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[email protected] Guião Revisões: Funções –ESA-IPVC

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Conceito de função

Quatro amigos decidiram apostar no totoloto, tendo cada um deles

preenchido o seu boletim da seguinte forma:

Boletim do Hugo Boletim do João

Jogos Apostas Jogos Apostas

1 Equipa A – Equipa B 1 X 2 1 Equipa A – Equipa B 1 X 2

2 Equipa C – Equipa D 1 X 2 2 Equipa C – Equipa D 1 X 2

3 Equipa E – Equipa F 1 X 2 3 Equipa E – Equipa F 1 X 2

4 Equipa G – Equipa H 1 X 2 4 Equipa G – Equipa H 1 X 2

5 Equipa I – Equipa J 1 X 2 5 Equipa I – Equipa J 1 X 2

Boletim da Ana Boletim da Marta

Jogos Apostas Jogos Apostas

1 Equipa A – Equipa B 1 X 2 1 Equipa A – Equipa B 1 X 2

2 Equipa C – Equipa D 1 X 2 2 Equipa C – Equipa D 1 X 2

3 Equipa E – Equipa F 1 X 2 3 Equipa E – Equipa F 1 X 2

4 Equipa G – Equipa H 1 X 2 4 Equipa G – Equipa H 1 X 2

5 Equipa I – Equipa J 1 X 2 5 Equipa I – Equipa J 1 X 2

X X X X X X X X X

X X X X

X X X X X X X X

X

Os boletins de totobola estabelecem uma relação entre dois conjuntos: o conjunto dos jogos e

o conjunto das apostas.

Quais destas correspondências são funções?

Recorde que

Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos

Tal que:

Todos os elementos do primeiro conjunto estão envolvidos na correspondência. Cada elemento do primeiro conjunto tem um e um só correspondente no

segundo conjunto.

Funções

GUIÃO REVISÕES


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Representemos cada Boletim através de um Diagrama de Venn:

Todos os elementos do primeiro conjunto estão envolvidos na correspondência.

Cada elemento do primeiro conjunto tem um e um só correspondente no segundo conjunto.

Todos os elementos do primeiro conjunto estão envolvidos na correspondência.

Existem elementos do primeiro conjunto com vários correspondentes no segundo conjunto

Nem todos os

elementos do primeiro conjunto estão envolvidos na correspondência porque um dos elementos do primeiro conjunto não tem correspondência no segundo conjunto.

Cada elemento do primeiro conjunto tem um e um só correspondente no segundo conjunto.

Cada correspondência é uma FUNÇÃO – boletim válido.

As correspondências NÃO são FUNÇÕES – boletim não válido.

Todo o processo que faz corresponder a cada elemento 𝑥 de um conjunto A um e um só elemento 𝑦 do conjunto B é uma correspondência que se chama aplicação ou função de A em B. Representando a função por 𝑓, podemos escrever:

O conjunto A – conjunto de partida – é o domínio da função.

Representa-se por 𝐷𝑓.

O conjunto B designa-se por conjunto de chegada.

Os elementos do domínio designam-se por objectos e os respectivos elementos do conjunto B designam-se por imagens.

𝑥 é a variável independente e 𝑦 é a variável dependente.

O contradomínio é o conjunto das imagens. Representa-se por 𝐷′𝑓.

𝐷′𝑓 ⊆ 𝐵.

Atenção

Não confunda f com f (x)!

𝑓 designa uma função com o seu domínio, o seu conjunto de chegada e a indicação do processo para encontrar a imagem de cada elemento do domínio. 𝒇(𝒙) representa a imagem do objecto 𝑥 do domínio, pela função 𝑓.

Boletim do Hugo

Jogo Aposta

1

2

3

4

5

1

X

2

Boletim do Ana

Jogo Aposta

1

2

3

4

5

1

X

2

Boletim do João

Jogo Aposta

1

2

3

4

5

1

X

2

Boletim do Marta

Jogo Aposta

1

2

3

4

5

1

X

2


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Considerando a função do boletim da Ana:

a) Quais são os objectos?

b) Quais são as imagens?

c) Indique o domínio da função?

d) Indique o conjunto de chegada?

e) Indique o contradomínio da função?

f) Qual é a imagem do objecto 1?

g) Quais os objectos cuja imagem é X?

Resolução:

a) Os objectos são e .

b) As imagens são e X.

c) O domínio da função é { }.

d) O conjunto de chegada é { }.

e) O contradomínio da função é { }.

f) A imagem do objecto 1 é 1.

g) Os objectos cuja imagem é X são e .

Teste os seus conhecimentos

1) Considere as seguintes correspondências de A para B:

a) Diga, justificando, se são

funções.

b) Das que são funções indique

o domínio, o contradomínio e o

conjunto de chegada.

Carro

Comboio

Barco

garagem

estação

porto

A B f

Março

Maio

Junho

Julho

31

30

29

A B g

1

2

3

1

4

9

16

A B h

A B

1

3

5

2

3

8

j

Boletim do Ana

Jogo Aposta

1

2

3

4

5

1

X

2


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Modos de definir uma função

Imagine que vai de férias e encontra o seguinte anúncio.

Como só dispõe de 50€, quantos dias pode alugar a bicicleta?

A cada número de dias de aluguer ( ) corresponde um único custo ( ). Assim, e são

varáveis.

Como o custo depende do número de dias de aluguer , diz-se que é a variável

dependente e a chama-se variável independente. é função de .

Existem algumas formas de representar a função.

Representando a função por meio de um diagrama de Venn.

N.º de dias Custo

1

2

3

4

5

12

21

30

39

48

Representando a função por meio de uma tabela, obtém-se:

Representando a função por meio de uma expressão analítica.

A expressão é a expressão analítica da função. Assim, a função representa-se

da seguinte forma:

{ }

Número de dias de aluguer ( ) 1 2 3 4 5

Custo (em euros) ( ) 12 21 30 39 48

ALUGA-SE BICICLETAS

D E P Ó S I T O … € 3

€ 9 P O R D I A

Note que os número de dias só variam de 1 a 5. Para 6 dias teria de pagar 57€, o que não seria possível, visto que só dispõe de 50€.


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As expressões analíticas permitem determinar facilmente os valores de C a partir dos

valores de N.

Representando a função por meio de um gráfico, obtemos:


1) A função { } está definida pelo seguinte gráfico

-1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

x

y

a) Defina f por meio de uma tabela.

b) Calcule ( ) e ( ).

c) Indique o objecto cuja imagem é 3.

1 2 3 4 5

6

12

18

24

30

36

42

48

N

C

21

39

Nota: O gráfico de f identifica-se com o conjunto de pares ordenados ( ( )), . Como para representar um

ponto no referencial cartesiano usamos o sistema de coordenadas o valor dos objectos é representado no eixo dos e o das respectivas imagens no eixo dos . Por este motivo é vulgar a identificação ( ).


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2) Identifique nas seguintes situações as que representam funções:

3) Considere as funções:

{

} {

} { }

( )

a) Defina g por meio de um diagrama.

b) Defina f por meio de uma tabela.

c) Calcule ( ) e ( ).

d) Indique o conjunto de chegada de f e de g.

e) Indique o domínio de cada função.

f) Indique o contradomínio de cada função.

Representação gráfica

Através da representação gráfica, muita informação pode ser obtida.

O seguinte gráfico representa o movimento de um automóvel ao longo de um trajecto de 700m.

a) Qual a variável independente? E a variável dependente?

b) Nos primeiros 40 segundos quantos metros percorreu o automóvel?

c) Durante o passeio, o automóvel alguma vez esteve parado? Se sim, quanto tempo?

d) Indique o instante em que o automobilista iniciou o regresso.

x

y

x

y

0

100

200

300

400

500

600

700

0 20 40 60 80 100 120 140

Po

siç

ão

a c

ad

a in

sta

nte

Tempo (em segundos)


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e) Em que momento o automóvel se encontra a 500m do ponto de partida? No momento 77s

em que posição estava o automóvel?

f) Qual o domínio e o contradomínio da função?

Resolução:

a) A variável independente é o tempo e a variável dependente é a posição a cada instante.

b) O automóvel percorreu 600 metros nos primeiros 40s.

c) Sim, esteve parado durante 40s (dos 40 aos 80 s.)

d) Aos 80 segundos iniciou a viagem de regresso.

e) Nos momentos 30 e 85 o automóvel estava a 500m do ponto de partida. No momento 77 o

automóvel estava a 600m do ponto de partida.

f) [ ], [ ]


4) Ao longo de uma viagem de carro, o número de litros de gasolina no depósito é dado pelo

seguinte gráfico.

x

y

Gas

olin

a n

o d

epó

sito

( li

tros

)

Km

15

25

a) O gráfico representa uma função? Justifique.

b) Quantos litros de gasolina havia no depósito do carro no início da viagem?

Não se esqueça que o domínio é visto no eixo dos 𝑥𝑥, neste caso, no eixo do tempo, e o contradomínio no eixo dos 𝑦𝑦.


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c) Quantos litros de gasolina se gastaram por cada 100 km de viagem?

d) Quantos litros de gasolina se gastaram nos 400 km de viagem?

5) Feito um estudo sobre uma determinada população, analisou-se a evolução da altura de

acordo com a idade e, construiu-se o seguinte gráfico:

Alt

ura

(cm

)

100

90

120

130

110

10

20

30

40

50

60

80

70

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Idade (anos)

a) O gráfico representa uma função? Justifique.

b) Qual foi a altura máxima atingida pela pessoa e em que altura da sua vida?

c) A partir de que idade a altura começou a decrescer?

d) Indique a altura da pessoa quando nasceu.

Até agora….

Conceito e classificação de função

Modos de definir uma função

Representação gráfica

Função real de variável real

Zeros de uma função

Estudo de funções elementares: afins, quadráticas e racionais.


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Zeros de uma função

Considere a função f, de domínio , definida pelo gráfico que se segue e a sua expressão

analítica.

x

y

-3 -1 2

y = f(x)

a) Determine graficamente os zeros da função;

b) Determine analiticamente os zeros da função.

a) A função intersecta o eixo dos nos pontos ( ), ( )

e ( ).

Tal significa que ( ) , ( ) e ( ) , ou seja,

e são zeros da função .

b)

Chama-se função real de variável real a uma função cujos domínio e contradomínio são

conjuntos de números reais.

Recorde que

Zero de uma função é todo o objecto que tem imagem nula.

Os zeros de uma função correspondem graficamente aos pontos de intersecção com o eixo dos 𝑥𝑥.


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Para calcular os zeros de uma função analiticamente basta resolver a equação 𝑓(𝑥) . Só as soluções pertencentes ao 𝐷𝑓 são

zeros da função.

( ) ( )( )( )

Os zeros da função são: e 2, uma vez que .

Funções Afins

O José todas as semanas enche o depósito do seu carro com gasóleo. O preço de um

litro de gasóleo durante seis semanas consecutivas pode ser representado pelo gráfico

seguinte:

1,21

1 2 3 4 5 6

Cu

sto

(€)

Semanas

O que pode concluir acerca do preço do gasóleo?

Concluímos assim, que o preço do gasóleo se manteve constante durante as seis semanas.

A situação pode ser descrita pela função .

Num dos dias em que o José ia para o trabalho, devido a uma avaria, o seu

automóvel movia-se à velocidade constante de 10 km/h. Logo, ao fim de uma hora teria

andado 10 km, ao fim de duas horas, 20km, e assim sucessivamente.

Podemos representar a viagem efectuada, pelo seguinte gráfico:


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Tempo (h)

Dis

tância

Perc

orr

ida(k

m)

Quando o José foi levar o automóvel ao mecânico, teve de ir para casa de táxi. O

custo de uma viagem de táxi é representado pelo seguinte gráfico:

km

Cu

sto

(€)

a) Quanto custa, no mínimo uma viagem de táxi?

b) Se o José morar a 3km de casa, quanto vai pagar pela viagem?

Resolução:

a) Por observação do gráfico, verifica-se que uma viagem de táxi custa, no mínimo, um euro.

b) Se o João morar a 3km de casa paga 7€ pela viagem.

A situação por ser descrita pela expressão ( ) . No contexto do problema

consideramos uma vez que não faz sentido considerar valores negativos para os

quilómetros.

Traduzindo o gráfico por uma

expressão analítica, tem-se

( ) onde, no contexto do

problema, uma vez que não

faz sentido considerar valores

negativos para o tempo.

Assim, a função ( ) terá

por gráfico a semi-recta que

representa o percurso.


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Dado o gráfico de uma função afim, como podemos determinar a sua expressão analítica?

Considere o seguinte gráfico e determine a sua expressão analítica.

Conhecemos dois pontos que constituem o gráfico, por exemplo, ( ) e ( ).

Sabemos que a equação da recta é do tipo .

Primeiro vamos determinar o declive da recta, ou seja, .

( )

Logo, temos .

Para saber , basta substituir e pelas coordenadas de um dos pontos, considerando, por

exemplo, ( ) obtemos:

Concluímos que a expressão analítica de f é .

x

y

Toda função do tipo 𝑦 𝑚𝑥 𝑏, que é polinómio de grau 1, tem por gráfico uma recta. A estas funções chamam-se funções afins. 𝑚 é o declive da recta e 𝑏 é a ordenada na origem.

Observação:

Se 𝑏 então 𝑦 𝑚𝑥, logo trata-se de uma função linear.

Se 𝑚 então 𝑦 𝑏, logo trata-se de uma função constante.

Recorde que

Dados dois pontos ( ) e

( ), o declive da recta que

passa em A e em B é dado por


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6) Uma marca de automóveis pretende, com o gráfico seguinte, mostrar qual o consumo de

gasolina de um novo modelo lançado no mercado.

Observe e responda:

a) Esta correspondência é uma função linear?

b) Com 18 litros de gasolina, quantos quilómetros se podem percorrer?

c) Quantos litros de gasolina são necessários para percorrer 300 km?

d) Sendo o número de quilómetros percorridos e a quantidade de gasolina

consumida, complete:

( ) ( ) ( ) 7) Observe o gráfico:

Horas 0 5 10 15 20

5

10

15

20

25

Dis

tân

cia

per

corr

ida

(km

)

a) A que horas partiu cada um dos veículos?

b) Depois de quantas horas o carro alcançou a bicicleta?

c) Se o objectivo dos condutores é chegar à mesma cidade, que distava 25 km do ponto

de partida, qual é o primeiro a chegar à cidade?

d) Escreva a expressão analítica da função cujo gráfico é:

d1) a recta associada ao percurso da mota;

d2) a recta associada ao percurso do ciclista.


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Funções quadráticas

Num grande prémio de Fórmula 1, um espectador encontra-se num local em que

consegue visualizar um determinado troço do percurso. A certa altura vê um carro. A distância,

em metros, deste ao espectador é dada por

( ) , com em segundos.

a) Construa o gráfico da função, no contexto do problema.

b) Qual o domínio da função no contexto do problema?

c) A que distância se encontra o carro do espectador quando este o vê pela primeira vez?

d) Ao fim de quanto tempo se atinge a menor distância entre o carro e o espectador? Qual é

essa distância?

a) Recorrendo ao software “winplot” pode construir o gráfico da função, no contexto do

problema.

Tempo (s)

Dis

tância

(m

)

Relembre que A toda a função, real de variável real, do tipo 𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐, com 𝑎 ≠ , que é

polinómio de grau 2, chama-se função quadrática.

A sua representação gráfica é uma parábola em que:

— se 𝑎 > a concavidade é voltada para cima;

— se 𝑎 < a concavidade é voltada para baixo.


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b) O domínio da função no contexto do problema é [ [ pois não faz sentido

considerar o tempo negativo.

c) O espectador vê o carro pela primeira vez em . Para saber a distância temos que

determinar a imagem de 0.

( )

Assim, quando o espectador vê o carro pela primeira vez, este está a uma distância de 155

metros.

d) Para saber qual é menor distância entre o carro e o

espectador basta calcular as coordenadas do vértice da

parábola.

Comecemos por igualar a função a um valor qualquer do

contradomínio, por exemplo 155 para ser mais fácil de

resolver.

( )

Existem dois objectos cuja imagem é 155: 0 e 6.

Logo, o eixo de simetria passa pelos pontos cuja abcissa é a média destes valores, ou seja,

.

Para saber a ordenada do vértice determina-se a imagem de 3

( )

As coordenadas do vértice são: ( ).

Ao fim de 3 segundos atinge-se a menor distância entre o carro e o espectador. Essa

distância é de 20 metros.

Recorrendo ao “winplot” faça a representação gráfica das seguintes funções quadráticas

e, para cada uma delas, indique o domínio, o contradomínio, os zeros, a concavidade, os

intervalos onde é positiva e negativa e a monotonia:

a) ( ) b) ( )

A parábola tem um eixo

de simetria que passa pelo vértice da parábola.


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a) ( )

′

Zeros: 0

Concavidade voltada para cima.

É positiva em { }.

É decrescente em ] ].

É crescente em [ [.

b) ( )

Zeros: 1, -2

( )

( ) √( ) ( )

( )

√

Para saber o contradomínio da função precisamos de saber as coordenadas do vértice da

parábola.

Como o eixo de simetria da parábola passa pelo vértice e, existem dois objectos (1 e -2) que

têm imagem 0, o eixo de simetria é

que é a média dos dos objectos que têm a

mesma imagem. Assim a abcissa do vértice é

. Para saber a ordenada basta calcular a

imagem de

.

(

) (

)

(

)

As coordenadas do vértice são (

)

′ ]

]

Concavidade voltada para baixo.

É positiva em] [.

É negativa em ] [ ] [.

É decrescente em [

[.

É crescente em ]

].

x

y

x

y

f(x) Recorde Graficamente uma função é positiva se está acima do eixo dos e é negativa quando está abaixo do mesmo eixo. Analiticamente, uma função f é positiva em [ ] se qualquer que seja [ ], ( ) > E é negativa em [ ] se qualquer que seja [ ], ( ) <


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8) No dia 20 de Abril, foi detectada num doente uma infecção cutânea, que evoluiu de acordo

com o seguinte modelo matemático: ( ) , sendo ( ) a área de pele

infectada (em mm2) e t o tempo (em dias) contado a partir do momento em que foi

detectada.

Sabe-se que a área infectada começou a diminuir quando foi administrado um antibiótico.

a) Qual a área de pele atingida durante a infecção?

b) Em que dia se iniciou o tratamento com o antibiótico?

c) A infecção afectou uma área de 16 mm2? Se sim, passado quantos dias? Comente os

resultados obtidos?

e) Ao fim de quanto tempo a infecção se extinguiu?

9) Uma bola é lançada ao ar e segue a trajectória representada na figura. A altura h(t) da bola

em metros, passados t segundos de ser lançada é definida pela função

( )

a) Quanto tempo a bola se manteve no ar?

b) Dois segundos após o lançamento, qual a altura a que se

encontra a bola?

c) A bola ultrapassou a altura de um prédio de 15,5 metros

de altura. Em que instantes teve a bola à altura do edifício?

d) A que altura foi lançada a bola?

Funções racionais

Uma espécie rara de insectos gigantes foi descoberta numa floresta da Amazónia. Para

proteger esta espécie, os cientistas fizeram transportar alguns dos insectos para uma área

protegida. A população de insectos, t meses depois de ser deslocada, era dada por:

( ) ( )

a) Qual é o domínio da função no contexto do problema?

b) Quantos insectos foram transportados?


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c) Qual é a população, passados 5 anos?

d) Passados quantos anos a população atinge 1000 insectos?

Resolução:

a) O domínio da função é

{ ≠ } { }

No contexto do problema não faz sentido que os meses sejam negativos, por isso o domínio

da função, no contexto do problema é [ [.

b) Para sabermos os insectos que foram transportados temos de calcular a população no inicio

da contagem do tempo, ou seja, para .

( ) ( )

R: Foram transportados 25 insectos.

c) Passados 5 anos são meses

( ) ( )

R: Passados 5 anos, a população é de 596 aproximadamente.

d) Para saber passados quantos meses a população atinge os 1000 insectos tem-se de resolver

a equação ( ) .

( ) ( )

( )

( ) ( )

≠

≠

uma vez que [ [.

130 meses correspondem a 10 anos e 10 meses.

R: Passados 10 anos e 10 meses a população atinge 1000 insectos.

Recorde que:

Na presença de uma fracção temos de garantir que o denominador é diferente de zero.


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A função ( ) ( )

é exemplo de uma função racional.


10) Determine o domínio e os zeros das funções definidas por:

a)

; b)

; c)

; d)

.

11) Admita que uma determinada raça de cães tem um desenvolvimento que obedece ao

seguinte modelo matemático:

( )

sendo ( ) o peso médio (em Kg) de um animal em função do tempo t (em meses) de vida

desde o seu nascimento.

a) Qual é o peso médio de um animal recém-nascido?

b) Com que idade um cão desta raça atinge os 9 Kg?

c) Até que idade o peso médio do animal não excede 5kg?

12) A altura, em metros, de uma árvore, t anos após o momento em que foi plantada, é dada

por ( )

.

a) Com que altura a árvore foi plantada?

b) Qual foi a variação da altura da árvore nos primeiros nove meses após ter sido plantada?

c) Passado quanto tempo a árvore atinge uma altura de 4 metros?

Referências

Uma função f, real de variável real, chama-se função racional se pode ser representada pelo

quociente entre dois polinómios, sendo o divisor um polinómio não nulo.

O domínio de uma função racional 𝑓(𝑥) 𝑎(𝑥)

𝑏(𝑥) é dado por:

𝐷𝑓 {𝑥 𝑏(𝑥) ≠ }.


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[1] Neves, M.A.;Guerreiro, L.; Neves, A; Matemática 8º ano, 1ª Parte ,1ª edição, Porto Editora,

2003; [2] Guerreiro, L.; Neves, M.A.; Matemática A 10.º - Funções I, Porto Editora 2004; [3] Costa, B.; Resende, L.; Rodrigues, E.; Espaço 10 , 2ª edição, Edições Asa, 2005 [4] Soveral, A.; Silva, C.; Matemática 10º ano, vol. 2, 1ª edição, Texto Editora, 2003 [5] Guerreiro, L.; Neves, M.A.; Moura, A.; Matemática A 11.º - Funções II, Porto Editora 2005; [6] Costa, B.; Resende, L.; Rodrigues, E.; Espaço 11 , 2ª edição, Edições Asa, 2005

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