Matemática ZEROUM - 2016 · PDF fileparábolas de equações...

Matemática – ZEROUM - 2016

Gabriel Carvalho / [email protected]

FUNÇÃO (EXTRAS) REVISÃO 1) (CEUB – 2016) Em uma pesquisa a respeito dos tipos de

filmes de preferência, 250 pessoas foram entrevistadas e o

resultado foi o seguinte: 40 afirmaram não gostar de filmes;

150 gostam de drama; 120, de filmes de terror; 115, de

romance; 85, de drama e romance; 60, de romance e terror,

e 80, de drama e terror.

A respeito dessa pesquisa, julgue os itens subsecutvos.

1. Menos de 30 das pessoas entrevistadas gostam apenas

de drama.

2. Mais de 40 das pessoas entrevistadas gostam dos três

gêneros de filme.

2) (UCB – 2015) Em um tanque, a população de peixes cresce

de acordo com a expressão 𝑁(𝑡) = 𝑎 ⋅ 𝑒𝑏𝑡, em que 𝑎 e 𝑏

são constantes positivas, a letra 𝑒 é a base dos sistema de

logaritmos naturais e 𝑡 é dado em dias. Se, em determinado

dia, a população era de 100 indivíduos e, 10 dias depois, era

de 200, determine a população 30 dias depois da primeira

contagem.

Para marcar a resposta no cartão de respostas, divida o

valor encontrado por 100, desprezando, se houver, a parte

decimal do resultado final.

3) (CEUB – 2015) Quando administrada pela via intravenosa, a

concentração de um medicamento no sangue de um

paciente atinge o pico quase que instantaneamente. Com o

passar, das horas, a concentração da droga no sangue

começa a decair exponencialmente. O decaimento pode ser

modelado por 𝑥 = 𝑥0 ⋅ 𝑒−𝑘𝑡, em que 𝑥(𝑡), em mg/mL,

representa a concentração do fármaco no sangue; 𝑡, a

quantidade de horas após a administração do fármaco; 𝑥0, a

concentração inicial logo após a administração; e 𝑘, uma

constante positiva.

A partir das informações acima, julgue os seguintes itens,

tomando 0,7, 1,6 e 1,8 como os valores aproximados,

respectivamente, para ln 2, ln 5 e ln 6.

1. Considere que um medicamento deixe de fazer efeito

quando sua concentração no sangue do paciente for

inferior 2 mg/mL. Nessa situação, e assumindo-se, no

modelo apresentado, que 𝑥0 e 𝑘 sejam,

respectivamente, iguais a 8 mg/mL e 0,25, o

medicamento precisará ser aplicado novamente em

menos de 6 h para não perder sua efetividade.

2. Se um medicamento diluído a uma concentração de 0,3

mg/mL for injetado em um paciente a uma taxa de 0,5

mL/s, então, em 12 s, serão injetados no paciente 2 mg

do referido medicamento

4) (CEUB – 2016) O custo médio para se produzir um saco de

pipocas na lanchonete de um cinema é de R$ 6,00. O

comerciante pesquisou e comprovou que, se vender cada

saco de pipocas ao preço de 𝑝 reais, ele venderá 30 − 𝑝

sacos de pipocas em cada sessão.

Nesse caso, sabendo que o lucro do comerciante é dado

pelo valor faturado com as vendas menos o custo para

produzir o que ele vendeu, julgue o item a seguir.

1. Se o preço de venda de um saco de pipocas for de R$

10,00, então o lucro do comerciante por sessão com a

venda das pipocas será inferior a R$ 100,00.

5) (CEUB – 2015) A sensibilidade de uma paciente a

determinado fármaco está relacionada à concentração ideal

desse medicamento no sangue para que seja percebido o

seu melhor efeito possível. Quanto maior a sensibilidade do

paciente, maior será o efeito benéfico do fármaco. Quando

ocorre uma sensibilidade negativa de um paciente a

determinada concentração farmacológica, o paciente sofre

efeitos adversos com a administração do medicamento. A

sensibilidade – 𝑦 – de um paciente a determinado fármaco

pode ser modelada pela função quadrática 𝑦 = 𝑎𝑥 − 𝑥2, em

que 𝑥 é a concentração da droga no sangue e 𝑎 é uma

constante positiva.

Tendo como referência as informações acima, julgue os

itens a seguir.

1. Considerando-se 𝑎 igual a 8 mg/mL, o paciente em tela

sofrerá efeitos adversos com a administração do

fármaco caso a concentração da droga no sangue atinja

valor superior a 7 mg/mL.

2. Se, para o referido paciente, a sensibilidade ao fármaco

assumir o valor máximo quando a concentração da

droga no sangue for igual a 5 mg/mL, então a constante

𝑎 será igual a 10 mg/mL.

6) (UCB – 2016) Certo agricultor produz um tipo raro de café

que é vendido em quilogramas por um preço em dólares ($),

dado por 𝑓(𝑑) = −𝑑2 + 12𝑑, em que 𝑑 é o número de dias

de secagem do café. O custo de produção de cada

quilograma, também em dólares, é dado por 𝑐(𝑑) = 𝑑 +

14. O lucro por quilograma é dado pela diferença entre o

preço de venda e o custo de produção.

Com base nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir.

1. O preço máximo obtido por quilograma é $ 36,00.

2. O custo de produção por quilograma é de $ 15,00 por

dia.

3. O lucro máximo é obtido secando-se o café por seis

dias.

4. Caso deixe o café secar apenas por um dia, o agricultor

terá lucro na venda de cada quilograma.



5. O maior lucro na venda de cada quilograma será de $

16,25.

7)

(UCB – 2015) Considerando que a figura apresentada mostra

os gráficos de duas funções reais, 𝑓 e 𝑔, bem como a

bissetriz do primeiro e do terceiro quadrantes de um

sistema cartesiano ortogonal, julgue os itens a seguir.

1. As funções 𝑓 e 𝑔 têm o mesmo domínio.

2. A equação 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) tem uma única solução real.

3. 𝑓(0) = 𝑔(1).

4. 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑓(𝑥)).

5. Os gráficos representam duas funções inversas.

8) (Unicamp – 2016) A solução da equação na variável real 𝑥, log𝑥(𝑥 + 6) = 2, é um número

(A) Primo. (B) Par. (C) Negativo. (D) Irracional

9) (Unicamp – 2015) Seja 𝑎 um número real. Considere as parábolas de equações cartesianas 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 + 2 e 𝑦 =2𝑥2 + 𝑎𝑥 + 3. Essas parábolas não se interceptam se e somente se

(A) |𝑎| = 2. (B) |𝑎 − 2| < 2. (C) |𝑎| < 2. (D) |𝑎 − 2| ≥ 2.

10) (Unicamp – 2015) Seja 𝑎 um núemro real positivo e considere as funções afins 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 3𝑎 e 𝑔(𝑥) = 9 −2𝑥, definidas para todo número real 𝑥. a) Encontre o número de soluções inteiras da inequação

𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) > 0.

b) Encontre o valor de 𝑎 tal que 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑓(𝑥)) para

todo número real 𝑥 11) (Unicamp – 2014) Sejam 𝑎 e 𝑏 reais. Considere as funções

quadráticas da forma 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏, definidas para todo 𝑥 real. a) Sabendo que o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) intercepta o eixo 𝑦

no ponto (0; 1) e é tangente ao eixo 𝑥, determine os possíveis valores de 𝑎 e 𝑏.

b) Quando 𝑎 + 𝑏 = 1, os gráficos dessas funções quadráticas têm um ponto em comum. Determine as coordenadas desse ponto.

12) (FUVEST – 2016) Considere as funções 𝑓 e 𝑔 definidas por 𝑓(𝑥) = 2 log2(𝑥 − 1), se 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 > 1

𝑔(𝑥) = log2 (1 −𝑥

4),, se 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 < 4

a) Calcule 𝑓 (3

2) , 𝑓(2), 𝑓(3), 𝑔(−4), 𝑔(0) 𝑒 𝑔(2).

b) Encontre 𝑥, 1 < 𝑥 < 4, tal que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). c) Levando em conta os resultados dos itens a) e b),

esboce os gráficos de 𝑓 e de 𝑔 no sistema cartesiano impresso na página de resposta.

13) (FUVEST – 2016) Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão

𝑆 =1

2 ⋅ log2 2016+

1

5 ⋅ log3 2016+

1

10 ⋅ log7 2016

O valor 𝑆 é

(A) 1

2.

(B) 1

3.

(C) 1

5.

(D) 1

7.

(E) 1

10.

14) (UNICAMP -2014) Considere as funções 𝑓, cujos gráficos estão representados na figura abaixo.

O valor de 𝑓(𝑔(1)) − 𝑔(𝑓(1)) é igual a

(A) 0. (B) 1. (C) -1. (D) 2.

15) (ITA – 2014) Determine as soluções reais da equação em 𝑥

(log4 𝑥)3 − log4(𝑥4) − 3(log10 16𝑥)

log100 16= 0

16) (ITA – 2013) Considere as funções 𝑓 e 𝑔, da variável real 𝑥,

definidas, respectivamente, por 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥2+𝑎𝑥+𝑏 e 𝑔(𝑥) =

ln𝑎𝑥

3𝑏, em que 𝑎 e 𝑏 são números reais. Se 𝑓(−1) = 1 =

𝑓(−2), então pode-se afirmar sobre a função composta 𝑔 ∘𝑓 que

(A) (𝑔 ∘ 𝑓)(1) = ln 3 (B) ∄(𝑔 ∘ 𝑓)(0). (C) (𝑔 ∘ 𝑓) nunca se anula (D) 𝑔 ∘ 𝑓 está definida apenas em {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 > 0}. (E) 𝑔 ∘ 𝑓 admite dois zeros reais distintos.



17) (FUVEST – 2016) Considere as funções 𝑓 e 𝑔 definidas por 𝑓(𝑥) = 2 log2(𝑥 − 1) , 𝑠𝑒 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 > 1,

𝑔(𝑥) = log2 (1 −𝑥

4) , 𝑠𝑒 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 < 4.

a) Calcule 𝑓 (3

2) , 𝑓(2), 𝑓(3), 𝑔(−4), 𝑔(0) e 𝑔(2).

b) Encontre 𝑥, 1 < 𝑥 < 4, tal que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). 18) (FUVEST – 2014) Dados 𝑚 e 𝑛 inteiros, considere a função 𝑓

definida por

𝑓(𝑥) = 2 −𝑚

𝑥 + 𝑛

Para 𝑥 ≠ −𝑛. a) No caso em que 𝑚 = 𝑛 = 2, mostre que a igualdade

𝑓(√2) = √2 se verifica.

b) No caso em que 𝑚 = 𝑛 = 2, ache as interseções do gráfico de 𝑓 com os eixos coordenados.

19) (FUVEST – 2014) Sobre a equação

(𝑥 + 3)2𝑥2−9 log |𝑥2 + 𝑥 − 1| = 0 é correto afirmar que

(A) Ele não possui raízes reais. (B) Sua única raiz real é −3. (C) Duas de suas raízes reais são 3 e −3. (D) Suas únicas raízes reais são −3, 0 e 1. (E) Ela possui cinco raízes reais distintas

20) (FUVEST – 2013) Seja 𝑓 uma função de valores reais, com

domínio 𝐷 ⊂ ℝ, tal que 𝑓(𝑥) = log10 (log1

3

(𝑥2 − 𝑥 + 1)),

para todo 𝑥 ∈ 𝐷. O conjunto que pode ser o domínio 𝐷 é (A) {𝑥 ∈ ℝ; 0 < 𝑥 < 1}. (B) {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≤ 0 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 1}.

(C) {𝑥 ∈ ℝ;1

3< 𝑥 < 10}.

(D) {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≤1

3 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 10}.

(E) {𝑥 ∈ ℝ;1

9< 𝑥 <

10

3}.

21) (FUVEST – 2012) Considere a função 𝑓(𝑥) = 1 −4𝑥

(𝑥+1)2, a

qual está definida para 𝑥 ≠ −1. Então, para todo 𝑥 ≠ 1 e𝑥 ≠ −1, o produto 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑓(−𝑥) é igual a

(A) −1. (B) 1. (C) 𝑥 + 1. (D) 𝑥2 + 1. (E) (𝑥 − 1)2.

22) (UnB – 2016) A quantidade de espécies de anfíbios em determinado ecossistema pode ser estimado pela função

𝐴(𝑡) =200

1+3𝑡

100

, em que 𝑡 ≥ 0 é o tempo, em anos, contados

a partir do ano 2000. Por exemplo, 𝐴(10) corresponde à quantidade de espécies de anfíbios do ecossistema no ano de 2010. Considerando as informações acima, julgue os itens a seguir. 1. A função 𝐴(𝑡) é crescente, pois apresenta um termo

exponencial em sua expressão. 2. Haverá, no futuro, um ano em que a quantidade de

espécies de anfíbios no ecossistema será menor que 10.

3. A variação da quantidade de espécies de anfíbios do ecossistema entre os anos 2000 e 2100 é o dobro da variação entre os anos 2100 e 2200.

4. No ano 2000, a quantidade de espécies de anfíbios no ecossistema era igual a 200.

23) (AFA -2013) Pesquisas realizadas verificaram que, no planeta Terra, no início do ano de 2013, a população de pássaros da espécie 𝐴 cresce a uma taxa de 5% ao ano, enquanto que a população de pássaros da espécie 𝐵 cresce a uma taxa de 20% ao ano. Com base nesses dados, é correto afirmar que, essas duas populações de pássaros serão iguais (Considere: log 7 = 0,85; log 6 = 0,78; log 2 = 0,3)

(A) No 1º semestre do ano de 2034. (B) No 2º semestre do ano de 2034. (C) No 1º semestre do ano de 2035. (D) No 2º semestre do ano de 2035.

24) (AFA – 2012) O gráfico de uma função polinomial do segundo grau 𝑦 = 𝑓(𝑥), que tem como coordenadas do vértice (5; 2) e passa pelo ponto (4; 3), também passará pelo ponto de coordenadas

(A) (1; 18). (B) (0; 26). (C) (6; 4). (D) (−1; 36).

25) (AFA – 2012) No plano cartesiano seja 𝑃(𝑎; 𝑏) o ponto de interseção entre as curvas dadas pelas funções reais 𝑓 e 𝑔

definidas por 𝑓(𝑥) = (1

2)

𝑥

e 𝑔(𝑥) = log1

2

𝑥. É correto

afirmar que

(A) 𝑎 = log2 (1

log2(1

𝑎)).

(B) 𝑎 = log2(log2 𝑎).

(C) 𝑎 = log1

2

(log1

2

(1

𝑎)).

(D) 𝑎 = log2 (log1

2

𝑎)

26) (EsPCEx – 2009) Sabendo-se que log 𝑥 + log 𝑥3 + log 𝑥5 +⋯ + log 𝑥199 = 10000, podemos afirmar que 𝑥 pertence ao intervalo

(A) [1; 3] (B) [3; 5] (C) [5; 7] (D) [7; 9] (E) [9; 11]

27) Pesquisas revelaram que, numa certa região, 4% dos homens e 10% das mulheres são diabéticos. Considere um grupo formado por 300 homens e 700 mulheres dessa região. Tomando-se ao acaso uma pessoa desse grupo, a probabilidade de que essa pessoa seja diabética é

(A) 4% (B) 5% (C) 5,4% (D) 7,2% (E) 8,2%



GABARITO

1. EC 2. 08 3. CE 4. C 5. EC 6. VFFFV 7. FFFVV 8. A 9. C

10. a) 7 b) 1

2

11. a) 𝑎 = ±2 e 𝑏 = 1 b) (1; 2)

12. a) -2; 0; 2; 1; 0; -1 b) 𝑥 =7

4 c) gráfico

13. E 14. B

15. 64; 1

16 e

1

4

16. E

17. a) Em ordem: −2; 0; 2; 1; 0; −1 b) 7

4

18. a) √2 b) (−1; 0) e (0; 1) 19. E 20. A 21. B 22. ECEE 23. B 24. A 25. A 26. E 27. A

Matemática ZEROUM - 2016 · PDF fileparábolas de equações...

Documents

Transcript of Matemática ZEROUM - 2016 · PDF fileparábolas de equações...