Post on 09-Jul-2020
Complementos de Matemática Aplicada -
Administração e Contabilidade
Aula 03
Bruno Santiago
6 de julho de 2020
Grandezas relacionadas
I É comum na natureza vermos grandezas que in�uenciam emoutras grandezas
I Exemplos: a temperatura do ambiente in�uencia nodesempenho do computador;a quantidade de produtosvendidos in�uencia no lucro da empresa; o montante inicialin�uencia no retorno do investimento;
I Muitas grandezas assumem valores que se modi�cam ao longo
do tempo: o PIB, a in�ação; o retorno de um investimento; aresistência de um material; taxa de contaminação de umadoença;
I A matemática oferece ferramentas que nos ajudam a entenderesses exemplos:I De que maneira exata uma coisa in�uencia na outra, i.e. dado
um investimento inicial é possível prever com exatidão qualserá o rendimento em 6 meses?
I Como fazer essa previsão?MODELAGEM MATEMÁTICA
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I É comum na natureza vermos grandezas que in�uenciam emoutras grandezas
I Exemplos: a temperatura do ambiente in�uencia nodesempenho do computador;
a quantidade de produtosvendidos in�uencia no lucro da empresa; o montante inicialin�uencia no retorno do investimento;
I Muitas grandezas assumem valores que se modi�cam ao longo
do tempo: o PIB, a in�ação; o retorno de um investimento; aresistência de um material; taxa de contaminação de umadoença;
I A matemática oferece ferramentas que nos ajudam a entenderesses exemplos:I De que maneira exata uma coisa in�uencia na outra, i.e. dado
um investimento inicial é possível prever com exatidão qualserá o rendimento em 6 meses?
I Como fazer essa previsão?MODELAGEM MATEMÁTICA
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I É comum na natureza vermos grandezas que in�uenciam emoutras grandezas
I Exemplos: a temperatura do ambiente in�uencia nodesempenho do computador;a quantidade de produtosvendidos in�uencia no lucro da empresa;
o montante inicialin�uencia no retorno do investimento;
I Muitas grandezas assumem valores que se modi�cam ao longo
do tempo: o PIB, a in�ação; o retorno de um investimento; aresistência de um material; taxa de contaminação de umadoença;
I A matemática oferece ferramentas que nos ajudam a entenderesses exemplos:I De que maneira exata uma coisa in�uencia na outra, i.e. dado
um investimento inicial é possível prever com exatidão qualserá o rendimento em 6 meses?
I Como fazer essa previsão?MODELAGEM MATEMÁTICA
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I Muitas grandezas assumem valores que se modi�cam ao longo
do tempo: o PIB, a in�ação; o retorno de um investimento; aresistência de um material; taxa de contaminação de umadoença;
I A matemática oferece ferramentas que nos ajudam a entenderesses exemplos:I De que maneira exata uma coisa in�uencia na outra, i.e. dado
um investimento inicial é possível prever com exatidão qualserá o rendimento em 6 meses?
I Como fazer essa previsão?MODELAGEM MATEMÁTICA
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do tempo: o PIB, a in�ação; o retorno de um investimento; aresistência de um material; taxa de contaminação de umadoença;
I A matemática oferece ferramentas que nos ajudam a entenderesses exemplos:I De que maneira exata uma coisa in�uencia na outra, i.e. dado
um investimento inicial é possível prever com exatidão qualserá o rendimento em 6 meses?
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I Exemplos: a temperatura do ambiente in�uencia nodesempenho do computador;a quantidade de produtosvendidos in�uencia no lucro da empresa; o montante inicialin�uencia no retorno do investimento;
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do tempo: o PIB, a in�ação; o retorno de um investimento; aresistência de um material; taxa de contaminação de umadoença;
I A matemática oferece ferramentas que nos ajudam a entenderesses exemplos:
I De que maneira exata uma coisa in�uencia na outra, i.e. dadoum investimento inicial é possível prever com exatidão qualserá o rendimento em 6 meses?
I Como fazer essa previsão?MODELAGEM MATEMÁTICA
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I Exemplos: a temperatura do ambiente in�uencia nodesempenho do computador;a quantidade de produtosvendidos in�uencia no lucro da empresa; o montante inicialin�uencia no retorno do investimento;
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um investimento inicial é possível prever com exatidão qualserá o rendimento em 6 meses?
I Como fazer essa previsão?MODELAGEM MATEMÁTICA
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I É comum na natureza vermos grandezas que in�uenciam emoutras grandezas
I Exemplos: a temperatura do ambiente in�uencia nodesempenho do computador;a quantidade de produtosvendidos in�uencia no lucro da empresa; o montante inicialin�uencia no retorno do investimento;
I Muitas grandezas assumem valores que se modi�cam ao longo
do tempo: o PIB, a in�ação; o retorno de um investimento; aresistência de um material; taxa de contaminação de umadoença;
I A matemática oferece ferramentas que nos ajudam a entenderesses exemplos:I De que maneira exata uma coisa in�uencia na outra, i.e. dado
um investimento inicial é possível prever com exatidão qualserá o rendimento em 6 meses?
I Como fazer essa previsão?
MODELAGEM MATEMÁTICA
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I É comum na natureza vermos grandezas que in�uenciam emoutras grandezas
I Exemplos: a temperatura do ambiente in�uencia nodesempenho do computador;a quantidade de produtosvendidos in�uencia no lucro da empresa; o montante inicialin�uencia no retorno do investimento;
I Muitas grandezas assumem valores que se modi�cam ao longo
do tempo: o PIB, a in�ação; o retorno de um investimento; aresistência de um material; taxa de contaminação de umadoença;
I A matemática oferece ferramentas que nos ajudam a entenderesses exemplos:I De que maneira exata uma coisa in�uencia na outra, i.e. dado
um investimento inicial é possível prever com exatidão qualserá o rendimento em 6 meses?
I Como fazer essa previsão?MODELAGEM MATEMÁTICA
Funções
Ponto de vista prático
Funções são o resultado de um modelo matemático que descrevemcomo uma grandeza in�uencia em outra;
Exemplo
Caixas de papelão (sem tampa) são fabricadas a partir de folhasretangulares. Vamos supor que cada folha tenha 1m de largura e80cm de comprimento. Para fazer uma caixa, são retiradosquadradinhos iguais dos quatro cantos da folha. Escreva a funçãoque a cada valor xcm para o lado do quadrado retorna o valor V (x)do volume da caixa montada.
Funções
Ponto de vista prático
Funções são o resultado de um modelo matemático que descrevemcomo uma grandeza in�uencia em outra;
Exemplo
Caixas de papelão (sem tampa) são fabricadas a partir de folhasretangulares. Vamos supor que cada folha tenha 1m de largura e80cm de comprimento. Para fazer uma caixa, são retiradosquadradinhos iguais dos quatro cantos da folha. Escreva a funçãoque a cada valor xcm para o lado do quadrado retorna o valor V (x)do volume da caixa montada.
Solução
x x
x x
x
x
x
x
80cm
1m
I Largura da caixa em função de x = 80− 2x
I Profundidade da caixa em função de x = 100− 2x
I Altura da caixa em função de x = x
Solução
x x
x x
x
x
x
x
80cm
1m
I Largura da caixa em função de x = 80− 2x
I Profundidade da caixa em função de x = 100− 2x
I Altura da caixa em função de x = x
Solução
x x
x x
x
x
x
x
80cm
1m
I Largura da caixa em função de x = 80− 2x
I Profundidade da caixa em função de x = 100− 2x
I Altura da caixa em função de x = x
Solução
x x
x x
x
x
x
x
80cm
1m
I Largura da caixa em função de x = 80− 2x
I Profundidade da caixa em função de x = 100− 2x
I Altura da caixa em função de x = x
Continuação
Volume da caixa em função de x :
V (x) = x × (80− 2x)× (100− 2x)
= (80x − 2x2)(100− 2x) = 8000x − 160x2 − 200x2 + 4x3
= 4x3 − 360x2 + 8000x .
I Observe que 0 < x < 40.
Continuação
Volume da caixa em função de x :
V (x) = x × (80− 2x)× (100− 2x)
= (80x − 2x2)(100− 2x) = 8000x − 160x2 − 200x2 + 4x3
= 4x3 − 360x2 + 8000x .
I Observe que 0 < x < 40.
Continuação
Volume da caixa em função de x :
V (x) = x × (80− 2x)× (100− 2x)
= (80x − 2x2)(100− 2x)
= 8000x − 160x2 − 200x2 + 4x3
= 4x3 − 360x2 + 8000x .
I Observe que 0 < x < 40.
Continuação
Volume da caixa em função de x :
V (x) = x × (80− 2x)× (100− 2x)
= (80x − 2x2)(100− 2x) = 8000x − 160x2 − 200x2 + 4x3
= 4x3 − 360x2 + 8000x .
I Observe que 0 < x < 40.
Falando matematiquês
De�nição
Uma função f : A→ B é uma regra que diz como associar, a cadaelemento a ∈ A um único elemento f (a) ∈ B .
Exemplo:
Vimos acima a função V : (0, 40)→ R, que te diz que a cadax ∈ (0, 40) (ou seja, cada 0 < x < 40) você vai associar o númeroreal V (x) = 4x3 − 360x2 + 8000x .
Exemplo
Podemos falar também da função V : R→ R dada porV (x) = 4x3 − 360x2 + 8000x .
Falando matematiquês
De�nição
Uma função f : A→ B é uma regra que diz como associar, a cadaelemento a ∈ A um único elemento f (a) ∈ B .
Exemplo:
Vimos acima a função V : (0, 40)→ R, que te diz que a cadax ∈ (0, 40) (ou seja, cada 0 < x < 40) você vai associar o númeroreal V (x) = 4x3 − 360x2 + 8000x .
Exemplo
Podemos falar também da função V : R→ R dada porV (x) = 4x3 − 360x2 + 8000x .
Falando matematiquês
De�nição
Uma função f : A→ B é uma regra que diz como associar, a cadaelemento a ∈ A um único elemento f (a) ∈ B .
Exemplo:
Vimos acima a função V : (0, 40)→ R, que te diz que a cadax ∈ (0, 40) (ou seja, cada 0 < x < 40) você vai associar o númeroreal V (x) = 4x3 − 360x2 + 8000x .
Exemplo
Podemos falar também da função V : R→ R dada porV (x) = 4x3 − 360x2 + 8000x .
I O conjunto de partida A é chamado o domínio da função;
I O conjunto de chegada B é chamado o contra-domínio dafunção;
I O conjunto de todos os valores f (a) é chamado a imagem dafunção;
I O conjunto de partida A é chamado o domínio da função;
I O conjunto de chegada B é chamado o contra-domínio dafunção;
I O conjunto de todos os valores f (a) é chamado a imagem dafunção;
I O conjunto de partida A é chamado o domínio da função;
I O conjunto de chegada B é chamado o contra-domínio dafunção;
I O conjunto de todos os valores f (a) é chamado a imagem dafunção;
I O conjunto de partida A é chamado o domínio da função;
I O conjunto de chegada B é chamado o contra-domínio dafunção;
I O conjunto de todos os valores f (a) é chamado a imagem dafunção;
Representação grá�ca de funções reais
Representação grá�ca de funções reais
Funções a�ns
Função A�m
Sejam a, b números reais. Uma função f : R→ R da formaf (x) = ax + b é chamada de função a�m.
f (x)=x−1
Funções a�ns
Função A�m
Sejam a, b números reais. Uma função f : R→ R da formaf (x) = ax + b é chamada de função a�m.
f (x)=x−1
Funções a�ns
Função A�m
Sejam a, b números reais. Uma função f : R→ R da formaf (x) = ax + b é chamada de função a�m.
f (x) =
x2
+ 1
Funções a�ns
Função A�m
Sejam a, b números reais. Uma função f : R→ R da formaf (x) = ax + b é chamada de função a�m.
f (x) =
x2
+ 1