E
I
TER
NAN
TE
M
D
Determinante
O que você sabe sobre
determinante?
Para aproveitar 100% dessa aula você precisa
saber: Matrizes
Equação do 1º
Equação do 2º grau
Como representamos o Como representamos o determinantedeterminante de uma de uma
matriz?matriz?Colocando os elementos de uma matriz Colocando os elementos de uma matriz
entre duas entre duas barras verticaisbarras verticais..
Exemplos:Exemplos:
04
21
04
21
ADetA
355
102
041
355
102
041
BDetB
Como calculamos o determinante de uma
matriz quadrada?
Se for uma matriz de ordem 1,
então o determinante é o próprio
elemento da matriz.
Exemplo:
44det4 AA
Se for uma matriz de ordem 2, então o determinante é a diferença entre o produto dos elementos da matriz principal e o produto dos elementos da matriz secundária.
Exemplo:
01
32det
01
32
AA
31.30.2
Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!
(UF-PI) Sejam(UF-PI) Sejam
Se det A = 4 e det B = 2, então, x + y éSe det A = 4 e det B = 2, então, x + y é
igual a: igual a:
a) 2a) 2
b) 3b) 3
c) 4c) 4
d) 5d) 5
e) 6e) 6
112
1 yxBe
y
xA
SoluçãoSolução
3x = 63x = 6
x = 2x = 2
424)(2
42
1det
yxyx
y
xA
2
211
det
yx
yxB
2
42
2
42
yx
yx
yx
yx x - y = 2x - y = 2
2 - y = 22 - y = 2
y = 0y = 0
Logo, x + y = 2 + 0 = 2
Resposta: letra A.
Se for uma matriz de ordem 3, então o determinante é calculado através da Regra de Sarrus.
Exemplo:
det A = 10 – 4 + 0 + 6 + 0 – 12
det A = 0
Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!
(Cefet-MG) O(s) valor(es) de x para que(Cefet-MG) O(s) valor(es) de x para que
é(são): é(são):
a) -1 b) 1 c) 3 d) -1 e 1 e) -1 e 3a) -1 b) 1 c) 3 d) -1 e 1 e) -1 e 3
8
32
10
21
x
x
x
SoluçãoSolução
-2 + 6x -2x -2x2 =-8
-2x2 + 4x -10 = 0
As raízes são -1 e 3.
Resposta: letra E.
8
32
10
21
x
x
x8
32
10
21
x
x
x 1
x
2
0
-2x
6x-20 -2x2-2x0
Propriedades dos determinantes
1ª) Se todos os elementos de uma fila
(linha ou coluna) de uma matriz quadrada
forem iguais a zero, o determinante dessa
matriz também será zero.
Exemplo:
0det
5009
2703
0302
1401
AA
2ª) Se os elementos correspondentes de
duas filas (duas linhas ou duas colunas) de
uma matriz forem iguais, o determinante
dessa matriz será zero.
Exemplo:
0det
5019
0352
0372
1401
AA
3ª) Se duas filas (duas linhas ou duas colunas)
de uma matriz forem proporcionais, o
determinante dessa matriz será zero.
Exemplo:
0det
6013
4372
4372
2401
AA
4ª) Se trocamos duas filas (duas linhas ou duas colunas) de posição, o determinante da nova matriz será o oposto da matriz anterior.
Exemplo:
201
521
310
201
310
521
BeA
det A =
det A = 5 + 2 + 6 = 13, então det B = -13
Exemplo:
201
521
1563
201
310
521
BeA
det A =
det A = 5 + 2 + 6 = 13, então det B = 39
5ª) Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) forem multiplicados por um mesmo número, então o
determinante também fica multiplicado por esse número.
6ª) Se uma matriz quadrada for multiplicada por um número real, então o determinante fica multiplicado por esse número elevado a ordem da matriz.
Exemplo:
402
620
1042
201
310
521
2
201
310
521
BeA
det A = 13, então det B = 13. 23 = 104
7ª) O determinante de uma matriz quadrada
é igual ao determinante da sua transposta.
Exemplo:
201
310
521
A
det A = 13, então det At = 13
8ª) O determinante de uma matriz triangular
é igual ao produto dos elementos da
diagonal principal.
Exemplo:
200
310
521
A
det A = 1.1.(-2) = -2
9ª) Teorema de Binet Sendo duas matrizes A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz
produto, então det(AB) = (det A) (det B).
Exemplo:
43
20
15
23BeA
det A . det B = (-3 -10)(0 - 6) = 78
784236)det(63
146
ABAB
Tente fazer sozinho!
(UFC-CE) Sejam A e B matrizes 3x3 tais
que det A = 3 e det B = 4.
Então, det (A . 2B) é igual a:
a) 32
b) 48
c) 64
d) 80
e) 96
Solução
det A = 3 e det B = 4
Pelo Teorema de Binet temos que:
det(A . 2B) = det A . det 2B
E pela 6ª propriedade temos que:
det 2B = 4 . 23 = 32
Logo, det(A . 2B) = 3 . 32 = 96 letra E.
e A-1 sua inversa. Então,
Exemplo:
211
210
02
11 1AeA
2
1det,220det 1 AentãoA
AA
det
1det 1
10ª) Seja A uma matriz quadrada invertível
Tente fazer sozinho!
(Cefet-PR) Uma matriz A quadrada, de ordem 3, possui determinante igual a 2. O valor de det (2 . A-1) é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Soluçãodet A = 2
Pela 10ª propriedade temos que:
Pela 6ª propriedade temos que:
det 2.A-1 = 1/2 . 23 = 4
Logo, det (2 . A-1) = 4 letra D.
2
1det
det
1det 11 A
AA
Teorema de La PlaceTeorema de La Place
Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1, oDada uma matriz quadrada de ordem n > 1, o
determinantedeterminante da matriz A será o da matriz A será o númeronúmero real que real que
se obtém se obtém somando-se os produtos dos elementossomando-se os produtos dos elementos
de uma filade uma fila (linha ou coluna) qualquer (linha ou coluna) qualquer pelospelos seus seus
respectivos respectivos cofatorescofatores..
Esse teorema nos permite calcular o determinanteEsse teorema nos permite calcular o determinante
de matrizes de ordem maior que 3. de matrizes de ordem maior que 3.
Porém, antes vamos aprender os conceitosPorém, antes vamos aprender os conceitos
de de CofatorCofator..
O que é Cofator de uma matriz?
É o produto de (-1)i+j (sendo i e j o índice
de um elemento) pelo determinante da
matriz obtida quando eliminamos a linha e
a coluna desse elemento.
Exemplo: Considerando a matriz
346
120
352
A
Vamos calcular os cofator c11.
346
120
352
A
C11 = (-1)1+1 .
C11 = 1.[-2 .(-3) - (-1). 4] = 6 + 4 = 10
34
12
Vamos calcular os cofator c23.
346
120
352
A
C23 = (-1)2+3 .
C23 = -1.[2 .4 – 5 . 6] = -1. (8 - 30)= -1(-22) = 22
46
52
Teorema de La PlaceTeorema de La PlaceDada uma matriz quadrada de ordem n > 1,Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1,
o o determinantedeterminante da matriz A será o da matriz A será o númeronúmero realreal
que se obtém que se obtém somando-se os produtos dossomando-se os produtos dos
elementos de uma filaelementos de uma fila (linha ou coluna) (linha ou coluna)
qualquer qualquer pelospelos seus respectivos seus respectivos cofatorescofatores..
Exemplo: Considerando a matriz
346
120
352
A
346
120
352
A
C21 = (-1)2+1 . = -1.[5 .(-3) – 3 . 4] = 27
C22 = (-1)2+2 . = 1.[2 .(-3) - (3. 6)] = -24
C23 = (-1)2+3 . = -1.[2 . 4 - 5. 6)] = 22
34
35
36
32
46
52
Vamos calcular o determinante usando da segunda linha.
Pelo Teorema de La Place é:
det A = 27.0 + (-24).(-2) + 22.(-1)
det A = 0 + 48 - 22
det A = 26.
346
120
352
A
Então, o cálculo do determinante da matriz
O que você aprendeu:
Como representar e calcular um determinante.
Regra de Sarrus.
As propriedades dos determinantes.
Teorema de La Place.
Bibliografia Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto
e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática – SP. Páginas: 146 a 174.
Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo, Roberto; Degenszajn, David – Matemática (volume único). 4ª edição – 2007. Editora Atual – SP. Páginas: 303 a 313.
Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval – Curso de Matemática. 3ª edição – 2003. Editora Moderna – SP. Páginas: 295 a 308.
http://www.somatematica.com.br/emedio/determinantes/
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