Post on 23-Jul-2015
Universidade Católica Portuguesa
Funções reais
de
várias variáveis reais
Matemática I
Margarida Macedo Setembro de 2014
Alguns dos exemplos e exercícios apresentados foram
retirados de provas e outros documentos de trabalho
elaborados em colaboração com os restantes elementos
da equipa de Matemática:
José Júlio Meira Ramos
Margarida Corte-Real
Maria Helena Correia
Maria Manuela Maia
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 1
Índice
1. Funções de várias variáveis ...................................................................................
2
2. Domínio de uma função de duas variáveis ............................................................
6
3. Curvas de nível de uma função de duas variáveis .................................................
11
4. Derivadas parciais .................................................................................................. 16
4.1. Derivadas de 1ª ordem .................................................................................... 16
4.2. Derivadas de 2ª ordem ou superior ................................................................. 21
4.3. Derivada da função composta – Regra da cadeia ........................................... 27
5. Função definida na forma implícita .......................................................................
31
5.1. Teorema da Função Implícita ......................................................................... 31
5.2. Derivada da Função definida na forma implícita ............................................ 31
6. Diferencial ............................................................................................................. 36
7. Polinómio de Taylor .............................................................................................. 41
8. Homogeneidade ..................................................................................................... 43
9. Optimização ........................................................................................................... 47
9.1. Extremos livres de funções com duas variáveis .............................................
47
9.2. Cálculo de extremos livres de funções com duas variáveis ............................
48
9.3. Cálculo de extremos condicionados de funções com duas variáveis ..............
51
9.3.1. Condições de igualdade – método da função auxiliar de Lagrange ...... 51
9.3.2. Condições de desigualdade – método da Karush-Kuhn-Tucker ............ 57
Bibliografia ............................................................................................................ 60
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 2
1. Funções de várias variáveis
Uma função pode ser definida como uma relação entre dois conjuntos, onde a cada
elemento do domínio (um subconjunto do conjunto de partida) está associado um e um só
elemento do contradomínio (um subconjunto do conjunto de chegada). Nas funções reais
com uma variável real, tanto os objectos como as imagens são números reais. Este
capítulo aborda conceitos relativos a funções reais de várias variáveis reais, ou seja, o
domínio é um subconjunto de nR
RxxxxR inn ;,...,, 21
Em particular:
Função de duas variáveis: Uma função f de duas variáveis é uma relação que associa a
cada par ordenado de números reais (x,y) um único valor real representado por f(x,y). Pode-
se representar ),( yxfz para tornar explícitos os valores tomados por f num ponto
genérico. As variáveis x e y são variáveis independentes, e z a variável dependente.
Ou seja, uma função de duas variáveis é uma função cujo domínio é um subconjunto de
2 e cuja imagem é um subconjunto de . Uma maneira de visualizar tal função é pelo
diagrama sagital, onde o domínio D é representado como um subconjunto do plano Oxy.
Exemplo:
Função de Produção de Cobb-Douglas – função que relaciona a produção com as
variáveis quantidade de trabalho e capital:
1),( yCxyxp ( parâmetro real)
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 3
em que x representa o número de unidades de trabalho, y o número de unidades de capital e
p(x,y) o número de unidades produzidas a eles associado.
Problema:
Um fabricante estima que a produção de determinado produto, medida em unidades,
admite como modelo 4,06,0100),( yxyxf , em que x representa o trabalho (em
pessoas/hora) e y o capital em milhares de unidades monetárias.
a) Qual é o nível de produção quando x = 1000 e y = 500?
b) Como é afectada a produção quando se duplicam as quantidades de trabalho e
capital?
c) Como é afectada a produção quando se triplicam as quantidades de trabalho e
capital?
Resolução:
a) 4,06,0 5001000100)500,1000(f 75785,83 (unidades)
b) ),(2100222100)2,2( 4,06,04,06,04,06,0 yxfyxyxyxf a produção duplica
c) ),(3100333100)3,3( 4,06,04,06,04,06,0yxfyxyxyxf a produção triplica
Se f é uma função de duas variáveis com domínio D, então o gráfico de f é o conjunto de
todos os pontos (x, y, z) em 3 tal que ),( yxfz e (x, y) pertencem ao domínio D.
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 4
Exemplos:
1) yxyxf 236),( no 1º octante
2) 229),( yxyxg
3) 224),( yxyxh .
4) 22
)3(),( 22 yxeyxyxf
Funções reais de várias variáveis reais
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5) yxyxf sensen),(
6) xy
yxyxf
sensen),(
Função de três variáveis: uma função f de três variáveis é uma relação que associa a cada
terno ordenado (x, y, z) de um domínio 3D um único número real representado por
),,( zyxf .
Exemplo:
Pagamento mensal para amortização de um empréstimo
t
r
cr
trcM12
121
11
12),,(
em que M é o pagamento mensal para a amortização de um empréstimo de c u.m. em t
anos, à taxa anual de r.
Funções reais de várias variáveis reais
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2. Domínio de uma função de duas variáveis
Domínio de uma função f é o conjunto dos elementos do conjunto de partida para os quais
a expressão analítica que define a função tem significado. Em particular, se a função f é
de duas variáveis, o domínio da função dá origem a um conjunto de pares ordenados que
constituem um domínio plano.
Para determinar o domínio de uma função, independenetemente do número de variáveis,
deveremos ter em conta que:
O denominador de uma fracção deverá ser diferente de zero
O argumento de um logaritmo deverá ser maior que zero
O radicando de uma raíz de índice par deverá ser maior ou igual a zero
O argumento de um arcsen ou arccos deverá estar compreendido entre -1 e 1
Exemplos:
Determinar analiticamente e representar geometricamente o domínio de algumas
funções:
1) 1
1),(
x
yxyxf
0101:, 2 xyxRyxD
2) )ln(),( 2 xyxyxf
0:, 22 xyRyxD
Funções reais de várias variáveis reais
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3) 229),( yxyxg
9:,
09:,
222
222
yxRyx
yxRyxD
4) yx
yxyxf
ln),(
xy
xy
xy
xy
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yxRyxD
0
0
0
00
0:, 2
5)
x
yxf
1ln
)(
111
01
ln
001
01
ln01
:, 2
xxx
xx
xxRyxD
y
0 x
y = - x y y = x
x
x=1
Funções reais de várias variáveis reais
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6)
2arcsenln 2 x
yxz y x=2
2 2
2 2
, : 0 1 12
0
1 1 2 22
xD x y R x y
x y x y
xx
0
7) x
yxyxf
2ln),(
y
y = x
2, : 02
0 00
2 2 0 2 0 0 0
x yD x y R
x
x y x y y x y xx y
x x x x x
0 x
8) 2
2
ln),(y
xyxf
y
2
2
2
2
2
, : 0
0 0 0
xD x y R
y
xx y
y
9) 22
22 4ln),(
yxxy
yxyxg
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
, : 4 0 0 0
4 0 4 0 4
0 0 0
0 00 0
0 0
D x y R x y xy x y
x y x y x y
xy x y
x y x y y x y xx y x y x y
x y x y y x y x
x = 2
x
0
x
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2
x
-2
10) 221
1,
yx
xyxf
2 2 2( , ) : 0 1 0D x y R x x y 1
2 2 2 21 0 1x y x y
-1 1 x
11) yx
xyxf
,
2( , ) : 0x
D x y Rx y
0 0 0 0
00 0
x x x xx
x y x y y x y xx y
12. xyx
xyxyxf
2
2,
22
22
2 22
2 2
2 22 22 2 2 22 2
2 2 2 2 2 2 2 22 2
2( , ) : 0
2
1 1 1 12 0 2 020
2 2 0 2 0 1 1 1 1
x y xD x y R
x y x
x y x yx y x x y xx y x
x y x x y x x y x x y x y
y = - x y = x
Funções reais de várias variáveis reais
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-
x
y
13) , arccosx
f x y xy
2( , ) : 1 1x
D x y Ry
1 1 1 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
x x x x y x y
y y y y y
x y x y x y x y
y y y y
y x y x
y y
0 0
y x y x
y y
y = x y = -x
0 x 0 x
-1 1
Funções reais de várias variáveis reais
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A intersecção das duas figuras fica:
y = -x y = x
0 x
3. Curvas de nível de uma função de duas variáveis
As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são as linhas (no domínio de f), com
equação kyxf ),( , onde k é uma constante real.
Uma curva de nível kyxf ),( é o conjunto de todos os pontos do domínio de f nos quais
o valor de f é k. Por outras palavras, mostra onde o gráfico de f tem cota k.
Consequentemente, todos os pontos de determinada curva de nível têm a mesma imagem.
x
Funções reais de várias variáveis reais
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Na figura da página anterior, pode ser observada a relação entre curvas de nível e os traços
horizontais. As curvas de nível kyxf ),( são apenas traços do gráfico de f no plano
horizontal kz projetado sobre o plano Oxy. A superfície será mais inclinada onde as
curvas de nível estiverem mais próximas uma das outras e mais plana onde as curvas de
nível estiverem mais distantes uma das outras.
Exemplos:
Esboçar algumas curvas de nível de algumas funções:
1) yxyxf 236),(
2) 229),( yxyxg
As figuras abaixo mostram algumas curvas de nível geradas por computador juntamente
com os gráficos correspondentes.
3) 224),( yxyxh
Funções reais de várias variáveis reais
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4) 22
),( yxxyeyxf
5)1
3),(
22
yx
yyxf
As curvas de nível são utilizadas, entre outras aplicações, para a elaboração de mapas
topográficos. Neste caso, ),( yxf representa a elevação (em metros) em um ponto yx,
de latitude x e longitude y. Na colina da figura esboçada (em três dimensões) encontram-se
as curvas correspondentes às elevações de 0, 100, 200, 300 e 400 metros, por exemplo.
Essas curvas podem ser encaradas como tendo sido obtidas cortando-se a colina em
“fatias” paralelas à base. O “caminho” ao longo de uma dessas curvas permanece sempre à
mesma altitude.
Funções reais de várias variáveis reais
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Mapa análogo é utilizado para indicar a profundidade da água num lago. Um exemplo é o
da figura abaixo, em que ),( yxf é a profundidade da água no ponto yx, . Esse mapa
informa as partes do lago que devem ser evitadas por esquiadores aquáticos.
Como outra ilustração das curvas de nível, a figura ao lado exibe um mapa meteorológico,
em que ),( yxf representa a temperatura durante certo dia. Ao longo das curvas e do
nível, chamadas curvas isotérmicas, a temperatura é constante. Quando ),( yxf representa
a pressão barométrica em yx, as curvas de nível neste caso serão chamadas isobáricas.
No caso das funções de três variáveis x, y e
z, então, por definição, as superfícies de
nível de f são os gráficos de kzyxf ),,(
para valores convenientes de k. Fazendo
210 ,, wwwk , os gráficos resultantes serão
superfícies 210 ,, SSS , ilustradas ao lado. A
função ),,( zyxf não se altera quando um
ponto ),,( zyx se move ao longo de uma
dessas superfícies. Se ),,( zyxf é a
temperatura em ),,( zyx , as superfícies de nível são superfícies isotérmicas, e a
temperatura é constante em cada superfície. Se ),,( zyxf representa o potencial elétrico,
as superfícies de nível são superfícies equipotenciais, e a voltagem não se altera se
),,( zyx permanece em uma dessas superfícies.
Funções reais de várias variáveis reais
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Exemplos:
1) Determinar as curvas de nível da função yx
xyxf
, :
x
kx y
é impossível se k < 0, logo não existe curva de nível;
0 0x
x y xx y
(eixo dos yy, excepto a origem (0,0))
Se k > 0: 2
2 2 2
2
1x x kk k x k x k y y x
x y x y k
As curvas pedidas são as que pertencem à família de semi-rectas de origem em
(0,0), sem incluir esse ponto, já que y x , de acordo com o domínio da função.
2) Determinar a curva de nível de valor 0 da função xyx
xyxyxf
2
2,
22
22
:
2 2
2 2 2 2
2 2
20 2 0 2 0
2
x y xx y x x y x
x y x
A curva é a circunferência de centro (-1,0) e raio 1, excepto o ponto (0,0).
3) Determinar a curva de nível de , arccosx
f x y xy
à qual pertence o ponto 1,0 :
arccos
0 arccos0 0
arccos 0 0 arccos 0 0 1 0
xx k
y
k k
x x xx x x x y x
y y y
A curva de nível pedida é a reunião das rectas x = 0 (eixo dos yy) e y = x, sem incluir
a origem, já que esta não pertence ao domínio.
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4. Derivadas parciais
4.1. Derivadas de 1ª ordem
Seja f uma função de duas variáveis; as suas derivadas parciais de 1ª ordem são as funções
x
f
e
y
f
definidas por
h
yxfhyxfyx
y
f
h
yxfyhxfyx
x
f
h
h
),(),(lim),(
),(),(lim),(
0
0
Estas são as derivadas parciais de 1ª ordem.
Outras notações:
),(),(,
),(),(,
yxfyxfy
yxy
f
yxfyxfx
yxx
f
y
x
Regra prática para determinar as derivadas parciais de ),( yxfz :
(1) Para determinarx
f
, considera-se y como uma constante e deriva-se ),( yxf em
relação a x.
(2) Para determinary
f
, considera-se x como uma constante e deriva-se ),( yxf em
relação a y.
Exemplo: Sendo 2323 2),( yyxxyxf , então
yyxyxy
f
xyxyxx
f
43,
23,
22
32
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 17
Para dar uma interpretação geométrica para as derivadas parciais, recorde-se que a equação
),( yxfz representa a superfície S (que corresponde ao gráfico de f). Se cbaf ),( ,
então o ponto ),,( cbaP pertence a S. Fixando by , restringimos a nossa atenção à curva
1C na qual o plano vertical by intercepta S. Da mesma forma, o plano vertical ax
intercepta S na curva 2C . As curvas 1C e 2C passam pelo ponto P.
As derivadas parciais x
f
e
y
f
podem ser interpretadas geometricamente como as
inclinações das retas tangentes em ),,( cbaP às linhas 1C e 2C de S nos planos by e
ax .
Por outro lado, se ),( yxfz , então x
f
representa a taxa de variação de z com relação a x
quando y é mantido fixo. Da mesma forma, y
f
representa a taxa de variação de z em
relação a y quando x é mantido fixo.
Exemplos:
1) 22 24),( yxyxf
41,14,
21,12,
y
fyyx
y
f
x
fxyx
x
f
Funções reais de várias variáveis reais
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2)
y
xyxf
1sen),(
211
cos
1
1
1cos
y
x
y
x
y
f
yy
x
x
f
3) 1
( , )2
x yf x y
x y
2 2
2 2
2 1 2 3
2 2
2 1 2 1
2 2
x y x yf y
x x y x y
x y x yf x
y x y x y
4) ( , )g x y xy 2
2
g y
x xy
g x
y xy
Funções reais de várias variáveis reais
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5) 5
( , )4
yh x y
x
2
5
4
1
4
yh
x x
h
y x
6) 2 2
2 2
5 3( , )
x yf x y
x y
2 2 2 22
2 22 2 2 2
2 2 2 22
2 22 2 2 2
10 2 5 3 16
6 2 5 3 16
x x y x x yf xy
xx y x y
y x y y x yf x y
yx y x y
7) 2 2cosz x y
2
2 2 2
2 cos
2cos sen 2 sen cos sen 2
zx y
x
zx y y x y y x y
y
8) arctgz xy
2
2
1
1
z y
x xy
z x
y xy
9) arctgy
zx
2
2
2
1
1
1
y
z x
x y
x
z x
y y
x
Funções reais de várias variáveis reais
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10) 2
2( , ) ln
2
x yf x y
x
2 2
22
2 2 2
2
2
2 2
2
2 2 2
2 4 2
2
2
1
12
2
x x x y x
xf x xy
x x y x y x
x
f x
y x y x y
x
11) x y
zy x
2
2
1
1
z y
x y x
z x
y xy
12)
2
1( , )
2
x y
h x y
2 2
2
2 21 1 1ln ln 2
2 2 2
1ln 2 2
2
x y x y
x y
hy y
x
hxy
y
De modo análogo, podem ser definidas derivadas parciais de funções de três ou mais
variáveis:
h
zyxfhzyxfzyx
z
f
h
zyxfzhyxfzyx
y
f
h
zyxfzyhxfzyx
x
f
h
h
h
),,(),,(lim),,(
),,(),,(lim),,(
),,(),,(lim),,(
0
0
0
Genericamente:
Se u é uma função de n variáveis, ),..,,( 21 nxxxu , a sua derivada parcial em relação à sua
i-ésima variável é:
h
xxxfxxhxxxf
x
u niniii
hi
),...,,...,(,...,,,,...,lim 1111
0
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 21
Exemplos:
1) zezyxf xy ln),,(
z
ezyx
z
f
zxezyxy
f
zyezyxx
f
xy
xy
xy
,,
ln,,
ln,,
2) 2 2 2x y zt e
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
x y z
x y z
x y z
tx e
x
ty e
y
tz e
z
4.2. Derivadas de 2ª ordem ou superior
Se f é uma função de duas variáveis, as suas derivadas parciais x
f
e
y
f
são funções de
duas variáveis; de modo que podemos considerar novamente as suas derivadas parciais em
ordem a qualquer uma das variáveis, chamadas derivadas parciais de segunda ordem de f.
Assim, sendo ),( yxfz temos as seguintes notações:
xxxx ffx
f
xx
f
2
2
yyyy ffy
f
yy
f
2
2
xyyx ffx
f
yxy
f
2
yxxy ffy
f
xyx
f
2
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 22
Exemplo:
Voltando a um exemplo anterior, 2323 2, yyxxyxf , já tinham sido calculadas as
derivadas de 1ª ordem:
yyxyxy
fxyxyx
x
f43,e23, 2232
; assim,
22
22
2
2
23
2
2
6,e6,,46,,26, xyyxxy
fxyyx
yx
fyxyx
y
fyxyx
x
f
O facto de xy
f
yx
f
22
e serem iguais, resulta do Teorema de Clairaut-Schwarz-Young:
“Dada uma função yxf , e fDyx 00 , , se as funções xy
f
yx
f
22
e forem ambas
contínuas em 00 , yx , então 00
2
00
2
,, yxxy
fyx
yx
f
” (a generalidade das funções
utilizadas em Economia e Gestão verificam este pressuposto).
As derivadas parciais de ordem três ou superior também podem ser definidas de modo
análogo; por exemplo,
2
22
2
3
y
f
xxy
f
yxy
f (ou seja, devem ser calculadas três
derivadas sucessivas, uma em ordem a x e duas em ordem a y, por qualquer ordem).
Exemplo:
Sendo )3(sen),,( yzxzyxf , calcular zxy
f
2
4
:
yzxzyzxzzyx
f
yzxzyx
f
yzxzyx
fyzx
x
f
3cos63seny3
3cos3
3sen33cos3
2
2
4
2
2
3
2
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 23
Exercícios resolvidos:
1) Dada a função
x
yxf
1ln
)( , calcular f
x
e
f
y
.
Resolução:
22
2
1ln
1ln
1
1
x
x
y
x
x
xy
x
f e
x
y
f
1ln
1
2) Seja g(x,y) = arctgyx
yx
. Mostre que 0
g gx y
x y
.
Resolução:
yx
yxyxx
x
yx
yx
yxx
yx
x
yx
yx
yx
yx
yx
x
y
g
yx
yxyxx
y
yx
yx
yxx
yx
y
yx
yx
yx
yx
yx
y
x
g
221
2
2
221
2
2
2
2
2
2
substituindo,
0
222
yx
yxyxx
xyxy
yx
yxyxx
xy
yx
yxyxx
yx
y
gy
x
gx
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 24
3) Dada a função
2arcsenln 2 x
yxz , calcule z
x
.
Resolução:
2
2
2
2
2
2
4
1ln
2arcsen
1
21
2
1
ln2
arcsen1
xyx
x
yx
x
yxx
yxx
z
4) Mostre que se 22 yxz então 0332
22
y
zy
yx
zx .
Resolução:
2222
2
2222
222
22
22
22
2
2
2222
2
22
222
2222
2
2
2
2
2
2
yxyx
x
yxyx
yyx
yx
yx
yyyx
y
z
yxyx
y
yx
yx
yy
yx
z
yx
y
yx
y
y
z
Substituindo:
0332222
2
2222
2
yxyx
xy
yxyx
yx
5) Seja 2
2
ln),(y
xyxf ; calcular
f
x
e
f
y
.
Resolução:
2
2 4
2 2
2 2
2 2
2 2
x x y
f fy y
x x y yx x
y y
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 25
6) Sendo 221
1,
yx
xyxf
, calcule as derivadas de 1ª ordem de f.
Resolução:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
11 1
2 1
1
11
1
xx y x
x x yf
x x y
yx
x yf
y x y
7) Considere a função , arctgx y
U x yx y
. Determine o conjunto de pontos yx, que
satisfazem a equação yxUy
Uxy
x
Uyx ,22
.
Resolução:
2
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
, arctg
2
1
2
1
2 20
x yU x y
x y
x y x y
x yU y
x x y x yx y
x y
x y x y
x yU x
y x y x yx y
x y
U U y xx y y x x y y x
x y x y x y x y x y
arctg 0 0x y x y
x y x yx y x y
Os pontos que verificam a condição indicada são os pontos da recta y = x, excepto o
ponto ( 0,0 ).
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 26
8) Dada a função definida por , arccosx
f x y xy
,
a) Calcule as derivadas de 1ª ordem da função.
b) Calcule 1,02
2
x
f
e ,0
2
yx
f
.
Resolução:
a) 222
arccos
1
arccosxy
x
y
x
y
x
y
x
y
x
x
f
22
2
2
2
2
1xyy
x
y
x
y
x
y
f
b)
22 2 2 2
2 2 2 22
2 2 2 2 22 2 2 2
2
21 1
x xy x x y x
y x y xf
x y x y xy x y x
2
2
01 0
1 1 00,1 1 1 2
1 01 0
f
x
32 2 2 2 2
2 2 2 22
2 2 2 2 2
2
2 2
22 2
2
0 00, 0
0
x xxy y x x y x y x
y x y xf
x y y y x y y x
f
x y
9) Seja f uma função real de variável real diferenciável e h uma função real de duas
variáveis reais definida por 22
),(yxf
yyxh
. Mostre que yxxh
y
hxy
x
hy ,2
.
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 27
Resolução:
2 2
22 2
2 2 2 2
22 2
3 2 2 2 2 3 2 2
2
2 2 2 22 2 2 2
' 2
' 2
2 ' 2 ',
y f x y xh
xf x y
f x y y f x y yh
yf x y
xy f x y xyf x y xy f x yh h xyy xy x h x y
x y f x yf x y f x y
4.3. Derivada da função composta – Regra da cadeia
1º caso: Seja ),( yxfz uma função diferenciável de x e y, onde )(tgx e )(thy são
funções diferenciáveis em t. Então z é uma função diferenciável de t e
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
x
u t
y
Exemplo:
Se 42 3xyyxz , onde tx 2sen e ty cos , determinar dt
dz quando t = 0.
tdt
dyt
dt
dxxyx
y
zyxy
x
zsene2cos2,12,32 324
tttttttt
txyxtyxydt
dz
sencos2sen 122sen2cos2cos3cos2sen 2
sen122cos232
324
324
6230sen0cos0sen120sen0cos20cos30cos0sen 2 324
0
tdt
dz
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 28
2° caso: Seja ),( vufz uma função diferenciável de u e v, onde ),( yxgu e ),( yxhv
são funções diferenciáveis em x e y.
u x
z
v y
Então z é uma função diferenciável de x e de y, ou seja, admite derivadas parciais
contínuas dadas por:
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
e
y
v
v
z
y
x
u
z
y
z
Exemplo: Sendo yez xsen , onde 2stx tsy 2 , determinar s
z
e
t
z
.
sttsettsestyetyes
y
y
z
s
x
x
z
s
z ststxx 2cossen2cossen 222222
222222 cos2sencos2sen stsesttsesyestyet
y
y
z
t
x
x
z
t
z ststxx
Caso Geral: Os casos anteriores podem-se generalizar de acordo com o número de
funções e de variáveis envolvidas. Assim, sendo u uma função diferenciável
de n variáveis nxxx ,..,,. 21 , onde cada jx é uma função diferenciável de m
variáveis mttt ,...,, 21 , tem-se
i
n
niii t
x
x
u
t
x
x
u
t
x
x
u
t
u
...2
2
1
1
para cada i = 1, 2,..., m.
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 29
Exercícios resolvidos:
1) Sendo
y
xyxu senln),( , 23)( ttx e 21)( tty , calcule
dt
du utilizando a regra
da derivação da função composta.
Resolução:
2
2 3 2
4 4 4 42 2 2 2 2
1
21cos cos
61
se n s e n
6 3 3 3 cotg cotg
1 1 2 1 1 1
xyx x
yy y ydu u dx u dy tt
dt x dt y dt x x t
y y
t t t t
t t t t t
2) Seja
y
xyxz arctg),( , vuvux sin),( e vuvuy cos),( . Utilizando a regra da
derivação da função composta, mostre que 0
u
z e 1
v
z.
Resolução:
x u z y v
2
2 2 2 2
2 2
1
sen cossen cos
1 1
sen cos - sen cos 0
x
z z x z y y v x vy yv v
u x u y u y xx x
y y
u v v u v v
y x
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1
cos sencos sen
1 1
cos sen 1
sin cos
x
z z x z y yu v xu vy yu v u v
v x v y v y xx x
y y
u v u v
u v u v
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 30
3) Sendo gfz . , em que
122
2
yxg
ef y
, verifique, através da aplicação das regras de
derivação composta, que é verdadeira a expressão y
fg
y
z
1 .
Resolução:
yy
g
yey
f
fg
z
gf
z y
2
2
2
y
fgyxye
yeyeyxyfyegy
g
g
z
y
f
f
z
y
z
y
yyy
122
22122
22
22
2
222
4) Sendo zyxh ,, tal que eex
h
0,,0 , 10,,0
e
y
h e ee
z
h
0,,0 , mostre que
22 1ln,,sin),( xexyhyxH y verifica 01,01,0
y
H
x
H.
Resolução:
u x
h v
w y , 0,1 , , 0, ,0x y u v w e
xdx
dwwvu
w
hyx
x
uwvu
u
hyx
x
H.,,,.,,,
2
22
1
2.cos.,
x
x
w
hyxy
u
hyx
x
H
eeu
hwvu
u
h
x
H
)0cos(.0,,00cos.)0(),1(),1,0(1,0
yy
vwvu
v
hyx
y
uwvu
u
hyx
y
H
.,,,.,,,
yev
hxyxy
u
hyx
x
H.2.cos., 2
eeev
h
y
H
1.0,,01,0 ; logo, 01,01,0
y
H
x
H
f
g
z
x
y
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 31
5. Função definida na forma implícita
Em R, geralmente, uma função está definida por uma expressão do tipo y = f(x), ou seja, y
está definida como função de x na forma explícita. Por exemplo, 73 25 xxy .
No entanto, por vezes, as funções são dadas de forma implícita, ou seja por uma equação
do tipo F(x, y) = 0. No exemplo apresentado, seria 073 25 xxy .
Dada uma equação do tipo F(x,y) = 0, nem sempre é possível explicitar uma das variáveis
em função da outra. Ainda assim, em determinadas condições, continua a ser possível
calcular a derivada y’(x) ou dx
dy.
5.1. Teorema da Função Implícita
Seja F: 2 ; se:
(1) 0, 00 yxF ,
(2) y
f
x
f
e existem e são contínuas numa vizinhança V de 00 , yx
(3) y
f
0, 00 yx
então, a equação F(x, y) = 0 define implicitamente y como função de x em qualquer
vizinhança de 00 , yx contida em V, isto é, existe uma função f derivável definida em V,
com y = f(x), tal que f 0x = 0y e F(x, f(x)) = 0. Os pontos que verificam as condições do
teorema acima chamam-se pontos ordinários.
5.2. Derivada da Função definida na forma implícita:
Nas condições do teorema anterior, é possível calcular y’, ou dx
dy:
y
Fx
F
dx
dy
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 32
Exemplo:
Determinar y’ se xyyx 633 .
xy
xy
xy
yx
y
Fx
F
dx
dy
xyy
F
yxx
F
xyyxxyyx
yxF
2
2
63
63
63
63
066
2
2
2
2
2
2
),(
3333
O Teorema da Função Implícita e a regra de derivação indicada podem ser generalizados a
funções de n variáveis reais. No caso de uma equação da forma F(x,y,z) = 0, que define z
como função implícita de x e y, tem-se:
z
Fx
F
x
z
e
z
F
y
F
y
z
Exemplo:
Determinar y
z
x
z
e , se 16333 xyzzyx .
xyz
xzy
xyz
xzy
dy
z
xyz
yzx
xyz
yzx
dx
z
xyzz
F
xzyy
F
yzxx
F
xyzzyxxyzzyx
zyxF
2
2
63
63
2
2
63
63
63
63
63
01616
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
),,(
333333
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 33
Exercícios resolvidos:
1) Admita que )(xfy é uma função derivável definida implicitamente pela equação
12 xyxy .
a) Mostre que
1)(2
)(1'
2
xfx
xfxf , para todo o fDx e 01)(2 xfx .
b) Escreva a equação da recta tangente ao gráfico da função y = f (x) no ponto (0,1).
Resolução:
a) 011
),(
22
yxF
xyxyxyxy
1)(2
)(1
12
1)´(
22
xxf
xf
xy
y
y
Fx
F
xf ( note-se que y = f(x) )
b) Recorde-se que a equação da recta tangente ao gráfico de uma função y = f (x) num
ponto de abcissa 0x , é dada por
000 )(')( xxxfxfy
No exemplo em causa, fica 120)0('1 xyxfy
2) Sendo )(xfy uma função definida implicitamente pela equação xyyx 633 ,
determinar y’ no ponto de abcissa zero.
Resolução:
000
6
3
33
yyx
xyyx
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 34
Concluimos no primeiro exemplo da página 34, que xy
xyxf
2
2)('
2
2
. Se substituirmos
x e y pelas coordenadas (0,0), fica 0
0)(' xf , que não nos permite calcular o valor
pretendido. Isso resulta do facto de 00,0
y
F, o que contraria o Teorema da Função
Implícita – estamos em presença de um ponto singular. Nestas condições, a técnica de
cálculo da derivada é outra, que corresponde a derivar ambos os membros da igualdade em
ordem a x (de acordo com o seguinte exemplo):
'6'336 2233 xyyyyxxyyx
Substituindo (x,y) por (0,0), fica 0 = 0 (esta redundância resulta em todos os pontos
singulares); repetindo o processo (depois de simplificar a igualdade obtida):
0)'''(2'2''''22
0'22''6'33
2
2222
xyyyyyyyyx
xyyyyxxyyyyx
Substituindo (x,y) por (0,0), fica 0'0'2'2 yyy
3) Seja )(ln),( 22 yxyxg ; calcule dx
dy no ponto
2,
2,
eeyx , em que )(xy é a
função definida implicitamente por 01),( yxg .
Resolução:
1)ln(),(01)ln(01),( 2222 yxyxFyxyxg
0
22
22
2),(
2,
2
22 ee
e
y
F
yx
y
y
yxF
eeé um ponto ordinário, pode ser
usado qualquer um dos métodos
1º método:
y
yxFx
yxF
dx
dy
),(
),(
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 35
22
22
2),(
2),(
yx
y
y
yxF
yx
x
x
yxF
y
x
yx
y
yx
x
dx
dy
22
22
2
2
No ponto
2,
2,
eeyx , 1
2
2
e
e
dx
dy
2º método:
01)(ln 22 yx
y
xyyyx
yx
yyx
'0'220
'2222
No ponto
2,
2,
eeyx , 1
2
2
e
e
dx
dy
4) Considere a função )(xy , definida na forma implícita por 2 23 2y x x y xy
a) Calcule a derivada dx
dy nos pontos (1,1) e (0,0).
Resolução:
2 26 ' 3 4 2 ' 'yy x y xy x y y xy
No ponto (1,1), fica: 3
2''1'243'6 yyyy
Em (0,0) fica 0 = 0; derivando novamente,
'''')'''2(2)'(4'6'6''6''6
''243'6
2
22
xyyyyxxyxyyyyyyxyyxyy
xyyyxxyyxyy
Em (0,0) fica 0''20 yy
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 36
b) Calcule a derivada 2
2
dx
yd no ponto (0,0).
Resolução:
Na alínea anterior, foi obtida a expressão
'''')'''2(2)'(4'6'6''6''6 2 xyyyyxxyxyyyyyyxyyxyy
simplificando, fica
0'''2''2'84'12''6'6 22 xyyyxxyyyyxyyxy
Derivando novamente:
0'''''''2'''''22
'''8'4''''12''''''''6''''26
2
2
xyyyyxxy
xyyyyyyyyyxyyxyyyxyy
Em (0,0), com y’ = 0 (determinado em a), fica:
00''''20020080400120006006 2 yy
Donde resulta 0''2
2
dx
ydy no ponto (0,0).
6. Diferencial
Seja y = f (x) uma função real de variável real em que x é a variável independente.
Quando x sofre uma variação x, positiva ou negativa (a que chamamos incremento de x),
y também sofre uma variação correspondente, y (que pode ser positiva, negativa ou nula).
Em particular, quando x varia de x0 até x0 + x, y é a variação correspondente no valor
de y, de f (x0) até f (x0 + x), conforme ilustra a figura.
A variação exacta é dada por y = f (x0 + x) – f (x0).
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 37
y
Suponhamos que f é diferenciável em x0. Como f’(x0) é o declive da reta tangente ao
gráfico de f em (x0, f(x0)), dy = ’(x) dx.
Então, dy é uma aproximação da variação da função f quando x varia x0 até x0 + x, ou seja
xxfxfxxfxxfxfxxfy 000000 ')()()(')()(
A dy chama-se diferencial da função f e é calculado pela expressão dy = ’(x) dx.
Este conceito é generalizado a funções de variável multidimensional:
Seja f uma função de várias variáveis independentes, n21 ..., , , xxx . Seja ix o incremento
da variável ix . Então, o incremento de ) ..., , ,( n21 xxxfz associado, z , é dado por
z ) ..., , ,()..., ,,( n212211 xxxfxxxxxxf nn
Para ilustrar a definição anterior, vamos considerar uma função de duas variáveis do tipo
z = f (x , y) , em particular a equação de um plano:
dy
dx
x0 + x
f(x0 + x)
f (x)
f(x0)
x0
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 38
Define-se diferencial dz de uma variável dependente ) ..., , ,( n21 xxxfz , através da
igualdade
n
n
xx
fx
x
fx
x
fdz
2
2
1
1
Esta noção de diferencial pode ser utilizada no cálculo do valor aproximado de uma
função num ponto:
Conhecidos o ponto inicial n21 ..., , , xxx , o ponto objectivo (após as variações)
)..., ,,( 2211 nn xxxxxx e o diferencial dz, é possível calcular um valor aproximado
da imagem do ponto objectivo:
dzxxxfxxxxxxf nn ) ..., , ,()..., ,,( n212211
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 39
Exemplo:
Dada a função xyxyxf 23),( , calcular:
a) A variação exacta de f quando (x,y) varia de (1,2) para (1,01 ; 1,98).
065,01065,1)2,1()98,1;01,1( fff
b) O diferencial da função.
yxxyxyy
fx
x
fdf
6
c) Um valor aproximado da variação de f, calculado com recurso à expressão do
diferencial, quando (x , y) varia de (1,2) para (1,01;1,98).
06,0
02,004,0
14
02,0298,1
01,0101,1
6
)2,1()2,1(
f
f
yxf
yy
fx
x
ff
y
x
yxxyxyy
fx
x
ff
d) Um valor aproximado de f(1,01;1,98), calculado com recurso à expressão do
diferencial.
06,1)98,1;01,1(
06,01)98,1;01,1(
06,0)2,.1()98,1;01,1(
f
f
fff
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 40
Exercício resolvido:
Calcule, usando a noção de diferencial, um valor aproximado de 98,005,0
22
01,2
e.
Resolução:
Por analogia com a expressão enunciada, considera-se
zy
ezyxf
x
22),,(
Ponto inicial: (2 , 0 , 1)
Ponto objectivo: (2,01 ; 0,05 ; 0,98)
02,0198,0
05,0005,0
01,0201,2
z
y
x
2
)1,0,2(22
ex
f
zy
e
x
f x
02
2
)1,0,2(22
22
y
f
zy
zy
ye
y
f
x
2
)1,0,2(22
222
2
ez
f
zy
zy
ze
z
f
x
então
2217,002,005,0001,0 22
)1,0,2()1,0,2()1,0,2(
feef
zz
fy
y
fx
x
ff
donde resulta 61,798,005,01098,005,0
22
01,2
22
2
22
01,2
ef
ee
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 41
7. Polinómio de Taylor
Seja f uma função real de variável real com derivadas de ordem k para k = 1, 2, ..., n numa
vizinhança de a fDa . Então, pode ser definido polinómio de Taylor de ordem n
gerado por f no ponto a:
nn
kk
kn
k
k
n
axn
afax
k
afax
afaxafaf
axk
afxP
)(!
)(...)(
!
)(...)(
!2
)´´())(´()(
)(!
)()(
)()(2
0
)(
No caso particular de a = 0, chama-se polinómio de Mac-Laurin:
n
k
nn
kk
xn
fx
fxffx
k
f
0
)(2
)(
!
)0(...
!2
)0´´()0´()0(
!
)0(
Estes conceitos, podem ser generalizados a funções de variável multidimensional, em
particular à funções de duas variáveis:
Seja f (x,y) uma função que admite derivadas parciais de 1ª ordem, contínuas numa
vizinhança do ponto 00 , yx . Então o polinómio de Taylor de 1º grau é dado pela
expressão
yyy
fxx
x
fyxfxP
yxyx
0
0,0
0
0,0
00 ,)(
;
analogamente
Seja f (x,y) uma função que admite derivadas parciais de 1ª e 2ª ordem numa vizinhança do
ponto 00 , yx . Então o polinómio de Taylor de 2º grau é dado pela expressão
2
2,)(
0
2
2
2
0,0
00
2
0,0
02
2
2
0,0
0
0,0
0
0,0
00
yy
y
fyyxx
yx
f
xx
x
fyy
y
fxx
x
fyxfxP
yxyx
yxyxyx
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 42
O polinómio de Taylor permite calcular um valor aproximado de uma função num ponto,
através de uma aproximação polinomial. A aproximação através do polinómio de Taylor
de grau 1, corresponde à aproximação com recurso ao diferencial, vista no ponto anterior.
A aproximação através do polinómio de Taylor de grau 2 é mais precisa, conforme pode
ser verificado através do exemplo do ponto anterior:
xyxyxf 23),(
Fazendo o desenvolvimento em torno do ponto (1,2)
2
221
2
1212,1);(
2
2
2
2,1
2
2,1
2
2
2
2,12,12,1
y
y
fyx
yx
f
x
x
fy
y
fx
x
ffyxf
462,1
x
fyx
x
f
1
2,1
y
fx
y
f
62
2
x
f
12
yx
f
02
2
y
f
0605,1)98,1;01,1(
298,1101,1)1(101,13298,1)1(101,141)98,1;01,1(
21)1(132)1(141);(
2
2
f
f
yxxyxyxf
Recorde-se que o valor aproximado calculado com recurso ao diferencial (ou polinómio de
Taylor de 1ª ordem) foi 1,06. O valor exacto calculado pela máquina é 1,0605.
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 43
8. Homogeneidade
Uma função RRf n : é uma função homogénea de grau k ( )Rk se e só se
RDxxxxxxfxxxf fnnk
n ,,...,,,,...,,,...,, 212121
Exemplos:
1) 4 4 2 2( , ) 2 3f x y x y x y
4 4 2 2 4 4 4 2 2 4( , ) 2 3 2 3 ,f x y x y x y x y x y f x y
Logo f é uma função homogénea de grau 4.
2) baa LCKCLKV1
21,
LKVLCKC
LCKCLCKCLKV
b
a
LKV
baaba
baaaabaa
,
,
,
1
21
1
1
21
1
21
Logo V é uma função homogénea de grau b
a.
3) 12, 2 aabbag
1212, 222 aabababag
Não é possível isolar a função, colocando uma potência de base em evidência; logo, g
não é uma função homogénea.
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 44
Teorema de Euler
Seja RRf n : uma função homogénea de grau k ( )Rk ; então, tem-se que
nn
n
xxxfkxx
fx
x
fx
x
f,...,, 212
2
1
1
em todos os pontos do Dfddddd
Exemplo:
Foi visto num exemplo anterior que a função 4 4 2 2( , ) 2 3f x y x y x y é homogénea
de grau 4.
Para verificar o Teorema de Euler, deve ser verificada a igualdade
yxfyy
fx
x
f,4
),(42348124
68646864
42244224
2242242323
yxfyyxxyyxx
yxyyxxyyxyxxyxyy
fx
x
f
Nota:
Seja RRf n : uma função homogénea de grau k ( )Rk ; então, as primeiras derivadas
parciais de f, se existirem, são homogéneas de grau 1k .
Exemplo:
4 4 2 2( , ) 2 3f x y x y x y 23 64 xyxx
f
yxx
fyxxyxxyx
x
f,6464, 3223323
homogénea de grau 3
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 45
Exercícios resolvidos:
1. Para produzir determinado bem empregam-se dois factores produtivos 1FP e 2FP nas
quantidades anuais x e y respectivamente. A função de produção é dada por
6,05,0100),( yxyxP .
a) Verifique que a função P(x,y) é homogénea e determine o seu grau de
homogeneidade.
b) Determine a variação provocada em P pela diminuição percentual simultânea de
20% nos dois factores 1FP e 2FP .
Resolução:
a) ),(100100),( 1,16,06,05,05,06,05,0yxPyxyxyxP
Logo, P é homogénea de grau 1,1.
b) ),(78,0),(8,0)8,0;8,0( 1,1 yxPyxPyxP
Conclusão: quando os dois factores diminuem 20%, P diminui 22%.
2. Dada a função 2/
),(
yx
yxyxh
Determine de modo a que o grau de homogeneidade de ),( yxh seja 1.
Nota: Quando a homogeneidade é de grau 1, diz-se que é Homogeneidade Linear.
Resolução:
),(),( 2/
2/2/2/2/2/yxh
yx
yx
yx
yx
yx
yxyxh
212
.
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 46
3. As funções reais ),,( 321 xxxf e ),,( 321 xxxg são homogéneas de graus m e p ,
respectivamente.
a) Das funções a seguir indicadas, quais as homogéneas (indicando o grau)?
i) gf ii) gf iii) g
f
b) Se m = 2, uma variação positiva simultânea de 10% de 1x , 2x e 3x , permite quantificar
a variação de f . Qual é essa variação?
c) Se p = 3, qual o valor de 1x
g
no ponto (1,0,0), sabendo que 4)0,0,1( g ?
Resolução:
a) i) gf será homogénea se m = p; nessas condições será homogénea de grau m.
ii) gf é homogénea de grau m + n:
),,(),,(),,(
),,(),,(),,(
321321321
321321321
xxxgfxxxgxxxf
xxxgxxxfxxxgf
pmpm
iii) g
f é homogénea de grau pm :
),,(),,(
),,(
),,(
),,(),,( 321
321
321
321
321321 xxx
g
f
xxxg
xxxf
xxxg
xxxfxxx
g
f pm
p
m
b) ),,(21,1),,(1,1)1,1;1,1;1,1( 3213212
321 xxxfxxxfxxxf
Conclusão: quando 1x , 2x e 3x sofrem uma variação positiva simultânea de 10%, ou
seja, aparecem afectados do factor multiplicativo 1,1 xxxxx 1,11,0%10 , a
variação de f é de 21%.
c) Pelo Teorema de Euler, 321
3
3
2
2
1
1 ,,3 xxxgx
gx
x
gx
x
gx
; no ponto (1,0,0),
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 47
9. Optimização
9.1. Extremos de funções com duas variáveis
Dada uma função f (x,y), dizemos que ela tem um máximo relativo (ou local) num ponto P0
00 , yx se existe uma vizinhança de P0 de modo que:
),(, 00 yxfyxf
para todo ponto (x, y) do domínio de f na referida vizinhança.
Analogamente, dizemos que f tem um mínimo relativo num ponto P0 00 , yx se existe uma
vizinhança de P0 de modo que:
),(, 00 yxfyxf
para todo ponto (x, y) do domínio de f na referida vizinhança.
f tem um máximo absoluto em P0 se ),(, 00 yxfyxf para todos os pontos (x, y) do
domínio de f e o valor máximo é 00 , yxf ; analogamente, f tem um mínimo absoluto em
P0 se ),(, 00 yxfyxf para todos os pontos (x, y) do domínio de f e o valor mínimo é
00 , yxf . O Teorema do Valor Extremo garante que se f (x,y) é uma função contínua num
conjunto fechado e limitado, então admite máximo e mínimo absolutos em R.
Se a função tem máximo ou mínimo relativo, dizemos que ela tem extremo relativo no
ponto; e se ela tem máximo ou mínimo absoluto, diz-se que ela tem extremo absoluto no
ponto.
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 48
9.2. Cálculo de extremos livres de funções com duas variáveis
Seja f uma função de duas variáveis; o ponto 00 , yx é ponto crítico de f se:
0
0
)0,0(
)0,0(
yx
yx
y
f
x
f
ou se uma ou ambas derivadas parciais de primeira ordem não existirem em 00 , yx .
Teorema:
Se RRf 2: tem um máximo ou mínimo relativo num ponto 00 , yx , então 00 , yx é
um ponto crítico da função f.
Como apenas vão ser estudadas funções diferenciáveis, o ou os pontos (x,y) que resultam
das soluções do sistema apresentado acima são os pontos críticos, ou seja, os pontos onde
poderá existir extremo. São as condições de 1ª ordem.
Calculados os pontos críticos, para determinar a sua natureza, usam-se as condições de 2ª
ordem: sendo 2
2
2
22
2
y
f
x
f
yx
f
,
sela de ponto um é que se-diz extremo; existe não ,x ponto no 0
,x ponto do natureza a sobreconcluir pode se nada 0
,x em relativo máximo um admite f 0
,x em relativo mínimo um admite f 0
0
00
00
002
2
002
2
y
y
yx
f
yx
f
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 49
Exemplo:
1) Estudar a existência e natureza dos extremos de 8342),( 22 xyxyxyxf .
2
12
082
0322
y
x
yxy
f
yxx
f
ponto crítico
2
1,2
02012822
2
8
2
2
22
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
x
fe
y
f
x
f
yx
f
yx
f
y
fx
f
Logo, a função f admite um mínimo no ponto
2
1,2 de valor 11
2
1,2
f .
2) Estudar a existência e natureza dos extremos de 22),( xyyxf .
0
0
02
02
y
x
yy
f
xx
f
ponto crítico 0,0
04220
0
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
y
f
x
f
yx
f
yx
f
y
fx
f
Logo, a função f tem, em (0,0), um ponto de sela.
22 xyz
P
y
x
z
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 50
3) Calcular e classificar os pontos críticos da função
3433
4
3
1),( 233 yxxyxyxF .
As condições de 1ª ordem dão origem ao sistema
11
31
044
023
0
0
2
2
yy
xx
y
xx
y
F
x
F
Os pontos criticos são (-1,-1), (-1,1), (3,-1) e (3,1).
Observando o quadro:
(-1,-1)
(-1,1)
(3,-1)
(3,1)
222
2
x
x
F - 4 - 4 4 4
yy
F8
2
2
- 8 8 - 8 8
02
yx
F 0 0 0 0
22
yx
F-
2
2
x
F
2
2
y
F
- 32 32 32 -32
conclui-se que:
em (-1,-1) existe um máximo de valor 3
4)1,1( F
em (3,1) existe um mínimo de valor 3
44)1,3( F
os pontos (-1,1), (3,-1) são pontos de sela.
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 51
Nota:
Os extremos absolutos podem ser identificados pela definição. Por exemplo:
1) Sendo 221),( yxyxf , sabemos que
1),(110 2222 yxfyxyx
1 é menor ou igual a todas as imagens por f; o seu valor é atingido para o mínimo valor
de 22 yx , ou seja, no ponto (0,0).
Assim, f admite um mínimo absoluto em (0,0) cujo valor é f(0,0) = 1.
2) Sendo 225),( yxyxg , sabemos que
55000 22222222 yxyxyxyx
Ou seja, f admite um máximo absoluto em (0,0) cujo valor é f(0,0) = 5.
9.3. Cálculo de extremos condicionados de funções com duas variáveis
9.3.1. Condições de igualdade – método da Função Auxiliar de Lagrange
Seja f(x,y) uma função real com duas varáveis reais e g(x,y) = 0 uma condição que
relaciona as duas variáveis x e y (chamada condição de ligação).
Teorema de Lagrange:
Seja f uma função de duas variáveis independentes x e y com derivadas de primeira ordem
contínuas e g uma função de duas variáveis independentes x e y com primeiras derivadas
contínuas não nulas. Se f admite um extremo ),( 00 yxf quando sujeito à restrição
g(x, y) = 0, então existe um número real (chamado multiplicador de Lagrange) tal que
0,00,00,00,0
,,yxyxyxyx x
g
x
g
x
f
x
f .
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 52
Como consequência desse teorema, surge o método dos multiplicadores de Lagrange
para cálculo e classificação dos pontos críticos de uma função f(x,y) sujeita a uma
determinada restrição g(x,y) = 0:
(1) Construção da Função Auxiliar de Lagrange (ou Lagrangeana)
),(),(),,( yxgyxfyxL
(2) Resolução do sistema
0),(0
0
0
yxgL
y
Lx
L
Os pontos (x,y) que verificam o sistema são os pontos críticos da função f(x,y)
sujeita à restrição g(x,y) = 0; ou seja, caso a função admita extremos, estes estão
entre os pontos determinados.
(3) Análise da natureza dos pontos críticos, através das condições de 2ª ordem,
semelhantes às indicadas para os extremos livres; assim, sendo
2
2
2
22
2
y
L
x
L
yx
L
,
,x ponto do natureza a sobreconcluir pode se nada 0
,x ponto do natureza a sobreconcluir pode se nada 0
,x em relativo máximo um admite 0
,x em relativo mínimo um admite 0
0
00
00
002
2
002
2
y
y
yfx
L
yf x
L
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 53
Exemplo:
1) Um produto P pode ser fabricado em duas máquinas diferentes. Sendo x a quantidade
produzida na máquina 1 e y a quantidade produzida na máquina 2, o custo de produzir o
produto P em cada uma das máquinas é dado por:
Custo de produzir P na máquina 1: 252 xx
Custo de produzir P na máquina 2: 243 yy
Pretende-se determinar as quantidades a produzir em cada uma das máquinas de forma
a minimizar o custo total de produção, sabendo que é necessário satisfazer uma procura
prevista de 50 unidades do produto P.
Pretende-se minimizar a função 22 4352),( yyxxyxf , com a condição de ligação
50 yx .
18
40118
4999
2023
50
10283
102
50
83
102
050
083
0102
)504352),,( 22
x
y
yx
xy
x
yx
y
x
yxL
yy
L
xx
L
yxyyxxyxL
(
0100810
0
8
10
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
x
Le
y
L
x
L
yx
L
yx
L
y
Lx
L
Logo, as quantidades
18
499,
18
401),( yx minimizam o custo total de produção do produto
P.
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 54
2) Calcular os pontos críticos e, se possível, determinar a sua natureza, da função
yxyxyxf 3),( 2 , sujeita à condição 2xy -
0
),(
22 yxg
xyxy ; então )3),,( 22 xyyxyxyxL ( .
3
181
169
4
1
0
0
13
049
13
02632
0
013
0232
2
2
2
22
2
y
x
y
x
xy
x
xx
xy
x
xxxx
xyL
xy
L
xyxx
L
2 2, , 3L x y x xy y y x
pontos críticos: (0,0) para 1 e 4 16
,9 81
para 1
3 .
(0,0)
( 1 )
4 16,
9 81
( 1
3 )
222
2
x
L 4
3
4
02
2
y
L 0 0
32
yx
L -3 -3
2
2
2
22
2
y
L
x
L
yx
L
9 9
Como este exemplo demonstra, há casos em que o método da Função Auxiliar de Lagrange
não permite determinar a natureza do ponto crítico. Neste exemplo, um método alternativo
seria substituir, em f, y por 2x e determinar os extremos da função f(x) pelo método
habitual. Tal não é do âmbito desta cadeira.
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 55
Quando a condição de ligação define em 2R um conjunto fechado e limitado, deverá ser
tido em conta o Teorema do Valor Extremo:
Seja uma função f, real de duas variáveis reais, contínua no seu domínio, definida num
domínio fechado e limitado; então o conjunto das imagens de f é um conjunto limitado de
números reais e f possui valores máximo e mínimo absolutos nesse domínio.
Exemplo:
Seja a função xyyxf ),( condicionada pela elipse 44 22 yx .
)44),,( 22 yxxyyxL (
4
1
22
2
4
1
22
2
2
22
2
2
22
2
2
1
2
4
12
2
4
044
2
04
044
02
08
22
2
22
2
22
22
2
22
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
x
y
x
xy
x
y
x
xy
yx
y
x
y
xy
yxL
yxy
L
xyx
L
O sistema foi resolvido sob o pressuposto 0y ; note-se que se y = 0, então x = 0, valores
que não verificam a condição de ligação. Assim,
pontos críticos:
2,
2
2 e
2,
2
2 para
4
1
2,
2
2 e
2,
2
2 para
4
1
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 56
2,
2
2
4
1
2,
2
2
4
1
2,
2
2
4
1
2,
2
2
4
1
82
2
x
L - 2 - 2 2 2
22
2
y
L
2
1
2
1
2
1
2
1
12
yx
L 1 1 1 1
2
2
2
22
2
y
L
x
L
yx
L
0 0 0 0
O método da Função Auxiliar de Lagrange não permitiu determinar a natureza dos pontos
críticos. No entanto, como a condição de ligação define um domínio fechado e limitado
para a função (já que se trata de uma elipse), pode-se concluir que
y
curvas de nível da função f(x,y) = xy
2,
2
2
2,
2
2
-1 1 x
2,
2
2
2,
2
2
f admite máximos relativos em
2,
2
2 e
2,
2
2, ambos de valor 1;
f admite mínimos relativos em
2,
2
2 e
2,
2
2 , ambos de valor -1.
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 57
9.3.1. Condições de desigualdade – método de Karush-Kuhn-Tucker
Seja ),( yxfo que pretendemos minimizar, referenciada como função objectivo, sujeita às
condições de desigualdade
nn cyxg
cyxg
cyxg
,
...
,
,
22
11
para Rccc n ...,,, 21
(1) Construção da Lagrangeana
n
iiin yxgyxfyxL
101 ),(),(),...,,,( .
(2) Definição das condições de Karush-Kuhn-Tucker (K-K-T):
as condições de K-K-T para o problema são
(3) Os pontos (x, y) para os quais existem constantes reais não negativas n ,...,1 que
satisfazem as condições enunciadas chamam-se pontos de K-K-T.
Mediante a satisfação de determinadas condições relativas às funções envolvidas, pode
afirmar-se que as condições de K-K-T são condições necessárias e suficientes para a
existência de extremo.
Problemas de maximização transformam-se em problemas de minimização da função
simétrica de 0f , ou seja ),(min),(max 00 yxfyxf .
0
,...,1,0),(
,...,1,0),(
0
0
i
i
ii
niyxg
niyxg
y
Lx
L
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 58
Exemplo:
1) Máximo de f (x,y) = x + y, sujeita às condições x < 2, y < 4, x > 0 e y > 0.
Máximo de f(x,y) = x + y, é o mínimo de f(x,y) = - x – y. Por outro lado, as das condições
com desigualdades têm que ser alteradas para x - 2 < 0, y – 4 < 0, - x < 0 e - y < 0.
Assim:
yxyxyxyxL 43214321 42),,,,,(
10
10
4
3
2
1
impossível porque 03 e 04 . Logo x = 2 e y = 4.
Facilmente se verifica que o ponto (2,4) verifica as restantes condições de K-K-T.
Logo, em (2,4) a função admite um máximo de valor 6.
0
0
0
0
00
00
404
202
000
000
4004
2002
01
01
4
3
2
1
44
33
22
11
42
31
yy
xx
yy
xx
yy
xx
yy
xx
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 59
Graficamente: y
4 (2,4)
x + y = 6
0 x 2
x + y = 0
2) Mínimo de yxyxg )1ln(),( , com 2x + y < 2, x > 0 e y > 0.
yxyxyxyxL 321321 221ln),,,,(
10
012
102
1
10
1
11
3
2xx
impossível porque 03 e 04 .
Logo x = 0 e y = 0; facilmente se verifica que o ponto (0,0) verifica as restantes condições
de K-K-T. No ponto (0,0) existe um mínimo de valor 0.
0
0
0
00
00
022
000
000
0220022
01
021
1
3
2
1
33
22
11
31
21
yy
xx
yx
yy
xx
yxyx
x
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 60
Bibliografia:
Larson, R., e Edwards, B., Cálculo com aplicações. Livros Técnicos e Científicos Editora
Swokowski, E., Cálculo com Geometria Analítica. Makron Books
Hoffmann & Bradley, Calculus for Business, Economics, and the Social Sciences.
McGraw-Hill
Weber, J., Matemática para Economia e Administração. Harbra
Pires, Cesaltina, Cálculo para Economistas. McGraw-Hill
Piskounov, N., Cálculo Diferencial e Integral (volume I). Lopes da Silva Editora
Dowling, E., Matemática Aplicada à Economia e Administração. McGraw-Hill
Demidovitch, B., Problemas e Exercícios de Análise Matemática. McGraw-Hill