Aula pb 1_resumo

Gestão de Projectos

Um empreendimento é constituído por dez actividades cujas precedências directas e durações (em

meses) são indicadas a seguir:

ActividadesPrecedência

directa

Duração

(meses)

A - 2B A 3C A 5D B 4E B 1

Exercício 1 - Enunciado

D B 4E B 1F C 6G C 2H D 8I E, F 7J G 4

a) Trace a rede de actividades representativa do empreendimento.

b) Determine a duração total do empreendimento, identifique o caminho crítico e calcule as folgas totais

das actividades.

1Fernando DurãoFernando Durão

Exercício 1 - Resolução

Construção (passo a passo) da rede de actividades (Unidade de tempo: mês)

i jRótulo – di,j

LegendaEvento i Evento j

di,j - duração da actividade (i,j)

Comentários

1.Toda a actividade tem dois nós/eventos distintos – evento predecessor e evento sucessor

2. O início da actividade A não depende da conclusão de qualquer actividade precedente, pelo que pode iniciar-se com

o evento de início do projecto (tendo o nó 1 como nó predecessor)

1 2A - 2

Actividade (i,j)

Início do

projecto

Conclusão da

actividade A

i jRótulo – di,j

1 2A - 2

Actividade (i,j)

Comentário

As actividades B e C têm a conclusão da actividade A como evento predecessor 3

D - 4i j

Rótulo – di,j

1 2A - 2

6D - 4

G - 27

Actividade (i,j)

D - 4i j

Rótulo – di,j

1 2A - 2

G - 27

8I - 7

Actividade (i,j)

Comentário

A actividade I tem como evento predecessor as conclusões das actividades Ee F que convergem no nó 5. 5

D - 4i j

Rótulo – di,j

Conclusão da construção (passo a passo) da rede de actividades (Unidade de tempo: mês)

1 2A - 2

G - 27

8I - 7

Actividade (i,j)

Rede de actividades representativa do empreendimento/projecto (Unidade de tempo: mês)

Conclusão

do projecto

Comentário: As actividades H, I e J não

têm actividades sucessoras, pelo que o nó

sucessor deve corresponder ao evento

Conclusão do projecto (nó 8).

Resumos

Passo 1: Cálculo dos Tempos Mais Cedo (TMC) dos acontecimentos e duração total do projecto (DT)

Evento i11 ,i jd

1 1i iTMC TMT

1 1i iTMC TMTj jTMC TMT

{ }1 1 2 2, , ,

max , , , m mj i i j i i j i i j

TMC TMC d TMC d TMC d= + + +…

Evento i2 Evento j

Evento im

2 ,i jd

,mi jd1 1i iTMC TMT

,: ( , )

eventos

j k k jk k j

TMC Tempo Mais Cedo do evento

TMC TMC d∀ ∈

início do projecto

A o conjunto das actividades (arcos) da rede de actividades

3 6D - 4 i j

Rótulo – di,j

b) Determine a duração total do empreendimento, identifique o caminho crítico e calcule as folgas totais das actividades.

Legenda

TMCi TMTi TMCj TMTj5 - 9 -

Ordem do cálculo: do evento 1 (início do projecto) para o evento 8 (conclusão do projecto)

Sequência de nós/eventos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

1 2A - 2

G - 27

8I - 7

Rede de actividades com Tempos Mais Cedo (TMC) dos eventos calculados

0 - 2 -

DT =TMC8=20 meses

TMC1= 0

Resumo dos cálculos do Passo 1

Eventos(Nós ordenados

topologicamente)

Tempo Mais Cedo (TMC)

dos eventos (meses)

1 TMC1 = 0

2 TMC = TMC + d = 0+2 = 2

Fernando DurãoFernando Durão

2 TMC2 = TMC1 + dA = 0+2 = 2

3 TMC3 = TMC2 + dB

= 2+3 = 5

4 TMC4 = TMC2 + dC= 2+5 = 7

5 TMC5 = max{TMC3 + dE, TMC4 + dF}=max{5 + 1, 7+ 6} = 13

6 TMC6 = TMC3 + dD = 5+4 = 9

7 TMC7 = TMC4 + dG = 7+2 = 9

8 TMC8 = max{TMC5 + dI, TMC6 + dH , TMC7 + dJ} = max{13 +7, 9+8, 9+4} = 20

Resumos

Evento j1

1,i jd

1 1j jTMC TM

2 2j jTMC TMTi iTMC TMT { }1 1 2 2, , ,

min , , ,m mi j i j j i j j i j

TMT TMT d TMT d TMT d= − − −…

Passo 2: Cálculo dos Tempos Mais Tarde (TMT) dos eventos/acontecimentos

Evento j2Evento i

Evento jm

2,i jd

, mi jd

m mj jTMC TMT

{ },: ( , )

eventos

i k i kk i k

TMT TMC Tempo Mais Tarde do evento

TMT TMT d∀ ∈

conclusão do projecto

3 6D - 4 i j

Rótulo – di,j

Legenda

TMCi TMTi TMCj TMTj5 8 9 12

Ordem do cálculo: do evento 8 (conclusão do projecto) para o evento 1 (início do projecto)

(Sequência de nós/eventos: 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1)

1 2A - 2

G - 27

8I - 7

Rede de actividades com Tempos Mais Tarde (TMT) dos eventos calculados

0 0 2 2

DT =TMC8=20 meses

TMT8= TMC8=20

Resumo dos cálculos do Passo 2

Eventos(Nós por ordem

topológica inversa)

Tempo Mais Tarde (TMT)

dos eventos (meses)

8 TMT8 = 20

7 TMT = TMT - d = 20-4 = 16

Fernando DurãoFernando Durão

7 TMT7 = TMT8 - dJ = 20-4 = 16

6 TMT6 = TMT8 - dH = 20-8 = 12

5 TMT5 = TMT8 - dI= 20-7 = 13

4 TMT4 = min{TMT5 -dF, TMT7 - dG}=min{13-6, 16-4} = 7

3 TMT3 = min{TMT5 -dE, TMT6 - dD}=min{13-1, 12-4} = 8

2 TMT2 = min{TMT3 -dB, TMT4 - dC}=min{8-3, 7-5} = 2

1 TMT1 = TMT2 - dA= 2-2 = 0

iTMC iTMT jTMC jTMT

,i jLFT,i jLST

,i jEST ,i jEFT

Resumos

Passo 3: Definição da folga total (FT), folga livre à direita (FLD), folga livre à esquerda (FLE) e

folga independente (FI) da actividade (i,j)

i jRótulo – di,j

Actividade (i,j)

,i jFT

,i jFLD

,i jFI,i jd

,i jFLE

FLDi,j + FLEi,j = FTi,j + FIi,j

Tempo Mais Cedo de Iníco (EST – Earliest Start Time), Tempo Mais Cedo de Conclusão (EFT – Earliest Finish Time)

Tempo Mais Tarde de Início (LST - Latest Start Time), Tempo Mais Tarde de Conclusão (LFT – Latest Finish Time)

3 6D - 4 i j

Rótulo – di,j

Legenda

Passo 3: Cálculo das folgas totais (FT) das actividades

(FTi,j)(3)

Definição de folga total: FTi,j =TMTj-(TMCi+ di,j)

Interpretação: Atraso máximo no início da actividade

sem atrasar o tempo de conclusão do projecto

1 2A - 2

G - 27

8I - 7

Rede de actividades com cálculo das folgas totais das actividades

0 0 2 2

DT =d1,2+d2,4+d4,5+d5,8

= dA + dC + dF + dI =20 meses

TMT8= TMC8=20

(FTi,j)

FT1,2 =TMT2-(TMC1 +d1,2)

FTA =TMT2-(TMC1 +dA)

(0) (0)

3 6D - 4 i j

Rótulo – di,j

Legenda

Passo 4: Determinação dos nós críticos, das actividades críticas e identificação do caminho crítico

(Sequência, do nó 1 ao nó 8, de nós críticos e actividades críticas)

(3) (FTi,j)

1 2A - 2

G - 27

8I - 7

Rede de actividades com determinação dos nós críticos (TMC=TMT), actividades críticas (com nós

predecessor e sucessor críticos e folga total 0) e identificação do caminho crítico:

1, A, 2, C, 4, F, 5, I, 8 (ou A-C-F-I) (Nota: Pode haver mais do que 1 caminho crítico)

0 0 2 2

DT =d1,2+d2,4+d4,5+d5,8

= dA + dC + dF + dI =20 meses

TMT8= TMC8=20

(0) (0)

(FTi,j)

Anexo –Formulação de Problema de Optimização Linear para Calcular Duração do projecto

{ } { }

. Grafo orientado: ( ) associado à

= 1, 2,3,4,5,6,7,8 ; = (1,2), (2,3), (2,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,7), (5,8), (6,8), (7,8)

. Durações (meses) das actividades : , i j

1. Dados

rede de actividadesG = N,A

( , ) ( , , , , , , , , , )

Tempos Mais Cedo de ocorrência dos eventos: ,

(Início do projecto 0, Conclusão do Projecto (Duração do Proj

A B C D E F G H I J

i j d d d d d d d d d d

TMC TMC

∀ ∈

2. Variáveis de optimização

ecto))

minimizar z TMC=

3. Função objectivo

minimizar

sujeita a:

TMC TMC d

− ≥

4. Restrições / Constrangimentos

TMC TMC d

TMC TMC

− ≥

Para efeitos de planeamento, um dado empreendimento foi decomposto em 7 actividades (identificadas

pelas letras de A a G) cujas precedências directas e durações (em semanas) estão indicadas no quadro

seguinte:

Exercício 2 - Enunciado

ActividadesPrecedência

directa

Duração

(semanas)A - 5B - 10C A, E 5D B 15E B 5

b) Determine a duração total do empreendimento, identifique o caminho crítico e calcule as folgas

totais das actividades.

c) Qual a duração total do empreendimento se:

c1) a duração da actividade C aumentasse para 8 semanas ?

c2) a duração da actividade G aumentasse para 11 semanas ?

d) Determine as folgas livre á direita, livre á esquerda e a independente da actividade E

E B 5F C, D 10G D 5

Construção (passo a passo) da rede de actividades (Unidade de tempo: semana)

Rótulo – di,j

Actividade (i,j)

Início do

projecto

Comentários

1.Toda a actividade tem dois nós/eventos distintos – evento predecessor e evento sucessor

2. O início das actividades A e B não depende da conclusão de qualquer actividade precedente, pelo que podem iniciar-

se com o evento de início do projecto (tendo o nó 1 como nó predecessor)

Actividade (i,j)projecto

i jRótulo – di,j

Actividade (i,j)

4C - 5

Início do

projecto

Comentários

Os inícios das actividades C e D dependem das conclusões das actividades A e B, respectivamente

Actividade (i,j)

5D- 15

projecto

i jRótulo – di,j

Actividade (i,j)

4C - 5

Início do

projecto

Comentários

O início da actividade C depende também da conclusão da actividade E, cujo início depende da conclusão da

actividade B.

Actividade (i,j)

5D - 15

projecto

i jRótulo – di,j

Actividade (i,j)

4C - 5

Início do

projecto

Comentários: Os inícios das actividades F e G dependem da conclusão das actividades C e D. As actividades F e G

não têm actividades sucessoras, pelo que o nó sucessor deve corresponder ao evento Conclusão do projecto (nó 6).

Actividade (i,j)

5D- 15

projecto

5 Conclusão

do projecto

i jRótulo – di,j

Actividade (i,j)

4C - 5

Início do

projecto

Conclusão da construção (passo a passo) da rede de actividades (Unidade de tempo: semana)

Actividade (i,j)

5D - 15

projecto

Rede de actividades representativa do empreendimento/projecto (Unidade de tempo: semana)

Conclusão

do projecto

Comentário: O início da actividade F

depende também da conclusão da actividade

D. A fim de não duplicar a actividade D,

introduz-se uma actividade fictícia com

duração de 0 semanas (assinalada a

tracejado), impondo-se assim a relação de

precedência, graças à propriedade

transistiva da relação de precedência: se A

precede B e B precede C, então A precede

Resumos

Evento i11 ,i jd

1 1i iTMC TMT

{ }1 1 2 2, , ,

Evento i2 Evento j

Evento im

2 ,i jd

,mi jd1 1i iTMC TMT

,: ( , )

eventos

j k k jk k j

TMC TMC d∀ ∈

início do projecto

Exercício 2 – Resolução

4C - 5

Ordem do cálculo: do evento 1 (início do projecto) para o evento 6 (conclusão do projecto)

Sequência de nós/eventos: 1, 3, 2, 5, 4, 6

i jRótulo – di,j

Legenda

TMCi TMTi TMCj TMTj15 - 25 -

TMC1= 0

5D - 15

4C - 5

i jRótulo – di,j

10 - 25 -

TMC1= 0

DT =TMC6= 35 semanas

Rede de actividades com Tempos Mais Cedo (TMC) dos eventos calculados

Resumos

Evento j1

1,i jd

1 1j jTMC TM

Evento j2Evento i

Evento jm

2,i jd

, mi jd

m mj jTMC TMT

{ },: ( , )

eventos

i k i kk i k

TMT TMT d∀ ∈

4C - 5

i jRótulo – di,j

Legenda

Ordem do cálculo: do evento 6 (conclusão do projecto) para o evento 1 (início do projecto)

(Sequência de nós/eventos: 6, 4, 5, 2, 3, 1)

5D - 15

4C - 5

i jRótulo – di,j

10 10 25 25

TMT6= TMC6= 35

Rede de actividades com Tempos Mais Tarde (TMT) dos eventos calculados

iTMC iTMT jTMC jTMT

,i jLFT,i jLST

,i jEST ,i jEFT

Resumos

i jRótulo – di,j

Actividade (i,j)

,i jFT

,i jFLD

,i jFI,i jd

,i jFLE

4C - 5

i jRótulo – di,j

Legenda

Passo 3: Cálculo das folgas totais (FT) das actividades

Definição de folga total: FTi,j =TMTj-(TMCi+ di,j)

Interpretação: Atraso máximo no início da actividade sem atrasar o tempo de conclusão do projecto

5D - 15

4C - 5

i jRótulo – di,j

10 10 25 25

Rede de actividades com cálculo das folgas totais das actividades

(FTi,j)

4C - 5

i jRótulo – di,j

Legenda

Passo 4: Determinação dos nós críticos, das actividades críticas e identificação do caminho crítico

(Sequência, do nó 1 ao nó 6, de nós críticos e actividades críticas)

5D - 15

4C - 5

i jRótulo – di,j

10 10 25 25

Rede de actividades com determinação dos nós críticos (TMC=TMT), actividades críticas (com nós

predecessor e sucessor críticos e folga total 0) e identificação do caminho crítico:

1, B, 3, D, 5, Ficticia, 4, F, 6 (ou, muito abreviadamente: B-D-F)

(FTi,j)

Resumos

Evento i11 ,i jd

1 1i iTMC TMT

{ }1 1 2 2, , ,

Evento i2 Evento j

Evento im

2 ,i jd

,mi jd1 1i iTMC TMT

,: ( , )

eventos

j k k jk k j

TMC TMC d∀ ∈

início do projecto

Resumos

Evento j1

1,i jd

1 1j jTMC TM

Evento j2Evento i

Evento jm

2,i jd

, mi jd

m mj jTMC TMT

{ },: ( , )

eventos

i k i kk i k

TMT TMT d∀ ∈

iTMC iTMT jTMC jTMT

,i jLFT,i jLST

,i jEST ,i jEFT

Resumos

i jRótulo – di,j

Actividade (i,j)

,i jFT

,i jFLD

,i jFI,i jd

,i jFLE

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Prova Escrita de Matemática Aplicada às Ciências Sociais · PB PA BP BP AB PB A PA PA B PB PA BP BP AB PB PA B ++ ## + ## # = + = = + == = + # 12 3 () PA PABP AB B PB PABP AB B

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