Ficha 5 Geometria
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1
Escola Secundria da Portela
11 Ano Fevereiro/2015
Ficha de trabalho V - Geometria
Grupo I
1 Considera o referencial o.n. da figura do lado. A reta r tem uma inclinao igual 3
pi
radianos. Qual a ordenada na origem da reta r?
(A) 2
3 (B)
3
pi
(C) 3 (D) 3
3.
2 Num referencial o.n. Oxyz, considera o plano definido pela equao 253 = zyx . Um ponto que
pertence interseo do plano com o plano xOz :
(A) ( )1,0,1 (B) ( )0,0,1 (C) ( )1,1,0 (D) ( )1,1,1
3 Na figura est representada, num referencial o.n. Oxyz, uma pirmide
quadrangular regular. Sabe-se que:
a base da pirmide est contida no plano xOy ;
o vrtice V pertence ao semieixo positivo Oz ;
o vrtice A tem coordenadas ( )0,1,1 ;
uma equao do plano ABV 0626 =+ zx .
Qual o valor do volume da pirmide [ ]ABCDV .
(A) 16 (B) 3
8 (C) 4 (D)
3
16
4 Num referencial o.n. x0y, seja a circunferncia de equao 1322=+ yx . Qual das equaes seguintes define
a reta tangente circunferncia no ponto de coordenadas (3,-2)?
(A) 42 += xy ; (B) 2
5
2
3= xy ; (C) xy
3
2= ; (D)
2
13
2
3= xy .
5 - Num referencial o.n. Oxyz, o plano e a reta r so paralelos e esto definidos por 135 =+ zyx: e
4
122
1
1 =
=
+ z
m
y
m
xr : . Ento o valor de m :
(A) 2
1; (B)
8
1; (C)
8
3; (D) 0.
6 - Num referencial o.n. do espao, considera dois planos definidos por 02: =+x e 3: =z . Qual das
equaes seguintes poder representar a reta de interseco de e ?
(A) ( ) ( ) ( ) R+= kkzyx ,0,2,03,0,2,, ; (B) ( ) ( ) ( ) R+= kkzyx ,0,1,03,1,2,, ;
(C) ( ) ( ) ( ) R+= kkzyx ,3,1,23,0,2,, ; (D) ( ) ( ) ( ) R+= kkzyx ,0,3,03,1,2,, .
-
2
7 Num referencial o.n. Oxyz , a condio zyx
yx =+
== 25
3
2625 , define:
(A) uma reta (B) um ponto (C) um plano (D) o conjunto vazio
8 - Num referencial o.n. Oxyz, considera a reta ( ) ( ) ( ) R+= kkzyx ,1,0,32,1,0,, . Esta reta :
(A) paralela ao plano xOy (B) paralela ao plano xOz
(C) paralela ao plano yOz (D) no paralela a nenhum dos planos coordenados
9 - Num referencial o.n. Oxyz, o ponto de interseco da recta 31
2
2
1:
zyxr =
=
+ com o plano XOZ :
(A) ( )0,2,1 ; (B) ( )2,0,1 ; (C) ( )6,0,1 ; (D) ( )6,0,3 .
10 - Num referencial o.n. Oxyz, as retas AB e r so paralelas. Sabendo que ( )3,,2 mBA = e sendo r definida
por zyx
23
2==
, o valor de m :
(A) 3
2; (B) -6; (C) 1; (D) Nenhuma das anteriores.
11 - Considera a esfera definida pela condio ( ) ( ) ( ) 14432 222 ++ zyx . Sabendo que [ ]AB um
dimetro dessa esfera e que A tem coordenadas ( )1,1,1 , quais so as coordenadas do ponto B ?
(A) ( )8,4,2 (B) ( )7,5,3 (C) ( )5,6,4 (D) ( )6,3,5
12 - Na figura est representado um hexgono regular cujo lado mede 2 unidades.
Podemos concluir que vurr
igual a:
(A) 32 (B) 2 (C) 32 (D) 4
13- Qual das condies seguintes define, num referencial o.n. Oxyz, uma reta paralela ao eixo Oz?
(A) 32
zyx == ; (B) 1=z ; (C) ( ) ( ) ( ) += kkzyx ,0,1,10,2,1,, ; (D)
=
=
1
2
y
x.
14- Num referencial o.n. Oxyz, so dados um plano 1323: =+ zyx e uma reta 213: ==+ yzxr .
Ento, podemos concluir que:
(A) r ; (B) r estritamente paralela a ;
(C) r ; (D) r secante a mas no perpendicular.
15- Qual das situaes seguintes pode traduzir o sistema
=+
=+
=
142
32
22
yx
zy
yx
(A)
(B)
(C)
(D)
-
3
Grupo II
1 Considera as retas de equaes:
zx
yt ==2
1: ( ) ( ) ( ) R+= kkzyxr ,8,4,15,2,0,,:
52: == zxu 4
2
3
1:
=
+=
zyxs
1.1. Indica um ponto e um vetor diretor da reta s.
1.2. Escreve a equao vetorial da reta u.
1.3. Escreve a equao vetorial da reta t.
1.4. Calcula o ngulo entre as retas r e s. Apresenta o resultado final em graus e minutos arredondados s
unidades.
1.5. Escreve a equao geral do plano , perpendicular reta r e que contm a origem.
2 Dada a reta r definida por
=
+=
32
13:
zy
zxr e o ponto ( )5,4,1 B , escreve as equaes cartesianas da reta
s que contm o ponto B e paralela reta r.
3 Na figura est representado, num referencial o.n. Oxyz, um
prisma triangular reto. Sabe-se que:
o ponto A tem coordenadas ( )0,4,4 ;
o vetor OC tem coordenadas ( )0,2,2 .
Resolve os itens seguintes sem recorrer calculadora.
3.1. Escreve uma condio cartesiana que defina a reta AD .
3.2. Mostra que o plano CDE pode ser definido pela equao
04 =+ yx .
3.3. Sabe-se que a condio ( ) ( ) ( ) R+= kkzyx ,1,0,10,4,4,, , define a reta AE . Determina, as
coordenadas do ponto E .
4 - Na figura esto representados, em referencial o.n. Oxyz, um prisma
quadrangular regular e uma pirmide.
A base [ ]OFGE da pirmide est contida no plano xOy e coincide com a
base inferior do prisma. O vrtice H da pirmide coincide com o centro
da base superior do prisma. O ponto G tem coordenadas ( )0,4,4 .
4.1. Sabendo que o volume do prisma igual a 96, mostra que H tem
coordenadas ( )6,2,2 .
4.2. Escreve uma equao cartesiana do plano OEH .
4.3. Indica justificando, uma equao vetorial da reta que a
interseco do plano OEH com o plano ABC .
4.4. Determina com aproximao centsima da unidade, o raio da
esfera cuja rea igual rea total do prisma.
-
4
5 Num referencial o.n. Oxyz, ( )0,6,0V o vrtice de uma pirmide
quadrangular regular, de altura OV , que tem por base o quadrado
[ ]ABCD com quatro unidades de lado.
5.1. Calcula a amplitude do ngulo ABV em graus. Apresenta o
resultado arredondado s unidades. Nos clculos intermdios utiliza, pelo
menos, 4 c.d.
5.2. Escreve a equao geral do plano , que contm OV e paralelo
reta AB.
5.3. Escreve as equaes cartesianas da reta BV.
6 - Na figura est representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirmide
quadrangular regular cuja base est contida no plano de equao 4=z . Os
vrtices OzA , yOzB , ( )4,4,4C e xOzD . A altura da pirmide 6.
6.1 Escreve uma equao vetorial da reta DE.
6.2. Determina uma equao do plano que contm o ponto B e
perpendicular reta DE.
6.3. Determina a rea da seo produzida na pirmide pelo plano xOy.
6.4. Escreve a equao geral do plano que contm a reta DE e o ponto ( )2,1,4 F .
6.5. Dado o plano ( ) 0153: 2 =++++ zkyxk , determina o(s) valor(es) real(is) de k de modo que o plano seja paralelo reta DE.
7 Na figura 1 est representada, num referencial o.n. Oxyz, parte do
plano ABC , de equao 122 =++ zyx . Tal como a figura sugere,
A , B e C so os pontos de interseo deste plano com os eixos
coordenados.
7.1. Determina uma equao cartesiana do plano que passa no
ponto ( )3,2,1D e paralelo ao plano ABC .
7.2. Seja M o ponto mdio do segmento de reta [ ]AC .
Determina uma condio cartesiana da reta MB .
Figura 1
7.3. O plano ABC tangente, num ponto P , a uma esfera
centrada na origem do referencial, tal como mostra a figura 2.
Determina o valor exato do volume dessa esfera.
Nota: tem em conta que a reta OP perpendicular ao plano
ABC .
Figura 2
A professora: Isabel Branco