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FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO
PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA
TURMA - PDE/2012
Título: A Beleza e a Arte da Geometria Fractal na Construção de Cartões.
Autor Alessandry Amaral
Disciplina/Área Matemática
Escola de Implementação do
Projeto e sua localização Colégio Estadual José de Anchieta, Rua Juazeiro , 1501
Município da escola Quedas do Iguaçu – Pr
Núcleo Regional de Educação Laranjeiras do Sul
Professor Orientador Prof.ª. Ms. Maria Regina Carvalho Macieira Lopes
Instituição de Ensino Superior UNICENTRO- Guarapuava
Relação Interdisciplinar Matemática e Artes
Resumo
Neste trabalho apresentamos a unidade didática destinada aos
Professores de Matemática da Rede Estadual de Ensino de Quedas
do Iguaçu. Através da geometria fractal explorando a construção de
cartões fractais abordaremos diversos conteúdos matemáticos como:
perímetro, área, volume, dimensão, progressão geométrica, triângulo
de Pascal, simetria, entre outros. Estes conteúdos matemáticos serão
explorados durante a construção de cartões fractais, seguidos de
textos e vídeos de apoio para que o professor compreenda a
importância do uso dos fractais como aliado a aprendizagem
matemática, tornando suas aulas de geometria mais atrativas e
oportunizando aos alunos o conhecimento de uma geometria rica em
detalhes e dimensões.
Palavras-chave Geometria Fractal, Cartões, Matemática.
Formato do Material Didático Unidade Didática
Público Alvo Professores de Matemática da Rede Estadual de
Ensino de Quedas do Iguaçu- Pr.
2. APRESENTAÇÃO
Preparar aulas de Matemática mais interessantes e inovadoras sempre foi
um dos maiores desafios dos matemáticos, que procuram repassar conteúdos com
uma dinâmica diferenciada para os alunos que já trazem consigo, muitas vezes,
certa ansiedade acreditando que a matemática é muito difícil, principalmente no
conteúdo relacionado as geometrias.
Um dos maiores problemas em sala de aula nas aulas de Matemática é que
precisa-se levar os alunos a encantarem-se com o conhecimento, e para isso é
necessário criar condições para que possam construir este conhecimento no
concreto, que consigam visualizar esta aprendizagem. A visualização da
aprendizagem sobre fractais pode ser realizada através da construção de cartões,
que podem levar os alunos a maravilhar-se com a sua beleza e com a apresentação
de um saber novo e diferente da geometria que estão acostumados a estudar.
O professor de Matemática ao trabalhar com o aluno deve levá-lo a
aprofundar-se na geometria euclidiana, que trata das figuras planas e espaciais
como na geometria não euclidiana, que se refere à geometria projetiva (pontos de
fuga e linhas do horizonte); geometria topológica (conceitos de interior, exterior,
fronteira, vizinhança, conexidade, curvas e conjuntos abertos e fechados) e noção
de geometria dos fractais. E ao abordar a “geometria dos fractais, pode-se explorar
os fractais clássicos, como: o floco de neve e a curva de Koch; triângulo e tapete de
Sierpinski entre outros” a fim de conduzi-lo a observação do senso estético para
“constatar que há regularidade harmoniosa nas suas próprias irregularidades”.
(PARANÁ, 2008, DCE’S. p.56).
Como a geometria fractal ainda é uma novidade na Matemática, torna-se
interessante produzir este material didático para que os professores integrem-se ao
conteúdo desta geometria não euclidiana e com ela possam oferecer a seus alunos
uma aula mais interessante, porque primeiro o professor necessita dominar bem o
conhecimento para depois passar este conhecimento aos alunos.
Por meio da construção dos cartões fractais e das intervenções realizadas
nesta produção didática pedagógica será possível explorar vários conteúdos
matemáticos que estão inseridos no planejamento de Matemática e que podem ser
construídos conceitos matemáticos mais consistentes e ainda após confeccionar
estes cartões conjuntamente, os professores terão conhecimento e suporte
pedagógico para aplicar em suas salas de aula outros cartões, ou até mesmo,
produzir novos cartões com temas da natureza, enfim ampliar ainda mais os
horizontes sobre o tema.
De acordo com Barbosa (2005), existem diversas razões para o professor
utilizar-se da geometria fractal em sala de aula como: a conexão com diversas
outras áreas das ciências, a deficiência da geometria euclidiana apresentada como
meio de entender as formas da natureza, sendo que a natureza por ser mais
complicada exige uma geometria ”mais rica”, a difusão desta geometria através da
computação, a sensação do aluno ao verificar que na desordem existe ordem e
especialmente a existência da beleza visual que a construção de cartões fractais
pode proporcionar aos alunos.
A produção didática pedagógica tem como objetivo geral proporcionar aos
professores cursistas, situações que os levem a conhecer mais sobre a geometria
fractal e como a construção de cartões fractais podem servir de suporte pedagógico
para a exploração de diversos conteúdos matemáticos de maneira mais dinâmica e
atraente perante os alunos.
No desenvolvimento deste trabalho, propõe-se primeiro o conhecimento
sobre o tema fractal e a seguir a oficina de construção dos cartões e a exploração
dos conteúdos como: medida, simetria, potência, área, perímetro, funções e outros
conteúdos que surgirem durante a oficina de construção dos cartões.
3. MATERIAL DIDÁTICO
A) ATIVIDADE 1: QUESTIONÁRIO( Dur: 2 h/a)
A Atividade 1 apresenta um questionário direcionado aos professores
cursistas, contendo um total de 5 questões, sendo 2 abertas e 3 fechadas
relacionadas ao conhecimento que os mesmos já possuem sobre a geometria e sua
aplicabilidade em sala de aula.
O objetivo é investigar o conhecimento que o professor cursista possui sobre
a geometria fractal e como utiliza-se do ensino da geometria na sua prática docente.
1- Apresentar-se e dar as boas vindas aos participantes do grupo de
estudo salientando sobre o objetivo de sua produção pedagógica do PDE
que é oportunizar o conhecimento de uma geometria mais rica que vai tornar
as aulas de matemática, em relação aos conteúdos de geometria mais
envolvente para o aluno;(20min)
2- Separar os professores em grupo de 4 participantes . Entregar os
questionários para que respondam as questões;(30min)
3- Pedir que cada grupo socialize as questões 1 de cada vez e que
discuta-se a resposta da questão 1, depois da questão 2 e assim
sucessivamente até que todos os grupos apresentem suas
questões?(30min)
4- Esclarecer aos professores qual foi o objetivo da aplicação do
questionário e como estas informações contribuirão para as próximas
atividades a serem desenvolvidas sobre o tema que vamos estudar: Os
fractais. (20min)
5- Questionário:
QUESTIONÁRIO
1- No ensino de geometria, em sala de aula, trabalhamos muito com a geometria
euclidiana que compreende a geometria plana e a espacial e sabe-se que é
necessário no estudo da geometria conhecer as demonstrações das fórmulas,
teoremas e aplicar as regras e convenções matemáticas, além de possibilitar
ao aluno do ensino médio, acesso ao amplo mundo das geometrias. (DCE’S,
2008.p.56/57) Para explorar a geometria euclidiana, você costuma usar qual
metodologia de ensino? Assinale todas as alternativas que englobam sua
metodologia.
( ) Figuras e cálculos sistematizados
( ) Oficinas
( ) Jogos cooperativos
( ) Arquivos do portal Dia a Dia
( ) Vídeos específicos
( ) Tecnologia e multimeios
( ) Outros. Qual?___________________________
2- Na primeira metade do século XVII, o conhecimento geométrico recebeu a
abordagem nova com a geometria analítica, trazendo uma dinâmica para a
geometria, abrindo caminhos para o pensar além da geometria euclidiana.
Assim, em meados do século XIX, matemáticos como Bolyai, Lobachesvski,
Riemann e Gauss, trouxeram uma nova maneira de ver e conceber o
conhecimento geométrico por meio da geometria não euclidiana, com a
Teoria da Relatividade. Provando que os problemas do mundo só são
resolvidos pela geometria não euclidiana. (DCE’S, 2008.p.56/57) Como você
utiliza a geometria não euclidiana em suas aulas? Assinale todas as
alternativas que definem sua aplicabilidade.
( ) Apenas conceitos
( ) Conceitos e propriedades
( ) Questões que envolvam álgebra
( ) Questões que envolvam aritmética
( ) Questões que envolvam aritmética e álgebra
( ) A beleza das formas da natureza e a geometria não euclidiana.
( ) Materiais diversos, Como?____________________________________
_______________________________________________________________
3- Falando em geometria não euclidiana, podemos citar a geometria fractal, a
geometria projetiva, a geometria hiperbólica e elíptica, porém, a geometria
fractal é a que possibilita o estudo das formas da natureza por apresentar
uma dimensão a mais que as outras geometrias, sendo considerada a
geometria rica em detalhes e beleza das formas (DCE’S, 2008.p.56/57). Com
base no texto acima responda as questões a,b,c?
a) Nas suas aulas a geometria projetiva é utilizada:
( ) Frequentemente
( ) Raramente (apenas definições)
( ) Nunca
b) Você explora a geometria hiperbólica e elíptica
( ) Frequentemente
( ) Raramente
( ) Nunca
c) A geometria fractal torna possível o estudo das formas da natureza. Em
seu cotidiano escolar com que frequência explorou esta geometria?
( ) Frequentemente
( ) Raramente
( ) Nunca
4- Se já utilizou em sala de aula estudo sobre geometria fractal, qual atividade
realizou?
______________________________________________________________
______________________________________________________________
5- A proposta da Produção Didática Pedagógica é abordar a geometria fractal e
explorar conteúdos matemáticos presentes na construção de cartões com os
fractais primitivos como: O Floco de Neve, a Curva de Koch, o Triângulo e o
tapete de Sierpinski, a Curva de Peano. O que acha de aprender a construir
cartões e explorar a geometria fractal com seus alunos, possibilitando uma
aula de geometria mais atraente além de ser uma novidade?
______________________________________________________________
______________________________________________________________
b) ATIVIDADE 2: SEMINÁRIO DE INTRODUÇÃO AOS FRACTAIS E SUA
HISTÓRIA (Dur: 2 h/a)
Seminário tem por objetivo a produção textual da oralidade, ou seja, a
exposição com base na transmissão oral de conhecimentos específicos e técnicos
de um assunto, no qual o orador deve ter domínio pleno do tema abordado sendo
apresentado por uma única pessoa ou por um grupo de pessoas. ( BRASIL
ESCOLA, 2012).
Este seminário tem objetivo de esclarecer e motivar os professores
cursistas quanto ao estudo e aplicação em sala de aula da geometria fractal e como
a exploração dos cartões fractais pode levar a aplicação de conteúdos matemáticos
de geometria.
Para explorar o estudo dos fractais e sua história, apresenta-se aos
cursistas o vídeo: Fractares y Caos, retirado do site Dia a dia educação, ( adicionado
em 28/04/2009), com duração de 11min 46seg, o vídeo original é em espanhol,
porém em 2008 foi feita a narração em língua portuguesa pelo acadêmico do curso
de licenciatura em Matemática Alexandre Pereira Salgueirinho, o link para acesso do
vídeo é:
http.//www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/delaser/singlefile.php?id=13047. e
a seguir slides explicativos sobre o tema fractais e sua contribuição para o estudo da
geometria e a exploração de conteúdos matemáticos.
1. Recepcionar os colegas; (10min).
2. Apresentar o vídeo que apresenta explicações sobre fractais e sua
história; (20min).
3. Conversar sobre o vídeo fazendo interpretação sobre o conteúdo,
utilizando-se da explanação oral; (20min).
4. Utilizar os slides com uma explicação mais detalhada sobre o que são
fractais e sua contribuição para o estudo da geometria não euclidiana e da
inovação nas aulas de Matemática; (30min).
5. Pedir aos cursistas que após assistirem ao vídeo e aos slides, escreva em
um papel a importância de trabalhar a geometria fractal para ensinar aos
alunos os conteúdos matemáticos e socializar a escrita. (20min).
c) ATIVIDADE 3 QUEBRA-CABEÇAS FRACTAIS ( Dur: 4 h/a)
As atividades de quebra cabeças são excelentes para desenvolver o
raciocínio lógico, pois requer a formalização e a utilização das peças de maneira
ordenada e numa sequência visual perfeita. Os quebra-cabeças levam os
professores a desafiar a mente e montar figuras que representam fractais.(RACHA
CUCA, 2012)
Esta atividade tem o objetivo de despertar nos cursistas a beleza e a riqueza
da geometria fractal para que observando-se suas formas passem a interessar-se
cada vez mais pelo tema fractal.
1. Antes dos professores cursistas entrarem na sala de aula, distribuir os
quebra cabeças desmontados em carteiras, separando assim um
quebra cabeça para cada grupo;
2. Expor as imagens dos quebra cabeças por meio de Datashow para
que os cursistas se familiarizem com as imagens dos fractais neles
existentes, e a sequência de cada imagem. Explicar brevemente o
que é cada fractal.(30min);
3. Cada grupo escolhe o quebra cabeça que irá montar.(10min);
4. Montar os quebra cabeças (60min);
5. Após montar seu quebra cabeça. O grupo irá descrever uma atividade
matemática em que possa ser utilizada a técnica de quebra cabeça
explorando conteúdos matemáticos do seu Plano de Trabalho
Docente. (60min)
6. Expor a atividade para os demais grupos (40min).
Na figura de 01 a 20 observe os quebra cabeças a serem utilizados nesta
atividade:
Figura 01 - Triângulo de Sierpinski
Fonte: AMARAL, 2012
Figura 2: Floco de Neve,
Fonte: AMARAL, 2012
Figura 3: Curva de Koch,
Fonte: AMARAL, 2012
Figura 4: Curva de Hilbert
Fonte: AMARAL, 2012
Figura 5: Conjunto de Mandelbrot,
Fonte: Física Interessante
Figura 6: Conjunto de Mandelbrot,
Fonte:http://máxima.sourceforge.net/docs/manual/pt/máxima_47.html
Figura 7: Conjunto de Mandelbrot,
Fonte: Capital Cartões
Figura 8: Conjunto de Julia,
Fonte; Física Interessante
Figura 9: Conjunto de Julia,
Fonte: Método De Rose Alta Performance/O Despertar da Consciência Cósmica
Figura 10: Esponja de Menger
Fonte: ZEIT FRACTALES
Figura 11; Formas da natureza – Árvore
Fonte: MACEDO, 2008
Figura 12: Formas da Natureza- Paisagem
Fonte: CANALLI, 2008.
Figura13: Formas da Natureza -Relâmpago
Fonte: CANALLI, 2008
Figura 14: Forma da Natureza - Brócolis
Fonte: AMARAL, 2012
Figura 15:- Estrutura Fractal dos Vasos Sanguíneos do Coração
Fonte: BOLCO QUADRICULADO.WORDPRESS.COM
Figura 16: Sistema Respiratório-Pulmões
Fonte: CANALLI, 2008.
Figura 17: Corpo Humano- DNA
Fonte: A Matemática na Natureza
Figura 18: Arte Fractal
Fonte: CANALLI, 2008
Figura 19: Arte Fractal
Fonte:Fourart.homestead.com
Figura 20: Arte Fractal
Fonte: CANALLI, 2008
d) ATIVIDADE 4 : Oficina 1: Construção individual de Cartões fractais
Sequência Oficina 1 (Dur: 8 h/a)
a) Apresentar a turma o objetivo da construção coletiva dos três cartões;
(20min).
b) Construir, junto com a turma os três cartões fractais passo a passo,
explorando o processo de construção e sua relação com os
conteúdos matemáticos que podem ser trabalhados em cada cartão;
(380min).
Passo a passo da confecção dos cartões
1-Cartão Degraus Centrais com figura de Borboleta
O cartão denominado Degraus Centrais, além da beleza das etapas fractais
que contemplam uma perfeição de formas sobrepostas onde em cada etapa de
iteração tem-se à próxima figura idêntica a primeira apenas numa proporção menor,
é apresentado acompanhado da arte francesa na sobreposição da gravura de uma
borboleta.
Ao utilizar-se da sobreposição de gravuras em papel o artista consegue dar
á produção de cartões, um efeito de profundidade e a ideia de movimento da figura.
Tanto que na Inglaterra recebe o nome de arte tridimensional. Vejamos a seguir
passo a passo a construção do cartão Quartil Central (Figura de 21 a 28).
Passo 1: Em uma folha de cartolina, recorte um retângulo com medida de
40/32 e forme uma malha quadrangular com medida de 1cmx1cm
Figura 21: Malha quadrangular
Passo 2: Cole a imagem da Borboleta no verso da malha
Figura 22: Borboletas
Fonte: glimboo.com
Passo 3: Dobre a folha ao meio encontrando seu eixo de simetria;
Postulado1: Eixo de Simetria “ É a linha reta que divide uma figura em duas partes
que coincidem por superposição, quando dobradas uma sobre a outra. A linha reta
formada pela dobra é o eixo de simetria.(FRANÇA, 1999.p.281).
Figura 23: Eixo de simetria da malha quadrangular
Passo 4: Com a cartolina dobrada ao meio conforme a figura acima, divida
em 4 partes( 8 cm) e recorte verticalmente 2/4( 16 cm) centrais até chegar a
simetria, formando um retângulo com medidas de 16cmx10cm;
Postulado 2: É um paralelogramo, cujos lados formam ângulos retos entre si.,
sendo dois lados verticais e dois horizontais(FRANÇA, 1999.p.281).
Figura 24: Formação do 1º retângulo
Passo 5: Observe o retângulo que se formou ,com medida de 16cm por 10
cm, recorte as duas parte centrais ( 8 cm), num total de 16 cm. Recorte 10
cm na altura, dobre-o para a parte interna, pressionando bem para formar o
vinco. Abra o cartão e visualize a primeira iteração do cartão fractal que se
formou, ou seja, o primeiro degrau;
Figura 25: Formação da 1ª iteração do cartão quartil ou 1º degrau
Passo 6: Volte novamente a dobrar o cartão, meça a parte central(
horizontal), que contém a medida de 16cm e divida em quatro partes iguais,
ou seja, 4 cm cada parte. Recorte as duas partes central (8cm) e dobre esta
parte para dentro, formando novamente vincos bem fixados. Abra o cartão e
visualize a segunda iteração do cartão, ou o segundo degrau do cartão;
Figura 26: Formação da 2ª iteração do cartão quartil ou 2º degrau
Passo 7: Desdobre novamente e meça o retângulo em quatro partes iguais(2
cm cada parte) horizontalmente. Recorte( na vertical) as duas partes
centrais,( 4cm) dobre-a até metade da altura, dobre para dentro formando os
vincos. Abra o cartão e verifique a terceira iteração do cartão ou o terceiro
degrau.
Figura 27: Formação da 3ª iteração do cartão quartil ou 3º degrau
Passo 8: Aplicar a Arte Francesa
Figura 28: Cartão Quartil com Arte Francesa
Explorando os conteúdos matemáticos do cartão
1- Preencha a tabela abaixo, retirando os dados matemáticos presentes na
construção planificada de cada iteração do cartão fractal, conforme figura
29:
Figura 29: Malha planificada do Cartão Quartil
Nível do fractal
(planificado)
Perímetro
(planificado)
Área
(planificado)
Volume
(paralelepípedo)
0 (malha
quadriculada
40x32cm)
P=2 (b+H)
P= 144cm
A= b.H
A=1280cm²
1 ( 1ª iteração) P= 72cm A=320cm² V= c.l.H
V= 1000cm³
2 (2ª iteração) P=36cm A= 80cm² V=125cm³
3 (3ª iteração) P=18cm A= 20cm² V =15,625cm³
N P=N A=N V=N
2 - Analisando as iterações do cartão quartil( na sua formação “dobras”), podemos
perceber que os degraus formam a seguinte P.G. (1, 2, 4...). Com base nisso
determine:
a) A razão(q);
b) O termo
c) Para visualizar a quarta iteração no cartão Quartil Central, o an =8, e q=2
então qual será o n termo desta P.G?
d) Na quinta iteração 0 n=5, q=2, calcule o an?
e) Classifique esta P.G. em: Crescente, decrescente, constante ou oscilante.
f) A soma dos 6 primeiros termos:
1- Cartão Tridimensional – Conjunto de Cantor
O conjunto de Cantor é um subconjunto de intervalo definido pelo
matemático Georg Cantor como limite de um processo interativo.
O objetivo desta construção é além de apresentar a beleza da construção
fractal explorar os conteúdos matemáticos: razão, perímetro, área e volume das
iterações.
1º Passo: No verso da figura do coração, desenhe um retângulo de
27cmx24cm e nele construa uma malha retangular com medidas de 1cm no
comprimento e altura de 1,5cm;
Figura 30: Imagem Fractal do Cartão tridimensional
Fonte: fourart.homestead.com
Figura 31: Malha retangular do Cartão Tridimensional
2º Passo: Encontre a Simetria em relação á altura da malha retangular,
pressione para formar um vinco. Divida na altura, os 24cm, em três partes e
construa um retângulo central com 9 retângulos de altura por 4 retângulos de
largura, nas duas partes da malha, frente e verso;
Figura 32: Desenho do 1º retângulo
3º Passo: Recorte o retângulo na sua largura e dobre-o simetricamente,
formando assim a 1ª iteração;
Figura 33: Formação da 1ª iteração
4º Passo: Divida as extremidades da malha retangular em três partes,
construindo em cada extremidade um quadrado de 3cmx3cm, recorte sua
largura, dobre simetricamente e visualize a 2ª iteração;
Figura 34: formação da 2ª iteração
5º Passo: Divida as partes restantes em retângulos de 1cmx 1,5cm, nos dois
lados da malha e recorte na largura, pressione formando os vincos e
visualize a 3ª iteração do Conjunto de cantor;
Figura 35: formação da 3ª iteração
7º Passo: Agora é só aplicar a Arte Francesa
Figura 36: Cartão tridimensional Conjunto de Cantor com Arte Francesa
Explorando os conteúdos Matemáticos do Cartão
1-Preencha a tabela abaixo, retirando os dados matemáticos presentes na
construção planificada de cada iteração do cartão fractal, conforme figura 37:
Figura 37: Planificação da malha do cartão Tridimensional Conjunto de
Cantor.
Nível do fractal
(planificado)
Perímetro
(planificado)
Área
(planificado)
Volume
(paralelepípedo)
0 (malha quadriculada
27x24cm)
P=2 (b+H)
P= 102cm
A= b.H
A= 648cm²
1 ( 1ª iteração) P= 42cm A=108cm² V= c.l.H
V= 324cm³
2 (2ª iteração) P= 18cm A= 18cm² V= 27cm³
3 (3ª iteração) P= 8cm A= 3cm² V = 2,25cm³
N P=N A=N V=N
2- Calcular a razão da área e do volume de cada iteração.
Postulado: Sendo a e b dois números racionais, com b≠0, denomina-se razão entre
a e b ou razão de a para b o quociente a/b ou a:b (GIOVANNI, 1998.p.164).
a) Qual a razão entre a área do nível 0 e 1ª iteração? R= 648/108=6
b) Qual a razão entre a área da 1ª e a 2ª iteração? R= 108/18=6
c) Qual a razão entre a área da 2ª e da 3ª iteração? R= 18/3=6
d) As razões da área são proporcionais? R= Sim
e) Qual a razão do volume da 1ª iteração para a 2ª iteração? R= 324/27= 8
f) Qual a razão do volume da 2ª iteração para a 3ª iteração? R=27/2,25=12
g) As razões do volume são proporcionais? R=Sim
3- Triângulo de Sierpinski ( Samambaia)
O triângulo de Sierpinski é uma figura geométrica obtida através de um
processo recursivo. Ele é uma das formas elementares da geometria fractal por
apresentar algumas propriedades, tais como: ter tantos pontos como o do conjunto
dos números reais; ter área igual a zero no nível; ser autossemelhante; não perder a
sua definição inicial a medida que é ampliado. Foi primeiramente descrito por
Waclaw Sierpinski (1882-1969) matemático polonês.
O objetivo desta construção é provar que a autossimilaridade dos fractais
são visíveis a medida que vai aumentando a sua iteração. E explorar conteúdos
matemáticos através da construção.
Vamos construir:
1º Passo: Escolha uma imagem ( Samambaia) na forma de um retângulo de
40cmx28cm. Construa no verso da imagem uma malha retangular dividindo a
medida de 40cm em 16 partes de 2,5cm e a medida 28cm, em 8 partes de 3,5cm.
Figura 38: Fractal da natureza Samambaia
Fonte: Racionalidade Abstrata:DNA e Geometria Fractal,Postado por:Guilherme A. Pianezzer
Figura 39: Malha retangular
2º Passo: Encontre o ponto médio da malha e forme um vinco, marcando
nela um retângulo de 14cm x 20cm nos dois lados conforme a figura 40;
Figura 40: Ponto médio formando retângulo
3º Passo: Recorte na sua altura (14cm) dobre para dentro, pressione, abra
a figura no verso ( onde possui a imagem Samambaia) e visualize a 1ª
iteração;
Figura 41: 1ª iteração do Triângulo de Sirpinski
4º Passo: Encontre o ponto médio dos 14cm de altura, desenhe um
retângulo, assim também com a largura, encontre o ponto médio e desenhe
outro retângulo, Visualize que foram formados degraus congruentes;
Figura: 42:Degraus Congruentes
5º Passo: Dobre-os para dentro, vire para a figura e observe a 2ª iteração;
Figura 43 : 2ª iteração ou 2º degraus do cartão
6º Passo: Em cada degrau, encontre o ponto médio e desenhe retângulos
conforme a figura 44;
Figura 44: Encontro do ponto médio
7º Passo: Recorte, dobre-os para dentro, vire o cartão e visualize a 3ª
iteração;
Figura 45: 3ª iteração ou 3º degrau do cartão
8º Passo: Aplique a arte francesa.
Figura 46: Arte Francesa no cartão Triângulo de Sierpinski
Conteúdos matemáticos explorados na construção do cartão
1-Preencha a tabela abaixo, retirando os dados matemáticos presentes na
construção planificada de cada iteração do cartão fractal, conforme figura 47:
Figura 47: Malha planificada do triângulo de Sirpinski
Nível do fractal
(planificado)
Perímetro
(planificado)
Área
(planificado)
0 (malha retangular
40x28cm)
P=2 (b+H)
P= 136cm
A= b.H
A=1120cm²
1 ( 1ª iteração) P= cm
68 cm
A=280cm²
2 (2ª iteração) P= 34cm A= 70cm²
3 (3ª iteração) P=17cm A= 17,5cm²
N P=N A=N
2- Observando-se a construção do Triângulo de Pascal na malha retangular pronta,
além dos números binomiais que aparecem sucessivamente , pode-se perceber a
potência na base 11. Então calcule:
2- Linha 0: 110=1(100)= R=1
3- Linha 1: 111=1(101)+1(100)= R=10+1=11
4- Linha 2: 112=1(102)+2(101)+1(100)=R= 100+20+1=121
5- Linha 3: 113=1(103)+3(102)+3(101)+1(100)=R= 1000+300+30+1=1331
6- Linha 4: 114=1(104)+4(103)+6(102)+4(101)+1(100)= R=14641
e) ATIVIDADE 5 : Oficina 2: Construção em grupo de Cartões fractais
Sequência Oficina 2 (Dur: 14 h/a)
a) Apresentar à turma o objetivo da construção em grupo dos sete
cartões; (20min)
b) Ensinar passo a passo a construção dos sete cartões, com
explanação sobre a arte francesa para o grande grupo; (90min)
c) Formar os grupos. Cada grupo escolhe um cartão. O professor tutor
entrega em pen-drive os passos necessários para a construção do
cartão, sendo que o cursista irá baixar no seu notebook para seguir os
passos e construir o cartão. (200 min/ 4h/a);
d) Atividade extraclasse: cada grupo irá reunir-se e explorar conteúdos
matemáticos que pode ser trabalhados a partir da construção do seu
cartão; (300min / 6h/a).
e) Cada grupo irá expor a atividade extraclasse desenvolvida para os
demais grupos, socializando o conhecimento. (90min).
Cartões da Oficina 2
1-Curva de Koch
Em 1904 Helge Von Koch, matemático polonês, resolve estudar melhor a
similaridade dos fractais, visto que, seu colega Karl Weierstrass, havia deixado muito
abstrato o estudo de sua propriedade de função similar. Criou o floco de neve de
Koch provando que a função similar é o resultado de infinitas adições de triângulos
respeitando a lei de formação do triângulo de origem, ou seja, a cada novo triângulo
adicionado o perímetro aumenta e se aproxima do infinito. Observa-se então que o
fractal é uma área finita dentro de um perímetro infinito (SERRA, 1997).
A construção consiste em seguir os passos abaixo ( Figura 46 a 54).
1º Passo: Escolher um retângulo para formar a figura fundo de 29cmx20cm;
Figura 48: Figura fundo para a Curva de Koch
Fonte: Blog Alface com café:10 de maio-Dia do campo
2º Passo: Considerar um segmento de reta de 27cm;
Figura 49: Segmento de Reta inicial da Curva de Koch.
3º Passo: Dividir o segmento em três partes iguais de 9 cm, com o
compasso em uma abertura de raio de 9 cm traçar o terceiro ponto para
formar o triângulo central, fazendo assim a 1ª iteração da curva;
Figura 50: Início da 1ª iteração
Figura 51: Triângulo Central- 1ª iteração
4º Passo: Construir o triângulo central, eliminando-se a sua base;
Figura 52: Ocultação da 1ª base
5º Passo: Dividir cada lado da Curva de Koch em três partes de 3 cm,
posicionando o compasso na parte central e formar o terceiro ponto, para
construir 4 novos triângulos, eliminando-se sua base, formando assim a 2ª
iteração da curva;
Figura 53: Formação da 2ª iteração da Curva de Koch.
6º Passo: Dividir cada lado da base da Curva de Koch em 3 partes de 1 cm,
posicionando o compasso na parte central, formando o terceiro ponto para a
formação de 16 novos triângulos, eliminando-se suas bases e formando
assim a 3ª iteração;
Figura 54: 3ª iteração da Curva de Koch
7º Passo: Contorne formando assim a Curva de Koch em uma visualização
mais definida e Aplique a Arte Francesa.
Figura 55: Contorno da Curva de Koch
Figura 56: Curva de Koch com a Arte Francesa
Fonte: AMARAL,2012
Conteúdos Matemáticos Explorados na Construção da Curva de Koch
Nível 0 Nível 1
No nível 1 o segmento é dividido em 4 partes : n = 4 e a razão de
semelhança é r= ⁄ . Usando a fórmula da dimensão, temos,
2-Floco de Neve de Koch
Se focalizarmos nas particularidades da construção da curva de Koch pode-
se entender suas características visivelmente apresentadas na sua fragmentação,
as quais fazem parte de diversos fractais como: a estrutura fina, a autossimilaridade
e a simplicidade na lei de formação (SERRA, 1997.p.8).
Utilizando o algoritmo de construção da Curva de Koch só que partindo de
um de um triângulo equilátero obtém-se uma formação cristalina de outro fractal
famoso denominado Floco de Neve
Vejamos a seguir a construção do Floco de Neve de Koch passo a passo
(figura 57 a 64).
1º Passo: Construa um cartão medindo 20cmx18cm. E trace um segmento
de reta AB de 13,5cm com 6 cm da borda inferior horizontal;
Figura 57: Segmento AB
2º Passo: Posicione o compasso no ponto A e no ponto B girando-o até
formar o ponto C, uma os pontos ABC formando um triângulo equilátero;
Figura 58: Formação do Triângulo
Figura 59: Triângulo equilátero do Floco de Neve
4º Passo: Divida em três partes iguais (de 4,5cm) os seguimentos AB, BC,
CA. Abra o compasso, posicionando-o nos pontos centrais dos seguimentos
e formando os pontos para a construção de 3 triângulos e da 2ª iteração do
floco de neve com medidas de 4.5cm cada segmento, ocultando-se a base
dos triângulos (pontilhados), visualizando-se assim 6 triângulos
semelhantes.
Figura 60: Formação da 2ª iteração
Figura 61: Ocultando as bases na 2ª iteração
6º Passo: Divida cada lado dos 6 triângulos por 3, elimine a parte central e
obtém-se assim 12 triângulos, formando então a 3ª iteração;
Figura 62: 3ª iteração do Floco de Neve
7º Passo: Contorne as bordas dos triângulos usando uma cor de destaque
para tornar possível a visualização do Floco de Neve de Koch com 3
iterações;
Figura 63: Visualização do Floco de Neve 3 ª iteração
8º Passo: Aplique no cartão Fractal Floco de Neve a Arte Francesa.
Figura 64: Floco de Neve com Arte Francesa
Fonte: AMARAL,2012
3-Conjunto de Cantor
Outro fractal que pode ser explorado em sala de aula é o de Georg Cantor,
matemático russo, reconhecido por seus trabalho na teoria dos conjuntos. Cantor em
1883 construiu um fractal que levou seu nome: Conjunto de Cantor ou Poeira de
Cantor. O conjunto de Cantor é um subconjunto do intervalo [0,1] definido por Cantor
como limite de um processo iterativo.
Sua construção dá-se mediante os seguintes passos (figura 65 a 70).
1º Passo: Selecione uma imagem de fundo em forma de retângulo com as
medidas de 30cmx20cm;
Figura 65: Imagem de Fundo Conjunto de Cantor
Fonte: Blog ISSO TAMBÉM PASSA
2º Passo: Crie um retângulo de 27cmx3cm como segmento de reta, sobre a
imagem fundo;
Figura 66: Segmento de reta ou 1ª iteração
3º Passo: Divida o segmento de reta em três partes iguais e elimine as
partes centrais, formando dois triângulos com medida de 9cmx3cm;
Figura 67: Eliminação das partes centrais ou 2ª iteração
4º Passo: Divida novamente cada segmento do passo anterior em três
partes iguais, eliminando a parte central, formando assim 4 novos
segmentos em forma de quadrado medindo 3cmx3cm;
Figura 68: 3ª iteração com 4 segmentos
5º Passo: Divida os segmentos do passo anterior novamente em três partes
iguais, eliminando as partes centrais, formando assim 8 novos segmentos
com medidas de 1cmx3cm e assim sucessivamente, por infinitas iterações
até surgir o fractal;
Figura 69: 4ª iteração com 8 segmentos
6º Passo: Aplique a Arte Francesa.
Figura 70: Conjunto de Cantor com Arte Francesa
Fonte: AMARAL,2012
4-Curva de Peano
O matemático italiano Giusepe Peano, também deixou sua contribuição
para a geometria fractal ao publicar em 1890 uma curva denominada de Curva de
Peano.
A curva de Peano, um fractal primitivo, também conhecido como O terço
Médio de Cantor é um exemplo de um fractal que preenche o plano. Uma curva que
preenche o plano passa por todos os pontos de uma determinada área, acabando
por, gradualmente, a ocupar a sua totalidade. Na figura 74 é apresentada a curva
de Peano em três níveis, podendo serem infinitos (Carvalho et. al. ,1986, p.28).
Vejamos sua construção:
1º Passo: Selecione um quadrado de 28cmx 28cm;
Figura 71: Quadrado da Curva de Peano
Fonte: textura do Microsoft PowerPoint, 2010
2º Passo: Inicia-se com 1 segmento de reta de 27cm, construindo no centro
da figura fundo, deixando-se 0,5cm de cada extremidade horizontal;
Figura 72: Segmento inicial da curva
3º Passo: Divida o segmento no nível zero em três partes iguais de
9cmx9cm, construindo um quadrado acima e outro abaixo da porção central,
tendo essa porção como um de seus lados;
Figura 73: 1ª iteração da Curva de Peano
4º Passo: Divida novamente os lados do quadrado central e os segmentos
dos lados laterais. Em cada lado do quadrado, e do segmento central, serão
construídos quadrados (32), um acima e um abaixo com medida de
3cmx3cm;
Figura 74: Construção dos primeiros quadrado acima e abaixo do segmento
central
Figura 75: Construção da 2ª iteração da Curva
5º Passo: Dividir novamente os 32 quadrados e os segmentos extremos que
restaram em 1cm, em 1 quadrado acima e outro abaixo o que resultará em
338 quadradinhos de 1cmx1cm;
Figura 76: Construção da 3ª iteração da Curva de Peano
Figura 77: Construção da Curva de Peano
6º Passo: Aplicar a Arte Francesa.
Figura 78:Curva de Peano com aplicação da Arte Francesa ( gotas d’água)
Fonte: AMARAL, 2012
5- Triângulo de Sierpinski
Em 1916 o matemático polonês Waclaw Sierpinski criou o fractal primitivo
que deu origem a estudos mais detalhados sobre os objetos fractais: o triângulo de
Sierpinski. :
Da figura 79 a 86, apresenta-se o Triângulo de Sierpinski, sua construção
mais detalhada.
1º Passo: Em uma folha de 52cmx24cm, encontre o ponto médio do lado de
medida 52cm, formando assim um cartão de 26cmx24cm; Construa um
segmento de reta de 24 cm. Abra o compasso com raio de 24cm e marque o
terceiro ponto para formar a altura do triângulo;
Figura 79 :Altura do triângulo de Sierpinski
2º Passo: construa o triângulo e encontre o ponto médio de seus lados,
conforme a figura 80.
Figura 80: Construção do triângulo Central de Sierpinski
3º Passo: Forme, ligando os pontos médios, um triângulo circunscrito.
Fazendo assim a 1ª iteração do Tapete de Sierpinski;
Figura 81: 1ª iteração do triângulo de Sierpinski
4º Passo: Encontre novamente os pontos médios, agora dos 4 triângulos
que se formaram na 1ª iteração;
Figura 82: ponto médio dos 4 triângulos
5º Passo: Ligue os pontos médios, formando mais 3 triângulos circunscritos;
Figura 83: 2ª iteração do Triângulo de Sierpinski
6º Passo: Encontre novamente o ponto médio de cada um dos 13 triângulos;
Figura 84: Ponto médio da 3ª iteração
7º Passo: Ligue os pontos médios, visualizando assim 39 triângulos,
formando então a 3ª iteração do Tapete de Sierpinski;
Figura 85: 3ª iteração
8º Passo: Aplique a Arte Francesa.
Figura 86: Triângulo de Sierpinski com aplicação da arte francesa
Fonte: AMARAL,2012
Conteúdos Matemáticos Explorados na Construção do Cartão
1-Cálculo da dimensão fractal do triangulo de Sierpinski
Nível 0 Nível 1
No nível 1 temos 3 triângulos válidos e a base foi dividida em 2 partes,
portanto, r = ½
6-Tapete de Sierpinski
Variações no algoritmo de construção do triângulo de Sierpinski podem ser
incluídas, trocando-se o triângulo original por um quadrado. Este novo fractal
surpreendentemente bonito é conhecido como tapete de Sierpinski .
Na construção do Tapete de Sierpinski a técnica de eliminação que foi
utilizada nos triângulos também aparece nitidamente nos tapetes que são
quadrados. Parte-se de uma figura e vai para outras 9 pequenas figuras congruentes
eliminando-se a central na sequência usa-se o mesmo procedimento nos 8
quadrados seguintes e assim infinitamente.
1º Passo: Na paisagem, medir um quadrado de 27cm x 27cm; Dividir o
quadrado em 9 quadrados congruentes com medida de 9cmx9cm,
Figura 87: Medindo os quadrados centrais
Fonte: Blog de Reflexões
2º Passo: Após construir os 9 quadrados, elimina-se o quadrado central.
Dividir os 8 quadrados restantes, dos congruentes com medida de 3cmx3cm,
formando assim 64 quadrados congruentes, eliminando-se o quadrado
central de cada um deles;
Figura 88: Criando 64 quadrados
3º Passo: Dividir cada um dos quadrados (64) em 9 quadrados de 1cmx1cm,
formando assim 576 novos quadrados de 1cmx1cm
Figura 89: Construindo 576 quadrados
4º Passo: Aplica-se a Arte Francesa
Figura 90: Tapete de Sierpinski com Arte Francesa
Fonte: AMARAL,2012
Conteúdos Matemáticos Explorados na Construção do Cartão
Cálculo da dimensão fractal do tapete de Sierpinski
Nível 0 Nível
No nível 1 temos oito quadrados válidos e a base foi dividida em três
partes, portanto, r=1/3
7-Curva de Hilbert
O fractal que nos dá a sensação de movimento é denominado Curva de
Hilbert, criada por David Hilbert, em 1891. Iniciando com um quadrado, Hilbert
dividiu em pontos e formou outros quadrados iguais mantendo uma curva contínua
que ao olharmos dá a impressão de estar se movimentando, acompanhando a
ordem 4 e sempre formando outros quatro quadrados a mais.
Nas figuras 91 a 99, apresentam-se a Curva de Hilbert e a sua construção
pode ser realizada seguindo-se os passos abaixo:
1º Passo: Pegue uma cartolina branca e construa um quadrado de
24cmx24cm, divida em quadrados congruentes medindo 12cmx12cm;
Figura 91: Quadrados congruentes
2º Passo: Encontre o ponto central de cada quadrado, dando início a Curva
de Hilbert com 3 segmentos consecutivos com os extremos em seus pontos
centrais, fazendo assim a 1ª iteração da Curva;
Figura 92: Ponto central
Figura 93: 1ª iteração da Curva de Hilbert
3º Passo: Usando os pontos centrais dos quadrados anteriores como
referência, construa 4 novos quadrados, continuando a Curva e construindo
agora 12 segmentos, que dão origem a 4 curvas, conectando cada curva
parcial com um segmento na mesma ordem dos anteriores, originando assim
a 2ª iteração;
Figura 94: 2ª iteração da curva
Figura 95: localizando os pontos médios da curva de hilbert
Figura 96: Criando os segmentos dos pontos médio
4º Passo: Conectando cada curva parcial com um segmento na mesma
ordem dos anteriores, formando a curva.
Figura 97: Conexão da Curva
5º Passo: Para formar a 3ª iteração procede-se da mesma forma, dividindo
os 8 pontos centrais em quatro novos quadrados, formando assim 16 novas
curvas, conectando cada curva parcial com 1 segmento na mesma ordem
dos anteriores;
Figura 98: 3ª iteração da curva
6º Passo: Aplicar a arte francesa.
Figura 99: Curva de Hilbert com aplicação da Arte Francesa
Fonte: AMARAL,2012
f) ATIVIDADE 6 : Avaliação final do curso (Dur: 2h/a)
a) Responder ao questionário avaliativo do curso (30min)
Prezados (a) Professores (a):
Procurou-se por meio deste grupo de estudos, repassar todos os
conhecimentos adquiridos no PDE sobre a geometria Fractal e sua utilização
enquanto material didático pedagógico, mediante atividade lúdica de construção de
cartões fractais. Objetivava-se além de apresentar a geometria fractal, explorar
conteúdos matemáticos existentes na confecção dos cartões e proporcionar a todos
a oportunidade de realizar um grupo de estudos dinâmico e construtivista. Para
sabermos se o grupo de estudos adquiriu a aprendizagem que planejamos,
gostaríamos de contar com sua colaboração respondendo aos questionamentos.
01
Já possuía conhecimentos sobre o assunto abordado “ FRACTAIS”?
( ) Sim
( ) Não
( ) Pouco
02
O grupo de estudo realizado:
( ) não me proporcionou conhecimentos além dos já possuídos
( ) proporcionou-me novos conhecimentos sobre o assunto
Durante o grupo de estudos
( ) Tive
03
( ) Não tive
oportunidade de reformular conceitos e pontos de vista que tinha a respeito da
geometria fractal.
04
( ) Alguns
( ) Vários
pontos do grupo de estudos levaram-me a uma reflexão sobre a docência e
pensar em introduzir modificações:
( ) No meu comportamento
( ) Nos processos metodológicos que venho adotando
( ) Nos planos que estabeleci
05
O material didático utilizado foi
( ) Suficiente
( ) Insuficiente
06
A qualidade (conteúdo) do material didático distribuído foi:
( ) Deficiente
( ) Razoável
( ) Boa
( ) Muito boa
07
O Professor PDE, Saiu-se
( ) Sofrivelmente
( ) Satisfatoriamente
( ) Bem
( ) Muito bem
na
( ) Teoria
e na
( ) Prática
08
O número de horas em relação as atividades desenvolvidas foi
( ) Insuficiente
( ) Razoável
( ) Excelente
( ) Excessivo
09
O Professor PDE, conseguiu.
( ) Durante todo o tempo
( ) Durante parte do tempo prender a atenção dos participantes
Ou
( ) Não conseguiu prender a atenção dos participantes
10 Se vc tivesse que dar uma nota para o grupo de estudo
( ) De 0 á 5
( ) De 5 á 7
( ) De 7 a 10
( ) 10
b) Confraternização de encerramento do evento ( 70 min).
4. ORIENTAÇÃO METODOLÓGICAS
ATIVIDADE1: QUESTIONÁRIO INVESTIGATIVO
Conteúdo: Questionário
Objetivo: Investigar como é trabalhada a geometria fractal em sala de aula
No questionário objetiva-se conhecer a maneira como o professor trabalha
em sala de aula com a geometria fractal. O professor ao utilizar este questionário
direcionando-o aos seus alunos deverá modificar as questões adaptando-o de
acordo com os objetivos do curso que ministra.
Se for uma turma do Ensino médio, por exemplo, que já possui um
conhecimento bem elaborado da geometria euclidiana, que os alunos sejam
questionados sobre dimensões intermediárias (fracionárias) como a de uma folha de
papel amassado, padrões de formação como a da samambaia, entre outros.
Sugere-se que aproveitem de imagens, animações que estão disponíveis no portal
dia a dia educação no link dos educadores.
As questões do questionário para o aluno devem leva-lo a motivar-se á
conhecer mais da geometria fractal. A pesquisa por fractais na web também
funciona como excelente incentivo visto que a geometria fractal encanta pela beleza
de suas formas e autossimilaridade.
ATIVIDADE 2: SEMINÁRIO DE INTRODUÇÃO AOS FRACTAIS E SUA HISTÓRIA
Conteúdo: Seminário de introdução aos fractais.
Objetivo: Conhecer a história dos fractais e a construção de cartões fractais
Ao trabalhar um seminário com os alunos o professor pode utilizar-se dos
mesmos passos que estão expostos na atividade 2, apenas deverá tomar cuidado
para direcionar a turma aos objetivos de explorar os fractais que aqui nesta atividade
estão voltados aos professores considerando os pré requisitos necessários.
Partindo-se do conhecimento que o aluno já trás consigo seguir em frente e explorar
a história dos fractais deixando clara a preocupação de Mandelbrot, que ao estudar
sobre os fractais procurava soluções para os desafios de sua vida, sua profissão.
Pode-se, então, nesta atividade enfatizar o quanto a matemática está ligada
com os desafios diários de quem a produz e vale a pena aprofundar-se mais na
história dos fractais e fazer um estudo mais detalhado sobre Mandelbrot.
ATIVIDADE 3 : QUEBRA CABEÇAS DOS FRACTAIS
Conteúdo: Quebra cabeças de fractais
Objetivo: Despertar nos cursistas a beleza e a riqueza da geometria fractal
para que observando-se suas formas passem a interessar-se cada vez mais pelo
tema fractal.
Nesta atividade de quebra cabeças fractais o professor pode proceder da
mesma maneira que está exposto na atividade visto que, o objetivo é despertar para
a beleza dos fractais além de instigar a capacidade de raciocínio em relação a
posição correta das peças do quebra cabeça. Acredita-se que apenas o tempo de
visualização das imagens no data show deva ser maior porque o aluno possui,
dependendo de seu nível de conhecimento e série/idade, dificuldade de abstração
para contemplar as imagens e maior tempo para realização desta atividade.
Se o professor decidir-se por trabalhar este tema por meio da
interdisciplinaridade, vários conceitos artísticos podem ser explorados como: cor,
forma, similaridade, entre outros conteúdos de arte.
ATIVIDADE 4 : OFICINA 1: CONSTRUÇÃO INDIVIDUAL DE CARTÕES FRACTAIS
Conteúdo: Oficina com construção coletiva de cartões fractais
Objetivo: Construção e exploração dos conteúdos matemáticos
A manipulação de material concreto facilita para o aluno a compreensão de
conceitos. Aproveitando-se desta premissa o professor pode ir explorando os
conteúdos matemáticos da atividade 4, ou os conteúdos que julgar necessários e
possíveis de serem explorados já no momento da construção. Além do que, pode-se
ir direcionando para a construção paralela das formas geométricas que aparecem no
fractal, como a construção de cada iteração em sua forma planificada, espacial e
fractal.
Importante trabalhar com os postulados e explorar bem as medidas contidas
na formação da malha de cada cartão, fazendo com que o aluno crie a ideia de que
a geometria é o ramo da matemática utilizado para medir de forma precisa áreas,
volumes e criar dimensões além de demais conteúdos matemáticos presentes na
construção.
O tempo para a realização desta atividade também difere e deve ser
acrescentado para o aluno, ou se o professor não dispor de muito tempo reduzir a
quantidade de cartões a serem construídos.
ATIVIDADE 5 : OFICINA 2: CONSTRUÇÃO EM GRUPO DE CARTÕES FRACTAIS
Conteúdo: Oficina de construção de cartões fractais
Objetivo: Construir individualmente/e ou/em grupo os cartões fractais e
estimular explorações de conteúdos matemáticos.
Nos passos iniciais onde apresenta-se os objetivos da construção dos
cartões a sequencia didática pode ser complementada com as imagens dos cartões
já prontos como meio de incentivar mais os alunos á construção. No segundo passo
sobre a arte francesa acredito que para o aluno seria melhor se o professor deixasse
por ultimo e ajudasse os alunos nesta sobreposição de figuras.
Os grupos podem ser formados de acordo com as afinidades da turma,
deixando-os assim livres, inclusive pela questão da tarefa de casa onde os alunos
devem estar predispostos a se encontrarem para realizá-la. Neste momento será útil
entregar impresso para o grupo passo a passo das sequencias de cada cartão. Dar
tarefa para terminar em casa, caso necessite e expor os cartões em uma feira
especial sobre matemática onde o professor pode aproveitar outras produções feitas
durante o ano.
Vale lembrar que uma parceria com o professor de arte será bem vinda pois
o tempo gasto nas construções é de grande e pode atrapalhar os demais conteúdos
da turma.
ATIVIDADE 6: ENCERRAMENTO DO CURSO
Conteúdo: Avaliação das atividades
Objetivo: Avaliar a produção dos cartões
O professor pode neste momento fazer um questionário direcionado á
investigação do que o aluno aprendeu sobre fractais, qual a função da geometria
fractal, como meio de enriquecimento da aprendizagem.
REFERÊNCIAS
AMARAL, Alessandry. FIGURA1-2-3-4 Triângulo de Sierpinski, Floco de Neve, Curva de Koch e Curva de Hilbert, Quedas do Iguaçu-PR, 2012 figura adaptada. Fonte:http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichatecnicaaula.html?aula=22040
_________________Figura 14: Forma da Natureza- Brócolis. Quedas do Iguaçu-
PR,2012.Figura.adaptada.http://2.bp.blogspot.com/_Ru7_nAhseTc/SVbOXoefNZI/AAAAAAAAANQ/mEOp249HpF8/s1600/Broccoli.jpg
_____________________. Figura 56: Curva de Koch com Arte Francesa, Quedas do Iguaçu-PR, 2012. Figura adaptada: http://4.bp.blogspot.com/i1yugjBWX8/T6wQYcrq1I/AAAAAAAAEvo/JOz9Tjy2yFk/s1600/9139campo1.jpgehttp://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/produção_pde/2008_fafipa_mat_md_eny_canalli.pdf.acesso em 20 out.,2012
__________________Figura 64:Floco de Neve com Arte Francesa. Quedas do IguaçuPR,2012,figuraadaptada:http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/uploads/1/normal_250dustyfractal.jpg-acesso 22 out.2012.
__________________Figura 70: Conjunto de Cantor com Arte Francesa. Quedas doIguaçuPR,2012.Figuraadaptada:http://4.bp.blogspot.com/IRXf8b0O79Y/TZlGiy2ZvvI/AAAAAAAABvw/Ax1xCMWCwEM/s1600/CEU%2BAZUL.jpghttp://enciclopedia.us.es/images/thumb/d/dc/Conjuntos_de_Julia.jpg/300px-Conjuntos_de_Julia.jpg,acesso em :23 out.2012.
_________________Figura 78: Curva de Peano com Aplicação da Arte Francesa. ( Gotas d’água) Quedas do Iguaçu-PR,2012.Figura adaptada:
www.matematica.seed.pr.gov.br/module/galeria/detalhe.php?foto86&evento=1
_________________Figura 86: Triângulo de Sierpinski com Aplicação da Arte
Francesa,QuedasdoIguaçuPR,2012.Figuraadaptadahttp://www.educadores.diaadia.
pr.gov.br/arquivos/File/tvmultimidia/imagens/matematica/favomela.jpghttp://www.viva
terra.org.br/abelha_22.2.jpg-acesso em:05 nov.2012.
_________________Figura 90:Tapete de Sierpinski com arte Francesa. Quedas
do Iguaçu-PR,2012 figura adaptada: http://www.educadores.diaadia.pr.g
ov.br/arquivos/File/tvmultimidia/imagens/matematica/fractais/Fowers_for_Lou.jpg -
http://downloads.open4group.com/images/media_sol-e-montanha-rochosab7e46.jpg-
acesso em: 28 agost.2012.
______________Figura 99: Curva de Hilbert com Aplicação da Arte Francesa.,
Quedas do Iguaçu-Pr, 2012. Figura adaptada: http://www.geometriafractal.com/img/fractals/fractal000123.jpg- acesso em: 05 out.2012.
BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a geometria fractal- para a sala de aula.
2ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2005.
BRASIL ESCOLA Definição do que é um Seminário.
http://www.brasilescola.com/redacao/o-seminarioque-e-como-realizalo.htm, acesso em 14 de outubro de 2012
CARVALHO, Maria Cecília Costa et. al. Fractais uma breve introdução. São Paulo: Edição Própria, 1986.
FRACTALES E CAOS Vídeo História da Geometria Fractal
http.//www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/delaser/singlefile. php?id=13047
FIGURA 5-8: Conjunto de Mandelbrot-Conjunto de Julia Fonte:http://www.fisica-interessante.com/matemática-divertida-fractais.html.Acesso 10 jul,2012
FIGURA 6 Conjunto de Mandelbrot.
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/figures/dynamics9.gif. Acesso em 10 jul. 2012.
FIGURA 7. Conjunto de Mandelbrot http://blog.capitalcartoes.com.br/files/2011/07/Fairy_Tree_by_Nirolo.png. acesso em 10 jul.2012
_________9: Conjunto de Julia. http://metododeroseborbagato.com.br/blog/wp-
content/uploads/2012/08/Julia_set.jpg. Acesso em 20 out. 2012
FIGURA 10 Esponja de Menger. http://3.bp.blogspot.com/-NPPjtHz6ih4/UDlwhnJpdJI/AAAAAAAAA3Q/mDK_RXIXQ5Y/s420/Esponja%2Bde%2BMenger.jpg. Acesso em 10 set.2012.
FIGURA11- Formas da Natureza Árvore. http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2008_uem_mat_md_julia_satiko_kawamoto_macedo.pdf.Acesso 10 jul 2012.
FIGURAS 12-13-16-18 e 20.Formas da Natureza Paisagem- Formas da Natureza Relâmpago- Corpo Humano Pulmão- Arte Fractal- Arte Fractal-http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2008_fafipa_mat_md_eny_canalli.pdf.Acesso em 10 jul. 2012.
FIGURA 15 Estrutura Fractal dos Vasos Sanguíneos do Coração. http://blocoquadriculado.files.wordpress.com/2012/02/fractal_heart.gif. Acesso em 10 set.2012.
FIGURA 17 Corpo Humano DNA.
http://matematicanatureza.files.wordpress.com/2009/09/10.gif?w=504. Acesso em 10
jul. 2012.
FIGURA.19.ArteFractal.http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/detal
he.php?foto=87&evento=1
FIGURA.22:Borboletashttp://1.bp.blogspot.com/z7JLBPHr40M/TfmsGcqKooI/AAAA
AAAAQOA/Lf1pUaoMU6c/s1600/borboleta+1%255B2%255D.gif- Acesso em 27 jul ,
2012
______30: Imagem Fractal do Cartão Tridimensional
http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/uploads/1/normal_245fractais
.jpg-acesso em:30 de jul, 2012.
_____38: Fractal da Natureza- Samambaia.
http://2.bp.blogspot.com/_EFWODXO4WXc/SuGgt_D_CtI/AAAAAAAAAAM/Xgkfnr4YmsI/s320/tree2520fernjh5.jpg-.acesso em: 27 nov, 2012
_______48: Imagem fundo para Curva de Koch-
http://4.bp.blogspot.com/i1yugjBWX8/T6wQYcrq1I/AAAAAAAAEvo/JOz9Tjy2yFk/s1600/9139campo1.jpg-acesso em:20 out.,2012.
_______65: Imagem de Fundo Conjunto de Cantor.
http://4.bp.blogspot.com/IRXf8b0O79Y/TZlGiy2ZvvI/AAAAAAAABvw/Ax1xCMWCwEM/s1600/CEU%2BAZUL.jpg-acesso em: 23 out.2012.
______71:Quadrado da Curva de Peano .Power point,2010. Textura do Microsoft-acesso em 15 set. 2012
_______87: Medindo os Quadrados Centrais.
http://downloads.open4group.com/images/media_sol-e-montanha-rochosab7e46.jpg-
acesso em: 28 agost,2012.
GIOVANNI, Júnior. Jose Ruy. A Conquista da Matemática-7º ano. Ed.renovada
.São Paulo: FTD, 2009
PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Rede
Pública do Estado do Paraná – Matemática. Curitiba: SEED, 2006.
RACHA CUCA, site de jogos e desafios matemáticos. http://rachacuca.com.br/jogos/tags/quebra-cabeca/, acesso em 14 de outubro de 2012.
SERRA, Celso Penteado. Fractais gerados por sistemas dinâmicos complexos.
Curitiba: Champagnat, 1997