente, contribui para a solução de problemas de ProgramaçãoLinear.

• De outra parte, deve-se salientar que o método citado é particularmenteindicado quando o número n de equações for relativamente grande.

b) É conveniente empregar o método da matriz inversa no caso em que se tempara resolver conjuntos de sistemas, todos com n equações (e igual número de variáveis),tais que as matrizes dos coeficientes das variáveis de cada sistema sejam todas iguais,variando somente os termos independentes. Nesse caso, basta calcular somente a inversade uma única matriz, com a qual, por meio da fónnula (1) de 4.4.1.2, se resolverão todosos sistemas. Exemplo: resolver os seguintes sistemas de equações lineares:

{

2xl + 1~ + 7x3 = bl

1xl + 3x2 + 2x3 = b2

5xl + 3x2 + 4x3 = b3

1) para

2) para

3) para

Solução:

Fazendo:

b l = 16,

b l = 25,

bl = 3 ,

b2 = -5 ,

b2 = -11,

b2 = 5 ,

b3 = 11

b3 = 5

b3 = -5


os três sistemas se transfonnam em:

1) AX = B 1

2) AX = B 2

3) AX = B 3

e a solução é dada pela fónnula (1) de 4.4.1.2:

1) X = A-IB 1

2) X=A-IB2

3) X = A-IB3

A inversa da matriz A, confonne foi visto no exemplo de 3.7 é:

6 17 1966 66 66

A-I =6 27 3

66 66 66

12 1 566 66 66 ,

por conseguinte:

1)

6 17 1966 66 66

[:] [~] [JX=6 27 3

66 66 - 66

12 1 566 66 66

isto é, xl = 3, x2 = -4 x3 = 2.


2)

6 17 19-66 66 66

~~:] [;] [:]x= 6 27 3-

66 66 66

12 1 5

66 66 66

isto é, Xl = 2, x:2= -7 e x3 = 4.

3)6 17 19

66 66 66

GJ m[:Jx= 6 27 366 66 - 66

12 1 5

66 66 66

isto é, Xl = -3, Xz = 2 e x3 = 1.

• Conjuntos de sistemas desse último tipo se encontram em Macroeconomia,como, por exemplo, no Quadro de Insumo-Produto de Leontieff - Fluxo de Bens eServiços. Países altamente desenvolvidos obtêm desse Quadro conjuntos de sistemas dedezenas ou centenas de equações lineares (e igual número de variáveis), cada sistema coma mesma matriz dos coeficientes das variáveis, mudando somente as matrizes-coluna dostermos independentes. A solução desses sistemas (que implica a inversão de uma únicamatriz) permite calcular a produção que deve ter cada setor em que a Economia Nacionalfoi dividida, a fim de atender às exigências diretas e. indiretas para as utilizaçõesintermediárias (setor produtivo) e final.

A inversão de uma dessas matrizes s6 foi possível com o advento doscomputadores.

c) A regra de Cramer, de uso restrito como já foi dito, é utilizada, em geral,somente para resolver sistemas de 2 equações lineares com 2 variáveis ou, mesmo, de 3equações com 3 variáveis. Para sistemas de mais de 3 equações lineares (e igual númerode variáveis) a regra é praticamente· inaplicável em virtude do elevado número dedeterminantes a calcular.

84 Matrizes, Detemúnantes e Sistemas de Equações Lineares

4.4.2 - Sistema de m equações linearescom n variáveis ( m =1= n)

o método para resolver um sistema de m equações lineares com n variáveis ésemelhante ao método de Gauss-Jordan, visto em 4.4.1.1, com a diferença de que a matrizdos coeficientes das variáveis não pode ser transformada na matriz unidade, porque ela éuma matriz retangular. Entretanto, o procedimento inicial é o mesmo: transforma-se nonúmero 1, por meio de operações adequadas, cada elemento ~j' no qual i = j, e em zerosos demais elementos das colunas em que se situam esses ~j. Depois, feitas algumasconsiderações, se encontrará a solução do sistema. A seguir serão dados três exemplos quefacilitarão a compreensão do método.

1) Resolver o sistema de 3 equações com 2 variáveis:

{

2Xl + 4xz = 16

5xl-2xZ = 410x l -4xz = 3

Solução:

1.....-L·2 1°

..... Lz-5 LI:

..... L3 -10 LI:

Esta matriz corresponde ao sistema:

2 ~-12 -36

-24 -77

1..... - 12 Lz:

{

I Xl + Oxz = 2OXl + 1xz = 3

Oxl + Oxz =-5

que é equivalente ao sistema dado. Ora, como não existem valores de Xl e xz quesatisfazem a 3!! equação (Ox l + Oxz = -5), o sistema é incompatível.

r



2xl + 4x2 = 16

5xl -2x2 = 4

3xl + 1x2 = 9

4xl -5x2 =-7

Solução:

~4 1] ~~L'

~2

-~2 I"

-2 - LZ-5 LI:-2 4

1 9 1 - L3 -3 LI:-5 -7 -5 -L4 -4Ll:

~2

-~J1

~2 ~ ~ LI -21'2'

-12 - -12 Lz: 1 3

-5 -15 -5 -15 - ~ + 5 Lz:-13 -39 -13 -39 - L4 + 13 Lz:

~O

~]r +Ox2~2

1Esta matriz corresponde ao sistema: OXl + 1x2 = 3

O Ox l + OX2 = OO OXl + OX2 = O

que é equivalente ao sistema dado. As 3 ~e 4!! equações não estabelecem nenhuma condição para xl e x2' Portanto, a solução do sistema será dada pelas duas primeiras equações:

{

IXl + Oxz = 2

Oxl + lxz = 3,

isto é, xl = 2 e x2 = 3.


3) Resolva o sistema de 2 equações com 4 variáveis:

12XI - 8xZ + 24x3 + 18x4 = 84

4x I - 14xz + 52x3 + 42x4 = 190

Solução:

[~-8 24 18

11:J

1

[~-+-L' -4 12

9142J2 I'

-14 52 42 -14 52 42 190 -+ L z -4 LI:

[~-4 12 9

I 42J ~-4 12

9142J-+ LI + 4~:

12 4 6 22 -+2~: 1 2 3 11

[~ O 20 21

I ~~J Ix' ~ 86-2Ox,-21x41 2 3 Esta matriz corresponde ao sistema: - 11 2 3-

Xz - - x3 - .. -"4'

isto é, O sistema é compatível e indetenninado, pois admite infInitas soluções. Os valoresde Xl e Xz se obtém atribuindo valores arbitrários a x3 e x4:

arniImnos Icalculados I

X3 3 1 O 5 2 4 · · ·x4 1 2 O 3 5 4 · · ·

Xl 5 24 86 -77 -59 -78 · · ·x2 2 3 11 -13 -8 -9 · · ·

4.4.2.1 - Características de uma matriz

Quando se dispõe de uma inatriz ampliada de um sistema de m equações linearescom n variáveis e se utiliza o método exposto no item anterior para a solução do sistema,isto é, quando se transforma, enquanto for possível, no número 1, por meio de operações

adequadas, cada eleT""\ento ~j' para i = j (alI' az2"")' e em zeros os demais elementos dascolunas em que se situam esses elementos aij , diz-se que a matriz inicial foi transformadanuma matriz em forma de escada.

• A matriz 8lIlpliada do sistema será designada por A e a matriz em forma deescada por B.

Sisterru:zs de Equações Lineares 87

• Nos três exemplos dados no item anterior, obtiveram-se as seguintes matrizesem forma de escada:

a) no exemplo 1:

B = í~ ~ ~JL~ O -5

• A denominação matriz em forma de escada se deve ao modo como estádisposto o número 1 em cada coluna:

~1 O

OL!..O O

b) no exemplo 2:

c) no exemplo 3:

B = [~ O

1

202

21 186l3 llJNesses exemplos, cada matriz B, equivalente à correspondente matriz A,

contém, à esquerda do traço vertical, a matriz V dos coeficientes das variáveis. São,portanto, três as matrizes a considerar. Assim, usando como referência o exemplo 1:

n Matriz ampliada do

sistema (Matriz A)

mMatriz B em formade escada

llI) Matriz V dos coeficientes

das variáveis

A =[~10

4

-2

-4


• Examinando as matrizes B e V, verifica-se que:

a) a matriz B tem 3 linhas com elementos não todos nulos;

b) a matriz V, contida em B, tem 2 linhas com elementos não todos nulos.

Chama:-se caracterfstica de A (da matriz ampliada de sistema), e se representapor Ca, o número de linhas com elementos não todos nulos de B (matriz em forma deescada equivalente à matriz A).

No exemplo 1, Ca =3 porque a matriz B tem 3 linhas com elementos não todosnulos.

Chama-se caracterfstica de V (da matriz dos coeficientes das variáveis contidaem B), e se representa por Cv, o número de linhas com elementos não todos nulos de V.

No exemplo 1, Cv = 2 porque a matriz V tem 2 linhas com elementos não todosnulos.

Como se vê, nesse exemplo 1, B representa um sistema de 3 equações (m = 3)com duas variáveis (n = 2) e Ca > Cv. Nesse caso, o sistema é incompatfvel: a últimalinha de B representa a equação linear Oxl + Oxz = -5 que não é satisfeita para nenhumvalor de xl e de x2•

• No exemplo 2, tem-se:

Nesse exemplo, B representa um sistema de 4 equações (m = 4) com 2 variáveis(n = 2) e Ca = Cv = 2 porque tanto a matriz B como a matriz V têm duas linhàs comelementos não todos nulos. Nesse caso, o sistema é compatível e as duas primeiras linhas

de B informam que Xl = 2 e x2 = 3.

• No exemplo 3, tem-se:

B = fi O 20 2l186l eLOl231lJO 20 2ll

1 2 3JNesse exemplo, B representa um sistema de 2 equações (m = 2) com 4 variáveis (n = 4) eCa = Cv = 2. O sistema é compatível: a primeira linha de B informa que


Xl = 86 - 20x3 - 2Ix4, enquanto a segunda linha informa ser X2 = 11- 2x2 - 3x4; osvalores de xl e x2 se obtém atribuindo valores arbitrários a x2 e x4•

• Quando Ca = Cv se dirá que a caractenstica de B (matriz em forma deescada é C:

Ca=Cv=C

• As defInições permitem concluir que:

Ca;;. Cv

De fato: em virtude de V estar contida em B, as linhas de V com elementos não todosnulos estão contidas em mesmas linhas de B com elementos não todos nulos, o que implicaser, no mínimo, Ca = Cv.

Por outro lado, em virtude de B conter V, as linhas de B com elementos nãotodos nulos podem, eventualmente, ser em maior número do que as linhas de V comelementos não todos nulos, o que implica a possibilidade de ser Ca > Cv.(Os exemplos 1,2 e 3 são bastante esclarecedores.

4.4.2.2 - Característica e número de variáveis

Neste item se tratará somente do caso em que Ca = Cv = C, isto é, em que osistema é compatfvel e se examinará a relação entre característica e número de variáveis.

12) A característica C não pode ser maior do. que o número de variáveis. Paraque a característica C fosse maior do que o número de variáveis, se deveria ter uma matrizreduzida à forma de escada do seguinte tipo, por exemplo:

[~o1

4 ~]sendo r um número real. Nesse caso, a característica C seria 3 e o número de variáveisseria 2. Entretanto, a matriz dada não é uma matriz reduzida à forma de escada: o número4 que aparece na 3!! linha pode ser transformado em zero por adequada operação, enquantoo número r também deverá ser transformado em zero pela mesma operação (se r fossetransformado num número diferente de zero, se estaria fora da hipótese, pois que, no caso,

90 Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equaçóis Lineares

Ca seria maior do que Cv, e a hipótese em que se está trabalhando é que o sistema écompatível, isto é, que Ca = Cv = C). Assim, na verdade, a matriz antes citada é:

o1

O ~]e a característica C = 2 é igual ao número de variáveis n = 2.

22) Quando a característica C é igual ao número de variáveis, o sistema écompatfvel e determinado. É o que acontece com o exemplo 2, citado anteriormente. Amatriz reduzida à forma de escada:

representa um sistema que tem m = 4, n = 2, C = n = 2, e a solução, como já foi visto, é:xl = 2 e x3 = 3.

32) Quando a característica C é menor do que o número de variáveis, o sistemaé compatfvel e indeterminado. É o que acontece com o exemplo 3 citado anteriormente. Amatriz reduzida à forma de escada

O

1

20

2

21

386lllJ

representa um sistema que tem m = 2, n = 4, C = 2, C < n e a solução, como já foi visto,

é: Xl = 86 - 20x3 - 21x4 e x2 = 11 - 2x3 - 3x4, sendo os valores de Xl e x2 obtidosatribuindo-se valores arbitrários a x3 e x4'

4.4.2.3 - Grau de liberdade de um sistema

Chama-se grau de liberdade de um sistema de equações lineares à diferençag = n - C. No já tantas vezes citado exemplo 3, o grau de liberdade do sistema é

g = 4- 2 = 2,

uma vez que, naquele sistema, n = 4 e C = 2.


o significado do grau de liberdade de um sistema de equações lineares, o leitorcertamente já percebeu: informa o número de variáveis às quais devem ser atribuídosvalores arbitrários para calcular cada uma das variáveis restantes.

4.4.2.4 - Características, número de variáveis e soluções

o que foi dito e explicado nos três itens anteriores pode ser assim resumido:

1) A característica Ca de uma matriz ampliada A, que representa um sistema dem equações lineares com n variáveis, não pode ser menor do que a característica Cv damatriz V dos coeficientes das variáveis contida na matriz B reduzida à forma de escada.

2) Quando Ca > Cv, o sistema é incompatível.

3) Quando Ca = Cv = C, C é a característica da matriz B reduzida à forma deescada.

4) C não pode ser maior do que n, isto é, C ,,;;; n.

4.1) Quando C = n, o sistema é compatível e determinado.

4.2) Quando C < n, o sistema é compatível e indeterminado.

5) Grau de liberdade de um sistema é a diferença g = n - C.

4.4.2.5 - Matriz quadrada dos coeficientes das variáveis e matriz unidade

Em 4.4.1 foi dito que, num sistema de n equações lineares com n variáveis, nemsempre a matriz dos coeficientes das variáveis poderia ser transformada na matriz unidadee os casos em que isso ocorresse seriam aqui tratados. Dois exemplos esclarecerão oproblema e indicarão a maneira de obter a solução desses sistemas.


{3X + 9y = 12

3x + 9y = 15

Solução:

[~ 9 12~ ~.!.L"3 I"9 15


Tendo em vista que Ca = 2 e que Cv = 1, isto é, que Ca > Cv, o sistema éincompatível.


!4X + 2y = 100

8x + 4y = 200

Solução:

[

4 2 lOol8 4 200J

1-,>-L·4 I" rI ~ 25l

L8 4 200J -,> L2 -8 LI:

Tendo em vista que Ca = Cv = C = 1 e que n = 2, isto é, C < n, o sistema écompatível e indetenninado. A primeira linha da matriz reduzida à fonna de escadarepresenta a equação Ix = 1'5 - O,5y, isto é, os valores de x são obtidos ao se atribuirvalores arbitrários à variável y (O grau de liberdade g = n - C = 2 - 1 = 1 já podiaindicar que os valores de x dependiam de uma única variável).

• Os dois exemplos já foram mencionados em 4.2.1 e 4.2.2.

• Quando num sistema de n equações com n variáveis a matriz dos coeficientesdas variáveis não puder ser transfonnada, por operações elementares, na matriz unidade(caso dos exemplos 1 e 2), a solução dirá necessariamente que o sistema é incompatívelou compatível e indetenninado.

Ao contrário, quando a matriz dos coeficientes das variáveis pode sertransformada na matriz unidade (caso dos exemplos resolvidos pelo método deGauss-Jordan item 4.4.1.1, e pelo método da matriz inversa, item 4.4.1.2), a solução ésempre compatível e detenninada.

4.4.3 - Permutação de linhas e de colunas na soluçãode sistemas de m equações lineares com n variáveis

Durante a execução das operações para transformar a matriz ampliada de umsistema na matriz em fonna de escada, podem ocorrer os seguintes casos particulares:


12) Numa linha, um zero no local onde se pretente obter o número 1; nessecaso, efetua-se a troca dessa linha pela seguinte ou por uma outra das seguintes, se for ocaso, prosseguindo-se, após, normalmente. Exemplo:

7 15~6 12 ...... L24:9 18

3 14[

1 O

O 2O OO O

~ ~:~9 18

6 12

Em virtude de não resolver trocar a 2!! linha pela 3!!, a solução foi trocar a 2!!linha pela 4!!: agora, em lugar de um zero se tem em ~2 o número 2 que, por adequadaoperação, pode ser transformado no número 1.

22) Ainda, numa linha, um zero no local onde se pretende obter o número 1 sempossibilidade de trocar a linha por qualquer uma das seguintes em virtude de, na colunacorrespondente, somente haver elementos nulos abaixo do citado zero. Exemplo:

~ -~ _~ _~~lO 1 7 3;J

Nesse caso, de nada adianta trocar a linha 2 pela linha 3. Sabendo, entretanto,

que essa matriz representa o sistema:

{

IX1 + 3x2 - 2x3 + 5x4 = 21

OX1 + OX2 + 4x3 - 8x4 = - 20

OX1 + OX2 + 1x3 + 7x4 = 31,

pode-se fazer a troca de duas colunas: a coluna da variável x2 pela da variável x3' troca

que se indicará por C (x2' x3)

~3 -2 52~ [i -2 3 521JO 4 -8 -20 ...... 4 O -8 -20

O 1 7 31 1 O 7 31

~

C(x2• x3)

Com essa operação, em lugar de um zero em ~2 se obtém o número 4 que, poradequada operação, pode ser transformado no número 1.


• A hipótese de haver uma coluna com elementos todos nulos não deveráocorrer: seria o mesmo se a variável não fIzesse parte do sistema. Assim, o sistema:

{

4X1 + OX2 + 2x3 = 12

3x1 + OX2 + 5x3 = 16 {

4X1 + 2x3 = 12é, na verdade:

3x1 + 5x3 = 16

• Em 4.5, na solução do problema 10, aparecem os casos de troca de linhas ede troca de colunas.


Antes de iniciar a solução de problemas, convém esclarecer que:

I) Para classifIcar qualquer sistema de equações lineares (m = n, m ~ n,homogêneo ou não), será usada sempre a mesma notação e utilizado sempre o mesmocritério. Assim:

a) A é a matriz ampliada do sistema (contém a matriz dos coefIcientes dasvariáveis e a matriz-coluna dos termos independentes, ambas separadas por um traçovertical);

b) B é a matriz ampliada reduzida à forma de escada;

c) Ca é a característica da matriz ampliada A (número de linhas com elementosnão todos nulos de B);

ti) Cv é a característica da matriz V, contida em B, dos coefIcientes dasvariáveis (número de linhas com elementos não todos nulos de V);

e) C (quando Ca = Cv = C, o que nem sempre ocorre, pois Ca pode ser maiordo que Cv) é a característica da matriz B reduzida à forma de escada;

f) m é o número de equações;g) n é o número de variáveis;

h) g = n - C é o grau de liberdade do sistema.

Por outro lado:

i) Se Ca > Cv, o sistema é incompatível;


J) Se Ca = Cv = C, o sistema é compatível. Nesse caso:

jI) se C = n, o sistema é determinado;

jz} se C < n, o sistema é indeterminado.

II) Por razões de ordem didática, o estudo da solução de sistemas de equaçõeslineares foi feito, separadamente, nos dois casos em que podem se apresentar, nos itens4.4.1 e 4.4.2 (m = nem ~ n.) Entretanto daqui por diante, até o [mal do Capítulo, salvomenção~xpressa em contrário, será utilizado para a solução de qualquer sistema deequações lineares o método geral da transformação da matriz ampliada A do sistema namatriz equivalente B reduzida à forma de escada.

Nos problemas 1 a 6, classificar e resolver os sistemas:

1)

{ 2x + 4y + 6z ~ -6 Este sistema

A~~4 6 -6

J3x - 2y - 4z = -38 é representado -2 -4 -38Ix + 2y + 3z = -3 pela matriz: 2 3 -3

Solução:

[~1

[~2 3

-~4 6

-6J--+2"LI:

-2 -4 -38 -2 -4 -38 --+ L2 -3 LI:

2 3 -3 2 3 -3 --+ L3 -1 LI:

[~2 3 _3J

[:2

3 -j --+ LI -2 L2:

-8 -13 -2~ --+ -~~: 1 13 29

O O 8 8O O O

1 411 O 1 41 Ix + Oy --z - --

-4 4 44 Esta matriz

2913B= O 1 13 29 corresponde ao Ox+ ly + 8" z -- - 8

8 8 sistema:O O O O Ox+Oy+Oz=O

96 Matrizes, Detemúnantes e Sistemos de Equações Lineares

Examinando a matriz B, verifica-se que Ca = Cv = C =2; logo, o sistema écompatível. Mas n = 3, isto é, C < n, o que significa ser o sistema indeterminado e seugrau de liberdade: g = n - C = 3 - 2 = 1.

De outra parte, examinando o sistema a que corresponde a matriz B, verifica-seque a 3!! equação não estabelece nenhuma condição para x, y e z; por isso, a solução dosistema é dada pelas duas primeiras equações:

-41+zx =---

4e y =

29-13z8

Os valores de x e y são obtidos atribuindo valores arbitrários para z. Assim, se z = 1, porexemplo, vem:

-41 + 1 -40x = ----:-- = - = -10

4 4e y

29-138

16=-= 2

8

Para outros valores de z, são obtidas outras soluções.

2)

lx+y-z=O

2x- 3y+z = O

4x-4y-2z = O

Este sistema é

representado pela

matriz:

1 -1-3 1

-4 -2 ~]Solução trivial: x = y = z = O. Soluções próprias:

[~1 -1

~] [~1 -1

~J1

-3 1 -> L 2 -2 LI: -5 3 -> --L2:5

-4 -2 -> L 3 -4 LI: -8 2

1 1 -1 O -> LI -1 L 2: 1 O 2 O5

O t 3 O O 1 3 O5 5

O -8 2 O -> L 3 + 8 L 2:5

O O 14 O -> --L3:

514


1 O 2 O

5

O 1 3 O

5

O O 1 O

100 O

B= O 1 O O

O O 1 O

Examinando a matriz B, verifica-se que Ca = Cv = C = 3 = n; logo, o sistema écompatível e detenninado. Tendo em vista que o sistema inicial é homogêneo e que écompatível e detenninado, não possui soluções próprias, ou seja, só admite a soluçãotrivial: x = y= z = o.3)

{

3x + 2y - 5z = 8

2x - 4y - 2z = -4

Ix - 2y - 3z = -4

Este sistema

é representadopela matriz:

2 -5-4 -2

-2 -4 ~]Solução:

1-->-L·3 1· 1 2

3

2 -4

1 -2

5

3

-2

-3

8

3

-4 --> Lz -2 LI:

-4 --> L 3 -1 LI:

1 2 5

3 3

0843 3

O 1

8 23 --> LI - "3 Lz:

74

20 83 --> L3 +"3Lz:

125

3 3

14

O 8 4

3 320

3

43

O -~3

1032

32

1032

O 1 14

74

O 1 1

474

1--> L +-L·z 4 3"

O O -2 O O 1 1


o O1 OO 1

31 llX + Oy + Oz = 32J Ésta matri~ corresponde Ox + 1y + Oz = 21 ao sIstema: Ox + Oy + lz = 1

Examinando a matriz B, verifica-se que Ca = Cv = C = n; logo, o sistema écompatível e deternúnado.

De outra parte, examinando o sistema a que corresponde a matriz B, verifica-seque: x = 3, y = 2 e z = 1.

4)3x + 6y = O

3 6 O12x + 24 y = O Este sistema 12 24 O3 é representado 3 3 O-x + 3y = O A=2 pela matriz: 2

3 3 3 3 O-x+-y=O - -4 2 4 2

Solução trivial: x = y = O. Soluções próprias:

6 O1

I 2 O3 -"3LI:12 24 O 12 24 O - ~- 12 LI:

3 3 O 3- 3 3 O <-,> L 3--LI:2 - 2

23 3 O

3- -4 2 3 3 O -L4 - 4 LI:- -

4 2

{

Ix + 2y = OEsta matriz corresponde Ox + Oy = O

ao sistema: Ox + Oy = OOx+Oy=O

Examinando a matriz B, verifica-se que Ca = Cv = C = 1; logo, o sistema écompatível.


Mas n = 2, isto é, C < n, O que significa ser o sistema indetenninado e seugrau de liberdade é: g = n-C = 2-1 = 1.

De outra parte, examinando o sistema a que corresponde a matriz B, verifica-seque as três últimas equações não estabelecem nenhuma condição para x e y; por isso, assoluções próprias do sistema são dadas pela I!! equação:

x = -2y

Os valores de x são obtidos atribuindo-se valores arbitrários a y.

5)

Solução

{

Xl + 2x2 =4

-3x I + 4x2 =3

2xI - x2 =-6

Este sistema

é representado

pela matriz:A =r_~ ~ ~J

L2 -I -6

--+ L 2 + 3 LI:

--+ L 3 -2 LI: [~ 1~ 1:]O 5 -14

1--+-L·10 2·

4~ --+ LI -2 L 2:

1,5

-14 --+ L 3 + 5 Lz: [1 O 1J

B = O 1 1,5

O O -6,5

Examinando a matriz B, verifica-se que Ca = 3 e Cv = 2, isto é, Ca > Cv, oque significa ser incompatível o sistema.

6)

(

Xl + 2x2 =-4

-3xI + 4x2 = -18

2x I - x2 = 7

Este sistema é

representado pela

matriz:

rI 2 _4JA =[~ _~ -1~

]00 Matrizes. Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

Solução:

tI 2 -~-3 4 -18

2 -1 7

I~ ~ ~lL~ -5 I~J

-'> Lz + 3 LI:

-'> L3 - 2 LI:[1 2-4JO 10 -30

O -5 15

1-'>-L·10 z·

A matriz B corresponde ao sistema: llKI + OXz = 2

OX I + lxz =-3

Oxl + OXz = O

Examinando a matriz B, verifica-se que Ca = Cv = C = n; logo, o 8istema écompatível e detenninado.

De outra parte, examinando o sistema a que corresponde a matriz B, verifica-seque a última equação não estabelece nenhuma condição para x e y; por isso, a solução dosistema é dada pelas duas primeiras equações: Xl = 2 e Xz = -3.

7) Estabelecer a condição que deve. ser satisfeita pelos termos independentes a, b e c paraque seja compatível o sistema:

Solução:

{

Xl + 2xz = a

-3xI + 4xz = b

2x I -Xz = c

Este sistema é

representado pela

matriz:A =[-~ ~ :]

-2 -1 c

-'> Lz + 3 LI:

-'> L3 - 2LI:

-,>_I_Lz:10

SístertUls de Equações Lineares 101

1 2

O 1

o -5

a

b + 3a

10

c-2a

1 2

O 1

O O

a

b + 3a

10

b + 3ac-2a + 2

S 2 + b + 3a ç difi d . C 3 C 2' ,e c - a 2 lOSse erente e zero, se tena a = e v = ,ISto e,

Ca > Cv e o sistema seria incompatível. Portanto, para que o sistema seja compatível, énecessário que:

b + 3ac-2a+ -O2 -

ou

2c - 4a + b + 3a = O

-a+b+2c=0

a=b+2c

• Comparando os sistemas dos problemas 5, 6 e 7, verifica-se que todos têm amesma matriz dos coeficientes das variáveis:

a) o 12 é incompatível:

b) o 22 é compatível;

c) o 32 estabelece a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentespara que o sistema seja compatível. Essa condição exige que:

a=b+2c

Ora, na I!! equação, a = 4, b = 3 e c = -6 isto é:4 # 3 + 2 (-6)

4 # 3 -12

4r!'-9

A condição de compatibilidade não foi satisfeita e o sistema se mostrou

incompatível.


Já na 2i.! equação, a = -4, b = -18 e c = 7, isto é:-4 = -18 + 2(7)

-4 = -18 + 14

-4=-4

o que tomou compatível o sistema.

• Nos problemas sobre sistemas, nos quais se solicita que alguma condição sejaestabelecida para que sejam compatíveis ou admitam solução não-trivial, etc., quer nostermos independentes, quer em coeficientes das variáveis, embora se inicie transformandoa matriz ampliada inicial na matriz reduzida à forma de escada, geralmente não énecessário chegar ao rmal: quase sempre, um simples raciocfuio, no decorrer da execuçãodo processo, resolve o problema.

8) Calcular o valor de k para que seja compatível o sistema:

IX I + 2xz =-1

-3x I + 4xz = k

2x I -xz =-7

Solução:

Este sistema é

representado pela

matriz: [1 2 _IJ

A = -3 4 k

2 -1 -1

[~ ~ ~J[2 -1 -7

..... Lz + 3 LI:

..... L 3 -2 LI:

1 L z:..... -10

1 2 -1

O 1 k-3--lO

O -5 -5 ..... L3 + 5 Lz:

1

O

O

2

1

O

-1

k-310

k-3-5+-

2

Se -5 + k;3

fosse diferente de zero, se teria Ca = 3 e Cv = 2, isto é,

Ca > Cv e o sistema seria incompatível. Portanto, para que o sistema seja compatível énecessário que:

k-3-5 + -- = O

2


ou

-10 + k-3 = O

k = 13

• Esse sistema tem a mesma matriz dos coeficientes das variáveis do problema7. Ali foi estabelecido que, para ser compatível, os termos independentes a, b e c dosistema deveriam satisfazer à condição: .

a=b+2c

Ora, nesse sistema, a = -1, b = k = 13 e c = -7, isto é:-1 = 13 + 2 (-7)

-1 = 13 - 14

-1 = -1,

o que tomou compatível o sistema.

9) Determinar o valor de k para que admita solução não-trivial o sistema:

r-Y-Z~O Este sistema é

A~~-1 -1

~]x- 2y -2z = O representado pela -2 -2

2x+ky+z=O matriz: k 1

Solução:

G-1 -1

~J [~-1 -1

~]-2 -2 -> Lz -1 LI: -1 -1 -> -1 Lz:k 1 -> L3 -2 LI: k+2 3

[~-1 -1

~] ~-1 -1

~1 1 1 1

k+2 3 -> L3 + (-k-2) Lz: O -k+1

Se -k+ 1 fosse igual a 1, isto é, se k = 0, a tlltima matriz ficaria assim:

~-1 -1

~J1 1

O 1


e a matriz dos coeficientes das variáveis poderia ser transformada na matriz unidade, doque resultaria Ca = Cv = C = 3 = n e o sistema seria compatível e determinado, isto é,admitiria somente a solução trivial: x = y = z = O.

Portanto, para que o sistema admita solução não-trivial, é necessário que-k + I = O, isto é, k = 1. Nesse caso, como os elementos da 3!! linha seriam todos nulos,a matriz inicial teria, ao final, Ca = Cv = C = 2; mas n = 3 e C < n, o que significariaser o sistema, para k = 1, compatível e indeterminado.

10) Classificar e resolver o sistema:

{2x, + 4x2 - 8x, + 16x4 ~ 32A~~

4 - 8 16 32]3xI + 6x2 - 12x3 + 24x4 = 48

Este sistema 6 -12 24 48é representado 2 2 10 16

2x2 + 2x3 + lOx4 = 16 pela matriz: 8 -10 30 403xI + 8x2 - lOx3 + 3Ox4 = 40

Solução:

~ 3:]1

[~4 -8 16 ~-L' 2 -4 8

1~2 1·

6 -12 24 48 6 -12 24 48 ~L2-3LI:

2 210 16 2 210 168 -10 30 40 8 -10 30 40 ~ L4 -3 LI:

[~2 -4 8

1~ ~2 -4 8

1~O O O ~ L24: 21

2 6 -8 ~2L2:

2 210 16 2 210 162 2 6 -8 O O O O

~2 -4 8

1~ LI -2 L2:

[~O -6 2

11 1 3 1 1 32 2 10 16 ~ L3 -2L2: O O 4 24O O O O O O O O

!C(x3, x4):

[~O 2

~:] ~O 2 -6

1]~ LI -2 L3:

1 3 1 -4 1 3 1 ~ L2 -3 L3:1

O 4 O 24 ~-L' O 1 O4 3"O O O O O O O

[

1 OO 1

B =O OO O

O -6 12]O 1 -22

1 O 6

O O O

Sistemas de Equações L;neares 105

{

lxl + OX2 + OX4 - 6x3 = 12

Esta matri~ corresponde Ox l + 1x2 + OX4 + lx3 = -22ao sIstema: Ox l + OX2 + lx4 + OX3 = 6

OX I + OX2 + OX4 + OX3 = O

(Não esquecer que a coluna dos coeficientes da variável x3 foi trocada pela coluna doscoeficientes da variável x4).

Examinando a matriz B, verifica-se que Ca = Cv = C = 3; logo o sistema écompatível. Mas n = 4, isto é, C < n, o que significa ser o sistema indeterminado e seugrau de liberdade: g = n - C = 4 - 3 = 1.

De outra parte, examinando o sistema a que corresponde a matriz B, verifica-seque a última equação não estabelece nenhuma condição para Xl' X2' X3 e X4; por isso, asolução do sistema é dada pelas três primeiras equações:

Xl = 12+6 x3

x2 = -22-x3

x4 = 6

Os valores de Xl e x2 são obtidos atribuindo-se valores arbitrários a x3.


Nos problemas 1 a 23, classificar e resolver os sistemas:

1) {5X + 8y = 34 2) rX-Y-3Z ~ 15lOx + 16y = 50 3x - 2y + 5z = -7

2x + 3y + 4z = 7

3) rx + 3y-2z ~ 2 4) r+4y +6z~O3x-5y + 4z = 5

- ~ x-6y-9z = OX- 2y - 7z = -24

5) l' + 2y + 3z ~ 10 6) rx-3y - 7z ~ -53x + 4y + 6z = 23 4x-y-z = 2

3x + 2y + 3z = 10 -2x + 4y + 8z = 10


7) ( 3x - 8y - 9z ~ 14 8) rX-3Y ~-187x + 3y + 2z = -12 2y + 5z =-8-8x - 9y + 6z ~ 11 x-2y-3z = O

9) ( 2x - 5y - Z ~ -8 10) rx + 9y + 12z ~ 243x-2y -4z =-11 4x + 16y + 26z = 46-5x + y + z =-9 x + 7y + 14z = 20

11) ( 5x + y + z ~ 7 12) { 6x + 2y + 4z = O6x-y-z = 4 -9x - 3y - 6z = O7x + 2y + 2z = 11

13) ( -8x + 3y + 2z ~ 16 14) rx + 2y - 3z ~ 184x-2z = O 2x-4y + 4z = 123y + 4z = -32 -4x + 3y - 5z = -24

15) ( x + 4y + 6z ~ 11 16) (2x+2Y+4Z~O2x + 3y + 4z = 9 3x + 5y + 8z = O

3x + 2y + 2z = 7 5x + 25y + 20z = O

17) r-3Y-7Z ~ I 18) ( IOx + 8y -7z ~ I-x - 2y - 4z = -2 5x + 3y - 8z = 19-2x-4y-5z =-1 7x - 9y + 4z = -15

19) ( x-y~O 20) (6x-9y -5z ~ -352y + 4z = 6 2x + 3y + 4z = 29x + y + 4z = 6 5x-2y-lz = O

21) rx + 8y + 12z ~ 24 22) ("X-2Y + 4z ~ -15x-z =0 9x + 3y- 3z = O-5x - 8y - llz = -24 x-4y-z =-8

23) ( 2x + 3y + 4z ~ 533x + 5y-4z = 2

4x + 7y-2z = 31

Nos problemas 24 a 27, estabelecer a condição que deve ser 'satisfeita pelmtennos independentes para que sejam. compatíveis os sistemas:

24) (4X + 12y + 8z = a2x + 5y + 3z = b

-4y-4z = c

25)

(

2x + 4y + 2z = a3x + 8y + 5z = b-3x-4y-z = c

26)

12x + 2y + 4z = a

6x + 11y + 8x = b

2x + 7y = c

27)


lx+y-z=a

-x + 2z = b

y+z=c

28) Calcular o valor de k para que admita solução não-trivial o sistema:

{2x + 6y = O

4x + ky = O

Nos problemas 29 a 33, resolver os sistemas pelo método matricial:

1-2x + 3y - z = b}

x-3y + z = b2-x + 2y-z = b3

29)

30)

31)

32)

33)

Para b} = 2,Para b} = 1,

Para b} = 2,

Para b} =-4,

Para b} = 4,

b2 = 5 e b3 = 7

b 2 = 6 e b 3 = O

b2 = -8 e b3 = 9

b2 = -3 e b3 = -2

Nos problemas 34 a 37, resolver os sistemas pelo método matricial:

j-2X} - X2 + 2x4 = b}

3x} + X2 - 2x3 - 2x4 = b2-4x} - x2 + 2x3 + 3x4 = b33x} + x2 - x3 - 2x4 = b4

34) Para b} = 5, b2 = 3, b3 = 12 e b4 = 10

35) Para b} = -8, b2 = -4, b3 = -9 e b4 = 8

36) Para b} = 4, b2 = O, b3 = -2 e b4 = 3

37) Para b} = -9, b2 = 6, b3 = 3 e b4 = 1


Nos problemas 38 a 43, resolver os sistemas pela regra de Cramer.

38) f 8xI + 5x2 = 63 39) f 9xI - 2x2 = 317xI - 5x2 = 27 7xI + 6x2 = 77

40) f 21xI -llx2 = 52 41) { 6x + 2y = 127xI + 5x2 = 26 3x-3y = 6

42) ('1 +~ + 3x, ~ 22 43) 12x1-"2 + 3x, ~ 143xI + x2 + 2x3 = 25 3xI + 2x2 - x3 = 24

2xI + 3x2 + x3 = 25 -xl + 3x2 + 2x3 = 10

Nos problemas 44 e 45, resolver os sistemas pelo método da matriz inversa(utilizando a regra prática do item 3.7.1.1):

44){

7x + 4y = 36

5x + 3y = 2645)

{llxI + 5x2 = 21

-4xI - 2x2 = -8

4.6.1 - Respostas dos problemas propostos

1)

3)

5)

7)

9)

11)

Incompatível

Compatível e detenninado:

X = 1, Y = 2 e z = 3

Incompatível


x = y = z =-1


x = 3, y = 2 e z = 4

Compatível e determinado:

x = 1, y = 7 e z = -5

2)

4)

6)

8)

10)

12)


x = 3, y = 3 e z = -2

Compatível e indetenninado:a) Grau de liberdade: g = 2

b) Solução trivial: x = y = z = O

c) Soluções pr6prias: x = -4y - 6z

Compatível e determinado:x=y=z=1

Compatível e determinado:x = O, y = 6, Z = -4

Incompatível

Compatível e indetenninado:

a) Grau de liberdade: g = 2

b) Solução trivial: x = y = z = O

-y-2zc) Soluções pr6prias: x = 3


Xl = 6, Xz = 4 e x3 = 2

xl = 1 e Xz = 2

x = -7, y = -12, z = -24

x = 6, y = -1, z = -17

x = -11, y = -16, z = -30

determinado. O

somente a solução

2a-4b+c=0

Xl = 22, Xz = 25,

x4=37

xl = 10, Xz = :-8,

x4 = 8

xl = 6 e Xz = 3

xl = 3 e Xz = 1

xl = 5, Xz = 4 e x3 = 3

x=4 e y=2

x = -7, y = -6, z = -5

x = 7, y = 5, z = 5

Compatível e determinado:x = -1, y = 2 e z = 1


x = 2, y = 3 e z = 4

2a-b+c=O

k = 12

Compatível e

sistema admite

trivial:

x=y=z=O


x = 1, y = 2 e z =-1

Compatível e determinado:x = 6, y = z = O

36)

38)

40)

42)

44)

26)

28)

30)

32)

34)

24)

22)

20)

14)

16)

18)

~3 = 12Xl = 12; Xz = -18,

e x4 =-1

xl = -13, Xz = 27,

e x4 =-4

xl = 5 e Xz = 7

x=2 e y=O


x = 2, y = -2 e z = 1

Compatível e indeterminado:


b) x = y = 3 -2z



b) x = z e y = 3 - 2z


x = 3, y = 5 e z = 8

3a-b + C = O

a+b-c=O


x = -4, y = O e z = -8



3 + 2z 13 - 8zb)x = e y = -~-

5 5

39)

41)

43)

45)

35)

37)

25)

27)

29)

31)

33)

23)

21)

19)

13)

17)

15)

matrizes determinantes e sistemas de equaçoes lineares

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