Post on 08-Jan-2016
description
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
1/212
MATEMTICAe suasTECNOLOGIAS
Professor
Volume 1 Mdulo 3 Matemtica
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
2/212
GOVERNO DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
Governador
Sergio Cabral
Vice-Governador
Luiz Fernando de Souza Pezo
SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAO
Secretrio de EducaoWilson Risolia
Chefe de GabineteSrgio Mendes
Secretrio Executivo
Amaury Perlingeiro
Subsecretaria de Gesto do Ensino
Antnio Jos Vieira De Paiva Neto
Superintendncia pedaggica
Claudia Raybolt
Coordenadora de Educao de Jovens e adulto
Rosana M.N. Mendes
SECRETARIA DE ESTADO DE CINCIA E TECNOLOGIA
Secretrio de Estado
Gustavo Reis Ferreira
FUNDAO CECIERJ
Presidente
Carlos Eduardo Bielschowsky
PRODUO DO MATERIAL NOVA EJA (CECIERJ)
Diretoria Adjunta de ExtensoElizabeth Ramalho Soares Bastos
Coordenao de Formao ContinuadaCarmen Granja da Silva
Coordenao Geral de Design InstrucionalCristine Costa Barreto
Coordenao Geral
Agnaldo EsquincalhaGisela Pinto
Coordenador Geral de Material DidticoWallace Vallory Nunes
ElaboraoAndr Luiz Cordeiro dos Santos
Andr Luiz Martins PereiraCleber Fernandes
rika Silos de CastroGabriela dos Santos Barbosa
Heitor Barbosa Lima de OliveiraJosemeri Araujo Silva Rocha
Leo Akio YokoyamaLuciana Felix da Costa Santos
Luciane de Paiva Moura Coutinho
Patrcia Nunes da SilvaTelma Alves
Coordenao de Design Instrucional
Flvia BusnardoPaulo Vasques de Miranda
Design Instrucional
Juliana Bezerra
Coordenao de Produo
Fbio Rapello Alencar
Projeto Grfco e Capa
Andreia Villar
Imagem da Capa e da Abertura das Unidades
Sami Souza
Diagramao
Bianca LimaJuliana Fernandes
Juliana Vieira
IlustraoClara Gomes
Fernando Romeiro
Produo Grfca
Vernica Paranhos
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
3/212
Sumrio
Unidade 1 Introduo Geometria Espacial 5
Unidade 2 Regularidades numricas sequncias e progresses 55
Unidade 3 Matemtica Financeira 91
Unidade 4 Matemtica Financeira II 125
Unidade 5 Matrizes e Determinantes 179
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
4/212
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
5/212
Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 5
Volume 1 Mdulo 3 Matemtica Unidade 1
Introduo GeometriaEspacialrika Silos de Castro (coordenao), Andr Luiz Martins Pereira, Leo Akio Yokoyama e
Luciana Felix da Costa Santos
IntroduoNa unidade 22 do material do aluno, apresentada uma introduo Ge-
ometria Espacial. Para isso, o material do aluno inicia uma reflexo sobre a tecno-
logia das imagens em 3D, utilizada pelos mais novos monitores e aparelhos de
TV e esclarece o significado da sigla 3D a partir da ideia de 3 dimenses: altura,
largura e comprimento. A partir dessa ideia, pretende-se que, nesta unidade, o
aluno tenha a oportunidade de ampliar as discusses acerca de conhecimentos
bsicos da Geometria Espacial.
Para potencializar o material didtico do aluno, pesquisamos e apresentamos
alguns recursos e atividades. Nosso objetivo colaborar com voc, professor, am-pliando ainda mais seu leque de opes para explorar este tema durante as aulas.
Sugerimos que a primeira aula dessa unidade se inicie com uma atividade
disparadora. A proposta que essa atividade seja realizada em grupo, promoven-
do uma dinmica entre os alunos. Nesse momento, esperado que eles desenvol-
vam algumas noes bsicas relacionadas noo de tridimensionalidade.
Para dar sequncia ao estudo dessa unidade, disponibilizamos alguns re-
cursos complementares, vinculados ao contedo do material didtico do aluno.
Sugerimos que sejam utilizados nas aulas subsequentes aula inicial, de acordo
com a realidade da sua turma. Ressaltamos a importncia de se fazer alteraes e
adaptaes quando necessrias.
M
ATERIAL
DO
PROFESSOR
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
6/212
6
Por fim, aconselhamos que a ltima aula desta unidade seja dividida em dois momentos. O primei-
ro dedicado a uma reviso geral do estudo realizado durante esta unidade, consolidando o aprendizado
do aluno a partir da retomada de questes que surgiram durante o seu estudo. O segundo um momento
de avaliao do estudante, priorizando questionamentos reflexivos que complementem as atividades e exerccios
resolvidos durante as aulas.
Uma descrio destas sugestes est colocada nas tabelas a seguir, e seus detalhamentos no texto que segue.
Apresentao da unidade do material do aluno
Caro professor, apresentamos, abaixo, as principais caractersticas desta unidade:
Disciplina Volume Mdulo UnidadeEstimativa de aulas para
essa unidade
Matemtica 1 3 1 4 aulas de 2 tempos
Titulo da unidade Tema
Introduo Geometria Espacial Geometria Espacial
Objetivos da unidade
Entender o conceito de dimenso.
Entender os conceitos bsicos de ponto, reta e plano.
Identificar posies relativas entre pontos, retas e planos.
Identificar poliedros e no poliedros.
Identificar os elementos de um poliedro.
Aplicar a relao de Euler.
SeesPginas no material do
alunoPara incio de conversa... 43 a 47
Seo 1 Geometria espacial: conceitos bsicos. 48 a 52
Seo 2 Continuando com pontos, retas e planos: posies relativas. 53 a 61
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
7/212
Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 7
Seo 3 Slidos Geomtricos. 62 a 70
Resumo 71 e 72
Veja ainda 78
O que perguntam por a? 79 a 82
Recursos e ideias para o Professor
Tipos de Atividades
Para dar suporte s aulas, seguem os recursos, ferramentas e ideias no Material do Professor, correspondentes
Unidade acima:
Atividades em grupo ou individuais
So atividades que so feitas com recursos simples disponveis.
Ferramentas
Atividades que precisam de ferramentas disponveis para os alunos.
Applets
So programas que precisam ser instalados em computadores ou smart-phonesdisponveis
para os alunos.
Avaliao
Questes ou propostas de avaliao conforme orientao.
Exerccios
Proposies de exerccios complementares
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
8/212
8
Atividade Inicial
Tipos deAtividades
Ttulo daAtividade
MaterialNecessrio
Descrio Sucinta Diviso daTurma
TempoEstimado
Os slidos de
Plato.
Computadorespara os alunos,
applet dispon-
vel no material
do professor.
Esta atividade foi adaptada
da proposta Slidos Platni-
cos, elaborada pelo projeto
Contedos Digitais Para o
Ensino e Aprendizagem de
Matemtica e Estatstica,
do Instituto de Matemtica
da Universidade Federal
Fluminense (UFF), disponvel
em http://www.uff.br/cdme/
platonicos/platonicos-html/
solidos-platonicos-br.html.
Este aplicativo apresenta
uma pequena enciclopdia
virtual interativa sobre os
slidos platnicos, apresen-
tando suas propriedades
matemticas, os aspectos
histricos, suas aplicaes emodelos virtuais interativos.
A turma pode
ser dividida
em duplas.
40 minutos
Imaginando
outras
dimenses.
Folha de ati-
vidades, lpis,
caneta.
A atividade a seguir se ba-
seia na leitura de um texto
elaborado a partir do enredo
do romance proposto no
livro Planolndia, de Edwin
A. Abbott, propondo um
exerccio de imaginao, em
que os alunos se imaginaro
como habitantes de outrasdimenses. Esse exerccio
de imaginao se prope a
explorar os assuntos aborda-
dos sobre espao tridimen-
sional nesta unidade.
A turma pode
ser dividida
em duplas ou
trios.
30 minutos
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
9/212
Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 9
Seo 1 Geometria Espacial: conceitos bsicosPginas no material do aluno
43 a 47
Tipos deAtividades
Ttulo daAtividade
MaterialNecessrio
Descrio Sucinta Diviso daTurma
TempoEstimado
Redescobrindo
a Geometria
Plana e
Espacial.
Folha de ati-
vidades, folha
em anexo,
lpis, caneta,
tesoura, cola e
rgua.
Esta atividade ser dividida
em duas partes, a primeira
permitir ao professor in-
troduzir entidades funda-
mentais (ponto, reta, plano e
espao) como noes primi-
tivas, enunciar os principais
postulados que relacionam
os conceitos primitivos dageometria. J na segunda,
ser proposta a construo
de um paraleleppedo a par-
tir da sua planificao. Desta
forma, acreditamos que os
alunos possam identificar
partes da reta, do plano e do
espao, e obter a noo de
planificao (para monta-
gem) de um modelo de um
slido atravs das aes
que envolvem noes de
plano e espao. Finalmente,
os alunos sero levados a
ampliarem as discusses das
etapas anteriores atravs de
questes propostas numa
folha de atividades.
A turma pode
ser dividida
em grupos de
trs ou quatro
alunos.
40 minutos
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
10/212
10
Seo 2 Continuando com pontos, retas e planos:
posies relativas
Pginas no material do aluno
48 a 52
Tipos de
Atividades
Ttulo da
Atividade
Material
NecessrioDescrio Sucinta
Diviso da
Turma
Tempo
Estimado
O paralelep-
pedo e seus
elementos.
Folha de ativi-
dades, lpis/
caneta.
A atividade a seguir convida
os alunos a identificar posi-
es relativas entre pontos,
retas e planos a partir dos
elementos de um paralelep-
pedo. Para isso, elaboramos
algumas questes que esto
disponveis como folha de
atividades.
Turma dividida
em duplas ou
trios.
30 minutos
Seo 3 Slidos Geomtricos Pginas no material do aluno53 a 61
Tipos deAtividades Ttulo daAtividade MaterialNecessrio Descrio Sucinta Diviso daTurma TempoEstimado
Reconhecen-
do Slidos
Geomtricos
em objetos do
cotidiano.
Folha de ativi-
dades, lpis/ca-
neta e materiais
de utilidades
domsticas ou
materiais de
sucata (emba-
lagens, caixa de
fsforos, caixa
de chocolate
no formato de
prisma, lata,
copo, etc.)
Esta atividade prope a
utilizao de materiais de
utilidades domsticas ou
materiais de sucata, como
recursos para que os alunos
reconheam slidos geo-
mtricos (poliedros e no
poliedros) em diversos ob-
jetos do seu cotidiano, almde elucidar o conceito de
um poliedro ser convexo ou
no e de mostrar de forma
emprica a Relao de Euler
nos poliedros convexos.
A turma pode
ser dividida
em grupos
de quatro ou
cinco alunos.
40 minutos
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
11/212
Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 11
Identificando
vrtice, aresta
e face de um
poliedro.
Computadores
para os alunos
com o softwa-
res Poly Pro e
3D Learning
- Geometria
Espacial insta-
lados, material
do aluno, folha
de atividades e
lpis/caneta.
Esta atividade tem com
o objetivo desenvolver a
habilidade de visualizao
espacial com auxlio dos
softwares Poly Pro e 3D
Learning - Geometria Espa-
cial, de modo que os alunos
tenham a oportunidade de
identificar as caractersticas
que permitem diferenciar
poliedros de no poliedros
e identificar os elementos
bsicos dos poliedros a
partir da interface dinmica
oferecida pelo software.
Turma dividida
em duplas ou
trios.
30 minutos
Avaliao O que perguntam por a?
Tipos de
Atividades
Ttulo da
Atividade
Material
NecessrioDescrio Sucinta
Diviso da
Turma
Tempo
Estimado
ENEM - 2010
Imagem dispo-
nvel para
projeo neste
material; mate-
rial do aluno.
Turma dividida
em duplas
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
12/212
12
Avaliao Momento de Reflexo
Tipos deAtividades
Ttulo daAtividade
MaterialNecessrio
Descrio Sucinta Diviso daTurma
TempoEstimado
Avaliao da
Unidade
Folha de
atividades, ma-
terial do aluno,
lpis/caneta.
Esta atividade sugere um
instrumento avaliativo para
a unidade dividido em duas
etapas: registro de apren-
dizagens e questes tanto
objetivas como dissertativas,
a serem escolhidas a critrio
do professor.
Participao
individual dos
alunos.
40 minutos
Atividade complementar
Tipos de
Atividades
Ttulo da
Atividade
Material
NecessrioDescrio Sucinta
Diviso da
Turma
Tempo
Estimado
Exerccios de
Fixao Com-
plementares
Folhas de Ati-
vidades, lpis/
caneta.
Turma dividida
em duplas ou
em trios.
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
13/212
Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 13
Atividade Inicial
Tipos deAtividades
Ttulo daAtividade
MaterialNecessrio
Descrio Sucinta Diviso daTurma
TempoEstimado
Os slidos de
Plato.
Computadores
para os alunos,
applet dispon-
vel no material
do professor.
Esta atividade foi adaptada
da proposta Slidos Platni-
cos, elaborada pelo projeto
Contedos Digitais Para o
Ensino e Aprendizagem de
Matemtica e Estatstica,
do Instituto de Matemtica
da Universidade Federal
Fluminense (UFF), disponvelem http://www.uff.br/cdme/
platonicos/platonicos-html/
solidos-platonicos-br.html.
Este aplicativo apresenta
uma pequena enciclopdia
virtual interativa sobre os
slidos platnicos, apresen-
tando suas propriedades
matemticas, os aspectos
histricos, suas aplicaes e
modelos virtuais interativos.
A turma pode
ser dividida
em duplas.
40 minutos
Aspectos operacionais
A atividade inicialmente foi planejada para aplicao em laboratrio de informtica, onde cada aluno poderia
interagir diretamente com o aplicativo proposto, mas caso a sua escola no disponha de um laboratrio de inform-
tica, a mesma atividade poder ser aplicada em sala de aula com um computador ligado a um projetor multimdia ou
a uma TV. Nesse caso, os alunos podero interagir com o aplicativo de maneira indireta e coletiva.
Neste aplicativo, so apresentadas diversas atividades que envolvem a visualizao e que permitem ao aluno
um contato interativo com a geometria espacial.
Professor, solicite o acesso on-line http://www.uff.br/cdme/platonicos/platonicos-html/solidos-platonicos-
-br.html ou solicite a instalao off-line do aplicativo, isto , sem a necessidade de conexo com a internet,
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
14/212
14
nos computadores que sero utilizados para a atividade. Esta instalao pode ser feita a partir do prprio
site ou utilizando o pacote de arquivos disponvel e, tambm, no seu material.
Aps certificar-se de que o aplicativo foi devidamente instalado e testado, e confirmar a aplicao da ativi-
dade no laboratrio, solicite que a turma se divida em duplas ou de acordo com a viabilidade de computa-
dores de sua escola.
Assim que os alunos estiverem com o aplicativo aberto, voc poder apresentar o aplicativo e orient-los a
fazer um passeio virtual pela atividade.
Sugerimos que, aps este momento, sejam exploradas as atividades com os slidos platnicos, clicando,
primeiramente, no cone tetraedro para explorar propriedades matemticas envolvidas, como planificao
e montagem atravs da aba Montar.
Repita os mesmos procedimentos para os demais slidos platnicos: cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
Aspectos pedaggicos
Professor, o aplicativo pode ser executado em qualquer sistema operacional, porm, para execut-lo, pre-
ciso que o computador tenha a linguagem JAVA instalada. A instalao da linguagem JAVA pode ser feita
seguindo as orientaes disponveis no seguinte link: http://www.java.com/pt_BR/.
Ateno: se voc optar pelo uso da atividade off-line atravs de uma cpia local em seu computador ou no
servidor do laboratrio, importante que os arquivos no estejam em um diretrio cujo nome contenha
acentos ou espaos. Tambm importante lembrar que algumas distribuies Linux vm com o interpreta-
dor JAVA GCJ Web Plugin, que no compatvel com o applet da atividade. Neste caso, recomendamos que
voc solicite ao responsvel pelo laboratrio da escola que instale o interpretador nativo da Sun, disponvel
no link http://www.java.com/pt_BR/.
Sugerimos que voc apresente o aplicativo aos alunos, resolvendo um dos desafios como exemplo e, a par-
tir da, deixe-os explorar livremente, tentando resolver os demais, intervindo apenas quando necessrio.
Este um bom momento para se explorar as potencialidades do software, que permite quase simultane-
amente, a montagem e desmontagem do slido a partir da sua planificao, analisar sees planas, entre
outras propriedades matemticas.
Outra sugesto, que voc utilize a lousa para apresentar a tabela:
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
15/212
Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 15
Poliedro Regular
Nmero deArestasIncidentes emCada Vrtice
Nmero deVrtices (V)
Nmero deArestas (A
Nmero deFaces (F)
Valor deV - A + F
TetraedroCubo
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
Voc pode orientar os alunos a usarem os softwares da atividade, para contar o nmero de vrtices, arestas
e faces dos slidos platnicos e anotar os resultados na tabela acima. Dica: voc pode usar os recursos de
exibio de faces e de marcao de vrtices para auxiliar na contagem. Para contar o nmero de faces mais
facilmente, voc pode planificar o slido, usando a operao da aba Montar.
Atividade Inicial
Tipos de
Atividades
Ttulo da
Atividade
Material
Necessrio
Descrio SucintaDiviso da
Turma
Tempo
Estimado
Imaginando
outras
dimenses.
Folha de ati-
vidades, lpis,
caneta.
A atividade a seguir se ba-
seia na leitura de um texto
elaborado a partir do enredo
do romance proposto no
livro Planolndia, de Edwin
A. Abbott, propondo um
exerccio de imaginao, em
que os alunos se imaginaro
como habitantes de outras
dimenses. Esse exercciode imaginao se prope a
explorar os assuntos aborda-
dos sobre espao tridimen-
sional nesta unidade.
A turma pode
ser dividida
em duplas ou
trios.
30 minutos
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
16/212
16
Aspectos operacionais
Esta atividade foi baseada na sugesto apresentada na seo Para incio de conversa... do material do aluno,
conforme quadro a seguir:
Uma dica bacana o livro " Planolndia: um romance de muitas dimenses" ( Flatland: A Romance of
Many Dimensions) escrito por Edwin A. Abbott. Nesse livro, Abbott usou o mundo bidimensional fict-
cio de Flatland para fazer reflexes sobre a sociedade e uma importante anlise sobre as dimenses. A
verso original, em ingls, est disponvel para download, na ntegra e gratuitamente, no site Domnio
Pblico, do Ministrio da Educao. Olink direto para o arquivo http: www.dominiopublico.gov.br/
download/texto/ph000007.pdf. A traduo para o portugu foi feita pela Editora conrad, que tambm
e responsvel pela sua distribuio.
Professor, primeiramente leia o texto a seguir para todos, promovendo assim, uma discusso coletiva.
Texto:
Imagine uma reta colocada na horizontal, para facilitar nossa descrio. Mas poderia ser uma reta qualquer.
Diz-se que a reta tem apenas uma dimenso, pois tem apenas 1 grau de liberdade.
Como assim, 1 grau de liberdade?
Imagine um habitante desta reta chamado de P, ou seja, um ponto que no pode sair dela, mas pode deslo-
car-se ao longo de toda a sua extenso.
Observe que o ponto desloca-se apenas em uma direo, a direo da reta. No caso da reta na horizontal, o
ponto P s pode se deslocar na direo (horizontal). Ele no pode ir para cima e para baixo, no pode sair da reta; s
lhe permitido ir para a direita ou esquerda.
Agora, imagine um mundo que fosse apenas um ponto e seu nico habitante fosse o ponto P. Coitadinho, ele
no pode nem se movimentar, ou seja, ele teria zero grau de liberdade...
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
17/212
Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 17
Ento, at agora, conseguimos imaginar como seria um mundo com dimenso zero (ponto) e um mundo com
dimenso um (reta).
Por que no imaginarmos um mundo com duas dimenses? Vamos faz-lo agora? Estamos noplano! E l est
nosso amigo, o ponto P. Desta vez, ele tem mais liberdade, mais precisamente, tem dois graus de liberdade: horizontale vertical. Com essas duas componentes direcionais, o ponto P pode se deslocar por toda a extenso de um plano.
Imagine os eixos cartesianos x e y.
Por exemplo, se o ponto P quiser se deslocar da origem O(0,0) at o ponto (3,2), basta ele ir 3 unidades para
direita e 2 unidades para cima ou, ainda, 2 unidades para cima e 3 unidades para a direita.
Vamos imaginar esses mundos misturados?
Imagine que o ponto P, que estava inserido na reta horizontal, agora est conversando com um ponto A,
tambm pertencente reta, e ambos esto sendo observados por um habitante do plano, o crculo c.
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
18/212
18
O crculo c pode enxergar os pontos A e P, mas estes no conseguem enxergar o crculo c, pois o nico mundo
que conhecem a reta e s enxergam pontos sua direita ou sua esquerda. Por outro lado, o crculo c tem o poder
de retirar o ponto P do seu mundo e coloc-lo de volta. Ele decide fazer isso para mostrar como o mundo bidimen-
sional para o ponto P. Nesse momento, o ponto P desaparece das vistas do seu amigo A e, instantes depois, reaparece
como num passe de mgica.
Nossa imaginao pode fluir. Voc, como um habitante da terceira dimenso, tem trs graus de liberdade: as
duas do plano do cho mais a altura. Ou seja, voc pode se deslocar para qualquer ponto do espao tridimensional.
Ento, voc consegue observar o crculo c, mas ele no consegue observ-lo, j que vive num mundo bidimensional.
Se voc retir-lo do plano e recoloc-lo, instantes depois ele desaparece do plano em que vive por alguns momentos
e depois reaparece.
Aps esta leitura, solicite que os alunos organizem-se em duplas ou trios.
Professor, importante que voc reproduza a folha de atividades com antecedncia.
Distribua uma folha de atividades para cada grupo e oriente-os nas questes propostas.
Aspectos pedaggicos
Solicite que os alunos, durante a leitura do texto, faam anotaes sobre elementos que considerarem
importantes, identificando percepes de conceitos matemticos presentes, bem como de questes que
julgarem pertinentes para discutir com a turma aps a leitura;
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
19/212
Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 19
Pea aos alunos para refletirem sobre as possibilidades dos mundos com dimenso zero (ponto), um (reta),
dois (plano), trs (espao tridimensional); e discuta com eles sobre exemplos de elementos dessas dimen-
ses.
Ao final da atividade, promova um debate sobre a atividade baseado nos exemplos, questionando a possi-
bilidade da existncia de uma quarta dimenso geomtrica, pois possvel considerar o tempo como uma
quarta componente dimensional. A teoria de espao-tempo de Albert Einstein considera o tempo como
uma 4 dimenso temporal: o espao tridimensional mais a dimenso tempo. Uma possvel referncia:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Quarta_dimens%C3%A3o
Observe, nas respostas dos alunos, como seria uma possvel ao com o auxlio da 4 dimenso.
Sugesto de aplicao da atividade com auxlio de recursos multimdia:
Esta mesma atividade poder ser aplicada a partir da exibio do filme Flatland. O filme pode ser encontrado
em DVD nas locadoras (ver detalhes do filme em: http://store.flatlandthemovie.com, ou acessar o trailler em: http://
www.youtube.com/watch?v=C8oiwnNlyE4), ou se voc, professor, preferir, poder acessar os episdios em:
Episdio 1 - http://www.youtube.com/watch?v=cxUUTNtILk0
Episdio 2 - http://www.youtube.com/watch?v=0pd8LH0FBY8
Episdio 3 - http://www.youtube.com/watch?v=kSoEGkwv1mY
Episdio 4 - http://www.youtube.com/watch?v=SZgVi788dqk
Episdio 5 - http://www.youtube.com/watch?v=yerWRBdaVGQ
Episdio 6 - http://www.youtube.com/watch?v=epM_zOX4u4k
Episdio 7 - http://www.youtube.com/watch?v=Chd_MS3J9HA
Episdio 8 - http://www.youtube.com/watch?v=94npBEuGVkw
Folha de Atividades Imaginando outras dimenses
Nome da Escola:___________________________________________________________________
Nome: ___________________________________________________________________________
Texto:
Imagine uma reta colocada na horizontal, para facilitar nossa descrio. Mas poderia ser uma reta qualquer.
Diz-se que a reta tem apenas uma dimenso, pois tem apenas 1 grau de liberdade.
Como assim, 1 grau de liberdade?
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
20/212
20
Imagine um habitante desta reta chamado de P, ou seja, um ponto que no pode sair dela, mas pode deslo-
car-se ao longo de toda a sua extenso.
Observe que o ponto desloca-se apenas em uma direo, a direo da reta. No caso da reta na horizontal, o
ponto P s pode se deslocar na direo (horizontal). Ele no pode ir para cima e para baixo, no pode sair da reta; s
lhe permitido ir para a direita ou esquerda.
Agora, imagine um mundo que fosse apenas um ponto e seu nico habitante fosse o ponto P. Coitadinho, ele
no pode nem se movimentar, ou seja, ele teria zero grau de liberdade...
Ento at agora, conseguimos imaginar como seria um mundo com dimenso zero (ponto) e um mundo com
dimenso um (reta).
Por que no imaginarmos um mundo com duas dimenses? Vamos faz-lo agora? Estamos no plano! E l est
nosso amigo, o ponto P. Desta vez, ele tem mais liberdade, mais precisamente, tem dois graus de liberdade: horizontal
e vertical. Com essas duas componentes direcionais, o ponto P pode se deslocar por toda a extenso de um plano.
Imagine os eixos cartesianos x e y.
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
21/212
Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 21
Por exemplo, se o ponto P quiser se deslocar da origem O(0,0) at o ponto (3,2), basta ele ir 3 unidades para
direita e 2 unidades para cima ou, ainda, 2 unidades para cima e 3 unidades para a direita.
Vamos imaginar esses mundos misturados?
Imagine que o ponto P, que estava inserido na reta horizontal, agora est conversando com um ponto A,
tambm pertencente reta, e ambos esto sendo observados por um habitante do plano, o crculo c.
O crculo c pode enxergar os pontos A e P, mas estes no conseguem enxergar o crculo c, pois o nico mundo
que conhecem a reta e s enxergam pontos sua direita ou sua esquerda. Por outro lado, o crculo c tem o poder
de retirar o ponto P do seu mundo e coloc-lo de volta. Ele decide fazer isso para mostrar como o mundo bidimen-
sional para o ponto P. Nesse momento, o ponto P desaparece das vistas do seu amigo A e, instantes depois, reaparece
como num passe de mgica.
Nossa imaginao pode fluir. Voc, como um habitante da terceira dimenso, tem trs graus de liberdade: as
duas do plano do cho mais a altura. Ou seja, voc pode se deslocar para qualquer ponto do espao tridimensional.
Ento, voc consegue observar o crculo c, mas ele no consegue observ-lo, j que vive num mundo bidimensional.
Se voc retir-lo do plano e recoloc-lo, instantes depois ele desaparece do plano em que vive por alguns momentos
e depois reaparece.
Atividade:
Imagine que voc seja o ponto P(3,2) no plano (bidimensional).
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
22/212
22
a. Quantos graus de liberdade voc tem? ____________________________________________________.
b. O que voc poderia fazer para ir at o ponto de origem O(0,0), utilizando os graus de liberdade que
possui? ______________________________________________________________________________.
c. Se um habitante do espao tridimensional retirasse voc do plano, quantos graus de liberdade voc pas-
saria a ter? Por qu? ____________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________.
Agora, sua vez de imaginar como seria viver numa 4 dimenso!
Discuta com seus colegas sobre quantos graus de liberdade voc teria; que elementos voc pode visualizar
desta nova dimenso; esses elementos podem ver voc nesta dimenso superior? Tente responder a essas questes,
a partir de uma comparao dos exemplos citados no texto.
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
23/212
Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 23
Seo 1 Geometria Espacial: conceitos bsicosPginas no material do aluno
43 a 47
Tipos deAtividades
Ttulo daAtividade
MaterialNecessrio
Descrio Sucinta Diviso daTurma
TempoEstimado
Redescobrindo
a Geometria
Plana e
Espacial.
Folha de ati-
vidades, folha
em anexo,
lpis, caneta,
tesoura, cola e
rgua.
Esta atividade ser dividida
em duas partes, a primeira
permitir ao professor in-
troduzir entidades funda-
mentais (ponto, reta, plano e
espao) como noes primi-
tivas, enunciar os principais
postulados que relacionam
os conceitos primitivos dageometria. J na segunda,
ser proposta a construo
de um paraleleppedo a par-
tir da sua planificao. Desta
forma, acreditamos que os
alunos possam identificar
partes da reta, do plano e do
espao, e obter a noo de
planificao (para monta-
gem) de um modelo de um
slido atravs das aes
que envolvem noes de
plano e espao. Finalmente,
os alunos sero levados a
ampliarem as discusses das
etapas anteriores atravs de
questes propostas numa
folha de atividades.
A turma pode
ser dividida
em grupos de
trs ou quatro
alunos.
40 minutos
Aspectos operacionais
1 parte:
Professor, primeiramente voc pode usar uma folha de papel como exemplo e coloc-la sobre a mesa, levando
os alunos a imaginarem o plano como se fosse essa folha de papel que se estende infinitamente em todas as direes.
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
24/212
24
A partir da, voc pode mostrar a eles que a noo primitiva ponto pode ser pensada como a marca deixada pela
ponta do lpis ao tocar a folha. O desenho da parte de uma reta feito com o auxlio de uma rgua. Lembre-os de que
a reta ilimitada nos dois sentidos.
O material do aluno traz um quadro (p. 46) com um pouco da histria da Matemtica e a definio desses
conceitos primitivos:
Estes conceitos foram propostos pela primeira vez pelo matemtico grego Euclides, que viveu na Ale-
xandria da primeira metade do sc. III a.C. (a data e o local de seu nascimento no so precisos).
Euclides possivelmente adquiriu seus primeiros conhecimentos matemticos dos discpulos de outro
importante filsofo grego: Plato. Amais importante obra de Euclides foi "Os Elementos". So treze
captulos fundamentais para matemtica sobre Aritmtica, Geomentria e lgebra.
A obra "Os Elementos" j est em domnio pblico e pode ser baixada gratuitamente no portal Dom-
nio Pblico, do Ministrio da Educao. O link direto para o arquivo http:www.dominiopublico.gov.
br/download/texto/be00001a.pdf.
Nos Elementos, Euclides afirma que "ponto o que no tem partes ou grandeza alguma", "linha o que
tem comprimento sem largura" e "superfcie o que tem comprimento e largura". Parecido com o que
acabamos de ver? E olha que o livro j tem mais de dois mil anos!
Nesta etapa, voc pode recorrer s aproximaes e aos exemplos intuitivos ilustrados na seo Para incio de
conversa...e na seo 1, Geometria espacial: conceitos bsicosdo material do aluno.
2 parte:
Aps esta etapa, voc pode utilizar a planificao para montagem de um paraleleppedo a seguir, e dis-
ponvel no seu material, pedir que os alunos escolham um dos retngulos dessa planificao, nomeando os vrtices
como A, B, C e D e sobre este retngulo e considerando a aresta AB. Pea que eles marquem dois pontos, E e F, entre
A e B , e assim identifiquem que A, B, E e F so colineares ou alinhados. Oriente-os a observarem que os pontos A, B,
C e D so coplanares.
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
25/212
Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 25
Estabelea uma discusso com os alunos, indagando-os sobre as seguintes questes:
Numa reta, bem como fora dela, existem quantos pontos?
Por dois pontos distintos, passam quantas retas?
Num plano, bem como fora dele, existem quantos pontos?
Por trs pontos distintos passam quantos planos?
Aps uma discusso informal destas questes, voc, professor, pode formalizar estas respostas como postulados:
P1- Numa reta, bem como fora dela, h infinitos pontos;
P2- Por dois pontos distintos, passa uma nica reta;
P3- Num plano, bem como fora dele, h infinitos pontos;
P4- Por dois pontos distintos (ou pela reta que eles determinam), passam infinitos planos;
P5- Por trs pontos distintos no colineares, passa um nico plano;
P6- Se dois pontos distintos pertencem a um plano, ento, a reta que eles determinam est contida no plano.
Aps esta discusso coletiva:
Solicite que os alunos organizem-se em grupos de trs ou quatro;
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
26/212
26
Distribua um modelo de planificao para cada aluno e oriente-os a montarem um modelo para o parale-
leppedo.
Distribua uma folha de atividades para cada aluno, promovendo uma ampliao das discusses propostas
nas etapas anteriores.
Aspectos pedaggicos
Professor, voc pode usar o material concreto (o modelo montado do paraleleppedo) para simular situa-
es de investigao. Para isso, estimule os alunos a observarem, explorarem e manipulem este material de
forma a auxiliar no desenvolvimento de noes geomtricas no somente pelo treinamento de memoriza-
o e tcnicas operatrias.
Aps montarem o paraleleppedo, voc pode estimul-los a identificarem objetos do seu cotidiano que
apresentem formas similares quela montada (ex.: caixas de sapato, de pasta de dente, etc.).
Tambm seria interessante instig-los a identificarem objetos que representem formas planas e outros que
representem formas espaciais.
Para complementar esta atividade, voc pode recorrer atividade multimdia, disponvel on-lineno site
http://www.uff.br/cdme/pdp/pdp-html/pdp-br.html e off-lineno seu material.
Folha de Atividades Redescobrindo a Geometria Plana eEspacial
Nome da Escola:___________________________________________________________________
Nome: ___________________________________________________________________________
A partir das discusses promovidas em aula, observe a figura e responda s questes propostas:
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
27/212
Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 27
Questo 1:Existe uma reta que passe por G e C da figura?
__________________________________________________________________________________________.
Questo 2:Dois pontos so sempre colineares? Justifique a sua reposta.
__________________________________________________________________________________________.
Questo 3:Sob que condies trs so colineares? Que figura geomtrica plana pode ser formada por trs
pontos no colineares?
__________________________________________________________________________________________.
Questo 4:Os pontos A, B, E e H so coplanares? E os pontos A, B e G? E os pontos E, F, G e H?
__________________________________________________________________________________________.
Questo 5: Trs pontos distintos so coplanares? Baseado nesta resposta, voc saberia justificar por que uma
mesa com trs ps mais firme do que uma com quatro? Que postulado de Euclides, justifica esta resposta?
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________.
Seo 2 Os logaritmos ajudam a resolver
equaes exponenciais.
Pginas no material do aluno
53 a 61
Tipos de
Atividades
Ttulo da
Atividade
Material
NecessrioDescrio Sucinta
Diviso da
Turma
Tempo
Estimado
O paralelep-
pedo e seus
elementos.
Folha de ativi-
dades, lpis/
caneta.
A atividade a seguir convida
os alunos a identificar posi-
es relativas entre pontos,
retas e planos a partir dos
elementos de um paralelep-
pedo. Para isso, elaboramosalgumas questes que esto
disponveis como folha de
atividades.
Turma dividida
em duplas ou
trios.
30 minutos
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
28/212
28
Aspectos operacionais
Professor, a partir da representao plana do paraleleppedo a seguir, voc poder trabalhar posies relativas
entre pontos, retas e planos. Para isso, sugerimos algumas questes numa folha de atividades, disponvel no seu ma-
terial, que foram planejadas para serem realizadas aps as atividades propostas na seo 2 - Continuando com pontos,
retas e planos: posies relativasdo material do aluno.
Primeiramente, os alunos sero levados a observarem os pontos, retas e planos a partir da observao dos
elementos da figura dada, para que ao final, possam identificar algumas posies relativas entre esses elementos.
Aspectos pedaggicos
Solicite que os alunos organizem-se em duplas ou trios;
Primeiramente deixe-os analisar a figura e as questes propostas;
Se achar necessrio, voc pode levar uma caixa na forma de paraleleppedo (de sapatos, de leite, etc. ) para
auxili-los na transio da visualizao plana para a espacial;
Estimule os alunos a identificarem os vrtices do paraleleppedo como pontos, suas arestas como segmen-
tos de reta e suas faces como planos. E, a partir dessas observaes, analisarem algumas posies relativas.
Ao final da atividade, promova um debate sobre a atividade baseado nos resultados obtidos, questionando:
Um plano pode ser definido com apenas 3 pontos?;
Apesar de a reta ser definida por 2 pontos, quantos pontos h numa reta? E num segmento de reta?
Esta uma boa oportunidade de lembrar a eles que trs pontos definem um plano. No entanto, ao visuali-
zarem uma face do paraleleppedo, podero notar que cada vrtice est no plano gerado pelos outros trs
da mesma face.
Folha de Atividades O paraleleppedo e seus elementos
Nome da Escola:___________________________________________________________________
Nome: ___________________________________________________________________________
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
29/212
Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 29
Observe a representao em perspectiva do paraleleppedo a seguir:
1. Tente identificar todos os pontos, retas (segmentos) e planos definidos pelos pontos da figura acima.
a. Quantos pontos voc encontrou? Quais?
b. Quantas retas voc identificou a partir das arestas do paraleleppedo? Quais?
c. Quantos planos formam as faces do paraleleppedo? Quais?
2. Complete corretamente as lacunas com os smbolosoupara relacionar pontos a retas ou a planos:
a. B ____ reta BD
b. C ____ reta BC
c. H ____ reta EG
d. H ____ reta HF
e. I ____ reta DE
f. E ____ reta GI
g. G ____ plano EFC
h. H _____ plano BCD
i. F ____ plano BCH
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
30/212
30
j. E ____ plano GHI
k. D _____ plano EGI
l. C ____ plano BDH
3. Identifique a posio relativa entre as retas abaixo:
a. retas BC e BD __________________.
b. retas DE e IG ___________________.
c. retas CF e DE ___________________.
d. retas BC e EG ___________________.
e. retas HF e BH ___________________.
f. retas EG e BH___________________.
Seo 3 Slidos Geomtricos Pginas no material do aluno
62 a 70
Tipos de
Atividades
Ttulo da
Atividade
Material
NecessrioDescrio Sucinta
Diviso da
Turma
Tempo
Estimado
Reconhecen-
do Slidos
Geomtricos
em objetos do
cotidiano.
Folha de ativi-
dades, lpis/ca-
neta e materiais
de utilidades
domsticas ou
materiais de
sucata (emba-
lagens, caixa de
fsforos, caixa
de chocolate
no formato de
prisma, lata,
copo, etc.)
Esta atividade prope a
utilizao de materiais de
utilidades domsticas ou
materiais de sucata, como
recursos para que os alunos
reconheam slidos geo-
mtricos (poliedros e no
poliedros) em diversos ob-
jetos do seu cotidiano, alm
de elucidar o conceito deum poliedro ser convexo ou
no e de mostrar de forma
emprica a Relao de Euler
nos poliedros convexos.
A turma pode
ser dividida
em grupos
de quatro ou
cinco alunos.
40 minutos
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
31/212
Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 31
Aspectos operacionais
Na seo 3 - Slidos Geomtricosdo material do aluno, introduzida uma discusso a respeito de objetos reais
em que podemos encontrar representaes de slidos geomtricos e identific-los entre representaes de poliedros
e no poliedros.
A partir da definio de poliedro como o slido limitado por regies poligonais planas, primeiramente, pro-
pe-se aos alunos a separao dos materiais trazidos para a aula em poliedros e no poliedros, depois pede-se que os
alunos classifiquem os poliedros em convexos e no convexos, para que, ao final da atividade, possam experimentar
a validade da relao de Euler para os convexos.
Professor, voc pode levar para a aula ou solicitar na aula anterior que os alunos levem materiais de utilida-
des domsticas ou materiais de sucata, como copo, lata, caixas, objetos com formas variadas;
Divida a turma em grupos de quatro ou cinco alunos e distribua entre os grupos alguns dos materiais leva-
dos para a aula.
Uma vez que os materiais tenham sido distribudos, pea para que os alunos os manuseiem livremente,
para que possam observar caractersticas e se familiarizar com esses objetos.
Em seguida, pea aos seus alunos que identifiquem, de acordo com a definio de poliedro apresentada
no material do aluno (p. 62), os materiais que representam poliedros e os que no representam e, depois,
separem os poliedros em convexos e no convexos, de acordo com os exemplos apresentados no material
do aluno (p. 64).
Aps esta etapa, distribua uma folha de atividades para cada aluno e solicite que eles realizem as questes
propostas.
Aspectos pedaggicos
Professor, oriente os alunos a observarem caractersticas dos materiais recebidos, quanto s faces, por
exemplo, se o slido apresentado limitado por faces poligonais planas, assim como vrtices e arestas.
Dependendo da quantidade de materiais disponveis, voc pode utilizar como slidos aquelas embalagens
sem tampa, mas importante chamar ateno dos alunos para a necessidade desta face, quando quere-
mos visualizar o slido como um todo, por exemplo os poliedros. Voc pode levar os alunos a imaginarem
uma tampa para que possam compor as faces do poliedro analisado.
Ainda nesta discusso, voc pode trabalhar a ideia de poliedros convexos e no convexos a partir dos mate-
riais concretos apresentados ou apresentando exemplos de acordo com o quadro apresentado no material
do aluno (p. 64) e ilustrado a seguir:
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
32/212
32
Professor, aps essa primeira discusso, auxilie os alunos na resoluo das questes propostas na folha de
atividades, usando somente os poliedros convexos. Verifique se os grupos esto obtendo os valores dese-
jados na tabela, orientando-os quando necessrio.
Objeto N de Vrtices (V) N de Faces (F) N de Arestas (A) V + F - A
Estimule uma discusso entre os grupos para que tentem perceber a relao entre o nmero de vrtices,
faces e arestas desses poliedros convexos. Aps preencherem a tabela, voc pode pedir que cada gru-
po troque as folhas com os outros grupos e observem os resultados obtidos na ltima coluna da tabela,
indagando-os sobre o que observam. Espera-se que, aps esta discusso, os alunos percebam que o valor
sempre igual a 2.
Por fim, utilize a lousa para concluir com os alunos a Relao de Euler: V + F = A + 2.
Folha de Atividades Reconhecendo Slidos Geomtricos emobjetos do cotidiano
Nome da Escola:___________________________________________________________________
Nome: __________________________________________________________________________
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
33/212
Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 33
A partir dos objetos e materiais trazidos para a aula, respondam s questes propostas:
Questo 1:Quais dos objetos analisados representam poliedros?
________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________.
Questo 2: Quais dos objetos que foram classificados como poliedros so convexos e quais so no convexos?
________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________.
Questo 3:Com somente os objetos que foram classificados como poliedros convexos, preencha a seguinte
tabela:
Objeto N de Vrtices (V) N de Faces (F) N de Arestas (A) V + F - A
Questo 4:Voc consegue observar se existe alguma relao entre os nmeros de vrtices, faces e arestas dos
objetos selecionados na questo 3? Dica: Observe a ltima coluna da tabela.
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
34/212
34
Seo 3 Slidos Geomtricos Pginas no material do aluno
62 a 70
Tipos de
Atividades
Ttulo da
Atividade
Material
NecessrioDescrio Sucinta
Diviso da
Turma
Tempo
Estimado
Identificando
vrtice, aresta
e face de um
poliedro.
Computadores
para os alunos
com o softwa-
res Poly Proe
3D Learning- Geometria
Espacial insta-
lados, material
do aluno, folha
de atividades e
lpis/caneta.
Esta atividade tem com
o objetivo desenvolver a
habilidade de visualizao
espacial com auxlio dos
softwares Poly Pro e 3D
Learning - Geometria Espa-
cial, de modo que os alunostenham a oportunidade de
identificar as caractersticas
que permitem diferenciar
poliedros de no poliedros
e identificar os elementos
bsicos dos poliedros a
partir da interface dinmica
oferecida pelo software.
Turma divididaem duplas ou
trios.
30 minutos
Aspectos operacionais
Esta atividade foi elaborada para ser aplicada em laboratrio de informtica em complementao atividade
4 proposta no material do aluno. Nessa atividade, so apresentadas representaes planas de objetos espaciais. No
entanto, no podemos considerar que seja absolutamente fcil para os alunos visualizar esses objetos a partir de tais
representaes. Esta atividade complementar poder auxiliar voc, professor, nesse processo.
Esta atividade tem com o objetivo desenvolver a habilidade de visualizao espacial com auxlio dos softwares
Poly Proe 3D Learning - Geometria Espacial. Alm disso, os alunos tero a oportunidade de identificar as caracte-
rsticas que permitem diferenciar poliedros de no poliedros (tambm chamados de corpos redondos em algumas
literaturas) a partir da interface dinmica oferecida pelo softwaree identificar os elementos bsicos dos poliedros.
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
35/212
Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 35
Inicialmente, voc, professor, dever estabelecer juntamente com a sua turma uma analogia entre os elemen-
tos do poliedro: vrtice, aresta e face, com as noes primitivas de ponto, reta e plano, respectivamente.
Leve, ento, os seus alunos at o laboratrio de informtica (certifique-se de que os softwares Poly Pro
e 3D Learning - Geometria Espacial, j estejam devidamente instalados e prontos para serem acessados
pelos alunos) e pea para que eles formem duplas ou trios.
Em seguida, voc, professor, poder aplicar a atividade proposta na Folha de Atividades (que est dispon-
vel em seu Grid de aula no seu DVD).
Atividade:
1. Abra o softwarePoly Pro. Em seguida, selecione as opes Slido de Arquimedes e depois Cuboctaedro
nas caixas flutuantes na janela de ferramentas. Esse slido corresponde ao primeiro exemplo de poliedro
apresentado na atividade 4 (pgina 60). Clique sobre ele e arraste para mov-lo e gir-lo livremente.
2. Agora abra o software 3D Learning - Geometria Espacial.
a. Na caixa de ferramentas (apresentada do lado direito da tela) clique sobre a ferramenta Inserir Objetos( ). Na janela que se abrir, selecione o objeto cilindro e clique em Inserir. Esse slido corresponde
ao primeiro exemplo de no poliedro apresentado na atividade 4 (pgina 60). Clique sobre o objeto e
sobre grid, arrastando-os para mov-lo e gir-lo livremente.
b. Na mesma janela objetos j aberta, selecione o objeto esfera e clique em Inserir. Esse slido corres-
ponde ao segundo exemplo de no poliedro apresentado na atividade 4 (pgina 60). Clique sobre o
objeto e sobre grid, arrastando-os para mov-lo e gir-lo livremente.
c. Na mesma janela objetos j aberta, selecione o objeto paraleleppedo e clique em Inserir. Esse slido
corresponde ao segundo exemplo de poliedro apresentado na atividade 4 (pgina 60). Clique sobre o
objeto e sobre grid, arrastando-os para mov-lo e gir-lo livremente.
d. Na mesma janela objetos j aberta, selecione o objeto octaedro e clique em Inserir. Esse slido corres-
ponde ao terceiro exemplo de poliedro apresentado na atividade 4 (pgina 61). Clique sobre o objeto e
sobre grid, arrastando-os para mov-lo e gir-lo livremente.
e. Na mesma janela objetos j aberta, selecione o objeto cone e clique em Inserir. Esse slido correspon-
de ao terceiro exemplo de no poliedro apresentado na atividade 4 (pgina 61). Clique sobre o objeto e
sobre grid, arrastando-os para mov-lo e gir-lo livremente.
f. Na mesma janela objetos j aberta, selecione o objeto pirmide e clique em Inserir. Esse slido cor-
responde ao quarto exemplo de poliedro apresentado na atividade 4 (pgina 61). Clique sobre o objeto
e sobre grid, arrastando-os para mov-lo e gir-lo livremente.
3. Agora que voc j explorou quase todos os slidos apresentados na atividade 4 atravs dos softwares,
destaque:
a. O que voc observou em relao s caractersticas que os poliedros tm em comum?
b. O que voc observou em relao s caractersticas que os no poliedros tm em comum?
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
36/212
36
4. A partir do que foi observado no item anterior, responda:
a. Sobre as superfcies dos poliedros observados podemos identificar elementos de 2, 1 ou nenhuma di-
menso? Tomando como exemplo o octaedro, quantos so os elementos de 2, 1 e nenhuma dimenso
sobre a sua superfcie? (Esses so os nmeros de faces, arestas e vrtices desse poliedro)
b. possvel identificar, da mesma forma, os mesmos elementos tambm na superfcie dos no poliedros?
Em que estes se diferem dos poliedros?
Os softwaresPoly Pro e 3D Learning - Geometria Espacial (ambos livres), bem como suas instalaes, esto
disponveis em seu DVD. No entanto, para que o software3D Learning - Geometria Espacial seja devidamente regis-
trado em seu computador ou nos computadores do laboratrio de informtica da sua unidade escolar, necessrio
efetuar um cadastro no endereo http://www.christmas.com.br/3dlearning/cadastro/. Esse cadastro indispensvel
para a obteno do nmero de registro do software.
Aspectos pedaggicos
Deixe que os alunos manipulem livremente os softwarese as representaes dinmicas dos slidos.
Discuta com os alunos quais as caractersticas dos poliedros e no poliedros. Deixe que eles indiquem suas
prprias caracterizaes, mesmo que sejam informais. Adeque suas propostas linguagem matemtica,
quando possvel.
Ao final da atividade, voc pode promover um debate a partir dos resultados obtidos na folha de atividades
em relao s diferenas entre os tipos de slidos trabalhados.
Caso a sua unidade escolar no disponha de um laboratrio de informtica, a mesma atividade poder
ser aplicada em sala de aula com auxlio de um computador ligado a um projetor multimdia ou a uma TV.
Nesse caso, os alunos podero interagir com o softwarede maneira indireta e coletiva.
Folha de Atividades Identificando vrtice, aresta e face de um
poliedro
Nome da Escola: ____________________________________________________________
Nome: ____________________________________________________________________
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
37/212
Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 37
1. Abra o software Poly Pro. Em seguida, selecione as opes Slido de Arquimedes e depois Cuboctaedro
nas caixas flutuantes na janela de ferramentas. Esse slido corresponde ao primeiro exemplo de poliedro
apresentado na atividade 4 (pgina 60). Clique sobre ele e arraste para mov-lo e gir-lo livremente.
2. Agora abra o software 3D Learning - Geometria Espacial.
a. Na caixa de ferramentas (apresentada do lado direito da tela) clique sobre a ferramenta Inserir Objetos
( ). Na janela que se abrir, selecione o objeto cilindro e clique em Inserir. Esse slido corresponde
ao primeiro exemplo de no poliedro apresentado na atividade 4 (pgina 60). Clique sobre o objeto e
sobre grid, arrastando-os para mov-lo e gir-lo livremente.
b. Na mesma janela objetos j aberta, selecione o objeto esfera e clique em Inserir. Esse slido corres-
ponde ao segundo exemplo de no poliedro apresentado na atividade 4 (pgina 60). Clique sobre o
objeto e sobre grid, arrastando-os para mov-lo e gir-lo livremente.
c. Na mesma janela objetos j aberta, selecione o objeto paraleleppedo e clique em Inserir. Esse slido
corresponde ao segundo exemplo de poliedro apresentado na atividade 4 (pgina 60). Clique sobre o
objeto e sobre grid, arrastando-os para mov-lo e gir-lo livremente.
d. Na mesma janela objetos j aberta, selecione o objeto octaedro e clique em Inserir. Esse slido corres-
ponde ao terceiro exemplo de poliedro apresentado na atividade 4 (pgina 61). Clique sobre o objeto e
sobre grid, arrastando-os para mov-lo e gir-lo livremente.
e. Na mesma janela objetos j aberta, selecione o objeto cone e clique em Inserir. Esse slido correspon-
de ao quarto exemplo de no poliedro apresentado na atividade 4 (pgina 61). Clique sobre o objeto e
sobre grid, arrastando-os para mov-lo e gir-lo livremente.
f. Na mesma janela objetos j aberta, selecione o objeto pirmide e clique em Inserir. Esse slido cor-
responde ao quarto exemplo de poliedro apresentado na atividade 4 (pgina 61). Clique sobre o objeto
e sobre grid, arrastando-os para mov-lo e gir-lo livremente.
3. Agora que voc j explorou quase todos os slidos apresentados na atividade 4 atravs dos softwares,
destaque:
a. O que voc observou em relao s caractersticas que os poliedros tm em comum?
b. O que voc observou em relao s caractersticas que os no poliedros tm em comum?
4. A partir do que foi observado no item anterior, responda:
a. Sobre as superfcies dos poliedros observados podemos identificar elementos de 2, 1 ou nenhuma di-
menso? Tomando como exemplo o octaedro, quantos so os elementos de 2, 1 e nenhuma dimenso
sobre a sua superfcie? (Esses so os nmeros de faces, arestas e vrtices desse poliedro)
b. possvel identificar, da mesma forma, os mesmos elementos tambm na superfcie de todos os no
poliedros? Em que estes se diferem dos poliedros?
c. Um dos slidos apresentados na atividade 4 no foi explorado com auxlio dos softwares. Voc seria
capaz de indicar algum objeto cuja forma se assemelhe desse slido?
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
38/212
38
Avaliao O que perguntam por a?
Tipos deAtividades
Ttulo daAtividade
MaterialNecessrio
Descrio Sucinta Diviso daTurma
TempoEstimado
ENEM - 2010
Imagem dispo-
nvel para
projeo neste
material; mate-
rial do aluno.
Turma dividida
em duplas
Aspectos operacionais
Na seo O que perguntam por a? do material do aluno, a atividade uma questo do ENEM que envolve
noo bsica de geometria espacial. Voc poder trabalhar esta proposta com a imagem disponvel neste material e
pedir que os alunos discutam e resolvam a seguinte questo proposta:
ENEM - 2010
A figura seguinte representa um salo de um clube onde esto destacados os pontos A e B:
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
39/212
Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 39
Nesse salo, o ponto em que chega o sinal da TV a cabo fica situado em A. Afim de instalar um telo para a
transmisso dos jogos de futebol da Copa do Mundo, esse sinal dever ser levado at o ponto B por meio de um ca-
beamento que seguir na parte interna da parede e do teto.
O menor comprimento que esse cabo dever ter para ligar os pontos A e B poder ser obtido por meio daseguinte representao no plano:
a)
b)
c)
d)
e)
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
40/212
40
Aspectos pedaggicos
Aps a resoluo desta questo em aula, voc pode promover uma anlise coletiva das respostas encon-
tradas pelos alunos, com uma breve discusso a respeito dos possveis erros (erros mais comuns) por eles
cometidos.
Gabarito comentado:
Gabarito E: perceba o seguinte: o retngulo em que se situa o ponto B o teto da sala eo retngulo em que
se situa o ponto A uma das paredes. Conseguiu ver? Muito bem. Ento, num pimeiro momento, podemos afirmar
que os pontos esto em planos diferentes e, neste caso, um fio que percorresse o caminho mais curto entre A e B
passaria pelo meio da sala. No entanto, o fato de o fio "correr" por dentro da parede faz com que as coisas mudem de
figura: podemos considerar que os planos do teto e da parede so, na verdade, um plano contnuo. Dessa maneira, os
pontos A e B estaro no memso plano e a menor distncia entre eles ser o tamanho da linha reta que os une. Assim,
a resposta letra E.
Avaliao Momento de Reflexo
Tipos de
Atividades
Ttulo da
Atividade
Material
NecessrioDescrio Sucinta
Diviso da
Turma
Tempo
Estimado
Avaliao da
Unidade
Folha de
atividades, ma-
terial do aluno,
lpis/caneta.
Esta atividade sugere uminstrumento avaliativo para
a unidade dividido em duas
etapas: registro de apren-
dizagens e questes tanto
objetivas como dissertativas,
a serem escolhidas a critrio
do professor.
Participao
individual dos
alunos.
40 minutos
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
41/212
Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 41
Aspectos operacionais
Para o momento de avaliao, sugerimos a utilizao do ltimo tempo de aula destinado unidade 2. A seguir,
apresentamos sugestes para a avaliao das habilidades pretendidas nesta unidade. Dividiremos nossas sugestes
avaliativas em duas etapas, conforme explicitadas a seguir.
Etapa 1:Registros de aprendizagens (Momento de Reflexo)
Aqui, voc poder propor que o aluno registre individualmente, na folha de atividades, disponvel para repro-
duo neste material, as aprendizagens matemticas adquiridas com o estudo desta unidade. Para nortear esta ava-
liao, apresentamos algumas questes para os alunos, que podem complementar s suas no que tange avaliao
do desenvolvimento das habilidades matemticas pretendidas:
Identificar posio relativa entre pontos, retas e planos.
Identificar Poliedros e No Poliedros
Aplicar a Relao de Euler.
Para ajud-lo nos seus registros, sugerimos as questes a seguir, disponveis na folha de atividades:
Qual foi o contedo matemtico que voc estudou nesta unidade?
D exemplos de objetos do seu cotidiano que representem modelos de slidos estudados nesta unidade.
Tente nomear esses slidos.
Quais dos slidos citados acima so poliedros? Algum entre eles no convexo?
Que relao importante voc aprendeu para relacionar os elementos de um poliedro convexo?
Sugerimos, tambm, que este material seja recolhido para uma posterior seleo de registros a serem entre-
gues ao seu formador no curso de formao presencial. Desta forma, esperamos acompanhar com voc como os
alunos esto reagindo aos caminhos que escolhemos para desenvolver este trabalho para, se for o caso, repens-los
de acordo com as caractersticas apresentadas.
Etapa 2:Questes objetivas e discursivas
Sugerimos nesta etapa a escolha de, pelo menos, uma questo objetiva e uma discursiva que contemple umahabilidade pretendida nesta unidade para compor o instrumento avaliativo.
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
42/212
42
Sugestes de questes objetivas para a avaliao:
Questo 1: (ENEM - 2009)
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
43/212
Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 43
Questo 2: (ENEM - 2010)
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
44/212
44
Questo 3: (ENEM- 2012)
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
45/212
Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 45
Respostas das questes objetivas sugeridas:
1. (A)
2. (E)
3. (C)
Sugestes de questes discursivas para a avaliao:
Questo 1:A figura abaixo mostra um dodecaedro regular, poliedro convexo com 20 vrtices e 12 faces, todas
pentagonais.
Seja C o conjunto de todos os tringulos que podem ser formados ligando quaisquer dos 20 vrtices de um
dodecaedro regular. O nmero de tringulos de C que no esto contidos em uma das faces ser:
Questo 2:No Mxico, h mais de mil anos, o povo Asteca resolveu o problema de armazenagem da ps-
-colheita de gros com um tipo de silo em forma de bola colocada sobre uma base circular de alvenaria. A forma desse
silo obtida juntando 20 placas hexagonais e mais 12 placas pentagonais.
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
46/212
46
Quantas arestas e quantos vrtices tem esse silo?
Questo 3: Num poliedro convexo, o nmero de vrtices 5 e o de arestas 10. Qual o nmero de faces?
Questo 4:Um gelogo encontrou, numa de suas exploraes, um cristal de rocha no formato de um poliedro
que satisfaz a relao de Euler, com 60 faces triangulares. Calcular o nmero de vrtices desse cristal.
Questo 5: Um poliedro convexo tem cinco faces triangulares e trs pentagonais. O nmero de arestas e o
nmero de vrtices deste poliedro so:
Respostas e comentrios das questes discursivas sugeridas:
Questo 1: Observe que, para obter o nmero de elementos de C (conjunto de todos os tringulos que podem
ser formados ligando quaisquer dos 20 vrtices de um dodecaedro regular), podemos fazer 20,320!
11403!17!C = = . Noentanto, o problema pede o nmero de tringulos de C que no esto contidos em uma das faces. Note que em cada
face h 5,35!
103!2!
C = = tringulos e, como h 12 faces, precisamos subtrair 12X10=120 tringulos; da, o nmero de
tringulos procurado ser 1140-120=1020.
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
47/212
Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 47
Questo 2:Como o poliedro tem 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, ento F = 12 + 20 = 32. Para obter
o nmero de arestas, podemos contar pelas faces pentagonais, ou seja, 5 . 12 = 60 e pelas faces hexagonais temos 6 . 20
= 120. Observando que cada aresta foi contada 2 vezes, temos que 2A = 60 + 120, isto , 2A = 180, logo A = 90 arestas.
Como o poliedro convexo, podemos usar a relao de Euler (V + F = A + 2) para calcular o nmero de vrtices.Assim, V + 32 = 90 + 2, portanto V = 92 32, ou seja V = 60 vrtices.
Questo 3: Como o poliedro convexo, podemos usar a relao de Euler (V + F = A + 2) para calcular o nmero
de faces. Assim, 5 + F = 10 + 2, portanto F = 12 5, ou seja F = 7 faces.
Questo 4:Como podemos usar a relao de Euler (V + F = A + 2) e sabendo que F = 60 faces triangulares ,
podemos calcular o nmero de arestas fazendo 60 . 3 =180. Observando que cada aresta foi contada 2 vezes, temos
que 2A = 180, logo A = 90 arestas. Assim, V + 60 = 90 + 2, portanto V=92-60, ou seja V = 32 vrtices.
Questo 5:Como o poliedro tem 5 faces triangulares e 3 faces pentagonais, ento F = 5 + 3 = 8. Para obter o
nmero de arestas, podemos contar pelas faces triangulares, ou seja, 3 . 5 = 15 e pelas faces pentagonais temos 5 .
3 = 15. Observando que cada aresta foi contada 2 vezes, temos que 2A=15 +15, isto , 2A = 30, logo A = 15 arestas.
Como o poliedro convexo, podemos usar a relao de Euler (V + F = A + 2) para calcular o nmero de vrtices.
Assim, V + 8 = 15 + 2, portanto V = 17 8, ou seja V = 9 vrtices.
Folha de Atividades Avaliao
Nome da Escola: _____________________________________________________________________
Nome: _____________________________________________________________________________
Momento de Reflexo
Neste momento, propomos que voc retome as discusses feitas na unidade 2 e registre as aprendizagens mate-
mticas adquiridas com o estudo desta unidade. Para ajud-lo nos seus registros, tente responder s questes a seguir:
Questo 1:
Qual foi o contedo matemtico que voc estudou nesta unidade?
___________________________________________________________________________________.
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
48/212
48
Questo 2:
D exemplos de objetos do seu cotidiano que representem modelos de slidos estudados nesta unidade.
Tente nomear esses slidos.
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________.
Questo 3:
Quais dos slidos citados acima so poliedros? Algum entre eles no convexo? Se positivo, identifique-os.
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________.
Questo 4:
Que relao importante voc aprendeu para relacionar os elementos de um poliedro convexo? Escreva o nome
e a equao que a representa.
__________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________.
Atividade Complementar
Tipos de
Atividades
Ttulo da
Atividade
Material
NecessrioDescrio Sucinta
Diviso da
Turma
Tempo
Estimado
Exerccios de
Fixao Com-
plementares
Folhas de Ati-
vidades, lpis/
caneta.
Turma dividida
em duplas ou
em trios.
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
49/212
Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 49
Aspectos operacionais
A seguir, apresentamos alguns exerccios que podem auxiliar voc, professor, na fixao das noes iniciais da
Geometria espacial, trabalhadas ao longo dessa unidade tanto no material do aluno quanto nas atividades sugeridas
neste material. Com esses exerccios, voc, professor, ter a oportunidade de fixar os conceitos de dimenso, ponto,
reta e plano, as diferenas entre poliedros e no poliedros e seus elementos e a aplicao da relao de Euler.
Esses exerccios foram distribudos em uma Folha de atividades que se encontra disponvel para reproduo
no pendrive do professor que poder ser aplicada de forma fracionada ao trmino de cada seo do material do
aluno ou de uma s vez no momento reservado para a consolidao dos contedos trabalhados.
Voc tambm poder encontrar as solues desses exerccios em um arquivo no Grid de aula de seu pendrive.
Aspectos pedaggicos
Pea que os alunos organizem-se em duplas ou em trios. Mas procure distribuir uma folha de atividades para
cada aluno, para que todos possam ficar com uma cpia do material, tornando-a mais uma fonte de consulta.
Escolha previamente quais os exerccios se adequam melhor realidade de sua turma e abordagem esco-
lhida para apresentao dos conceitos introduzidos na Unidade 2.
Depois de os alunos conclurem o conjunto de exerccios que voc escolheu aplicar, procure discutir as
solues apresentadas por eles, valorizando cada estratgia, mesmo que esta no os tenha conduzido a
uma resposta verdadeira.
Procure incentivar os alunos a executar tais exerccios sem a sua interveno, enquanto professor. Esses
exerccios podem favorecer o desenvolvimento da autonomia dos alunos no que diz respeito habilidade
de resolver problemas.
Folha de Atividades Exerccios de Fixao Complementares
Nome da Escola: ______________________________________________________________
Nome: ______________________________________________________________________
1. Responda s perguntas no espao entre parnteses usando (P) para ponto, (R) para reta e (S) para plano.
a. ( ) Olhando para o mapa do seu estado, voc identifica a cidade onde voc mora. Qual a ideia que
voc tem dessa representao?
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
50/212
50
b. ( ) Lendo uma pgina do livro de matemtica, qual a ideia que uma folha deste livro lhe traz?
c. ( ) Assistindo a um jogo de futebol, voc observa a linha divisria do campo. Qual a ideia que esta
linha divisria lhe d?
d. ( ) Quando voc olha o vidro colocado em uma janela, qual a ideia que este vidro lhe d?
e. ( ) Voc est vendo um palito de churrasco. Que ideia esse palito lhe traz?
2. Em Geometria, qualquer figura que pode estar toda contida em um plano uma figura plana. As que no
podem estar contidas inteiramente em um plano, por possurem trs dimenses, so chamadas de espa-
ciais. As figuras geomtricas espaciais mais conhecidas compem dois grupos: os poliedros e os corpos
redondos. Analise as figuras geomtricas representadas abaixo e responda:
a. Quais delas so figuras planas? _______________________________________
b. Quais so os corpos redondos? _______________________________________
c. Quais so os poliedros? _____________________________________________
3. Determine o nmero de vrtices de um poliedro convexo de 10 faces e 30 arestas.
__________________________________________________________________________________.
4. Determine o nmero de faces de um poliedro convexo de 12 vrtices, cujo nmero de arestas o dobro do
nmero de faces.
___________________________________________________________________________________.
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
51/212
Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 51
5. Determine o nmero de vrtices de um poliedro convexo de 9 faces, das quais 4 so triangulares e 5 so
quadrangulares.
___________________________________________________________________________________.
6. Determine o nmero de faces de um poliedro convexo de 6 vrtices, sabendo que de cada vrtice partem4 arestas.
___________________________________________________________________________________.
7. Um professor de matemtica decidiu que, na festa de aniversrio de 6 anos de seu filho, seriam distribudos,
como lembrancinha, pequenos poliedros coloridos, feitos de madeira. Contratou um marceneiro para fa-
zer trinta poliedros e lhe passou a seguinte orientao:
Todos os poliedros devem ser regulares e a aresta de cada um deve medir 4 cm.
10 deles devem ser pintados de azul, ter 6 arestas e 4 vrtices.
Outros 10 devem ser pintados de rosa e ter 12 faces pentagonais.
Os 10 poliedros restantes devem ser pintados de amarelo e ter oito faces triangulares.
De acordo com a orientao do professor:
a. Que tipos de poliedros o marceneiro deve confeccionar?
____________________________________________________________________________.
b. Quantas arestas ter o poliedro rosa?
____________________________________________________________________________.
c. Quantos vrtices ter o poliedro amarelo?
____________________________________________________________________________.
8. Determine o nmero de vrtices de um poliedro convexo que tem trs faces triangulares, uma face qua-
drangular, uma face pentagonal e duas faces hexagonais.
___________________________________________________________________________________.
9. (Unirio) Um gelogo encontrou, numa de suas exploraes, um cristal de rocha no formato de um poliedro
que satisfaz a relao de Euler, de 60 faces triangulares. O nmero de vrtices desse cristal igual a:
(A) 35 (B) 34 (C) 33 (D) 32 (E) 31
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
52/212
52
10. (UERJ) Um icosaedro regular tem 20 faces e 12 vrtices, a partir dos quais tiram-se 12 pirmides congruen-
tes. As medidas das arestas dessas pirmides so iguais a 1/3 da aresta do icosaedro. O que resta um tipo
de poliedro usado na fabricao de bolas. Observe as figuras.
Para confeccionar uma bola de futebol, um arteso usa esse novo poliedro, no qual cada gomo uma face.
Ao costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro, ele gasta 7 cm de linha. Depois de pronta a bola, o arteso
gastou, no mnimo, um comprimento de linha igual a:
(A) 7,0 m (B) 6,3 m (C) 4,9 m (D) 2,1 m
Respostas da Folha de Atividades Exerccios Complementares
1. a) (P) b) (S) c) (R) d) (S) e) (R)
2. a) b, g, j b) a, c, e c) d, f, h, i, k, l
3. 18 vrtices
4. 10 faces
5. 9 vrtices
6. 8 faces
7. a) 10 tetraedros azuis, 10 dodecaedros rosas e 10 octaedros amarelos.
b) 30 arestas (se so doze faces pentagonais e o pentgono possui 5 lados, teramos um total de 60 arestas.
Mas cada aresta pertence a dois pentgonos, logo elas esto contadas duas vezes. Assim, 30 o nmero de
arestas do dodecaedro regular).
c) 6 vrtices (aqui basta aplicar a relao de Euler. O octaedro regular possui 8 faces com 3 lados cada, logo
ter 12 arestas.)
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
53/212
Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 53
(Obs.: Esse exerccio um bom momento para apresentar os ditos poliedros de Plato: tetraedro, hexaedro
ou cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro).
8. 10 vrtices (aqui basta aplicar a relao de Euler. O nmero de faces dado e o nmero de arestas pode ser
obtido dividindo pela metade o nmero total de lados das faces indicadas).
9. D
10. B
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
54/212
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
55/212
Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 55
Volume 1 Mdulo 3 Matemtica Unidade 2
Regularidadesnumricas sequncias eprogressesCleber Dias da Costa Neto, Heitor Barbosa Lima de Oliveira, Patrcia Nunes da Silva e
Telma Alves. Juliana Bezerra
Introduo
Na unidade 26 do mdulo 3 do material do aluno so apresentadas diver-
sas situaes e atividades sobre sequncias.
Para auxili-lo, pesquisamos e elaboramos algumas atividades e recursos
que podem complementar a exposio deste tema em suas aulas. O detalhamen-
to dessas atividades est presente no texto que segue.
Sugerimos que a primeira aula desta unidade inicie-se com uma atividade
disparadora. uma atividade cujo intuito, alm de iniciar a exposio do tema, promover uma dinmica entre os alunos. Neste momento, espera-se que os alu-
nos consigam identificar sequncias numricas, obtendo a expresso algbrica
do seu termo geral, alm disso, que utilizem o conceito de sequncia para resol-
ver problemas que abordem situaes cotidianas.
Para dar sequncia ao estudo desta unidade, abordando Progresses Arit-
mticas (P.A.) e Progresses Geomtricas (P.G.), disponibilizamos alguns recur-
sos complementares vinculados ao contedo do material didtico. Tais recursos
apresentam-se associados s atividades descritas detalhadamente neste mate-
rial. Sugerimos a sua realizao nas aulas subsequentes aula inicial de acordo
com a realidade da sua turma. Recomendamos que sejam feitas as alteraes eadaptaes sempre que achar necessrio.
Por fim, aconselhamos que a ltima aula desta unidade seja dividida em
dois momentos. O primeiro, dedicado a uma reviso geral do estudo realizado
durante esta unidade, consolidando o aprendizado do aluno a partir da retomada
de questes que surgiram durante o seu estudo. E o segundo, um momento de
M
ATERIAL
DO
PROFESSOR
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
56/212
56
avaliao do estudante, priorizando questionamentos reflexivos em detrimento da mera reproduo de exerccios
feitos anteriormente. Tambm disponibilizaremos algumas questes de avaliaes de larga escala, como Enem, Ves-
tibulares, Concursos Pblico, entre outros.
Apresentao da unidade do material do aluno
Caro professor, apresentamos, abaixo, as principais caractersticas desta unidade:
Disciplina Volume Mdulo UnidadeEstimativa de aulas para
essa unidade
Matemtica 1 3 2 6 aulas de 2 tempos
Titulo da unidade Tema
Regularidades numricas sequncias e progresses Sequncias
Objetivos da unidade
Identificar sequncias numricas e obter a expresso algbrica do seu termo geral;
Utilizar o conceito de sequncia numrica, para resolver problemas;
Diferenciar Progresso Aritmtica (P.A.) de Progresso Geomtrica (P.G.);
Utilizar as frmulas do termo geral e da soma dos termos da P.A. e da P.G., na resoluo de problemas.
Sees
Pginas no material do
aluno
Para incio de conversa... ----
Seo 1 As sequncias, regularidades e generalizaes. ----
Seo 2 As progresses Aritmticas. -----
Seo 3 Progresses Geomtricas. -----
Resumo e Concluso ----
Veja ainda -----
Respostas das atividades -----
O que perguntam por a? ----
Caiu na rede -----
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
57/212
Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 57
Em seguida, sero oferecidas as atividades para potencializar o trabalho em sala de aula. Verifique a correspon-
dncia direta entre cada seo do Material do Aluno e o Material do Professor.
Ser um conjunto de possibilidades para voc, caro professor.
Vamos l!
Recursos e ideias para o Professor
Tipos de Atividades
Para dar suporte s aulas, seguem os recursos, ferramentas e ideias no Material do Professor, correspondentes
Unidade acima:
Atividades em grupo ou individuais
So atividades que so feitas com recursos simples disponveis.
Ferramentas
Atividades que precisam de ferramentas disponveis para os alunos.
Applets
So programas que precisam ser instalados em computadores ou smart-phonesdisponveispara os alunos.
Avaliao
Questes ou propostas de avaliao conforme orientao.
ExercciosProposies de exerccios complementares
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
58/212
58
Atividade(s) inicial(is)
Descrevemos a seguir situaes motivadoras nas quais queremos que os alunos iniciem uma discusso co-
letiva e familiarizem-se com o contedo matemtico a ser trabalhado de forma emprica e com atividades de fcil
compreenso antes da formalizao. Sugerimos que voc escolha a que seja mais adequada sua realidade, ou, sepreferir, utilize uma atividade prpria.
Atividade Inicial
Tipos de
Atividades
Ttulo da
Atividade
Material
NecessrioDescrio Sucinta
Diviso da
Turma
Tempo
Estimado
Torre de Hani
Aplicativo
Torre de Hani,
disponvel em
http://www.
ufrgs.br/psico-
educ/hanoi/ e
cpias da folha
de atividades
Torre de
Hani (dispo-
nvel na Seo
Aspectos ope-
racionais).
Nesta atividade, os alu-
nos iro tentar resolver o
problema da Torre de Hani
para diferentes nmeros de
discos. Para isso, eles tero
de criar uma sequncia
que associa o nmero de
discos ao menor nmero
de movimentos necessrios
resoluo e vo tentarestabelecer uma regra para
o termo geral dela.
Obs: Essa atividade foi
proposta em http://m3.ime.
unicamp.br/recursos/1361
Turma
disposta em
duplas
25 minutos
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
59/212
Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 59
Tipos de
Atividades
Ttulo da
Atividade
Material
NecessrioDescrio Sucinta
Diviso da
Turma
Tempo
Estimado
Reconheci-
mento de
Padres
Cpias da
folha de ativi-
dades Re-
conhecimento
de padres
(disponvel na
Seo
Aspectos ope-
racionais).
Nesta atividade, os alunos
iro tentar identificar pa-
dres em sequncias num-
ricas e no numricas.
Obs: Essa atividade foi
proposta em Approaches
to Algebra: Perspectives
for Research and Teaching,
N. Bednarz, C. Kieran, L.
Lee (disponvel em http://
bookos.org/s/?q=approach
es+to+algebra+perspective
s+for+research+and+teachi
ng&t=0)
Turma dispos-
ta em duplas.25 minutos
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
60/212
60
Seo 1 As sequncias, regularidades
e generalizaes
Pginas no material do aluno
-----
Tipos de
Atividades
Ttulo da
Atividade
Material
NecessrioDescrio Sucinta
Diviso da
Turma
Tempo
Estimado
Cloro na
piscina
Vdeo Cloro
na piscina,
disponvel em
http://m3.ime.
unicamp.br/
recursos/1068,calculadoras e
cpias da Folha
de atividades
Medicao
(disponvel na
Seo
Aspectos
operacionais)
O vdeo utilizado nesta ati-
vidade apresenta rotinas de
aplicao de cloro em uma
piscina, deduzindo e anali-
sando matematicamente a
sequncia associada quan-
tidade de cloro adicionadasemanalmente. No pro-
blema proposto, os alunos
devero fazer uma anlise
anloga apresentada no
vdeo no caso de administra-
o de um remdio.
Obs: Essa atividade foi
proposta em http://m3.ime.
unicamp.br/recursos/1068
Turma dividida
em duplas ou
trios
25 minutos.
Generalizando
os termos da
Sequncia
Cpias da
Folha de
atividades
Generalizando
os termos da
Sequncia
(disponvel na
Seo Aspec-
tos operacio-nais).
Nesta atividade, os alunos
iro observar uma sequn-
cia de imagens e deduziro
expresses algbricas que
generalizem as sucesses.
Obs: Essa atividade foi adap-
tada de http://revistaescola.
abril.com.br/matematica/
pratica-pedagogica/gene-
ralizacoes-calculos-algebri-
cos-602390.shtml. Acesso
em 22/06/2013
Turma dividida
em duplas.25 minutos.
7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01
61/212
Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 61
Seo 2 As Progresses AritmticasPginas no material do aluno
-----
Tipos deAtividades
Ttulo daAtividade
MaterialNecessrio
Descrio Sucinta Diviso daTurma
TempoEstimado
Nmeros
Vizinhos
Cpias da folha
de atividades
Nmeros
Vizinhos (dis-
ponvel na Se-
o Aspectos
operacionais).
Nesta atividade, os alunos
iro tentar identificar pa-
dres em sequncias num-
ricas dispostas em tabelas.
Turma dividida
em duplas.25 minutos.
Para correr a
So Silvestre
Vdeo Para
correr a So
Silvestre
disponvel em
http://m3.ime.
unicamp.br/re-
cursos/1150 e
cpias da Folhade atividades
Sequncia de
quadradinhos
(disponvel na
Seo
Aspectos
operacionais)
O vdeo utilizado nesta ati-
vidade descreve a logstica
de distribuio de gua aos
atletas durante a corrida de
So Silvestre. Ele tambm
deduz e analisa matema-
ticamente a sequncia
associada quantidade de
gua distribuda. Nos pro-
blemas propostos, os alunos
devero identificar o padro
de uma sequncia e obter a
frmula de seu termo geral.
Obs: Essa atividade foi
proposta em http://m3.ime.
unicamp.br/recursos/1150
Turma dividida
em d