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Helena Russano Alemany Setembro / 2009
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Matemática - 3ª série Apostila 10 Setembro / 2009 Profª Helena
Geometria Analítica
Cônicas
1 - Parábola
Uma parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que eqüidistam de uma
reta e de um ponto fora dela. A reta é chamada diretriz da parábola e o ponto, foco da
parábola.
Assim, dados a reta (d) e o ponto F, com dF , a parábola P é o conjunto dos
pontos P(x, y) tais que:
Exemplo 1
Determine a equação geral da parábola de foco F(2, 3) e diretriz (d) y – 1 = 0.
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Elementos
Equação reduzida de uma parábola (casos particulares)
Exemplo 2
Determine a equação da parábola da figura:
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Exemplo 3
Considere a parábola de equação 1y3x2
. Determine:
a) o valor do parâmetro e as coordenadas do vértice dessa parábola.
b) as coordenadas do foco e a equação da diretriz dessa parábola.
c) sua equação geral.
Exemplo 4
Escreva a equação da parábola do exemplo 1 em sua forma reduzida.
Outra representação da equação da parábola
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Exemplo 5
Determine as coordenadas do vértice da parábola cuja equação é:
a) 2x2 + 4x + 3y – 4 = 0 b) x = y2 + 10y + 27
Exemplo 6
Determine a equação da parábola que passa pelos pontos (0, 0), (1, 1) e (6, 2) e tem eixo
de simetria paralelo ao eixo das abscissas.
Para Casa: Livro, a partir da página 97, exercícios: 34b, 39abc, 44, 45, 47
36, 40, 41, 42, 49, 50
38, 47, 43
60, 70, 81
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2 - Elipse
Uma elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias a
dois pontos fixos e distintos é constante (tal soma deve ser maior que a distância entre os
dois pontos). Os pontos são chamados focos da elipse.
Assim, dados F1 e F2 tais que c2d21FF , a elipse E é o conjunto dos pontos P(x, y)
tais que:
Excentricidade de uma elipse
Elementos
focos:
distância focal:
centro:
vértices:
eixo maior:
eixo menor:
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Exemplo 1
Determinar a excentricidade da elipse da figura:
Exemplo 2
Considere a elipse de focos F1(0, 3) e F2(0, −3) e eixo maior 10. Determine:
a) sua excentricidade.
b) sua equação.
Equação reduzida de uma elipse
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Exemplo 3
Obter a equação da elipse da figura:
Exemplo 4
Determine a equação da elipse de focos F1(2, 4) e F2(2, −2) e semi-eixo menor 2.
Exemplo 5
Qual a excentricidade da elipse 4x2 + 3y2 = 48?
Para Casa: Livro, páginas 84, 89 e 105, exercícios: 1, 13, 14, 6, 15, 17
4, 7, 18, 19, 20
16, 5, 9, 10, 11, 12
59, 65 79
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3 - Hipérbole
Uma hipérbole é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença das
distâncias a dois pontos fixos e distintos é constante (tal diferença deve ser menor que a
distância entre os dois pontos). Os pontos são chamados focos da hipérbole.
Assim, dados F1 e F2 tais que c2d21FF , a hipérbole H é o conjunto dos pontos
P(x, y) tais que:
Elementos
Excentricidade
Hipérbole eqüilátera
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Equação reduzida de uma hipérbole
Exemplo 1
Determine a equação da hipérbole da figura:
Exemplo 2
Dada a hipérbole 32y2 −18x2 + 2 = 0, obtenha:
a) sua excentricidade
b) a equação de suas assíntotas.
Para Casa: Livro, página 93, exercícios: 21, 28, 23, 24, 31, 32, 26, 30, 33
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4 - Reconhecimento de uma curva
Uma cônica é um conjunto de pontos P(x, y) tais que:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Exemplos: Identifique e caracterize as curvas a seguir:
a) 05y2x2 22
b) 01y2x 22
c) 01yx 22
d) 0yx 2
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e) 04yx4x 22
f) 01yx 22
g) 0yxy2x 22
h) 0yx 22
i) 0yxyxy2x 22
Para Casa: Livro, página 104, exercícios 52, 53, 54, 55, 58
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Outros exemplos: Identifique e caracterize as curvas a seguir:
a) x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0
b) x2 – 4x − 4y + 8 = 0
c) x2 + 16y2 = 16
d) x2 − 9y2 – 6x − 18y − 9 = 0
e) x2 + y2 = 2xy + 4
f) x2 − y2 – 4x + 8y = 12
g) y – 2x = 0
h) y + x2 = 0
i) y2 – x2 + 1 = 0