1 - Civil 6 - Variaveis Aleatorias
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Modelos de ProbabilidadeModelo Normal
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Varivel Aleatria
Para descrever um experimento aleatrio conveniente associar valores numricos aos seus resultados.
Como os eventos que ocorrem quando se realizam experimentos aleatrios variam a cada realizao dos mesmos, tambm variaro os valores numricos que lhes so associados.
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Varivel AleatriaUma varivel aleatria (va) uma funo definida num espao amostral que assume valores reais.
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O Modelo!O Modelo uma simplificao da realidade.
Dados bem coletados so importantes para produzir bons modelos.
Modelos bem construdos tendem a gerar boas solues para problemas reais.
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Exemplos1. Observar se um doente de cncer fumante ou no fumante.S = { fumante, no fumante}
X = 1, se fumante 0, se no fumante
2. Observar o peso de crianas ao nascer.X = peso = { x, x real, x > 0 }
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Exemplos3. Observar uma caixa de bombons e observar o nmero de bombons com peso abaixo do esperado.X = nmero de bombons = {0, 1, 2, ..., 26}
4. Inspecionar bombons, um a um at encontrar o primeiro com peso abaixo do esperado.X = {1,2,3,...}
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Exemplos5. Observar o tempo at falhar de um equipamento industrialX = {t, t real positivo, tempo at falhar}
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Tipos de v.a.Dependendo dos possveis valores de X uma va pode ser discreta (valores inteiros, finito ou infinito) ou contnua (valores reais em um determinado intervalo).
Veremos a seguir algumas variveis aleatrias muito utilizadas. So modelos probabilsticos aplicados a diversas situaes.
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Variveis Aleatrias Discretas Binomial (no. de peas defeituosas num lote de n peas)Poisson (no. de acidentes em rodovias, no. de defeitos em material por m2, por metro, km e etc.)GeomtricaHipergeomtricaBinomial Negativa
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Variveis Aleatrias Contnuas Uniforme Normal Exponencial t Student Qui-quadrado F Snedecor
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Modelo Normal
As distribuies Normais remontam ao sculo XVIII.
Mensuraes repetidas de uma mesma quantidade apresentavam histograma com uma forma de sino.
Essa distribuio estava associada aos erros de mensurao, e ficou conhecida como distribuio Normal dos erros ou Normal.
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Modelo Normal
Gauss (1777-1855) deduziu matematicamente a curva normal que ficou um bom tempo conhecida como distribuio de probabilidade de erros de medidas, ou Lei normal dos erros.
Empiricamente, a forma dos histogramas dos erros de medio dos pesquisadores, em geral, se assemelhavam distribuio de Gauss. Por isso a distribuio Normal tambm conhecida como Gaussiana.
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CaractersticasO grfico de uma distribuio Normal se assemelha a um sino, sendo simtrico em torno da mdia.
A distribuio Normal (ou distribuio Gaussiana) est definida para todos os valores, tanto positivos como negativos.
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Forma de Sino
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CaractersticasA Normal especificada por dois parmetros: a mdia da distribuio () e a varincia da distribuio (2).
A notao usual para essa distribuio
X ~ N(, 2 )
O parmetro um parmetro de locao. Variando-se os valores da mdia, a forma da distribuio se mantm inalterada. H apenas mudana na localizao da distribuio.
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Normais com mdias diferentes
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DispersoO desvio padro um parmetro de disperso. Quanto maior for o desvio padro , mais espalhada estar a distribuio;
Quanto menor for o desvio padro , mais concentrada estar a distribuio. Assim, variando o parmetro de disperso , obtm-se formas diferentes.
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Disperso
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Probabilidades
A rea total sob a curva Normal representa a probabilidade total que vale 1 (um).
Como a curva simtrica em relao mdia, a rea sob a curva direita da mdia vale 0,5 e esquerda tambm vale 0,5.
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Probabilidades
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Probabilidades
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Probabilidades
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Probabilidades
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ProbabilidadesComo calcular probabilidade num modelo normal: Normal Padronizada.
Exemplo: Suponha que o tempo de vida (X) de um equipamento possa ser modelada por uma distribuio Normal, com mdia =15 e desvio padro =4.Calcular P( X 22.84) e P( X 8.44).
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Probabilidades
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Probabilidades
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Outros modelos importantesQui-quadradot Student
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Qui-quadradoSejam Z1, Z2, ..., Zv variveis aleatrias Normais com mdia 0 e desvio padro 1 independentes. Ento:
2v = Z21 + Z22 + ... + Z2v
uma varivel aleatria Qui-Quadrado (2v) com v graus de liberdade.
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T-Student Sejam Z varivel aleatria Normal com mdia 0 e desvio padro 1 e Y uma varivel aleatria Qui-quadrado com v graus de liberdade, com Z independente de Y. Ento a varivel t de Student (t) dada pela expresso abaixo.
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T-StudentA distribuio t de Student possui caractersticas semelhantes Normal Padro: simetria em torno de 0, tem forma de sino, e as caudas tendem rapidamente a zero.
Entretanto, ao compararmos a forma de uma distribuio t e a Normal padro, vemos que a primeira mais varivel (mais espalhada), como ilustra a Figura abaixo.
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T-Student (linha pontilhada)
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Exerccios4.90 e 4.93 (pg. 71)
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