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Escola Secundria da Portela

11 Ano Fevereiro/2015

Ficha de trabalho V - Geometria

Grupo I

1 Considera o referencial o.n. da figura do lado. A reta r tem uma inclinao igual 3

pi

radianos. Qual a ordenada na origem da reta r?

(A) 2

3 (B)

3

pi

(C) 3 (D) 3

3.

2 Num referencial o.n. Oxyz, considera o plano definido pela equao 253 = zyx . Um ponto que

pertence interseo do plano com o plano xOz :

(A) ( )1,0,1 (B) ( )0,0,1 (C) ( )1,1,0 (D) ( )1,1,1

3 Na figura est representada, num referencial o.n. Oxyz, uma pirmide

quadrangular regular. Sabe-se que:

a base da pirmide est contida no plano xOy ;

o vrtice V pertence ao semieixo positivo Oz ;

o vrtice A tem coordenadas ( )0,1,1 ;

uma equao do plano ABV 0626 =+ zx .

Qual o valor do volume da pirmide [ ]ABCDV .

(A) 16 (B) 3

8 (C) 4 (D)

3

16

4 Num referencial o.n. x0y, seja a circunferncia de equao 1322=+ yx . Qual das equaes seguintes define

a reta tangente circunferncia no ponto de coordenadas (3,-2)?

(A) 42 += xy ; (B) 2

5

2

3= xy ; (C) xy

3

2= ; (D)

2

13

2

3= xy .

5 - Num referencial o.n. Oxyz, o plano e a reta r so paralelos e esto definidos por 135 =+ zyx: e

4

122

1

1 =

=

+ z

m

y

m

xr : . Ento o valor de m :

(A) 2

1; (B)

8

1; (C)

8

3; (D) 0.

6 - Num referencial o.n. do espao, considera dois planos definidos por 02: =+x e 3: =z . Qual das

equaes seguintes poder representar a reta de interseco de e ?

(A) ( ) ( ) ( ) R+= kkzyx ,0,2,03,0,2,, ; (B) ( ) ( ) ( ) R+= kkzyx ,0,1,03,1,2,, ;

(C) ( ) ( ) ( ) R+= kkzyx ,3,1,23,0,2,, ; (D) ( ) ( ) ( ) R+= kkzyx ,0,3,03,1,2,, .

2

7 Num referencial o.n. Oxyz , a condio zyx

yx =+

== 25

3

2625 , define:

(A) uma reta (B) um ponto (C) um plano (D) o conjunto vazio

8 - Num referencial o.n. Oxyz, considera a reta ( ) ( ) ( ) R+= kkzyx ,1,0,32,1,0,, . Esta reta :

(A) paralela ao plano xOy (B) paralela ao plano xOz

(C) paralela ao plano yOz (D) no paralela a nenhum dos planos coordenados

9 - Num referencial o.n. Oxyz, o ponto de interseco da recta 31

2

2

1:

zyxr =

=

+ com o plano XOZ :

(A) ( )0,2,1 ; (B) ( )2,0,1 ; (C) ( )6,0,1 ; (D) ( )6,0,3 .

10 - Num referencial o.n. Oxyz, as retas AB e r so paralelas. Sabendo que ( )3,,2 mBA = e sendo r definida

por zyx

23

2==

, o valor de m :

(A) 3

2; (B) -6; (C) 1; (D) Nenhuma das anteriores.

11 - Considera a esfera definida pela condio ( ) ( ) ( ) 14432 222 ++ zyx . Sabendo que [ ]AB um

dimetro dessa esfera e que A tem coordenadas ( )1,1,1 , quais so as coordenadas do ponto B ?

(A) ( )8,4,2 (B) ( )7,5,3 (C) ( )5,6,4 (D) ( )6,3,5

12 - Na figura est representado um hexgono regular cujo lado mede 2 unidades.

Podemos concluir que vurr

igual a:

(A) 32 (B) 2 (C) 32 (D) 4

13- Qual das condies seguintes define, num referencial o.n. Oxyz, uma reta paralela ao eixo Oz?

(A) 32

zyx == ; (B) 1=z ; (C) ( ) ( ) ( ) += kkzyx ,0,1,10,2,1,, ; (D)

=

=

1

2

y

x.

14- Num referencial o.n. Oxyz, so dados um plano 1323: =+ zyx e uma reta 213: ==+ yzxr .

Ento, podemos concluir que:

(A) r ; (B) r estritamente paralela a ;

(C) r ; (D) r secante a mas no perpendicular.

15- Qual das situaes seguintes pode traduzir o sistema

=+

=+

=

142

32

22

yx

zy

yx

(A)

(B)

(C)

(D)

3

Grupo II

1 Considera as retas de equaes:

zx

yt ==2

1: ( ) ( ) ( ) R+= kkzyxr ,8,4,15,2,0,,:

52: == zxu 4

2

3

1:

=

+=

zyxs

1.1. Indica um ponto e um vetor diretor da reta s.

1.2. Escreve a equao vetorial da reta u.

1.3. Escreve a equao vetorial da reta t.

1.4. Calcula o ngulo entre as retas r e s. Apresenta o resultado final em graus e minutos arredondados s

unidades.

1.5. Escreve a equao geral do plano , perpendicular reta r e que contm a origem.

2 Dada a reta r definida por

=

+=

32

13:

zy

zxr e o ponto ( )5,4,1 B , escreve as equaes cartesianas da reta

s que contm o ponto B e paralela reta r.

3 Na figura est representado, num referencial o.n. Oxyz, um

prisma triangular reto. Sabe-se que:

o ponto A tem coordenadas ( )0,4,4 ;

o vetor OC tem coordenadas ( )0,2,2 .

Resolve os itens seguintes sem recorrer calculadora.

3.1. Escreve uma condio cartesiana que defina a reta AD .

3.2. Mostra que o plano CDE pode ser definido pela equao

04 =+ yx .

3.3. Sabe-se que a condio ( ) ( ) ( ) R+= kkzyx ,1,0,10,4,4,, , define a reta AE . Determina, as

coordenadas do ponto E .

4 - Na figura esto representados, em referencial o.n. Oxyz, um prisma

quadrangular regular e uma pirmide.

A base [ ]OFGE da pirmide est contida no plano xOy e coincide com a

base inferior do prisma. O vrtice H da pirmide coincide com o centro

da base superior do prisma. O ponto G tem coordenadas ( )0,4,4 .

4.1. Sabendo que o volume do prisma igual a 96, mostra que H tem

coordenadas ( )6,2,2 .

4.2. Escreve uma equao cartesiana do plano OEH .

4.3. Indica justificando, uma equao vetorial da reta que a

interseco do plano OEH com o plano ABC .

4.4. Determina com aproximao centsima da unidade, o raio da

esfera cuja rea igual rea total do prisma.

4

5 Num referencial o.n. Oxyz, ( )0,6,0V o vrtice de uma pirmide

quadrangular regular, de altura OV , que tem por base o quadrado

[ ]ABCD com quatro unidades de lado.

5.1. Calcula a amplitude do ngulo ABV em graus. Apresenta o

resultado arredondado s unidades. Nos clculos intermdios utiliza, pelo

menos, 4 c.d.

5.2. Escreve a equao geral do plano , que contm OV e paralelo

reta AB.

5.3. Escreve as equaes cartesianas da reta BV.

6 - Na figura est representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirmide

quadrangular regular cuja base est contida no plano de equao 4=z . Os

vrtices OzA , yOzB , ( )4,4,4C e xOzD . A altura da pirmide 6.

6.1 Escreve uma equao vetorial da reta DE.

6.2. Determina uma equao do plano que contm o ponto B e

perpendicular reta DE.

6.3. Determina a rea da seo produzida na pirmide pelo plano xOy.

6.4. Escreve a equao geral do plano que contm a reta DE e o ponto ( )2,1,4 F .

6.5. Dado o plano ( ) 0153: 2 =++++ zkyxk , determina o(s) valor(es) real(is) de k de modo que o plano seja paralelo reta DE.

7 Na figura 1 est representada, num referencial o.n. Oxyz, parte do

plano ABC , de equao 122 =++ zyx . Tal como a figura sugere,

A , B e C so os pontos de interseo deste plano com os eixos

coordenados.

7.1. Determina uma equao cartesiana do plano que passa no

ponto ( )3,2,1D e paralelo ao plano ABC .

7.2. Seja M o ponto mdio do segmento de reta [ ]AC .

Determina uma condio cartesiana da reta MB .

Figura 1

7.3. O plano ABC tangente, num ponto P , a uma esfera

centrada na origem do referencial, tal como mostra a figura 2.

Determina o valor exato do volume dessa esfera.

Nota: tem em conta que a reta OP perpendicular ao plano

ABC .

Figura 2

A professora: Isabel Branco