Post on 21-Nov-2018
Em matemática, o conceito de
conjunto é considerado primitivo e
não se dá uma definição deste,
portanto, a palavra CONJUNTO
deve aceitar-se logicamente como
um termo não definido.
Um conjunto se pode entender como
uma coleção ou agrupamento bem
definido de objetos de qualquer classe.
Os objetos que formam um conjunto
são chamados membros ou elementos
do conjunto.
Exemplo:
Na figura ao lado temos
um Conjunto de Pessoas
NOTAÇÃO
Todo conjunto se escreve entre chaves { }
e se denota mediante letras maiúsculas A,
B, C, ..., seus elementos se separam
mediante ponto e vírgula.
Exemplo:
O conjunto das letras do alfabeto; a, b,
c, ..., x, y, z. Se pode escrever assim:
L = {a; b; c; ...; x; y; z}
Exemplo:
A = {a; b; c; d; e} seu cardinal n(A) =
B = {x; x; x; y; y; z} seu cardinal n(B) =
Na teoria de conjuntos não precisa repetir
os elementos, por exemplo:
O conjunto {x; x; x; y; y; z } simplemente
será { x; y; z }.
Ao número de elementos que tem um conjunto
Q chamamos CARDINAL DO CONJUNTO e se
representa por n(Q).
5
3
Para indicar que um elemento pertenece a
um conjunto se usa o símbolo:
Se um elemento não pertenece a um
conjunto se usa o símbolo:
Exemplo: Seja M = {2; 4; 6; 8; 10}
2 M ... se lê 2 pertenece ao conjunto M
5 M ... se lê 5 não pertenece ao conjunto M
I) POR EXTENSÃO
Há duas formas de determinar um conjunto,
por Extensão e por Entendimento.
É aquela forma mediante a qual se indica
cada um dos elementos do conjunto.
Exemplos:
A) O conjunto dos números pares maiores que
5 e menores que 20.
A = { 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18 }
B) O conjunto de números negativos ímpares
maiores que -10.
B = {-9; -7; -5; -3; -1 }
II) POR ENTENDIMENTO
É aquela forma mediante a qual se dá uma
propriedade que caracteriza a todos os
elementos do conjunto.
Exemplo:
Se pode entender que o conjunto P está formado
pelos números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
P = {os números dígitos }
Outra forma de escrever é: P = { x / x = dígito }
se lê “P é o conjunto formado pelos
elementos x tal que x é um dígito”.
Exemplo:
Expressar por extensão e por entendimento o
conjunto de dias da semana.
Por Extensão: D = {segunda; terça; quarta;
quinta; sexta; sábado; domingo }
Por Entendimento: D = { x / x = dia da semana }
Os diagramas de Venn que se devem ao
filósofo inglês John Venn (1834-1883) servem
para representar conjuntos de maneira gráfica
mediante desenhos ou diagramas que podem
ser círculos, retângulos, triângulos ou
qualquer curva fechada.
AMT
7
2
3
6
9
ae
i
o
u
(1;3) (7;6)
(2;4) (5;8)8
4
1 5
A = ou A = { } se lê: “A é o conjunto vazio”
ou “A é o conjunto nulo “
CONJUNTO VAZIO
É um conjunto que não tem elementos, também
se chama conjunto nulo. Geralmente se
representa pelos símbolos: ou { }
Exemplos:
M = { números maiores que 9 e menores que 5 }
P = { x / }1
0
X
A = ou A = { } se lê: “A é o conjunto vazio”
ou “A é o conjunto nulo “
CONJUNTO VAZIO
É um conjunto que não tem elementos, também
se chama conjunto nulo. Geralmente se
representa pelos símbolos: ou { }
Exemplos:
M = { números maiores que 9 e menores que 5 }
P = { x / }1
0
X
CONJUNTO UNITÁRIO
É o conjunto que tem um só elemento.
Exemplos:
F = { x / 2x + 6 = 0 } G = 2
x / x 4 x 0
CONJUNTO FINITOÉ o conjunto com limitado número de
elementos.
Exemplos:
E = { x / x é um número impar positivo
menor que 10 }
N = { x / x2 = 4 }
;
CONJUNTO INFINITO
É o conjunto com ilimitado número de
elementos.
Exemplos:
R = { x / x < 6 } S = { x / x é um número par }
CONJUNTO UNIVERSAL
É um conjunto referencial que contém todos
os elementos de uma situação particular,
geralmente se representa pela letra U
Exemplo:O universo ou conjunto universal
;
de todos os números é o conjunto dos
NÚMEROS COMPLEXOS.
INCLUSÃOUm conjunto A está incluso em outro conjunto B,
se e somente se, todo elemento de A for também
elemento de B.
NOTAÇÃO : A BSe lê : A está incluso em B, A é subconjunto de B,
A está contido em B , A é parte de B.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA :
BA
PROPRIEDADES:
I) Todo conjunto está incluido em si mesmo. A A
II) O conjunto vazio se considera incluido em
qualquer conjunto. A
III) A está incluido em B ( ) equivale a dizer
que B contém A ( )
A BB A
IV) Se A não está incluido em B ou A não é
subconjunto de B significa que pelo menos um
elemento de A não pertence a B. ( )A B
V) Simbolicamente: A B x A x B
CONJUNTOS COMPARÁVEISUm conjunto A é COMPARÁVEL com outro
conjunto B se entre esses conjuntos existe uma
relação de inclusão.
A é comparável com B se A U B = B U A
Exemplo: A = { 1; 2; 3; 4; 5 } e B = { 2; 4 }
1
23
4
5A
B
Observe que B
está incluso em A,
portanto, A e B são
COMPARÁVEIS
IGUALDADE DE CONJUNTOS
Dos conjuntos são iguais se têm os mesmos
elementos.
Exemplo:
A = { x / x2 = 9 } y B = { x / (x – 3)(x + 3) =0 }
Resolvendo a equacão de cada conjunto se obtém
em ambos os casos que x é igual a 3 ou -3, ou
seja: A = {-3; 3} y B = {-3; 3}, portanto A = B
Simbolicamente : A B (A B) (B A)
CONJUNTOS DISJUNTOS
Dois conjuntos são disjuntos quando não têm
elementos comuns.
REPRESENTACÃO GRÁFICA :
A B
1
7
5 3
9
2
4
8
6
Como podemos
observar os
conjuntos A e B
não têm elementos
comuns, portanto
são CONJUNTOS
DISJUNTOS
CONJUNTO DE CONJUNTOSÉ um conjunto cujos elementos são conjuntos.
Exemplo:
F = { {a}; {b}; {a; b}; {a; b; c} }
Observe que os elementos do conjunto F também
são conjuntos.
{a} é um elemento do conjunto F então {a} F
É correto dizer que {b} F ? NÃO
Porque {b} é um elemento do conjunto F, o
correto é {b} F
CONJUNTO POTÊNCIA
O conjunto potência de um conjunto A denotado
por P(A) ou Pot(A) é o conjunto formado por
todos os subconjuntos de A.
Exemplo: Seja A = { m; n; p }
Os subconjuntos de A são:
{m}, {n}, {p}, {m;n}, {n;p},{m;p}, {m;n;p}, Φ
Então o conjunto potência de A é:
P(A) = { {m}; {n}; {p}; {m; n}; {m; p}; {n; p}; {m; n; p}; Φ }
QUANTOS ELEMENTOS TEM O CONJUNTO
POTÊNCIA DE A ?
Números Naturais (N) N = {1; 2; 3; 4; 5; ....}
Números Inteiros (Z) Z = {...; -2; -1; 0; 1; 2;....}
Números Racionais (Q)
Q = {...; -2; -1; ; 0; ; ; 1; ; 2; ....}
Números Irracionais ( I ) I = {...; ;....}2; 3;
Números Reais ( R )
R = {...; -2; -1; 0; 1; ; 2; 3; ....}2; 3
1
2
1
5
1
2
4
3
Números Complexos ( C )
C = {...; -2; ; 0; 1; ; 2 + 3i; 3; ....}2; 3
1
2
EXEMPLOS:
A ) 2
P x N/ x 9 0
B )
C )
D ) T x Q /(3x 4)(x 2) 0
E ) B x I/(3x 4)(x 2) 0
2
Q x Z/ x 9 0
2
F x R / x 9 0
P={3}
Q={-3;3}
F = { }
4
T
3
B 2
RESPOSTAS
76
556
A B
O conjunto “A unão B” que se representa é o
conjunto formado por todos os elementos que
pertenecem a A, a B ou a ambos os conjuntos.
A B
A B x / x A x B
Exemplo:
A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
87
3
1
4
2
A B 1;2;3;4;5;6;7;8;9
REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DA UNÃO
DE CONJUNTOS
Se A e B são não comparáveis Se A e B são comparáveis
Se A e B são
conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
AB
B
B
AUB AUB
PROPRIEDADES DA UNIÃO DE
CONJUNTOS
1. A U A = A
2. A U B = B U A
3. A U Φ = A
4. A U U = U
5. (AUB)UC = AU(BUC)
6. Se A U B = Φ A = Φ e B = Φ
76
556
A B
O conjunto “A intersecção B” que se representa é
o conjunto formado por todos os elementos que
pertencem a A e pertencem a B.
A B
A B x / x A x B
Exemplo:
A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
87
3
1
4
2
A B 5;6;7
REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DA
INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
Se A e B são não comparáveis Se A e B são comparáveis
Se A e B são
conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
AB
B
A B A B = B
B
A B = Φ
PROPRIEDADES DA INTERSECÇÃO DE
CONJUNTOS
1. A A = A
2. A B = B A
3. A Φ = Φ
4. A U = A
5. (A B) C =A (B C)
6. A U (B C) =(A U B) (A U C)
A (B U C) =(A B) U (A C)
76
556
A B
O conjunto “A menos B” que se representa é o
conjunto formado por todos os elementos que pertencem
a A e não pertencem a B.
A B
A B x / x A x B
Exemplo:
A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
87
3
1
4
2
A B 1;2;3;4
76
556
A B
O conjunto “B menos A” que se representa
é o conjunto formado por todos os elementos que
pertencem a B e não pertencem a A.
B A
B A x / x B x A
Exemplo:
A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
87
3
1
4
2
B A 8;9
REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DA
DIFERENÇA DE CONJUNTOS
Se A e B são não comparáveis Se A e B são comparáveis
Se A e B são
conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
AB
B
A - B A - B
B
A – B = A
76
556
A B
O conjunto “A diferença simétrica B ” que se representa
é el conjunto formado por todos os elementos que
pertencem a (A - B) ou (B - A).
A B
A B x / x (A B) x (B A)
Exemplo:
A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
87
3
1
4
2
A B 1;2;3;4 8;9
Dado um conjunto universo U e um conjunto
A, se chama complemento de A ao conjunto
formado por todos os elementos do universo
que não pertencem ao conjunto A.
Notacão: A’ ou AC
Exemplo:
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} A = {1; 3; 5; 7; 9}e
Simbolicamente: A' x / x U x A
A’ = U - A
12 3
4
56
78
9
UAA
A’ = {2; 4; 6; 8}
PROPRIEDADES DO COMPLEMENTO
1. (A’)’ = A
2. A U A’ = U
3. A A’ = Φ
4. U’ = Φ
5. Φ’ = U
Dados os conjuntos:
A = { 1; 4; 7; 10; ... ; 34}
B = { 2; 4; 6; ...; 26}
C = { 3; 7; 11; 15; ...; 31}
a) Expressar B e C por entendimento
b) Calcular: n(B) + n(A)
c) Achar: A B , C – A
Os elementos de A são:
Primeiro analisemos cada conjunto
1 3x1
tt4tt 1 3x2
tt7tt 1 3x3
tt tt10 1 3x11
tt3 tt41 3x0
tt1tt
...
A = { 1+3n / nZ / 0 n 11}
Os elementos de B são:
2x2
tt4tt2x3
tt6tt2x4
tt8tt2x13
tt tt262x1
tt2tt ...
B = { 2n / nZ / 1 n 13} n(B) = 13
n(A) = 12
Os elementos de C são:
3 4x1
tt7tt 3 4x2
tt tt11 3 4x3
tt tt15 3 4x7
tt tt313 4x0
tt3tt
...
C = { 3 + 4n / nZ / 0 n 7 }
a) Expressar B e C por entendimento
B = { 2n / nZ / 1 n 18}
C = { 3+4n / nZ / 0 n 7 }
b) Calcular: n(B) + n(A)
n(C) = 8
n(B) + n(A) = 13 +12 = 25
A = {1;4;7;10;13;16;19;22;25;28;31;34}
B = {2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;22;24;26}
C = {3;7;11;15;19;23;27;31}
c) Achar: A B , C – A
A B = { 4; 10; 16; 22 }
C – A = { 3; 11; 15; 23; 27 }
Sabemos que A B é formado pelos
elementos comuns de A e B, então:
Sabemos que C - A é formado pelos
elementos de C que não pertencem a A,
então:
Se : G = { 1; {3}; 5; {7;10}; 11 }
Determinar se é verdadeiro ou falso:
a) Φ G
b) {3} G
c) {{7}; 10} G
d) {{3}; 1} G
e) {1; 5; 11} G
Observe que os elementos de G são:
1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ; 11
es VERDADERO
Então:
é VERDADEIRO porque Φ está
incluso em todos os conjuntos
é VERDADEIRO porque {3}
é um elemento de G
é FALSO porque {{7};10}
não é elemento de G
é FALSO
a) Φ G ....
b) {3} G ...
c) {{7}; 10} G ...
d) {{3}; 1} G ...
e) {1; 5; 11} G ...
Dados os conjuntos:
P = { xZ / 2x2 + 5x – 3 = 0 }
M = { x/4N / -4 < x < 21 }
T = { xR / (x2 - 9)(x - 4) = 0 }
a) Calcular: M - ( T – P )
b) Calcular: Pot(M – T )
c) Calcular: (M U T) – P
P = { xZ / 2x2 + 5x – 3 = 0 }
Analisemos cada conjunto:
2x2 + 5x – 3 = 02x – 1
+ 3x
(2x-1)(x+3)=0
2x - 1 = 0 x = 1/2x + 3 = 0 x = -3
Observe que xZ ,
então: P = { -3 }
M = { x/4N / -4 < x < 21 }
Como x/4 N então os valores de x são: 4; 8;
12; 16; 20 porém os elementos de M se
obtêm dividindo x entre 4, portanto :
M = {1; 2; 3; 4; 5 }
T = { xR / (x2 - 9)(x - 4) = 0 }
Igualamos cada fator a zero e calculamos os
valores de x
x – 4 = 0 x = 4
x2 – 9 = 0 x2 = 9 x = 3 ou x = -3
Portanto: T = { -3; 3; 4 }
a) Calcular: M - ( T – P )
T – P = { -3; 3; 4 } - { -3 } T – P = {3; 4 }
M - (T – P)= {1; 2 ;3 ;4 ;5 } - {3; 4 }
M - (T – P)= {1; 2; 5 }
b) Calcular: Pot( M – T )
M – T = {1; 2; 3; 4; 5 } - { -3; 3; 4 }
M – T = {1; 2; 5 }
Pot( M – T ) = { {1}; {2}; {5}; {1;2};{1;5};{1;2;5};
{2;5};Φ }
c) Calcular: (M U T) – P
M U T = {1; 2; 3; 4; 5 } U { -3; 3; 4 }
M U T = { -3; 1 ; 2 ; 3; 4; 5 }
(M U T) – P = { -3; 1; 2; 3; 4; 5 } - { -3 }
(M U T) – P = {1; 2; 3; 4; 5 }
A B
A
B
C
Observe como se
obtém a região
sombreada
Toda a zona de amarelo é
AUB
A zona de verde é AB
Então, restando se obtém a zona que se
vê na figura: (AUB) - (AB)
C
Finalmente, lhe agregamos C e se obtém:
[ (AUB) - (AB) ] U C ( A B ) U C=
Segundo as preferências de 420
pessoas que assistem os canais A,
B ou C se observa que 180
assistem o canal A, e 240 assistem o
canal B e 150 não assistem o canal
C, os que assistem pelo menos 2
canais são 230. Quantos assistem
os três canais?
O universo é: 420
Assistem A: 180 Assistem B: 240
Não assistem C: 150
Então, se assistem o canal C: 420 – 150 = 270
A B
C
a
d
(I) a + e + d + x = 180
be
xf
(II) b + e + f + x = 240
c
(III) d + c + f + x = 270
Fato: Assistem por lo
menos dos canales 230,
entonces:
(IV) d + e + f + x = 230
(I) a + e + d + x = 180 (II) b + e + f + x = 240
(III) d + c + f + x = 270
Somamos as equações (I), (II) e (III)
Sabemos que: a + b + c + d + e + f + x = 420230
então: a + b + c = 190
a + b + c + 2(d + e + f + x) + x = 690
190 230
190 + 560 + x =690 x = 40
Isto significa que 40 pessoas assistem os tres canais