MATEMATICA-MOD03-VOL01

7/17/2019 MATEMATICA-MOD03-VOL01

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MATEMTICAe suasTECNOLOGIAS

Professor

Volume 1 Mdulo 3 Matemtica


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GOVERNO DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO

Governador

Sergio Cabral

Vice-Governador

Luiz Fernando de Souza Pezo

SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAO

Secretrio de EducaoWilson Risolia

Chefe de GabineteSrgio Mendes

Secretrio Executivo

Amaury Perlingeiro

Subsecretaria de Gesto do Ensino

Antnio Jos Vieira De Paiva Neto

Superintendncia pedaggica

Claudia Raybolt

Coordenadora de Educao de Jovens e adulto

Rosana M.N. Mendes

SECRETARIA DE ESTADO DE CINCIA E TECNOLOGIA

Secretrio de Estado

Gustavo Reis Ferreira

FUNDAO CECIERJ

Presidente

Carlos Eduardo Bielschowsky

PRODUO DO MATERIAL NOVA EJA (CECIERJ)

Diretoria Adjunta de ExtensoElizabeth Ramalho Soares Bastos

Coordenao de Formao ContinuadaCarmen Granja da Silva

Coordenao Geral de Design InstrucionalCristine Costa Barreto

Coordenao Geral

Agnaldo EsquincalhaGisela Pinto

Coordenador Geral de Material DidticoWallace Vallory Nunes

ElaboraoAndr Luiz Cordeiro dos Santos

Andr Luiz Martins PereiraCleber Fernandes

rika Silos de CastroGabriela dos Santos Barbosa

Heitor Barbosa Lima de OliveiraJosemeri Araujo Silva Rocha

Leo Akio YokoyamaLuciana Felix da Costa Santos

Luciane de Paiva Moura Coutinho

Patrcia Nunes da SilvaTelma Alves

Coordenao de Design Instrucional

Flvia BusnardoPaulo Vasques de Miranda

Design Instrucional

Juliana Bezerra

Coordenao de Produo

Fbio Rapello Alencar

Projeto Grfco e Capa

Andreia Villar

Imagem da Capa e da Abertura das Unidades

Sami Souza

Diagramao

Bianca LimaJuliana Fernandes

Juliana Vieira

IlustraoClara Gomes

Fernando Romeiro

Produo Grfca

Vernica Paranhos


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Sumrio

Unidade 1 Introduo Geometria Espacial 5

Unidade 2 Regularidades numricas sequncias e progresses 55

Unidade 3 Matemtica Financeira 91

Unidade 4 Matemtica Financeira II 125

Unidade 5 Matrizes e Determinantes 179


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Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 5

Volume 1 Mdulo 3 Matemtica Unidade 1

Introduo GeometriaEspacialrika Silos de Castro (coordenao), Andr Luiz Martins Pereira, Leo Akio Yokoyama e

Luciana Felix da Costa Santos

IntroduoNa unidade 22 do material do aluno, apresentada uma introduo Ge-

ometria Espacial. Para isso, o material do aluno inicia uma reflexo sobre a tecno-

logia das imagens em 3D, utilizada pelos mais novos monitores e aparelhos de

TV e esclarece o significado da sigla 3D a partir da ideia de 3 dimenses: altura,

largura e comprimento. A partir dessa ideia, pretende-se que, nesta unidade, o

aluno tenha a oportunidade de ampliar as discusses acerca de conhecimentos

bsicos da Geometria Espacial.

Para potencializar o material didtico do aluno, pesquisamos e apresentamos

alguns recursos e atividades. Nosso objetivo colaborar com voc, professor, am-pliando ainda mais seu leque de opes para explorar este tema durante as aulas.

Sugerimos que a primeira aula dessa unidade se inicie com uma atividade

disparadora. A proposta que essa atividade seja realizada em grupo, promoven-

do uma dinmica entre os alunos. Nesse momento, esperado que eles desenvol-

vam algumas noes bsicas relacionadas noo de tridimensionalidade.

Para dar sequncia ao estudo dessa unidade, disponibilizamos alguns re-

cursos complementares, vinculados ao contedo do material didtico do aluno.

Sugerimos que sejam utilizados nas aulas subsequentes aula inicial, de acordo

com a realidade da sua turma. Ressaltamos a importncia de se fazer alteraes e

adaptaes quando necessrias.

M

ATERIAL

DO

PROFESSOR


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6

Por fim, aconselhamos que a ltima aula desta unidade seja dividida em dois momentos. O primei-

ro dedicado a uma reviso geral do estudo realizado durante esta unidade, consolidando o aprendizado

do aluno a partir da retomada de questes que surgiram durante o seu estudo. O segundo um momento

de avaliao do estudante, priorizando questionamentos reflexivos que complementem as atividades e exerccios

resolvidos durante as aulas.

Uma descrio destas sugestes est colocada nas tabelas a seguir, e seus detalhamentos no texto que segue.

Apresentao da unidade do material do aluno

Caro professor, apresentamos, abaixo, as principais caractersticas desta unidade:

Disciplina Volume Mdulo UnidadeEstimativa de aulas para

essa unidade

Matemtica 1 3 1 4 aulas de 2 tempos

Titulo da unidade Tema

Introduo Geometria Espacial Geometria Espacial

Objetivos da unidade

Entender o conceito de dimenso.

Entender os conceitos bsicos de ponto, reta e plano.

Identificar posies relativas entre pontos, retas e planos.

Identificar poliedros e no poliedros.

Identificar os elementos de um poliedro.

Aplicar a relao de Euler.

SeesPginas no material do

alunoPara incio de conversa... 43 a 47

Seo 1 Geometria espacial: conceitos bsicos. 48 a 52

Seo 2 Continuando com pontos, retas e planos: posies relativas. 53 a 61


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Seo 3 Slidos Geomtricos. 62 a 70

Resumo 71 e 72

Veja ainda 78

O que perguntam por a? 79 a 82

Recursos e ideias para o Professor

Tipos de Atividades

Para dar suporte s aulas, seguem os recursos, ferramentas e ideias no Material do Professor, correspondentes

Unidade acima:

Atividades em grupo ou individuais

So atividades que so feitas com recursos simples disponveis.

Ferramentas

Atividades que precisam de ferramentas disponveis para os alunos.

Applets

So programas que precisam ser instalados em computadores ou smart-phonesdisponveis

para os alunos.

Avaliao

Questes ou propostas de avaliao conforme orientao.

Exerccios

Proposies de exerccios complementares


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8

Atividade Inicial

Tipos deAtividades

Ttulo daAtividade

MaterialNecessrio

Descrio Sucinta Diviso daTurma

TempoEstimado

Os slidos de

Plato.

Computadorespara os alunos,

applet dispon-

vel no material

do professor.

Esta atividade foi adaptada

da proposta Slidos Platni-

cos, elaborada pelo projeto

Contedos Digitais Para o

Ensino e Aprendizagem de

Matemtica e Estatstica,

do Instituto de Matemtica

da Universidade Federal

Fluminense (UFF), disponvel

em http://www.uff.br/cdme/

platonicos/platonicos-html/

solidos-platonicos-br.html.

Este aplicativo apresenta

uma pequena enciclopdia

virtual interativa sobre os

slidos platnicos, apresen-

tando suas propriedades

matemticas, os aspectos

histricos, suas aplicaes emodelos virtuais interativos.

A turma pode

ser dividida

em duplas.

40 minutos

Imaginando

outras

dimenses.

Folha de ati-

vidades, lpis,

caneta.

A atividade a seguir se ba-

seia na leitura de um texto

elaborado a partir do enredo

do romance proposto no

livro Planolndia, de Edwin

A. Abbott, propondo um

exerccio de imaginao, em

que os alunos se imaginaro

como habitantes de outrasdimenses. Esse exerccio

de imaginao se prope a

explorar os assuntos aborda-

dos sobre espao tridimen-

sional nesta unidade.

A turma pode

ser dividida

em duplas ou

trios.

30 minutos


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Seo 1 Geometria Espacial: conceitos bsicosPginas no material do aluno

43 a 47

Tipos deAtividades

Ttulo daAtividade

MaterialNecessrio


TempoEstimado

Redescobrindo

a Geometria

Plana e

Espacial.

Folha de ati-

vidades, folha

em anexo,

lpis, caneta,

tesoura, cola e

rgua.

Esta atividade ser dividida

em duas partes, a primeira

permitir ao professor in-

troduzir entidades funda-

mentais (ponto, reta, plano e

espao) como noes primi-

tivas, enunciar os principais

postulados que relacionam

os conceitos primitivos dageometria. J na segunda,

ser proposta a construo

de um paraleleppedo a par-

tir da sua planificao. Desta

forma, acreditamos que os

alunos possam identificar

partes da reta, do plano e do

espao, e obter a noo de

planificao (para monta-

gem) de um modelo de um

slido atravs das aes

que envolvem noes de

plano e espao. Finalmente,

os alunos sero levados a

ampliarem as discusses das

etapas anteriores atravs de

questes propostas numa

folha de atividades.

A turma pode

ser dividida

em grupos de

trs ou quatro

alunos.

40 minutos


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10

Seo 2 Continuando com pontos, retas e planos:

posies relativas

Pginas no material do aluno

48 a 52

Tipos de

Atividades

Ttulo da

Atividade

Material

NecessrioDescrio Sucinta

Diviso da

Turma

Tempo

Estimado

O paralelep-

pedo e seus

elementos.

Folha de ativi-

dades, lpis/

caneta.

A atividade a seguir convida

os alunos a identificar posi-

es relativas entre pontos,

retas e planos a partir dos

elementos de um paralelep-

pedo. Para isso, elaboramos

algumas questes que esto

disponveis como folha de

atividades.

Turma dividida

em duplas ou

trios.

30 minutos

Seo 3 Slidos Geomtricos Pginas no material do aluno53 a 61

Tipos deAtividades Ttulo daAtividade MaterialNecessrio Descrio Sucinta Diviso daTurma TempoEstimado

Reconhecen-

do Slidos

Geomtricos

em objetos do

cotidiano.

Folha de ativi-

dades, lpis/ca-

neta e materiais

de utilidades

domsticas ou

materiais de

sucata (emba-

lagens, caixa de

fsforos, caixa

de chocolate

no formato de

prisma, lata,

copo, etc.)

Esta atividade prope a

utilizao de materiais de

utilidades domsticas ou

materiais de sucata, como

recursos para que os alunos

reconheam slidos geo-

mtricos (poliedros e no

poliedros) em diversos ob-

jetos do seu cotidiano, almde elucidar o conceito de

um poliedro ser convexo ou

no e de mostrar de forma

emprica a Relao de Euler

nos poliedros convexos.

A turma pode

ser dividida

em grupos

de quatro ou

cinco alunos.

40 minutos


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Identificando

vrtice, aresta

e face de um

poliedro.

Computadores

para os alunos

com o softwa-

res Poly Pro e

3D Learning

- Geometria

Espacial insta-

lados, material

do aluno, folha

de atividades e

lpis/caneta.

Esta atividade tem com

o objetivo desenvolver a

habilidade de visualizao

espacial com auxlio dos

softwares Poly Pro e 3D

Learning - Geometria Espa-

cial, de modo que os alunos

tenham a oportunidade de

identificar as caractersticas

que permitem diferenciar

poliedros de no poliedros

e identificar os elementos

bsicos dos poliedros a

partir da interface dinmica

oferecida pelo software.

Turma dividida

em duplas ou

trios.

30 minutos

Avaliao O que perguntam por a?

Tipos de

Atividades

Ttulo da

Atividade

Material


Diviso da

Turma

Tempo

Estimado

ENEM - 2010

Imagem dispo-

nvel para

projeo neste

material; mate-

rial do aluno.

Turma dividida

em duplas


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12

Avaliao Momento de Reflexo

Tipos deAtividades

Ttulo daAtividade

MaterialNecessrio


TempoEstimado

Avaliao da

Unidade

Folha de

atividades, ma-

terial do aluno,

lpis/caneta.

Esta atividade sugere um

instrumento avaliativo para

a unidade dividido em duas

etapas: registro de apren-

dizagens e questes tanto

objetivas como dissertativas,

a serem escolhidas a critrio

do professor.

Participao

individual dos

alunos.

40 minutos

Atividade complementar

Tipos de

Atividades

Ttulo da

Atividade

Material


Diviso da

Turma

Tempo

Estimado

Exerccios de

Fixao Com-

plementares

Folhas de Ati-

vidades, lpis/

caneta.

Turma dividida

em duplas ou

em trios.


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Atividade Inicial

Tipos deAtividades

Ttulo daAtividade

MaterialNecessrio


TempoEstimado

Os slidos de

Plato.

Computadores

para os alunos,

applet dispon-

vel no material

do professor.

Esta atividade foi adaptada

da proposta Slidos Platni-

cos, elaborada pelo projeto

Contedos Digitais Para o

Ensino e Aprendizagem de

Matemtica e Estatstica,

do Instituto de Matemtica

da Universidade Federal

Fluminense (UFF), disponvelem http://www.uff.br/cdme/

platonicos/platonicos-html/

solidos-platonicos-br.html.

Este aplicativo apresenta

uma pequena enciclopdia

virtual interativa sobre os

slidos platnicos, apresen-

tando suas propriedades

matemticas, os aspectos

histricos, suas aplicaes e

modelos virtuais interativos.

A turma pode

ser dividida

em duplas.

40 minutos

Aspectos operacionais

A atividade inicialmente foi planejada para aplicao em laboratrio de informtica, onde cada aluno poderia

interagir diretamente com o aplicativo proposto, mas caso a sua escola no disponha de um laboratrio de inform-

tica, a mesma atividade poder ser aplicada em sala de aula com um computador ligado a um projetor multimdia ou

a uma TV. Nesse caso, os alunos podero interagir com o aplicativo de maneira indireta e coletiva.

Neste aplicativo, so apresentadas diversas atividades que envolvem a visualizao e que permitem ao aluno

um contato interativo com a geometria espacial.

Professor, solicite o acesso on-line http://www.uff.br/cdme/platonicos/platonicos-html/solidos-platonicos-

-br.html ou solicite a instalao off-line do aplicativo, isto , sem a necessidade de conexo com a internet,


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14

nos computadores que sero utilizados para a atividade. Esta instalao pode ser feita a partir do prprio

site ou utilizando o pacote de arquivos disponvel e, tambm, no seu material.

Aps certificar-se de que o aplicativo foi devidamente instalado e testado, e confirmar a aplicao da ativi-

dade no laboratrio, solicite que a turma se divida em duplas ou de acordo com a viabilidade de computa-

dores de sua escola.

Assim que os alunos estiverem com o aplicativo aberto, voc poder apresentar o aplicativo e orient-los a

fazer um passeio virtual pela atividade.

Sugerimos que, aps este momento, sejam exploradas as atividades com os slidos platnicos, clicando,

primeiramente, no cone tetraedro para explorar propriedades matemticas envolvidas, como planificao

e montagem atravs da aba Montar.

Repita os mesmos procedimentos para os demais slidos platnicos: cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Aspectos pedaggicos

Professor, o aplicativo pode ser executado em qualquer sistema operacional, porm, para execut-lo, pre-

ciso que o computador tenha a linguagem JAVA instalada. A instalao da linguagem JAVA pode ser feita

seguindo as orientaes disponveis no seguinte link: http://www.java.com/pt_BR/.

Ateno: se voc optar pelo uso da atividade off-line atravs de uma cpia local em seu computador ou no

servidor do laboratrio, importante que os arquivos no estejam em um diretrio cujo nome contenha

acentos ou espaos. Tambm importante lembrar que algumas distribuies Linux vm com o interpreta-

dor JAVA GCJ Web Plugin, que no compatvel com o applet da atividade. Neste caso, recomendamos que

voc solicite ao responsvel pelo laboratrio da escola que instale o interpretador nativo da Sun, disponvel

no link http://www.java.com/pt_BR/.

Sugerimos que voc apresente o aplicativo aos alunos, resolvendo um dos desafios como exemplo e, a par-

tir da, deixe-os explorar livremente, tentando resolver os demais, intervindo apenas quando necessrio.

Este um bom momento para se explorar as potencialidades do software, que permite quase simultane-

amente, a montagem e desmontagem do slido a partir da sua planificao, analisar sees planas, entre

outras propriedades matemticas.

Outra sugesto, que voc utilize a lousa para apresentar a tabela:


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Poliedro Regular

Nmero deArestasIncidentes emCada Vrtice

Nmero deVrtices (V)

Nmero deArestas (A

Nmero deFaces (F)

Valor deV - A + F

TetraedroCubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

Voc pode orientar os alunos a usarem os softwares da atividade, para contar o nmero de vrtices, arestas

e faces dos slidos platnicos e anotar os resultados na tabela acima. Dica: voc pode usar os recursos de

exibio de faces e de marcao de vrtices para auxiliar na contagem. Para contar o nmero de faces mais

facilmente, voc pode planificar o slido, usando a operao da aba Montar.

Atividade Inicial

Tipos de

Atividades

Ttulo da

Atividade

Material

Necessrio

Descrio SucintaDiviso da

Turma

Tempo

Estimado

Imaginando

outras

dimenses.

Folha de ati-

vidades, lpis,

caneta.

A atividade a seguir se ba-

seia na leitura de um texto

elaborado a partir do enredo

do romance proposto no

livro Planolndia, de Edwin

A. Abbott, propondo um

exerccio de imaginao, em

que os alunos se imaginaro

como habitantes de outras

dimenses. Esse exercciode imaginao se prope a

explorar os assuntos aborda-

dos sobre espao tridimen-

sional nesta unidade.

A turma pode

ser dividida

em duplas ou

trios.

30 minutos


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16


Esta atividade foi baseada na sugesto apresentada na seo Para incio de conversa... do material do aluno,

conforme quadro a seguir:

Uma dica bacana o livro " Planolndia: um romance de muitas dimenses" ( Flatland: A Romance of

Many Dimensions) escrito por Edwin A. Abbott. Nesse livro, Abbott usou o mundo bidimensional fict-

cio de Flatland para fazer reflexes sobre a sociedade e uma importante anlise sobre as dimenses. A

verso original, em ingls, est disponvel para download, na ntegra e gratuitamente, no site Domnio

Pblico, do Ministrio da Educao. Olink direto para o arquivo http: www.dominiopublico.gov.br/

download/texto/ph000007.pdf. A traduo para o portugu foi feita pela Editora conrad, que tambm

e responsvel pela sua distribuio.

Professor, primeiramente leia o texto a seguir para todos, promovendo assim, uma discusso coletiva.

Texto:

Imagine uma reta colocada na horizontal, para facilitar nossa descrio. Mas poderia ser uma reta qualquer.

Diz-se que a reta tem apenas uma dimenso, pois tem apenas 1 grau de liberdade.

Como assim, 1 grau de liberdade?

Imagine um habitante desta reta chamado de P, ou seja, um ponto que no pode sair dela, mas pode deslo-

car-se ao longo de toda a sua extenso.

Observe que o ponto desloca-se apenas em uma direo, a direo da reta. No caso da reta na horizontal, o

ponto P s pode se deslocar na direo (horizontal). Ele no pode ir para cima e para baixo, no pode sair da reta; s

lhe permitido ir para a direita ou esquerda.

Agora, imagine um mundo que fosse apenas um ponto e seu nico habitante fosse o ponto P. Coitadinho, ele

no pode nem se movimentar, ou seja, ele teria zero grau de liberdade...


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Ento, at agora, conseguimos imaginar como seria um mundo com dimenso zero (ponto) e um mundo com

dimenso um (reta).

Por que no imaginarmos um mundo com duas dimenses? Vamos faz-lo agora? Estamos noplano! E l est

nosso amigo, o ponto P. Desta vez, ele tem mais liberdade, mais precisamente, tem dois graus de liberdade: horizontale vertical. Com essas duas componentes direcionais, o ponto P pode se deslocar por toda a extenso de um plano.

Imagine os eixos cartesianos x e y.

Por exemplo, se o ponto P quiser se deslocar da origem O(0,0) at o ponto (3,2), basta ele ir 3 unidades para

direita e 2 unidades para cima ou, ainda, 2 unidades para cima e 3 unidades para a direita.

Vamos imaginar esses mundos misturados?

Imagine que o ponto P, que estava inserido na reta horizontal, agora est conversando com um ponto A,

tambm pertencente reta, e ambos esto sendo observados por um habitante do plano, o crculo c.


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18

O crculo c pode enxergar os pontos A e P, mas estes no conseguem enxergar o crculo c, pois o nico mundo

que conhecem a reta e s enxergam pontos sua direita ou sua esquerda. Por outro lado, o crculo c tem o poder

de retirar o ponto P do seu mundo e coloc-lo de volta. Ele decide fazer isso para mostrar como o mundo bidimen-

sional para o ponto P. Nesse momento, o ponto P desaparece das vistas do seu amigo A e, instantes depois, reaparece

como num passe de mgica.

Nossa imaginao pode fluir. Voc, como um habitante da terceira dimenso, tem trs graus de liberdade: as

duas do plano do cho mais a altura. Ou seja, voc pode se deslocar para qualquer ponto do espao tridimensional.

Ento, voc consegue observar o crculo c, mas ele no consegue observ-lo, j que vive num mundo bidimensional.

Se voc retir-lo do plano e recoloc-lo, instantes depois ele desaparece do plano em que vive por alguns momentos

e depois reaparece.

Aps esta leitura, solicite que os alunos organizem-se em duplas ou trios.

Professor, importante que voc reproduza a folha de atividades com antecedncia.

Distribua uma folha de atividades para cada grupo e oriente-os nas questes propostas.

Aspectos pedaggicos

Solicite que os alunos, durante a leitura do texto, faam anotaes sobre elementos que considerarem

importantes, identificando percepes de conceitos matemticos presentes, bem como de questes que

julgarem pertinentes para discutir com a turma aps a leitura;


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Pea aos alunos para refletirem sobre as possibilidades dos mundos com dimenso zero (ponto), um (reta),

dois (plano), trs (espao tridimensional); e discuta com eles sobre exemplos de elementos dessas dimen-

ses.

Ao final da atividade, promova um debate sobre a atividade baseado nos exemplos, questionando a possi-

bilidade da existncia de uma quarta dimenso geomtrica, pois possvel considerar o tempo como uma

quarta componente dimensional. A teoria de espao-tempo de Albert Einstein considera o tempo como

uma 4 dimenso temporal: o espao tridimensional mais a dimenso tempo. Uma possvel referncia:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Quarta_dimens%C3%A3o

Observe, nas respostas dos alunos, como seria uma possvel ao com o auxlio da 4 dimenso.

Sugesto de aplicao da atividade com auxlio de recursos multimdia:

Esta mesma atividade poder ser aplicada a partir da exibio do filme Flatland. O filme pode ser encontrado

em DVD nas locadoras (ver detalhes do filme em: http://store.flatlandthemovie.com, ou acessar o trailler em: http://

www.youtube.com/watch?v=C8oiwnNlyE4), ou se voc, professor, preferir, poder acessar os episdios em:

Episdio 1 - http://www.youtube.com/watch?v=cxUUTNtILk0

Episdio 2 - http://www.youtube.com/watch?v=0pd8LH0FBY8

Episdio 3 - http://www.youtube.com/watch?v=kSoEGkwv1mY

Episdio 4 - http://www.youtube.com/watch?v=SZgVi788dqk

Episdio 5 - http://www.youtube.com/watch?v=yerWRBdaVGQ

Episdio 6 - http://www.youtube.com/watch?v=epM_zOX4u4k

Episdio 7 - http://www.youtube.com/watch?v=Chd_MS3J9HA

Episdio 8 - http://www.youtube.com/watch?v=94npBEuGVkw

Folha de Atividades Imaginando outras dimenses

Nome da Escola:___________________________________________________________________

Nome: ___________________________________________________________________________

Texto:

Imagine uma reta colocada na horizontal, para facilitar nossa descrio. Mas poderia ser uma reta qualquer.

Diz-se que a reta tem apenas uma dimenso, pois tem apenas 1 grau de liberdade.

Como assim, 1 grau de liberdade?


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20

Imagine um habitante desta reta chamado de P, ou seja, um ponto que no pode sair dela, mas pode deslo-

car-se ao longo de toda a sua extenso.

Observe que o ponto desloca-se apenas em uma direo, a direo da reta. No caso da reta na horizontal, o

ponto P s pode se deslocar na direo (horizontal). Ele no pode ir para cima e para baixo, no pode sair da reta; s

lhe permitido ir para a direita ou esquerda.

Agora, imagine um mundo que fosse apenas um ponto e seu nico habitante fosse o ponto P. Coitadinho, ele

no pode nem se movimentar, ou seja, ele teria zero grau de liberdade...

Ento at agora, conseguimos imaginar como seria um mundo com dimenso zero (ponto) e um mundo com

dimenso um (reta).

Por que no imaginarmos um mundo com duas dimenses? Vamos faz-lo agora? Estamos no plano! E l est

nosso amigo, o ponto P. Desta vez, ele tem mais liberdade, mais precisamente, tem dois graus de liberdade: horizontal

e vertical. Com essas duas componentes direcionais, o ponto P pode se deslocar por toda a extenso de um plano.

Imagine os eixos cartesianos x e y.


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Por exemplo, se o ponto P quiser se deslocar da origem O(0,0) at o ponto (3,2), basta ele ir 3 unidades para

direita e 2 unidades para cima ou, ainda, 2 unidades para cima e 3 unidades para a direita.

Vamos imaginar esses mundos misturados?

Imagine que o ponto P, que estava inserido na reta horizontal, agora est conversando com um ponto A,

tambm pertencente reta, e ambos esto sendo observados por um habitante do plano, o crculo c.

O crculo c pode enxergar os pontos A e P, mas estes no conseguem enxergar o crculo c, pois o nico mundo

que conhecem a reta e s enxergam pontos sua direita ou sua esquerda. Por outro lado, o crculo c tem o poder

de retirar o ponto P do seu mundo e coloc-lo de volta. Ele decide fazer isso para mostrar como o mundo bidimen-

sional para o ponto P. Nesse momento, o ponto P desaparece das vistas do seu amigo A e, instantes depois, reaparece

como num passe de mgica.

Nossa imaginao pode fluir. Voc, como um habitante da terceira dimenso, tem trs graus de liberdade: as

duas do plano do cho mais a altura. Ou seja, voc pode se deslocar para qualquer ponto do espao tridimensional.

Ento, voc consegue observar o crculo c, mas ele no consegue observ-lo, j que vive num mundo bidimensional.

Se voc retir-lo do plano e recoloc-lo, instantes depois ele desaparece do plano em que vive por alguns momentos

e depois reaparece.

Atividade:

Imagine que voc seja o ponto P(3,2) no plano (bidimensional).


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22

a. Quantos graus de liberdade voc tem? ____________________________________________________.

b. O que voc poderia fazer para ir at o ponto de origem O(0,0), utilizando os graus de liberdade que

possui? ______________________________________________________________________________.

c. Se um habitante do espao tridimensional retirasse voc do plano, quantos graus de liberdade voc pas-

saria a ter? Por qu? ____________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________.

Agora, sua vez de imaginar como seria viver numa 4 dimenso!

Discuta com seus colegas sobre quantos graus de liberdade voc teria; que elementos voc pode visualizar

desta nova dimenso; esses elementos podem ver voc nesta dimenso superior? Tente responder a essas questes,

a partir de uma comparao dos exemplos citados no texto.


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Seo 1 Geometria Espacial: conceitos bsicosPginas no material do aluno

43 a 47

Tipos deAtividades

Ttulo daAtividade

MaterialNecessrio


TempoEstimado

Redescobrindo

a Geometria

Plana e

Espacial.

Folha de ati-

vidades, folha

em anexo,

lpis, caneta,

tesoura, cola e

rgua.

Esta atividade ser dividida

em duas partes, a primeira

permitir ao professor in-

troduzir entidades funda-

mentais (ponto, reta, plano e

espao) como noes primi-

tivas, enunciar os principais

postulados que relacionam

os conceitos primitivos dageometria. J na segunda,

ser proposta a construo

de um paraleleppedo a par-

tir da sua planificao. Desta

forma, acreditamos que os

alunos possam identificar

partes da reta, do plano e do

espao, e obter a noo de

planificao (para monta-

gem) de um modelo de um

slido atravs das aes

que envolvem noes de

plano e espao. Finalmente,

os alunos sero levados a

ampliarem as discusses das

etapas anteriores atravs de

questes propostas numa

folha de atividades.

A turma pode

ser dividida

em grupos de

trs ou quatro

alunos.

40 minutos


1 parte:

Professor, primeiramente voc pode usar uma folha de papel como exemplo e coloc-la sobre a mesa, levando

os alunos a imaginarem o plano como se fosse essa folha de papel que se estende infinitamente em todas as direes.


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24

A partir da, voc pode mostrar a eles que a noo primitiva ponto pode ser pensada como a marca deixada pela

ponta do lpis ao tocar a folha. O desenho da parte de uma reta feito com o auxlio de uma rgua. Lembre-os de que

a reta ilimitada nos dois sentidos.

O material do aluno traz um quadro (p. 46) com um pouco da histria da Matemtica e a definio desses

conceitos primitivos:

Estes conceitos foram propostos pela primeira vez pelo matemtico grego Euclides, que viveu na Ale-

xandria da primeira metade do sc. III a.C. (a data e o local de seu nascimento no so precisos).

Euclides possivelmente adquiriu seus primeiros conhecimentos matemticos dos discpulos de outro

importante filsofo grego: Plato. Amais importante obra de Euclides foi "Os Elementos". So treze

captulos fundamentais para matemtica sobre Aritmtica, Geomentria e lgebra.

A obra "Os Elementos" j est em domnio pblico e pode ser baixada gratuitamente no portal Dom-

nio Pblico, do Ministrio da Educao. O link direto para o arquivo http:www.dominiopublico.gov.

br/download/texto/be00001a.pdf.

Nos Elementos, Euclides afirma que "ponto o que no tem partes ou grandeza alguma", "linha o que

tem comprimento sem largura" e "superfcie o que tem comprimento e largura". Parecido com o que

acabamos de ver? E olha que o livro j tem mais de dois mil anos!

Nesta etapa, voc pode recorrer s aproximaes e aos exemplos intuitivos ilustrados na seo Para incio de

conversa...e na seo 1, Geometria espacial: conceitos bsicosdo material do aluno.

2 parte:

Aps esta etapa, voc pode utilizar a planificao para montagem de um paraleleppedo a seguir, e dis-

ponvel no seu material, pedir que os alunos escolham um dos retngulos dessa planificao, nomeando os vrtices

como A, B, C e D e sobre este retngulo e considerando a aresta AB. Pea que eles marquem dois pontos, E e F, entre

A e B , e assim identifiquem que A, B, E e F so colineares ou alinhados. Oriente-os a observarem que os pontos A, B,

C e D so coplanares.


25/212


Estabelea uma discusso com os alunos, indagando-os sobre as seguintes questes:

Numa reta, bem como fora dela, existem quantos pontos?

Por dois pontos distintos, passam quantas retas?

Num plano, bem como fora dele, existem quantos pontos?

Por trs pontos distintos passam quantos planos?

Aps uma discusso informal destas questes, voc, professor, pode formalizar estas respostas como postulados:

P1- Numa reta, bem como fora dela, h infinitos pontos;

P2- Por dois pontos distintos, passa uma nica reta;

P3- Num plano, bem como fora dele, h infinitos pontos;

P4- Por dois pontos distintos (ou pela reta que eles determinam), passam infinitos planos;

P5- Por trs pontos distintos no colineares, passa um nico plano;

P6- Se dois pontos distintos pertencem a um plano, ento, a reta que eles determinam est contida no plano.

Aps esta discusso coletiva:

Solicite que os alunos organizem-se em grupos de trs ou quatro;


26/212

26

Distribua um modelo de planificao para cada aluno e oriente-os a montarem um modelo para o parale-

leppedo.

Distribua uma folha de atividades para cada aluno, promovendo uma ampliao das discusses propostas

nas etapas anteriores.

Aspectos pedaggicos

Professor, voc pode usar o material concreto (o modelo montado do paraleleppedo) para simular situa-

es de investigao. Para isso, estimule os alunos a observarem, explorarem e manipulem este material de

forma a auxiliar no desenvolvimento de noes geomtricas no somente pelo treinamento de memoriza-

o e tcnicas operatrias.

Aps montarem o paraleleppedo, voc pode estimul-los a identificarem objetos do seu cotidiano que

apresentem formas similares quela montada (ex.: caixas de sapato, de pasta de dente, etc.).

Tambm seria interessante instig-los a identificarem objetos que representem formas planas e outros que

representem formas espaciais.

Para complementar esta atividade, voc pode recorrer atividade multimdia, disponvel on-lineno site

http://www.uff.br/cdme/pdp/pdp-html/pdp-br.html e off-lineno seu material.

Folha de Atividades Redescobrindo a Geometria Plana eEspacial

Nome da Escola:___________________________________________________________________

Nome: ___________________________________________________________________________

A partir das discusses promovidas em aula, observe a figura e responda s questes propostas:


27/212


Questo 1:Existe uma reta que passe por G e C da figura?

__________________________________________________________________________________________.

Questo 2:Dois pontos so sempre colineares? Justifique a sua reposta.

__________________________________________________________________________________________.

Questo 3:Sob que condies trs so colineares? Que figura geomtrica plana pode ser formada por trs

pontos no colineares?

__________________________________________________________________________________________.

Questo 4:Os pontos A, B, E e H so coplanares? E os pontos A, B e G? E os pontos E, F, G e H?

__________________________________________________________________________________________.

Questo 5: Trs pontos distintos so coplanares? Baseado nesta resposta, voc saberia justificar por que uma

mesa com trs ps mais firme do que uma com quatro? Que postulado de Euclides, justifica esta resposta?

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________.

Seo 2 Os logaritmos ajudam a resolver

equaes exponenciais.


53 a 61

Tipos de

Atividades

Ttulo da

Atividade

Material


Diviso da

Turma

Tempo

Estimado

O paralelep-

pedo e seus

elementos.

Folha de ativi-

dades, lpis/

caneta.

A atividade a seguir convida

os alunos a identificar posi-

es relativas entre pontos,

retas e planos a partir dos

elementos de um paralelep-

pedo. Para isso, elaboramosalgumas questes que esto

disponveis como folha de

atividades.

Turma dividida

em duplas ou

trios.

30 minutos


28/212

28


Professor, a partir da representao plana do paraleleppedo a seguir, voc poder trabalhar posies relativas

entre pontos, retas e planos. Para isso, sugerimos algumas questes numa folha de atividades, disponvel no seu ma-

terial, que foram planejadas para serem realizadas aps as atividades propostas na seo 2 - Continuando com pontos,

retas e planos: posies relativasdo material do aluno.

Primeiramente, os alunos sero levados a observarem os pontos, retas e planos a partir da observao dos

elementos da figura dada, para que ao final, possam identificar algumas posies relativas entre esses elementos.

Aspectos pedaggicos

Solicite que os alunos organizem-se em duplas ou trios;

Primeiramente deixe-os analisar a figura e as questes propostas;

Se achar necessrio, voc pode levar uma caixa na forma de paraleleppedo (de sapatos, de leite, etc. ) para

auxili-los na transio da visualizao plana para a espacial;

Estimule os alunos a identificarem os vrtices do paraleleppedo como pontos, suas arestas como segmen-

tos de reta e suas faces como planos. E, a partir dessas observaes, analisarem algumas posies relativas.

Ao final da atividade, promova um debate sobre a atividade baseado nos resultados obtidos, questionando:

Um plano pode ser definido com apenas 3 pontos?;

Apesar de a reta ser definida por 2 pontos, quantos pontos h numa reta? E num segmento de reta?

Esta uma boa oportunidade de lembrar a eles que trs pontos definem um plano. No entanto, ao visuali-

zarem uma face do paraleleppedo, podero notar que cada vrtice est no plano gerado pelos outros trs

da mesma face.

Folha de Atividades O paraleleppedo e seus elementos

Nome da Escola:___________________________________________________________________

Nome: ___________________________________________________________________________


29/212


Observe a representao em perspectiva do paraleleppedo a seguir:

1. Tente identificar todos os pontos, retas (segmentos) e planos definidos pelos pontos da figura acima.

a. Quantos pontos voc encontrou? Quais?

b. Quantas retas voc identificou a partir das arestas do paraleleppedo? Quais?

c. Quantos planos formam as faces do paraleleppedo? Quais?

2. Complete corretamente as lacunas com os smbolosoupara relacionar pontos a retas ou a planos:

a. B ____ reta BD

b. C ____ reta BC

c. H ____ reta EG

d. H ____ reta HF

e. I ____ reta DE

f. E ____ reta GI

g. G ____ plano EFC

h. H _____ plano BCD

i. F ____ plano BCH


30/212

30

j. E ____ plano GHI

k. D _____ plano EGI

l. C ____ plano BDH

3. Identifique a posio relativa entre as retas abaixo:

a. retas BC e BD __________________.

b. retas DE e IG ___________________.

c. retas CF e DE ___________________.

d. retas BC e EG ___________________.

e. retas HF e BH ___________________.

f. retas EG e BH___________________.

Seo 3 Slidos Geomtricos Pginas no material do aluno

62 a 70

Tipos de

Atividades

Ttulo da

Atividade

Material


Diviso da

Turma

Tempo

Estimado

Reconhecen-

do Slidos

Geomtricos

em objetos do

cotidiano.

Folha de ativi-

dades, lpis/ca-

neta e materiais

de utilidades

domsticas ou

materiais de

sucata (emba-

lagens, caixa de

fsforos, caixa

de chocolate

no formato de

prisma, lata,

copo, etc.)

Esta atividade prope a

utilizao de materiais de

utilidades domsticas ou

materiais de sucata, como

recursos para que os alunos

reconheam slidos geo-

mtricos (poliedros e no

poliedros) em diversos ob-

jetos do seu cotidiano, alm

de elucidar o conceito deum poliedro ser convexo ou

no e de mostrar de forma

emprica a Relao de Euler

nos poliedros convexos.

A turma pode

ser dividida

em grupos

de quatro ou

cinco alunos.

40 minutos


31/212



Na seo 3 - Slidos Geomtricosdo material do aluno, introduzida uma discusso a respeito de objetos reais

em que podemos encontrar representaes de slidos geomtricos e identific-los entre representaes de poliedros

e no poliedros.

A partir da definio de poliedro como o slido limitado por regies poligonais planas, primeiramente, pro-

pe-se aos alunos a separao dos materiais trazidos para a aula em poliedros e no poliedros, depois pede-se que os

alunos classifiquem os poliedros em convexos e no convexos, para que, ao final da atividade, possam experimentar

a validade da relao de Euler para os convexos.

Professor, voc pode levar para a aula ou solicitar na aula anterior que os alunos levem materiais de utilida-

des domsticas ou materiais de sucata, como copo, lata, caixas, objetos com formas variadas;

Divida a turma em grupos de quatro ou cinco alunos e distribua entre os grupos alguns dos materiais leva-

dos para a aula.

Uma vez que os materiais tenham sido distribudos, pea para que os alunos os manuseiem livremente,

para que possam observar caractersticas e se familiarizar com esses objetos.

Em seguida, pea aos seus alunos que identifiquem, de acordo com a definio de poliedro apresentada

no material do aluno (p. 62), os materiais que representam poliedros e os que no representam e, depois,

separem os poliedros em convexos e no convexos, de acordo com os exemplos apresentados no material

do aluno (p. 64).

Aps esta etapa, distribua uma folha de atividades para cada aluno e solicite que eles realizem as questes

propostas.

Aspectos pedaggicos

Professor, oriente os alunos a observarem caractersticas dos materiais recebidos, quanto s faces, por

exemplo, se o slido apresentado limitado por faces poligonais planas, assim como vrtices e arestas.

Dependendo da quantidade de materiais disponveis, voc pode utilizar como slidos aquelas embalagens

sem tampa, mas importante chamar ateno dos alunos para a necessidade desta face, quando quere-

mos visualizar o slido como um todo, por exemplo os poliedros. Voc pode levar os alunos a imaginarem

uma tampa para que possam compor as faces do poliedro analisado.

Ainda nesta discusso, voc pode trabalhar a ideia de poliedros convexos e no convexos a partir dos mate-

riais concretos apresentados ou apresentando exemplos de acordo com o quadro apresentado no material

do aluno (p. 64) e ilustrado a seguir:


32/212

32

Professor, aps essa primeira discusso, auxilie os alunos na resoluo das questes propostas na folha de

atividades, usando somente os poliedros convexos. Verifique se os grupos esto obtendo os valores dese-

jados na tabela, orientando-os quando necessrio.

Objeto N de Vrtices (V) N de Faces (F) N de Arestas (A) V + F - A

Estimule uma discusso entre os grupos para que tentem perceber a relao entre o nmero de vrtices,

faces e arestas desses poliedros convexos. Aps preencherem a tabela, voc pode pedir que cada gru-

po troque as folhas com os outros grupos e observem os resultados obtidos na ltima coluna da tabela,

indagando-os sobre o que observam. Espera-se que, aps esta discusso, os alunos percebam que o valor

sempre igual a 2.

Por fim, utilize a lousa para concluir com os alunos a Relao de Euler: V + F = A + 2.

Folha de Atividades Reconhecendo Slidos Geomtricos emobjetos do cotidiano

Nome da Escola:___________________________________________________________________

Nome: __________________________________________________________________________


33/212


A partir dos objetos e materiais trazidos para a aula, respondam s questes propostas:

Questo 1:Quais dos objetos analisados representam poliedros?

________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________.

Questo 2: Quais dos objetos que foram classificados como poliedros so convexos e quais so no convexos?

________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________.

Questo 3:Com somente os objetos que foram classificados como poliedros convexos, preencha a seguinte

tabela:

Objeto N de Vrtices (V) N de Faces (F) N de Arestas (A) V + F - A

Questo 4:Voc consegue observar se existe alguma relao entre os nmeros de vrtices, faces e arestas dos

objetos selecionados na questo 3? Dica: Observe a ltima coluna da tabela.


34/212

34

Seo 3 Slidos Geomtricos Pginas no material do aluno

62 a 70

Tipos de

Atividades

Ttulo da

Atividade

Material


Diviso da

Turma

Tempo

Estimado

Identificando

vrtice, aresta

e face de um

poliedro.

Computadores

para os alunos

com o softwa-

res Poly Proe

3D Learning- Geometria

Espacial insta-

lados, material

do aluno, folha

de atividades e

lpis/caneta.

Esta atividade tem com

o objetivo desenvolver a

habilidade de visualizao

espacial com auxlio dos

softwares Poly Pro e 3D

Learning - Geometria Espa-

cial, de modo que os alunostenham a oportunidade de

identificar as caractersticas

que permitem diferenciar

poliedros de no poliedros

e identificar os elementos

bsicos dos poliedros a

partir da interface dinmica

oferecida pelo software.

Turma divididaem duplas ou

trios.

30 minutos


Esta atividade foi elaborada para ser aplicada em laboratrio de informtica em complementao atividade

4 proposta no material do aluno. Nessa atividade, so apresentadas representaes planas de objetos espaciais. No

entanto, no podemos considerar que seja absolutamente fcil para os alunos visualizar esses objetos a partir de tais

representaes. Esta atividade complementar poder auxiliar voc, professor, nesse processo.

Esta atividade tem com o objetivo desenvolver a habilidade de visualizao espacial com auxlio dos softwares

Poly Proe 3D Learning - Geometria Espacial. Alm disso, os alunos tero a oportunidade de identificar as caracte-

rsticas que permitem diferenciar poliedros de no poliedros (tambm chamados de corpos redondos em algumas

literaturas) a partir da interface dinmica oferecida pelo softwaree identificar os elementos bsicos dos poliedros.


35/212


Inicialmente, voc, professor, dever estabelecer juntamente com a sua turma uma analogia entre os elemen-

tos do poliedro: vrtice, aresta e face, com as noes primitivas de ponto, reta e plano, respectivamente.

Leve, ento, os seus alunos at o laboratrio de informtica (certifique-se de que os softwares Poly Pro

e 3D Learning - Geometria Espacial, j estejam devidamente instalados e prontos para serem acessados

pelos alunos) e pea para que eles formem duplas ou trios.

Em seguida, voc, professor, poder aplicar a atividade proposta na Folha de Atividades (que est dispon-

vel em seu Grid de aula no seu DVD).

Atividade:

1. Abra o softwarePoly Pro. Em seguida, selecione as opes Slido de Arquimedes e depois Cuboctaedro

nas caixas flutuantes na janela de ferramentas. Esse slido corresponde ao primeiro exemplo de poliedro

apresentado na atividade 4 (pgina 60). Clique sobre ele e arraste para mov-lo e gir-lo livremente.

2. Agora abra o software 3D Learning - Geometria Espacial.

a. Na caixa de ferramentas (apresentada do lado direito da tela) clique sobre a ferramenta Inserir Objetos( ). Na janela que se abrir, selecione o objeto cilindro e clique em Inserir. Esse slido corresponde

ao primeiro exemplo de no poliedro apresentado na atividade 4 (pgina 60). Clique sobre o objeto e

sobre grid, arrastando-os para mov-lo e gir-lo livremente.

b. Na mesma janela objetos j aberta, selecione o objeto esfera e clique em Inserir. Esse slido corres-

ponde ao segundo exemplo de no poliedro apresentado na atividade 4 (pgina 60). Clique sobre o

objeto e sobre grid, arrastando-os para mov-lo e gir-lo livremente.

c. Na mesma janela objetos j aberta, selecione o objeto paraleleppedo e clique em Inserir. Esse slido

corresponde ao segundo exemplo de poliedro apresentado na atividade 4 (pgina 60). Clique sobre o


d. Na mesma janela objetos j aberta, selecione o objeto octaedro e clique em Inserir. Esse slido corres-

ponde ao terceiro exemplo de poliedro apresentado na atividade 4 (pgina 61). Clique sobre o objeto e


e. Na mesma janela objetos j aberta, selecione o objeto cone e clique em Inserir. Esse slido correspon-

de ao terceiro exemplo de no poliedro apresentado na atividade 4 (pgina 61). Clique sobre o objeto e


f. Na mesma janela objetos j aberta, selecione o objeto pirmide e clique em Inserir. Esse slido cor-

responde ao quarto exemplo de poliedro apresentado na atividade 4 (pgina 61). Clique sobre o objeto

e sobre grid, arrastando-os para mov-lo e gir-lo livremente.

3. Agora que voc j explorou quase todos os slidos apresentados na atividade 4 atravs dos softwares,

destaque:

a. O que voc observou em relao s caractersticas que os poliedros tm em comum?

b. O que voc observou em relao s caractersticas que os no poliedros tm em comum?


36/212

36

4. A partir do que foi observado no item anterior, responda:

a. Sobre as superfcies dos poliedros observados podemos identificar elementos de 2, 1 ou nenhuma di-

menso? Tomando como exemplo o octaedro, quantos so os elementos de 2, 1 e nenhuma dimenso

sobre a sua superfcie? (Esses so os nmeros de faces, arestas e vrtices desse poliedro)

b. possvel identificar, da mesma forma, os mesmos elementos tambm na superfcie dos no poliedros?

Em que estes se diferem dos poliedros?

Os softwaresPoly Pro e 3D Learning - Geometria Espacial (ambos livres), bem como suas instalaes, esto

disponveis em seu DVD. No entanto, para que o software3D Learning - Geometria Espacial seja devidamente regis-

trado em seu computador ou nos computadores do laboratrio de informtica da sua unidade escolar, necessrio

efetuar um cadastro no endereo http://www.christmas.com.br/3dlearning/cadastro/. Esse cadastro indispensvel

para a obteno do nmero de registro do software.

Aspectos pedaggicos

Deixe que os alunos manipulem livremente os softwarese as representaes dinmicas dos slidos.

Discuta com os alunos quais as caractersticas dos poliedros e no poliedros. Deixe que eles indiquem suas

prprias caracterizaes, mesmo que sejam informais. Adeque suas propostas linguagem matemtica,

quando possvel.

Ao final da atividade, voc pode promover um debate a partir dos resultados obtidos na folha de atividades

em relao s diferenas entre os tipos de slidos trabalhados.

Caso a sua unidade escolar no disponha de um laboratrio de informtica, a mesma atividade poder

ser aplicada em sala de aula com auxlio de um computador ligado a um projetor multimdia ou a uma TV.

Nesse caso, os alunos podero interagir com o softwarede maneira indireta e coletiva.

Folha de Atividades Identificando vrtice, aresta e face de um

poliedro

Nome da Escola: ____________________________________________________________

Nome: ____________________________________________________________________


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1. Abra o software Poly Pro. Em seguida, selecione as opes Slido de Arquimedes e depois Cuboctaedro

nas caixas flutuantes na janela de ferramentas. Esse slido corresponde ao primeiro exemplo de poliedro

apresentado na atividade 4 (pgina 60). Clique sobre ele e arraste para mov-lo e gir-lo livremente.

2. Agora abra o software 3D Learning - Geometria Espacial.

a. Na caixa de ferramentas (apresentada do lado direito da tela) clique sobre a ferramenta Inserir Objetos

( ). Na janela que se abrir, selecione o objeto cilindro e clique em Inserir. Esse slido corresponde

ao primeiro exemplo de no poliedro apresentado na atividade 4 (pgina 60). Clique sobre o objeto e


b. Na mesma janela objetos j aberta, selecione o objeto esfera e clique em Inserir. Esse slido corres-

ponde ao segundo exemplo de no poliedro apresentado na atividade 4 (pgina 60). Clique sobre o


c. Na mesma janela objetos j aberta, selecione o objeto paraleleppedo e clique em Inserir. Esse slido

corresponde ao segundo exemplo de poliedro apresentado na atividade 4 (pgina 60). Clique sobre o


d. Na mesma janela objetos j aberta, selecione o objeto octaedro e clique em Inserir. Esse slido corres-

ponde ao terceiro exemplo de poliedro apresentado na atividade 4 (pgina 61). Clique sobre o objeto e


e. Na mesma janela objetos j aberta, selecione o objeto cone e clique em Inserir. Esse slido correspon-

de ao quarto exemplo de no poliedro apresentado na atividade 4 (pgina 61). Clique sobre o objeto e


f. Na mesma janela objetos j aberta, selecione o objeto pirmide e clique em Inserir. Esse slido cor-

responde ao quarto exemplo de poliedro apresentado na atividade 4 (pgina 61). Clique sobre o objeto

e sobre grid, arrastando-os para mov-lo e gir-lo livremente.

3. Agora que voc j explorou quase todos os slidos apresentados na atividade 4 atravs dos softwares,

destaque:

a. O que voc observou em relao s caractersticas que os poliedros tm em comum?

b. O que voc observou em relao s caractersticas que os no poliedros tm em comum?

4. A partir do que foi observado no item anterior, responda:

a. Sobre as superfcies dos poliedros observados podemos identificar elementos de 2, 1 ou nenhuma di-

menso? Tomando como exemplo o octaedro, quantos so os elementos de 2, 1 e nenhuma dimenso

sobre a sua superfcie? (Esses so os nmeros de faces, arestas e vrtices desse poliedro)

b. possvel identificar, da mesma forma, os mesmos elementos tambm na superfcie de todos os no

poliedros? Em que estes se diferem dos poliedros?

c. Um dos slidos apresentados na atividade 4 no foi explorado com auxlio dos softwares. Voc seria

capaz de indicar algum objeto cuja forma se assemelhe desse slido?


38/212

38

Avaliao O que perguntam por a?

Tipos deAtividades

Ttulo daAtividade

MaterialNecessrio


TempoEstimado

ENEM - 2010

Imagem dispo-

nvel para

projeo neste

material; mate-

rial do aluno.

Turma dividida

em duplas


Na seo O que perguntam por a? do material do aluno, a atividade uma questo do ENEM que envolve

noo bsica de geometria espacial. Voc poder trabalhar esta proposta com a imagem disponvel neste material e

pedir que os alunos discutam e resolvam a seguinte questo proposta:

ENEM - 2010

A figura seguinte representa um salo de um clube onde esto destacados os pontos A e B:


39/212


Nesse salo, o ponto em que chega o sinal da TV a cabo fica situado em A. Afim de instalar um telo para a

transmisso dos jogos de futebol da Copa do Mundo, esse sinal dever ser levado at o ponto B por meio de um ca-

beamento que seguir na parte interna da parede e do teto.

O menor comprimento que esse cabo dever ter para ligar os pontos A e B poder ser obtido por meio daseguinte representao no plano:

a)

b)

c)

d)

e)


40/212

40

Aspectos pedaggicos

Aps a resoluo desta questo em aula, voc pode promover uma anlise coletiva das respostas encon-

tradas pelos alunos, com uma breve discusso a respeito dos possveis erros (erros mais comuns) por eles

cometidos.

Gabarito comentado:

Gabarito E: perceba o seguinte: o retngulo em que se situa o ponto B o teto da sala eo retngulo em que

se situa o ponto A uma das paredes. Conseguiu ver? Muito bem. Ento, num pimeiro momento, podemos afirmar

que os pontos esto em planos diferentes e, neste caso, um fio que percorresse o caminho mais curto entre A e B

passaria pelo meio da sala. No entanto, o fato de o fio "correr" por dentro da parede faz com que as coisas mudem de

figura: podemos considerar que os planos do teto e da parede so, na verdade, um plano contnuo. Dessa maneira, os

pontos A e B estaro no memso plano e a menor distncia entre eles ser o tamanho da linha reta que os une. Assim,

a resposta letra E.

Avaliao Momento de Reflexo

Tipos de

Atividades

Ttulo da

Atividade

Material


Diviso da

Turma

Tempo

Estimado

Avaliao da

Unidade

Folha de

atividades, ma-

terial do aluno,

lpis/caneta.

Esta atividade sugere uminstrumento avaliativo para

a unidade dividido em duas

etapas: registro de apren-

dizagens e questes tanto

objetivas como dissertativas,

a serem escolhidas a critrio

do professor.

Participao

individual dos

alunos.

40 minutos


41/212



Para o momento de avaliao, sugerimos a utilizao do ltimo tempo de aula destinado unidade 2. A seguir,

apresentamos sugestes para a avaliao das habilidades pretendidas nesta unidade. Dividiremos nossas sugestes

avaliativas em duas etapas, conforme explicitadas a seguir.

Etapa 1:Registros de aprendizagens (Momento de Reflexo)

Aqui, voc poder propor que o aluno registre individualmente, na folha de atividades, disponvel para repro-

duo neste material, as aprendizagens matemticas adquiridas com o estudo desta unidade. Para nortear esta ava-

liao, apresentamos algumas questes para os alunos, que podem complementar s suas no que tange avaliao

do desenvolvimento das habilidades matemticas pretendidas:

Identificar posio relativa entre pontos, retas e planos.

Identificar Poliedros e No Poliedros

Aplicar a Relao de Euler.

Para ajud-lo nos seus registros, sugerimos as questes a seguir, disponveis na folha de atividades:

Qual foi o contedo matemtico que voc estudou nesta unidade?

D exemplos de objetos do seu cotidiano que representem modelos de slidos estudados nesta unidade.

Tente nomear esses slidos.

Quais dos slidos citados acima so poliedros? Algum entre eles no convexo?

Que relao importante voc aprendeu para relacionar os elementos de um poliedro convexo?

Sugerimos, tambm, que este material seja recolhido para uma posterior seleo de registros a serem entre-

gues ao seu formador no curso de formao presencial. Desta forma, esperamos acompanhar com voc como os

alunos esto reagindo aos caminhos que escolhemos para desenvolver este trabalho para, se for o caso, repens-los

de acordo com as caractersticas apresentadas.

Etapa 2:Questes objetivas e discursivas

Sugerimos nesta etapa a escolha de, pelo menos, uma questo objetiva e uma discursiva que contemple umahabilidade pretendida nesta unidade para compor o instrumento avaliativo.


42/212

42

Sugestes de questes objetivas para a avaliao:

Questo 1: (ENEM - 2009)


43/212


Questo 2: (ENEM - 2010)


44/212

44

Questo 3: (ENEM- 2012)


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Respostas das questes objetivas sugeridas:

1. (A)

2. (E)

3. (C)

Sugestes de questes discursivas para a avaliao:

Questo 1:A figura abaixo mostra um dodecaedro regular, poliedro convexo com 20 vrtices e 12 faces, todas

pentagonais.

Seja C o conjunto de todos os tringulos que podem ser formados ligando quaisquer dos 20 vrtices de um

dodecaedro regular. O nmero de tringulos de C que no esto contidos em uma das faces ser:

Questo 2:No Mxico, h mais de mil anos, o povo Asteca resolveu o problema de armazenagem da ps-

-colheita de gros com um tipo de silo em forma de bola colocada sobre uma base circular de alvenaria. A forma desse

silo obtida juntando 20 placas hexagonais e mais 12 placas pentagonais.


46/212

46

Quantas arestas e quantos vrtices tem esse silo?

Questo 3: Num poliedro convexo, o nmero de vrtices 5 e o de arestas 10. Qual o nmero de faces?

Questo 4:Um gelogo encontrou, numa de suas exploraes, um cristal de rocha no formato de um poliedro

que satisfaz a relao de Euler, com 60 faces triangulares. Calcular o nmero de vrtices desse cristal.

Questo 5: Um poliedro convexo tem cinco faces triangulares e trs pentagonais. O nmero de arestas e o

nmero de vrtices deste poliedro so:

Respostas e comentrios das questes discursivas sugeridas:

Questo 1: Observe que, para obter o nmero de elementos de C (conjunto de todos os tringulos que podem

ser formados ligando quaisquer dos 20 vrtices de um dodecaedro regular), podemos fazer 20,320!

11403!17!C = = . Noentanto, o problema pede o nmero de tringulos de C que no esto contidos em uma das faces. Note que em cada

face h 5,35!

103!2!

C = = tringulos e, como h 12 faces, precisamos subtrair 12X10=120 tringulos; da, o nmero de

tringulos procurado ser 1140-120=1020.


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Questo 2:Como o poliedro tem 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, ento F = 12 + 20 = 32. Para obter

o nmero de arestas, podemos contar pelas faces pentagonais, ou seja, 5 . 12 = 60 e pelas faces hexagonais temos 6 . 20

= 120. Observando que cada aresta foi contada 2 vezes, temos que 2A = 60 + 120, isto , 2A = 180, logo A = 90 arestas.

Como o poliedro convexo, podemos usar a relao de Euler (V + F = A + 2) para calcular o nmero de vrtices.Assim, V + 32 = 90 + 2, portanto V = 92 32, ou seja V = 60 vrtices.

Questo 3: Como o poliedro convexo, podemos usar a relao de Euler (V + F = A + 2) para calcular o nmero

de faces. Assim, 5 + F = 10 + 2, portanto F = 12 5, ou seja F = 7 faces.

Questo 4:Como podemos usar a relao de Euler (V + F = A + 2) e sabendo que F = 60 faces triangulares ,

podemos calcular o nmero de arestas fazendo 60 . 3 =180. Observando que cada aresta foi contada 2 vezes, temos

que 2A = 180, logo A = 90 arestas. Assim, V + 60 = 90 + 2, portanto V=92-60, ou seja V = 32 vrtices.

Questo 5:Como o poliedro tem 5 faces triangulares e 3 faces pentagonais, ento F = 5 + 3 = 8. Para obter o

nmero de arestas, podemos contar pelas faces triangulares, ou seja, 3 . 5 = 15 e pelas faces pentagonais temos 5 .

3 = 15. Observando que cada aresta foi contada 2 vezes, temos que 2A=15 +15, isto , 2A = 30, logo A = 15 arestas.

Como o poliedro convexo, podemos usar a relao de Euler (V + F = A + 2) para calcular o nmero de vrtices.

Assim, V + 8 = 15 + 2, portanto V = 17 8, ou seja V = 9 vrtices.

Folha de Atividades Avaliao

Nome da Escola: _____________________________________________________________________

Nome: _____________________________________________________________________________

Momento de Reflexo

Neste momento, propomos que voc retome as discusses feitas na unidade 2 e registre as aprendizagens mate-

mticas adquiridas com o estudo desta unidade. Para ajud-lo nos seus registros, tente responder s questes a seguir:

Questo 1:

Qual foi o contedo matemtico que voc estudou nesta unidade?

___________________________________________________________________________________.


48/212

48

Questo 2:

D exemplos de objetos do seu cotidiano que representem modelos de slidos estudados nesta unidade.

Tente nomear esses slidos.

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________.

Questo 3:

Quais dos slidos citados acima so poliedros? Algum entre eles no convexo? Se positivo, identifique-os.

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________.

Questo 4:

Que relao importante voc aprendeu para relacionar os elementos de um poliedro convexo? Escreva o nome

e a equao que a representa.

__________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________.

Atividade Complementar

Tipos de

Atividades

Ttulo da

Atividade

Material


Diviso da

Turma

Tempo

Estimado

Exerccios de

Fixao Com-

plementares

Folhas de Ati-

vidades, lpis/

caneta.

Turma dividida

em duplas ou

em trios.


49/212



A seguir, apresentamos alguns exerccios que podem auxiliar voc, professor, na fixao das noes iniciais da

Geometria espacial, trabalhadas ao longo dessa unidade tanto no material do aluno quanto nas atividades sugeridas

neste material. Com esses exerccios, voc, professor, ter a oportunidade de fixar os conceitos de dimenso, ponto,

reta e plano, as diferenas entre poliedros e no poliedros e seus elementos e a aplicao da relao de Euler.

Esses exerccios foram distribudos em uma Folha de atividades que se encontra disponvel para reproduo

no pendrive do professor que poder ser aplicada de forma fracionada ao trmino de cada seo do material do

aluno ou de uma s vez no momento reservado para a consolidao dos contedos trabalhados.

Voc tambm poder encontrar as solues desses exerccios em um arquivo no Grid de aula de seu pendrive.

Aspectos pedaggicos

Pea que os alunos organizem-se em duplas ou em trios. Mas procure distribuir uma folha de atividades para

cada aluno, para que todos possam ficar com uma cpia do material, tornando-a mais uma fonte de consulta.

Escolha previamente quais os exerccios se adequam melhor realidade de sua turma e abordagem esco-

lhida para apresentao dos conceitos introduzidos na Unidade 2.

Depois de os alunos conclurem o conjunto de exerccios que voc escolheu aplicar, procure discutir as

solues apresentadas por eles, valorizando cada estratgia, mesmo que esta no os tenha conduzido a

uma resposta verdadeira.

Procure incentivar os alunos a executar tais exerccios sem a sua interveno, enquanto professor. Esses

exerccios podem favorecer o desenvolvimento da autonomia dos alunos no que diz respeito habilidade

de resolver problemas.

Folha de Atividades Exerccios de Fixao Complementares

Nome da Escola: ______________________________________________________________

Nome: ______________________________________________________________________

1. Responda s perguntas no espao entre parnteses usando (P) para ponto, (R) para reta e (S) para plano.

a. ( ) Olhando para o mapa do seu estado, voc identifica a cidade onde voc mora. Qual a ideia que

voc tem dessa representao?


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50

b. ( ) Lendo uma pgina do livro de matemtica, qual a ideia que uma folha deste livro lhe traz?

c. ( ) Assistindo a um jogo de futebol, voc observa a linha divisria do campo. Qual a ideia que esta

linha divisria lhe d?

d. ( ) Quando voc olha o vidro colocado em uma janela, qual a ideia que este vidro lhe d?

e. ( ) Voc est vendo um palito de churrasco. Que ideia esse palito lhe traz?

2. Em Geometria, qualquer figura que pode estar toda contida em um plano uma figura plana. As que no

podem estar contidas inteiramente em um plano, por possurem trs dimenses, so chamadas de espa-

ciais. As figuras geomtricas espaciais mais conhecidas compem dois grupos: os poliedros e os corpos

redondos. Analise as figuras geomtricas representadas abaixo e responda:

a. Quais delas so figuras planas? _______________________________________

b. Quais so os corpos redondos? _______________________________________

c. Quais so os poliedros? _____________________________________________

3. Determine o nmero de vrtices de um poliedro convexo de 10 faces e 30 arestas.

__________________________________________________________________________________.

4. Determine o nmero de faces de um poliedro convexo de 12 vrtices, cujo nmero de arestas o dobro do

nmero de faces.

___________________________________________________________________________________.


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5. Determine o nmero de vrtices de um poliedro convexo de 9 faces, das quais 4 so triangulares e 5 so

quadrangulares.

___________________________________________________________________________________.

6. Determine o nmero de faces de um poliedro convexo de 6 vrtices, sabendo que de cada vrtice partem4 arestas.

___________________________________________________________________________________.

7. Um professor de matemtica decidiu que, na festa de aniversrio de 6 anos de seu filho, seriam distribudos,

como lembrancinha, pequenos poliedros coloridos, feitos de madeira. Contratou um marceneiro para fa-

zer trinta poliedros e lhe passou a seguinte orientao:

Todos os poliedros devem ser regulares e a aresta de cada um deve medir 4 cm.

10 deles devem ser pintados de azul, ter 6 arestas e 4 vrtices.

Outros 10 devem ser pintados de rosa e ter 12 faces pentagonais.

Os 10 poliedros restantes devem ser pintados de amarelo e ter oito faces triangulares.

De acordo com a orientao do professor:

a. Que tipos de poliedros o marceneiro deve confeccionar?

____________________________________________________________________________.

b. Quantas arestas ter o poliedro rosa?

____________________________________________________________________________.

c. Quantos vrtices ter o poliedro amarelo?

____________________________________________________________________________.

8. Determine o nmero de vrtices de um poliedro convexo que tem trs faces triangulares, uma face qua-

drangular, uma face pentagonal e duas faces hexagonais.

___________________________________________________________________________________.

9. (Unirio) Um gelogo encontrou, numa de suas exploraes, um cristal de rocha no formato de um poliedro

que satisfaz a relao de Euler, de 60 faces triangulares. O nmero de vrtices desse cristal igual a:

(A) 35 (B) 34 (C) 33 (D) 32 (E) 31


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52

10. (UERJ) Um icosaedro regular tem 20 faces e 12 vrtices, a partir dos quais tiram-se 12 pirmides congruen-

tes. As medidas das arestas dessas pirmides so iguais a 1/3 da aresta do icosaedro. O que resta um tipo

de poliedro usado na fabricao de bolas. Observe as figuras.

Para confeccionar uma bola de futebol, um arteso usa esse novo poliedro, no qual cada gomo uma face.

Ao costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro, ele gasta 7 cm de linha. Depois de pronta a bola, o arteso

gastou, no mnimo, um comprimento de linha igual a:

(A) 7,0 m (B) 6,3 m (C) 4,9 m (D) 2,1 m

Respostas da Folha de Atividades Exerccios Complementares

1. a) (P) b) (S) c) (R) d) (S) e) (R)

2. a) b, g, j b) a, c, e c) d, f, h, i, k, l

3. 18 vrtices

4. 10 faces

5. 9 vrtices

6. 8 faces

7. a) 10 tetraedros azuis, 10 dodecaedros rosas e 10 octaedros amarelos.

b) 30 arestas (se so doze faces pentagonais e o pentgono possui 5 lados, teramos um total de 60 arestas.

Mas cada aresta pertence a dois pentgonos, logo elas esto contadas duas vezes. Assim, 30 o nmero de

arestas do dodecaedro regular).

c) 6 vrtices (aqui basta aplicar a relao de Euler. O octaedro regular possui 8 faces com 3 lados cada, logo

ter 12 arestas.)


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(Obs.: Esse exerccio um bom momento para apresentar os ditos poliedros de Plato: tetraedro, hexaedro

ou cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro).

8. 10 vrtices (aqui basta aplicar a relao de Euler. O nmero de faces dado e o nmero de arestas pode ser

obtido dividindo pela metade o nmero total de lados das faces indicadas).

9. D

10. B


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55/212


Volume 1 Mdulo 3 Matemtica Unidade 2

Regularidadesnumricas sequncias eprogressesCleber Dias da Costa Neto, Heitor Barbosa Lima de Oliveira, Patrcia Nunes da Silva e

Telma Alves. Juliana Bezerra

Introduo

Na unidade 26 do mdulo 3 do material do aluno so apresentadas diver-

sas situaes e atividades sobre sequncias.

Para auxili-lo, pesquisamos e elaboramos algumas atividades e recursos

que podem complementar a exposio deste tema em suas aulas. O detalhamen-

to dessas atividades est presente no texto que segue.

Sugerimos que a primeira aula desta unidade inicie-se com uma atividade

disparadora. uma atividade cujo intuito, alm de iniciar a exposio do tema, promover uma dinmica entre os alunos. Neste momento, espera-se que os alu-

nos consigam identificar sequncias numricas, obtendo a expresso algbrica

do seu termo geral, alm disso, que utilizem o conceito de sequncia para resol-

ver problemas que abordem situaes cotidianas.

Para dar sequncia ao estudo desta unidade, abordando Progresses Arit-

mticas (P.A.) e Progresses Geomtricas (P.G.), disponibilizamos alguns recur-

sos complementares vinculados ao contedo do material didtico. Tais recursos

apresentam-se associados s atividades descritas detalhadamente neste mate-

rial. Sugerimos a sua realizao nas aulas subsequentes aula inicial de acordo

com a realidade da sua turma. Recomendamos que sejam feitas as alteraes eadaptaes sempre que achar necessrio.

Por fim, aconselhamos que a ltima aula desta unidade seja dividida em

dois momentos. O primeiro, dedicado a uma reviso geral do estudo realizado

durante esta unidade, consolidando o aprendizado do aluno a partir da retomada

de questes que surgiram durante o seu estudo. E o segundo, um momento de

M

ATERIAL

DO

PROFESSOR


56/212

56

avaliao do estudante, priorizando questionamentos reflexivos em detrimento da mera reproduo de exerccios

feitos anteriormente. Tambm disponibilizaremos algumas questes de avaliaes de larga escala, como Enem, Ves-

tibulares, Concursos Pblico, entre outros.

Apresentao da unidade do material do aluno

Caro professor, apresentamos, abaixo, as principais caractersticas desta unidade:

Disciplina Volume Mdulo UnidadeEstimativa de aulas para

essa unidade

Matemtica 1 3 2 6 aulas de 2 tempos

Titulo da unidade Tema

Regularidades numricas sequncias e progresses Sequncias

Objetivos da unidade

Identificar sequncias numricas e obter a expresso algbrica do seu termo geral;

Utilizar o conceito de sequncia numrica, para resolver problemas;

Diferenciar Progresso Aritmtica (P.A.) de Progresso Geomtrica (P.G.);

Utilizar as frmulas do termo geral e da soma dos termos da P.A. e da P.G., na resoluo de problemas.

Sees

Pginas no material do

aluno

Para incio de conversa... ----

Seo 1 As sequncias, regularidades e generalizaes. ----

Seo 2 As progresses Aritmticas. -----

Seo 3 Progresses Geomtricas. -----

Resumo e Concluso ----

Veja ainda -----

Respostas das atividades -----

O que perguntam por a? ----

Caiu na rede -----


57/212


Em seguida, sero oferecidas as atividades para potencializar o trabalho em sala de aula. Verifique a correspon-

dncia direta entre cada seo do Material do Aluno e o Material do Professor.

Ser um conjunto de possibilidades para voc, caro professor.

Vamos l!

Recursos e ideias para o Professor

Tipos de Atividades

Para dar suporte s aulas, seguem os recursos, ferramentas e ideias no Material do Professor, correspondentes

Unidade acima:

Atividades em grupo ou individuais

So atividades que so feitas com recursos simples disponveis.

Ferramentas

Atividades que precisam de ferramentas disponveis para os alunos.

Applets

So programas que precisam ser instalados em computadores ou smart-phonesdisponveispara os alunos.

Avaliao

Questes ou propostas de avaliao conforme orientao.

ExercciosProposies de exerccios complementares


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58

Atividade(s) inicial(is)

Descrevemos a seguir situaes motivadoras nas quais queremos que os alunos iniciem uma discusso co-

letiva e familiarizem-se com o contedo matemtico a ser trabalhado de forma emprica e com atividades de fcil

compreenso antes da formalizao. Sugerimos que voc escolha a que seja mais adequada sua realidade, ou, sepreferir, utilize uma atividade prpria.

Atividade Inicial

Tipos de

Atividades

Ttulo da

Atividade

Material


Diviso da

Turma

Tempo

Estimado

Torre de Hani

Aplicativo

Torre de Hani,

disponvel em

http://www.

ufrgs.br/psico-

educ/hanoi/ e

cpias da folha

de atividades

Torre de

Hani (dispo-

nvel na Seo

Aspectos ope-

racionais).

Nesta atividade, os alu-

nos iro tentar resolver o

problema da Torre de Hani

para diferentes nmeros de

discos. Para isso, eles tero

de criar uma sequncia

que associa o nmero de

discos ao menor nmero

de movimentos necessrios

resoluo e vo tentarestabelecer uma regra para

o termo geral dela.

Obs: Essa atividade foi

proposta em http://m3.ime.

unicamp.br/recursos/1361

Turma

disposta em

duplas

25 minutos


59/212


Tipos de

Atividades

Ttulo da

Atividade

Material


Diviso da

Turma

Tempo

Estimado

Reconheci-

mento de

Padres

Cpias da

folha de ativi-

dades Re-

conhecimento

de padres

(disponvel na

Seo

Aspectos ope-

racionais).

Nesta atividade, os alunos

iro tentar identificar pa-

dres em sequncias num-

ricas e no numricas.


proposta em Approaches

to Algebra: Perspectives

for Research and Teaching,

N. Bednarz, C. Kieran, L.

Lee (disponvel em http://

bookos.org/s/?q=approach

es+to+algebra+perspective

s+for+research+and+teachi

ng&t=0)

Turma dispos-

ta em duplas.25 minutos


60/212

60

Seo 1 As sequncias, regularidades

e generalizaes


-----

Tipos de

Atividades

Ttulo da

Atividade

Material


Diviso da

Turma

Tempo

Estimado

Cloro na

piscina

Vdeo Cloro

na piscina,

disponvel em

http://m3.ime.

unicamp.br/

recursos/1068,calculadoras e

cpias da Folha

de atividades

Medicao

(disponvel na

Seo

Aspectos

operacionais)

O vdeo utilizado nesta ati-

vidade apresenta rotinas de

aplicao de cloro em uma

piscina, deduzindo e anali-

sando matematicamente a

sequncia associada quan-

tidade de cloro adicionadasemanalmente. No pro-

blema proposto, os alunos

devero fazer uma anlise

anloga apresentada no

vdeo no caso de administra-

o de um remdio.




Turma dividida

em duplas ou

trios

25 minutos.

Generalizando

os termos da

Sequncia

Cpias da

Folha de

atividades

Generalizando

os termos da

Sequncia

(disponvel na

Seo Aspec-

tos operacio-nais).


iro observar uma sequn-

cia de imagens e deduziro

expresses algbricas que

generalizem as sucesses.

Obs: Essa atividade foi adap-

tada de http://revistaescola.

abril.com.br/matematica/

pratica-pedagogica/gene-

ralizacoes-calculos-algebri-

cos-602390.shtml. Acesso

em 22/06/2013

Turma dividida

em duplas.25 minutos.


61/212


Seo 2 As Progresses AritmticasPginas no material do aluno

-----

Tipos deAtividades

Ttulo daAtividade

MaterialNecessrio


TempoEstimado

Nmeros

Vizinhos

Cpias da folha

de atividades

Nmeros

Vizinhos (dis-

ponvel na Se-

o Aspectos

operacionais).


iro tentar identificar pa-

dres em sequncias num-

ricas dispostas em tabelas.

Turma dividida

em duplas.25 minutos.

Para correr a

So Silvestre

Vdeo Para

correr a So

Silvestre

disponvel em

http://m3.ime.

unicamp.br/re-

cursos/1150 e

cpias da Folhade atividades

Sequncia de

quadradinhos

(disponvel na

Seo

Aspectos

operacionais)

O vdeo utilizado nesta ati-

vidade descreve a logstica

de distribuio de gua aos

atletas durante a corrida de

So Silvestre. Ele tambm

deduz e analisa matema-

ticamente a sequncia

associada quantidade de

gua distribuda. Nos pro-

blemas propostos, os alunos

devero identificar o padro

de uma sequncia e obter a

frmula de seu termo geral.




Turma dividida

em d

MATEMATICA-MOD03-VOL01

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