Funcoes varias variaveis

Universidade Católica Portuguesa

Funções reais

de

várias variáveis reais

Matemática I

Margarida Macedo Setembro de 2014

Alguns dos exemplos e exercícios apresentados foram

retirados de provas e outros documentos de trabalho

elaborados em colaboração com os restantes elementos

da equipa de Matemática:

José Júlio Meira Ramos

Margarida Corte-Real

Maria Helena Correia

Maria Manuela Maia

Funções reais de várias variáveis reais

Margarida Macedo – FEG_UCP 1

Índice

1. Funções de várias variáveis ...................................................................................

2

2. Domínio de uma função de duas variáveis ............................................................

6

3. Curvas de nível de uma função de duas variáveis .................................................

11

4. Derivadas parciais .................................................................................................. 16

4.1. Derivadas de 1ª ordem .................................................................................... 16

4.2. Derivadas de 2ª ordem ou superior ................................................................. 21

4.3. Derivada da função composta – Regra da cadeia ........................................... 27

5. Função definida na forma implícita .......................................................................

31

5.1. Teorema da Função Implícita ......................................................................... 31

5.2. Derivada da Função definida na forma implícita ............................................ 31

6. Diferencial ............................................................................................................. 36

7. Polinómio de Taylor .............................................................................................. 41

8. Homogeneidade ..................................................................................................... 43

9. Optimização ........................................................................................................... 47

9.1. Extremos livres de funções com duas variáveis .............................................

47

9.2. Cálculo de extremos livres de funções com duas variáveis ............................

48

9.3. Cálculo de extremos condicionados de funções com duas variáveis ..............

51

9.3.1. Condições de igualdade – método da função auxiliar de Lagrange ...... 51

9.3.2. Condições de desigualdade – método da Karush-Kuhn-Tucker ............ 57

Bibliografia ............................................................................................................ 60



1. Funções de várias variáveis

Uma função pode ser definida como uma relação entre dois conjuntos, onde a cada

elemento do domínio (um subconjunto do conjunto de partida) está associado um e um só

elemento do contradomínio (um subconjunto do conjunto de chegada). Nas funções reais

com uma variável real, tanto os objectos como as imagens são números reais. Este

capítulo aborda conceitos relativos a funções reais de várias variáveis reais, ou seja, o

domínio é um subconjunto de nR

RxxxxR inn ;,...,, 21

Em particular:

Função de duas variáveis: Uma função f de duas variáveis é uma relação que associa a

cada par ordenado de números reais (x,y) um único valor real representado por f(x,y). Pode-

se representar ),( yxfz para tornar explícitos os valores tomados por f num ponto

genérico. As variáveis x e y são variáveis independentes, e z a variável dependente.

Ou seja, uma função de duas variáveis é uma função cujo domínio é um subconjunto de

2 e cuja imagem é um subconjunto de . Uma maneira de visualizar tal função é pelo

diagrama sagital, onde o domínio D é representado como um subconjunto do plano Oxy.

Exemplo:

Função de Produção de Cobb-Douglas – função que relaciona a produção com as

variáveis quantidade de trabalho e capital:

1),( yCxyxp ( parâmetro real)



em que x representa o número de unidades de trabalho, y o número de unidades de capital e

p(x,y) o número de unidades produzidas a eles associado.

Problema:

Um fabricante estima que a produção de determinado produto, medida em unidades,

admite como modelo 4,06,0100),( yxyxf , em que x representa o trabalho (em

pessoas/hora) e y o capital em milhares de unidades monetárias.

a) Qual é o nível de produção quando x = 1000 e y = 500?

b) Como é afectada a produção quando se duplicam as quantidades de trabalho e

capital?

c) Como é afectada a produção quando se triplicam as quantidades de trabalho e

capital?

Resolução:

a) 4,06,0 5001000100)500,1000(f 75785,83 (unidades)

b) ),(2100222100)2,2( 4,06,04,06,04,06,0 yxfyxyxyxf a produção duplica

c) ),(3100333100)3,3( 4,06,04,06,04,06,0yxfyxyxyxf a produção triplica

Se f é uma função de duas variáveis com domínio D, então o gráfico de f é o conjunto de

todos os pontos (x, y, z) em 3 tal que ),( yxfz e (x, y) pertencem ao domínio D.



Exemplos:

1) yxyxf 236),( no 1º octante

2) 229),( yxyxg

3) 224),( yxyxh .

4) 22

)3(),( 22 yxeyxyxf



5) yxyxf sensen),(

6) xy

yxyxf

sensen),(

Função de três variáveis: uma função f de três variáveis é uma relação que associa a cada

terno ordenado (x, y, z) de um domínio 3D um único número real representado por

),,( zyxf .

Exemplo:

Pagamento mensal para amortização de um empréstimo

t

r

cr

trcM12

121

11

12),,(

em que M é o pagamento mensal para a amortização de um empréstimo de c u.m. em t

anos, à taxa anual de r.



2. Domínio de uma função de duas variáveis

Domínio de uma função f é o conjunto dos elementos do conjunto de partida para os quais

a expressão analítica que define a função tem significado. Em particular, se a função f é

de duas variáveis, o domínio da função dá origem a um conjunto de pares ordenados que

constituem um domínio plano.

Para determinar o domínio de uma função, independenetemente do número de variáveis,

deveremos ter em conta que:

O denominador de uma fracção deverá ser diferente de zero

O argumento de um logaritmo deverá ser maior que zero

O radicando de uma raíz de índice par deverá ser maior ou igual a zero

O argumento de um arcsen ou arccos deverá estar compreendido entre -1 e 1

Exemplos:

Determinar analiticamente e representar geometricamente o domínio de algumas

funções:

1) 1

1),(

x

yxyxf

0101:, 2 xyxRyxD

2) )ln(),( 2 xyxyxf

0:, 22 xyRyxD



3) 229),( yxyxg

9:,

09:,

222

222

yxRyx

yxRyxD

4) yx

yxyxf

ln),(

xy

xy

xy

xy

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yxRyxD

0

0

0

00

0:, 2

5)

x

yxf

1ln

)(

111

01

ln

001

01

ln01

:, 2

xxx

xx

xxRyxD

y

0 x

y = - x y y = x

x

x=1



6)

2arcsenln 2 x

yxz y x=2

2 2

2 2

, : 0 1 12

0

1 1 2 22

xD x y R x y

x y x y

xx

0

7) x

yxyxf

2ln),(

y

y = x

2, : 02

0 00

2 2 0 2 0 0 0

x yD x y R

x

x y x y y x y xx y

x x x x x

0 x

8) 2

2

ln),(y

xyxf

y

2

2

2

2

2

, : 0

0 0 0

xD x y R

y

xx y

y

9) 22

22 4ln),(

yxxy

yxyxg

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

, : 4 0 0 0

4 0 4 0 4

0 0 0

0 00 0

0 0

D x y R x y xy x y

x y x y x y

xy x y

x y x y y x y xx y x y x y

x y x y y x y x

x = 2

x

0

x



2

x

-2

10) 221

1,

yx

xyxf

2 2 2( , ) : 0 1 0D x y R x x y 1

2 2 2 21 0 1x y x y

-1 1 x

11) yx

xyxf

,

2( , ) : 0x

D x y Rx y

0 0 0 0

00 0

x x x xx

x y x y y x y xx y

12. xyx

xyxyxf

2

2,

22

22

2 22

2 2

2 22 22 2 2 22 2

2 2 2 2 2 2 2 22 2

2( , ) : 0

2

1 1 1 12 0 2 020

2 2 0 2 0 1 1 1 1

x y xD x y R

x y x

x y x yx y x x y xx y x

x y x x y x x y x x y x y

y = - x y = x



-

x

y

13) , arccosx

f x y xy

2( , ) : 1 1x

D x y Ry

1 1 1 1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

x x x x y x y

y y y y y

x y x y x y x y

y y y y

y x y x

y y

0 0

y x y x

y y

y = x y = -x

0 x 0 x

-1 1



A intersecção das duas figuras fica:

y = -x y = x

0 x

3. Curvas de nível de uma função de duas variáveis

As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são as linhas (no domínio de f), com

equação kyxf ),( , onde k é uma constante real.

Uma curva de nível kyxf ),( é o conjunto de todos os pontos do domínio de f nos quais

o valor de f é k. Por outras palavras, mostra onde o gráfico de f tem cota k.

Consequentemente, todos os pontos de determinada curva de nível têm a mesma imagem.

x



Na figura da página anterior, pode ser observada a relação entre curvas de nível e os traços

horizontais. As curvas de nível kyxf ),( são apenas traços do gráfico de f no plano

horizontal kz projetado sobre o plano Oxy. A superfície será mais inclinada onde as

curvas de nível estiverem mais próximas uma das outras e mais plana onde as curvas de

nível estiverem mais distantes uma das outras.

Exemplos:

Esboçar algumas curvas de nível de algumas funções:

1) yxyxf 236),(

2) 229),( yxyxg

As figuras abaixo mostram algumas curvas de nível geradas por computador juntamente

com os gráficos correspondentes.

3) 224),( yxyxh



4) 22

),( yxxyeyxf

5)1

3),(

22

yx

yyxf

As curvas de nível são utilizadas, entre outras aplicações, para a elaboração de mapas

topográficos. Neste caso, ),( yxf representa a elevação (em metros) em um ponto yx,

de latitude x e longitude y. Na colina da figura esboçada (em três dimensões) encontram-se

as curvas correspondentes às elevações de 0, 100, 200, 300 e 400 metros, por exemplo.

Essas curvas podem ser encaradas como tendo sido obtidas cortando-se a colina em

“fatias” paralelas à base. O “caminho” ao longo de uma dessas curvas permanece sempre à

mesma altitude.



Mapa análogo é utilizado para indicar a profundidade da água num lago. Um exemplo é o

da figura abaixo, em que ),( yxf é a profundidade da água no ponto yx, . Esse mapa

informa as partes do lago que devem ser evitadas por esquiadores aquáticos.

Como outra ilustração das curvas de nível, a figura ao lado exibe um mapa meteorológico,

em que ),( yxf representa a temperatura durante certo dia. Ao longo das curvas e do

nível, chamadas curvas isotérmicas, a temperatura é constante. Quando ),( yxf representa

a pressão barométrica em yx, as curvas de nível neste caso serão chamadas isobáricas.

No caso das funções de três variáveis x, y e

z, então, por definição, as superfícies de

nível de f são os gráficos de kzyxf ),,(

para valores convenientes de k. Fazendo

210 ,, wwwk , os gráficos resultantes serão

superfícies 210 ,, SSS , ilustradas ao lado. A

função ),,( zyxf não se altera quando um

ponto ),,( zyx se move ao longo de uma

dessas superfícies. Se ),,( zyxf é a

temperatura em ),,( zyx , as superfícies de nível são superfícies isotérmicas, e a

temperatura é constante em cada superfície. Se ),,( zyxf representa o potencial elétrico,

as superfícies de nível são superfícies equipotenciais, e a voltagem não se altera se

),,( zyx permanece em uma dessas superfícies.



Exemplos:

1) Determinar as curvas de nível da função yx

xyxf

, :

x

kx y

é impossível se k < 0, logo não existe curva de nível;

0 0x

x y xx y

(eixo dos yy, excepto a origem (0,0))

Se k > 0: 2

2 2 2

2

1x x kk k x k x k y y x

x y x y k

As curvas pedidas são as que pertencem à família de semi-rectas de origem em

(0,0), sem incluir esse ponto, já que y x , de acordo com o domínio da função.

2) Determinar a curva de nível de valor 0 da função xyx

xyxyxf

2

2,

22

22

:

2 2

2 2 2 2

2 2

20 2 0 2 0

2

x y xx y x x y x

x y x

A curva é a circunferência de centro (-1,0) e raio 1, excepto o ponto (0,0).

3) Determinar a curva de nível de , arccosx

f x y xy

à qual pertence o ponto 1,0 :

arccos

0 arccos0 0

arccos 0 0 arccos 0 0 1 0

xx k

y

k k

x x xx x x x y x

y y y

A curva de nível pedida é a reunião das rectas x = 0 (eixo dos yy) e y = x, sem incluir

a origem, já que esta não pertence ao domínio.



4. Derivadas parciais

4.1. Derivadas de 1ª ordem

Seja f uma função de duas variáveis; as suas derivadas parciais de 1ª ordem são as funções

x

f

e

y

f

definidas por

h

yxfhyxfyx

y

f

h

yxfyhxfyx

x

f

h

h

),(),(lim),(

),(),(lim),(

0

0

Estas são as derivadas parciais de 1ª ordem.

Outras notações:

),(),(,

),(),(,

yxfyxfy

yxy

f

yxfyxfx

yxx

f

y

x

Regra prática para determinar as derivadas parciais de ),( yxfz :

(1) Para determinarx

f

, considera-se y como uma constante e deriva-se ),( yxf em

relação a x.

(2) Para determinary

f

, considera-se x como uma constante e deriva-se ),( yxf em

relação a y.

Exemplo: Sendo 2323 2),( yyxxyxf , então

yyxyxy

f

xyxyxx

f

43,

23,

22

32



Para dar uma interpretação geométrica para as derivadas parciais, recorde-se que a equação

),( yxfz representa a superfície S (que corresponde ao gráfico de f). Se cbaf ),( ,

então o ponto ),,( cbaP pertence a S. Fixando by , restringimos a nossa atenção à curva

1C na qual o plano vertical by intercepta S. Da mesma forma, o plano vertical ax

intercepta S na curva 2C . As curvas 1C e 2C passam pelo ponto P.

As derivadas parciais x

f

e

y

f

podem ser interpretadas geometricamente como as

inclinações das retas tangentes em ),,( cbaP às linhas 1C e 2C de S nos planos by e

ax .

Por outro lado, se ),( yxfz , então x

f

representa a taxa de variação de z com relação a x

quando y é mantido fixo. Da mesma forma, y

f

representa a taxa de variação de z em

relação a y quando x é mantido fixo.

Exemplos:

1) 22 24),( yxyxf

41,14,

21,12,

y

fyyx

y

f

x

fxyx

x

f



2)

y

xyxf

1sen),(

211

cos

1

1

1cos

y

x

y

x

y

f

yy

x

x

f

3) 1

( , )2

x yf x y

x y

2 2

2 2

2 1 2 3

2 2

2 1 2 1

2 2

x y x yf y

x x y x y

x y x yf x

y x y x y

4) ( , )g x y xy 2

2

g y

x xy

g x

y xy



5) 5

( , )4

yh x y

x

2

5

4

1

4

yh

x x

h

y x

6) 2 2

2 2

5 3( , )

x yf x y

x y

2 2 2 22

2 22 2 2 2

2 2 2 22

2 22 2 2 2

10 2 5 3 16

6 2 5 3 16

x x y x x yf xy

xx y x y

y x y y x yf x y

yx y x y

7) 2 2cosz x y

2

2 2 2

2 cos

2cos sen 2 sen cos sen 2

zx y

x

zx y y x y y x y

y

8) arctgz xy

2

2

1

1

z y

x xy

z x

y xy

9) arctgy

zx

2

2

2

1

1

1

y

z x

x y

x

z x

y y

x



10) 2

2( , ) ln

2

x yf x y

x

2 2

22

2 2 2

2

2

2 2

2

2 2 2

2 4 2

2

2

1

12

2

x x x y x

xf x xy

x x y x y x

x

f x

y x y x y

x

11) x y

zy x

2

2

1

1

z y

x y x

z x

y xy

12)

2

1( , )

2

x y

h x y

2 2

2

2 21 1 1ln ln 2

2 2 2

1ln 2 2

2

x y x y

x y

hy y

x

hxy

y

De modo análogo, podem ser definidas derivadas parciais de funções de três ou mais

variáveis:

h

zyxfhzyxfzyx

z

f

h

zyxfzhyxfzyx

y

f

h

zyxfzyhxfzyx

x

f

h

h

h

),,(),,(lim),,(

),,(),,(lim),,(

),,(),,(lim),,(

0

0

0

Genericamente:

Se u é uma função de n variáveis, ),..,,( 21 nxxxu , a sua derivada parcial em relação à sua

i-ésima variável é:

h

xxxfxxhxxxf

x

u niniii

hi

),...,,...,(,...,,,,...,lim 1111

0



Exemplos:

1) zezyxf xy ln),,(

z

ezyx

z

f

zxezyxy

f

zyezyxx

f

xy

xy

xy

,,

ln,,

ln,,

2) 2 2 2x y zt e

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

2

x y z

x y z

x y z

tx e

x

ty e

y

tz e

z

4.2. Derivadas de 2ª ordem ou superior

Se f é uma função de duas variáveis, as suas derivadas parciais x

f

e

y

f

são funções de

duas variáveis; de modo que podemos considerar novamente as suas derivadas parciais em

ordem a qualquer uma das variáveis, chamadas derivadas parciais de segunda ordem de f.

Assim, sendo ),( yxfz temos as seguintes notações:

xxxx ffx

f

xx

f

2

2

yyyy ffy

f

yy

f

2

2

xyyx ffx

f

yxy

f

2

yxxy ffy

f

xyx

f

2



Exemplo:

Voltando a um exemplo anterior, 2323 2, yyxxyxf , já tinham sido calculadas as

derivadas de 1ª ordem:

yyxyxy

fxyxyx

x

f43,e23, 2232

; assim,

22

22

2

2

23

2

2

6,e6,,46,,26, xyyxxy

fxyyx

yx

fyxyx

y

fyxyx

x

f

O facto de xy

f

yx

f

22

e serem iguais, resulta do Teorema de Clairaut-Schwarz-Young:

“Dada uma função yxf , e fDyx 00 , , se as funções xy

f

yx

f

22

e forem ambas

contínuas em 00 , yx , então 00

2

00

2

,, yxxy

fyx

yx

f

” (a generalidade das funções

utilizadas em Economia e Gestão verificam este pressuposto).

As derivadas parciais de ordem três ou superior também podem ser definidas de modo

análogo; por exemplo,

2

22

2

3

y

f

xxy

f

yxy

f (ou seja, devem ser calculadas três

derivadas sucessivas, uma em ordem a x e duas em ordem a y, por qualquer ordem).

Exemplo:

Sendo )3(sen),,( yzxzyxf , calcular zxy

f

2

4

:

yzxzyzxzzyx

f

yzxzyx

f

yzxzyx

fyzx

x

f

3cos63seny3

3cos3

3sen33cos3

2

2

4

2

2

3

2



Exercícios resolvidos:

1) Dada a função

x

yxf

1ln

)( , calcular f

x

e

f

y

.

Resolução:

22

2

1ln

1ln

1

1

x

x

y

x

x

xy

x

f e

x

y

f

1ln

1

2) Seja g(x,y) = arctgyx

yx

. Mostre que 0

g gx y

x y

.

Resolução:

yx

yxyxx

x

yx

yx

yxx

yx

x

yx

yx

yx

yx

yx

x

y

g

yx

yxyxx

y

yx

yx

yxx

yx

y

yx

yx

yx

yx

yx

y

x

g

221

2

2

221

2

2

2

2

2

2

substituindo,

0

222

yx

yxyxx

xyxy

yx

yxyxx

xy

yx

yxyxx

yx

y

gy

x

gx



3) Dada a função

2arcsenln 2 x

yxz , calcule z

x

.

Resolução:

2

2

2

2

2

2

4

1ln

2arcsen

1

21

2

1

ln2

arcsen1

xyx

x

yx

x

yxx

yxx

z

4) Mostre que se 22 yxz então 0332

22

y

zy

yx

zx .

Resolução:

2222

2

2222

222

22

22

22

2

2

2222

2

22

222

2222

2

2

2

2

2

2

yxyx

x

yxyx

yyx

yx

yx

yyyx

y

z

yxyx

y

yx

yx

yy

yx

z

yx

y

yx

y

y

z

Substituindo:

0332222

2

2222

2

yxyx

xy

yxyx

yx

5) Seja 2

2

ln),(y

xyxf ; calcular

f

x

e

f

y

.

Resolução:

2

2 4

2 2

2 2

2 2

2 2

x x y

f fy y

x x y yx x

y y



6) Sendo 221

1,

yx

xyxf

, calcule as derivadas de 1ª ordem de f.

Resolução:

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

11 1

2 1

1

11

1

xx y x

x x yf

x x y

yx

x yf

y x y

7) Considere a função , arctgx y

U x yx y

. Determine o conjunto de pontos yx, que

satisfazem a equação yxUy

Uxy

x

Uyx ,22

.

Resolução:

2

2 2 2

2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

, arctg

2

1

2

1

2 20

x yU x y

x y

x y x y

x yU y

x x y x yx y

x y

x y x y

x yU x

y x y x yx y

x y

U U y xx y y x x y y x

x y x y x y x y x y

arctg 0 0x y x y

x y x yx y x y

Os pontos que verificam a condição indicada são os pontos da recta y = x, excepto o

ponto ( 0,0 ).



8) Dada a função definida por , arccosx

f x y xy

,

a) Calcule as derivadas de 1ª ordem da função.

b) Calcule 1,02

2

x

f

e ,0

2

yx

f

.

Resolução:

a) 222

arccos

1

arccosxy

x

y

x

y

x

y

x

y

x

x

f

22

2

2

2

2

1xyy

x

y

x

y

x

y

f

b)

22 2 2 2

2 2 2 22

2 2 2 2 22 2 2 2

2

21 1

x xy x x y x

y x y xf

x y x y xy x y x

2

2

01 0

1 1 00,1 1 1 2

1 01 0

f

x

32 2 2 2 2

2 2 2 22

2 2 2 2 2

2

2 2

22 2

2

0 00, 0

0

x xxy y x x y x y x

y x y xf

x y y y x y y x

f

x y

9) Seja f uma função real de variável real diferenciável e h uma função real de duas

variáveis reais definida por 22

),(yxf

yyxh

. Mostre que yxxh

y

hxy

x

hy ,2

.



Resolução:

2 2

22 2

2 2 2 2

22 2

3 2 2 2 2 3 2 2

2

2 2 2 22 2 2 2

' 2

' 2

2 ' 2 ',

y f x y xh

xf x y

f x y y f x y yh

yf x y

xy f x y xyf x y xy f x yh h xyy xy x h x y

x y f x yf x y f x y

4.3. Derivada da função composta – Regra da cadeia

1º caso: Seja ),( yxfz uma função diferenciável de x e y, onde )(tgx e )(thy são

funções diferenciáveis em t. Então z é uma função diferenciável de t e

dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

x

u t

y

Exemplo:

Se 42 3xyyxz , onde tx 2sen e ty cos , determinar dt

dz quando t = 0.

tdt

dyt

dt

dxxyx

y

zyxy

x

zsene2cos2,12,32 324

tttttttt

txyxtyxydt

dz

sencos2sen 122sen2cos2cos3cos2sen 2

sen122cos232

324

324

6230sen0cos0sen120sen0cos20cos30cos0sen 2 324

0

tdt

dz



2° caso: Seja ),( vufz uma função diferenciável de u e v, onde ),( yxgu e ),( yxhv

são funções diferenciáveis em x e y.

u x

z

v y

Então z é uma função diferenciável de x e de y, ou seja, admite derivadas parciais

contínuas dadas por:

x

v

v

z

x

u

u

z

x

z

e

y

v

v

z

y

x

u

z

y

z

Exemplo: Sendo yez xsen , onde 2stx tsy 2 , determinar s

z

e

t

z

.

sttsettsestyetyes

y

y

z

s

x

x

z

s

z ststxx 2cossen2cossen 222222

222222 cos2sencos2sen stsesttsesyestyet

y

y

z

t

x

x

z

t

z ststxx

Caso Geral: Os casos anteriores podem-se generalizar de acordo com o número de

funções e de variáveis envolvidas. Assim, sendo u uma função diferenciável

de n variáveis nxxx ,..,,. 21 , onde cada jx é uma função diferenciável de m

variáveis mttt ,...,, 21 , tem-se

i

n

niii t

x

x

u

t

x

x

u

t

x

x

u

t

u

...2

2

1

1

para cada i = 1, 2,..., m.




1) Sendo

y

xyxu senln),( , 23)( ttx e 21)( tty , calcule

dt

du utilizando a regra

da derivação da função composta.

Resolução:

2

2 3 2

4 4 4 42 2 2 2 2

1

21cos cos

61

se n s e n

6 3 3 3 cotg cotg

1 1 2 1 1 1

xyx x

yy y ydu u dx u dy tt

dt x dt y dt x x t

y y

t t t t

t t t t t

2) Seja

y

xyxz arctg),( , vuvux sin),( e vuvuy cos),( . Utilizando a regra da

derivação da função composta, mostre que 0

u

z e 1

v

z.

Resolução:

x u z y v

2

2 2 2 2

2 2

1

sen cossen cos

1 1

sen cos - sen cos 0

x

z z x z y y v x vy yv v

u x u y u y xx x

y y

u v v u v v

y x

2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

1

cos sencos sen

1 1

cos sen 1

sin cos

x

z z x z y yu v xu vy yu v u v

v x v y v y xx x

y y

u v u v

u v u v



3) Sendo gfz . , em que

122

2

yxg

ef y

, verifique, através da aplicação das regras de

derivação composta, que é verdadeira a expressão y

fg

y

z

1 .

Resolução:

yy

g

yey

f

fg

z

gf

z y

2

2

2

y

fgyxye

yeyeyxyfyegy

g

g

z

y

f

f

z

y

z

y

yyy

122

22122

22

22

2

222

4) Sendo zyxh ,, tal que eex

h

0,,0 , 10,,0

e

y

h e ee

z

h

0,,0 , mostre que

22 1ln,,sin),( xexyhyxH y verifica 01,01,0

y

H

x

H.

Resolução:

u x

h v

w y , 0,1 , , 0, ,0x y u v w e

xdx

dwwvu

w

hyx

x

uwvu

u

hyx

x

H.,,,.,,,

2

22

1

2.cos.,

x

x

w

hyxy

u

hyx

x

H

eeu

hwvu

u

h

x

H

)0cos(.0,,00cos.)0(),1(),1,0(1,0

yy

vwvu

v

hyx

y

uwvu

u

hyx

y

H

.,,,.,,,

yev

hxyxy

u

hyx

x

H.2.cos., 2

eeev

h

y

H

1.0,,01,0 ; logo, 01,01,0

y

H

x

H

f

g

z

x

y



5. Função definida na forma implícita

Em R, geralmente, uma função está definida por uma expressão do tipo y = f(x), ou seja, y

está definida como função de x na forma explícita. Por exemplo, 73 25 xxy .

No entanto, por vezes, as funções são dadas de forma implícita, ou seja por uma equação

do tipo F(x, y) = 0. No exemplo apresentado, seria 073 25 xxy .

Dada uma equação do tipo F(x,y) = 0, nem sempre é possível explicitar uma das variáveis

em função da outra. Ainda assim, em determinadas condições, continua a ser possível

calcular a derivada y’(x) ou dx

dy.

5.1. Teorema da Função Implícita

Seja F: 2 ; se:

(1) 0, 00 yxF ,

(2) y

f

x

f

e existem e são contínuas numa vizinhança V de 00 , yx

(3) y

f

0, 00 yx

então, a equação F(x, y) = 0 define implicitamente y como função de x em qualquer

vizinhança de 00 , yx contida em V, isto é, existe uma função f derivável definida em V,

com y = f(x), tal que f 0x = 0y e F(x, f(x)) = 0. Os pontos que verificam as condições do

teorema acima chamam-se pontos ordinários.

5.2. Derivada da Função definida na forma implícita:

Nas condições do teorema anterior, é possível calcular y’, ou dx

dy:

y

Fx

F

dx

dy



Exemplo:

Determinar y’ se xyyx 633 .

xy

xy

xy

yx

y

Fx

F

dx

dy

xyy

F

yxx

F

xyyxxyyx

yxF

2

2

63

63

63

63

066

2

2

2

2

2

2

),(

3333

O Teorema da Função Implícita e a regra de derivação indicada podem ser generalizados a

funções de n variáveis reais. No caso de uma equação da forma F(x,y,z) = 0, que define z

como função implícita de x e y, tem-se:

z

Fx

F

x

z

e

z

F

y

F

y

z

Exemplo:

Determinar y

z

x

z

e , se 16333 xyzzyx .

xyz

xzy

xyz

xzy

dy

z

xyz

yzx

xyz

yzx

dx

z

xyzz

F

xzyy

F

yzxx

F

xyzzyxxyzzyx

zyxF

2

2

63

63

2

2

63

63

63

63

63

01616

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

),,(

333333




1) Admita que )(xfy é uma função derivável definida implicitamente pela equação

12 xyxy .

a) Mostre que

1)(2

)(1'

2

xfx

xfxf , para todo o fDx e 01)(2 xfx .

b) Escreva a equação da recta tangente ao gráfico da função y = f (x) no ponto (0,1).

Resolução:

a) 011

),(

22

yxF

xyxyxyxy

1)(2

)(1

12

1)´(

22

xxf

xf

xy

y

y

Fx

F

xf ( note-se que y = f(x) )

b) Recorde-se que a equação da recta tangente ao gráfico de uma função y = f (x) num

ponto de abcissa 0x , é dada por

000 )(')( xxxfxfy

No exemplo em causa, fica 120)0('1 xyxfy

2) Sendo )(xfy uma função definida implicitamente pela equação xyyx 633 ,

determinar y’ no ponto de abcissa zero.

Resolução:

000

6

3

33

yyx

xyyx



Concluimos no primeiro exemplo da página 34, que xy

xyxf

2

2)('

2

2

. Se substituirmos

x e y pelas coordenadas (0,0), fica 0

0)(' xf , que não nos permite calcular o valor

pretendido. Isso resulta do facto de 00,0

y

F, o que contraria o Teorema da Função

Implícita – estamos em presença de um ponto singular. Nestas condições, a técnica de

cálculo da derivada é outra, que corresponde a derivar ambos os membros da igualdade em

ordem a x (de acordo com o seguinte exemplo):

'6'336 2233 xyyyyxxyyx

Substituindo (x,y) por (0,0), fica 0 = 0 (esta redundância resulta em todos os pontos

singulares); repetindo o processo (depois de simplificar a igualdade obtida):

0)'''(2'2''''22

0'22''6'33

2

2222

xyyyyyyyyx

xyyyyxxyyyyx

Substituindo (x,y) por (0,0), fica 0'0'2'2 yyy

3) Seja )(ln),( 22 yxyxg ; calcule dx

dy no ponto

2,

2,

eeyx , em que )(xy é a

função definida implicitamente por 01),( yxg .

Resolução:

1)ln(),(01)ln(01),( 2222 yxyxFyxyxg

0

22

22

2),(

2,

2

22 ee

e

y

F

yx

y

y

yxF

eeé um ponto ordinário, pode ser

usado qualquer um dos métodos

1º método:

y

yxFx

yxF

dx

dy

),(

),(



22

22

2),(

2),(

yx

y

y

yxF

yx

x

x

yxF

y

x

yx

y

yx

x

dx

dy

22

22

2

2

No ponto

2,

2,

eeyx , 1

2

2

e

e

dx

dy

2º método:

01)(ln 22 yx

y

xyyyx

yx

yyx

'0'220

'2222

No ponto

2,

2,

eeyx , 1

2

2

e

e

dx

dy

4) Considere a função )(xy , definida na forma implícita por 2 23 2y x x y xy

a) Calcule a derivada dx

dy nos pontos (1,1) e (0,0).

Resolução:

2 26 ' 3 4 2 ' 'yy x y xy x y y xy

No ponto (1,1), fica: 3

2''1'243'6 yyyy

Em (0,0) fica 0 = 0; derivando novamente,

'''')'''2(2)'(4'6'6''6''6

''243'6

2

22

xyyyyxxyxyyyyyyxyyxyy

xyyyxxyyxyy

Em (0,0) fica 0''20 yy



b) Calcule a derivada 2

2

dx

yd no ponto (0,0).

Resolução:

Na alínea anterior, foi obtida a expressão

'''')'''2(2)'(4'6'6''6''6 2 xyyyyxxyxyyyyyyxyyxyy

simplificando, fica

0'''2''2'84'12''6'6 22 xyyyxxyyyyxyyxy

Derivando novamente:

0'''''''2'''''22

'''8'4''''12''''''''6''''26

2

2

xyyyyxxy

xyyyyyyyyyxyyxyyyxyy

Em (0,0), com y’ = 0 (determinado em a), fica:

00''''20020080400120006006 2 yy

Donde resulta 0''2

2

dx

ydy no ponto (0,0).

6. Diferencial

Seja y = f (x) uma função real de variável real em que x é a variável independente.

Quando x sofre uma variação x, positiva ou negativa (a que chamamos incremento de x),

y também sofre uma variação correspondente, y (que pode ser positiva, negativa ou nula).

Em particular, quando x varia de x0 até x0 + x, y é a variação correspondente no valor

de y, de f (x0) até f (x0 + x), conforme ilustra a figura.

A variação exacta é dada por y = f (x0 + x) – f (x0).



y

Suponhamos que f é diferenciável em x0. Como f’(x0) é o declive da reta tangente ao

gráfico de f em (x0, f(x0)), dy = ’(x) dx.

Então, dy é uma aproximação da variação da função f quando x varia x0 até x0 + x, ou seja

xxfxfxxfxxfxfxxfy 000000 ')()()(')()(

A dy chama-se diferencial da função f e é calculado pela expressão dy = ’(x) dx.

Este conceito é generalizado a funções de variável multidimensional:

Seja f uma função de várias variáveis independentes, n21 ..., , , xxx . Seja ix o incremento

da variável ix . Então, o incremento de ) ..., , ,( n21 xxxfz associado, z , é dado por

z ) ..., , ,()..., ,,( n212211 xxxfxxxxxxf nn

Para ilustrar a definição anterior, vamos considerar uma função de duas variáveis do tipo

z = f (x , y) , em particular a equação de um plano:

dy

dx

x0 + x

f(x0 + x)

f (x)

f(x0)

x0



Define-se diferencial dz de uma variável dependente ) ..., , ,( n21 xxxfz , através da

igualdade

n

n

xx

fx

x

fx

x

fdz

2

2

1

1

Esta noção de diferencial pode ser utilizada no cálculo do valor aproximado de uma

função num ponto:

Conhecidos o ponto inicial n21 ..., , , xxx , o ponto objectivo (após as variações)

)..., ,,( 2211 nn xxxxxx e o diferencial dz, é possível calcular um valor aproximado

da imagem do ponto objectivo:

dzxxxfxxxxxxf nn ) ..., , ,()..., ,,( n212211



Exemplo:

Dada a função xyxyxf 23),( , calcular:

a) A variação exacta de f quando (x,y) varia de (1,2) para (1,01 ; 1,98).

065,01065,1)2,1()98,1;01,1( fff

b) O diferencial da função.

yxxyxyy

fx

x

fdf

6

c) Um valor aproximado da variação de f, calculado com recurso à expressão do

diferencial, quando (x , y) varia de (1,2) para (1,01;1,98).

06,0

02,004,0

14

02,0298,1

01,0101,1

6

)2,1()2,1(

f

f

yxf

yy

fx

x

ff

y

x

yxxyxyy

fx

x

ff

d) Um valor aproximado de f(1,01;1,98), calculado com recurso à expressão do

diferencial.

06,1)98,1;01,1(

06,01)98,1;01,1(

06,0)2,.1()98,1;01,1(

f

f

fff



Exercício resolvido:

Calcule, usando a noção de diferencial, um valor aproximado de 98,005,0

22

01,2

e.

Resolução:

Por analogia com a expressão enunciada, considera-se

zy

ezyxf

x

22),,(

Ponto inicial: (2 , 0 , 1)

Ponto objectivo: (2,01 ; 0,05 ; 0,98)

02,0198,0

05,0005,0

01,0201,2

z

y

x

2

)1,0,2(22

ex

f

zy

e

x

f x

02

2

)1,0,2(22

22

y

f

zy

zy

ye

y

f

x

2

)1,0,2(22

222

2

ez

f

zy

zy

ze

z

f

x

então

2217,002,005,0001,0 22

)1,0,2()1,0,2()1,0,2(

feef

zz

fy

y

fx

x

ff

donde resulta 61,798,005,01098,005,0

22

01,2

22

2

22

01,2

ef

ee



7. Polinómio de Taylor

Seja f uma função real de variável real com derivadas de ordem k para k = 1, 2, ..., n numa

vizinhança de a fDa . Então, pode ser definido polinómio de Taylor de ordem n

gerado por f no ponto a:

nn

kk

kn

k

k

n

axn

afax

k

afax

afaxafaf

axk

afxP

)(!

)(...)(

!

)(...)(

!2

)´´())(´()(

)(!

)()(

)()(2

0

)(

No caso particular de a = 0, chama-se polinómio de Mac-Laurin:

n

k

nn

kk

xn

fx

fxffx

k

f

0

)(2

)(

!

)0(...

!2

)0´´()0´()0(

!

)0(

Estes conceitos, podem ser generalizados a funções de variável multidimensional, em

particular à funções de duas variáveis:

Seja f (x,y) uma função que admite derivadas parciais de 1ª ordem, contínuas numa

vizinhança do ponto 00 , yx . Então o polinómio de Taylor de 1º grau é dado pela

expressão

yyy

fxx

x

fyxfxP

yxyx

0

0,0

0

0,0

00 ,)(

;

analogamente

Seja f (x,y) uma função que admite derivadas parciais de 1ª e 2ª ordem numa vizinhança do

ponto 00 , yx . Então o polinómio de Taylor de 2º grau é dado pela expressão

2

2,)(

0

2

2

2

0,0

00

2

0,0

02

2

2

0,0

0

0,0

0

0,0

00

yy

y

fyyxx

yx

f

xx

x

fyy

y

fxx

x

fyxfxP

yxyx

yxyxyx



O polinómio de Taylor permite calcular um valor aproximado de uma função num ponto,

através de uma aproximação polinomial. A aproximação através do polinómio de Taylor

de grau 1, corresponde à aproximação com recurso ao diferencial, vista no ponto anterior.

A aproximação através do polinómio de Taylor de grau 2 é mais precisa, conforme pode

ser verificado através do exemplo do ponto anterior:

xyxyxf 23),(

Fazendo o desenvolvimento em torno do ponto (1,2)

2

221

2

1212,1);(

2

2

2

2,1

2

2,1

2

2

2

2,12,12,1

y

y

fyx

yx

f

x

x

fy

y

fx

x

ffyxf

462,1

x

fyx

x

f

1

2,1

y

fx

y

f

62

2

x

f

12

yx

f

02

2

y

f

0605,1)98,1;01,1(

298,1101,1)1(101,13298,1)1(101,141)98,1;01,1(

21)1(132)1(141);(

2

2

f

f

yxxyxyxf

Recorde-se que o valor aproximado calculado com recurso ao diferencial (ou polinómio de

Taylor de 1ª ordem) foi 1,06. O valor exacto calculado pela máquina é 1,0605.



8. Homogeneidade

Uma função RRf n : é uma função homogénea de grau k ( )Rk se e só se

RDxxxxxxfxxxf fnnk

n ,,...,,,,...,,,...,, 212121

Exemplos:

1) 4 4 2 2( , ) 2 3f x y x y x y

4 4 2 2 4 4 4 2 2 4( , ) 2 3 2 3 ,f x y x y x y x y x y f x y

Logo f é uma função homogénea de grau 4.

2) baa LCKCLKV1

21,

LKVLCKC

LCKCLCKCLKV

b

a

LKV

baaba

baaaabaa

,

,

,

1

21

1

1

21

1

21

Logo V é uma função homogénea de grau b

a.

3) 12, 2 aabbag

1212, 222 aabababag

Não é possível isolar a função, colocando uma potência de base em evidência; logo, g

não é uma função homogénea.



Teorema de Euler

Seja RRf n : uma função homogénea de grau k ( )Rk ; então, tem-se que

nn

n

xxxfkxx

fx

x

fx

x

f,...,, 212

2

1

1

em todos os pontos do Dfddddd

Exemplo:

Foi visto num exemplo anterior que a função 4 4 2 2( , ) 2 3f x y x y x y é homogénea

de grau 4.

Para verificar o Teorema de Euler, deve ser verificada a igualdade

yxfyy

fx

x

f,4

),(42348124

68646864

42244224

2242242323

yxfyyxxyyxx

yxyyxxyyxyxxyxyy

fx

x

f

Nota:

Seja RRf n : uma função homogénea de grau k ( )Rk ; então, as primeiras derivadas

parciais de f, se existirem, são homogéneas de grau 1k .

Exemplo:

4 4 2 2( , ) 2 3f x y x y x y 23 64 xyxx

f

yxx

fyxxyxxyx

x

f,6464, 3223323

homogénea de grau 3




1. Para produzir determinado bem empregam-se dois factores produtivos 1FP e 2FP nas

quantidades anuais x e y respectivamente. A função de produção é dada por

6,05,0100),( yxyxP .

a) Verifique que a função P(x,y) é homogénea e determine o seu grau de

homogeneidade.

b) Determine a variação provocada em P pela diminuição percentual simultânea de

20% nos dois factores 1FP e 2FP .

Resolução:

a) ),(100100),( 1,16,06,05,05,06,05,0yxPyxyxyxP

Logo, P é homogénea de grau 1,1.

b) ),(78,0),(8,0)8,0;8,0( 1,1 yxPyxPyxP

Conclusão: quando os dois factores diminuem 20%, P diminui 22%.

2. Dada a função 2/

),(

yx

yxyxh

Determine de modo a que o grau de homogeneidade de ),( yxh seja 1.

Nota: Quando a homogeneidade é de grau 1, diz-se que é Homogeneidade Linear.

Resolução:

),(),( 2/

2/2/2/2/2/yxh

yx

yx

yx

yx

yx

yxyxh

212

.



3. As funções reais ),,( 321 xxxf e ),,( 321 xxxg são homogéneas de graus m e p ,

respectivamente.

a) Das funções a seguir indicadas, quais as homogéneas (indicando o grau)?

i) gf ii) gf iii) g

f

b) Se m = 2, uma variação positiva simultânea de 10% de 1x , 2x e 3x , permite quantificar

a variação de f . Qual é essa variação?

c) Se p = 3, qual o valor de 1x

g

no ponto (1,0,0), sabendo que 4)0,0,1( g ?

Resolução:

a) i) gf será homogénea se m = p; nessas condições será homogénea de grau m.

ii) gf é homogénea de grau m + n:

),,(),,(),,(

),,(),,(),,(

321321321

321321321

xxxgfxxxgxxxf

xxxgxxxfxxxgf

pmpm

iii) g

f é homogénea de grau pm :

),,(),,(

),,(

),,(

),,(),,( 321

321

321

321

321321 xxx

g

f

xxxg

xxxf

xxxg

xxxfxxx

g

f pm

p

m

b) ),,(21,1),,(1,1)1,1;1,1;1,1( 3213212

321 xxxfxxxfxxxf

Conclusão: quando 1x , 2x e 3x sofrem uma variação positiva simultânea de 10%, ou

seja, aparecem afectados do factor multiplicativo 1,1 xxxxx 1,11,0%10 , a

variação de f é de 21%.

c) Pelo Teorema de Euler, 321

3

3

2

2

1

1 ,,3 xxxgx

gx

x

gx

x

gx

; no ponto (1,0,0),



9. Optimização

9.1. Extremos de funções com duas variáveis

Dada uma função f (x,y), dizemos que ela tem um máximo relativo (ou local) num ponto P0

00 , yx se existe uma vizinhança de P0 de modo que:

),(, 00 yxfyxf

para todo ponto (x, y) do domínio de f na referida vizinhança.

Analogamente, dizemos que f tem um mínimo relativo num ponto P0 00 , yx se existe uma

vizinhança de P0 de modo que:

),(, 00 yxfyxf

para todo ponto (x, y) do domínio de f na referida vizinhança.

f tem um máximo absoluto em P0 se ),(, 00 yxfyxf para todos os pontos (x, y) do

domínio de f e o valor máximo é 00 , yxf ; analogamente, f tem um mínimo absoluto em

P0 se ),(, 00 yxfyxf para todos os pontos (x, y) do domínio de f e o valor mínimo é

00 , yxf . O Teorema do Valor Extremo garante que se f (x,y) é uma função contínua num

conjunto fechado e limitado, então admite máximo e mínimo absolutos em R.

Se a função tem máximo ou mínimo relativo, dizemos que ela tem extremo relativo no

ponto; e se ela tem máximo ou mínimo absoluto, diz-se que ela tem extremo absoluto no

ponto.



9.2. Cálculo de extremos livres de funções com duas variáveis

Seja f uma função de duas variáveis; o ponto 00 , yx é ponto crítico de f se:

0

0

)0,0(

)0,0(

yx

yx

y

f

x

f

ou se uma ou ambas derivadas parciais de primeira ordem não existirem em 00 , yx .

Teorema:

Se RRf 2: tem um máximo ou mínimo relativo num ponto 00 , yx , então 00 , yx é

um ponto crítico da função f.

Como apenas vão ser estudadas funções diferenciáveis, o ou os pontos (x,y) que resultam

das soluções do sistema apresentado acima são os pontos críticos, ou seja, os pontos onde

poderá existir extremo. São as condições de 1ª ordem.

Calculados os pontos críticos, para determinar a sua natureza, usam-se as condições de 2ª

ordem: sendo 2

2

2

22

2

y

f

x

f

yx

f

,

sela de ponto um é que se-diz extremo; existe não ,x ponto no 0

,x ponto do natureza a sobreconcluir pode se nada 0

,x em relativo máximo um admite f 0

,x em relativo mínimo um admite f 0

0

00

00

002

2

002

2

y

y

yx

f

yx

f



Exemplo:

1) Estudar a existência e natureza dos extremos de 8342),( 22 xyxyxyxf .

2

12

082

0322

y

x

yxy

f

yxx

f

ponto crítico

2

1,2

02012822

2

8

2

2

22

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

x

fe

y

f

x

f

yx

f

yx

f

y

fx

f

Logo, a função f admite um mínimo no ponto

2

1,2 de valor 11

2

1,2

f .

2) Estudar a existência e natureza dos extremos de 22),( xyyxf .

0

0

02

02

y

x

yy

f

xx

f

ponto crítico 0,0

04220

0

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

y

f

x

f

yx

f

yx

f

y

fx

f

Logo, a função f tem, em (0,0), um ponto de sela.

22 xyz

P

y

x

z



3) Calcular e classificar os pontos críticos da função

3433

4

3

1),( 233 yxxyxyxF .

As condições de 1ª ordem dão origem ao sistema

11

31

044

023

0

0

2

2

yy

xx

y

xx

y

F

x

F

Os pontos criticos são (-1,-1), (-1,1), (3,-1) e (3,1).

Observando o quadro:

(-1,-1)

(-1,1)

(3,-1)

(3,1)

222

2

x

x

F - 4 - 4 4 4

yy

F8

2

2

- 8 8 - 8 8

02

yx

F 0 0 0 0

22

yx

F-

2

2

x

F

2

2

y

F

- 32 32 32 -32

conclui-se que:

em (-1,-1) existe um máximo de valor 3

4)1,1( F

em (3,1) existe um mínimo de valor 3

44)1,3( F

os pontos (-1,1), (3,-1) são pontos de sela.



Nota:

Os extremos absolutos podem ser identificados pela definição. Por exemplo:

1) Sendo 221),( yxyxf , sabemos que

1),(110 2222 yxfyxyx

1 é menor ou igual a todas as imagens por f; o seu valor é atingido para o mínimo valor

de 22 yx , ou seja, no ponto (0,0).

Assim, f admite um mínimo absoluto em (0,0) cujo valor é f(0,0) = 1.

2) Sendo 225),( yxyxg , sabemos que

55000 22222222 yxyxyxyx

Ou seja, f admite um máximo absoluto em (0,0) cujo valor é f(0,0) = 5.

9.3. Cálculo de extremos condicionados de funções com duas variáveis

9.3.1. Condições de igualdade – método da Função Auxiliar de Lagrange

Seja f(x,y) uma função real com duas varáveis reais e g(x,y) = 0 uma condição que

relaciona as duas variáveis x e y (chamada condição de ligação).

Teorema de Lagrange:

Seja f uma função de duas variáveis independentes x e y com derivadas de primeira ordem

contínuas e g uma função de duas variáveis independentes x e y com primeiras derivadas

contínuas não nulas. Se f admite um extremo ),( 00 yxf quando sujeito à restrição

g(x, y) = 0, então existe um número real (chamado multiplicador de Lagrange) tal que

0,00,00,00,0

,,yxyxyxyx x

g

x

g

x

f

x

f .



Como consequência desse teorema, surge o método dos multiplicadores de Lagrange

para cálculo e classificação dos pontos críticos de uma função f(x,y) sujeita a uma

determinada restrição g(x,y) = 0:

(1) Construção da Função Auxiliar de Lagrange (ou Lagrangeana)

),(),(),,( yxgyxfyxL

(2) Resolução do sistema

0),(0

0

0

yxgL

y

Lx

L

Os pontos (x,y) que verificam o sistema são os pontos críticos da função f(x,y)

sujeita à restrição g(x,y) = 0; ou seja, caso a função admita extremos, estes estão

entre os pontos determinados.

(3) Análise da natureza dos pontos críticos, através das condições de 2ª ordem,

semelhantes às indicadas para os extremos livres; assim, sendo

2

2

2

22

2

y

L

x

L

yx

L

,



,x em relativo máximo um admite 0

,x em relativo mínimo um admite 0

0

00

00

002

2

002

2

y

y

yfx

L

yf x

L



Exemplo:

1) Um produto P pode ser fabricado em duas máquinas diferentes. Sendo x a quantidade

produzida na máquina 1 e y a quantidade produzida na máquina 2, o custo de produzir o

produto P em cada uma das máquinas é dado por:

Custo de produzir P na máquina 1: 252 xx

Custo de produzir P na máquina 2: 243 yy

Pretende-se determinar as quantidades a produzir em cada uma das máquinas de forma

a minimizar o custo total de produção, sabendo que é necessário satisfazer uma procura

prevista de 50 unidades do produto P.

Pretende-se minimizar a função 22 4352),( yyxxyxf , com a condição de ligação

50 yx .

18

40118

4999

2023

50

10283

102

50

83

102

050

083

0102

)504352),,( 22

x

y

yx

xy

x

yx

y

x

yxL

yy

L

xx

L

yxyyxxyxL

(

0100810

0

8

10

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

x

Le

y

L

x

L

yx

L

yx

L

y

Lx

L

Logo, as quantidades

18

499,

18

401),( yx minimizam o custo total de produção do produto

P.



2) Calcular os pontos críticos e, se possível, determinar a sua natureza, da função

yxyxyxf 3),( 2 , sujeita à condição 2xy -

0

),(

22 yxg

xyxy ; então )3),,( 22 xyyxyxyxL ( .

3

181

169

4

1

0

0

13

049

13

02632

0

013

0232

2

2

2

22

2

y

x

y

x

xy

x

xx

xy

x

xxxx

xyL

xy

L

xyxx

L

2 2, , 3L x y x xy y y x

pontos críticos: (0,0) para 1 e 4 16

,9 81

para 1

3 .

(0,0)

( 1 )

4 16,

9 81

( 1

3 )

222

2

x

L 4

3

4

02

2

y

L 0 0

32

yx

L -3 -3

2

2

2

22

2

y

L

x

L

yx

L

9 9

Como este exemplo demonstra, há casos em que o método da Função Auxiliar de Lagrange

não permite determinar a natureza do ponto crítico. Neste exemplo, um método alternativo

seria substituir, em f, y por 2x e determinar os extremos da função f(x) pelo método

habitual. Tal não é do âmbito desta cadeira.



Quando a condição de ligação define em 2R um conjunto fechado e limitado, deverá ser

tido em conta o Teorema do Valor Extremo:

Seja uma função f, real de duas variáveis reais, contínua no seu domínio, definida num

domínio fechado e limitado; então o conjunto das imagens de f é um conjunto limitado de

números reais e f possui valores máximo e mínimo absolutos nesse domínio.

Exemplo:

Seja a função xyyxf ),( condicionada pela elipse 44 22 yx .

)44),,( 22 yxxyyxL (

4

1

22

2

4

1

22

2

2

22

2

2

22

2

2

1

2

4

12

2

4

044

2

04

044

02

08

22

2

22

2

22

22

2

22

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

x

y

x

xy

x

y

x

xy

yx

y

x

y

xy

yxL

yxy

L

xyx

L

O sistema foi resolvido sob o pressuposto 0y ; note-se que se y = 0, então x = 0, valores

que não verificam a condição de ligação. Assim,

pontos críticos:

2,

2

2 e

2,

2

2 para

4

1

2,

2

2 e

2,

2

2 para

4

1



2,

2

2

4

1

2,

2

2

4

1

2,

2

2

4

1

2,

2

2

4

1

82

2

x

L - 2 - 2 2 2

22

2

y

L

2

1

2

1

2

1

2

1

12

yx

L 1 1 1 1

2

2

2

22

2

y

L

x

L

yx

L

0 0 0 0

O método da Função Auxiliar de Lagrange não permitiu determinar a natureza dos pontos

críticos. No entanto, como a condição de ligação define um domínio fechado e limitado

para a função (já que se trata de uma elipse), pode-se concluir que

y

curvas de nível da função f(x,y) = xy

2,

2

2

2,

2

2

-1 1 x

2,

2

2

2,

2

2

f admite máximos relativos em

2,

2

2 e

2,

2

2, ambos de valor 1;

f admite mínimos relativos em

2,

2

2 e

2,

2

2 , ambos de valor -1.



9.3.1. Condições de desigualdade – método de Karush-Kuhn-Tucker

Seja ),( yxfo que pretendemos minimizar, referenciada como função objectivo, sujeita às

condições de desigualdade

nn cyxg

cyxg

cyxg

,

...

,

,

22

11

para Rccc n ...,,, 21

(1) Construção da Lagrangeana

n

iiin yxgyxfyxL

101 ),(),(),...,,,( .

(2) Definição das condições de Karush-Kuhn-Tucker (K-K-T):

as condições de K-K-T para o problema são

(3) Os pontos (x, y) para os quais existem constantes reais não negativas n ,...,1 que

satisfazem as condições enunciadas chamam-se pontos de K-K-T.

Mediante a satisfação de determinadas condições relativas às funções envolvidas, pode

afirmar-se que as condições de K-K-T são condições necessárias e suficientes para a

existência de extremo.

Problemas de maximização transformam-se em problemas de minimização da função

simétrica de 0f , ou seja ),(min),(max 00 yxfyxf .

0

,...,1,0),(

,...,1,0),(

0

0

i

i

ii

niyxg

niyxg

y

Lx

L



Exemplo:

1) Máximo de f (x,y) = x + y, sujeita às condições x < 2, y < 4, x > 0 e y > 0.

Máximo de f(x,y) = x + y, é o mínimo de f(x,y) = - x – y. Por outro lado, as das condições

com desigualdades têm que ser alteradas para x - 2 < 0, y – 4 < 0, - x < 0 e - y < 0.

Assim:

yxyxyxyxL 43214321 42),,,,,(

10

10

4

3

2

1

impossível porque 03 e 04 . Logo x = 2 e y = 4.

Facilmente se verifica que o ponto (2,4) verifica as restantes condições de K-K-T.

Logo, em (2,4) a função admite um máximo de valor 6.

0

0

0

0

00

00

404

202

000

000

4004

2002

01

01

4

3

2

1

44

33

22

11

42

31

yy

xx

yy

xx

yy

xx

yy

xx



Graficamente: y

4 (2,4)

x + y = 6

0 x 2

x + y = 0

2) Mínimo de yxyxg )1ln(),( , com 2x + y < 2, x > 0 e y > 0.

yxyxyxyxL 321321 221ln),,,,(

10

012

102

1

10

1

11

3

2xx

impossível porque 03 e 04 .

Logo x = 0 e y = 0; facilmente se verifica que o ponto (0,0) verifica as restantes condições

de K-K-T. No ponto (0,0) existe um mínimo de valor 0.

0

0

0

00

00

022

000

000

0220022

01

021

1

3

2

1

33

22

11

31

21

yy

xx

yx

yy

xx

yxyx

x



Bibliografia:

Larson, R., e Edwards, B., Cálculo com aplicações. Livros Técnicos e Científicos Editora

Swokowski, E., Cálculo com Geometria Analítica. Makron Books

Hoffmann & Bradley, Calculus for Business, Economics, and the Social Sciences.

McGraw-Hill

Weber, J., Matemática para Economia e Administração. Harbra

Pires, Cesaltina, Cálculo para Economistas. McGraw-Hill

Piskounov, N., Cálculo Diferencial e Integral (volume I). Lopes da Silva Editora

Dowling, E., Matemática Aplicada à Economia e Administração. McGraw-Hill

Demidovitch, B., Problemas e Exercícios de Análise Matemática. McGraw-Hill

Funcoes varias variaveis

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