Complementos de Matemática Aplicada -

Administração e Contabilidade

Aula 03

Bruno Santiago

6 de julho de 2020

Grandezas relacionadas

I É comum na natureza vermos grandezas que in�uenciam emoutras grandezas

I Exemplos: a temperatura do ambiente in�uencia nodesempenho do computador;a quantidade de produtosvendidos in�uencia no lucro da empresa; o montante inicialin�uencia no retorno do investimento;

I Muitas grandezas assumem valores que se modi�cam ao longo

do tempo: o PIB, a in�ação; o retorno de um investimento; aresistência de um material; taxa de contaminação de umadoença;

I A matemática oferece ferramentas que nos ajudam a entenderesses exemplos:I De que maneira exata uma coisa in�uencia na outra, i.e. dado

um investimento inicial é possível prever com exatidão qualserá o rendimento em 6 meses?

I Como fazer essa previsão?MODELAGEM MATEMÁTICA

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I É comum na natureza vermos grandezas que in�uenciam emoutras grandezas

I Exemplos: a temperatura do ambiente in�uencia nodesempenho do computador;

a quantidade de produtosvendidos in�uencia no lucro da empresa; o montante inicialin�uencia no retorno do investimento;

I Muitas grandezas assumem valores que se modi�cam ao longo

do tempo: o PIB, a in�ação; o retorno de um investimento; aresistência de um material; taxa de contaminação de umadoença;

I A matemática oferece ferramentas que nos ajudam a entenderesses exemplos:I De que maneira exata uma coisa in�uencia na outra, i.e. dado

um investimento inicial é possível prever com exatidão qualserá o rendimento em 6 meses?

I Como fazer essa previsão?MODELAGEM MATEMÁTICA

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I É comum na natureza vermos grandezas que in�uenciam emoutras grandezas

I Exemplos: a temperatura do ambiente in�uencia nodesempenho do computador;a quantidade de produtosvendidos in�uencia no lucro da empresa;

o montante inicialin�uencia no retorno do investimento;

I Muitas grandezas assumem valores que se modi�cam ao longo

do tempo: o PIB, a in�ação; o retorno de um investimento; aresistência de um material; taxa de contaminação de umadoença;

I A matemática oferece ferramentas que nos ajudam a entenderesses exemplos:I De que maneira exata uma coisa in�uencia na outra, i.e. dado

um investimento inicial é possível prever com exatidão qualserá o rendimento em 6 meses?

I Como fazer essa previsão?MODELAGEM MATEMÁTICA

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I Muitas grandezas assumem valores que se modi�cam ao longo

do tempo: o PIB, a in�ação; o retorno de um investimento; aresistência de um material; taxa de contaminação de umadoença;

I A matemática oferece ferramentas que nos ajudam a entenderesses exemplos:I De que maneira exata uma coisa in�uencia na outra, i.e. dado

um investimento inicial é possível prever com exatidão qualserá o rendimento em 6 meses?

I Como fazer essa previsão?MODELAGEM MATEMÁTICA

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do tempo: o PIB, a in�ação; o retorno de um investimento; aresistência de um material; taxa de contaminação de umadoença;

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um investimento inicial é possível prever com exatidão qualserá o rendimento em 6 meses?

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I Exemplos: a temperatura do ambiente in�uencia nodesempenho do computador;a quantidade de produtosvendidos in�uencia no lucro da empresa; o montante inicialin�uencia no retorno do investimento;

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do tempo: o PIB, a in�ação; o retorno de um investimento; aresistência de um material; taxa de contaminação de umadoença;

I A matemática oferece ferramentas que nos ajudam a entenderesses exemplos:

I De que maneira exata uma coisa in�uencia na outra, i.e. dadoum investimento inicial é possível prever com exatidão qualserá o rendimento em 6 meses?

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I Exemplos: a temperatura do ambiente in�uencia nodesempenho do computador;a quantidade de produtosvendidos in�uencia no lucro da empresa; o montante inicialin�uencia no retorno do investimento;

I Muitas grandezas assumem valores que se modi�cam ao longo

do tempo: o PIB, a in�ação; o retorno de um investimento; aresistência de um material; taxa de contaminação de umadoença;

I A matemática oferece ferramentas que nos ajudam a entenderesses exemplos:I De que maneira exata uma coisa in�uencia na outra, i.e. dado

um investimento inicial é possível prever com exatidão qualserá o rendimento em 6 meses?

I Como fazer essa previsão?

MODELAGEM MATEMÁTICA

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I É comum na natureza vermos grandezas que in�uenciam emoutras grandezas

I Exemplos: a temperatura do ambiente in�uencia nodesempenho do computador;a quantidade de produtosvendidos in�uencia no lucro da empresa; o montante inicialin�uencia no retorno do investimento;

I Muitas grandezas assumem valores que se modi�cam ao longo

do tempo: o PIB, a in�ação; o retorno de um investimento; aresistência de um material; taxa de contaminação de umadoença;

I A matemática oferece ferramentas que nos ajudam a entenderesses exemplos:I De que maneira exata uma coisa in�uencia na outra, i.e. dado

um investimento inicial é possível prever com exatidão qualserá o rendimento em 6 meses?

I Como fazer essa previsão?MODELAGEM MATEMÁTICA

Funções

Ponto de vista prático

Funções são o resultado de um modelo matemático que descrevemcomo uma grandeza in�uencia em outra;

Exemplo

Caixas de papelão (sem tampa) são fabricadas a partir de folhasretangulares. Vamos supor que cada folha tenha 1m de largura e80cm de comprimento. Para fazer uma caixa, são retiradosquadradinhos iguais dos quatro cantos da folha. Escreva a funçãoque a cada valor xcm para o lado do quadrado retorna o valor V (x)do volume da caixa montada.

Funções

Ponto de vista prático

Funções são o resultado de um modelo matemático que descrevemcomo uma grandeza in�uencia em outra;

Exemplo

Caixas de papelão (sem tampa) são fabricadas a partir de folhasretangulares. Vamos supor que cada folha tenha 1m de largura e80cm de comprimento. Para fazer uma caixa, são retiradosquadradinhos iguais dos quatro cantos da folha. Escreva a funçãoque a cada valor xcm para o lado do quadrado retorna o valor V (x)do volume da caixa montada.

Solução

x x

x x

x

x

x

x

80cm

1m

I Largura da caixa em função de x = 80− 2x

I Profundidade da caixa em função de x = 100− 2x

I Altura da caixa em função de x = x

Solução

x x

x x

x

x

x

x

80cm

1m

I Largura da caixa em função de x = 80− 2x

I Profundidade da caixa em função de x = 100− 2x

I Altura da caixa em função de x = x

Solução

x x

x x

x

x

x

x

80cm

1m

I Largura da caixa em função de x = 80− 2x

I Profundidade da caixa em função de x = 100− 2x

I Altura da caixa em função de x = x

Solução

x x

x x

x

x

x

x

80cm

1m

I Largura da caixa em função de x = 80− 2x

I Profundidade da caixa em função de x = 100− 2x

I Altura da caixa em função de x = x

Continuação

Volume da caixa em função de x :

V (x) = x × (80− 2x)× (100− 2x)

= (80x − 2x2)(100− 2x) = 8000x − 160x2 − 200x2 + 4x3

= 4x3 − 360x2 + 8000x .

I Observe que 0 < x < 40.

Continuação

Volume da caixa em função de x :

V (x) = x × (80− 2x)× (100− 2x)

= (80x − 2x2)(100− 2x) = 8000x − 160x2 − 200x2 + 4x3

= 4x3 − 360x2 + 8000x .

I Observe que 0 < x < 40.

Continuação

Volume da caixa em função de x :

V (x) = x × (80− 2x)× (100− 2x)

= (80x − 2x2)(100− 2x)

= 8000x − 160x2 − 200x2 + 4x3

= 4x3 − 360x2 + 8000x .

I Observe que 0 < x < 40.

Continuação

Volume da caixa em função de x :

V (x) = x × (80− 2x)× (100− 2x)

= (80x − 2x2)(100− 2x) = 8000x − 160x2 − 200x2 + 4x3

= 4x3 − 360x2 + 8000x .

I Observe que 0 < x < 40.

Falando matematiquês

De�nição

Uma função f : A→ B é uma regra que diz como associar, a cadaelemento a ∈ A um único elemento f (a) ∈ B .

Exemplo:

Vimos acima a função V : (0, 40)→ R, que te diz que a cadax ∈ (0, 40) (ou seja, cada 0 < x < 40) você vai associar o númeroreal V (x) = 4x3 − 360x2 + 8000x .

Exemplo

Podemos falar também da função V : R→ R dada porV (x) = 4x3 − 360x2 + 8000x .

Falando matematiquês

De�nição

Uma função f : A→ B é uma regra que diz como associar, a cadaelemento a ∈ A um único elemento f (a) ∈ B .

Exemplo:

Vimos acima a função V : (0, 40)→ R, que te diz que a cadax ∈ (0, 40) (ou seja, cada 0 < x < 40) você vai associar o númeroreal V (x) = 4x3 − 360x2 + 8000x .

Exemplo

Podemos falar também da função V : R→ R dada porV (x) = 4x3 − 360x2 + 8000x .

Falando matematiquês

De�nição

Uma função f : A→ B é uma regra que diz como associar, a cadaelemento a ∈ A um único elemento f (a) ∈ B .

Exemplo:

Vimos acima a função V : (0, 40)→ R, que te diz que a cadax ∈ (0, 40) (ou seja, cada 0 < x < 40) você vai associar o númeroreal V (x) = 4x3 − 360x2 + 8000x .

Exemplo

Podemos falar também da função V : R→ R dada porV (x) = 4x3 − 360x2 + 8000x .

I O conjunto de partida A é chamado o domínio da função;

I O conjunto de chegada B é chamado o contra-domínio dafunção;

I O conjunto de todos os valores f (a) é chamado a imagem dafunção;

I O conjunto de partida A é chamado o domínio da função;

I O conjunto de chegada B é chamado o contra-domínio dafunção;

I O conjunto de todos os valores f (a) é chamado a imagem dafunção;

I O conjunto de partida A é chamado o domínio da função;

I O conjunto de chegada B é chamado o contra-domínio dafunção;

I O conjunto de todos os valores f (a) é chamado a imagem dafunção;

I O conjunto de partida A é chamado o domínio da função;

I O conjunto de chegada B é chamado o contra-domínio dafunção;

I O conjunto de todos os valores f (a) é chamado a imagem dafunção;

Representação grá�ca de funções reais

Representação grá�ca de funções reais

Funções a�ns

Função A�m

Sejam a, b números reais. Uma função f : R→ R da formaf (x) = ax + b é chamada de função a�m.

f (x)=x−1

Funções a�ns

Função A�m

Sejam a, b números reais. Uma função f : R→ R da formaf (x) = ax + b é chamada de função a�m.

f (x)=x−1

Funções a�ns

Função A�m

Sejam a, b números reais. Uma função f : R→ R da formaf (x) = ax + b é chamada de função a�m.

f (x) =

x2

+ 1

Funções a�ns

Função A�m

Sejam a, b números reais. Uma função f : R→ R da formaf (x) = ax + b é chamada de função a�m.

f (x) =

x2

+ 1