r

metermlnantes

Felo enunciâdq temos:

I r sì . Í " ì - / r r l\2 s/ \v/ - \s/

Apticando a mutripticaçáo de marrizes. temo", (ï I ?ï)=

peta isuatdade de matrjzes, obtemos o sistem" [i: I ï =

Resolvendo algêbricamente, pelo método da adiQão, Ìêmos:

f

111 ì\s i11

I

4x + 3y = 11 .(5)

2x.r5y=9.{ 3)

4x+3y=11 .(-

2x+5y=9 (4)

- 2ox+)ú=55

-6x-1ú= -2720t - 6x= 55 - r-x(20 6) = 28

-V 6v=

20y 6y =y (20 - 6) =

-22

INTRODUCAO

Consideremos o seguinte problema:

ouoo" e = ( l 3) ," = ( ï )"

" = ( t l ) ,a",u, ' ,nu.""ydemodoqueA.B = c

20+

Ì

138

14

29 exemplo: Fìêsolver a equaçãox+3

xl

2

5Re6olução'. tx + 3 2

l " r 5

"""ro"ru, a=[ l Í ]

= 0 = 5(x + 3) - 2(x - 1) = 05x+15-2x+2=03x = -17

'17*= _

3

r, t

EXERCíCIOS DE APRENDIZAGEM

OAche o valor dos det€rminantes:- 5 -2

3 - t

c)

: :

I +{5

2,'11 + tE

I

- Ì

- l

@nesotva as equaçoes:x x+2

57

3

logbaI

o)

\E 'lt

l * l b+l

ab

Seja A = (aij) uma matriz quadmda de 2: oí,dem, ial que aij - iz + i j. Calcule det A.

@senaoe=(l ; )""=(; ; )calcule det (AB).

MENOR COMPLEMENTAR

,^ ^ - Iconsideremos a mâtriz quâdrada de 3ï orde-, n = lãl] â:, ;j] l.

1"", a.2 a33l

Chama-se mgnoÍ @mplgm€ntar ql relativo a um elemento a da matriz A o detêrminan-te associado à matíiz quadrada de 2f ordem, obtida em A, e que'se obtém elimlnândose,em A, a linha e a coluna que contêm o elemento aii consldeíado

@alcule o deterrninante da matriz

I rI "e"b )

/ 96abendo

que0 < x < 2r. Íesolvaa equaçào

Q[Faao-SÌt nesotra a inequaçao*

" a 14.' 4 2xl

(d)ouau o."ui' e = [2 al..ut",,t.," t l l l

a) det A.b) det Az..c)detA' .

t -

. Nolamosquê â exprêssão numérica (4 . 5) _ (2 . 3). que pode seí êxpressa tamoempelo numero 14. é o dênominador comum das exprêssòes que nos permiló calcular o valorde x e de y, e determina se o sistema dado é determinado ou indêt;r.inãão. óãìã"r, no-me: deleÍminantê

Ao mesmo tempq observamos qdê esta expressão está associâda aos teÍmos damatr|z

lq 3l .12 s l ffi

ijs*ËfitrffiÍDaí podemos dizer que:

t

A têoria dos detêrminanlês surgiu quasê simultanêamente na Alemanhâ e no Jâpão.Ela loidesenvolvida pordois matemáticos, Leibniz(1646_1716)eSêkishinsuke Kowai1642

- 1708), ao solucionarêm um problema de eliminaçôes necessáÍias á resoluÇão de um sjste_ma de n equações linearês com n incógnitas

. . Depois vêfi, om oídêm cronológica, os trabalhos de Cramer, Bezout, Laplace, Vandermon-oê. Lagrange, Cauclly ê Jacobi.

DE 29 ORDEMDETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA

Dada a matriz quadrâda de 29 ordem A =

âssociado à matíiz A (ou determinantê de 2?all a22 -

Indica-sel

âr,r.

Observaçâo:

rn"n,113âXl"tt't o = (alj), deordêm 1' define-se como determinanle de A o seu próprio ele-

Íu"Iaã

oíoêm) oàtz ' àzt

"r, l,^ul

númêro

chama-se deteíminante

real obtido pela difêrênça

Vejamos alguns exemplos.

19 exemplo: Achar o valor do determinantê 4

6Resolução:

3

-14

14

3

-1Respostai

= + ( 1)-6 (3)= 4+18=14

139

r

Po anto:

Drr =

Exemplo: Dada a matíiz A

Resoluçáo: It

sendo A = lõ

lõ

422

432

Ap

432

aÍ

421

423

433

ar3

433

413

423

/ui âtz an\- et iminamosêmA a l inha2e acoluna l l@--"" -"" .1.

\"i' au a*l

I"" a\, a'.\- el iminamos em A a l inha 3 e a coluna 2 | a2r ar2 aztl

'1"" @ -""rÍ

ffi --u,r- .,.f -- et iminamos em A a l inha l e a coluna | | àÍ a22 uoI

lul, ã32 a..l

-1 3\1 4l2 ' t l

3

1

=lõ\5

112

, câlcular DÍ, D12, DÉ, D21 ê D32.

, temos:

Drr =

De=

,l

2

0

5

0

55,8

'1

-2

23

04

4

I

4,1

D.:z =

-2AesposÍasr 9, - 20, -5,

la" àtz aúìConsidêremos a matrìz quâdrada dê 3i ordem: A = | azr a22 az: I

\"" au ".. /

. Chama-se @fator d€ â o númêro real que se obtém multiplicando'se ( Í)"ipelomenorcomplementaÍ dê aii e quê é represenlado por Aij.

Então:

Assim, se consìdeíarmos â matriz quadrada A, temos:

nr, =(-ni" i D1r=( 1f +1'

-__l

a22 423

ãsz 433

COFATOR

(Nesse caso el iminâmos a I inha 1 e â coluna 1.)

141

7

(Nêsse casq el iminamos a l inha 2 ê a coluna 3.)

ârr 3e^ - t a\2-3. n - , . \2+3. I^23_\

| / l L v23_ \ | | |_- l ' tur 42

31-214 0 2l ,calcular:3 7 8l

Exemplo: Dada a malriz A =

a) Arr

Resolução: al A =

c) As2

-c lã l - r ' , = 1 ry '* i - p ' ,8,1 An=( 1) ' ,* ' .011

02

78

3

4

b) Ars

[3; rL io137

' . " .1 a o

13 7

4

ï

=24

Iü

13 7

l . it4 0[*'.-?;"' -

b) 28

,

b)A

={-1)3+'?.

2,1?l=n"8l

2lzF au8l

c) 14

2

Fesposias. a) -14

EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM

I Sela a matr;z

I r -3 o\A=l 2 4 i l

\ -1 z 6lCalcule Du, Drr, Dr2, D2r, Djr e D32.

2 Dada a natriz

o l 2 l3 4 51,

-2 7 \ l

calcde AB, A2l, Aj2 e Alr.

142

3 Dada a matriz

^ : [? -31, carcute:

a) Alt, Aì2, A2r e A22b)a An +at2.Al2

4 Seja A a mârriz quadnda de 3: ordem em que4r - i + j. Determine o colator do elemento

Á

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA DE39 ORDEM

Considerêmos a matriz quâdrâdâ de 39 ordem:

Ura \a,ll412422

DêÍine-se como determìnante da matriz A o número:

all A12 413a2j Az2 423a31 432 433

dêÌA= all a22a$ + a12ana31 + aga21a32 aB a22a31 a12a21a33 a11az3 a32

Agrupândo-se os termos que têm all, 412 e ai3, isto é, os elementos da 1i linha, ecolocando-os em êvidência, vem:

det A = all a2z a$ a.n a8a32 + ai2axa3i a12a21a$ + afia21a32 af a22 a3

del A = aÍ (a22 a$ - axa3ò a12ía21a$ a23 a3i) + a13 (421 a32 a22 a3i)

Em que:

togo:

422 423

ae 433

az3

433

422

= AÍ é o coÍator de ar1

= A12 é o cofâÌor dê al2

= AÉ é o cofator de a13

fâÉ431 432

t

-ât421 423

âsr 433

4zz 423

432 433

Àzt

431

421

a3l

det A = all All -l âlz 412 * â13 413

Observação:Se agíuparmos em det A os têrmos que contêm os elementos a21, a22 ê a23,isto é, os elementos da 2i Ì inha da matriz A, obteremos:

detA = azrAz + a'22.A22 * a*An

Assim, podêmos uti l izar essas fóÍmulâs para calcular um determinante de 3? ordem to"mando como retêrência qualquer linha ou coluna da matriz A.

PorexèmDlo. tomando como rêÍerência a 2? colunâ, temos:

det A = a12 ' A12 l à22 4p 1 â32 432

143

E6te método para calculaí um deteÍminante de 3i ordem é conhecido comoteorema d€Laplace, cujo enunciado e o seguintel

O determinante dê uma matriz quadíâda A, de 3: ordêm. é igual à soma dos produtosdos elementos de uma linha ou coluna qualquer pelos rêspectivos coÍatores.

lzExemplo: calcular o determinantê da matriz A, sendo A = l0

Ì6Resoluçáo:

Calcularemos o det A de duas formas:

05= +30

61

| -1 3

121

detA = 2(14) + 0(-5) + 6(-14

deÌA = 2(14) + (-1)(+30) + 3( 24)

b) Pêlos elementos da 19 coluna: dêt A =

1 3\4 51.

-2 1l

- -24

+detA=28-30-72

a1141 + a21 421 + a31431

detA = 28 + 0 - 102

tta) fulos êlêmentos dâ 1? l inha: det A = âÍ Atr "| â12 Aú

rqesroslas- a) 74 bl -74

Observe que para se aplicar esse método é mêlhor êscolhêr â linha ou a coluna que liveío maior número de zeros.

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

I Calcüle os determinantes

2 calcul€ o valor de S:

3 oadas as matrizes e = Í2 o lì"\J 2 -31

s Il a o). catcute o determinante dou | 1 l

produto AÌ . B.

4 caÌcuÌe os determinantes segúntes, rÌsando oteorema de laplace

t2- l I

65

23ta) l 2 0

416

014025036

b)4- l

s=2I2

502164 0l

2 x -3

144

5 ResoÌva a equação

Fodemos obteío dêteíminante de uma mâtí iz quadrada de 3: oídem uti l izando uma regraprática muito simplês denominada íegía de Saííus.

lu, , ap u, . ÌSeja a matriz A = | a,. ú, a- |

l.31 432 .*l

Vamos repetir a 11 e a 2i coluna à direita da matriz, conforme o esquema abr, ixolJ

Mult ipl icando os Ìêrmos entre si, sêguindo os traços em diagonal e associando aos produtos o sinãl indicado. temos:

detA = all 422 ae: + a12a23a31 + afia21a32 afi a22 az1 - arta23a32 - a12a21a3t

REGRA DE SARRUS

Vejamos âlguns exêmplos.

19 exemplo: Calcular o determinante da matriz A, sendo A

Resoluçáo: Repetindo a 1: e a 2: coluna, temos:

0123

345

( 3X4)( 1), (5)(0)(2)

I

Resposb: 27

't45

v'

t

29 èiièmplo: tìesolver a equâçãox44

ResoluçAo:_xx--<xx'_-'---x,x-,,--'I :>-.-l_----.-l----'

r ^ . o,- \ \

\x3 - 16x -4x2 4x2 4\2 4x2

-4x2 + 4x2 + 4x2- x3 16x 4x2=o

x3 + 8x2 1ôx=o

x3 gx2+ 16x=O

x(x'? 8x+1ô)=0 = tx=O x2 8x+16=O+x=4

Fesposfa:'S = Í0,41

EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM

I CaÌcìrle cada uÌn dos determinantes a s€guir uti-lizando a regra de Salrus.

t

2

3

2

5 Para que vatores reais de x o determinânte

é positivo?x010x0Ì01030

z3l425

.3 2 5a)4 1 3

234

053042016

. l |220c)11 I I14 3 0

l3 l22i113

0012x4ÌÌy

. 2 '4 |a)2 4 x

1t2

x+l 33xx2

t

l l x 0=lel0 y I

l l o r

6 Resolva a equação:I cosx 0

senx 0 1senx 0 1

I2

7 Seja a mâtriz A = (a"r), de ordem 3, tal que

2 Sabendo que a :

3 Calcule os númeÍos reais x € y tais que

4 Resolla as equaçòes:

Calcule k, de modo que o determinante da ma-triz A seja nulo.

Ache o valor do determinante da matriz P'z, sa-

^f2 - l l l'1 , l l lo \D frl

I se i< jksei= j e kۓR.

I se i>j

bendo que P =

(UF PR) Considere as matrizes

"=/ : ï Í \ . " : í^+r x+, ' l

\ ' ; ' /

\z-Y z-xl

".=(, i) . sabendo que a malriz B é

ìgual à matriz C, calcule o determinante da ma-triz A.

calcule a2 - 2b.

8

I

Ix-1

146

t

I DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADADEORDEMn > 3

Consideremos a matriz ouadrâda A. de ordem n.

utilizando o teorêma de Laplaco das se.

^ l-,:, ïPodemos calculâr o dêteíminante da matriz A

gurntes Íoímâs:

1? lorma: Fixando a l inha i

2: forma: Fixando a colunâ it-rldetA = alrAr, I a2 421 * a3i Ai i +. . . + aniAni It :

Exemplo: Calculâí valordo determinante i2. ' í€; --1'-0+"14,-2 I 3

1 -5 2 10326

ResoluÇão: Pa.a o câlculo desse determinante, aplicaremos o teorema de Laplacq até che-garmos a um determinante de 3i ordem, e depois êmpregaíêmos a regíâ de

, Sarrus.' Assim, desenvolvendo o determinanlê acima, segundo os elementos da 1: li-nha, temos:

41

02€16

I

u

316

4I0

10

= -3. 44 = 132

= 1.( 111) = 111,2

3

2,5

3

det Adêt A

I

h-

147

det A = â11 Al l Ì 4p A12 ! â13 A13 a a,, Aro O

-2 1 3a11Air = 2 (-1)1 +r ' S 2 1l=2.17=j4

a12A12=3.( 1)1 +2

= (-1) (-1)1 + 3

=0.{ 1) l+4.

Substituindo em O, lêmos:

Resposta: 13

- 132 + 'l'11

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

I Calcule os determinantes: 3 Resol!a as equaçòeç:

"l t353

Ì- Ì- ì- l

3I22

" l lc)

Seja a matriz quadrada A = Í3

da 11 l inhâ são iguais a zeío ì

I4Ìt

24

-1I

Il -l -I

x'] o x t/to7,50J2Ì004211l l

b) tl l0xxtx0

l0xl0l

laa0aÌ0aa01aoaat

0020x0x'zOI x ìoex 808lx

130

0400

x6340t05

4 Determine os valores de a para os quais:253 >0

2 Determjneoconjunrodelodoso\wloresdr,que satisfazem a equação: 5 Ache o maior valor reât de r, rat qu€:

o o\2 5l2 6l

, onoe observâmos que todos os elemêntos

Vamos calcular o determinante da matrizl

2f pÍopriedade

Seja a matíiz qoadrada A =

dâ 1: e da 2? coluna são iguâis.

, onde obseryamos quetodos os elementos

000325426

i0 0 0 0=i 3 2 5 3

t t4 2 6 4

022

2 2 6\2 2 5l2 2 1l

I

PROPRI EDADES DOS DETERMI NANTES

Vamos estudar algumas propriedades dos dêterminanles.'l: proprledado

Então:

Se os elementos de uma linha ou coluna de umâ matriz ouadrada Íorêmiguais a zêrq seu deteíminante será nulo

148

Vamos calcular o determinante da matriz:

i l iì--r1ì1.7ìÈYì

{

= \2J l2J \1) + (2) . (5) (2) +2222

226335441

226

221

26

4 '15

e obteremos a matriz

Então:

Se os elêmêntos de duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz quadrada toremiguais. seu determinantê seíá igual a zêro. ,

+(6) (2) (2) - (2) (2) {6) - (2Ì (5ì (2) r1r(2)(2r = (+Zi+ú V4 'ú {=o

3i pÍopriedade

l^ ^ìseia a matriz quadÍada A -. Íz o | ; seu dêteÍmindnte e:' \4 151

=30 24=6.

Vamos trocâr â posição entre as linhas da matriz (2 ,,:)

/4 15\

; "" , d"t" , . inante e 15

Ì2 6/ t2 6

Se trocarmos de posição entre si duas linhas (ou duas colunas) deauadrada. o determinante da nova matriz é o ânterior com sinal trocado

4? propíiedade

i . " \Seja a matriz quadrada A :

l" -J : sêu deleÍminãnte é:

3

2

5

4

t1t ,nì 12 20B = | - - ' l : sêu determinante érL

\z al l2 4

ComoS = 4 2,

então:

Vamos mult ipl icar todos os elementos da 1i l inha por 4 e teremos a mâtí iz quadrada

ï ' l

Se multiplicarmos todos osum número rêal k, então ocado peìo número k.

elementos dê umâ l inha (oudêterminante da nova matriz

de uma coluna) poré o anterior mult ipl i-

149

5: propriedade

seja a matrizquadrada A = íí

=4 6= -2.

obr"fJ3"t"r'ndo u ,, l inhâ de A pêta soma desta tinha com o produto da 1? l inha por S,

3 + 1(-3) =Oe4+21-31 =-2 t

' l4I

; seu determinante é:

rtoSo, B = Í ' ' l : seu detêrminante é.

\0 2l

Fortanto: det A = det B

Então:

12

o2= 2-0= 2.

Se somarmos a uma linha ou coluna de uma matriz quadrada uma outra linhaou coluna mult ipl icada poí um número qualquêr, o dêierminante da mâtriz nâose atÌera.

Esta propriedâde é conhêcida como Teorema do Jacobi.

6? propriedade

Sejam as matrizes quadradas

lz 4 5\ I t o olA=lq 1 2l eB=l 2 S ol , onde observamos que os etementos

Ì0 0 3/ \ 3 I 4 ldê um mesmo lado da diagonal principal sáo todos nulos. Os detêrminantes valem:

det A +410

058

200

23

00

05I

10

:2. 1 .3 = 6. . delA = 6

=(1).5.4= 20.. detB = 200 -1o2

-1detB= 2

3

7i propriodade

consicere as matrizes n =

{l

-1

2 3\-1 4l e

1 5/

?I5l

Entãoi

Se os elêmentos de uma matriz euaoraoadiagonal íorêm todos nulos, o determinântedos êlemenlos da diagonal principal.

situados de um mesmodâ matriz será igual ao

lado daprodulo

150

a sua transpostâ Ar = Íl

lã

r

E)íemplos:

'19) Matíiz de Vândermondê dos números (2,3,4):

29) N4atriz de Vandeímonde dos númêros(- 1, 5,3, 1) :

Demonstra-se que o dêterminante da mâtriz dê Vandermonde

detA = (a2 a1) (a3 - a1) (aa - ar... (a. - a" , i)

Vejamos alguns exêmplos.

19 ôxemplo: Calcular o dêteÍminânte dâ matriz: A =

,qeso/uçãoi A base é (3, 2, 4, 5); togo:

I r r 1 l12.3 4l14 e 161

11-1 5

- 1 125

é iguala:

r

13

27

f r 1 i r l| 3 2 4 5lls 4 16 2sl127 8 64 i2s l

30 20 4031 21 4132 22 4233ú4s

(2 = 3)(4 - 3).(4 -2)-1 .1.2-2.3.1

(5 3) (5 2) (5 4)50l5 ' l detA =5,Ì dêt A =531 det A =

29 exomplo: Resolvêr a "O*Or" | ]

4\29

Besposta: 12

Besolução:

F€sposlâ. S = 12,31

EXERCíCIOS DE APR

=(x -2)(3- 2)(3 x)=o

,x=2(x - 2)(3 x) = 0<. 'x=3

2

3

'1 1x3

xrg

1241xx2139

124

ENDIZAGEM rv\,x' 3 ca*r", I ro'gz ,lrro

Iloe200

lo*2 to{n ÌogZoo

2Calculeovalordea(R,4 Ache o valor do deteÍminante:

l l l l-2 I -3 4

4t9t6-8 1 n 64

l Ì la2a3aa2 4a2 9zz

Calcule: I I I567

lzs x +s

152

=2

aar que:

detA - 2 101

Os seus determinantes valem:

123-23 + detA = 23

= 23=detA' = 23

120

123

1202 - ' t 1

45

211

det Ar=

I Calcule o râlor do'dererminanres d sesuir . 'em 2l .ando d. propr ied"de.. Lalcule o. determì

21

.11a) l zl3

,L246

5I,7

b)51090311008

ï l -2 0 0 01900t551060432

Seia â matriz quadíada A, dê ordem n, n > 2, definida porl

a. a; a, . . . â;. - i - - - . - - - : - , - - - - - . - - l

i1 ,1'----":---1-iai ai a3 . . . âi

Estâ matriz. constituída pelas potênc ias de expoentes 0,1,2, . . , n 1, dos números (a1,a2, a3, . . ., an), é dênominada matíizde Vandermonde ou malriz das potências. A basê da ma-tÍ iz dê Vandeímonde é o coniunto de númeíos (a Ì. a" a3 a.)

151

EXERCICIOS DE APR EN DIZAGEM

DETERMI NANTE DE VAN DERMON DE

CALCULO SIMPLIFICADO DE UM DETERMINANTE

Utilazando o têorema de Jacobi, podemos tacilitar o cálculo de um dêterminanrê oe oí-dem n, n >3, tazendo com que í iquem nulos os (n - 1) êlementos de uma l inha ou coluna.

Vejamos alguns exemplos.'t9 sxemolo: Calcular o deteíminanÌe:

123423164105

-3 2 7 1

. t

Resolução: Em primeiro lugar, êscolhemos um elemento igual â 1 e f ixamos a sua l inhâou coluna.Por exemplo, tomando o elemento ari

- 1ê f ixando a 1i l inha. temosl

Em seguida, aplicamos o teorema de Jacobi das seguintes Íormas:. mulliplicando.se por(- 2) os elèmentos da 1? linhae adicionando-osaos êlementos da2: linha.

123401524105

-3 2 7 1

23164105

. mull ipl icando-se por(- 4)oseìêmêntos da 1? l inhaeadicionando-osaos êlêmentos da3? l inha.

123401-5-20912-11

-3 2 7 1

1,2340 1 5 -20912-110-4 16 13

Aplicando em seguida o teorema de Laplace ê tomando como referência os êlêmentosdâ 1i coluna, temos:

D=1 ( 1)r*115-2I ,12 114 16 13

. mult ipl icando.se por 3 os elementos dâ 19 l inha e adicionândo-os aos elementos da 4i l inha.

Por último, utilizando a regra dê Saíus, obtemos: D

Resposta: 769

153

I

29 exemplo: Calcular o deteíminante:

rgeso/ução; Observe que o determinante nâo possuielemênto igual a 1, mas podemos obtê.locolocando 2 em evidència na 31 l inha:

!

-2304-3 2 3 5

24264-260

r

Vamos tixaí o elemento a31 e aplicar o teoíema de Jacobi. Daí, temos:. multiplicando-sê, respectivamente, por 2,3 e -4 os elemêntos da 3f linha eadicionando-os, íespectivamente, aos êlemêntos dâ 1:, 2i e 49 linhag, vem:

072100 I 0 1412130 -10 10 -12

D=2.1. i 1)3+r

Uti l izando a íêgra de SaD= 184

Besposta: 184

Aplicando o teorema de Laplace aos elementos dà j9 coluna. temos:

8010 1

ill'10 10

rus, ootemos:

EXERCÍCIOS DE APREN DIZAGEM

I Calcule os determinanres: 2 Ache o vdlor dos dereÌminântes:

a) l 2 |l l -2

l ' - r 2l r 3 3

b) l 5 3 23283

) l 3 2 |12 o 1 r

Ì234

t2I3

- l-3-5

II35

200Ì30031422

26Ì - l50

Ì l

i l l

3 caÌcule: 3l6433t1

154

2l S scic s - t ' i ìanÌarr i , ,quadíro. dJL,rdemJ.

209 sauenao que a =

1x

equação l Ì I =Ì Ì

r l

2rse^=[2 , ] .e=[o : ] . . . r . , r .L3 4l t l t l

número real x, tal que del(A x B) 0.

212 Determine os valores reâis Llc sen \ e co\ \, !1.

sen 2x cos 21. ,1

I '"n*

I ",,. '213 padas as matrlzes, calcu le o determìnante da

marriz A'? + B':

"=(; ï . "=( i2r4seja q - [ ' '1. , , . . , , . "o. , . ,o, . .a.n,l . t r l

rais que o deler minant< da marr iu rA: aUs€.ia igual a zero.

215 Calcüle o vaÌoÍ dos determinant€s:713211

a)] I 1 o b) l l 2 115 -4 1 1t | 2

2ló Para que valores de x se tem2222x222x

210 t i r . tacl :Pt Determrneocoruunro \olui ;o od

2 | 7 Deterrnine em IR a solüção da equação

, calculeo vaÌor de 3a + br.

- 8 - locr 4.

0,sei<j

Calcule o valor do deLcÌìÌinanÌe dc S.

I/ . i1

2l9t onrr lere ar malrzer c | , ì

\ Ã t l.B=í-1 Ì l \

\ r I t l

Calcule o valor de N, saben.lo qrÌrN=50+det(A.B).

/ t * *220 na marrtz lr 2 1

\r 3 e

a) s€u determjnanle.b) os vaÌores de x que anuÌam esse deternìì-

à1"

2

I

I I

ï

' ) . "* ,"

221 SeA =23I

r(\) = x - x l ,câlcr ì Ìc f t dc 'A J.

222 se o < x

tal que

< 2, determine o menoi \ . ' rordc \ ,senx 8 50 scnx coisx l=000

223 (PUC-SP) Carcurc:a) O deierminante da mârriz

0t

xl

' ;.1onde x ( lR.

b) Quais são os valores dex que anulam o deteÍminante de A?

Ì0

l+x'? 2+xx+l

4

EXERCíCIOS DE FIXACÃO

208 Resolva a equaçâo:

x+3 5

26

410

2x- l -2 1

312

/ - r \M=(AB).c.sendoA=t

3,

| 2 3 -4 201000040210 -5 5 1 4

l - t o z\ o l o . t 2B=(-23 5)eC=l 2 r 0 l

\ 3 | 41 230 Dado o porinômio

225 DetermiÍe o conjunto solüção da eqüação: ll I I ll

lsenxr 9 r ."n" - . ì , *=l l i1 i l 'a"è ' -**"-=

I Y : ' = -cosx .enx I l * ' I 8 21I I cosx

raízes de F(x).

231 Calcule os deteÍminantesl

r1x) :2x00xn0lx

224 calcule o determinante da matriz 229 calcute o vator do determinante:

no intervalo 0 < x < 2Í.

22ó Estude a variação do sinal da fìrnçãof: lR - ìR, definida poÍ:

227 (Fuvesf sP) caÌcule:

Ì

2310421315210 3 -2 6

2 3 0 - l5 -6 2 42 - t 0 332t5

l l l222233234

b)

228 @üvest-SP) câlcule os determinantes: 232 Ache o valor do determinante:

I a0 10 03A= 0 I 1

0 11eB=lâ I - l 4

0 0 030l t4

-1 6 3 4-2 3 6 3

3 4 - l 5- l 3 -4 2

F

156