2009_3Apostila_10_Conicas

Helena Russano Alemany Setembro / 2009

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Matemática - 3ª série Apostila 10 Setembro / 2009 Profª Helena

Geometria Analítica

Cônicas

1 - Parábola

Uma parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que eqüidistam de uma

reta e de um ponto fora dela. A reta é chamada diretriz da parábola e o ponto, foco da

parábola.

Assim, dados a reta (d) e o ponto F, com dF , a parábola P é o conjunto dos

pontos P(x, y) tais que:

Exemplo 1

Determine a equação geral da parábola de foco F(2, 3) e diretriz (d) y – 1 = 0.


2

Elementos

Equação reduzida de uma parábola (casos particulares)

Exemplo 2

Determine a equação da parábola da figura:


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Exemplo 3

Considere a parábola de equação 1y3x2

. Determine:

a) o valor do parâmetro e as coordenadas do vértice dessa parábola.

b) as coordenadas do foco e a equação da diretriz dessa parábola.

c) sua equação geral.

Exemplo 4

Escreva a equação da parábola do exemplo 1 em sua forma reduzida.

Outra representação da equação da parábola


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Exemplo 5

Determine as coordenadas do vértice da parábola cuja equação é:

a) 2x2 + 4x + 3y – 4 = 0 b) x = y2 + 10y + 27

Exemplo 6

Determine a equação da parábola que passa pelos pontos (0, 0), (1, 1) e (6, 2) e tem eixo

de simetria paralelo ao eixo das abscissas.

Para Casa: Livro, a partir da página 97, exercícios: 34b, 39abc, 44, 45, 47

36, 40, 41, 42, 49, 50

38, 47, 43

60, 70, 81


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2 - Elipse

Uma elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias a

dois pontos fixos e distintos é constante (tal soma deve ser maior que a distância entre os

dois pontos). Os pontos são chamados focos da elipse.

Assim, dados F1 e F2 tais que c2d21FF , a elipse E é o conjunto dos pontos P(x, y)

tais que:

Excentricidade de uma elipse

Elementos

focos:

distância focal:

centro:

vértices:

eixo maior:

eixo menor:


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Exemplo 1

Determinar a excentricidade da elipse da figura:

Exemplo 2

Considere a elipse de focos F1(0, 3) e F2(0, −3) e eixo maior 10. Determine:

a) sua excentricidade.

b) sua equação.

Equação reduzida de uma elipse


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Exemplo 3

Obter a equação da elipse da figura:

Exemplo 4

Determine a equação da elipse de focos F1(2, 4) e F2(2, −2) e semi-eixo menor 2.

Exemplo 5

Qual a excentricidade da elipse 4x2 + 3y2 = 48?

Para Casa: Livro, páginas 84, 89 e 105, exercícios: 1, 13, 14, 6, 15, 17

4, 7, 18, 19, 20

16, 5, 9, 10, 11, 12

59, 65 79


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3 - Hipérbole

Uma hipérbole é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença das

distâncias a dois pontos fixos e distintos é constante (tal diferença deve ser menor que a

distância entre os dois pontos). Os pontos são chamados focos da hipérbole.

Assim, dados F1 e F2 tais que c2d21FF , a hipérbole H é o conjunto dos pontos

P(x, y) tais que:

Elementos

Excentricidade

Hipérbole eqüilátera


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Equação reduzida de uma hipérbole

Exemplo 1

Determine a equação da hipérbole da figura:

Exemplo 2

Dada a hipérbole 32y2 −18x2 + 2 = 0, obtenha:

a) sua excentricidade

b) a equação de suas assíntotas.

Para Casa: Livro, página 93, exercícios: 21, 28, 23, 24, 31, 32, 26, 30, 33


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4 - Reconhecimento de uma curva

Uma cônica é um conjunto de pontos P(x, y) tais que:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Exemplos: Identifique e caracterize as curvas a seguir:

a) 05y2x2 22

b) 01y2x 22

c) 01yx 22

d) 0yx 2


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e) 04yx4x 22

f) 01yx 22

g) 0yxy2x 22

h) 0yx 22

i) 0yxyxy2x 22

Para Casa: Livro, página 104, exercícios 52, 53, 54, 55, 58


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Outros exemplos: Identifique e caracterize as curvas a seguir:

a) x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0

b) x2 – 4x − 4y + 8 = 0

c) x2 + 16y2 = 16

d) x2 − 9y2 – 6x − 18y − 9 = 0

e) x2 + y2 = 2xy + 4

f) x2 − y2 – 4x + 8y = 12

g) y – 2x = 0

h) y + x2 = 0

i) y2 – x2 + 1 = 0

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