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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO TECNOLÓGICO
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS
DE CONCRETO ARMADO
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br
2011/1
ESTRUTURAS DE CONCRETO I (EST01058) - ESTRUTURAS DE CONCRETO II (EST01059) PROGRAMA 1 - INTRODUÇÃO 2 - ESTADOS LIMITES 3 - AÇÕES 4 - MATERIAIS 5 - DURABILIDADE 6 - VIGA 6.1 - VIGA - ANÁLISE 6.2 - VIGA - DIMENSIONAMENTO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU) 6.2.1 - VIGA - DIMENSIONAMENTO À MOMENTO FLETOR (ELU-M) 6.2.2 - VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA PARA MOMENTO FLETOR 6.2.3 - VIGA - DIMENSIONAMENTO À FORÇA CORTANTE (ELU-V) 6.2.4 - VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA PARA FORÇA CORTANTE 6.2.5 - VIGA - DIMENSIONAMENTO À MOMENTO TORÇOR (ELU-T) 6.2.6 - VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA PARA MOMENTO TORÇOR 6.3 - VIGA - VERIFICAÇÂO NO ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS) 6.3.1 - VIGA - VERIFICAÇÃO DE FLECHA (ELS-DEF) 6.3.2 - VIGA - VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA (ELS-W) 6.4 - VIGA - EXEMPLOS 7 - LAJE 7.1 - LAJE - DEFINIÇÕES 7.2 - LAJE - ANÁLISE 7.3 - LAJE - DIMENSIONAMENTO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU) 7.3.1 - LAJE - DIMENSIONAMENTO À MOMENTO FLETOR (ELU-M) 7.3.2 - LAJE - DIMENSIONAMENTO À FORÇA CORTANTE (ELU-V) 7.3.3 - LAJE - DIMENSIONAMENTO À PUNÇÃO 7.4 - LAJE - VERIFICAÇÂO NO ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS) 7.4.1 - LAJE - VERIFICAÇÃO DE FLECHA (ELS-DEF) 7.4.2 - LAJE - VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA (ELS-W) 7.5 - LAJE - EXEMPLOS 7.5.1 - LAJE MACIÇA - EXEMPLOS 7.5.1 - LAJE NERVURADA - EXEMPLOS 8 - PILAR 8.1 - PILAR - DEFINIÇÕES 8.2 - PILAR - ANÁLISE 8.3 - PILAR - DIMENSIONAMENTO 8.4 - PILAR - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA 8.5 - PILAR - EXEMPLOS 9 - FUNDAÇÃO 9.1 - FUNDAÇÃO - DEFINIÇÕES 9.2 - FUNDAÇÃO - ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO 9.3 - FUNDAÇÃO - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA 10 - PROJETO ESTRUTURAL DO EDIFÍCIO DA ENGENHARIA CIVIL 10.1 - ARQUITETURA DO EDIFÍCIO 10.2 - CONSIDERAÇÕES BÁSICAS DO PROJETO ESTRUTURAL 10.3 - VISTA 3D DA ESTRUTURA E PROJETO DE FORMA DO EDIFÍCIO 10.4 - ANÁLISE, DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO DE LAJES 10.5 - ANÁLISE, DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO DE VIGAS 10.6 - ANÁLISE, DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO DE PILARES 10.7 - ANÁLISE, DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO DE BLOCOS SOBRE ESTACAS 10.8 - ANÁLISE, DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO DA ESCADA AVALIAÇÕES EST01058 - ESTRUTURAS DE CONCRETO I - P1 (06/05); P2 (21/06); PF (08/07) EST01059 - ESTRUTURAS DE CONCRETO II - P1 (05/05); P2 (20/06); PF (07/07)
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 2
ESTRUTURAS DE CONCRETO I (EST01058) - ESTRUTURAS DE CONCRETO II (EST01059) BIBLIOGRAFIA 1 – [MUSSO] MUSSO JUNIOR, F. Dimensionamento de Estruturas de Concreto Armado. Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, 2011. 2 – [ARAUJO] ARAÚJO, J. M. Curso de Concreto Armado. v. 1 a 4. 2a ed. Rio Grande: Dunas, 2003. 3 – [MONTOYA] MONTOYA, P. J.; MESEGUER, A. G.; CABRÉ, F. M. Hormigón Armado: ábacos para el calculo de secciones em el estado ultimo de agotamiento. tomo II.10a ed. Barcelona: Gustavo Gili, 1981. 4 – [LEONHARDT] LEONHARDT, F.; MÖNNIG, E. Construções de Concreto. v. 1 a 6. 1a ed. Rio de Janeiro: Interciência, 1977. 5 – [MOSLEY] MOSLEY, B.; BUNGEY, J.;HULSE, R. Reinforced Concrete Design to Eurocode 2. 6a
ed. New York: Palgrave Macmillan, 2007. 6 – [FAVRE] FAVRE, R.; JACCOUD, J.; BURDET, O.; CHARIF, H. Dimensionnement des Structures em Béton: Aptitude au Service et Elements de Structures. Traité de Génie Civil. v. 8. Lausanne: Pressses Polytechniques Universitaires Romandes, 2004. 7 – [BARES] BARES, R. Tablas para el Cálculo de Placas y Vigas Pared. 2a ed. Barcelona: Gustavo Gili, 1981. 8 – [CZERNY] CZERNY, F. Tafeln fur Rechtekplatten. Beton-Kalender. Teil I. Berlin: Ernst & Sohn, 1996. 9 – [EISENBIEGLER] EISENBIEGLER, G.; LIEB, H. Schnittgrossen und Verformungen von Pilzdecken mit Stutzenkopfverstarkungen infolge Gleichlast. Beton-und Stahlbetonbau. n. 74, p. 219-224, 1979. 10 – [GRASSER] GRASSER, E.; THIELEN, G. Hilfsmittel zur Berechnung der Schnittgroβen und Formanderungen von Stahlbetontragwerken. Deutscher Ausschuss fur Stahlbeton. n. 240, Berlin: Beuth, 1991. 11 – [NBR 6118] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de Estruturas de Concreto - Procedimento: NBR 6118. Rio de Janeiro, 2007. 12 – [NBR 6120] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Cargas para o Cálculo de Estruturas de Edificações - Procedimento: NBR 6120. Rio de Janeiro, 1980. 13 – [NBR 6122] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto e Execução de Fundações: NBR 6122. Rio de Janeiro, 2010. 14 – [NBR 6484] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Solo – Sondagens de Simples Reconhecimento com SPT – Método de Ensaio: NBR 6484. Rio de Janeiro, 2001. 15 – [NBR 7480] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Aço destinado a Armaduras para Estruturas de Concreto Armado - Especificação: NBR 7480. Rio de Janeiro, 2007. 16 – [NBR 8681] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Ações e Segurança nas Estruturas - Procedimento: NBR 8681. Rio de Janeiro, 2003. 17 – [EUROCÓDIGO 2] COMITÉ EUROPEU DE NORMALIZAÇÃO. Eurocódigo 2: Projecto de Estruturas de Betão – Parte 1-1: Regras Gerais e Regras para Edifícios: EN 1992-1-1. Bruxelas, 2004. 18 – [FTOOL] MARTHA, L. F. FTOOL212.EXE: Ftool – Two-Dimensional Frame Analysis Tool. Versão 2.12. Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2008. 19 – [VIGA] MUSSO JUNIOR, F. VIGA-2011-1.XLS: Dimensionamento de Viga de Concreto Armado. Versão 2011-1. Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, 2011. 20 – [LAJE] MUSSO JUNIOR, F. LAJE-2011-1.XLS: Dimensionamento de Laje de Concreto Armado. Versão 2011-1. Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, 2011. 21 – [PILAR] MUSSO JUNIOR, F. PILAR-2011-1.XLS: Dimensionamento de Pilar de Concreto Armado. Versão 2011-1. Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, 2011. 22 – [SAPATA] MUSSO JUNIOR, F. SAPATA-2011-1.XLS: Dimensionamento de Sapata de Concreto Armado. Versão 2011-1. Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, 2011. 23 – [BLOCO] MUSSO JUNIOR, F. BLOCO-2011-1.XLS: Dimensionamento de Bloco de Concreto Armado. Versão 2011-1. Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, 2011. 24 – [CYPECAD]
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1 - INTRODUÇÃO
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ELEMENTOS ESTRUTURAIS BÁSICOS Classificação dos Elementos Estruturais Tipo Definição Elemento Esquema Definição
Viga
elemento linear em que a flexão é preponderante
Pilar
elemento linear de eixo reto, usualmente disposto na vertical, em que a força normal de compressão é preponderante; a maior dimensão da seção transversal é menor ou igual a 5 vezes a menor dimensão
Tirante
elemento linear de eixo reto em que a força normal de tração é preponderante
Line
ar
o co
mpr
imen
to l
ongi
tudi
nal
é m
aior
ou
igua
l a
três
veze
s a
mai
or d
imen
são
da s
eção
tran
sver
sal
Arco
elemento curvo em que a força normal de compressão é preponderante, agindo ou não com flexão
Laje
elemento de superfície plana sujeito principalmente a ações normais a seu plano; o lado menor é maior ou igual a 5 vezes a espessura
Viga-parede
elemento de superfície plana sujeito principalmente a ações contidas em seu plano; o comprimento é menor que três vezes a maior dimensão da seção transversal
Casca
elemento de superfície não plana
Supe
rfíc
ie
uma
dim
ensã
o, u
sual
men
te c
ham
ada
espe
ssur
a, é
re
lativ
amen
te p
eque
na e
m fa
ce d
as d
emai
s
Pilar-parede
elemento de superfície plana ou casca cilíndrica, usualmente disposto na vertical, em que a força normal de compressão é preponderante; a maior dimensão da seção transversal é maior que 5 vezes a menor dimensão
Sapata
elemento de volume usado para transmitir ao solo as cargas de fundação
Volu
me
três
dim
ensõ
es s
ão
sign
ifica
tivas
Bloco sobre estacas
elemento de volume usado para transmitir às estacas as cargas de fundação
[NBR 6118]
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2 - ESTADOS LIMITES
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ESTADOS LIMITES DE UMA ESTRUTURA
[NBR 8681]
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3 - AÇÕES
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AÇÕES NOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS Classificação das Ações
[NBR 8681]
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Peso Específico dos Materiais de Construção
[NBR 6120]
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Valores Mínimos de Cargas Verticais Acidentais em Lajes
[NBR 6120]
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Valores Mínimos de Cargas Verticais Acidentais em Lajes
[NBR 6120]
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4 - MATERIAIS
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PROPRIEDADES DO CONCRETO
Ecs 4760fck1/2 MPa
módulo de elasticidade secante do concreto fctm 0,3fck
2/3 (fck em MPa) resistência média do concreto à tração
fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à compressão
Gc 0,4Ecs módulo de elasticidade transversal do concreto
fck resistência característica do concreto à compressão aos 28 dias
αc 10-5/oC coeficiente de dilatação térmica do concreto
fctk 0,7fctmresistência característica do concreto à tração
ν 0,2 coeficiente de poisson do concreto
fctd fctk/1,4 resistência de cálculo do concreto à tração
ρc 2400 kg/m3 concreto simples 2500 kg/m3 concreto armado massa específica do concreto
Propriedades de Cálculo do Concreto em Função de sua Classe Classe C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 equação fck MPa 15 20 25 30 35 40 45 50 fcd MPa 10,71 14,29 17,86 21,43 25,00 28,57 32,14 35,71 fck/1,4 fctm MPa 1,825 2,210 2,565 2,896 3,210 3,509 3,795 4,072 0,3fck
2/3
fctk MPa 1,277 1,547 1,795 2,028 2,247 2,456 2,657 2,850 0,7fctmfctd MPa 0,912 1,105 1,282 1,448 1,605 1,754 1,898 2,036 fctk/1,4 Ecs MPa 18435 21287 23800 26072 28161 30105 31931 33658 4760fck
1/2
Gc MPa 7374 8515 9520 10429 11264 12042 12772 13463 0,4EcsObs.: C20 ou superior – concreto armado (C15 só para fundações e obras provisórias) C25 ou superior – concreto protendido Diagrama σ-ε Parabólico do Concreto comprimido para Estado Limite Último (ELU)
Diagrama σ-ε Simplificado Retangular do Concreto comprimido para Estado Limite Último (λ = 0,8; η = 0,85)
{NBR 6118]
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Diagrama σ-ε do Concreto comprimido para Estado Limite de Serviço (ELS)
Coeficiente de Fluência e Deformação de Retração do Concreto
Ecs
εc
1
σc
[NBR 6118]
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PROPRIEDADES DO AÇO
Es 210000 MPa módulo de elasticidade do aço
αs 10-5/oC coeficiente de dilatação térmica do aço
fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento do aço à tração
fyd/Esεyddeformação de escoamento do aço
fyk resistência característica de escoamento do aço à tração
ρs 7850 kg/m3
massa específica do aço Resistência de Cálculo e Deformação de Escoamento do Aço em função de sua Categoria
Categoria CA-25 CA-50 CA-60 equação fyk MPa 250 500 600 fyd MPa 217,4 434,8 521,7 fyk/1,15
0,1035% 0,2070% εyd 0,2484% fyd/Es
Diagrama σ-ε do Aço para Estado Limite Último (ELU)
Es
εs
1
σs
fyd
10‰ εyd
Diagrama σ-ε do Aço para Estado Limite de Serviço (ELS)
Relação entre Coeficiente de Conformação η (NBR 7480) e Coeficiente de Conformação η1 (NBR 6118)
Es
εs
1
σs
[NBR 6118] Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 16
Classificação do Aço das Armaduras
Comprimento de Barras e Fios
Diâmetro, Massa, Área da Seção e Perímetro de Barras e Fios
[NBR 7480]
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Propriedades Mecânicas de Barras e Fios
[NBR 7480]
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Configuração Geométrica de Barras e Fios
[NBR 7480]
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5 - DURABILIDADE
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DIRETRIZES DE DURABILIDADE DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO Exigências de Durabilidade
Classes de Agressividade Ambiental
Correspondência entre Classe de Agressividade e Qualidade do Concreto
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Correspondência entre Classe de Agressividade e Cobrimento Nominal dos Elementos Estruturais
Correspondência entre Classe de Agressividade e Abertura de Fissura
[NBR 6118]
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6 - VIGA
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6.1 - VIGA - ANÁLISE
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VIGA - VÃO EFETIVO DE VIGA
[NBR 6118]
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VIGA - MOMENTO FLETOR, FORÇA CORTANTE, MOMENTO TORÇOR E FLECHA Momento Fletor (α = a/L; β = b/L)
Sistema
Carga Mmáx; xo/L Mmáx; xo/L Mdir Mmáx; xo/L Mesq Mdir Mesq
5,0;8
pL2
375,0;128pL9 2
8
pL2
− 5,0;24pL2
12pL2
− 12pL2
− 2
pL2
−
577,0;
39pL2
447,0;515
pL2
15pL2
− 548,0;64,46
pL2
30pL2
− 20pL2
− 3
pL2
−
423,0;
39pL2
329,0;65,23
pL2
120pL7 2
− 452,0;64,46
pL2
20pL2
− 30pL2
− 6
pL2
−
5,0;
4PL 5,0;
32PL5
16PL3
− 5,0;8
PL 8
PL−
8PL
− 2
PL−
ααβ ;PL ααβ
β− ;PL2
3 2 PL2
1 2
αα−
− αβα ;PL2 22 PL2αβ− PL2βα− PLα−
Força Cortante (α = a/L; β = b/L)
Sistema
Carga Vesq Vdir Vesq Vdir Vesq Vdir Vesq
2pL
2pL
− 8pL3
8pL5
− 2
pL 2
pL− pL
6
pL 3
pL−
10pL
5pL2
− pL15,0 pL35,0− 2
pL
3
pL 6
pL−
40pL11
40pL9
− pL35,0 pL15,0− 2
pL
2P
2P
− 16P5
16P11
− 2P
2P
− P
Pβ Pα− P
23 2β
β− P2
3 2
αα−
− P)23( 2ββ− P)23( 2αα−− P
Momento Torçor (α = a/L; β = b/L)
Carga
Sistema Tesq Tdir Tesq Tdir Tesq Tdir Tesq Tdir Tesq Tdir 2
tL 2tL
− 6tL
3tL
− 3tL
6tL
− 2T
2T
− Tβ Tα−
Tesq Tesq Tesq Tesq Tesq tL
2tL
2tL T T
Flechas (α = a/L; β = b/L)
Sistema
Carga Δmáx; xo/L Δmáx; xo/L Δmáx; xo/L Δdir
5,0;EI384
pL5 4
422,0;EI6,184
pL4
5,0;EI384
pL4
EI8
pL4
519,0;
EIpL00652,0
4
447,0;EI3,419
pL4
525,0;EI2,764
pL4
EI120
pL11 4
481,0;
EIpL00652,0
4
402,0;EI1,328
pL4
475,0;EI2,764
pL4
EI30
pL4
5,0;
EI48PL3
447,0;EI548
PL3
5,0;EI192
PL3
EI48
PL5 3
5,0;
EI48PL)43( 32
≤ααα− - -
EI6PL)3( 32αα−
[MUSSO]
a b
L/2
a b
L/2
a b
L/2
L/2 a b
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VIGA - FLECHAS EM DIVERSOS SISTEMAS COM DIFERENTES CARREGAMENTOS
[GRASSER]
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6.2 - VIGA - DIMENSIONAMENTO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU)
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VIGA - DIMENSÕES LIMITES DE VIGAS
[NBR 6118]
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6.2.1 - VIGA - DIMENSIONAMENTO À MOMENTO FLETOR (ELU-M)
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VIGA - FORMULÁRIO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÂO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR (ELU-M)
As área da seção da armadura longitudinal fyk resistência característica de escoamento do aço tracionada h altura da seção transversal sA′ área da seção da armadura longitudinal Md 1,4(MG + MQ) momento fletor de cálculo comprimida Md,lim momento fletor de cálculo máximo com
As,mín área mínima da seção da armadura longitudinal armadura simples tracionada MG momento fletor da ação permanente G
As,lim área da seção da armadura tracionada MQ momento fletor da ação variável Q correspondente a Md,lim T força de tração na armadura longitudinal b largura da seção transversal x profundidade da linha neutra no estádio 3 (ELU) C força de compressão no concreto xlim profundidade máxima da linha neutra para d altura útil da seção transversal ruptura dúctil da seção (ruptura com aviso) distância do centróide da armadura tracionada à z braço de alavanca (braço do binário) borda comprimida da seção transversal εc encurtamento da fibra extrema de concreto
d′ distância do centróide da armadura comprimida εyd fyd/Es deformação de escoamento do aço à borda comprimida da seção transversal εs alongamento da armadura tracionada
d ′′ h - d sε′ encurtamento da armadura comprimida dlim altura útil mínima com armadura simples ξ x/d profundidade da linha neutra adimensional Es 210000 MPa módulo de elasticidade do aço λ 0,8 coeficiente de redução da altura comprimida fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à da seção (diagrama retangular x parabólico) compressão η 0,85 coeficiente de redução da resistência de
fck resistência característica do concreto à cálculo do concreto à compressão compressão aos 28 dias μ Md/(bd2ηfcd) momento fletor adimensional
fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento sdσ′ tensão de compressão na armadura longitudinal do aço
A – Momento fletor de cálculo máximo com armadura simples (dados b, d e fck, obter Md,lim)
Modelo resistente à momento fletor no estado limite último
fck < 35 MPa > 35 MPa Armadura simples (seção com As; Md < Md,lim; x < xlim) xlim 0,5d 0,4d A1
Md,lim cd2fbd272,0 cd
2fbd22848,0 A2
As,lim ydcd f/bdf34,0 ydcd f/bdf272,0 A3B – Altura útil mínima da seção com armadura simples (dados Md e b, obter dlim)
fck < 35 MPa > 35 MPa
dlim cd
d
bf272,0M
cd
d
bf22848,0M B1
C - Dimensionamento da armadura longitudinal (dados Md, b, d, fck e fyk, obter As e As’) Armadura simples (seção com As; Md < Md,lim; x < xlim)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−=
cd2
d
fbd425,0M
11d25,1x C1
ydcds f/bxf68,0A = C2( )bhf/f035,0%;15,0máximoA ydcdmín,s = C3
fck MPa 20 25 30 35
(a) )2/xd(fxb)x(fCzM cdd λ−ηλ=== (b) ydcdscdyds f/fxbAoufxbCfAT ηλ=ηλ===
:fbd)a( cd2η÷ ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ λ−
λ=
η d2x1
dx
fbdM
cd2
d ou
( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
η−−
λ==μ−−=λξ
=μ+λξ−λξ∴λξ−λξ=λξ−λξ=μ
cd2
dd
22
fbdM211d)M(fxou211)c(
0)(2/)(2/)()(2/1
As,mín/(bh) 0,150% 0,150% 0,173% 0,201% Armadura dupla (seção com As e sA′ ; Md > Md,lim; x = xlim)
Armadura dupla (seção com As e sA′ ; Md > Md,lim; x = xlim)
)dd(fMM
AAyd
lim,ddlim,ss ′−
−+= C4
)dd(MM
Asd
lim,dds ′−σ′
−=′ C5
ydsydsd sef ε≥ε′=σ′ ; ydssssd seE ε<ε′ε′=σ′ C6fck < 35 MPa > 35 MPa
sε′ )d/d5,0(007,0 ′− )d/d4,0(00875,0 ′− C7fyk 250 MPa 500 MPa 600 MPa εyd 1,035‰ 2,070‰ 2,484‰ C8
(d) lim,ddlim,dd MMMouMMM −=ΔΔ+= (e) )]dd(/[MAou)dd(AM sdssds ′−σ′Δ=′′−σ′′=Δ (f) ydsdslim,sssdsydlim,syds f/AAAouAfAfA σ′′+=σ′′+=
[MUSSO]
x
Md
λx
T = Asfyd
C = bλxηfcd
2/xdz λ−=
ηfcd
h d
b
As LN
ηfcd
d ′′
xlim
Md
Asfyd
sdsA σ′′
=
sdsA σ′′
sdsA σ′′
ΔMd-d´
As,limfyd
Md,lim
λxlim
+
ηfcd ηfcd
d
b
As LN
sA′
d′
d ′′
xlim
εc = 3,5‰
εs
d sε′
d′
lim
lim
s
x‰5,3dx
=
′−ε′
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 32
VIGA - PARÂMETROS ADIMENSIONAIS DE DIMENSIONAMENTO A MOMENTO FLETOR
[MUSSO]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 33
VIGA - GRÁFICO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR
[MUSSO]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 34
VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR
[MUSSO]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 35
VIGA - DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO T À MOMENTO FLETOR (ELU-M) (hf < λxlim ; λ = 0,8 ; η = 0,85) A - Momento fletor resistido pela mesa comprimida (MRf) B - Momento fletor máximo com armadura simples (Md,lim)
)2/hd(fhbCzM fcdffRf −η== A1 )2/xd(fxb)2/hd(fh)bb(
zCzCMMM
limcdlimwfcdfwf
wwaalim,walim,d
λ−ηλ+−η−=
=+=+= B1
C - Profundidade limite da linha neutra (xlim) xlim = 0,5d se fck < 35 MPa xlim = 0,4d se fck > 35 MPa C1 D - CASO 1 – Seção T com Md < MRf (parte da mesa comprimida) G - Armadura mínima para seção T (As,mín) armadura simples seção retangular com Md e b = bf A)f/f024,0%;15,0(máximoA ydcdmín,s = G1
fck MPa 20 25 30 35 As,mín/A 0,15% 0,15% 0,15% 0,15%
hbh)bb(A wfwf +−= (área da seção T) G2H - Tensão na armadura comprimida )( sdσ′
)(f ydsydsd ε≥ε′=σ′ ; )(E ydssssd ε<ε′ε′=σ′ H1
fck < 35 MPa > 35 MPa
sε′ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′
−dd5,0007,0 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ′
−dd4,000875,0 H2
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−=
cd2
f
d
fdb425,0M11d25,1x D1
fyk 250 MPa 500 MPa 600 MPa
sA
mín,sydcdfs Af/xfb68,0A ≥= D2 εyd 1,035‰ 2,070‰ 2,484‰ H3 E - CASO 2 - Seção T com MRf < Md < Md,lim (toda mesa e parte da alma comprimidas)
Superposição de efeitos (abas comprimidas + parte da alma comprimida) abas (seção retangular com Ma e b = bf - bw) alma (seção retangular com Mw e b = bw) armadura simples
)2/hd(fh)bb(zCM fcdfwfaaa −η−== E1 adw MMM −= E4
ff h25,1hx =
λ= E2
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−=
cd2
w
w
fdb425,0M11d25,1x E5
was AAA +=
ydcdwfa f/xf)bb(68,0A −= E3 ydcdww f/xfb68,0A = E6 F - CASO 3 - Seção T com Md > Md,lim (toda mesa e parte da alma comprimidas)
Superposição de efeitos (abas comprimidas + parte da alma comprimida) abas (seção retangular com Ma e b = bf - bw) alma (seção retangular com Mw e b = bw)
armadura dupla
)2/hd(fh)bb(zCM fcdfwfaaa −η−== F1 adw MMM −= F4
)2/xd(fxbM limcdlimwlim,w λ−ηλ= F5
ydcdlimwlim,w f/fxb68,0A = F6 f
f h25,1hx =λ
= F2
)dd(MA
sds ′−σ′
Δ=′ ; lim,ww MMM −=Δ F7
was AAA +=
sA′
ydcdwfa f/xf)bb(68,0A −= F3 ydsdslim,ww f/AAA σ′′+= F8 [MUSSO]
x
MRf
λx = hf
T = Asfyd
C = bf hfηfcd
z = d - hf /2
ηfcd
h d
bf
As LN
bw
hf xlim
Md,lim
λxlim
T = As,limfyd
Ca = (bf - bw)hf ηfcd
za = d - hf /2
ηfcd
h d
bf
As LN
bw
hfa w a
zw = d - λxlim /2
Cw = bwλxlimηfcd
h d
bf
As
bw
hf
Md Ma
bf - bw
Aa
hf
d
bw
Aw
λx
Mw d
Ma
bf - bw
Aa
hf
d
h d
bf
As
bw
hf
Md d
bf
As
λx
Md
h d
bf
As
bw
hf
Md d′
sA′
bw
Aw
λxlim
Mw
sA′
d
d′
sdsA σ′′
sdsA σ′′
ΔMd-d´+
Aw,limfyd Mw,lim
bwλxlimηfcd
=
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VIGA - LARGURA COLABORANTE DA MESA DE SEÇÃO T
[NBR 6118]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 37
VIGA - TABELA DE MOMENTO DE INÉRCIA E POSIÇÃO DO CENTRO DE GRAVIDADE DE SEÇÃO T
[MUSSO]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 38
6.2.2 - VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA PARA MOMENTO FLETOR
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 39
VIGA - TAXA MÍNIMA DE ARMADURA LONGITUDINAL DE TRAÇÂO
Ac área da seção transversal de concreto fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento do aço à tração
As área da seção da armadura longitudinal de tração
fyk resistência característica de escoamento do aço à tração
As,mín área da seção mínima da armadura longitudinal de tração
h altura da seção transversal
b largura da seção transversal ρ As/Ac taxa geométrica de armadura longitudinal de tração
fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à compressão
ω Asfyd/(Acfcd) taxa mecânica de armadura longitudinal de tração
fck resistência característica do concreto à compressão aos 28 dias
[NBR 6118]
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VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL A NÍVEL DE SEÇÃO
ah máximo(20 mm; φ; 1,2dag) dc distância do centróide da armadura espaçamento livre mínimo horizontal entre tracionada ao centro da armadura da barras da armadura longitudinal primeira camada
av máximo(20 mm; φ; 0,5dag) d’ distância do centróide da armadura espaçamento livre mínimo vertical entre barras comprimida à borda comprimida da seção da armadura longitudinal transversal
As área da seção da armadura longitudinal d” distância do centróide da armadura tracionada tracionada à borda tracionada da seção
As’ área da seção da armadura longitudinal transversal comprimida fcd fck/1,4
As,mín máximo(0,15%; 0,035fcd/fyd)bh resistência de cálculo do concreto à área da seção mínima da armadura compressão longitudinal (seção retangular) fck resistência característica do concreto à
As,máx As + As’ < 4%bh compressão aos 28 dias área da seção máxima da armadura fyd fyk/1,15 longitudinal resistência de cálculo de escoamento do
As,pele 0,10%bh (por face lateral ; se h > 60 cm) aço à tração área da seção da armadura de pele fyk resistência característica de escoamento do
b largura da seção transversal aço à tração ct cobrimento de concreto da armadura h altura da seção transversal transversal φ diâmetro da barra da armadura longitudinal
d altura útil da seção transversal φt diâmetro da barra da armadura transversal distância do centróide da armadura tracionada à borda comprimida da seção transversal
dag diâmetro do agregado graúdo 9,5 mm (brita 0) 19 mm (brita 1) 25 mm (brita 2)
[MUSSO]
b
av > máximo(20 mm; φ; 0,5dag) ah > máximo(20 mm; φ; 1,2dag)
φ
ct
5 mm < φt < b/10
h d
dc < 10%h
d’
d”
As,pele > 0,10%bh (se h > 60 cm)
< d/3 < 20 cm
As
As’
2ª camada
> φt
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VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL A NÍVEL DE SEÇÃO T1 - Área da seção transversal de Q barras longitudinais (cm2)
Diâmetro da barra (mm) Q 5 6,3 8 10 12,5 16 20 22 25 1 0,20 0,31 0,50 0,79 1,23 2,01 3,14 3,80 4,91 2 0,39 0,62 1,01 1,57 2,45 4,02 6,28 7,60 9,82 3 0,59 0,94 1,51 2,36 3,68 6,03 9,42 11,40 14,73 4 0,79 1,25 2,01 3,14 4,91 8,04 12,57 15,21 19,63 5 0,98 1,56 2,51 3,93 6,14 10,05 15,71 19,01 24,54 6 1,18 1,87 3,02 4,71 7,36 12,06 18,85 22,81 29,45 7 1,37 2,18 3,52 5,50 8,59 14,07 21,99 26,61 34,36 8 1,57 2,49 4,02 6,28 9,82 16,08 25,13 30,41 39,27 9 1,77 2,81 4,52 7,07 11,04 18,10 28,27 34,21 44,18 10 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27 20,11 31,42 38,01 49,09 11 2,16 3,43 5,53 8,64 13,50 22,12 34,56 41,81 54,00 12 2,36 3,74 6,03 9,42 14,73 24,13 37,70 45,62 58,90 13 2,55 4,05 6,53 10,21 15,95 26,14 40,84 49,42 63,81 14 2,75 4,36 7,04 11,00 17,18 28,15 43,98 53,22 68,72 15 2,95 4,68 7,54 11,78 18,41 30,16 47,12 57,02 73,63 16 3,14 4,99 8,04 12,57 19,63 32,17 50,27 60,82 78,54 17 3,34 5,30 8,55 13,35 20,86 34,18 53,41 64,62 83,45 18 3,53 5,61 9,05 14,14 22,09 36,19 56,55 68,42 88,36 19 3,73 5,92 9,55 14,92 23,32 38,20 59,69 72,23 93,27 20 3,93 6,23 10,05 15,71 24,54 40,21 62,83 76,03 98,17 21 4,12 6,55 10,56 16,49 25,77 42,22 65,97 79,83 103,08 22 4,32 6,86 11,06 17,28 27,00 44,23 69,12 83,63 107,99 23 4,52 7,17 11,56 18,06 28,23 46,24 72,26 87,43 112,90 24 4,71 7,48 12,06 18,85 29,45 48,25 75,40 91,23 117,81
T2 - Número máximo de barras por camada (estribo de 2 ramos) nb,máx = INT[1+(b-2ct-2φt-φ)/(ah+φ)] ah = MÁXIMO(2 cm; φ; 1,2dag) ct cm 2,5 dag mm 19
Largura da seção (cm) φ mm φt mm 10 12 15 20 25 30 35 40 45 50 ah cm
5 2 2 3 5 6 8 10 11 13 15 6,3 1 2 3 5 6 8 10 11 13 14 8 1 2 3 5 6 8 9 11 13 14 8
10 1 2 3 4 6 8 9 11 13 14
2,28
5 1 2 3 4 6 8 9 11 12 14 6,3 1 2 3 4 6 7 9 10 12 14 8 1 2 3 4 6 7 9 10 12 13 10
10 1 2 3 4 6 7 9 10 12 13
2,28
5 1 2 3 4 6 7 8 10 11 13 6,3 1 2 3 4 5 7 8 10 11 13 8 1 2 3 4 5 7 8 10 11 12 12,5
10 1 2 2 4 5 7 8 9 11 12
2,28
5 1 2 2 4 5 6 8 9 10 11 6,3 1 2 2 4 5 6 7 9 10 11 8 1 1 2 4 5 6 7 9 10 11 16
10 1 1 2 3 5 6 7 9 10 11
2,28
5 1 1 2 3 4 6 7 8 9 10 6,3 1 1 2 3 4 6 7 8 9 10 8 1 1 2 3 4 6 7 8 9 10 20
10 1 1 2 3 4 5 7 8 9 10
2,28
5 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6,3 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 25
10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2,50
obs.: φt é o diâmetro da armadura transversal (estribos) ct é o cobrimento de concreto da armadura transversal T3 - Número máximo de camadas
nc,máx = INT[1+(2x10%h)/(av+φ)] av = MÁXIMO(2 cm; φ; 0,5dag) dag mm 19 Altura da seção (cm) φ mm 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90 100 av cm
8 3 3 3 4 4 4 5 6 6 7 8 2,0 10 3 3 3 4 4 4 5 5 6 7 7 2,0
12,5 2 3 3 3 4 4 4 5 5 6 7 2,0 16 2 2 3 3 3 4 4 4 5 6 6 2,0 20 2 2 3 3 3 3 4 4 5 5 6 2,0 25 2 2 2 3 3 3 3 4 4 5 5 2,5
[MUSSO]
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VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL A NÍVEL DE ELEMENTO Zona de boa e má aderência para as armaduras
Resistência de aderência de cálculo - fbd (fyk = 500 MPa; φ < 32 mm e γc = 1,4) )MPa()2(f2363,0f7,0f);1(f3375,0]4,1/)f3,0(7,0[25,2]f[25,2f 3/2
ckboa,bdmá,bd3/2
ck3/2
ckctdboa,bd ===== concreto C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 zona boa 2,487 2,886 3,259 3,611 3,947 4,270 4,581 zona má 1,741 2,020 2,281 2,528 2,763 2,989 3,206
Comprimento de ancoragem básico - lb,bás (fyk = 500 MPa, φ < 32 mm, γs = 1,15 e γc = 1,4)
concreto C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 zona boa 43,7φ 37,7φ 33,4φ 30,1φ 27,5φ 25,5φ 23,7φ zona má 62,4φ 53,8φ 47,7φ 43,0φ 39,3φ 36,4φ 33,9φ
Deslocamento lateral do diagrama de momentos fletores - al
Comprimento das barras da armadura longitudinal e ancoragem da armadura inferior nos apoios
[MUSSO]
h h 30
h 30
armaduras
h < 30 cm 30 < h < 60 cm h > 60 cm
zona má
zona boa
)3(f4f
lolog4
Amas
fAl
bd
ydbás,b
2
s
ydsbás,b
φ=
πφ=
=πφfbd φ
lb,bás yds fA
(a) em (b): T1z = M1 + 0,5Vzcotθ ou T1z = M1 + V.al = M1 + ΔM onde: al = 0,5zcotθ e ΔM = V.al Conclusão: o momento fletor na seção 1 (T1z) é igual a M1 acrescido de V.al o que é equivalente a uma translação lateral al do diagrama de momentos fletores (ver fig. abaixo)
C
z T1 θ
z
zcotθ
M2
V
M2 = T1z + 0,5Vzcotθ (b)
o V V
θ
zcotθ
M2
V
M2 = M1 + Vzcotθ (a)
o
M1 1 2 1
lb,nec > lb,mín
apoio externo
B B 10φ 10φ
ΔM al
A A lb,bás lb,bás
ΔM al
B B
A A lb,bás lb,bás
10φ 10φ
Md
Md deslocado de al
deslocamento lateral do diagrama de momentos
al = 0,5zcotθ; z = 0,9d (4) θ = 30º θ = 45º al 0,78d 0,45d
θ = inclinação da biela
>10φ
apoio interno
As,int > As,vão/3 se lMintl<Mvão/2 As,int > As,vão/4 se lMintl>Mvão/2
Mvã
o
Min
t
As,vão
As,ext > As,vão/3
lb,nec= α1lb,básext,syd
d
Af2cotV θ
1,0(ancoragem reta) 0,7(ancor. com gancho) lb,mín = máx(0,3lb,bás; 10φ; 10cm)
5φ se φ < 20mm 8φ se φ > 20mm
armadura de montagem
φ
> 8φ φp
gancho
aço CA-50
β
β
tanβ = V
= ΔM/al
M1
M1
α1
armadura positiva
armadura negativa
φp
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 43
VIGA - TIPOS DE ANCORAGEM DA ARMADURA LONGITUDINAL
[NBR 6118]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 44
VIGA - EMENDAS DA ARMADURA LONGITUDINAL POR TRASPASSE
[NBR 6118]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 45
6.2.3 - VIGA - DIMENSIONAMENTO À FORÇA CORTANTE (ELU-V)
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 46
VIGA - FORMULÁRIO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÂO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE (ELU-V)
Asw área da seção da armadura transversal h altura da seção transversal Asw,mín área mínima da seção da armadura transversal Md momento fletor de cálculo
b largura da seção transversal s espaçamento longitudinal entre estribos C força de compressão nas bielas de concreto 100 cm (para obter Asw em cm2/m) d altura útil da seção transversal cV força cortante resistida por outros mecanismos distância do centróide da armadura tracionada Vd 1,4(VG + VQ) força cortante de cálculo à borda comprimida da seção transversal VRd,máx força cortante de cálculo máxima resistida por
fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à compressão diagonal das bielas de concreto compressão VG força cortante da ação permanente G
fck resistência característica do concreto à VQ força cortante da ação variável Q compressão aos 28 dias Vsw força cortante de cálculo resistida pela
fctd fctk/1,4 resistência de cálculo do concreto à armadura transversal tração z braço de alavanca
fctk 0,7fctm resistência característica do concreto à β ângulo da tensão principal de tração tração ν 0,6(1 – fck/250) (fck em MPa) coeficiente de
fctm 0,3fck2/3 (fck em MPa) resistência média do redução da resistência do concreto fissurado
concreto à tração por força cortante fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento σc tensão principal de compressão do aço σt tensão principal de tração
fyk resistência característica de escoamento do aço τ tensão tangencial da força cortante Fc força de compressão no concreto θ ângulo das bielas de concreto comprimidas Fs força de tração na armadura longitudinal
Analogia de treliça A – Verificação da compressão diagonal do concreto (dados b, d e fck, obter VRd,máx; Vd < VRd,máx)
Modelo resistente à força cortante no estado limite último Compressão diagonal das bielas de concreto (corte a-a) cálculo simplificado
θ (45o) refinado
θ (30o a 45o)
VRd,máx cdfbd45,0 ν θν 2senfbd45,0 cd A1 fck MPa 20 25 30 35
ν 0,552 0,540 0,528 0,516 θ (45o) 0,355 0,434 0,509 0,581 )bd/(V máx,Rd θ (30o) 0,307 0,376 0,441 0,503
obs.: VRd,máx/(bd) em kN/cm2 B – Dimensionamento da armadura transversal (dados Vd, b, d, fck e fyk, obter Asw)
(a) θν=θθν=θ= 2senfbd45,0sencosfbzCsenV cdcdmáx,Rd
cálculo simplificado θ (45o)
refinado θ (30o a 45o) Tração transversal dos estribos (corte b-b)
Asw yd
cd
df9,0s)VV( −
θ−
cotdf9,0s)VV(
yd
cd B1
od VV ≤ od VV >
cV oV oV o
omáx,Rd
dmáx,Rd VVVVV
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−− B2
oV ctdbdf6,0 B3 Asw,mín ykctm f/bsf2,0 B4
fck MPa 20 25 30 35 fctm MPa 2,210 2,565 2,896 3,210 fctd MPa 1,105 1,282 1,448 1,605
)bd/(Vo 0,0663 0,0769 0,0869 0,0963 )bs/(A mín,sw 0,088% 0,103% 0,116% 0,128%
obs.: Vo/(bd) em kN/cm2 e Asw,mín/(bs) para fyk = 500 MPa
(b) cdswcswd VVVouVVV −=+=
(c) θ=θ= cotfs
Ad9,0cotfs
AzV ydsw
ydsw
sw
(b) em (c): θ
−=
cotdf9,0s)VV(A
yd
cdsw
[MUSSO]
τ
τ
τ
τ
τ
σ σt σc 2β
σtσc
σt σc
β
tração compressão
ab
b a
Vsw = (zcotθ/s)Aswfyd
estribos
fissuras
s
θ
zcotθ
Vd
Vc z = 0,9d
Md
número de estribos em zcotθ
b
h Aswd
Fs
Fc
fissuras
C = b(zcosθ)νfcd
θ
zcosθ
Fs
bielas
θ
θ Md
VRd,máx
b
h Aswd z = 0,9d
Fc
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VIGA - GRÁFICO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE
[MUSSO]
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VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE - SIMPLIFICADO
[MUSSO]
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VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE - REFINADO
[MUSSO]
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6.2.4 - VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA PARA FORÇA CORTANTE
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VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA TRANSVERSAL A NÍVEL DE SEÇÃO T1 - Área da seção transversal de estribos de 2 ramos (cm2/m)
Diâmetro da barra (mm) Diâmetro da barra (mm) s cm 5 6,3 8 10 12,5
s cm 5 6,3 8 10 12,5
7 5,61 8,91 14,36 22,44 35,06 19 2,07 3,28 5,29 8,27 12,92 8 4,91 7,79 12,57 19,63 30,68 20 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27 9 4,36 6,93 11,17 17,45 27,27 21 1,87 2,97 4,79 7,48 11,69
10 3,93 6,23 10,05 15,71 24,54 22 1,78 2,83 4,57 7,14 11,16 11 3,57 5,67 9,14 14,28 22,31 23 1,71 2,71 4,37 6,83 10,67 12 3,27 5,20 8,38 13,09 20,45 24 1,64 2,60 4,19 6,54 10,23 13 3,02 4,80 7,73 12,08 18,88 25 1,57 2,49 4,02 6,28 9,82 14 2,80 4,45 7,18 11,22 17,53 26 1,51 2,40 3,87 6,04 9,44 15 2,62 4,16 6,70 10,47 16,36 27 1,45 2,31 3,72 5,82 9,09 16 2,45 3,90 6,28 9,82 15,34 28 1,40 2,23 3,59 5,61 8,77 17 2,31 3,67 5,91 9,24 14,44 29 1,35 2,15 3,47 5,42 8,46 18 2,18 3,46 5,59 8,73 13,64 30 1,31 2,08 3,35 5,24 8,18
T2 - Área da seção transversal de estribos de 3 ramos (cm2/m) Diâmetro da barra (mm) Diâmetro da barra (mm) s cm
5 6,3 8 10 12,5 s cm
5 6,3 8 10 12,5 7 8,41 13,36 21,54 33,66 52,59 19 3,10 4,92 7,94 12,40 19,38 8 7,36 11,69 18,85 29,45 46,02 20 2,95 4,68 7,54 11,78 18,41 9 6,54 10,39 16,76 26,18 40,91 21 2,80 4,45 7,18 11,22 17,53
10 5,89 9,35 15,08 23,56 36,82 22 2,68 4,25 6,85 10,71 16,73 11 5,35 8,50 13,71 21,42 33,47 23 2,56 4,07 6,56 10,24 16,01 12 4,91 7,79 12,57 19,63 30,68 24 2,45 3,90 6,28 9,82 15,34 13 4,53 7,19 11,60 18,12 28,32 25 2,36 3,74 6,03 9,42 14,73 14 4,21 6,68 10,77 16,83 26,30 26 2,27 3,60 5,80 9,06 14,16 15 3,93 6,23 10,05 15,71 24,54 27 2,18 3,46 5,59 8,73 13,64 16 3,68 5,84 9,42 14,73 23,01 28 2,10 3,34 5,39 8,41 13,15 17 3,46 5,50 8,87 13,86 21,66 29 2,03 3,22 5,20 8,12 12,70 18 3,27 5,20 8,38 13,09 20,45 30 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27
T3 - Área da seção transversal de estribos de 4 ramos (cm2/m) Diâmetro da barra (mm) Diâmetro da barra (mm) s cm
5 6,3 8 10 12,5 s cm
5 6,3 8 10 12,5 7 11,22 17,81 28,72 44,88 70,12 19 4,13 6,56 10,58 16,53 25,84 8 9,82 15,59 25,13 39,27 61,36 20 3,93 6,23 10,05 15,71 24,54 9 8,73 13,85 22,34 34,91 54,54 21 3,74 5,94 9,57 14,96 23,37
10 7,85 12,47 20,11 31,42 49,09 22 3,57 5,67 9,14 14,28 22,31 11 7,14 11,34 18,28 28,56 44,62 23 3,41 5,42 8,74 13,66 21,34 12 6,54 10,39 16,76 26,18 40,91 24 3,27 5,20 8,38 13,09 20,45 13 6,04 9,59 15,47 24,17 37,76 25 3,14 4,99 8,04 12,57 19,63 14 5,61 8,91 14,36 22,44 35,06 26 3,02 4,80 7,73 12,08 18,88 15 5,24 8,31 13,40 20,94 32,72 27 2,91 4,62 7,45 11,64 18,18 16 4,91 7,79 12,57 19,63 30,68 28 2,80 4,45 7,18 11,22 17,53 17 4,62 7,33 11,83 18,48 28,87 29 2,71 4,30 6,93 10,83 16,93 18 4,36 6,93 11,17 17,45 27,27 30 2,62 4,16 6,70 10,47 16,36
VIGA - ESPAÇAMENTO LONGITUDINAL E TRANSVERSAL MÁXIMOS Espaçamento longitudinal máximo entre estribos Espaçamento transversal máximo entre ramos
[MUSSO]
st,máx
máx,Rdd V20,0Vse);cm80;d(mín ≤
máx,Rdd V20,0Vse);cm35;d6,0(mín >
φt > 5 mm < b/10
máx,Rdd V67,0Vse);cm30;d6,0(mín ≤
máx,RdSd V67,0Vse);cm20;d3,0(mín >sl,máx
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VIGA - TIPOS DE ANCORAGEM DA ARMADURA TRANSVERSAL
[NBR 6118]
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6.2.5 - VIGA - DIMENSIONAMENTO À MOMENTO TORÇOR (ELU-T)
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VIGA - FORMULÁRIO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO TORÇOR (ELU-T)
A bh área da seção transversal Fs força de tração na armadura longitudinal Ae xeye área limitada pela linha média da seção h altura da seção transversal vazada s espaçamento longitudinal entre estribos
As área da seção da armadura longitudinal 100 cm (para obter Asw em cm2/m) tracionada te máximo(A/u; 2c1); < b/2; < h/2 espessura da
As,mín área mínima da seção da armadura longitudinal parede da seção vazada no perímetro ue Td 1,4(TG + TQ) momento torçor de cálculo
Asw área da seção da armadura transversal TRd,máx momento torçor de cálculo máximo resistido por Asw,mín área mínima da seção da armadura transversal compressão diagonal das bielas de concreto
b largura da seção transversal TG momento torçor da ação permanente G c1 cm52/c tt ≈φ+φ+ TQ momento torçor da ação variável Q ct cobrimento do estribo u 2(b + h) perímetro da seção transversal d altura útil da seção transversal ue 2(xe + ye) perímetro da área Ae fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à xe b – te largura da área Ae compressão ye h – te altura da área Ae
fck resistência característica do concreto à φ diâmetro da armadura longitudinal compressão aos 28 dias φt diâmetro da armadura transversal
fctm 0,3fck2/3 (fck em MPa) resistência média do κ 0,5(1 – fck/250) (fck em MPa) coeficiente de
concreto à tração redução da resistência do concreto fissurado fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento por momento torçor do aço τ tensão tangencial do momento torçor
fyk resistência característica de escoamento do aço θ ângulo das bielas comprimidas de concreto Seção vazada de cálculo com espessura te Modelo resistente à momento torçor no estado limite
último Compressão diagonal e tração longitudinal (1 parede)
A – Verificação da compressão diagonal do concreto (dados b, h e fck, obter TRd,máx; Td < TRd,máx)
simplificado refinado cálculo θ (45o) θ (30o a 45o)
TRd,máx cdee ftA κ θκ 2senftA cdee A1 fck MPa 20 25 30 35
κ 0,460 0,450 0,440 0,430θ (45o) 0,657 0,804 0,943 1,075)tA/(T eemáx,Rd θ (30o) 0,569 0,696 0,817 0,931
obs.: TRd,máx/(Aete) em kN/cm2 B – Dimensionamento da armadura transversal (dados Td, b, h e fyk, obter Asw por parede)
(a) θθκ=θ= sencosfytCsenA2
yTcdee
e
emáx,Rd
ou θκ= 2senftAT cdeemáx,Rd (b) ydeess fy)u/A()2/F(2cosC ==θ
(c) θ=θθ=θ= tanfyuAtan)cosC(Csen
A2yT
ydee
s
e
ed
ou θ
=tanfA2
uTAyde
eds
simplificado refinado Tração transversal (1 parede) cálculo θ (45o) θ (30o a 45o)
Asw yde
d
fA2sT
θcotfA2sT
yde
d B1
Asw,mín ykctme f/sft2,0 B2 C – Dimensionamento da armadura longitudinal (dados Td, b, h e fyk, obter As total no perímetro ue)
simplificado refinado cálculo θ (45o) θ (30o a 45o)
As yde
ed
fA2uT
θtanfA2uT
yde
ed C1
As,mín ykctmee f/fut2,0 C2
(d) ydswe
e
ed fAscoty
A2yT θ
= ou θ
=cotfA2sTA
yde
dsw
[MUSSO]
torçãodefluxo)t( e =τ
ee2ee1 x)t(V;y)t(V τ=τ= 2/yV22/xV2T e2e1d += eeeeee yx)t(xy)t( τ+τ=
∴τ= ee A)t(2e
de A2
T)t( =τ
e
ed1 A2
yTV = ; e
ed2 A2
xTV =
Td
V2
Td ye
xe
V1
V2
V1
te Ae
(xeye)
seção real
seção de cálculo
e
emáx,Rd
A2yT
e
ed
A2yT
fissura
C = te(yecosθ)κfcd
θ
yecosθ
Fs/2 = (As/ue)yefyd/2
biela
θ
θ
Fs/2
ye
armadura longitudinal na parede ye
b
h
As
d
Ae, ue
te
A, u
Td
(yecotθ/s)Aswfyd
estribos
fissuras
s
θ
yecotθ
ye
número de estribos em yecotθ
b
h
Asw
d
Ae, ue
te
A, u
Td e
ed
A2yT
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VIGA - DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À M. TORÇOR, M. FLETOR E FORÇA CORTANTE A – Verificação da compressão diagonal do concreto A bh área da seção transversal (dados Vd, Td, b, h e fck: Vd/ VRd,máx + Td/ TRd,máx < 1) Ae xeye área limitada pela linha média da seção
simplificado refinado vazada cálculo θ (45o) θ (30o a 45o) As,M área da seção da armadura longitudinal
VRd,máx cdfbd45,0 ν θν 2senfbd45,0 cd A1 tracionada para Md fck MPa 20 25 30 35 As,T área da seção da armadura longitudinal
ν 0,552 0,540 0,528 0,516 tracionada para Td simplificado refinado Asw,T área da seção da armadura transversal para Td cálculo
θ (45o) θ (30o a 45o) Asw,V área da seção da armadura transversal para Vd TRd,máx cdee ftA κ θκ 2senftA cdee A2 b largura da seção transversal
fck MPa 20 25 30 35 c1 cm52/c tt ≈φ+φ+ κ 0,460 0,450 0,440 0,430 ct cobrimento do estribo
Superposição de força cortante e momento torçor d altura útil da seção transversal fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à 1
TT
VV
máx,Rd
d
máx,Rd
d ≤+ A3 compressão
B – Dimensionamento da armadura transversal fck resistência característica do concreto à (dados Vd, Td, b, d, h, fck e fyk, obter Asw,total) compressão aos 28 dias
simplificado refinado fctd fctk/1,4 resist. de cálculo do concreto à tração cálculo θ (45o) θ (30o a 45o) fctk 0,7fctm resist. característica do concreto à tração
fctm 0,3fck2/3 (fck em MPa) resistência média do
Asw,V yd
cd
df9,0s)VV( −
θ−
cotdf9,0s)VV(
yd
cd B1 concreto à tração
od VV ≤ od VV > fyd fyk/1,15 resist. de cálculo de escoamento do aço
B2 fyk resistência característica de escoamento do aço cV oV oV o
omáx,Rd
dmáx,Rd VVVVV
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
h altura da seção transversal
oV ctdbdf6,0 B3 Md 1,4(MG + MQ) momento fletor de cálculo fck MPa 20 25 30 40 Md,lim momento fletor de cálculo máximo com fctd MPa 1,105 1,282 1,448 1,605 armadura simples
)bd/(Vo kN/cm2 0,0663 0,0769 0,0869 0,0963 s espaçamento longitudinal entre estribos simplificado refinado 100 cm (para obter Asw em cm2/m) cálculo
θ (45o) θ (30o a 45o) te máximo(A/u; 2c1); < b/2; < h/2 espessura da parede da seção vazada Asw,T
por parede yde
d
fA2sT
θcotfA2sT
yde
d B4Td 1,4(TG + TQ) momento torçor de cálculo
Superposição de armaduras transversais TRd,máx momento torçor de cálculo máximo resistido por T,swV,swtotal,sw A2AA += B5 compressão diagonal das bielas de concreto
C – Dimensionamento da armadura longitudinal ue 2(xe + ye) perímetro da área Ae (dados Md, Td, b, d, h, fck e fyk, obter As por face) u 2(b + h) perímetro da seção transversal
fck < 35 MPa > 35 MPa cV força cortante resistida por outros mecanismos xlim 0,5d 0,4d C1 Vd 1,4(VG + VQ) força cortante de cálculo
Md,lim cd2fbd272,0 cd
2fbd22848,0 C2 VRd,máx força cortante de cálculo máxima resistida por Armadura simples (seção com As; Md < Md,lim; x < xlim) compressão diagonal das bielas de concreto
xe b – te largura da área Ae C3 ye h – te altura da área Ae
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−=
cd2
d
fbd425,0M
11d25,1x x profundidade da linha neutra no estádio 3 (ELU)
ydcdM,s f/bxf68,0A = (face tracionada) C4 xlim profundidade máxima da linha neutra para simplificado refinado ruptura dúctil da seção (ruptura com aviso) cálculo
θ (45o) θ (30o a 45o) φ diâmetro da armadura longitudinal φt diâmetro da armadura transversal As,T
em ue yde
ed
fA2uT
θtanfA2uT
yde
ed C5κ 0,5(1 – fck/250) (fck em MPa) coeficiente de
Superposição de armaduras longitudinais redução da resist. do concreto fissurado por Td eeT,sMporcomprimidaface,s u/xAA = C6 ν 0,6(1 – fck/250) (fck em MPa) coeficiente de
eeT,slateralfacecada,s u/yAA = C7 redução da resist. do concreto fissurado por Vd
eeT,sM,sMportracionadaface,s u/xAAA += C8 θ ângulo das bielas comprimidas de concreto [MUSSO]
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VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO TORÇOR - SIMPLIFICADO
[MUSSO]
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VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO TORÇOR - REFINADO
[MUSSO]
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6.2.6 - VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA PARA MOMENTO TORÇOR
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VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL E TRANSVERSAL A NÍVEL DE SEÇÃO T1 - Área da seção transversal de Q barras longitudinais (cm2)
Q Diâmetro da barra (mm) 5 6,3 8 10 12,5 16 20 22 25 1 0,20 0,31 0,50 0,79 1,23 2,01 3,14 3,80 4,91 2 0,39 0,62 1,01 1,57 2,45 4,02 6,28 7,60 9,82 3 0,59 0,94 1,51 2,36 3,68 6,03 9,42 11,40 14,73 4 0,79 1,25 2,01 3,14 4,91 8,04 12,57 15,21 19,63 5 0,98 1,56 2,51 3,93 6,14 10,05 15,71 19,01 24,54 6 1,18 1,87 3,02 4,71 7,36 12,06 18,85 22,81 29,45 7 1,37 2,18 3,52 5,50 8,59 14,07 21,99 26,61 34,36 8 1,57 2,49 4,02 6,28 9,82 16,08 25,13 30,41 39,27 9 1,77 2,81 4,52 7,07 11,04 18,10 28,27 34,21 44,18
10 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27 20,11 31,42 38,01 49,09 11 2,16 3,43 5,53 8,64 13,50 22,12 34,56 41,81 54,00 12 2,36 3,74 6,03 9,42 14,73 24,13 37,70 45,62 58,90 13 2,55 4,05 6,53 10,21 15,95 26,14 40,84 49,42 63,81 14 2,75 4,36 7,04 11,00 17,18 28,15 43,98 53,22 68,72 15 2,95 4,68 7,54 11,78 18,41 30,16 47,12 57,02 73,63 16 3,14 4,99 8,04 12,57 19,63 32,17 50,27 60,82 78,54 17 3,34 5,30 8,55 13,35 20,86 34,18 53,41 64,62 83,45 18 3,53 5,61 9,05 14,14 22,09 36,19 56,55 68,42 88,36 19 3,73 5,92 9,55 14,92 23,32 38,20 59,69 72,23 93,27 20 3,93 6,23 10,05 15,71 24,54 40,21 62,83 76,03 98,17 21 4,12 6,55 10,56 16,49 25,77 42,22 65,97 79,83 103,08 22 4,32 6,86 11,06 17,28 27,00 44,23 69,12 83,63 107,99 23 4,52 7,17 11,56 18,06 28,23 46,24 72,26 87,43 112,90
T2 - Área da seção transversal de estribos de 1 ramo (cm2/m) Diâmetro da barra (mm) Diâmetro da barra (mm) s cm
5 6,3 8 10 12,5 s cm
5 6,3 8 10 12,5 7 2,80 4,45 7,18 11,22 17,53 19 1,03 1,64 2,65 4,13 6,46 8 2,45 3,90 6,28 9,82 15,34 20 0,98 1,56 2,51 3,93 6,14 9 2,18 3,46 5,59 8,73 13,64 21 0,93 1,48 2,39 3,74 5,84
10 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27 22 0,89 1,42 2,28 3,57 5,58 11 1,78 2,83 4,57 7,14 11,16 23 0,85 1,36 2,19 3,41 5,34 12 1,64 2,60 4,19 6,54 10,23 24 0,82 1,30 2,09 3,27 5,11 13 1,51 2,40 3,87 6,04 9,44 25 0,79 1,25 2,01 3,14 4,91 14 1,40 2,23 3,59 5,61 8,77 26 0,76 1,20 1,93 3,02 4,72 15 1,31 2,08 3,35 5,24 8,18 27 0,73 1,15 1,86 2,91 4,55 16 1,23 1,95 3,14 4,91 7,67 28 0,70 1,11 1,80 2,80 4,38 17 1,15 1,83 2,96 4,62 7,22 29 0,68 1,07 1,73 2,71 4,23 18 1,09 1,73 2,79 4,36 6,82 30 0,65 1,04 1,68 2,62 4,09
T3 - Área da seção transversal de estribos de 2 ramos (cm2/m) Diâmetro da barra (mm) Diâmetro da barra (mm) s cm
5 6,3 8 10 12,5 s cm
5 6,3 8 10 12,5 7 5,61 8,91 14,36 22,44 35,06 19 2,07 3,28 5,29 8,27 12,92 8 4,91 7,79 12,57 19,63 30,68 20 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27 9 4,36 6,93 11,17 17,45 27,27 21 1,87 2,97 4,79 7,48 11,69
10 3,93 6,23 10,05 15,71 24,54 22 1,78 2,83 4,57 7,14 11,16 11 3,57 5,67 9,14 14,28 22,31 23 1,71 2,71 4,37 6,83 10,67 12 3,27 5,20 8,38 13,09 20,45 24 1,64 2,60 4,19 6,54 10,23 13 3,02 4,80 7,73 12,08 18,88 25 1,57 2,49 4,02 6,28 9,82 14 2,80 4,45 7,18 11,22 17,53 26 1,51 2,40 3,87 6,04 9,44 15 2,62 4,16 6,70 10,47 16,36 27 1,45 2,31 3,72 5,82 9,09 16 2,45 3,90 6,28 9,82 15,34 28 1,40 2,23 3,59 5,61 8,77 17 2,31 3,67 5,91 9,24 14,44 29 1,35 2,15 3,47 5,42 8,46 18 2,18 3,46 5,59 8,73 13,64 30 1,31 2,08 3,35 5,24 8,18
VIGA - ESPAÇAMENTO LONGITUDINAL E DISTRIBUIÇÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL Espaçamento longitudinal máximo entre estribos Distribuição da armadura longitudinal
[MUSSO]
< 35 cm
φt > 5 mm < b/10
45o
φ > φt (b < h)
sl,máx 67,0
VV
TTse);cm30;d6,0(mín
2Rd
Sd
2Rd
Sd ≤+
67,0VV
TTse);cm20;d3,0(mín
2Rd
Sd
2Rd
Sd >+
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6.3 - VIGA - VERIFICAÇÃO NO ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS)
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6.3.1 - VIGA - VERIFICAÇÃO DE FLECHA (ELS-DEF)
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VIGA - VERIFICAÇÃO DE FLECHA EM VIGA DE SEÇÃO RETANGULAR (ELS-DEF)
As área da seção da armadura longitudinal Lbal comprimento do balanço tracionada MG momento fletor da ação permanente G sA′ área da seção da armadura longitudinal MQ momento fletor da ação variável Q comprimida MQP MG + ψ2MQ momento fletor da ação quase
b largura da seção transversal permanente pQP (momento positivo no vão; d altura útil da seção transversal momento no engaste, no caso de balanço) distância do centróide da armadura tracionada Mr Wcfctf momento fletor de fissuração à borda comprimida da seção transversal n Es/Ecs razão entre os módulos de elasticidade
d′ distância do centróide da armadura comprimida do aço e do concreto à borda comprimida da seção transversal pQP G + ψ2Q ação quase permanente
d ′′ h - d Q ação variável Ecs 4760fck
1/2 MPa módulo de elasticidade secante x2 profundidade da linha neutra no estádio 2 do concreto xc profundidade da linha neutra da seção bruta
Es 210000 MPa módulo de elasticidade do aço distância do centróide da seção bruta à fibra fck resistência característica do concreto à extrema comprimida compressão aos 28 dias t tempo que se deseja calcular a flecha (meses)
fctf αfctm resistência do concreto à tração na flexão to idade do concreto ao entrar em carga (meses) fctm 0,3fck
2/3 (fck em MPa) resistência média do yt h - xc distância do centróide da seção bruta à concreto à tração fibra extrema tracionada
fdiferida flecha do efeito da fluência do concreto Wc Ic/yt (bh2/6 para seção retangular) felástica flecha obtida com p = pQP, E = Ecs e I = Ic módulo resistente da seção bruta fimediata flecha da viga ao entrar em carga α 1,0 (EC2); 1,5 seção retangular (NBR 6118) flimite flecha máxima para limitar efeito visual αf coeficiente para levar em conta a fluência do
desagradável concreto no cálculo da flecha diferida ftotal fimediata + fdiferida flecha total ψ2 0,3 para edifícios residenciais G ação permanente 0,4 para edifícios comerciais, de escritórios, h altura da seção transversal estações e edifícios públicos I2 momento de inércia da seção no estádio 2 0,6 para bibliotecas, oficinas e garagens Ic bh3/12 para seção retangular fator de redução da ação variável para momento de inércia da seção bruta combinação de ação quase permanente
Ie momento de inércia efetivo da seção ρ’ As’/(bd) taxa geométrica de armadura L vão entre apoios longitudinal comprimida
A – Flecha elástica F - Parâmetros auxiliares elásticaf fck MPa 20 25 30 35
(ver flechas em diversos sistemas) A1
fctm MPa 2,210 2,565 2,896 3,210 B – Flecha imediata fctf MPa 3,316 3,847 4,345 4,815
Ecs MPa 21287 23800 26072 28161 n = Es/Ecs 9,865 8,824 8,055 7,457
e
celásticaimediata I
Iff = B1
G – Seção equivalente (seção fissurada – estádio 2) seção fissurada (MQP > Mr)
2
3
QP
rc
3
QP
re I
MM
1IMM
I⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= (BRANSON) B2
seção não fissurada (MQP < Mr) ce II = B3
C – Flecha diferida imediatafdiferida ff α= C1
seção real seção equivalente de concreto
'501)t()t( o
f ρ+ξ−ξ
=α C2 )a2/(]aa4aa[x 1312
222 −+−= G1
)meses70t( ≤ξ 32,0t t)996,0(68,0 2/ba1 = G2 )meses70t( >ξ 2
C3 ss2 A)1n(nAa ′−+= G3
t meses 1 3 6 12 > 70 dA)1n(dnAa ss3 ′′−−−= G4 ξ(t) 0,68 0,95 1,18 1,44 2,00
D – Flecha total itelimdiferidaimediatatotal ffff ≤+= D1
22s
22s
32
2 )dx(A)1n()xd(nA3
bxI ′−′−+−+= G5
E – Flecha limite
250Lf itelim = (L = 2Lbal, no caso de balanço) E1
profundidade da l. neutra
∑∑= iii AAxx momento de inércia
∑ Δ+= )AI(I 2iii
[MUSSO]
d
b
As
LN sA′
d′
x2
d
b
nAs
LN (n-1) sA′
d′
x2
d-x2
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VIGA - GRÁFICO DE PROFUNDIDADE DA LINHA NEUTRA DE SEÇÃO RETANGULAR NO ESTÁDIO 2
[MUSSO]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 64
VIGA - GRÁFICO DE MOMENTO DE INÉRCIA DE SEÇÃO RETANGULAR NO ESTÁDIO 2
[MUSSO]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 65
VIGA - GRÁFICO DE MOMENTO DE INÉRCIA EFETIVO DE SEÇÃO RETANGULAR - BRANSON
[MUSSO]
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6.3.2 - VIGA - VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA (ELS-W)
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VIGA - VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA EM VIGA DE SEÇÃO RETANGULAR (ELS-W)
Seção não Fissurada (Estádio 1) wk = 0
Módulo de Elasticidade do Aço Es e Módulo de Elasticidade Secante do Concreto Ecs aço Es = 210.000 MPa (11) concreto 2/1
ck2/1
ckcics f4760f)5600(85,0E85,0E === MPa (12)
Verificação da Segurança ELS-W
wk < wlim (15)
[MUSSO]
Momento Fletor de Cálculo MF
MF = MGk + ψ1MQ1k + nψ2jMQjk (1)
(combinação freqüente) MGk parcela permanente ψ1MQ1k parcela variável principal
nψ2jMQjk demais parcelas variáveis
Tabela 1 – Coeficientes Ψ1 e Ψ2 Finalidade da Estrutura ψ1 ψ2 edifício residencial 0,4 0,3 edifício comercial 0,6 0,4 biblioteca; oficina; garagem 0,7 0,6
Momento de Fissuração Mr,w É o valor do momento fletor que produz na seção bruta (secão de concreto desprezando armadura) uma tensão igual a fct,f na fibra extrema tracionada
W,ctcW,r fWM = (2) Wc módulo resistente da seção bruta em relação a fibra extrema tracionada tc y/I= (3) Ic momento de inércia da seção bruta yt distância do centróide à fibra ext. tracionada fct,W resistência do concreto à tração na flexão
(módulo de ruptura) (MPa) )gulartanreseção(f05,1 ctm= (NBR 6118) (4a)
)Tseção(f84,0 ctm= (NBR 6118) (4b) )2EC(fctm= (4c)
MF < Mr,w ? Sim Não
Seção Fissurada (Estádio 2)
)6(454E5,12
w);5(f3
E5,12w
rs
s
12
ctm
s
s
s
11 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
ρσ
ηφ
=σσ
ηφ
=
)w;w(mínimow 21k = (7) wk abertura de fissura característica φ diâmetro da barra da armadura longitudinal η1 coeficiente de conformação superficial da barra σs tensão no aço tracionado no estádio 2 Es módulo de elasticidade do aço fctm resistência média do concreto à tração = 0,3fck
2/3 (MPa) (8) ρr taxa de armadura As na região de envolvimento Acr
= As/Acr (9) As área de aço da armadura longitudinal tracionada Acr área da região de envolvimento
Área de Envolvimento Acr
Acr = mín[(y+7,5φ); h/2].b (10)
d h Acr
b
< h/2
7,5φ
y
φ
Tensão no Aço Tracionado na Seção Fissurada σs (Estádio 2 puro)
)xd(IM
nn 22
Fcs −=σ=σ (14)
n razão Es/Ecs (13) MF momento fletor para combinação frequente I2 momento de inércia da seção no estádio 2 d altura útil da seção x2 profundidade da linha neutra no estádio 2
x2; I2 (ver ELS-DEF)
Tabela 2 - Coeficiente de Conformação Superficial η1 Tipo de Barra η1
lisa (CA-25) 1,00
entalhada (CA-60) 1,40
alta aderência (CA-50) 2,25
Tabela 3 - Abertura de Fissura Limite wlim Classe de
Agressividade Ambiental
Agressividade Tipo de Ambiente wlim (mm)
I fraca rural ou submerso 0,4 II moderada urbano III forte marinho ou industrial 0,3
IV muito forte indústrias químicas ou respingos de maré 0,2
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6.4 - VIGA - EXEMPLOS
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VIGA BIAPOIADA - (b = 20 cm; C25)
[MUSSO]
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VIGA MONOENGASTADA - (b = 20 cm; C25)
[MUSSO]
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VIGA BIENGASTADA - (b = 20 cm; C25)
[MUSSO]
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VIGA EM BALANÇO - (b = 20 cm; C25)
[MUSSO]
7 - LAJE
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7.1 - LAJE - DEFINIÇÕES
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LAJE - SISTEMAS ESTRUTURAIS DE LAJES MACIÇAS E LAJES NERVURADAS
Lajes Maciças Lajes Nervuradas
Laje maciça com vigas Laje nervurada com vigas
Laje maciça lisa Laje nervurada com capitel Laje cogumelo nervurada
Laje maciça com capitel Laje cogumelo maciça Laje nervurada com vigas integradas
[MUSSO]
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7.2 - LAJE - ANÁLISE
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LAJE - VÃO EFETIVO DE LAJES
[NBR 6118]
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LAJE - CRITÉRIO SIMPLIFICADO DE ENGASTAMENTO DE LAJES CONTÍNUAS COM APOIOS LINEARES Esquema 1
Engastar L1 em L2 Engastar L2 em L1 se 0,8a2 < a1
Esquema 2
a1 < a2
L1 L2
a2
Engastar L1 em L2 Engastar L2 em L1 se 0,8a2 < a1 e x > 2y/3
Engastar L3 em L2
a1 < a2
L1 L2
a2
x y
vazio
L3
a3
laje
em
ba
lanç
o
Exemplo [MUSSO]
4 m
L1 L3
5 m
5m
vazio
L4
1 m
laje
em
ba
lanç
o
7m
6 m
L2
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LAJE - ÁREAS PARA FORÇA CORTANTE EM LAJES COM CARGA UNIFORME E APOIOS LINEARES
[MUSSO]
a b
45o 45o
45o 45oa/
2 a/
2
[ab-
a2 /2]/2
a2/4
a2/4
[ab-
a2 /2]/2
a/2 a/2
a
b
30o 45o
30o 45o
[(3-3
1/2 )a
b-(2
.31/
2 -3)a
2 ]/2
(31/
2 -1)a
/2
(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2
(31/2-1)a2/4
(31/
2 -1)a
/2
(31/2-1)a2/4 [(31/
2 -1)a
b-(2
-31/
2 )a2 ]/2
b/a > 31/2-1 4
a
b
30o 30o
30o 30o
[ab-
31/2 a2 /6
]/2
[ab-
31/2 a2 /6
]/2
31/2a2/12
31/2a2/12
31/2 a/
631/
2 a/6
a/2 a/2
b/a > 31/2/3 7
a
b
30o 45o
45o 60o
(3-3
1/2 )[a
b/2-
a2 /4]
(3-3
1/2 )a
/2
(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2
(31/2-1)a2/4
(31/
2 -1)a
/2
(3-31/2)a2/4
(31/
2 -1)[a
b/2-
a2 /4]
a
b
45o 60o
45o 60o
[(3-3
1/2 )a
b-3(
2-31/
2 )a2 ]/2
(3-3
1/2 )a
/2
(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2
(3-31/2)a2/4
(3-3
1/2 )a
/2
(3-31/2)a2/4
[(31/
2 -1)a
b-(2
.31/
2 -3)a
2 ]/2
b/a > 1 b/a > 3-31/2
5 6a
b
a
45o 30o
45o 30ob/
2 b/
2
b2 /4
b/2
31/2 b2 /1
2
[ab-(31/2+3)b2/12]/2
31/2b/6
[ab-(31/2+3)b2/12]/2
b/a < 3-31/2
6b
a
b
30o 30o
45o
[ab-
(31/
2 +3)a
2 /12]
/2 31/2a2/12
31/2 a/
6a/
2[ab-
(31/
2 +3)a
2 /12]
/2
a2/4
45o
a/2 a/2
a
b
45o 45o
45o 45o
a/2
a/2
[ab-
a2 /2]/2
a2/4
a2/4
[ab-
a2 /2]/2
a/2 a/2
b/a > (31/2+3)/6 b/a > 1 8 9
b
a
30o 30o
30o 30ob/
2 b/
2
31/2 b2 /1
2
31/2b/6
31/2 b2 /1
2
[ab-31/2b2/6]/2
31/2b/6
[ab-31/2b2/6]/2
b/a > 31/2 b/a < 31/2
3a 3b a
b
60o 60o
60o 60o
31/2 a/
2 [ab-
31/2 a2 /2
]/2
31/2a2/4
31/2a2/4
31/2 a/
2
[ab-
31/2 a2 /2
]/2
a/2 a/2
a
b
45o 45o
60o 60o
a/2
31/2 a/
2
[ab-
(31/
2 +1)a
2 /4]/2
a2/4
31/2a2/4
a/2 a/2
[ab-
(31/
2 +1)a
2 /4]/2
b
a
45o 45o
30o 30o
(31/
2 -1)b
/2
(3-3
1/2 )b
/2
(31/
2 -1)b
2 /4
(31/2-1)b/2
(31/
2 -1)b
2 /4
[(3-31/2)ab-(2.31/2-3)b2]/2
[(31/2-1)ab-(2-31/2)b2]/2
(31/2-1)b/2
b/a > 1 b/a > (31/2+1)/2 b/a < (31/2+1)/2 1 2a 2b
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LAJE - FORÇA CORTANTE EM LAJES COM CARGA UNIFORME E APOIOS LINEARES (β = b/a)
[MUSSO]
a b
45o 45o
45o 45oa/
2 a/
2 pa[1
-1/(2
β)]/2
pa/4
pa/4
a/2 a/2 β > 31/2-1 a
b
30o 45o
30o 45o
pa[(3
-31/
2 )-(2
.31/
2 -3)/β
]/2
(31/
2 -1)a
/2
(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2
pa(31/2-1)/4
(31/
2 -1)a
/2
pa(31/2-1)/4
pa[(3
1/2 -1
)-(2-
31/2 )/β
]/2
4
a
b
30o 30o
30o 30o
pa[1
-31/
2 /(6β)
]/2
pa[1
-31/
2 /(6β)
]/2
pa31/2/12
pa31/2/12
31/2 a/
631/
2 a/6
a/2 a/2
β > 31/2/3 7
β > 3-31/2a
b
30o 45o
45o 60o
pa(3
-31/
2 )[1/2
-1/(4
β)]
(3-3
1/2 )a
/2
(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2
pa(31/2-1)/4
(31/
2 -1)a
/2
pa(3-31/2)/4
pa(3
1/2 -1
)[1/2
-1/(4
β)]
a
b
45o 60o
45o 60o
pa[(3
-31/
2 )-3(
2-31/
2 )/β]/2
(3-3
1/2 )a
/2
(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2
pa(3-31/2)/4
(3-3
1/2 )a
/2
pa(3-31/2)/4 pa[(3
1/2 -1
)-(2.
31/2 -3
)/β]/2
β > 1 5 6a
b
a
45o 30o
45o 30ob/
2 b/
2
paβ/
4
b/2
pa31/
2 β/12
pa[β-(31/2+3)β2/12]/2
31/2b/6
pa[β-(31/2+3)β2/12]/2
β < 3-31/2
6b
a
b
30o 30o
45o
pa[1
-(31/
2 +3)/(
12β)
]/2 pa31/2/12
31/2 a/
6a/
2pa[1
-(31/
2 +3)/(
12β)
]/2
pa/4 45o
a/2 a/2
a
b
45o 45o
45o 45o
a/2
a/2
pa[1
-1/(2
β)]/2
pa/4
pa/4
pa[1
-1/(2
β)]/2
a/2 a/2
β > (31/2+3)/6 β > 1 8 9
β < 31/2b
a
30o 30o
30o 30ob/
2 b/
2 pa31/
2 β/12
31/2b/6
pa31/
2 β/12
pa[β-31/2β2/6]/2
31/2b/6
pa[β-31/2β2/6]/2
β > 31/2
3a 3b a
b
60o 60o
60o 60o
31/2 a/
2
pa[1
-31/
2 /(2β)
]/2
pa31/2/4
pa31/2/4
31/2 a/
2
pa[1
-31/
2 /(2β)
]/2
a/2 a/2
a
b
45o 45o
60o 60o
a/2
31/2 a/
2
pa[1
-(31/
2 +1)/(
4β)]/
2
pa/4
pa31/2/4
a/2 a/2
β < (31/2+1)/2
b
a
45o 45o
30o 30o
(31/
2 -1)b
/2
(3-3
1/2 )b
/2
pa(3
1/2 -1
)β/4
(31/2-1)b/2
pa(3
1/2 -1
)β/4
pa[(3-31/2)β-(2.31/2-3)β2]/2
pa[(31/2-1)β-(2-31/2)β2]/2
(31/2-1)b/2
β > 1 β > (31/2+1)/2 1 2a 2b
pa[1
-1/(2
β)]/2
pa[1
-(31/
2 +1)/(
4β)]/
2
LAJE - ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES (ν = 0,2) multiplicar
[MUSSO]
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LAJE - ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES (ν = 0,2) dividir
[MUSSO]
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LAJE - ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES - (ν = 0,0)
[CZERNY]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 83
LAJE - ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES - (ν = 0,15)
[BARES]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 84
LAJE - INFLUENCIA DO MÓDULO DE POISSON
[BARES]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 85
LAJE - INFLUENCIA DO MÓDULO DE POISSON
[BARES]
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LAJE - INFLUENCIA DO MÓDULO DE POISSON
[BARES]
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LAJE - MOMENTOS E FLECHAS EM LAJE COM APOIOS INTERNOS PONTUAIS - PAINEL DE CANTO
[EISENBIEGLER]
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7.3 - LAJE - DIMENSIONAMENTO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU)
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 89
LAJE - DIMENSÕES LIMITES DE LAJES
[NBR 6118]
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7.3.1 - LAJE - DIMENSIONAMENTO À MOMENTO FLETOR (ELU-M)
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LAJE - FORMULÁRIO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÂO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR (ELU-M)
As área da seção da armadura longitudinal fyk resistência característica de escoamento do aço tracionada h altura da seção transversal sA′ área da seção da armadura longitudinal Md 1,4(MG + MQ) momento fletor de cálculo comprimida Md,lim momento fletor de cálculo máximo com
As,mín área mínima da seção da armadura longitudinal armadura simples tracionada MG momento fletor da ação permanente G
As,lim área da seção da armadura tracionada MQ momento fletor da ação variável Q correspondente a Md,lim T força de tração na armadura longitudinal b largura da seção transversal x profundidade da linha neutra no estádio 3 (ELU) C força de compressão no concreto xlim profundidade máxima da linha neutra para d altura útil da seção transversal ruptura dúctil da seção (ruptura com aviso) distância do centróide da armadura tracionada à z braço de alavanca (braço do binário) borda comprimida da seção transversal encurtamento da fibra extrema de concreto εc
d′ fyd/Es deformação de escoamento do aço distância do centróide da armadura comprimida εyd à borda comprimida da seção transversal εs alongamento da armadura tracionada
d ′′ h - d sε′ encurtamento da armadura comprimida dlim altura útil mínima com armadura simples ξ x/d profundidade da linha neutra adimensional Es 210000 MPa módulo de elasticidade do aço λ 0,8 coeficiente de redução da altura comprimida fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à da seção (diagrama retangular x parabólico) compressão η 0,85 coeficiente de redução da resistência de
fck resistência característica do concreto à cálculo do concreto à compressão compressão aos 28 dias μ Md/(bd2ηfcd) momento fletor adimensional
fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento sdσ′ tensão de compressão na armadura longitudinal do aço
A – Momento fletor de cálculo máximo com armadura simples (dados b, d e fck, obter Md,lim)
Modelo resistente à momento fletor no estado limite último
fck < 35 MPa > 35 MPa Armadura simples (seção com As; Md < Md,lim; x < xlim) xlim 0,5d 0,4d A1
Md,lim cd2fbd272,0 cd
2fbd22848,0 A2
As,lim ydcd f/bdf34,0 ydcd f/bdf272,0 A3B – Altura útil mínima da seção com armadura simples (dados Md e b, obter dlim)
fck < 35 MPa > 35 MPa
dlimcd
d
bf272,0M
cd
d
bf22848,0M B1
C - Dimensionamento da armadura longitudinal (dados Md, b, d, fck e fyk, obter As e As’) Armadura simples (seção com As; Md < Md,lim; x < xlim)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−=
cd2
d
fbd425,0M11d25,1x C1
ydcds f/bxf68,0A = C2( )bhf/f035,0%;15,0máximoA ydcdmín,s = C3
fck MPa 20 25 30 35
b η
(a) )2/xd(fxb)x(fCzM cdd λ−ηλ=== (b) ydcdscdyds f/fxbAoufxbCfAT ηλ=ηλ===
:fbd)a( cd2η÷ ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ λ−
λ=
η d2x1
dx
fbdM
cd2
d ou
( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
η−−
λ==μ−−=λξ
=μ+λξ−λξ∴λξ−λξ=λξ−λξ=μ
cd2
dd
22
fbdM211d)M(fxou211)c(
0)(2/)(2/)()(2/1
As,mín/(bh) 0,150% 0,150% 0,173% 0,201% Armadura dupla (seção com As e ; MsA′ d > Md,lim; x = xlim)
Armadura dupla (seção com As e ; MsA′ d > Md,lim; x = xlim)
)dd(fMM
AAyd
lim,ddlim,ss ′−
−+= C4
)dd(MM
Asd
lim,dds ′−σ′
−=′ C5
ydsydsd sef ε≥ε′=σ′ ; σ ydssssd seE ε<ε′ε′=′ C6fck < 35 MPa > 35 MPa
sε′ )d/d5,0(007,0 ′− )d/d4,0(00875,0 ′− C7fyk 250 MPa 500 MPa 600 MPa εyd 1,035‰ 2,070‰ 2,484‰ C8
(d) lim,ddlim,dd MMMouMMM −=ΔΔ+= (e) )]dd(/[MAou)dd(AM sdssds ′−σ′Δ=′′−σ′′=Δ (f) ydsdslim,sssdsydlim,syds f/AAAouAfAfA σ′′+=σ′′+=
[MUSSO]
x
Md
λx
T = Asfyd
C = bλxηfcd
2/xdz λ−=
fcd
h d As
ηfcd
LN
′d′
xlim
Md
Asfyd
sdsA σ′′
=
sdsA σ′′
sdsA σ′′
ΔMd-d´
As,limfyd
Md,lim
λxlim
+
ηfcdηfcd
d
b
As
LN
d′
sA′xlim
εc = 3,5‰
d ′′
εs
d sε′
d′
lim
lim
s
x‰5,3dx
=
′−ε′
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LAJE - PARÂMETROS ADIMENSIONAIS DE DIMENSIONAMENTO A MOMENTO FLETOR
[MUSSO]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 93
LAJE - GRÁFICO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR
[MUSSO]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 94
LAJE - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR
[MUSSO]
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Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 96
LAJE - DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO T À MOMENTO FLETOR (ELU-M) (hf < λxlim ; λ = 0,8 ; η = 0,85) A - Momento fletor resistido pela mesa comprimida (MRf) B - Momento fletor máximo com armadura simples (Md,lim)
)2/hd(fhbCzM fcdffRf −η== A1 )2/xd(fxb)2/hd(fh)bb(
zCzCMMM
limcdlimwfcdfwf
wwaalim,walim,d
λ−ηλ+−η−=
=+=+= B1
C - Profundidade limite da linha neutra (xlim) xlim = 0,5d se fck < 35 MPa xlim = 0,4d se fck > 35 MPa C1 D - CASO 1 – Seção T com Md < MRf (parte da mesa comprimida) G - Armadura mínima para seção T (As,mín) armadura simples seção retangular com Md e b = bf A)f/f024,0%;15,0(máximoA ydcdmín,s = G1
fck MPa 20 25 30 35 As,mín/A 0,15% 0,15% 0,15% 0,15%
hbh)bb(A wfwf +−= (área da seção T) G2H - Tensão na armadura comprimida )( sdσ′
)(f ydsydsd ε≥ε′=σ′ ; )(E ydssssd ε<ε′ε′=σ′ H1
fck < 35 MPa > 35 MPa
sε′ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′
−dd5,0007,0 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ′
−dd4,000875,0 H2
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−=
cd2
f
d
fdb425,0M11d25,1x D1
fyk 250 MPa 500 MPa 600 MPa
sA
mín,sydcdfs Af/xfb68,0A ≥= D2 εyd 1,035‰ 2,070‰ 2,484‰ H3 E - CASO 2 - Seção T com MRf < Md < Md,lim (toda mesa e parte da alma comprimidas)
Superposição de efeitos (abas comprimidas + parte da alma comprimida) abas (seção retangular com Ma e b = bf - bw) alma (seção retangular com Mw e b = bw) armadura simples
)2/hd(fh)bb(zCM fcdfwfaaa −η−== E1 adw MMM −= E4
ff h25,1hx =
λ= E2
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−=
cd2
w
w
fdb425,0M11d25,1x E5
was AAA +=
ydcdwfa f/xf)bb(68,0A −= E3 ydcdww f/xfb68,0A = E6 F - CASO 3 - Seção T com Md > Md,lim (toda mesa e parte da alma comprimidas)
Superposição de efeitos (abas comprimidas + parte da alma comprimida) abas (seção retangular com Ma e b = bf - bw) alma (seção retangular com Mw e b = bw)
armadura dupla
)2/hd(fh)bb(zCM fcdfwfaaa −η−== F1 adw MMM −= F4
)2/xd(fxbM limcdlimwlim,w λ−ηλ= F5
ydcdlimwlim,w f/fxb68,0A = F6 f
f h25,1hx =λ
= F2
)dd(MA
sds ′−σ′
Δ=′ ; lim,ww MMM −=Δ F7
was AAA +=
sA′
ydcdwfa f/xf)bb(68,0A −= F3 ydsdslim,ww f/AAA σ′′+= F8 [MUSSO]
x
MRf
λx = hf
T = Asfyd
C = bf hfηfcd
z = d - hf /2
ηfcd
h d
bf
As
LN
bw
hf xlim
Md,lim
λxlim
T = As,limfyd
Ca = (bf - bw)hf ηfcd
za = d - hf /2
ηfcd
h d
bf
AsLN
bw
hfa w a
zw = d - λxlim /2
Cw = bwλxlimηfcd
h d
bf
As
bw
hf
Md Ma
bf - bw
Aa
hf
d
bw
Aw
λx
Mw
d
Ma
bf - bw
Aa
hf
d
h d
bf
As
bw
hf
Mdd
bf
As
λx
Md
h d
bf
As
bw
hf
Md
d′ sA′
bw
Aw
λxlim
Mw
sA′
d
d′
sdsA σ′′
sdsA σ′′
ΔMd-d´+
Aw,limfydMw,lim
bwλxlimηfcd
=
LAJE - LARGURA COLABORANTE DA MESA DE SEÇÃO T
[NBR 6118]
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LAJE - TABELA DE MOMENTO DE INÉRCIA E POSIÇÃO DO CENTRO DE GRAVIDADE DE SEÇÃO T
[MUSSO]
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LAJE - TAXA MÍNIMA DE ARMADURA LONGITUDINAL DE TRAÇÂO
Ac área da seção transversal de concreto fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento do aço à tração
As área da seção da armadura longitudinal de tração
fyk resistência característica de escoamento do aço à tração
As,mín área da seção mínima da armadura longitudinal de tração
h altura da seção transversal
b largura da seção transversal ρ As/Actaxa geométrica de armadura longitudinal de tração
fcd fck/1,4 ω Asfyd/(Acfcd) taxa mecânica de armadura longitudinal de tração
resistência de cálculo do concreto à compressão
fck resistência característica do concreto à compressão aos 28 dias
[NBR 6118]
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LAJE - DISTRIBUIÇÂO DA ARMADURA LONGITUDINAL T1 - Área da seção transversal de barras longitudinais por metro de laje (cm2/m)
Diâmetro da barra (mm) - φ < h/8 Espaça- mento 5 6,3 8 10 12,5 16 20 22 25
7 2,80 4,45 7,18 11,22 17,53 28,72 44,88 54,30 70,12 8 2,45 3,90 6,28 9,82 15,34 25,13 39,27 47,52 61,36 9 2,18 3,46 5,59 8,73 13,64 22,34 34,91 42,24 54,54 10 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27 20,11 31,42 38,01 49,09 11 1,78 2,83 4,57 7,14 11,16 18,28 28,56 34,56 44,62 12 1,64 2,60 4,19 6,54 10,23 16,76 26,18 31,68 40,91 13 1,51 2,40 3,87 6,04 9,44 15,47 24,17 29,24 37,76 14 1,40 2,23 3,59 5,61 8,77 14,36 22,44 27,15 35,06 15 1,31 2,08 3,35 5,24 8,18 13,40 20,94 25,34 32,72 16 1,23 1,95 3,14 4,91 7,67 12,57 19,63 23,76 30,68 17 1,15 1,83 2,96 4,62 7,22 11,83 18,48 22,36 28,87 18 1,09 1,73 2,79 4,36 6,82 11,17 17,45 21,12 27,27 19 1,03 1,64 2,65 4,13 6,46 10,58 16,53 20,01 25,84 20 0,98 1,56 2,51 3,93 6,14 10,05 15,71 19,01 24,54 21 0,93 1,48 2,39 3,74 5,84 9,57 14,96 18,10 23,37 22 0,89 1,42 2,28 3,57 5,58 9,14 14,28 17,28 22,31 23 0,85 1,36 2,19 3,41 5,34 8,74 13,66 16,53 21,34 24 0,82 1,30 2,09 3,27 5,11 8,38 13,09 15,84 20,45 25 0,79 1,25 2,01 3,14 4,91 8,04 12,57 15,21 19,63 26 0,76 1,20 1,93 3,02 4,72 7,73 12,08 14,62 18,88 27 0,73 1,15 1,86 2,91 4,55 7,45 11,64 14,08 18,18 28 0,70 1,11 1,80 2,80 4,38 7,18 11,22 13,58 17,53 29 0,68 1,07 1,73 2,71 4,23 6,93 10,83 13,11 16,93 30 0,65 1,04 1,68 2,62 4,09 6,70 10,47 12,67 16,36 31 0,63 1,01 1,62 2,53 3,96 6,49 10,13 12,26 15,83 32 0,61 0,97 1,57 2,45 3,83 6,28 9,82 11,88 15,34 33 0,59 0,94 1,52 2,38 3,72 6,09 9,52 11,52 14,87
T2 – Taxa mínima de armadura longitudinal ρmín = As,mín/(bh) e espaçamento máximo das barras fck MPa 20 25 30 35 40 45 50
armadura negativa de laje armada em
duas direções
0,150% emáx = 2h < 20 cm
0,150% emáx = 2h < 20 cm
0,150% emáx = 2h < 20 cm
0,173% emáx = 2h < 20 cm
0,201% emáx = 2h < 20 cm
0,230% emáx = 2h < 20 cm
0,259% emáx = 2h < 20 cm
armaduras positivas de laje armada em duas
direções
0,101% emáx = 2h < 20 cm
0,101% emáx = 2h < 20 cm
0,101% emáx = 2h < 20 cm
0,116% emáx = 2h < 20 cm
0,135% emáx = 2h < 20 cm
0,154% emáx = 2h < 20 cm
0,173% emáx = 2h < 20 cm
armadura negativa de laje armada em
uma direção
0,150% emáx = 2h < 20 cm
0,150% emáx = 2h < 20 cm
0,150% emáx = 2h < 20 cm
0,173% emáx = 2h < 20 cm
0,201% emáx = 2h < 20 cm
0,230% emáx = 2h < 20 cm
0,259% emáx = 2h < 20 cm
armadura positiva principal de laje armada em uma
direção
0,150% emáx = 2h < 20 cm
0,150% emáx = 2h < 20 cm
0,150% emáx = 2h < 20 cm
0,173% emáx = 2h < 20 cm
0,201% emáx = 2h < 20 cm
0,230% emáx = 2h < 20 cm
0,259% emáx = 2h < 20 cm
armadura positiva secundária de laje armada em uma
direção
0,075% >0,2As,princ emáx=33cm
0,075% >0,2As,princ emáx=33cm
0,075% >0,2As,princ emáx=33cm
0,086% >0,2As,princ emáx=33cm
0,101% >0,2As,princ emáx=33cm
0,115% >0,2As,princ emáx=33cm
0,129% >0,2As,princ emáx=33cm
obs.: 1 – valores acima válidos para fyk = 500 MPa (aço CA-50) 2 – laje armada em uma direção é a laje cuja razão entre o comprimento do lado maior e o comprimento do lado menor > 2 3 – laje armada em duas direções é a laje cuja razão entre o comprimento do lado maior e o comprimento do lado menor < 2 4 – independente da laje ser definida como armada em uma ou duas direções, toda laje possui armadura longitudinal disposta nas duas direções 5 – armadura negativa é aquela colocada próxima a face superior da laje (resiste a tração superior causada por momento fletor negativo) 6 – armadura positiva é aquela colocada próxima a face inferior da laje (resiste a tração inferior causada por momento fletor positivo) [MUSSO]
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LAJE - TELA SOLDADA NERVURADA GERDAU
[www.nortefer.com.br]
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7.3.2 - LAJE - DIMENSIONAMENTO À FORÇA CORTANTE (ELU-V)
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 102
LAJE - VERIFICAÇÃO DA RESISTÊNCIA À FORÇA CORTANTE SEM ARMADURA TRANSVERSAL (ELU-V)
As área da seção da armadura longitudinal tracionada k1 1,6 – d > 1 d em m parâmetro k1
b largura da seção transversal 100 cm no caso de laje maciça
Vd 1,4(VG + VQ) força cortante solicitante de cálculo
100bn/en no caso de laje nervurada bn largura da nervura, no caso de laje nervurada VRd1 força cortante resistente de cálculo por
tração diagonal do concreto d altura útil da seção transversal
distância do centróide da armadura tracionada à borda comprimida da seção transversal
VRd2 força cortante resistente de cálculo máxima por compressão diagonal das bielas de concreto
en espaçamento entre nervuras, no caso de laje nervurada
VG força cortante da ação permanente G
fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à compressão
VQ força cortante da ação variável Q
fck resistência característica do concreto à compressão aos 28 dias
ν 0,6(1 – fck/250); fck em MPa coeficiente de redução da resistência do concreto fissurado por força cortante
fctd fctk/1,4 resistência de cálculo do concreto à tração
ρ1 As/(bd) < 0,02 taxa geométrica de armadura longitudinal tracionada
fctk 0,7fctmresistência característica do concreto à tração
τRd 0,25fctdtensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento
fctm 0,3fck2/3 (fck em MPa)
resistência média do concreto à tração θ ângulo das bielas comprimidas de concreto
h altura da seção transversal A – Força cortante resistente de cálculo por tração do concreto (dados b e d, obter VRd1; Vd < VRd1)
bd)402,1(kV 11Rd1Rd ρ+τ= A1 VRd1
3/2ckctd f0375,0f25,0 = (fck em MPa) A2 τRd
1d6,1 ≥− d em m A3 k1
ρ1 02,0bdA s ≤ A4
fck MPa 20 25 30 35 40 fctm MPa 2,210 2,565 2,896 3,210 3,509 fctk MPa 1,547 1,795 2,028 2,247 2,456 fctd MPa 1,105 1,282 1,448 1,605 1,754 τRd MPa 0,2763 0,3206 0,3621 0,4012 0,4386 B – Força cortante resistente de cálculo por compressão do concreto (dados b e d, obter VRd2; Vd < VRd2) mod simplificado (θ = 45o) refinado (θ = 30o-45o) VRd2 cdfbd45,0 ν θν 2senfbd45,0 cd B1 fck MPa 20 25 30 35 40
ν 0,552 0,540 0,528 0,516 0,504
bdV 2Rd 45o 0,355 0,434 0,509 0,581 0,648
bdV 2Rd 30o 0,307 0,376 0,441 0,503 0,561
obs.: VRd2/(bd) em kN/cm2
[MUSSO]
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7.3.3 - LAJE - DIMENSIONAMENTO À PUNÇÃO
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LAJE - ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA À PUNÇÃO (ELU-PUNÇÃO) O que é punção? Punção é a ruptura local por cisalhamento, resultante de uma força concentrada (carga ou reação) atuando em uma área relativamente pequena, chamada de “área carregada” Ruptura por punção de laje em concreto armado
Sistemas estruturais de lajes onde se deve verificar a resistência à punção
Laje maciça lisa Laje nervurada com capitel Laje maciça com capitel
Ensaio de resistência à punção
1908 2006
Modelo para verificação da resistência à punção
Corte Planta Perímetros básicos u1 típicos em torno de áreas carregadas
O perímetro básico u1 geralmente é definido a uma distância 2d da área carregada e deve ser construído de modo a minimizar seu comprimento [MUSSO]
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LAJE - ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA À PUNÇÃO - COMPARAÇÂO ENTRE NORMAS
[MUSSO]
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7.4 - LAJE - VERIFICAÇÃO NO ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS)
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7.4.1 - LAJE - VERIFICAÇÃO DE FLECHA (ELS-DEF)
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LAJE - VERIFICAÇÃO DE FLECHA EM LAJE DE SEÇÃO RETANGULAR (ELS-DEF)
As área da seção da armadura longitudinal Lbal comprimento do balanço tracionada MG momento fletor da ação permanente G sA′ área da seção da armadura longitudinal MQ momento fletor da ação variável Q comprimida MQP MG + ψ2MQ momento fletor da ação quase
b largura da seção transversal permanente pQP (momento positivo no vão; d altura útil da seção transversal momento no engaste, no caso de balanço) distância do centróide da armadura tracionada Mr Wcfctf momento fletor de fissuração à borda comprimida da seção transversal n Es/Ecs razão entre os módulos de elasticidade
d′ distância do centróide da armadura comprimida do aço e do concreto à borda comprimida da seção transversal pQP G + ψ2Q ação quase permanente
d ′′ h - d Q ação variável 4760fck
1/2 MPa módulo de elasticidade secante x2 profundidade da linha neutra no estádio 2 Ecs do concreto xc profundidade da linha neutra da seção bruta
Es 210000 MPa módulo de elasticidade do aço distância do centróide da seção bruta à fibra fck resistência característica do concreto à extrema comprimida compressão aos 28 dias t tempo que se deseja calcular a flecha (meses)
fctf αfctm resistência do concreto à tração na flexão to idade do concreto ao entrar em carga (meses) 0,3fck
2/3 (fck em MPa) resistência média do yt h - xc distância do centróide da seção bruta à fctm concreto à tração fibra extrema tracionada
flecha do efeito da fluência do concreto Wc Ic/yt (bh2/6 para seção retangular) fdiferidafelástica flecha obtida com p = pQP, E = Ecs e I = Ic módulo resistente da seção bruta fimediata flecha da viga ao entrar em carga α 1,0 (EC2); 1,5 seção retangular (NBR 6118) flimite flecha máxima para limitar efeito visual αf coeficiente para levar em conta a fluência do
desagradável concreto no cálculo da flecha diferida ftotal fimediata + fdiferida flecha total ψ2 0,3 para edifícios residenciais G ação permanente 0,4 para edifícios comerciais, de escritórios, h altura da seção transversal estações e edifícios públicos I2 momento de inércia da seção no estádio 2 0,6 para bibliotecas, oficinas e garagens
bh3/12 para seção retangular fator de redução da ação variável para Ic momento de inércia da seção bruta combinação de ação quase permanente
Ie momento de inércia efetivo da seção ρ’ As’/(bd) taxa geométrica de armadura L vão entre apoios longitudinal comprimida
A – Flecha elástica F - Parâmetros auxiliares elásticaf fck MPa 20 25 30 35
(ver flechas em diversos sistemas) A1
fctm MPa 2,210 2,565 2,896 3,210 B – Flecha imediata fctf MPa 3,316 3,847 4,345 4,815
Ecs MPa 21287 23800 26072 28161 n = Es/Ecs 9,865 8,824 8,055 7,457
e
celásticaimediata I
Iff = B1
G – Seção equivalente (seção fissurada – estádio 2) seção fissurada (MQP > Mr)
2
3
I⎥⎥
⎦
⎤
⎟⎟⎠
⎞
QP
rc
3
QP
re M
M1I
MM
I⎢⎢
⎣
⎡
⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= B2 (BRANSON)
seção não fissurada (MQP < Mr) ce II = B3
C – Flecha diferida C1
seção real seção equivalente de concreto
b
imediatafdiferida ff α=
'501)t()t( o
f ρ+ξ−ξ
=α C2 )a2/(]aa4aa[x 1312
222 −+−= G1
)meses70t( ≤ξ 32,0t t)996,0(68,0 2/ba1 = G2 )meses70t( >ξ 2
C3 ss2 A)1n(nAa ′−+= G3
t meses 1 3 6 12 > 70 dA)1n(dnAa ss3 ′′−−−= G4 ξ(t) 0,68 0,95 1,18 1,44 2,00
D – Flecha total itelimdiferidaimediatatotal ffff ≤+= D1
22s
22s
32
2 )dx(A)1n()xd(nA3
bxI ′−′−+−+= G5
E – Flecha limite
250Lf itelim = (L = 2Lbal, no caso de balanço) E1
profundidade da l. neutra
∑∑= iii AAxx momento de inércia
∑ Δ+= )AI(I 2iii
[MUSSO]
d
As
LN
d′ b
sA′ x2
d
nAs
LN
d′
x2(n-1) sA′
d-x2
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LAJE - GRÁFICO DE PROFUNDIDADE DA LINHA NEUTRA DE SEÇÃO RETANGULAR NO ESTÁDIO 2
[MUSSO]
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LAJE - GRÁFICO DE MOMENTO DE INÉRCIA DE SEÇÃO RETANGULAR NO ESTÁDIO 2
[MUSSO]
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LAJE - GRÁFICO DE MOMENTO DE INÉRCIA EFETIVO DE SEÇÃO RETANGULAR - BRANSON
[MUSSO]
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7.4.2 - LAJE - VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA (ELS-W)
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LAJE - VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA (ELS-W)
Momento de Fissuração Mr,wMomento Fletor de Cálculo MFÉ o valor do momento fletor que produz na seção bruta (secão de concreto desprezando armadura) uma tensão igual a fct,f na fibra extrema tracionada
MF = MGk + ψ1MQ1k + nψ2jMQjk (1)
(combinação freqüente) W,ctcW,r fWM = (2)
MGk parcela permanente Wc módulo resistente da seção bruta em relação a ψ1MQ1k parcela variável principal fibra extrema tracionada = (3) tc y/I
nψ2jMQjk demais parcelas variáveis Ic momento de inércia da seção bruta yt distância do centróide à fibra ext. tracionada fct,W resistência do concreto à tração na flexão Tabela 1 – Coeficientes Ψ1 e Ψ2
Finalidade da Estrutura
Seção não Fissurada (Estádio 1) wk = 0
Módulo de Elasticidade do Aço Es e Módulo de Elasticidade Secante do Concreto Ecs aço Es = 210.000 MPa (11) concreto MPa (12) 2/1
ck2/1
ckcics f4760f)5600(85,0E85,0E ===
Verificação da Segurança ELS-W
wk < wlim (15)
[MUSSO]
ψ1 ψ2 (módulo de ruptura) (MPa) )gulartanreseção(f05,1 ctm= (NBR 6118) (4a)
)Tseção(f84,0 ctm= (NBR 6118) (4b) edifício residencial 0,4 0,3 edifício comercial 0,6 0,4 biblioteca; oficina; garagem 0,7 0,6 )2EC(fctm= (4c)
Não Sim MF < Mr,w ?
Seção Fissurada (Estádio 2)
)6(454E5,12
w);5(f3
E5,12w
rs
s
12
ctm
s
s
s
11 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
ρσ
ηφ
=σσ
ηφ
=
Área de Envolvimento Acr
Acr = mín[(y+7,5φ); h/2].b (10)
d h Acr
b
< h/2
7,5φ
y
φ
)w;w(mínimow 21k = (7) wk abertura de fissura característica φ diâmetro da barra da armadura longitudinal η1 coeficiente de conformação superficial da barra σs tensão no aço tracionado no estádio 2 Es módulo de elasticidade do aço fctm resistência média do concreto à tração = 0,3fck
2/3 (MPa) (8) ρr taxa de armadura As na região de envolvimento Acr
= As/Acr (9) As área de aço da armadura longitudinal tracionada Acr área da região de envolvimento
Tabela 2 - Coeficiente de Conformação Superficial η1
Tipo de Barra η1
lisa (CA-25) 1,00
entalhada (CA-60) 1,40
alta aderência (CA-50) 2,25
Tensão no Aço Tracionado na Seção Fissurada σs (Estádio 2 puro)
)xd(IM
nn 22
Fcs −=σ=σ (14)
n razão Es/Ecs (13) MF momento fletor para combinação frequente I2 momento de inércia da seção no estádio 2 d altura útil da seção x2 profundidade da linha neutra no estádio 2
x2; I2 (ver ELS-DEF)
Tabela 3 - Abertura de Fissura Limite wlimClasse de
Agressividade Ambiental
Agressividade Tipo de Ambiente wlim (mm)
I fraca rural ou submerso 0,4 II moderada urbano III forte marinho ou industrial 0,3
IV muito forte indústrias químicas ou respingos de maré 0,2
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7.5 - LAJE - EXEMPLOS
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7.5.1 - LAJE MACIÇA - EXEMPLOS
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LAJE MACIÇA COM APOIOS SIMPLES
[MUSSO]
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LAJE MACIÇA COM DOIS APOIOS ADJACENTES ENGASTADOS E DOIS APOIOS SIMPLES
[MUSSO]
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LAJE MACIÇA COM APOIOS ENGASTADOS
[MUSSO]
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7.5.2 - LAJE NERVURADA - EXEMPLOS
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LAJE NERVURADA COM APOIOS SIMPLES
[MUSSO]
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LAJE NERVURADA COM DOIS APOIOS ADJACENTES ENGASTADOS E DOIS APOIOS SIMPLES
[MUSSO]
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LAJE NERVURADA COM APOIOS ENGASTADOS
[MUSSO]
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8 - PILAR
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8.1 - PILAR - DEFINIÇÕES
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PILAR - DEFINIÇÕES
[EUROCÓDIGO 2]
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8.2 - PILAR - ANÁLISE
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Pilar - Comprimento Equivalente de Pilares
[NBR 6118]
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PILAR - SOLICITAÇÕES DE CÁLCULO EM PILARES CONTRAVENTADOS DE SEÇÃO RETANGULAR
Ac cxcy área da seção transversal do pilar M1dx,cen M1dy,cen
momento fletor de 1ª ordem de cálculo na seção central do pilar nas direções x e y
cx, cy dimensão da seção transversal do pilar nas direções x e y
M2dx,cen M2dy,cen
momento fletor de 2ª ordem de cálculo na seção central do pilar nas direções x e y
e1x/cx e1y/cy
excentricidade relativa de 1ª ordem na seção central do pilar nas direções x e y
M1kx,inf M1ky,inf
momento fletor de 1ª ordem característico na seção inferior do pilar nas direções x e y
fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à compressão
M1kx,sup M1ky,sup
momento fletor de 1ª ordem característico na seção superior do pilar nas direções x e y
fck resist. caract. do concreto à compressão aos 28 d Nd força normal de cálculo do pilar Lx, Ly comprimento de flambagem do pilar nas dir. x e y Nk força normal característica do pilar Jx, Jy momento de inércia da seção transversal do pilar
nas direções x e y (1/r)x(1/r)y
curvatura aproximada da seção central do pilar nas direções x e y
M1dx,A M1dy,A
maior valor absoluto do momento fletor de 1ª ordem de cálculo ao longo do pilar nas direções x e y
αbx, αby coeficiente para cálculo do momento fletor de 1ª ordem na seção central e para obtenção do índice de esbelte limite nas direções x e y
M1dx,B M1dy,B
menor valor do momento fletor de 1ª ordem de cálculo ao longo do pilar (negativo se tracionar face oposta do pilar) nas direções x e y
γf coeficiente de majoração das solicitações
M1dx,mín M1dy,mín
momento fletor mínimo de 1ª ordem de cálculo do pilar nas direções x e y
λ1x, λ1y índice de esbeltez limite do pilar nas direções x e y
M1dx,inf M1dy,inf
momento fletor de 1ª ordem de cálculo na seção inferior do pilar nas direções x e y
λx, λy índice de esbeltez do pilar nas direções x e y
M2dx,sup M2dy,sup
momento fletor de 2ª ordem de cálculo na seção superior do pilar nas direções x e y
ν força normal de cálculo adimensional
direção x y O – Solicitações de 1ª ordem características nas seções superior e inferior do pilar nas direções x e y
Nk Nk O1 M1k,sup M1kx,sup M1ky,sup O2 M1k,inf M1kx,inf M1ky,inf O3
A – Índice de esbeltez λ do pilar nas direções x e y c cx cy A1 L Lx Ly A2 J 12/cc 3
xy 12/cc 3yx A3
λ xxcxx c/12LA/J/L = yycyy c/12LA/J/L = A4
B – Coeficiente de majoração das solicitações γf, momentos fletores M1d,A , M1d,B e M1d,mín e parâmetro αb
γf SE[MÍNIMO(cx; cy) > 19 cm; 1,4; 1,4(1,95 – 0,05.MÍNIMO(cx; cy))] (cx e cy em cm) B1 M1d,A γf.MÁXIMO(ABS(M1kx,sup); ABS(M1kx,inf)) γf.MÁXIMO(ABS(M1ky,sup); ABS(M1ky,inf)) B2
M1d,B
γf.MÍNIMO(ABS(M1kx,sup); ABS(M1kx,inf)) (-) negativo SE(M1kx,sup.M1kx,inf < 0) (+) positivo SE(M1kx,sup.M1kx,inf > 0)
γf. MÍNIMO (ABS(M1ky,sup); ABS(M1ky,inf)) (-) negativo SE(M1ky,sup.M1ky,inf < 0) (+) positivo SE(M1ky,sup.M1ky,inf > 0)
B3
M1d,mín γf.Nk(0,015 + 0,03cx) cx em m γf.Nk(0,015 + 0,03cy) cy em m B4
αbSE[M1dx,A < M1dx,mín; 1;
MÁXIMO(0,6 + 0,4M1dx,B/M1dx,A; 0,4)] SE[M1dy,A < M1dy,mín; 1;
MÁXIMO(0,6 + 0,4M1dy,B/M1dy,A; 0,4)] B5
C – Solicitações de 1ª ordem de cálculo nas seções superior, central e inferior do pilar nas direções x e y Nd γf.Nk C1
M1d,sup γfABS(M1kx,sup) γfABS(M1ky,sup) C2 M1d,cen αbxM1dx,A αbyM1dy,A C3 M1d,inf γfABS(M1kx,inf) γfABS(M1ky,inf) C4
D – Índice de esbeltez limite λ1 do pilar nas direções x e y (se λ < λ1; pilar curto; pilar moderadamente esbelto) e1/c MÁXIMO[(M1dx,cen/Nd)/cx; (M1dx,mín/Nd)/cx)] MÁXIMO[(M1dy,cen/Nd)/cy; (M1dy,mín/Nd)/cy)] D1 λ1 MÁXIMO[(25 + 12,5e1x/cx)/αbx; 35] MÁXIMO[(25 + 12,5e1y/cy)/αby; 35] D2
E – Solicitações de 2ª ordem de cálculo na seção central pelo método da curvatura aproximada (λ1 < λ < 90) ν Nd/(Acfcd) E1
1/r MÍNIMO[(0,005/(cx(ν + 0,5)); 0,005/cx] (cx em m) MÍNIMO[(0,005/(cy(ν + 0,5)); 0,005/cy] (cy em m) E2 M2d,cen SE[λx < λ1; 0; Nd(1/r)xLx
2/10] SE[λy < λ1; 0; Nd(1/r)yLy2/10] E3
F – Hipóteses de cálculo nas seções superior, central e inferior do pilar nas direções x e y 1 sup Nd γf.Nk Mdx MÁXIMO(M1dx,sup; M1dx,mín) Mdy M1dy,sup F1 2 sup Nd γf.Nk Mdx M1dx,sup Mdy MÁXIMO(M1dy,sup; M1dy,mín) F2 3 cen Nd γf.Nk Mdx MÁXIMO(M1dx,cen; M1dx,mín )+M2dx,cen Mdy M1dy,cen F3 4 cen Nd γf.Nk Mdx M1dx,cen Mdy MÁXIMO(M1dy,cen; M1dy,mín )+M2dy,cen F4 5 inf Nd γf.Nk Mdx MÁXIMO(M1dx,inf; M1dx,mín) Mdy M1dy,inf F5 6 inf Nd γf.Nk Mdx M1dx,inf Mdy MÁXIMO(M1dy,inf; M1dy,mín) F6
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PILAR - SOLICITAÇÕES DE CÁLCULO EM PILARES CONTRAVENTADOS DE SEÇÃO RETANGULAR
Ac cxcyárea da seção transversal do pilar
M1dx,cen M1dy,cen
momento fletor de 1ª ordem de cálculo na seção central do pilar nas direções x e y
cx, cy dimensão da seção transversal do pilar nas direções x e y
M2dx,cen M2dy,cen
momento fletor de 2ª ordem de cálculo na seção central do pilar nas direções x e y
e1x/cx e1y/cy
excentricidade relativa de 1ª ordem na seção central do pilar nas direções x e y
M1kx,inf M1ky,inf
momento fletor de 1ª ordem característico na seção inferior do pilar nas direções x e y
fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à compressão
M1kx,sup M1ky,sup
momento fletor de 1ª ordem característico na seção superior do pilar nas direções x e y
fck resistência característica do concreto à compressão aos 28 dias
Nd força normal de cálculo do pilar
Lx, Ly comprimento de flambagem do pilar nas direções x e y
Nk força normal característica do pilar
Jx, Jy momento de inércia da seção transversal do pilar nas direções x e y
(1/r)x(1/r)y
curvatura aproximada da seção central do pilar nas direções x e y
M1dx,A M1dy,A
maior valor absoluto do momento fletor de 1ª ordem de cálculo ao longo do pilar nas direções x e y
αbx, αby coeficiente para cálculo do momento fletor de 1ª ordem na seção central e para obtenção do índice de esbelte limite nas direções x e y
M1dx,B M1dy,B
menor valor do momento fletor de 1ª ordem de cálculo ao longo do pilar (negativo se tracionar face oposta do pilar) nas direções x e y
γf coeficiente de majoração das solicitações
M1dx,mín M1dy,mín
momento fletor mínimo de 1ª ordem de cálculo do pilar nas direções x e y
λ1x, λ1y índice de esbeltez limite do pilar nas direções x e y
M1dx,inf M1dy,inf
momento fletor de 1ª ordem de cálculo na seção inferior do pilar nas direções x e y
λx, λy índice de esbeltez do pilar nas direções x e y
M2dx,sup M2dy,sup
momento fletor de 2ª ordem de cálculo na seção superior do pilar nas direções x e y
ν força normal de cálculo adimensional
direção x y O – Solicitações de 1ª ordem características nas seções superior e inferior do pilar nas direções x e y
Nk O1 M1k,sup O2 M1k,inf O3
A – Índice de esbeltez λ do pilar nas direções x e y c A1 L A2 J A3 λ A4
B – Coeficiente de majoração das solicitações γf, momentos fletores M1d,A , M1d,B e M1d,mín e parâmetro αb
γf B1 M1d,A B2 M1d,B B3
M1d,mín B4 αb B5
C – Solicitações de 1ª ordem de cálculo nas seções superior, central e inferior do pilar nas direções x e y Nd C1
M1d,sup C2 M1d,cen C3 M1d,inf C4
D – Índice de esbeltez limite λ1 do pilar nas direções x e y (se λ < λ1; pilar curto; pilar moderadamente esbelto) e1/c D1 λ1 D2
E – Solicitações de 2ª ordem de cálculo na seção central pelo método da curvatura aproximada (λ1 < λ < 90) ν E1
1/r E2 M2d,cen E3
F – Hipóteses de cálculo nas seções superior, central e inferior do pilar nas direções x e y 1 sup Nd Mdx Mdy F1 2 sup Nd Mdx Mdy F2 3 cen Nd Mdx Mdy F3 4 cen Nd Mdx Mdy F4 5 inf Nd Mdx Mdy F5 6 inf Nd Mdx Mdy F6
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8.3 - PILAR - DIMENSIONAMENTO
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PILAR - DIMENSÕES LIMITES DE PILARES
[NBR 6118]
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PILAR - DIAGRAMA DE INTERAÇÃO FORÇA NORMAL x MOMENTO FLETOR Hipóteses básicas
Força normal e momento fletor resistentes
εs
tanα = Es
10‰
σs
εyd = fyd/Es
fyd = fyk/γs
α -3,5‰ -εyd
-fyd
σ-ε aço
linha neutra
retangular η=0,85; λ=0,8
λx −ηfcd
x
parábola retângulo
σ-ε concreto
dh As
Exemplo de aplicação
[MUSSO]
b
Seção εsup
εinf
Es = 210 GPa 10‰
εs-3,5‰ εyd0
4 3
2 3h/7
A
BDomínios de Deformações
-2‰
M N
Deformações
C
5
1a
b4a
ψ yys
ε
(+)
fcd = fck/γc
Distribuição de Deformações
Ψ+ε=ε
ε−ε=Ψ
ε−ε=
ε−ε
y
)seçãodacurvatura(d
Fazendo
dy:figuraDa
sup
supinf
supinfsup
Ordenada da Linha Neutra Ψε−==∴=ε /yy0 supn
Esforços resistidos pelo Concreto Altura comprimida da seção
)]h;y(mínimo;0;0y[sex nn λ<λ=λ Tensão
cckc /f γη−=σ Força Normal e Momento Fletor (eixo S)
xbN cc λσ= ; 2/xNM cc λ=
Deformação da armadura na ordenada ysΨ
Esforços resistidos pelo Aço
ε = ε + ssups y Tensão na armadura na ordenada ys
]/f);E(abs[mínimo*)(alsin sykssss γεε=σ Força Normal e Momento Fletor (eixo S)
∑σ= sss AN ; sss yNM ∑=
Aplicados na parte superior da seção
sc
sc
MMMNNN
+=
+=
Aplicados no centróide da seção
)2/h(NMMNN
o
o
−=
=
Pilar de 30x30 cm com 4 barras de 16 mm submetido a NSd= -750 kN, MSdx = 60 kNm e MSdy = 30 kNm. fck = 25 MPa, fyk = 500 MPa, Es = 210 GPa, ys1 = 3,8 cm, As1 = 4,02 cm2, ys2 = 26,2 cm e As2 = 4,02 cm2
εsup εinf ψ cm-1 εs1 ‰ σs1 kN/cm2 Ns1 kN Ms1 kNm εs2 ‰ σs2 kN/cm2 Ns2 kN Ms2 kNm
Esforços Resistentes Totais
reta a 9,99‰ 10‰ 3,82E-15 10,00 43,48 174,8 6,6 10,00 43,48 174,8 45,8 1-2 0 10‰ 3,82E-04 1,45 30,46 122,5 4,7 10,00 43,48 174,8 45,8 2-3 -3,5‰ 10‰ 5,15E-04 -1,54 -32,38 -130,2 -4,9 10,00 43,48 174,8 45,8 3-4 -3,5‰ fyd/Es 2,13E-04 -2,69 -43,48 -174,8 -6,6 2,07 43,48 174,8 45,8
4-4a -3,5‰ 0 1,34E-04 -2,99 -43,48 -174,8 -6,6 0,00 0,00 0,0 0,0 4a-5 -3,5‰ -3,5‰(h-d)/h 1,17E-04 -3,06 -43,48 -174,8 -6,6 -0,44 -9,31 -37,4 -9,8
reta b -2‰ -1,99‰ 3,82E-15 -2,00 -42,00 -168,9 -6,4 -2,00 -42,00 -168,9 -44,2
Ns kN Ms kNm λx cm Nc kN Mc kNm No kN Mo kNm reta a 0,00 0,0 0,0 349,7 0,0 349,7 52,5 Verificação da Segurança
1-2 0,00 0,0 0,0 297,3 5,9 297,3 50,5 2-3 -247,4 -6,7 -202,8 64,6 44,6 40,9 5,43 3-4 -599,7 -39,5 -599,7 89,6 0,0 39,2 13,17
4-4a 20,96 -954,4 -100,0 -1129,3 62,7 -174,8 -6,6 1MM
MM
2,1
Rdyy
Sdy2,1
Rdxx
Sdx ≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
4a-5 24,00 -1092,9 -131,1 -1305,1 48,2 -212,3 -16,5 reta b 30,00 -1366,1 -204,9 -1703,9 0,0 -337,8 -50,7
Diagrama de Interação NRd x MRdx
M Sdx; 60,0
M Rdxx; 82,0
0102030405060708090
100
-2000 -1000 0 1000Força Normal (kN) + tração
Diagrama de Interação NRd x MRdy
M Sdy; 30,0
M Rdyy; 82,0
0102030405060708090
100
-2000 -1000 0 1000Força Normal (kN) + tração
Diagrama de Interação MRdx x MRdy
60,0; 30,0
M Rdxx
M Rdyy
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 50 100Momento Fletor x (kNm)
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PILAR - DIAGRAMA DE INTERAÇÃO FORÇA NORMAL E MOMENTO FLETOR - FLEXÃO RETA
[MONTOYA]
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PILAR - DIAGRAMA DE INTERAÇÃO FORÇA NORMAL E MOMENTO FLETOR - FLEXÃO RETA
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PILAR - DIAGRAMA DE INTERAÇÃO FORÇA NORMAL E MOMENTO FLETOR - FLEXÃO RETA
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PILAR - DIAGRAMA DE INTERAÇÃO FORÇA NORMAL E MOMENTO FLETOR - FLEXÃO RETA
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PILAR - DIAGRAMA DE INTERAÇÃO FORÇA NORMAL E MOMENTO FLETOR - FLEXÃO RETA
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PILAR - DIAGRAMA DE INTERAÇÃO FORÇA NORMAL E MOMENTO FLETOR - FLEXÃO RETA
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PILAR - DIAGRAMA DE INTERAÇÃO FORÇA NORMAL E MOMENTO FLETOR - FLEXÃO RETA
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PILAR - DIAGRAMA DE INTERAÇÃO FORÇA NORMAL E MOMENTO FLETOR - FLEXÃO RETA
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PILAR - DIAGRAMA DE INTERAÇÃO FORÇA NORMAL E MOMENTO FLETOR - FLEXÃO RETA
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PILAR - DIAGRAMA DE INTERAÇÃO FORÇA NORMAL E MOMENTO FLETOR - FLEXÃO RETA
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PILAR - DIAGRAMA DE INTERAÇÃO FORÇA NORMAL E MOMENTO FLETOR - FLEXÃO RETA
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PILAR - DIAGRAMA DE INTERAÇÃO FORÇA NORMAL E MOMENTO FLETOR - FLEXÃO RETA
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PILAR - DIAGRAMA DE INTERAÇÃO FORÇA NORMAL E MOMENTO FLETOR - FLEXÃO RETA
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PILAR - DIAGRAMA DE INTERAÇÃO FORÇA NORMAL E MOMENTO FLETOR - FLEXÃO RETA
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PILAR - DIAGRAMA DE INTERAÇÃO FORÇA NORMAL E MOMENTO FLETOR - FLEXÃO OBLÍQUA
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PILAR - DIAGRAMA DE INTERAÇÃO FORÇA NORMAL E MOMENTO FLETOR - FLEXÃO OBLÍQUA
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PILAR - DIAGRAMA DE INTERAÇÃO FORÇA NORMAL E MOMENTO FLETOR - FLEXÃO OBLÍQUA
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PILAR - DIAGRAMA DE INTERAÇÃO FORÇA NORMAL E MOMENTO FLETOR - FLEXÃO OBLÍQUA
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PILAR - DIAGRAMA DE INTERAÇÃO FORÇA NORMAL E MOMENTO FLETOR - FLEXÃO OBLÍQUA
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PILAR - DIAGRAMA DE INTERAÇÃO FORÇA NORMAL E MOMENTO FLETOR - FLEXÃO OBLÍQUA
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PILAR - DIAGRAMA DE INTERAÇÃO FORÇA NORMAL E MOMENTO FLETOR - FLEXÃO OBLÍQUA
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8.4 - PILAR - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA
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PILARES - DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DAS ARMADURAS
a espaçamento livre mínimo entre barras da armadura longitudinal
dag diâmetro do agregado graúdo
As área total da seção da armadura longitudinal fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à compressão
As,mín área da seção mínima da armadura longitudinal fck resistência característica do concreto à compressão aos 28 dias
As,máx área da seção máxima da armadura longitudinal fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento do aço à tração
Asw Área da seção da armadura transversal fyk resistência característica de escoamento do aço à tração
ct cobrimento de concreto da armadura transversal
Nd força normal solicitante de cálculo
cmín menor dimensão do pilar sl,máx espaçamento longitudinal máximo da armadura transversal
cx dimensão do pilar na direção x φ diâmetro da barra da armadura longitudinal cy dimensão do pilar na direção y φt diâmetro da barra da armadura transversal
Disposição das armaduras longitudinal e transversal na seção [MUSSO]
a > máx(20 mm; φ; 1,2dag) a > máx(20 mm; φ; 1,2dag)
φ > 10 mm φ < cmín/8
ct5 mm φ/4
cy
cx
< 2cmín< 40 cm
As > As,mín
yx
yd
dmín,s
cc%4,0
fN15,0A
≥
=
As < As,máxAs,máx = 8%cxcy(na emenda)
dag
9,5 mm (brita 0) 19 mm (brita 1) 25 mm (brita 2)
cmín = mín(cx; cy)
φt
5φt > 5 cm
3,5φt
cx – 2ct
5φt > 5 cm
φt
3,5φt
cx – 2ct
Aço CA-50
20φ t
gram
pos
envo
lvem
só
A s
gram
po e
nvol
ve A
s e A
sw
uso
de 2
est
ribos
gram
pos
envo
lvem
As e
Asw
sl,máx <20 cm mín(cx; cy) 12φ (aço CA-50)
φt >
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PILAR - DISTRIBUIÇÂO DA ARMADURA LONGITUDINAL NA SEÇÃO Área da seção transversal de Q barras longitudinais (cm2)
Diâmetro da barra (mm) Q 10 12,5 16 20 22 25 1 0,785 1,227 2,011 3,142 3,801 4,909 2 1,57 2,45 4,02 6,28 7,60 9,82 3 2,36 3,68 6,03 9,42 11,40 14,73 4 3,14 4,91 8,04 12,57 15,21 19,63 5 3,93 6,14 10,05 15,71 19,01 24,54 6 4,71 7,36 12,06 18,85 22,81 29,45 7 5,50 8,59 14,07 21,99 26,61 34,36 8 6,28 9,82 16,08 25,13 30,41 39,27 9 7,07 11,04 18,10 28,27 34,21 44,18 10 7,85 12,27 20,11 31,42 38,01 49,09 11 8,64 13,50 22,12 34,56 41,81 54,00 12 9,42 14,73 24,13 37,70 45,62 58,90 13 10,21 15,95 26,14 40,84 49,42 63,81 14 11,00 17,18 28,15 43,98 53,22 68,72 15 11,78 18,41 30,16 47,12 57,02 73,63 16 12,57 19,63 32,17 50,27 60,82 78,54 17 13,35 20,86 34,18 53,41 64,62 83,45 18 14,14 22,09 36,19 56,55 68,42 88,36 19 14,92 23,32 38,20 59,69 72,23 93,27 20 15,71 24,54 40,21 62,83 76,03 98,17 21 16,49 25,77 42,22 65,97 79,83 103,08 22 17,28 27,00 44,23 69,12 83,63 107,99 23 18,06 28,23 46,24 72,26 87,43 112,90 24 18,85 29,45 48,25 75,40 91,23 117,81 25 19,63 30,68 50,27 78,54 95,03 122,72 26 20,42 31,91 52,28 81,68 98,83 127,63 27 21,21 33,13 54,29 84,82 102,64 132,54 28 21,99 34,36 56,30 87,96 106,44 137,44 29 22,78 35,59 58,31 91,11 110,24 142,35 30 23,56 36,82 60,32 94,25 114,04 147,26 31 24,35 38,04 62,33 97,39 117,84 152,17 32 25,13 39,27 64,34 100,53 121,64 157,08 33 25,92 40,50 66,35 103,67 125,44 161,99 34 26,70 41,72 68,36 106,81 129,25 166,90 35 27,49 42,95 70,37 109,96 133,05 171,81 36 28,27 44,18 72,38 113,10 136,85 176,71 37 29,06 45,41 74,39 116,24 140,65 181,62 38 29,85 46,63 76,40 119,38 144,45 186,53 39 30,63 47,86 78,41 122,52 148,25 191,44 40 31,42 49,09 80,42 125,66 152,05 196,35 41 32,20 50,31 82,44 128,81 155,85 201,26 42 32,99 51,54 84,45 131,95 159,66 206,17 43 33,77 52,77 86,46 135,09 163,46 211,08 44 34,56 54,00 88,47 138,23 167,26 215,98 45 35,34 55,22 90,48 141,37 171,06 220,89 46 36,13 56,45 92,49 144,51 174,86 225,80 47 36,91 57,68 94,50 147,65 178,66 230,71 48 37,70 58,90 96,51 150,80 182,46 235,62 49 38,48 60,13 98,52 153,94 186,27 240,53 50 39,27 61,36 100,53 157,08 190,07 245,44 51 40,06 62,59 102,54 160,22 193,87 250,35 52 40,84 63,81 104,55 163,36 197,67 255,25 53 41,63 65,04 106,56 166,50 201,47 260,16 54 42,41 66,27 108,57 169,65 205,27 265,07 55 43,20 67,50 110,58 172,79 209,07 269,98 56 43,98 68,72 112,59 175,93 212,87 274,89 57 44,77 69,95 114,61 179,07 216,68 279,80 58 45,55 71,18 116,62 182,21 220,48 284,71 59 46,34 72,40 118,63 185,35 224,28 289,62 60 47,12 73,63 120,64 188,50 228,08 294,52 61 47,91 74,86 122,65 191,64 231,88 299,43 62 48,69 76,09 124,66 194,78 235,68 304,34 63 49,48 77,31 126,67 197,92 239,48 309,25 64 50,27 78,54 128,68 201,06 243,28 314,16
[MUSSO]
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8.5 - PILAR - EXEMPLOS
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PILAR - PLANILHA DE DIMENSIONAMENTO DE PILAR - SEÇÃO RETANGULAR - PILAR INTERNO
[MUSSO]
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PILAR - PLANILHA DE DIMENSIONAMENTO DE PILAR - SEÇÃO RETANGULAR - PILAR DE BORDA
[MUSSO]
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PILAR - PLANILHA DE DIMENSIONAMENTO DE PILAR - SEÇÃO RETANGULAR - PILAR DE CANTO
[MUSSO]
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Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 178
9 - FUNDAÇÃO
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9.1 - FUNDAÇÃO - DEFINIÇÕES
FUNDAÇÃO - DEFINIÇÕES
[NBR 6122:2010]
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FUNDAÇÃO - DEFINIÇÕES
[NBR 6122:2010]
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FUNDAÇÃO - ÍNDICE DE RESISTÊNCIA À PENETRAÇÃO DO SPT (N)
[NBR 6484] FUNDAÇÃO - PRESSÃO ADMISSÍVEL – PRESCRIÇÃO DE BOLSO OU 1º GRAU DE APROXIMAÇÃO Podemos dizer que são empregados como valores de pressão admissível (kg/cm2) na prática profissional inconfessada, essencialmente sem distinção de solo, algo como as duas prescrições abaixo, praticamente coincidindo na gama de variação dos dados disponíveis, 4 < N < 16:
5N
adm ≈σ
ou
1Nadm −≈σ
[MELLO] MELLO, V. F. B. Deformações como Base Fundamental de Escolha de Fundação. Geotecnia. n. 5(12), p. 55-75, 1975.
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FUNDAÇÃO - PRESSÃO ADMISSÍVEL
[NBR 6122:1996] Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 183
FUNDAÇÃO - PRESSÃO ADMISSÍVEL
[NBR 6122:1996]
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9.2 - FUNDAÇÃO - ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO
FUNDAÇÃO - SAPATAS - CONCEITO, COMPORTAMENTO E MODELO DE CÁLCULO
[NBR 6118]
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FUNDAÇÃO - BLOCOS - CONCEITO, COMPORTAMENTO E MODELO DE CÁLCULO
[NBR 6118]
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FUNDAÇÃO RÍGIDA - FUNDAÇÂO FLEXÍVEL (SEGUNDO EHE-2008] cx; cy dimensão da seção do pilar nas dir. x e y Lx; Ly dimensão da base da fundação nas dir. x e y
H altura total da fundação junto à face do pilar Sx; Sy espaçamento entre estacas nas dir. x e y SAPATA Altura Variável Altura Constante
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sapata rígida: 4
)cL;cL(máximo2AHH2A yyxx −−
=≥∴≤ (1)
sapata flexível: 4
)cL;cL(máximo2AHH2A yyxx −−
=<∴> (2)
BLOCO SOBRE ESTACAS
bloco rígido: 4
)cS;cS(máximo2AHH2A yyxx −−
=≥∴≤ (3)
bloco flexível: 4
)cS;cS(máximo2AHH2A yyxx −−
=<∴> (4)
MÉTODO DE BIELAS E TIRANTES Nas fundações rígidas, a distribuição de deformações a nível de seção não é linear, e, portanto, a teoria geral de flexão não se aplica. Neste caso, o método geral de análise mais adequado é o de bielas e tirantes. Este método consiste em substituir a estrutura, ou parte da estrutura, por uma estrutura de barras articuladas, geralmente plana ou em alguns casos espacial, que representa seu comportamento. As barras comprimidas são denominadas bielas e representam a compressão do concreto. As barras tracionadas são denominadas tirantes e representam as forças de tração das armaduras. [EHE-2008 - Instrucción de Hormigón Estructural - Espanha]
H
A c
L
H
A c
L
H
A c
S
FUNDAÇÃO - DIMENSIONAMENTO DE SAPATA RETANGULAR - MÉTODO DE BIELAS E TIRANTES Asx; Asy área da armadura longitudinal nas direções x e y VRd,máx força cortante de cálculo máxima resistida por
dimensão da seção do pilar nas direções x e y compressão diagonal das bielas de concreto cx; cyd altura útil da sapata Tx; Ty tração característica nas direções x e y fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à Txd; Tyd tração de cálculo nas direções x e y compressão V volume da sapata
fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento xx; xy profundidade da linha neutra nas dir. x e y do aço à tração βx; βy inclinação da face superior da sapata nas
ho altura da sapata na extremidade direções x e y H altura total da sapata junto à face do pilar ν 0,6(1 – fck/250) (fck em MPa) coeficiente de
dimensão da base da sapata nas direções x e y redução da resistência do concreto fissurado Lx; LyN força normal característica do pilar por força cortante
PP peso próprio da sapata σlim tensão limite (admissível) do solo uo 2(cx + cy) no caso de pilar retangular perímetro da seção transversal do pilar
A - Definição da geometria da sapata Planta da sapata Elevação da sapata
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limyxLL
PPNσ=
+ (limitação da tensão no solo) A1 3
)cL;cL(máximoH yyxx −−
≥ (sapata rígida) A5
yyxx cLcL −=− (sapata com balanços iguais) A2 cm253/Hho ≥≥ A6
(A1) em (A2): 0PPNL)cc(lim
xxy2
x =σ+
−−+L o
xx
ox 30
2/)cL()hH(
ATAN ≤−−
=β A7
1
312
22x a2
aa4aaL
−+−= ;
x
3y L
aL −= A3 o
yy
oy 30
2/)cL()hH(
ATAN ≤−−
=β A8
lim3xy21
PPNa;cca;1aσ+
−=−== A4 ]c)Lc2(L)cL2[(6
)hH(hLLV yxxyxxo
oyx +++−
+= A9
B - Dimensionamento da armadura longitudinal - Método das bielas e tirantes Tração Tx na armadura longitudinal (direção x) Tração Ty na armadura longitudinal (direção. y)
d8)cL(N
T xxx
−= B1
d8)cL(N
T yyy
−= B3
mín,sxyd
xx
yd
x
yd
xdsx A
df8)cL(N4,1
fT4,1
fT
A ≥−
=== B2 mín,syyd
yy
yd
y
yd
ydsy A
df8)cL(N4,1
fT4,1
fT
A ≥−
=== B4
C - Verificação da ruptura do concreto por compressão diagonal (Vd < VRd,máx) cdo fdu45,0N4,1 ν≤ C1
[MUSSO]
Lx
cx
cy Ly H β
N
PP
σlim
ho
C 2N
Tx
4cL xx −
dθ
N/2
cx/4
Lx/4
N/2
C
Tx
N/2
d
d4
cL
2NT
xxx
−
=
C2N
Ty
4cL yy −
dθ
N/2
cy/4
Ly/4
N/2
C
Ty
N/2
d
d4
cL
2NT
yyy
−
=
FUNDAÇÂO - DIMENSIONAMENTO DE BLOCO SOBRE ESTACAS - MÉTODO DE BIELAS E TIRANTES
2φ 3φ 4φ 5φ
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 190
d2e
2N
TAG =
d3
3e
3N
TAG =
d2
2e
4N
TAG =
de
5N
TAG =
d4NeTAG =
d93NeTTT CGBGAG ===
d82NeTTTT DGCGBGAG ==== d5
NeTTTT DGCGBGAG ====
AGAB TT =
oAG
oACAB
120senT
30senTT
==
33TTT AGACAB ==
oAG
oADAB
90senT
45senTT
==
22TTT AGADAB ==
oAG
oADAB
90senT
45senTT
==
22TTT AGADAB ==
d4NeTAB =
d9NeTTT ACBCAB ===
d8NeTTTT ADCDBCAB ====
d102NeTTTT ADCDBCAB ====
Considerações práticas N = 2E N = 3E N = 4E N = 5E
φφ= 3a5,2e φφ= 3a5,2e φφ= 3a5,2e φφ= 3a5,2e
θ= tg)2/e(d ; se: θ= tg)2/3e(d ; se: θ= tg)2/2e(d ; se: θ= tg)e(d ; se: o7,54;2tg =θ=θ
o8,50;2/6tg =θ=θ o45;1tg =θ=θ o3,35;2/2tg =θ=θ
e71,02/2ed ==
e71,02/2ed == e71,02/2ed == e71,02/2ed ==
Armadura de tração entre estacas
ydAB
AB,s
f/T4,1A=
ydAB
AC,sBC,sAB,s
f/T4,1AAA
=
==
ydAB
AD,sCD,sBC,sAB,s
f/T4,1AAAA
=
===
ydAB
AD,sCD,sBC,sAB,s
f/T4,1AAAA
=
===
Verificação da ruptura do concreto por compressão diagonal (Vd < VRd,máx) cdfbd45,0)E(4,1 ν≤ cdo fdu45,0)E3(4,1 ν≤ cdo fdu45,0)E4(4,1 ν≤ cdo fdu45,0)E4(4,1 ν≤
E - capacidade de carga da estaca; φ - diâmetro da estaca; e -espaçamento entre estacas; d - altura útil do bloco N - compressão no pilar; T - tração no tirante; C - compressão na biela; As - armadura de tração entre estacas b - largura do bloco sobre 2 estacas; uo - perímetro da seção transversal do pilar; ν = 0,6[1 – fck/250] (fck em MPa)
TAB
TAG
TAG
TAB
TAC
30o
120o
30o
TAG
TAB
TAD
45o
o
90o
45
TAG
TAB
TAD
45o
45o
90o
e
e
e
e
e
2e
e b
2e
d TAG
C
N/3
d TAG
C
N/4
G e C B
A e
33e
63e
eD C
22e
e A B
2e A B
G e
A B
G
e
D C
2e G
2e
d TAG
C
N/5
d
T
N
N/2 AG
C C
N/2
C 2N
TAG
2/e
d θ
C3N
TAG
3/)3e(
d θ
C4
TAG
N
2
C
/)2e(
dθ 5
N
TAG
e
dθ
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 191
[MUSSO]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 192
9.3 - FUNDAÇÃO - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA
FUNDAÇÃO - SAPATA - DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DAS ARMADURAS
FUNDAÇÃO - BLOCO SOBRE ESTACAS - DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DAS ARMADURAS
[NBR 6118]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 193
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 194
FUNDAÇÃO - BLOCO SOBRE ESTACAS - ARMAÇÃO
1φ 2φ
3φ 4φ 5φ
As,AB - armação de tração entre estacas para cada bloco (ver Dimensionamento de Blocos sobre Estacas) [MUSSO]
N2-Q2φD2-C2 (0,2%Ac2/face)
L2a L2
a
N1-2xQ1φD1-C1 (0,2%Ac1/face)
L1a
L1b
N3-Q3φD3-C3 (25%As,AB)
L3a
L3b
N3 N2
Q4N
4cE
4
Q4N
4cE
4
N1
N1
N4 Q3N3cE3
N3
Q1N
1
N2
N4
Q2N
2cE
2
L1b L2
b
L1a
L2a
N2-Q2φD2-C2 (12,5%As,AB)
N1-Q1φD1-C1 (As,AB)
L4a
L4b N4-2xQ4φD4-C4
(2x12,5%As,AB)
N3 N3
Q4N
4cE
4
Q4N
4cE
4
N1 N2 N1
N2
L2b L3
b
L2a
L3a
N3-2xQ3φD3-C3 (2x25%As,AB)
N2-2xQ2φD2-C2 (2x25%As,AB)
L1a
L1b
N1-4xQ1φD1-C1 (4x87,5%As,AB)
N3 N3
Q4N
4cE
4
Q4N
4cE
4
N1 N2 N1
N2
L4a
L4b N4-3xQ4φD4-C4
(3x25%As,AB)
L2b L3
b
L2a
L3a
N3-3xQ3φD3-C3 (3x25%As,AB)
N2-3xQ2φD2-C2 (3x25%As,AB)
L1a
L1b
N1-3xQ1φD1-C1 (3x87,5%As,AB)
N3 N3
Q4N
4cE
4
Q4N
4cE
4
N1 N2 N1
N2
N2
Q1N1 N1
Q2N
2cE
2
N3
N4
N3
Q3N3cE3
N2
N1
N2
N1
Q1N
1
N4
Q1N1
Q2N2cE2
N3
Q2N2cE2
N4
Q3N3cE3
Q3N
3cE
3
L4a
L4b N4-4xQ4φD4-C4
(4x25%As,AB)
L4a
L4b N4-4xQ4φD4-C4
(4x25%As,AB)
N2
N4 Q1N1
N3 Q1N
1
N3
N4
Q3N
3cE
3
N1
Q3N3cE3
N1
N2
N1
N1
Q1N
1
N4
Q1N1 Q2N2
Q2N
2 N
4
cE2
cE2 N2
N4 Q1N1
N3 Q1N
1 N3
N4
Q3N
3cE
3
N1
Q3N3cE3
N1
N2
N1
N1 Q
1N1
N4
Q1N1 Q2N2
Q2N
2 N
4
cE2
cE2
L2b L3
b
L2a
L3a
N3-2xQ3φD3-C3 (2x25%As,AB)
N2-2xQ2φD2-C2 (2x25%As,AB)
1a L
L1b
N1-4xQ1φD1-C1 (4x87,5%As,AB)
N1
N2 Q1N1cE1
N1
Q1N
1cE
1
Ac1
N1 N1
Q2N
2cE
2
Ac2
L2b
L1c
L3c
10 - PROJETO ESTRUTURAL DO EDIFÍCIO DA ENGENHARIA CIVIL
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 194
10.1 - ARQUITETURA DO EDIFÍCIO
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 195
EDIFÍCIO DA ENGENHARIA CIVIL - ARQUITETURA O Edifício da Engenharia Civil tem pé direito igual a 315 cm (escada com 18 espelhos de 17,5 cm) e é composto de 2 pavimentos com salas de aula, laboratório de informática, biblioteca setorial, auditório, salas administrativas, banheiros, escada, plataforma elevatória para acessibilidade e reservatório de água superior.
[MUSSO]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 196
PLATAFORMA ELEVATÓRIA PARA ACESSIBILIDADE - MONTELE
[www.montele.com.br]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 197
TELHA DE FIBROCIMENTO CANALETE 49 - ETERNIT
[www.eternit.com.br]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 198
10.2 - CONSIDERAÇÕES BÁSICAS DO PROJETO ESTRUTURAL
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 199
CONSIDERAÇÕES BÁSICAS DO PROJETO ESTRUTURAL Descrição da Estrutura A estrutura da edificação é convencional composta de lajes maciças, vigas, pilares e blocos de fundação. As fundações da estrutura são compostas de blocos sobre estacas pré-moldadas de concreto. Classe de Agressividade Ambiental CAA II - Agressividade moderada - Ambiente urbano Cobrimento da Armadura Laje: 2,0 cm; Viga: 2,5 cm; Pilar: 2,5 cm; Bloco: 5,0 cm Resistência de Materiais da Estrutura Concreto fck = 25 MPa Aço CA-50 fyk = 500 MPa Estacas pré-moldadas de concreto com diâmetro de 23 cm e capacidade de carga à compressão de 550 kN Peso Específico de Materiais de Construção Concreto armado = 25 kN/m3
Tijolo furado para alvenaria = 13 kN/m3
Argamassa de cimento e areia para revestimento de piso = 21 kN/m3
Ações nas Lajes da Estrutura Lajes do Térreo e Piso Superior: Ação permanente constituída pelo seu peso próprio, revestimento (0,75 kN/m2) e alvenaria (0,75 kN/m2) Ação variável constituída pela carga acidental em sala de aula de escola (3 kN/m2) Lajes da Cobertura: Ação permanente constituída pelo seu peso próprio, revestimento (0,75 kN/m2) e telhado (0,75 kN/m2) Ação variável constituída pela carga acidental em forro sem acesso a pessoas (0,5 kN/m2) Tampa do Reservatório Superior: Ação permanente constituída pelo seu peso próprio e revestimento (0,75 kN/m2) Ação variável constituída pela carga acidental em forro sem acesso a pessoas (0,5 kN/m2) Fundo do Reservatório Superior: Ação permanente constituída pelo seu peso próprio e revestimento (0,75 kN/m2) Ação variável constituída pela ação de 1 m de água (10,0 kN/m2) Escada: Ação permanente constituída pelo seu peso próprio e revestimento (0,75 kN/m2) Ação variável constituída pela carga acidental em escada com acesso ao público (3 kN/m2) Características das Barras das Armaduras
[NBR 6118; NBR 6120; NBR 7480]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 200
Classes de Agressividade Ambiental
Correspondência entre Classe de Agressividade e Qualidade do Concreto
Correspondência entre Classe de Agressividade e Cobrimento Nominal dos Elementos Estruturais
[NBR 6118]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 201
Valores Mínimos de Cargas Verticais Acidentais em Lajes (kN/m2)
[NBR 6120]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 202
10.3 - VISTA 3D DA ESTRUTURA E PROJETO DE FORMA DO EDIFÍCIO
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 203
EDIFÍCIO DA ENGENHARIA CIVIL - VISTA 3D DA ESTRUTURA
[CYPECAD]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 204
EDIFÍCIO DA ENGENHARIA CIVIL - FUNDAÇÃO - FORMA
[MUSSO]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 205
EDIFÍCIO DA ENGENHARIA CIVIL - TÉRREO - FORMA
[MUSSO]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 206
EDIFÍCIO DA ENGENHARIA CIVIL - PISO SUPERIOR - FORMA
[MUSSO]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 207
EDIFÍCIO DA ENGENHARIA CIVIL - COBERTURA - FORMA
[MUSSO]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 208
EDIFÍCIO DA ENGENHARIA CIVIL - RESERVATÓRIO SUPERIOR - FORMA E CORTE TRANSVERSAL
[MUSSO]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 209
10.4 - ANÁLISE, DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO DE LAJES
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 210
TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR (b = 100 cm)
[LAJE]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 211
TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR (b = 21,67 cm)
[LAJE]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 212
PISO SUPERIOR - LAJE L1 - SOLUÇÃO EM LAJE MACIÇA - DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO
[LAJE]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 213
PISO SUPERIOR - LAJE L1 - SOLUÇÃO EM LAJE NERVURADA - DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO
[LAJE]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 214
FORMAS PARA LAJE NERVURADA - ROMANIO - DADOS TÉCNICOS
[www.romanio.com.br]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 215
PISO SUPERIOR - LAJE L8 - DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO
[LAJE]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 216
COBERTURA - LAJE L1 - DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO
[LAJE]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 217
10.5 - ANÁLISE, DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO DE VIGAS
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 218
PISO SUPERIOR - VIGA INTERNA V11 (viga: 30x60 cm; pilar: 30x30 cm) - ANÁLISE Carga Permanente (G = 2xGL + PP + PA = 2x12,48 + 0,30x0,60x25 + 0,14x2,55x13 = 34,10 kN/m) e Reações
Diagrama de Momentos Fletores da Carga Permanente (kNm)
Diagrama de Forças Cortantes da Carga Permanente (kN)
Carga Variável (Q = 2xQL = 2x7,13 = 14,26 kN/m) e Reações
Diagrama de Momentos Fletores da Carga Variável (kNm)
Diagrama de Forças Cortantes da Carga Variável (kN)
GL – reação permanente da laje; PP – peso próprio da viga; PA - peso de alvenaria; QL - reação variável da laje
[FTOOL]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 219
PISO SUPERIOR - VIGA INTERNA V11 (viga: 30x60 cm; pilar: 30x30 cm) - ANÁLISE NO ELU E ELS Carga no Estado Limite Último (Pd = 1,4G + 1,4Q = 1,4 x 34,10 + 1,4 x 14,26 = 67,70 kN/m)
Diagrama de Momentos Fletores no Estado Limite Último - Md (kNm)
Diagrama de Forças Cortantes no Estado Limite Último - Vd (kNm)
Carga no Estado Limite de Serviço (PQP = G + 0,4Q = 34,10 + 0,4 x 14,26 = 39,80 kN/m)
Diagrama de Momentos Fletores no Estado Limite de Serviço - MQP (kNm)
Flecha Elástica (felástica = 4,014 mm a 3,35 m dos apoios externos)
G - carga permanente; Q - carga variável [FTOOL]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 220
PISO SUPERIOR - VIGA DE BORDA V1 (viga: 15x60 cm; pilar: 30x30 cm) - ANÁLISE Carga Permanente (G = GL + PP + PA = 7,21 + 0,15x0,60x25 + 0,14x2,55x13 = 14,10 kN/m) e Reações
Diagrama de Momentos Fletores da Carga Permanente (kNm)
Diagrama de Forças Cortantes da Carga Permanente (kN)
Carga Variável (Q = QL = 4,12 kN/m) e Reações
Diagrama de Momentos Fletores da Carga Variável (kNm)
Diagrama de Forças Cortantes da Carga Variável (kN)
GL - reação permanente da laje; PP - peso próprio da viga; PA - peso de alvenaria; QL - reação variável da laje [FTOOL]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 221
PISO SUPERIOR - VIGA V12 (viga: 20x60 cm; pilar: 30x30 cm) - ANÁLISE C. Permanente (G = GL1 + GL2 + PP + PA = 7,21 + 5,62 + 0,2x0,6x25 + 0,14x2,55x13 = 20,47 kN/m) e Reações
Diagrama de Momentos Fletores da Carga Permanente (kNm)
Diagrama de Forças Cortantes da Carga Permanente (kN)
C. Variável (Q = QL1 + QL2 = 4,12 + 4,81 = 8,93 kN/m) e Reações
Diagrama de Momentos Fletores da Carga Variável (kNm)
Diagrama de Forças Cortantes da Carga Variável (kN)
GL - reação permanente da laje; PP - peso próprio da viga; PA - peso de alvenaria; QL - reação variável da laje [FTOOL]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 222
COBERTURA - VIGA INTERNA V11 (viga: 30x60 cm; pilar: 30x30 cm) - ANÁLISE Carga Permanente (G = 2xGL + PP = 2x11,29 + 0,30x0,60x25 = 27,08 kN/m) e Reações
Diagrama de Momentos Fletores da Carga Permanente (kNm)
Diagrama de Forças Cortantes da Carga Permanente (kN)
Carga Variável (Q = 2xQL = 2x1,19 = 2,38 kN/m) e Reações
Diagrama de Momentos Fletores da Carga Variável (kNm)
Diagrama de Forças Cortantes da Carga Variável (kN)
GL - reação permanente da laje; PP - peso próprio da viga; PA - peso de alvenaria; QL - reação variável da laje [FTOOL]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 223
COBERTURA - VIGA DE BORDA V1 (viga: 15x60 cm; pilar: 30x30 cm) - ANÁLISE Carga Permanente (G = GL + PP + PA = 6,52 + 0,15x0,60x25 + 0,14x1,00x13 = 10,59 kN/m) e Reações
Diagrama de Momentos Fletores da Carga Permanente (kNm)
Diagrama de Forças Cortantes da Carga Permanente (kN)
Carga Variável (Q = QL = 0,69 kN/m) e Reações
Diagrama de Momentos Fletores da Carga Variável (kNm)
Diagrama de Forças Cortantes da Carga Variável (kN)
GL - reação permanente da laje; PP - peso próprio da viga; PA - peso de alvenaria; QL - reação variável da laje [FTOOL]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 224
TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR (b = 15 cm)
[VIGA]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 225
TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR (b = 20 cm)
[VIGA]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 226
TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR (b = 30 cm)
[VIGA]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 227
TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE (b = 15 cm)
[VIGA]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 228
TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE (b = 20 cm)
[VIGA]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 229
TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE (b = 30 cm)
[VIGA]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 230
PISO SUPERIOR - VIGA INTERNA V11 - DIMENSIONAMENTO
[VIGA]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 231
PISO SUPERIOR - VIGA DE BORDA V1 - DIMENSIONAMENTO
[VIGA]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 232
PISO SUPERIOR - VIGA V12 - DIMENSIONAMENTO
[VIGA]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 233
PISO SUPERIOR - VIGA INTERNA V11 - COMPRIMENTO DAS BARRAS LONGITUDINAIS
[MUSSO]
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PISO SUPERIOR - VIGA INTERNA V11 - ARMAÇÃO
[MUSSO]
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10.6 - ANÁLISE, DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO DE PILARES
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PILAR P8 - 30x30 cm - PILAR INTERNO - ESFORÇOS POR PISO Nk (kN) Mkx (kNm) Mky (kNm) COBERTURA (CO) G 2 x 238,7 477,4 0 0 Q 2 x 21,0 42,0 0 0 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 526,5 0 0 PISO SUPERIOR (PS) G 2 x 289,9 579,8 0 0 Q 2 x 121,2 242,4 0 0 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 829,3 0 0 TÉRREO (TE) G 2 x 289,9 579,8 0 0 Q 2 x 121,2 242,4 0 0 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 829,3 0 0 PILAR P2 - 30x30 cm - PILAR DE BORDA - ESFORÇOS POR PISO Nk (kN) Mkx (kNm) Mky (kNm) COBERTURA (CO) G 90,2 + 83,8 174,0 38,3 0 Q 5,9 + 7,4 13,3 3,4 0 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 194,4 41,7 0 PISO SUPERIOR (PS) G 115,3 + 110,8 226,1 37,4 0 Q 33,7 + 46,3 80,0 15,7 0 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 313,2 53,1 0 TÉRREO (TE) G 115,3 + 110,8 226,1 37,4 0 Q 33,7 + 46,3 80,0 15,7 0 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 313,2 53,1 0 PILAR P1 - 30x30 cm - PILAR DE CANTO - ESFORÇOS POR PISO Nk (kN) Mkx (kNm) Mky (kNm) COBERTURA (CO) G 2 x 34,3 68,6 22,8 22,8 Q 2 x 2,2 4,4 1,5 1,5 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 80,1 24,3 24,3 PISO SUPERIOR (PS) G 2 x 48,1 96,2 21,1 21,1 Q 2 x 14,0 28,0 6,2 6,2 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 131,3 27,3 27,3 TÉRREO (TE) G 2 x 48,1 96,2 21,1 21,1 Q 2 x 14,0 28,0 6,2 6,2 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 131,3 27,3 27,3
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PILAR P8 - 30x30 cm - PILAR INTERNO DO 1º PAVIMENTO - ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO
[PILAR]
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PILAR P8 - 30x30 cm - PILAR INTERNO DO 2º PAVIMENTO - ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO
[PILAR]
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PILAR P2 - 30x30 cm - PILAR DE BORDA DO 1º PAVIMENTO - ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO
[PILAR]
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PILAR P1 - 30x30 cm - PILAR DE CANTO DO 1º PAVIMENTO - ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO
[PILAR]
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PILAR P8 - PILAR INTERNO - ARMAÇÃO
[MUSSO]
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10.7 - ANÁLISE, DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO DE BLOCOS SOBRE ESTACAS
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PILAR P8 - 30x30 cm - PILAR INTERNO - ESFORÇOS POR PISO Nk (kN) Mkx (kNm) Mky (kNm) COBERTURA (CO) G 2 x 238,7 477,4 0 0 Q 2 x 21,0 42,0 0 0 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 526,5 0 0 PISO SUPERIOR (PS) G 2 x 289,9 579,8 0 0 Q 2 x 121,2 242,4 0 0 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 829,3 0 0 TÉRREO (TE) G 2 x 289,9 579,8 0 0 Q 2 x 121,2 242,4 0 0 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 829,3 0 0 BLOCO B8 - 120x120x60 cm - BLOCO INTERNO - ESFORÇOS TOTAIS Nk (kN) 4 ESTACAS φ = 23 cm FUNDAÇÃO CO+PS+TE 526,5 + 829,3 + 829,3 2185,1 PP 1,2 x 1,2 x 0,6 x 25 21,6 TOTAL 2206,7 4 x 550 kN = 2200 kN PILAR P2 - 30x30 cm - PILAR DE BORDA - ESFORÇOS POR PISO Nk (kN) Mkx (kNm) Mky (kNm) COBERTURA (CO) G 90,2 + 83,8 174,0 38,3 0 Q 5,9 + 7,4 13,3 3,4 0 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 194,4 41,7 0 PISO SUPERIOR (PS) G 115,3 + 110,8 226,1 37,4 0 Q 33,7 + 46,3 80,0 15,7 0 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 313,2 53,1 0 TÉRREO (TE) G 115,3 + 110,8 226,1 37,4 0 Q 33,7 + 46,3 80,0 15,7 0 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 313,2 53,1 0 BLOCO B2 - 120x50x60 cm - BLOCO DE BORDA - ESFORÇOS TOTAIS Nk (kN) 2 ESTACAS φ = 23 cm FUNDAÇÃO CO+PS+TE 194,4 + 313,2 +313,2 820,8 PP 1,2 x 0,5 x 0,6 x 25 9,0 TOTAL 829,8 2 x 550 kN = 1100 kN PILAR P1 - 30x30 cm - PILAR DE CANTO - ESFORÇOS POR PISO Nk (kN) Mkx (kNm) Mky (kNm) COBERTURA (CO) G 2 x 34,3 68,6 22,8 22,8 Q 2 x 2,2 4,4 1,5 1,5 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 80,1 24,3 24,3 PISO SUPERIOR (PS) G 2 x 48,1 96,2 21,1 21,1 Q 2 x 14,0 28,0 6,2 6,2 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 131,3 27,3 27,3 TÉRREO (TE) G 2 x 48,1 96,2 21,1 21,1 Q 2 x 14,0 28,0 6,2 6,2 PP 0,3 x 0,3 x 25 x 3,15 7,1 0 0 TOTAL 131,3 27,3 27,3 BLOCO B1 - 50x50x60 cm - BLOCO DE CANTO - ESFORÇOS TOTAIS Nk (kN) 1 ESTACA φ = 23 cm FUNDAÇÃO CO+PS+TE 80,1 + 131,3 +131,3 342,7 PP 0,5 x 0,5 x 0,6 x 25 3,8 TOTAL 346,5 1 x 550 kN = 550 kN
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PERFIL DE SONDAGEM GEOTÉCNICA
[AREIA BRANCA ENGENHARIA]
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ESTACAS - ESPECIFICAÇÕES TÉCNICAS
[www.incopre.com.br]
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BLOCOS SOBRE ESTACAS - ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO
[FUNDAÇÃO]
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BLOCO SOBRE ESTACAS - ARMAÇÃO
1φ23 - 50 x 50 x 60 cm 2φ23 - 120 x 50 x 60 cm
N1
N2 5N1c.10
N1
5N1c
.10
Ac1
3φ23 - VAR x VAR x 60 cm 4φ23 - 120 x 120 x 60 cm
NOTAS: 1 – concreto fck = 25 MPa 2 – aço fyk = 500 MPa 3 – medidas em cm 4 – cobrimento das barras = 5 cm
As,AB – armação de tração entre estacas para cada tipo de bloco (blocos sobre estacas - método das bielas e tirantes) [MUSSO]
N2-5φ10-180 (0,2%Ac2/face)
40 40
N1-2x5φ10-180 (0,2%Ac1/face)
38
40
N3-7φ8-190 (25%As,AB)
38
45
N3 N2
4N4c
.15
4N4c
.15
N1
N1
N4 7N3c.18
10
N3
7N1
N2
N4
4N2c
.13
45 25
108
108
N2-4φ8-160 (12,5%As,AB)
N1-7φ16-200 (As,AB)
110
30 N4-2x4φ8-170
(2x12,5%As,AB)
N1 N1
5N2c
.10
Ac2
10
10
4N1
N2
4N1 N1
5N2c
.12
N3
N4
N3
7N3c.16
N2
N1
N2
N1
4N1
N4
5N2c.12
N3
5N2c.12
N4
7N3c.16
7N3c
.16
N2
N4 6N1
N3 6N
1
N3
N4
7N3c
.18
N1
7N3c.18
N1
N2
N1
N1
6N1
2N2
2N2
6N1
N4
N4
c.10
c.10
N3 N3
4N4c
.15
4N4c
.15
N1 N2 N1
N2
45 25
108
108
N3-2x7φ8-160 (2x25%As,AB)
N2-2x2φ16-200 (2x25%As,AB)
108
45
N1-4x6φ16-200 (4x87,5%As,AB)
L4a
L4b N4-3x5φ8-C4
(3x25%As,AB) 30 N4-4x4φ10-170
(4x25%As,AB)
110
N3 N3
5N4c
.11
5N4c
.11
N1 N2 N1
N2
45 25
var
var
N3-3x7φ6,3-var (3x25%As,AB)
N2-3x5φ8-var (3x25%As,AB)
L1a
45
N1-3x4φ16-C1 (3x87,5%As,AB)
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10.8 - ANÁLISE, DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO DA ESCADA
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ESCADA - ANÁLISE Geometria e Espessura Média dos Degraus
Espessura Média = [(17,5 + 11,9) + 11,9]/2 = 20,6 cm
10
10/cosθ = 11,9
27,5
17,5 θ
32,6
cosθ = (27,5)/(32,6)
θ
Carga Permanente (PP + PR), Diagrama de Momentos Fletores e Reações G1 = 25 x 0,206 + 0,75 = 5,90 kN/m (5,90 x 2,20 = 4,79 x 2,71); G2 = 25 x 0,10 + 0,75 = 3,25 kN/m
Carga Variável, Diagrama de Momentos Fletores e Reações Q1 = 3,0 kN/m (3,0 x 2,2 = 2,44 x 2,71); Q2 = 3,0 kN/m
Momento Fletor de Cálculo Md = 1,4(MG + MQ) = 1,4(9,7 + 6,0) = 21,98 kNm/m PP - peso próprio da escada; PR - peso de revestimento [FTOOL]
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TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR
[LAJE]
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ESCADA - ARMAÇÃO
[MUSSO]
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