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MATEMÁTICA II

Aula 7Identidades Trigonométricas

Professor Luciano Nóbrega

2º Bimestre

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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Uma identidade trigonométrica é uma equação envolvendo funções trigonométricas que é verdadeira para todos os valores das variáveis envolvidas. Estas identidades são úteis sempre que expressões envolvendo funções trigonométricas devam ser simplificadas. EXEMPLO:Considere a igualdade sen x . sec x = tg x , demonstre que ela é verdadeira.SOLUÇÃO:sen x . sec x sen x . (1/cos x) sen x/cos x = tg x

1 – Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:

a) cos x . tg x . cossec x =1

b) tg x . cos x = sen x

c) (1 + senx).(1 − senx) = cos2 x

d)

TESTANDO OS CONHECIMENTOS

e) 1 + tg2 x = sec2x

f) 1 + cotg2x = cossec2 x

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TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Para embasarmos melhor esse assunto, vejamos um tópico da Geometria Analítica:

Distancia entre dois pontos

Qual a distância entre os pontos:

a) A e B?

A(3, 2)

x

y

B(7, 2)

C(7, 5)

b) B e C?

c) A e C?

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TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Generalizando:

A(xA, yA)

x

y B(xB, yB)

Sempre é possível pegarmos um ponto C, de tal maneira que o triângulo ABC seja um triângulo retângulo.

C(xC, yC)

Pelo Teorema de Pitágoras:

(dAB)² = (dAC)² + (dBC)² (dAB)² = (xC – xA)² + (yB – yC)²

(dAB)² = (xB – xA)² + (yB – yA)²

dAB = √(xB – xA)² + (yB – yA)²

=C(xB, yA)

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TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Agora sim! Observe a figura abaixo:Calculando a distância entre os ponto P e Q, temos:

dAB = √(xB – xA)² + (yB – yA)²

Aplicando a Lei dos cossenos no triângulo OPQ, temos:

Igualando os dois resultados, temos:

Portanto:

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TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Com a fórmula do cosseno da diferença, podemos determinar:a) cos (a + b)

b) cos (a – π/2)

e) sen (a + b)

Considere a – b = x

Por enquanto, admita como verdadeira essas expressões e depois vamos demonstrá-las.c) cos (a + π/2 )

d) sen (a – b)

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RESUMO:

Temos as quatro fórmulas:

“Minha Terra tem palmeiras onde canta o sabiá,

Seno A, cosseno B, seno B, cosseno A.”

Observe que no seno, conservamos o sinal, enquanto no cosseno, o sinal central é invertido.

Demonstre que e

Determine tg(a + b) e tg(a – b).

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TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

FÓRMULAS DO ARCO DUPLODetermine:a) sen (2a)

b) cos (2a)

c) Utilizando a Relação Fundamental da trigonometria determine outras duas respostas para cos (2a)

d) tg (2a)

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TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

FÓRMULAS DO ARCO METADEDetermine:a) sen (a/2)

b) cos (a/2)

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1 – Verifique a veracidade das igualdades a seguir.

TESTANDO OS CONHECIMENTOS

2 – (UFSP) Calcule o valor da expressão:

Gabarito:2) 2

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3 – (FGV) Determine a função trigonométrica equivalente a

TESTANDO OS CONHECIMENTOS

4 – (PUC) Determine a igualdade da expressão:

Gabarito:3) tgx4) 2.cossecx

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4 – Prove que 2tg(x)/1 + tg2

(x) é idêntica a sen 2x

TESTANDO OS CONHECIMENTOS

4 – Calcule seno, cosseno e tangente de:

a) 15º

b) 75º

c) 105º

d) 165º

e) 195º

f) 255º

g) 285º

h) 345º

Sendo assim, já sabemos calcular os valores de 15º em 15º graus.

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