Post on 07-Feb-2018
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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Uma identidade trigonométrica é uma equação envolvendo funções trigonométricas que é verdadeira para todos os valores das variáveis envolvidas. Estas identidades são úteis sempre que expressões envolvendo funções trigonométricas devam ser simplificadas. EXEMPLO:Considere a igualdade sen x . sec x = tg x , demonstre que ela é verdadeira.SOLUÇÃO:sen x . sec x sen x . (1/cos x) sen x/cos x = tg x
1 – Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
a) cos x . tg x . cossec x =1
b) tg x . cos x = sen x
c) (1 + senx).(1 − senx) = cos2 x
d)
TESTANDO OS CONHECIMENTOS
e) 1 + tg2 x = sec2x
f) 1 + cotg2x = cossec2 x
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TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Para embasarmos melhor esse assunto, vejamos um tópico da Geometria Analítica:
Distancia entre dois pontos
Qual a distância entre os pontos:
a) A e B?
A(3, 2)
x
y
B(7, 2)
C(7, 5)
b) B e C?
c) A e C?
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TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Generalizando:
A(xA, yA)
x
y B(xB, yB)
Sempre é possível pegarmos um ponto C, de tal maneira que o triângulo ABC seja um triângulo retângulo.
C(xC, yC)
Pelo Teorema de Pitágoras:
(dAB)² = (dAC)² + (dBC)² (dAB)² = (xC – xA)² + (yB – yC)²
(dAB)² = (xB – xA)² + (yB – yA)²
dAB = √(xB – xA)² + (yB – yA)²
=C(xB, yA)
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TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Agora sim! Observe a figura abaixo:Calculando a distância entre os ponto P e Q, temos:
dAB = √(xB – xA)² + (yB – yA)²
Aplicando a Lei dos cossenos no triângulo OPQ, temos:
Igualando os dois resultados, temos:
Portanto:
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TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Com a fórmula do cosseno da diferença, podemos determinar:a) cos (a + b)
b) cos (a – π/2)
e) sen (a + b)
Considere a – b = x
Por enquanto, admita como verdadeira essas expressões e depois vamos demonstrá-las.c) cos (a + π/2 )
d) sen (a – b)
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RESUMO:
Temos as quatro fórmulas:
“Minha Terra tem palmeiras onde canta o sabiá,
Seno A, cosseno B, seno B, cosseno A.”
Observe que no seno, conservamos o sinal, enquanto no cosseno, o sinal central é invertido.
Demonstre que e
Determine tg(a + b) e tg(a – b).
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TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FÓRMULAS DO ARCO DUPLODetermine:a) sen (2a)
b) cos (2a)
c) Utilizando a Relação Fundamental da trigonometria determine outras duas respostas para cos (2a)
d) tg (2a)
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1 – Verifique a veracidade das igualdades a seguir.
TESTANDO OS CONHECIMENTOS
2 – (UFSP) Calcule o valor da expressão:
Gabarito:2) 2
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3 – (FGV) Determine a função trigonométrica equivalente a
TESTANDO OS CONHECIMENTOS
4 – (PUC) Determine a igualdade da expressão:
Gabarito:3) tgx4) 2.cossecx
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4 – Prove que 2tg(x)/1 + tg2
(x) é idêntica a sen 2x
TESTANDO OS CONHECIMENTOS
4 – Calcule seno, cosseno e tangente de:
a) 15º
b) 75º
c) 105º
d) 165º
e) 195º
f) 255º
g) 285º
h) 345º
Sendo assim, já sabemos calcular os valores de 15º em 15º graus.