Post on 07-Apr-2016
2. FORMAS INTEGRAIS DAS LEIS FUNDAMENTAIS
2.1. IntroduçãoBasicamente os problemas podem ser resolvidos de duas maneiras diferentes:
integralSolução diferencial
A solução integral é uma solução global.
Exige uma extensão sobre a qual é feita a integração.
Extensão linha Ex: força de tensão superficial.
Extensão área Ex: força sobre uma superfície.
Extensão volume Ex: massa de um corpo.
Extensão massa Ex: quantidade de movimento.
Por sua vez, a solução diferencial é uma solução pontual.
Permite a obtenção de valores tais como:
pressão,
velocidade,
massa específica,
temperatura,
etc.
Em cada ponto do escoamento.
Normalmente é uma solução mais trabalhosa.
2.2. As Três Leis Básicas
As quantidades integrais de interesse fundamental na mecânica dos fluidos estão contidas em três leis básicas:
• conservação da massa,
• primeira lei da termodinâmica e
• segunda lei de Newton.
Essas leis básicas são expressas usando a descrição lagrangiana em termos de um sistema de partículas.
Sistema é um conjunto fixo de partículas materiais.
x
y
z
Conservação da massa:
A massa de um sistema não muda com o tempo.
ms
V
ddm
Sistema
.Ctedmsis
sis
r
Princípio de conservação da massa0DtmD sis
0DtD
Mostra que a grandeza se conserva ao longo do escoamento
0dDtD
sis
A Primeira Lei da Termodinâmica:
Relaciona a transferência de calor, o trabalho e a variação da
energia.
DtEDWQ sis Princípio de conservação da energia
Sistema
A taxa de transferência de calor para um sistema menos a taxa à qual o sistema realiza trabalho é igual a taxa à qual a energia do sistema está mudando.
Q WsisE
mdEde energia específica
zg2
Vu~e2
A energia não pode ser criada nem destruída durante um processo; ela só pode mudar de forma.
sissis deE
A Segunda Lei de Newton:
tDVDmdamdFd
mdtDVDFFd
sissis
mdV
tDD
sis
tDQDF sis
Princípio de conservação da quantidade de movimento linear.
A força resultante agindo no sistema é igual a taxa à qual a quantidade de movimento do sistema está alterando.
mdVQsissis
Onde:
Quantidade de movimento linear.
Equação do Momento da Quantidade de movimento:
dmtDVDrFdrMd
DtVDrV
tDrD
tD)Vr(D
Dt
VDrVV
DtVDr
= 0
dmtD
)Vr(DMd
mdtD
)Vr(DMsis
d)Vr(tD
Dsis
x
y
z
ms
V
ddm
Sistema
r
sissis dmVrH
Quantidade de movimento angular.
tDHDM sis
Princípio de conservação da q.d.m. angular.
oconservaçãdeincipíosPr
globalgrandeza
extensivagrandeza
Com: sisdmmassaàextensão
sisdvolumeaoou
Considerando:
Nsis grandeza extensiva do sistema (global).
grandeza intensiva correspondente (pontual).
dmdN
sissis dmNCom:
De uma maneira geral, os princípios de conservação podem ser expressos como:
DtND sis
Exemplo:
Princípio da conservação da q.d.m.
tDQDF sis
sissis QN
Com:
Em Fenômenos de Transporte (Mec-Flu) o interesse não é em relação a um “sistema de partículas”, mas sim a uma região do espaço.
Volume de controle (VC) região “fixa” do espaço(fixa em relação a um referencial)
Ponto de vista de sistema lagrangiano
Figura 4.1 Exemplo de um sistema na mecânica dos fluidos
Ponto de vista de volume de controle euleriano
Figura 4.2 Exemplo de um VC fixo e de um sistemaa) instante t; b) instante t + t
Já que a descrição euleriana é a mais conveniente, há a necessidade de se estabelecer uma relação entre estes dois pontos de vista.
(fixo)
2.3. Transformação “Sistema” para “Volume de Controle”
O interesse está em se obter a taxa de variação temporal da propriedade extensiva Nsis, enquanto se acompanha o sistema, mas do ponto de vista de VC.
natural no ponto de vista de sistema mas quanto vale no ponto de vista de VC?Dt
ND sis
De modo a responder, deve-se considerar a Figura 4.4, a qual é apresentada logo a após a seguinte ilustração.
Instante t
Volume de Controle
Esquema para estabelecer a relação entre “sistema” e “volume de controle”
Sistema
Instante t + t
Sistema no tempo t + t.
No instante inicial, sistema e volume de controle coincidem.
Figura 4.4 O sistema e o volume de controle fixo
x
y
z
em relação a xyz.
dA1
dA3
x
y
z
em relação a xyz.
Por definição:
t)t(N)tt(Nlim
DtND sissis
0t
sis
t
)t(N)t(N)tt(N)tt(Nlim 1223
0t
t)tt(N)tt(Nlim
t)t(N)t(N)tt(N)tt(Nlim 13
0t
1212
0t
t)t(N)tt(Nlim vcvc
0t
tdNd vc
ddmNd
Entrada do VC. (A1)
> 90º cos < 0 (-)
11 dAtVnd
11 dAtVn)tt(Nd
ttemponoentroudAtVn)tt(N1A 11
Saída do VC. (A3)
< 90º cos > 0 (+)
33 dAtVnd
temVCdosaiudAtVn)tt(N3A 33
t)tt(Nlim
t)tt(Nlim
t)tt(N)tt(Nlim 1
0t
3
0t
13
0t
t)tt(Nlim
t)tt(Nlim
t)tt(N)tt(Nlim 1
0t
3
0t
13
0t
1A 10t
1
0tdA
ttVnlim
t)tt(Nlim
VC. fixo A1 fixo (fluxo de N através da seção de entrada A1)
33 A 3A 30t
3
0tdAVndA
ttVnlim
t)tt(Nlim
(fluxo de N através da seção de saída A3)
1A 1dAVn
Portanto:
SC
13
0tdAVn
t)tt(N)tt(Nlim
(fluxo líquido de N através da superfície de controle - SC)
t)tt(Nlim
t)tt(Nlim
t)tt(N)tt(Nlim 1
0t
3
0t
13
0t
31 A 3A 1
13
0tdAVn)dAVn(
t)tt(N)tt(Nlim
No caso de volume de controle indeformável, = Cte. e:
SCVC
sis dAnVdtDt
ND
Finalmente:
SCVC
sis dAnVddtd
DtND
Teorema de Transporte de Reynolds
VC
vc dtd
dtd
Nd taxa de variação da propriedade extensiva N no VC
SC
dAVn
fluxo líquido, da propriedade extensiva N, através da SC
2.3.1. Simplificação da transformação Sistema para Volume de ControleEm se tratando de escoamento permanente, as propriedades e condições de escoamento não variam localmente, de modo que:
assim:
SC
sis dAnVDtND
ou,0td
Nd vc 0t
Figura 4.6 Escoamento entrando e saindo de um dispositivo
Observe que:
111 VVn e, 222 VVn
12 A 111A 222
sis dAVdAVDtND
Para o caso de uma única entrada (A1) e uma única saída (A2), tal como o dispositivo da Figura 4.6, o TTR é ainda mais simplificado.
Do que resulta:
Supondo propriedades uniformes em cada seção (Cte.), resulta:
11112222sis AVAV
DtND
Generalizando, para o caso de várias áreas de entrada e/ou saída,
N
1iiiiii
sis A)nV(DtND
2.4. Conservação de Massa
Um sistema é constituído sempre pelas mesmas partículas; portanto sua massa permanece constante.
0dDtD
DtDm
sissis
Com N = msis sendo a grandeza extensiva,
a grandeza intensiva correspondente passa a ser:
1dmdN
Para VC indeformável, vem:
0dAnVdt SCVC
0dAnVddtd
DtmD
SCVC
sis
SCVC
sis dAnVddtd
DtND
Considerando o Teorema de Transporte de Reynolds (TTR),
Resulta:
Escoamento permanente:
0dAnVSC
mddAnV
12SC
mm0md 1 (-) seção de entrada ( > 90º)Onde: 2 (+) seção de saída ( < 90º)
Uma vez que:
0dAnVddtd
DtmD
SCVC
sis
= 0
portanto,
Portanto:
22211121 VAVAmmm
Para escoamento incompressível, = Cte.
QVAVA 2211 vazão volumétrica.
Caso em que a distribuição de velocidades não seja uniforme (V Cte.), mas com a massa específica uniforme em cada seção.
A solução é obtida com o valor médio da velocidade.
Figura 4.7 Perfis de velocidades não uniformes
Seja a equação da continuidade:
21 A
22A
11 dAVdAV
Já que a massa específica é uniforme em cada seção ( = Cte.),
Considerando o teorema do valor médio,
AVdA
A1V resulta:
mVAVA 222111
QVAVA 2211
21 A
22A
11 dAVdAV
Caso o escoamento seja incompressível,
A n dAVm fluxo de massa ou vazão em massa (kg/s)
A n dAVQ vazão volumétrica ou vazão (m3/s)
Exemplo 4.1Água flui a uma velocidade uniforme de 3 m/s para dentro de um bocal que tem seu diâmetro reduzido de 10 cm para 2 cm (Fig. E.4.1). Calcule a velocidade da água que sai pelo bocal e a vazão.
Figura E4.1
V1 D1 D2
3 10 2m/s cm cm
0,10 0,02 m m
Dados:
Solução:É escolhido um volume de controle que esteja dentro do bocal,
conforme mostrado (tracejado).
Cálculo da vazão:
.s/m02356,0410,00,3
4DVVAQ 3
221
111
Água, portanto escoamento incompressível.
Considerando a Equação da continuidade, vem:
2211 VAVAQ
2
112 A
AVV .s/m0,7502,010,00,3
2
Exemplo 4.2
Água flui para dentro e fora de um aparelho, como mostrado na Fig. E.4.2a. Calcule a taxa de variação da massa de água (dm/dt) no aparelho.
Dados:V1 D1 Q3
9,20 75 4,30 8,50 1000m/s mm kg/s /s kg/m3
0,075 0,0085 m m3/s
2m
V1 = 9,20 m/sQ3 = 8,50 /s
75 mm
s/kg30,4m2
Figura E4.2a
Solução:O volume de controle escolhido é mostrado na Figura E4.2b.
0dAnVddtd
SCVC
Figura E4.2b
Entrada Saídas
Da continuidade:
0VAVAVAdtdm
333222111
Rearranjando a equação e substituindo os valores, chega-se a:
.s/kg84,270085,01030,420,94075,010
dtdm 3
23
A massa aumenta a uma taxa de 27,84 kg/s.
O aparelho deve ter um material que absorva água.
Exemplo 4.3
Um escoamento uniforme aproxima-se de um cilindro, como mostra a Fig. E4.3a. A distribuição simétrica da velocidade na localização mostrada, à jusante na esteira do cilindro, é aproximada por:
1y14y25,1)y(u
2
em que u(y) é dada em m/s e y, em metros. Determine a vazão em massa através da superfície AB, por metro de profundidade. Use = 1,23 kg/m3.
Figura E4.3a
Figura E4.3b
Solução:Tomando ABCD como volume de controle (Figura E4.3b).
Em vista da simetria, não há escoamento pela superfície CD.
Para escoamento permanente, a Eq. da continuidade fica:
0dAnVSC
Entrada(-)
Saídas(+)
O fluxo de massa ocorre através de três superfícies: AB, BC e AD.
Então:
0dAnVdAnVdAnVADBCAB AAA
01150,1dy1)y(um1
0AB
Lembre que um sinal negativo é sempre associado com o fluxo de
entrada e um sinal positivo com o fluxo de saída.
)12125,1(23,1)
43yy25,1(23,1dy)
4y25,1(23,1
1
0
31
0
2
.ms/kg2050,0)12/125,1(50,123,1mAB
Exemplo 4.4Um balão está sendo preenchido com um suprimento de água de 0,6 m3/s (Fig. E4.4). Encontre a taxa de crescimento do raio, no instante em que R = 0,5 m.
Figura E4.4
Solução:Pretende-se determinar dR/dt quando o raio R = 0,50 m.
A taxa de crescimento dR/dt é igual a velocidade da água normal a parede do balão.
Selecionando o volume de controle como sendo uma esfera de raio constante e igual a 0,50 m, pode-se calcular a velocidade da água na superfície, no instante mostrado, movendo-se radialmente para fora em R = 0,50 m.
0dAnVdt SCVC
= 0
da água é Cte.
A água transpõe duas áreas:
A área de entrada A1, com velocidade V1
e a área do restante da superfície da esfera AR, com velocidade VR.
A Eq. da continuidade é escrita como:
Supondo que A1 << AR, a Eq. da continuidade fica:
0VAVA RR11
Q1 = A1V1 e,
AR = 4R2, resulta:
.s/m1910,050,04
60,0A
VAV 2R
11R
De modo que:
Usou-se de um volume de controle fixo, permitindo que a superfície móvel do balão passasse por ele, no instante considerado.
.s/m1910,0dtdR
Exemplo 4.5Este exemplo mostra que pode existir mais que uma boa escolha para um volume de controle. Queremos determinar a taxa à qual o nível de água aumenta em um tanque aberto, se a água entrando através de um tubo de 0,10 m2 tem uma velocidade de 0,50 m/s e a vazão de saída é de 0,20 m3/s (Fig. E4.5a). O tanque tem uma seção transversal circular com diâmetro de 0,50 m.
Figura E4.5a
Solução:Em primeiro lugar é selecionado um volume de controle que se estende acima da superfície da água, como na Figura E4.5a.
Da Eq. da continuidade, tem-se:
0dAnVddtd
SCVC
O primeiro termo descreve a taxa de variação da massa no VC.
Desprezando a massa de ar acima da água, vem:
0QAVdt
)4/Dh(d211
2
0QAVdthd
4D
211
2
2211
D)QAV(4
dthd
O sinal negativo indica que o nível de água está diminuindo.
Resolvendo com um novo VC, no qual sua face superior fique abaixo do nível da água (Figura E4.5b).
Figura E4.5b
A velocidade na face superior é, então, igual a taxa à qual a superfície da água se eleva.
.s/m7639,050,0
)20,010,050,0(42
Dentro do volume de controle o escoamento é permanente; aplicando a Eq. da continuidade, vem:
4D
dtdhQAV0dAnV
2
211SC
Resolvendo,
Que é o mesmo resultado anterior.
.s/m7639,050,0
)20,010,050,0(4D
)QAV(4dthd
22211
2.5. Equação da Energia
Muitos problemas envolvendo o movimento de fluidos exigem que a primeira lei da termodinâmica, muitas vezes chamada equação da energia, seja usada para relacionar as quantidades de interesse.
Se o calor transferido a um aparelho (uma caldeira) ou o trabalho realizado por uma máquina (ventilador, bomba ou turbina) é procurado, a equação da energia é, obviamente, necessária.
Ela também é usada para relacionar pressões e velocidades quando a equação de Bernoulli não é aplicável (caso em que os efeitos viscosos não podem ser desprezados), escoamentos através de sistemas de tubulações ou em um canal aberto.
A equação da energia será expressa em termos de VC.
Decorre do Princípio da Conservação da Energia.
sis
deDtDWQ com:
u~zg2
Ve2
Considerando a relação entre sistema e VC
SCVC
sis dAnVddtd
DtND
sissis EN
m
dmeE
dmedE edm
Nd
DtED sis
onde:
scvc
dAnVededtdWQ
taxa de transferência de energia sem realização de trabalho.
Está associada a uma diferença de temperatura.
Q fluxo de calor
(taxa de trabalho ou potência)
2.5.1. Termo taxa de trabalho
O termo taxa de trabalho corresponde ao trabalho executado pelo sistema.
Ou, como se considera o instante em que o sistema ocupa o volume de controle (dedução do TTR), pode-se afirmar que o termo taxa de trabalho também corresponde ao trabalho executado pelo volume de controle.
Trabalho força vezes deslocamento.
Taxa de trabalho força vezes velocidade.
IVFPW
Por convenção, o trabalho realizado sobre o sistema (VC) é negativo
velocidade vista a partir de um referencial inercialIV
Se a força resulta de uma tensão variável agindo sobre uma superfície de controle, tal como na Figura 4.8, tem-se:
Figura 4.8 Vetor tensão na superfície agindo num elemento da SC
sc IdAVW
dAFd
P
X
Y
Z
x
y
z
R
r
S
V
No geral, para volumes de controle em movimento, o vetor velocidade é relacionado a uma velocidade observada do referencial anexo ao volume de controle por:
IV
,V
rSVVI
De modo que:
sc IdAVW
scsc
dA)rS(dAV
IscWdA)rS(
Considerando a pressão estática (p), positiva em um estado compressivo, vem:
Veja que:
sn
npn
(p escalar) De modo que:
Isc sscWdAVdAVnpW
cisEsc s WWdAV
IcisEscWWWdAVnpW
sc
dAVnp
Trabalho de escoamento. É a taxa de trabalho resultante da força devido à pressão atuante na SC.
EW
cisW
IW Taxa de trabalho que ocorre quando o VC se move em relação à um referencial inercial.
Taxa de trabalho devido à ação do cisalhamento em um contorno em movimento (como uma correia).
Taxa de trabalho resultante de eixos em rotação.
Deve-se notar que os termos de taxa de trabalho: e são raramente encontrados em problemas de um curso introdutório e são muitas vezes omitidos.
cisW IW
2.5.2. Equação geral da energiaCombinando as equações da energia e taxa de trabalho,
scvcIcisE dAnV)pe(de
dtdWWWQ
sc
2I
vc
2I
IcisE dAnV)pu~zg2
V(d)u~zg2
V(dtdWWWQ
Note-se que o termo trabalho de escoamento foi mudado para o segundo membro e é tratado como termo de fluxo de energia.
scvc
dAnVededtdWQ
IcisEscWWWdAVnpW taxa de trabalho ou
potência
Eq. da energia
Em escoamentos “reais”, formas úteis de energia são convertidas em formas de energia não utilizáveis “perdas”.
Assim, para escoamentos isotérmicos e incompressíveis,
scvc
dAnVu~du~dtdQperdas
Levando na equação anterior:
perdasdAnV)pzg2
V(d)zg2
V(dtdWWW
sc
2I
vc
2I
IcisE
As perdas devem-se a dois efeitos principais:
1. A viscosidade causa atritos internos que resultam em aumento da energia interna ou de transferência de calor.
2. Mudanças bruscas na geometria resultam em descolamentos, que demandam energia útil para manter os movimentos secundários resultantes.
Perdas distribuídas: - são perdas que ocorrem ao longo de trechos retilíneos do conduto, devido aos efeitos viscosos.
Perdas singulares: - são perdas que ocorrem nas vizinhanças de uma mudança de geometria (válvulas, cotovelos, alargamentos, etc.)
Em bombas, turbinas ou ventiladores (máquinas hidráulicas) as perdas são expressas em termos de sua eficiência.
Exemplo: bomba com 80% de rendimento.
Perdas = 20% da energia fornecida à bomba.
2.5.3. Escoamento permanente uniforme
EW
1
V1
2
V2
volume de controle inercial, VI = V,
escoamento permanente d/dt = 0 e,
escoamento uniforme nas seções de entrada e saída
(V2/2 + p/ + gz) = Cte. nestas seções, de modo que:
Para ,0WW Icis
perdasmd)pzg2
V(d)zg2
V(dtdWWW
sc
2I
vc
2I
IcisE
perdasm)zgp2
V(m)zgp2
V(W 11
12
12
2
222
E
.VAVAm 222111 Onde, Dividindo por vem:,gm
L121
1
2
22
122E hzzpp
g2VV
gmW
= 0 = 0 = 0
ou,
LE
2
22
2
21
21
1
1 hgm
Wzg2
Vpzg2
Vp
A equação da energia, tal como escrita, pode ser aplicada para qualquer escoamento permanente, uniforme com uma entrada e uma saída.
Muitas das vezes a perda é escrita em função do termo cinético:
hL perda de carga, com:
gmQ
gu~u~h 12
L
g2VKh
2
L
O volume de controle deve ser escolhido de forma que as seções de entrada e de saída tenham uma carga total uniforme.
ocompriment)m(s/mkg
ms/mkgs/mkg
mNgm
Wgm
W2
2
2
“carga” energia por unidade de peso.
Na ausência do termo de trabalho de eixo e sem dissipação viscosa (perdas) a equação da energia pode ser escrita como:
V2/2g carga de velocidade
p/ carga de pressão
z carga de posição
p/ + z carga piezométrica
V2/2g + p/ + z carga total.
2
22
2
21
21
1
1 zg2
Vpzg2
Vp
Observe que, para escoamento incompressível, 1 = 2 e a equação da energia toma uma forma idêntica à equação de Bernoulli.
Porem, deve-se lembrar que:
A Eq. de Bernoulli decorre da Eq. do movimento de Newton, sendo aplicável em uma mesma linha de corrente.
A Eq. da energia decorre da 1ª Lei da Termodinâmica, sendo aplicável entre duas seções de um escoamento com distribuição de velocidades uniformes.
Como exemplo, considere sua aplicação no escoamento da Figura 4.9, o qual mostra uma comporta em um canal aberto.
Figura 4.9 Aplicação da Eq. da energia a uma comporta em um canal aberto
A carga total na entrada e na saída pode ser calculada em qualquer ponto da entrada e da saída, respectivamente.
Porém, uma escolha conveniente seriam os pontos situados na superfície da água; levando a:
Considerando, como alternativa, os centróides das seções de entrada e saída,
Levando estes valores na Eq. anterior, o resultado da primeira alternativa é recuperado.
)0W(hhg2
Vphg2
VpEL2
222
1
211
L2
2221
211 h
2h
g2V'p
2h
g2V'p
= 0 = 0
L2
22
1
21 hh
g2Vh
g2V
Neste caso, p’1 = h1/2
p’2 = h2/2
Considere agora o “T” da Figura 4.10.
Figura 4.10 Aplicação da Eq. da energia a uma seção em T
Neste caso há uma entrada e duas saídas.
A Eq. da energia pode ser aplicada para cada uma das saídas.
Ou seja:
21L2
22
2
21
21
1
1 hzg2
Vpzg2
Vp
31L3
23
2
31
21
1
1 hzg2
Vpzg2
Vp
Sistema com bomba e turbina.
Fazendo,
Onde:
TBE HHgm
W
HB adição de energia (bomba ou ventilador)
HT extração de energia (turbina)
21LT2
22
2
2B1
21
1
1 hHzg2
VpHzg2
Vp
De modo que:
bomba )W(HQPh BB
turbina )W(HQPh TT
Potência hidráulica:
Potência de eixo:
bomba )W(HQPB
BB
turbina )W(HQP TTT
Ou, de um modo geral,
1
PPh
TurbinaBomba
2.5.4. Escoamento permanente não uniformeSe a hipótese de perfil uniforme de velocidade não é aceitável, há necessidade de se corrigir o termo cinético na Eq. da energia.
Considere o perfil de velocidades da figura abaixo.
dA V
V
VdA peso que passa por dA na unidade de tempo
V2/2g energia cinética por unidade de peso
energia cinética que passa na seção na unid. tempo
A
2VdAVg2
Em termos da velocidade média, vem:
energia cinética média
Introduzindo o fator de correção da energia cinética ()
AVVg2
2
A
32 dAVg2
AVVg2
A
3
dAVV
A1
E a Eq. da energia, em termos da velocidade média, fica:
21LT2
22
22
2B1
21
11
1 hHzg2
VpHzg2
Vp
Perfis parabólicos em tubos circulares (escoamento laminar) = 2.
Escoamento turbulento em tubos 1,05
Em aproximação = 1.
Exemplo 4.6A bomba da Fig. E4.6 é usada para aumentar a pressão de 0,2 m3/s de água de 200 kPa para 600 kPa. Se a bomba tem uma eficiência de 85%, qual a potência elétrica de que a bomba necessita? A área de saída fica 20 cm acima da área de entrada. Suponha que a área de entrada e de saída sejam iguais.
Figura E4.6
Dados
Solução:Considerando a Eq. da energia,
21LT2
22
2
2B1
21
1
1 hHzg2
VpHzg2
Vp
= 0= 0
.m97,40200,01081,9
1020010600)zz(ppH 3
33
1212
B
Q p1 p2 z2 - z1 g200,0 200 600 85,0% 20 1000 9,81/s kPa kPa cm kg/m3 m/s2
0,200 2105 6105 0,200 m3/s Pa Pa m
Cálculo da potência da bomba.
.kW58,941085,0
97,4081,9200,010HgQP 33
BB
Exemplo 4.7Água flui de um reservatório através uma tubulação com um diâmetro de 750 mm para uma unidade geradora (turbina) e sai para um rio que está localizado a 30 m abaixo da superfície do reservatório. Se a vazão do escoamento é de 2,50 m3/s, e a eficiência da turbina geradora é de 88%, calcule a potência de saída. Suponha um coeficiente de perda na tubulação (incluindo a saída) de K = 2.
D z Q K g750 30,0 2,50 88,0% 2 1000 9,81mm m m3/s kg/m3 m/s2
0,750 m
Dados
Figura E4.7Solução:Considerando a Eq. da continuidade,
.s/m659,5750,050,24
DQ4V 22
Cálculo da perda de carga,
.m264,381,92
659,52g2
VKh22
f
.m74,26264,330h)zz(H21L21T
21LT2
22
2
2B1
21
1
1 hHzg2
VpHzg2
Vp
Aplicando a Eq. da energia entre um ponto situado na superfície do reservatório e outro na superfície do rio, vem:
= 0= 0 = 0 = 0 = 0
Cálculo da potência da turbina
.kW0,5771088,074,2650,21081,9HQP 33TTT
Exemplo 4.8O medidor Venturi mostrado reduz o diâmetro da tubulação de 10 para um mínimo de 5 cm (Fig. E4.8). Calcule a vazão e a vazão em massa, supondo condições ideais.
Figura E4.8
D1 D2 h g dHg
10,0 5,0 1,200 1000 9,81 13,6cm cm m kg/m3 m/s2
0,100 0,050 m m
Dados
Solução:Do manômetro de tubo em “U” e aplicando o caminhamento de 1 para 2, vem:
2Hgba1 pzhdpphzp
.m12,1520,1)16,13(h)dd(ppágHg
21
Da continuidade,
2211 VAVAQ 11
2
1
2
2
11
2
12 V4V
510V
DDV
AAV
Uma vez que o escoamento se dá sob condições ideais, aplica-se a Eq. de Bernoulli, ou seja:
2
222
1
211 z
g2Vpz
g2Vp
21
21
21
2221 V
g215V
g2116
g2VVpp
.s/m447,412,1515
81,92pp15
g2V 211
.s/m03493,04100,0447,4VAQ 3
2
11
Finalmente,
.s/kg93,3403493,010Qm 3
Exemplo 4.9A distribuição de velocidade para um certo escoamento em uma tubulação é V(r) = Vmáx(1 - r2/r0
2), na qual r0 é o raio do tubo (Fig. E4.9). Determine o fator de correção da energia cinética.
Figura E4.9
Solução:Para determinar o fator de correção da energia cinética “” é necessário conhecer a velocidade média. Assim,
0r
0
3
20
2
20
A
3
drr2rr12
r1dA
VV
A1
00 r
0 20
3
2o
máxr
0 20
2
2o
máxA
drrrr
rV2drr2
rr1
rVVdA
A1V
máx
20
20
2o
máx
r
020
42
2o
máx V21
4r
2r
rV2
r4r
2r
rV2V
0
00 r
0 60
7
40
5
20
3
20
r
0 60
6
40
4
20
2
20
drrr
rr3
rr3r
r16drr
rr
rr3
rr31
r16
2r3r12r18r12241
r16
8r
6r3
4r3
2r
r16 2
020
20
202
0
20
20
20
20
20
Conhecida a velocidade média, pode-se calcular o .
Conseqüentemente o fluxo de energia cinética associado à distribuição de velocidade parabólica através de um tubo circular é dado por:
2Vm2dA)nV(
2V 2
A
2