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Matemática – ZEROUM - 2016
Gabriel Carvalho / gabriel.carvalho632@gmail.com
FUNÇÃO (EXTRAS) REVISÃO 1) (CEUB – 2016) Em uma pesquisa a respeito dos tipos de
filmes de preferência, 250 pessoas foram entrevistadas e o
resultado foi o seguinte: 40 afirmaram não gostar de filmes;
150 gostam de drama; 120, de filmes de terror; 115, de
romance; 85, de drama e romance; 60, de romance e terror,
e 80, de drama e terror.
A respeito dessa pesquisa, julgue os itens subsecutvos.
1. Menos de 30 das pessoas entrevistadas gostam apenas
de drama.
2. Mais de 40 das pessoas entrevistadas gostam dos três
gêneros de filme.
2) (UCB – 2015) Em um tanque, a população de peixes cresce
de acordo com a expressão 𝑁(𝑡) = 𝑎 ⋅ 𝑒𝑏𝑡, em que 𝑎 e 𝑏
são constantes positivas, a letra 𝑒 é a base dos sistema de
logaritmos naturais e 𝑡 é dado em dias. Se, em determinado
dia, a população era de 100 indivíduos e, 10 dias depois, era
de 200, determine a população 30 dias depois da primeira
contagem.
Para marcar a resposta no cartão de respostas, divida o
valor encontrado por 100, desprezando, se houver, a parte
decimal do resultado final.
3) (CEUB – 2015) Quando administrada pela via intravenosa, a
concentração de um medicamento no sangue de um
paciente atinge o pico quase que instantaneamente. Com o
passar, das horas, a concentração da droga no sangue
começa a decair exponencialmente. O decaimento pode ser
modelado por 𝑥 = 𝑥0 ⋅ 𝑒−𝑘𝑡, em que 𝑥(𝑡), em mg/mL,
representa a concentração do fármaco no sangue; 𝑡, a
quantidade de horas após a administração do fármaco; 𝑥0, a
concentração inicial logo após a administração; e 𝑘, uma
constante positiva.
A partir das informações acima, julgue os seguintes itens,
tomando 0,7, 1,6 e 1,8 como os valores aproximados,
respectivamente, para ln 2, ln 5 e ln 6.
1. Considere que um medicamento deixe de fazer efeito
quando sua concentração no sangue do paciente for
inferior 2 mg/mL. Nessa situação, e assumindo-se, no
modelo apresentado, que 𝑥0 e 𝑘 sejam,
respectivamente, iguais a 8 mg/mL e 0,25, o
medicamento precisará ser aplicado novamente em
menos de 6 h para não perder sua efetividade.
2. Se um medicamento diluído a uma concentração de 0,3
mg/mL for injetado em um paciente a uma taxa de 0,5
mL/s, então, em 12 s, serão injetados no paciente 2 mg
do referido medicamento
4) (CEUB – 2016) O custo médio para se produzir um saco de
pipocas na lanchonete de um cinema é de R$ 6,00. O
comerciante pesquisou e comprovou que, se vender cada
saco de pipocas ao preço de 𝑝 reais, ele venderá 30 − 𝑝
sacos de pipocas em cada sessão.
Nesse caso, sabendo que o lucro do comerciante é dado
pelo valor faturado com as vendas menos o custo para
produzir o que ele vendeu, julgue o item a seguir.
1. Se o preço de venda de um saco de pipocas for de R$
10,00, então o lucro do comerciante por sessão com a
venda das pipocas será inferior a R$ 100,00.
5) (CEUB – 2015) A sensibilidade de uma paciente a
determinado fármaco está relacionada à concentração ideal
desse medicamento no sangue para que seja percebido o
seu melhor efeito possível. Quanto maior a sensibilidade do
paciente, maior será o efeito benéfico do fármaco. Quando
ocorre uma sensibilidade negativa de um paciente a
determinada concentração farmacológica, o paciente sofre
efeitos adversos com a administração do medicamento. A
sensibilidade – 𝑦 – de um paciente a determinado fármaco
pode ser modelada pela função quadrática 𝑦 = 𝑎𝑥 − 𝑥2, em
que 𝑥 é a concentração da droga no sangue e 𝑎 é uma
constante positiva.
Tendo como referência as informações acima, julgue os
itens a seguir.
1. Considerando-se 𝑎 igual a 8 mg/mL, o paciente em tela
sofrerá efeitos adversos com a administração do
fármaco caso a concentração da droga no sangue atinja
valor superior a 7 mg/mL.
2. Se, para o referido paciente, a sensibilidade ao fármaco
assumir o valor máximo quando a concentração da
droga no sangue for igual a 5 mg/mL, então a constante
𝑎 será igual a 10 mg/mL.
6) (UCB – 2016) Certo agricultor produz um tipo raro de café
que é vendido em quilogramas por um preço em dólares ($),
dado por 𝑓(𝑑) = −𝑑2 + 12𝑑, em que 𝑑 é o número de dias
de secagem do café. O custo de produção de cada
quilograma, também em dólares, é dado por 𝑐(𝑑) = 𝑑 +
14. O lucro por quilograma é dado pela diferença entre o
preço de venda e o custo de produção.
Com base nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir.
1. O preço máximo obtido por quilograma é $ 36,00.
2. O custo de produção por quilograma é de $ 15,00 por
dia.
3. O lucro máximo é obtido secando-se o café por seis
dias.
4. Caso deixe o café secar apenas por um dia, o agricultor
terá lucro na venda de cada quilograma.
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5. O maior lucro na venda de cada quilograma será de $
16,25.
7)
(UCB – 2015) Considerando que a figura apresentada mostra
os gráficos de duas funções reais, 𝑓 e 𝑔, bem como a
bissetriz do primeiro e do terceiro quadrantes de um
sistema cartesiano ortogonal, julgue os itens a seguir.
1. As funções 𝑓 e 𝑔 têm o mesmo domínio.
2. A equação 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) tem uma única solução real.
3. 𝑓(0) = 𝑔(1).
4. 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑓(𝑥)).
5. Os gráficos representam duas funções inversas.
8) (Unicamp – 2016) A solução da equação na variável real 𝑥, log𝑥(𝑥 + 6) = 2, é um número
(A) Primo. (B) Par. (C) Negativo. (D) Irracional
9) (Unicamp – 2015) Seja 𝑎 um número real. Considere as parábolas de equações cartesianas 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 + 2 e 𝑦 =2𝑥2 + 𝑎𝑥 + 3. Essas parábolas não se interceptam se e somente se
(A) |𝑎| = 2. (B) |𝑎 − 2| < 2. (C) |𝑎| < 2. (D) |𝑎 − 2| ≥ 2.
10) (Unicamp – 2015) Seja 𝑎 um núemro real positivo e considere as funções afins 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 3𝑎 e 𝑔(𝑥) = 9 −2𝑥, definidas para todo número real 𝑥. a) Encontre o número de soluções inteiras da inequação
𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) > 0.
b) Encontre o valor de 𝑎 tal que 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑓(𝑥)) para
todo número real 𝑥 11) (Unicamp – 2014) Sejam 𝑎 e 𝑏 reais. Considere as funções
quadráticas da forma 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏, definidas para todo 𝑥 real. a) Sabendo que o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) intercepta o eixo 𝑦
no ponto (0; 1) e é tangente ao eixo 𝑥, determine os possíveis valores de 𝑎 e 𝑏.
b) Quando 𝑎 + 𝑏 = 1, os gráficos dessas funções quadráticas têm um ponto em comum. Determine as coordenadas desse ponto.
12) (FUVEST – 2016) Considere as funções 𝑓 e 𝑔 definidas por 𝑓(𝑥) = 2 log2(𝑥 − 1), se 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 > 1
𝑔(𝑥) = log2 (1 −𝑥
4),, se 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 < 4
a) Calcule 𝑓 (3
2) , 𝑓(2), 𝑓(3), 𝑔(−4), 𝑔(0) 𝑒 𝑔(2).
b) Encontre 𝑥, 1 < 𝑥 < 4, tal que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). c) Levando em conta os resultados dos itens a) e b),
esboce os gráficos de 𝑓 e de 𝑔 no sistema cartesiano impresso na página de resposta.
13) (FUVEST – 2016) Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão
𝑆 =1
2 ⋅ log2 2016+
1
5 ⋅ log3 2016+
1
10 ⋅ log7 2016
O valor 𝑆 é
(A) 1
2.
(B) 1
3.
(C) 1
5.
(D) 1
7.
(E) 1
10.
14) (UNICAMP -2014) Considere as funções 𝑓, cujos gráficos estão representados na figura abaixo.
O valor de 𝑓(𝑔(1)) − 𝑔(𝑓(1)) é igual a
(A) 0. (B) 1. (C) -1. (D) 2.
15) (ITA – 2014) Determine as soluções reais da equação em 𝑥
(log4 𝑥)3 − log4(𝑥4) − 3(log10 16𝑥)
log100 16= 0
16) (ITA – 2013) Considere as funções 𝑓 e 𝑔, da variável real 𝑥,
definidas, respectivamente, por 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥2+𝑎𝑥+𝑏 e 𝑔(𝑥) =
ln𝑎𝑥
3𝑏, em que 𝑎 e 𝑏 são números reais. Se 𝑓(−1) = 1 =
𝑓(−2), então pode-se afirmar sobre a função composta 𝑔 ∘𝑓 que
(A) (𝑔 ∘ 𝑓)(1) = ln 3 (B) ∄(𝑔 ∘ 𝑓)(0). (C) (𝑔 ∘ 𝑓) nunca se anula (D) 𝑔 ∘ 𝑓 está definida apenas em {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 > 0}. (E) 𝑔 ∘ 𝑓 admite dois zeros reais distintos.
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17) (FUVEST – 2016) Considere as funções 𝑓 e 𝑔 definidas por 𝑓(𝑥) = 2 log2(𝑥 − 1) , 𝑠𝑒 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 > 1,
𝑔(𝑥) = log2 (1 −𝑥
4) , 𝑠𝑒 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 < 4.
a) Calcule 𝑓 (3
2) , 𝑓(2), 𝑓(3), 𝑔(−4), 𝑔(0) e 𝑔(2).
b) Encontre 𝑥, 1 < 𝑥 < 4, tal que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). 18) (FUVEST – 2014) Dados 𝑚 e 𝑛 inteiros, considere a função 𝑓
definida por
𝑓(𝑥) = 2 −𝑚
𝑥 + 𝑛
Para 𝑥 ≠ −𝑛. a) No caso em que 𝑚 = 𝑛 = 2, mostre que a igualdade
𝑓(√2) = √2 se verifica.
b) No caso em que 𝑚 = 𝑛 = 2, ache as interseções do gráfico de 𝑓 com os eixos coordenados.
19) (FUVEST – 2014) Sobre a equação
(𝑥 + 3)2𝑥2−9 log |𝑥2 + 𝑥 − 1| = 0 é correto afirmar que
(A) Ele não possui raízes reais. (B) Sua única raiz real é −3. (C) Duas de suas raízes reais são 3 e −3. (D) Suas únicas raízes reais são −3, 0 e 1. (E) Ela possui cinco raízes reais distintas
20) (FUVEST – 2013) Seja 𝑓 uma função de valores reais, com
domínio 𝐷 ⊂ ℝ, tal que 𝑓(𝑥) = log10 (log1
3
(𝑥2 − 𝑥 + 1)),
para todo 𝑥 ∈ 𝐷. O conjunto que pode ser o domínio 𝐷 é (A) {𝑥 ∈ ℝ; 0 < 𝑥 < 1}. (B) {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≤ 0 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 1}.
(C) {𝑥 ∈ ℝ;1
3< 𝑥 < 10}.
(D) {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≤1
3 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 10}.
(E) {𝑥 ∈ ℝ;1
9< 𝑥 <
10
3}.
21) (FUVEST – 2012) Considere a função 𝑓(𝑥) = 1 −4𝑥
(𝑥+1)2, a
qual está definida para 𝑥 ≠ −1. Então, para todo 𝑥 ≠ 1 e𝑥 ≠ −1, o produto 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑓(−𝑥) é igual a
(A) −1. (B) 1. (C) 𝑥 + 1. (D) 𝑥2 + 1. (E) (𝑥 − 1)2.
22) (UnB – 2016) A quantidade de espécies de anfíbios em determinado ecossistema pode ser estimado pela função
𝐴(𝑡) =200
1+3𝑡
100
, em que 𝑡 ≥ 0 é o tempo, em anos, contados
a partir do ano 2000. Por exemplo, 𝐴(10) corresponde à quantidade de espécies de anfíbios do ecossistema no ano de 2010. Considerando as informações acima, julgue os itens a seguir. 1. A função 𝐴(𝑡) é crescente, pois apresenta um termo
exponencial em sua expressão. 2. Haverá, no futuro, um ano em que a quantidade de
espécies de anfíbios no ecossistema será menor que 10.
3. A variação da quantidade de espécies de anfíbios do ecossistema entre os anos 2000 e 2100 é o dobro da variação entre os anos 2100 e 2200.
4. No ano 2000, a quantidade de espécies de anfíbios no ecossistema era igual a 200.
23) (AFA -2013) Pesquisas realizadas verificaram que, no planeta Terra, no início do ano de 2013, a população de pássaros da espécie 𝐴 cresce a uma taxa de 5% ao ano, enquanto que a população de pássaros da espécie 𝐵 cresce a uma taxa de 20% ao ano. Com base nesses dados, é correto afirmar que, essas duas populações de pássaros serão iguais (Considere: log 7 = 0,85; log 6 = 0,78; log 2 = 0,3)
(A) No 1º semestre do ano de 2034. (B) No 2º semestre do ano de 2034. (C) No 1º semestre do ano de 2035. (D) No 2º semestre do ano de 2035.
24) (AFA – 2012) O gráfico de uma função polinomial do segundo grau 𝑦 = 𝑓(𝑥), que tem como coordenadas do vértice (5; 2) e passa pelo ponto (4; 3), também passará pelo ponto de coordenadas
(A) (1; 18). (B) (0; 26). (C) (6; 4). (D) (−1; 36).
25) (AFA – 2012) No plano cartesiano seja 𝑃(𝑎; 𝑏) o ponto de interseção entre as curvas dadas pelas funções reais 𝑓 e 𝑔
definidas por 𝑓(𝑥) = (1
2)
𝑥
e 𝑔(𝑥) = log1
2
𝑥. É correto
afirmar que
(A) 𝑎 = log2 (1
log2(1
𝑎)).
(B) 𝑎 = log2(log2 𝑎).
(C) 𝑎 = log1
2
(log1
2
(1
𝑎)).
(D) 𝑎 = log2 (log1
2
𝑎)
26) (EsPCEx – 2009) Sabendo-se que log 𝑥 + log 𝑥3 + log 𝑥5 +⋯ + log 𝑥199 = 10000, podemos afirmar que 𝑥 pertence ao intervalo
(A) [1; 3] (B) [3; 5] (C) [5; 7] (D) [7; 9] (E) [9; 11]
27) Pesquisas revelaram que, numa certa região, 4% dos homens e 10% das mulheres são diabéticos. Considere um grupo formado por 300 homens e 700 mulheres dessa região. Tomando-se ao acaso uma pessoa desse grupo, a probabilidade de que essa pessoa seja diabética é
(A) 4% (B) 5% (C) 5,4% (D) 7,2% (E) 8,2%
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Gabriel Carvalho / gabriel.carvalho632@gmail.com
GABARITO
1. EC 2. 08 3. CE 4. C 5. EC 6. VFFFV 7. FFFVV 8. A 9. C
10. a) 7 b) 1
2
11. a) 𝑎 = ±2 e 𝑏 = 1 b) (1; 2)
12. a) -2; 0; 2; 1; 0; -1 b) 𝑥 =7
4 c) gráfico
13. E 14. B
15. 64; 1
16 e
1
4
16. E
17. a) Em ordem: −2; 0; 2; 1; 0; −1 b) 7
4
18. a) √2 b) (−1; 0) e (0; 1) 19. E 20. A 21. B 22. ECEE 23. B 24. A 25. A 26. E 27. A