Em matemática, o conceito de

conjunto é considerado primitivo e

não se dá uma definição deste,

portanto, a palavra CONJUNTO

deve aceitar-se logicamente como

um termo não definido.

Um conjunto se pode entender como

uma coleção ou agrupamento bem

definido de objetos de qualquer classe.

Os objetos que formam um conjunto

são chamados membros ou elementos

do conjunto.

Exemplo:

Na figura ao lado temos

um Conjunto de Pessoas

NOTAÇÃO

Todo conjunto se escreve entre chaves { }

e se denota mediante letras maiúsculas A,

B, C, ..., seus elementos se separam

mediante ponto e vírgula.

Exemplo:

O conjunto das letras do alfabeto; a, b,

c, ..., x, y, z. Se pode escrever assim:

L = {a; b; c; ...; x; y; z}

Exemplo:

A = {a; b; c; d; e} seu cardinal n(A) =

B = {x; x; x; y; y; z} seu cardinal n(B) =

Na teoria de conjuntos não precisa repetir

os elementos, por exemplo:

O conjunto {x; x; x; y; y; z } simplemente

será { x; y; z }.

Ao número de elementos que tem um conjunto

Q chamamos CARDINAL DO CONJUNTO e se

representa por n(Q).

5

3

Para indicar que um elemento pertenece a

um conjunto se usa o símbolo:

Se um elemento não pertenece a um

conjunto se usa o símbolo:

Exemplo: Seja M = {2; 4; 6; 8; 10}

2 M ... se lê 2 pertenece ao conjunto M

5 M ... se lê 5 não pertenece ao conjunto M

I) POR EXTENSÃO

Há duas formas de determinar um conjunto,

por Extensão e por Entendimento.

É aquela forma mediante a qual se indica

cada um dos elementos do conjunto.

Exemplos:

A) O conjunto dos números pares maiores que

5 e menores que 20.

A = { 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18 }

B) O conjunto de números negativos ímpares

maiores que -10.

B = {-9; -7; -5; -3; -1 }

II) POR ENTENDIMENTO

É aquela forma mediante a qual se dá uma

propriedade que caracteriza a todos os

elementos do conjunto.

Exemplo:

Se pode entender que o conjunto P está formado

pelos números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

P = {os números dígitos }

Outra forma de escrever é: P = { x / x = dígito }

se lê “P é o conjunto formado pelos

elementos x tal que x é um dígito”.

Exemplo:

Expressar por extensão e por entendimento o

conjunto de dias da semana.

Por Extensão: D = {segunda; terça; quarta;

quinta; sexta; sábado; domingo }

Por Entendimento: D = { x / x = dia da semana }

Os diagramas de Venn que se devem ao

filósofo inglês John Venn (1834-1883) servem

para representar conjuntos de maneira gráfica

mediante desenhos ou diagramas que podem

ser círculos, retângulos, triângulos ou

qualquer curva fechada.

AMT

7

2

3

6

9

ae

i

o

u

(1;3) (7;6)

(2;4) (5;8)8

4

1 5

A = ou A = { } se lê: “A é o conjunto vazio”

ou “A é o conjunto nulo “

CONJUNTO VAZIO

É um conjunto que não tem elementos, também

se chama conjunto nulo. Geralmente se

representa pelos símbolos: ou { }

Exemplos:

M = { números maiores que 9 e menores que 5 }

P = { x / }1

0

X

A = ou A = { } se lê: “A é o conjunto vazio”

ou “A é o conjunto nulo “

CONJUNTO VAZIO

É um conjunto que não tem elementos, também

se chama conjunto nulo. Geralmente se

representa pelos símbolos: ou { }

Exemplos:

M = { números maiores que 9 e menores que 5 }

P = { x / }1

0

X

CONJUNTO UNITÁRIO

É o conjunto que tem um só elemento.

Exemplos:

F = { x / 2x + 6 = 0 } G = 2

x / x 4 x 0

CONJUNTO FINITOÉ o conjunto com limitado número de

elementos.

Exemplos:

E = { x / x é um número impar positivo

menor que 10 }

N = { x / x2 = 4 }

;

CONJUNTO INFINITO

É o conjunto com ilimitado número de

elementos.

Exemplos:

R = { x / x < 6 } S = { x / x é um número par }

CONJUNTO UNIVERSAL

É um conjunto referencial que contém todos

os elementos de uma situação particular,

geralmente se representa pela letra U

Exemplo:O universo ou conjunto universal

;

de todos os números é o conjunto dos

NÚMEROS COMPLEXOS.

INCLUSÃOUm conjunto A está incluso em outro conjunto B,

se e somente se, todo elemento de A for também

elemento de B.

NOTAÇÃO : A BSe lê : A está incluso em B, A é subconjunto de B,

A está contido em B , A é parte de B.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA :

BA

PROPRIEDADES:

I) Todo conjunto está incluido em si mesmo. A A

II) O conjunto vazio se considera incluido em

qualquer conjunto. A

III) A está incluido em B ( ) equivale a dizer

que B contém A ( )

A BB A

IV) Se A não está incluido em B ou A não é

subconjunto de B significa que pelo menos um

elemento de A não pertence a B. ( )A B

V) Simbolicamente: A B x A x B

CONJUNTOS COMPARÁVEISUm conjunto A é COMPARÁVEL com outro

conjunto B se entre esses conjuntos existe uma

relação de inclusão.

A é comparável com B se A U B = B U A

Exemplo: A = { 1; 2; 3; 4; 5 } e B = { 2; 4 }

1

23

4

5A

B

Observe que B

está incluso em A,

portanto, A e B são

COMPARÁVEIS

IGUALDADE DE CONJUNTOS

Dos conjuntos são iguais se têm os mesmos

elementos.

Exemplo:

A = { x / x2 = 9 } y B = { x / (x – 3)(x + 3) =0 }

Resolvendo a equacão de cada conjunto se obtém

em ambos os casos que x é igual a 3 ou -3, ou

seja: A = {-3; 3} y B = {-3; 3}, portanto A = B

Simbolicamente : A B (A B) (B A)

CONJUNTOS DISJUNTOS

Dois conjuntos são disjuntos quando não têm

elementos comuns.

REPRESENTACÃO GRÁFICA :

A B

1

7

5 3

9

2

4

8

6

Como podemos

observar os

conjuntos A e B

não têm elementos

comuns, portanto

são CONJUNTOS

DISJUNTOS

CONJUNTO DE CONJUNTOSÉ um conjunto cujos elementos são conjuntos.

Exemplo:

F = { {a}; {b}; {a; b}; {a; b; c} }

Observe que os elementos do conjunto F também

são conjuntos.

{a} é um elemento do conjunto F então {a} F

É correto dizer que {b} F ? NÃO

Porque {b} é um elemento do conjunto F, o

correto é {b} F

CONJUNTO POTÊNCIA

O conjunto potência de um conjunto A denotado

por P(A) ou Pot(A) é o conjunto formado por

todos os subconjuntos de A.

Exemplo: Seja A = { m; n; p }

Os subconjuntos de A são:

{m}, {n}, {p}, {m;n}, {n;p},{m;p}, {m;n;p}, Φ

Então o conjunto potência de A é:

P(A) = { {m}; {n}; {p}; {m; n}; {m; p}; {n; p}; {m; n; p}; Φ }

QUANTOS ELEMENTOS TEM O CONJUNTO

POTÊNCIA DE A ?

Números Naturais (N) N = {1; 2; 3; 4; 5; ....}

Números Inteiros (Z) Z = {...; -2; -1; 0; 1; 2;....}

Números Racionais (Q)

Q = {...; -2; -1; ; 0; ; ; 1; ; 2; ....}

Números Irracionais ( I ) I = {...; ;....}2; 3;

Números Reais ( R )

R = {...; -2; -1; 0; 1; ; 2; 3; ....}2; 3

1

2

1

5

1

2

4

3

Números Complexos ( C )

C = {...; -2; ; 0; 1; ; 2 + 3i; 3; ....}2; 3

1

2

N

Z

Q

I

R

C

EXEMPLOS:

A ) 2

P x N/ x 9 0

B )

C )

D ) T x Q /(3x 4)(x 2) 0

E ) B x I/(3x 4)(x 2) 0

2

Q x Z/ x 9 0

2

F x R / x 9 0

P={3}

Q={-3;3}

F = { }

4

T

3

B 2

RESPOSTAS

76

556

A B

O conjunto “A unão B” que se representa é o

conjunto formado por todos os elementos que

pertenecem a A, a B ou a ambos os conjuntos.

A B

A B x / x A x B

Exemplo:

A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 1;2;3;4;5;6;7;8;9

REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DA UNÃO

DE CONJUNTOS

Se A e B são não comparáveis Se A e B são comparáveis

Se A e B são

conjuntos disjuntos

U

U

U

A

A

AB

B

B

AUB AUB

PROPRIEDADES DA UNIÃO DE

CONJUNTOS

1. A U A = A

2. A U B = B U A

3. A U Φ = A

4. A U U = U

5. (AUB)UC = AU(BUC)

6. Se A U B = Φ A = Φ e B = Φ

76

556

A B

O conjunto “A intersecção B” que se representa é

o conjunto formado por todos os elementos que

pertencem a A e pertencem a B.

A B

A B x / x A x B

Exemplo:

A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 5;6;7

REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DA

INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS

Se A e B são não comparáveis Se A e B são comparáveis

Se A e B são

conjuntos disjuntos

U

U

U

A

A

AB

B

A B A B = B

B

A B = Φ

PROPRIEDADES DA INTERSECÇÃO DE

CONJUNTOS

1. A A = A

2. A B = B A

3. A Φ = Φ

4. A U = A

5. (A B) C =A (B C)

6. A U (B C) =(A U B) (A U C)

A (B U C) =(A B) U (A C)

76

556

A B

O conjunto “A menos B” que se representa é o

conjunto formado por todos os elementos que pertencem

a A e não pertencem a B.

A B

A B x / x A x B

Exemplo:

A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 1;2;3;4

76

556

A B

O conjunto “B menos A” que se representa

é o conjunto formado por todos os elementos que

pertencem a B e não pertencem a A.

B A

B A x / x B x A

Exemplo:

A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

B A 8;9

REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DA

DIFERENÇA DE CONJUNTOS

Se A e B são não comparáveis Se A e B são comparáveis

Se A e B são

conjuntos disjuntos

U

U

U

A

A

AB

B

A - B A - B

B

A – B = A

76

556

A B

O conjunto “A diferença simétrica B ” que se representa

é el conjunto formado por todos os elementos que

pertencem a (A - B) ou (B - A).

A B

A B x / x (A B) x (B A)

Exemplo:

A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 1;2;3;4 8;9

Também é correto afirmar que:

A B (A B) (B A)

A B (A B) (A B)

A BA - B B - A

A B

Dado um conjunto universo U e um conjunto

A, se chama complemento de A ao conjunto

formado por todos os elementos do universo

que não pertencem ao conjunto A.

Notacão: A’ ou AC

Exemplo:

U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} A = {1; 3; 5; 7; 9}e

Simbolicamente: A' x / x U x A

A’ = U - A

12 3

4

56

78

9

UAA

A’ = {2; 4; 6; 8}

PROPRIEDADES DO COMPLEMENTO

1. (A’)’ = A

2. A U A’ = U

3. A A’ = Φ

4. U’ = Φ

5. Φ’ = U

Dados os conjuntos:

A = { 1; 4; 7; 10; ... ; 34}

B = { 2; 4; 6; ...; 26}

C = { 3; 7; 11; 15; ...; 31}

a) Expressar B e C por entendimento

b) Calcular: n(B) + n(A)

c) Achar: A B , C – A

Os elementos de A são:

Primeiro analisemos cada conjunto

1 3x1

tt4tt 1 3x2

tt7tt 1 3x3

tt tt10 1 3x11

tt3 tt41 3x0

tt1tt

...

A = { 1+3n / nZ / 0 n 11}

Os elementos de B são:

2x2

tt4tt2x3

tt6tt2x4

tt8tt2x13

tt tt262x1

tt2tt ...

B = { 2n / nZ / 1 n 13} n(B) = 13

n(A) = 12

Os elementos de C são:

3 4x1

tt7tt 3 4x2

tt tt11 3 4x3

tt tt15 3 4x7

tt tt313 4x0

tt3tt

...

C = { 3 + 4n / nZ / 0 n 7 }

a) Expressar B e C por entendimento

B = { 2n / nZ / 1 n 18}

C = { 3+4n / nZ / 0 n 7 }

b) Calcular: n(B) + n(A)

n(C) = 8

n(B) + n(A) = 13 +12 = 25

A = {1;4;7;10;13;16;19;22;25;28;31;34}

B = {2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;22;24;26}

C = {3;7;11;15;19;23;27;31}

c) Achar: A B , C – A

A B = { 4; 10; 16; 22 }

C – A = { 3; 11; 15; 23; 27 }

Sabemos que A B é formado pelos

elementos comuns de A e B, então:

Sabemos que C - A é formado pelos

elementos de C que não pertencem a A,

então:

Se : G = { 1; {3}; 5; {7;10}; 11 }

Determinar se é verdadeiro ou falso:

a) Φ G

b) {3} G

c) {{7}; 10} G

d) {{3}; 1} G

e) {1; 5; 11} G

Observe que os elementos de G são:

1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ; 11

es VERDADERO

Então:

é VERDADEIRO porque Φ está

incluso em todos os conjuntos

é VERDADEIRO porque {3}

é um elemento de G

é FALSO porque {{7};10}

não é elemento de G

é FALSO

a) Φ G ....

b) {3} G ...

c) {{7}; 10} G ...

d) {{3}; 1} G ...

e) {1; 5; 11} G ...

Dados os conjuntos:

P = { xZ / 2x2 + 5x – 3 = 0 }

M = { x/4N / -4 < x < 21 }

T = { xR / (x2 - 9)(x - 4) = 0 }

a) Calcular: M - ( T – P )

b) Calcular: Pot(M – T )

c) Calcular: (M U T) – P

P = { xZ / 2x2 + 5x – 3 = 0 }

Analisemos cada conjunto:

2x2 + 5x – 3 = 02x – 1

+ 3x

(2x-1)(x+3)=0

2x - 1 = 0 x = 1/2x + 3 = 0 x = -3

Observe que xZ ,

então: P = { -3 }

M = { x/4N / -4 < x < 21 }

Como x/4 N então os valores de x são: 4; 8;

12; 16; 20 porém os elementos de M se

obtêm dividindo x entre 4, portanto :

M = {1; 2; 3; 4; 5 }

T = { xR / (x2 - 9)(x - 4) = 0 }

Igualamos cada fator a zero e calculamos os

valores de x

x – 4 = 0 x = 4

x2 – 9 = 0 x2 = 9 x = 3 ou x = -3

Portanto: T = { -3; 3; 4 }

a) Calcular: M - ( T – P )

T – P = { -3; 3; 4 } - { -3 } T – P = {3; 4 }

M - (T – P)= {1; 2 ;3 ;4 ;5 } - {3; 4 }

M - (T – P)= {1; 2; 5 }

b) Calcular: Pot( M – T )

M – T = {1; 2; 3; 4; 5 } - { -3; 3; 4 }

M – T = {1; 2; 5 }

Pot( M – T ) = { {1}; {2}; {5}; {1;2};{1;5};{1;2;5};

{2;5};Φ }

c) Calcular: (M U T) – P

M U T = {1; 2; 3; 4; 5 } U { -3; 3; 4 }

M U T = { -3; 1 ; 2 ; 3; 4; 5 }

(M U T) – P = { -3; 1; 2; 3; 4; 5 } - { -3 }

(M U T) – P = {1; 2; 3; 4; 5 }

Expressar a região sombreada em

termos de operações entre os

conjuntos A, B e C.

A B

C

A

B

C

A B

C

A B

CA

B

C

AB

C

[(AB) – C]

[(BC) – A]

[(AC) – B]

U U

A B

A

B

C

Observe como se

obtém a região

sombreada

Toda a zona de amarelo é

AUB

A zona de verde é AB

Então, restando se obtém a zona que se

vê na figura: (AUB) - (AB)

C

Finalmente, lhe agregamos C e se obtém:

[ (AUB) - (AB) ] U C ( A B ) U C=

Segundo as preferências de 420

pessoas que assistem os canais A,

B ou C se observa que 180

assistem o canal A, e 240 assistem o

canal B e 150 não assistem o canal

C, os que assistem pelo menos 2

canais são 230. Quantos assistem

os três canais?

O universo é: 420

Assistem A: 180 Assistem B: 240

Não assistem C: 150

Então, se assistem o canal C: 420 – 150 = 270

A B

C

a

d

(I) a + e + d + x = 180

be

xf

(II) b + e + f + x = 240

c

(III) d + c + f + x = 270

Fato: Assistem por lo

menos dos canales 230,

entonces:

(IV) d + e + f + x = 230

(I) a + e + d + x = 180 (II) b + e + f + x = 240

(III) d + c + f + x = 270

Somamos as equações (I), (II) e (III)

Sabemos que: a + b + c + d + e + f + x = 420230

então: a + b + c = 190

a + b + c + 2(d + e + f + x) + x = 690

190 230

190 + 560 + x =690 x = 40

Isto significa que 40 pessoas assistem os tres canais